应力强度因子的求解方法的综述

应力强度因子的求解方法的综述

摘要：应力强度因子是结构断裂分析中的重要物理量，计算应力强度因子的方法主要有数学分析法、有限元法、边界配置法以及光弹性法。本文分别介绍了上述几种方法求解的原理和过程，并概述了近几年来求解应力强度因子的新方法，广义参数有限元法，利用G*积分理论求解，单元初始应力法，区间分析方法，扩展有限元法，蒙特卡罗方法，样条虚边界元法，无网格—直接位移法，半解析有限元法等。

关键词：断裂力学；应力强度因子；断裂损伤；

Solution Methods for Stress Intensity Factor of Fracture Mechanics

Shuanglin LU

(HUANGSHI Power Survey&Design Ltd.)

Abstract: The solution methods for stress intensity factor of fracture mechanics was reviewed, which include mathematical analysis method, finite element method, boundary collocation method and photo elastic method. The principles and processes of those methods were introduced, and the characteristics of each method were also simply analyzed in this paper.

Key words: fracture mechanics; stress intensity factors

0 引言

断裂力学的基础理论最初起源于1920年Griffith的研究工作[1]。Griffith在研究玻璃、陶瓷等脆性材料的断裂现象时，认为裂纹的存在及传播是造成断裂的原因。裂纹的扩展过程,从能量的观点来看,存在着两种完全对抗的因素：一种是阻止裂纹扩展的因素，另一种是推动裂纹扩展的因素。Griffith由此建立了材料的脆性断裂判据[1]：

(1)

在(1)式中：—断裂应力；E—材料的弹性模量；—材料的表面能；a—裂纹长度的一半。

Griffith判据并不能完全成功地应用于金属断裂问题。1949年, Orowan考虑到裂纹释放的应变能不仅转化成表面能，也同时转化成使裂纹顶附近材料发生塑性变形所需要的功。因此，Orowan对Griffith判据进行修正并得到了具有塑性变形的金属材料的断裂判据[1]：

(2)

在(2)式中：—断裂应力；E—材料的弹性模量；为塑性功；a—裂纹长度的一半。

1975年，Irwin认为裂纹是脆性断裂破坏的要害，而裂纹顶端区域的应力场又是其中的核心。从(1)、(2)可以看出：是一个常数，也就是说与载荷条件、式样尺寸、裂纹大小毫不相干，是只由材料的固有性质决定的不变值。当大于这个值时裂纹就快速扩展，因而，这个常数才真正代表了材料对断裂的抵抗能力。于是，Irwin对应提出了一个崭新的物理量—应力强度因子。

由裂纹尖端的应力应变的表达式[2]可以看出：裂纹尖端附近各点的应力、应变和位移均由应力强度因子K唯一确定，因此，如何计算K值是断裂力学中的一个重要内容。目前，对于无限体中的简单裂纹和有限边界的贯穿裂纹，确定K值的主要方法有：数学分析、数值计算、试验标定以及光弹性法等。

1数学分析法

1.1复变函数法

对于平面弹性问题，利用复变函数能够很方便的求得裂纹尖端应力应变场。在文献[2]中详细给出了针对型裂纹，利用威斯特葛尔德(Westergaard)应力函数求解应力分量的过程，最后得到各应力分量的表达式为：

(3)

根据(3)式可以由胡克定律得到应变分量，然后再根据应变与位移之间的关系式可以得到位移分量的表达式。由上所述可以看出，只要知道了ZI函数的表达式，应力分量、应变分量和位移分量都可以求出来了。

因此，用复变函数法求解应力强度因子的思想就是，针对不用的裂纹情况构造出满足相应边界条件的复变解析函数，并由此复变函数求得裂纹尖端的应力应变场，最后由应力强度因子的表达式求得K值。复变函数法在弹性平面问题的应用中比较方便，但对于弹塑性或三维空间问题，该方法就不再实用，其主要原因是构造满足边界条件的复变函数很困难。文献[3]和文献[4]中给出了利用复变函数法求解正交各向异性含内部裂纹板、带单裂纹无限平板中作用有集中力和力矩以及带单裂纹无限弹性体作用有纵向集中力等情况下应力强度因子的计算方法。

1.2积分变换法

弹性理论已经证明，常体力下弹性平面问题存在应力函数，称为Airy应力函数，为双调和函数[5]。对于平面问题，可用Laplace Transform和Fourier Transform来解答应力场强度因子。鉴于求解方程为4Ψ=0（Ψ为Airy应力函数）

很困难，故可考虑Fourier Transform来解断裂力学问题。首先对Ψ取Fourier变换，记为，即：

(4)

于是，应满足方程：

(5)

用降阶法可以求出方程(5)的通解为：

(6)

由(6)式结果来求解应力分量如下：

(7)

其相应的位移场为：

(8)

经过反演分析即可得出Ψ以及σ，μ等全部场量。

如用Fourier变换仍求解椭圆形裂缝问题得KI，则由：

(9)

一旦两个材料参数m、s确定，则KⅠ、KⅡ的数值可以根据下列公式十分容易地求得：

(10)

在式(10)中：σ为材料的抗压强度；l为裂纹长度。

2边界配置法

由弹性力学可知，二维弹性力学问题的应力函数为双调和函数，即满足微分方程式：。当裂纹表面满足边界条件，，时，有Williams无穷级数的应力函数[6,7]：

(11)

其中：