第6章_机器人动力学

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y
例6-4 如图6-6所示单摆由一根无质量杆末端连接一集中质 量m，杆长为l，其上作用力矩，建立系统的动力学方程。 解：① 牛顿-欧拉方法 单摆运动可以简化为刚体的定轴转动，其动力学方程为
2
x l

I N
N mgl sin 转动惯量和合外力矩计算如下， I ml ml 2 mgl sin 因此，系统的动力学为 x l sin , y l cos ② 拉格朗日方程
5
A A
I zz C I zz M ( xc2 yc2 ) I xy C I xy M ( xc yc )
Hale Waihona Puke Baidu
式中是[xc yc zc]T是刚体质心在{A}坐标系下的坐标。需要说明的是，在使用平行 移轴定理时，{A}坐标系和质心坐标系{C}的姿态必须相同。 例6-3 如图6-4所示质量均匀分布的长方形刚体在质心坐标系（原点位于质心， 坐标系姿态与原坐标系姿态相同）下表示的惯性张量。 xc W 解：根据平行移轴定理计算，其中 y 1 L c 2 因此得， z H
d L d 2 2 ml ml dt dt


计算结果与采用牛顿欧拉方法计算的结果相同。 例6-5 如图6-7所示两连杆平面机械臂。连杆 长都分别为L1和L2，连杆质量分别为m1和m2，质 心到杆端点距离分别为Lc1和Lc2，两杆绕质心转动 惯量分别为Ic1和Ic2，两个关节上作用驱动力矩1和 2，建立系统的动力学方程 非定轴转动刚体的动能表示为质心平移动能和 绕质心转动动能之和。 K 1 mv 2 1 I 2
x l cos , y l sin 选择为描述单摆位置的广义坐标， 1 m m 1 系统的动能 K mv 2 x 2 y 2 l 2 2 cos2 l 2 2 sin 2 ml 2 2 2 2 2 2 P mgy mgl cos 取坐标原点为势能零点，则系统的势能
1
m1
1
X
xC1 Lc1c1 , yC1 LC1s1
再对时间求导得到质心的速度
xC 2 L1c1 LC2c12
, y C2 L1s1 L C2 s12
xC1 LC1s11 , yC1 LC1c1 1 xC 2 L1s11 LC2 s12 1 2
I xz I yz I zz
I zz x 2 y 2 dv
I xz xz dv I yz yz dv
V
其中dv表示单元体，表示单元体密度，单元体的位置Ar =[x y z]T。 惯性张量中Ixx，Iyy和Izz称为惯性矩，交叉项Ixy，Ixz和Iyz称为惯性积。 惯性张量中元素的数值与坐标系的选择有关，一般存在某个坐标系，使得交 叉项全为0。称其坐标轴为惯性主轴，该坐标系称为惯性主轴坐标系。 对于质量均匀分布的规则物体，惯性主轴就是物体的对称轴。 例6-2 如图6-4所示质量均匀分布的长方形刚体，密 度为r，质量为M，计算其惯性张量。 解：单元体dv=dxdydz，根据（6-8）得：
3
惯性张量是一个对称矩阵，各元素的值为，
I xx y z dv
2 2
I yy x 2 z 2 dv
V V
V
I xy xy dv
V V
I xx A I I xy I xz
I xy I yy I yz
（6-8）


, y C2 L 1c 1 1 L C 2c 12
1 2

1 2
两杆的转动角速度分别为
1 1 , 2 1 2
1 2 1 2 2 I C1 m1 L C 1 1 2
2 2 2 因此，两杆的动能为， K1 m1 x C 1 y C1 I C1 1
mv f
1
Y
下面以图6-1所示质量为M半径为R的均匀圆盘绕过 圆心的Z轴的惯性矩计算问题给出惯性矩的定义：
r
X
I r 2 dm
V
图6-1 圆盘绕过圆心轴惯性矩
（6-3）式给出了任意刚体绕固定轴惯性矩的定义，其中dm是微元体质量，r是 微元体到转轴的距离，V是刚体的体积，因此（6-3）表示在整个体积上积分。 对于图6-1所示均匀圆盘，面密度=M/(R2)，取极坐标微元体，则
C A 2 c 2 c
c


其它四个值可以采用类似的方法获得。在质心坐标系{C}下，刚体的惯性张量为
H 2 L2 0 M C 2 2 I 0 W H 12 0 0 0 L2 W 2 0
X Z H W L Y
结果是对角矩阵，此时坐标系{C}的坐标轴是刚体的 惯性主轴。
1 1 2 2 K 2 m2 xC y I C 2 1 2 2 C2 2 2


2
11


1 1 2 2 2 2 2 2 I C 2 m2 L1 2 L 2 L L c I mL I m L C 2 1 C 2 2 1 C 2 C 2 2 C 2 2 C 2 m 2L1LC 2c 2 1 2 2
Ic2
Y 2
Ic
1
m2
2
2
c
2
c
1
m1
1
其中vc是质心速度的大小，是刚体的角速度。
X
10
Ic2
Y 2
Ic
1
m2
2
两杆的动能分别为 1 1 1 1 2 2 2 K1 m1v c21 I c1 , K m v I 1 2 2 c 2 c 2 2 2 2 2 2 选择1 和 2为描述连杆位置的广义坐标，先 用广义坐标表示质心的位置，
L /2
x 2dm 2
L /2
0
x 2 dx 2
( L / 2) 3
3
图6-2 匀质杆绕质心惯性矩
2
M L3 1 2 ML2 L 3 8 12
平行移轴定理：刚体绕任意平行于质心轴的惯性矩为 I C I Md 2 （6-5） 其中CI 表示刚体绕质心轴的惯性矩，M为刚体质量，d为两轴之间的距离。 若已知刚体绕质心轴的惯性矩，则刚体绕任意平行轴的惯性矩可以非常方便 地利用平行移轴定理（6-5）进行计算。 例如，计算图6-2所示匀质杆绕杆端点的惯性矩，根据平行移轴定理， 1 L 1 I C I Md 2 ML2 M ( )2 ML2 12 2 3 dv {A} 可以验证，与采用积分方法计算的结果相同。
刚体定轴转动与惯性矩
I 刚体定轴转动微分方程： （6-1） 其中I称为绕固定轴的惯性矩（也称为转动惯量），是作用在固定轴上的 合外力矩。 质量为m的质点，其在直线上运动的动力学问题可以用牛顿第二定律描述：
（6-2） 或者 mx f 比较（6-1）和（6-2）式可以发现，刚体定轴转动和质点的直线运动的动力 学方程的形式是完全相同的。因此，I可以看成刚体定轴转动的惯性质量。
第6章 机器人动力学
机器人的运动是通过在关节轴上施加驱动力来实现的。机器人运动与驱动 力的关系称为机器人动力学，是本章要讨论的主要问题。 机器人动力学问题分为两类： 一类是已知作用在机器人上驱动力随时间的变规律，求机器人的运动规 律（位置、速度和加速度轨迹），称为机器人正动力学问题；
另一类是已知机器人随时间的运动规律，求期望的驱动力，称为机器人 逆动力学问题。
d L L ( ) , i 1, 2, dt qi qi
,n
(6-14)
其中qi是描述系统位置的坐标，称为广义坐标，Fi是作用在qi上的广义力。分量 形式的方程(6-14)也可以写成矢量形式如下：
F d ( L ) L dt q q
(6-15)
式（6-14）或（6-15）称为第二类拉格朗日方程。
X Z H W L Y
4
Z H
I xx y z dv
2 2 V
H
0
y
L W 0 0
2
z dxdydz
2
W X L
Y
W
H
0
y
L 0
2
z 2 dydz W
H
0
L / 3 Lz dz
3 2
HL3 LH 3 M 2 W ( ) (L H 2 ) 3 3 3 M M 同理可以得到另外两个惯性矩， I yy (W 2 H 2 ), I zz (W 2 L2 ) 3 3 下面计算惯性积， H L W H L I xy xy dv xydxdydz yW 2 / 2dydz
I r 2 dm
V
R
0

2
0
例6-1 如图6-2 所示匀质杆，质量为M，杆长为L， 计算绕质心的惯性矩。 解：匀质杆的线密度=M/L，取微元体 dx，则
4 4 R M R 1 2 r 2 rdrd 2 2 MR 4 R2 4 2
Z
x dx
X
I
L /2
M 2 L 2 W 2 M 2 2 2 I zz I zz M ( x y ) ( L W ) M [( ) ( ) ] (L W ) 3 2 2 12 M L W C I xy A I xy M ( xc yc ) WL M ( ) 0 4 2 2
V 0 0 0 0 0
4 0 同理可以得到另外两个惯性积，
对于惯性张量的计算问题，平行 移轴定理也是成立的，下面给出 其中两个表达式，其余的四个表 达式与此类似：
W 2 L2
H
dz
W 2 L2 H
4 M M I xz WH , I yz HL 4 4
A A

M WL 4
I zz C I zz M ( xc2 yc2 ) I xy C I xy M ( xc yc )
6
刚体的牛顿-欧拉方程
在动力学分析过程中，把刚体的运动分解为质心的平移运动和绕质心的转动 。一般将连体坐标系的原点固定在刚体的质心，这样坐标原点的运动描述刚 体的平移运动，坐标系的转动描述刚体绕质心的旋转运动。 F Mvc 刚体质心的平动用牛顿第二定律描述 6-11） 其中M表示刚体质量，F表示作用在刚体上的合外力矢量， vc 表示质心速度矢量。 刚体绕质心的转动用欧拉方程描述 N CIω ω CIω （6-12） 其中CI表示刚体在质心坐标系{C}下表示的惯性张量，N表示作用在刚体上的合 外力矩矢量，表示角速度矢量，ω 表示角加速度矢量。 式（6-11）和（6-12）一起称为刚体的牛 顿-欧拉方程。分析机械臂的动力学问题时 ，首先对每个连杆列出牛顿-欧拉方程，同 时需要分析连杆间的速度、加速度传递关 系以及力的传递关系。
刚体的惯性张量
Z
A
r
对于在三维空间自由运动的刚体，存在无穷多 个可能转轴，计算绕所有转轴的惯性矩显然是 V 不现实的。 因此需要考虑这样的问题： Y X 是否存在一个量，它能够表示刚体绕任意转轴的 答案是肯定的，该量就是刚体的惯性张量。 图6-3 空间刚体的惯性张量 惯性矩？ 它描述了刚体的三维质量分布，若惯性张量在某坐标系下表示出来，它 是一个3阶对称矩阵。定义了固连的坐标系{A}，在坐标系{A}中惯性张量为：
系统的拉格朗日函数
2 2 L K P 1 ml mgl cos 2
mg
9
Fi
根据614式计算相应的导数
d L L ( ) , i 1, 2, dt qi qi
,n
(6-14)
2 2 L1 ml mgl cos 2
L mgl sin m 2 mg sin 代入到拉格朗日方程得系统的动力学方程

C
ω
vc
F
N
7
拉格朗日方程
上节介绍牛顿-欧拉方程是采用几何矢量方法建立每个连杆的动力学方程，方程 中会出现约束力项。拉格朗日方程采用解析方法建立系统的动力学方程，在理 想约束条件下，动力学方程中不出现约束力项。 定义拉格朗日函数 L=K-P 其中K是系统动能，P是系统势能，系统动力学方程为
Fi