应力强度因子的求解方法的综述
1-3应力强度因子的求解
{ε } = [ N ′( x)]{uie }
T 由应变能密度 W = ε Cε / 2 可得单元刚度
[ K ]e = ∫ [ N ′( x)]T C[ N ′( x)]dV
Ve
将所有单元组装，可得 总刚度矩阵
[ K ]{u} = {F }
节点总位移矢量
广义节点力矢量
常规单元
• 裂纹尖端应力场的奇异性要求网格划分足够细，网格尺寸一般为裂纹 尺寸的1/1000~1/100 • 求解平衡方程，得到各节点位移，取裂纹附近节点位移，根据
ξ = −1+ 2 r / l
u = ∑ N i ui
i =1 3
将二次常规单元边 中点移到1/4处
对等参单元
应变
ε=
du 1 3 l l 1 l u1 − 4 − 2 u2 + 2 − u3 = 2 − dr l 2 r r 2 r
⊙⊙⊙⊙ σ 2a
K I = σ πa 1+ κ u 2 ( x, a ) = σ a2 − x2 4µ
K II = σ πa 1+ κ u1 ( x, a) = σ a2 − x2 4µ
K III = σ πa σ u3 ( x , a ) = a2 − x2 4µ
应力强度因子的求解
一般情况
K = Yσ πa
Y为与裂纹体几何有关的参数 a为裂纹几何尺寸相关参数
σ为外载
应力强度因子的求解方法
• • • • • • • 普遍形式的复变函数方法 积分变换法 应力集中系数法 位错连续分布法 权函数法 边界配置法和边界元法 有限元法
权函数法
p(x) P*(x) p(x) P*(x) + =
使用ABAQUS计算应力强度因子
使用ABAQUS计算应力强度因子应力强度因子（Stress Intensity Factor，简称SIF）是应力场的一种特征参数，用于描述应力状态下混合模式断裂的倾向性。
它在断裂力学和疲劳断裂力学中起着非常重要的作用。
在ABAQUS软件中，可以通过线性弹性断裂力学方法来计算应力强度因子。
ABAQUS中计算SIF的方法通常分为两步：1.求解应力场2.计算SIF在求解应力场时，可以采用以下几种途径：1.固定边界条件：如果边界条件已知并且不会发生变化，则可以直接固定边界条件来求解应力场。
这种方法适用于简单的几何形状和加载情况。
2.施加约束：对于复杂几何形状和加载情况，可以施加约束来求解应力场。
例如，可以在加载边界上施加位移或力，并在其他边界上施加自由边界条件。
ABAQUS软件将通过求解线性弹性方程来获得应力场。
3.等效边界法：对于无法通过上述两种方法求解应力场的情况，可以采用等效边界法。
该方法将复杂几何体简化为等效的几何体，通过在等效边界上施加约束来求解应力场。
然后，可以使用所得的应力场计算SIF。
在计算SIF时，可以采用两种方法：1.J积分方法：这是一种基于应变能的方法，通过计算闭合路径上的应力和应变来计算SIF。
ABAQUS提供了J积分的计算方法，可以直接计算SIF。
2.基于位移法：这是一种基于位移的方法，通过计算表面位移场的奇异性来计算SIF。
ABAQUS也提供了这种方法的计算选项。
计算SIF的步骤一般如下：1.定义几何模型和输入材料参数。
2.设置边界条件和加载条件。
3.运行ABAQUS求解应力场。
4.运行相应的计算器（如J计算器或位移计算器）以计算SIF。
5.根据得到的SIF结果进行进一步的断裂力学分析。
需要注意的是，计算SIF是一个相对复杂的过程，需要对模型几何形状、边界条件、加载条件和材料参数等进行仔细考虑和设置。
此外，模型的网格划分和数值求解的精度也会对计算结果产生影响，因此需要进行适当的验证和后处理分析。
应力强度因子的计算
M1
1
0.12(1
a )2 2c
M2
(2B
a
tan
a
)
1 2
2B
表面深裂纹的应力强度因子（应为最深点处）
KI
Me
a
23
§2-4 其他问题应力强度因子的计算 一、Ⅰ.Ⅱ型复合问题应力强度因子的计算
复变数： z x iy z x iy
取复变解析函数：x(z) p iq (z) p1 iq1
KI表 KI边 KI埋 KI中
又有
KI边 K I中
(1
0.1sin 2 A 1
W
tan A
)2
W
裂纹长度 板宽度
19
当
A W
1 时，
sin 2 A 2 A
WW
KI边 1.2 1.1 KI中
KI表 1.1 KI埋
tan A A
WW
KI表
1.1KI埋
利用这个方法可以求解很多”无限大”平板中的穿 透裂纹问题.
27
二、无限宽板穿透裂纹应力强度因子的计算
实际情况应看成有限宽板计算.必须考虑自由边界对 裂纹尖端应力场和位移场的影响.在理论上得不到完全解. 通过近似的简化或数值计算方法.
方法:边界配置法,有限单元法等. 边界配置法:将应力函数用无穷级数表达,使其满足 双调和方程和边界条件,但不是满足所有的边界条件,而 是在有限宽板的边界上,选足够多的点,用以确定应力函 数,然后再由这样符合边界条件的应力函数确定 K 值. 边界配置法:只限于讨论直边界问题.
E
KⅠ
r
2
应力强度因子的计算.doc
第二章 应力强度因子的计算K --应力、位移场的度量⇒K 的计算很重要,计算K 值的几种方法: 1.数学分析法:复变函数法、积分变换； 2.近似计算法：边界配置法、有限元法； 3.实验标定法：柔度标定法； 4.实验应力分析法：光弹性法.§2-1 三种基本裂纹应力强度因子的计算一、无限大板Ⅰ型裂纹应力强度因子的计算K Z ξ→=→ⅠⅠ计算K 的基本公式，适用于Ⅱ、Ⅲ型裂纹.1.在“无限大”平板中具有长度为2a 的穿透板厚的裂纹表面上，距离x b =±处各作用一对集中力p .Re Im x Z y Z σ'=-ⅠⅠRe Im y Z y Z σ'=+ⅠⅠRe xy y Z τ'=-Ⅰ选取复变解析函数：222()Z z b π=- 边界条件：a.,0x y xy z σστ→∞===.b.,z a <出去z b =±处裂纹为自由表面上0,0y xy στ==。
c.如切出xy 坐标系内的第一象限的薄平板，在x 轴所在截面上内力总和为p 。
y '以新坐标表示：Z=⇒lim()K Zξξ→==Ⅰ2.在无限大平板中,具有长度为2a的穿透板厚的裂纹表面上，在距离1x a=±的范围内受均布载荷q作用.利用叠加原理:微段→集中力qdx→dK=Ⅰ⇒K=⎰Ⅰ令cos cosx a aθθ==,cosdx a dθθ=⇒111sin()1cos22(cosaa aaaK daθθθ--==Ⅰ当整个表面受均布载荷时,1a a→.⇒12()aaK-==Ⅰ3.受二向均布拉力作用的无限大平板,在x轴上有一系列长度为2a,间距为2b 的裂纹.边界条件是周期的: a. ,y x z σσσ→∞==.b.在所有裂纹内部应力为零.0,,22y a x a a b x a b =-<<-±<<±在区间内0,0y xy στ==c.所有裂纹前端y σσ> 单个裂纹时Z =又Z 应为2b 的周期函数⇒sinzZ πσ=采用新坐标:z a ξ=-⇒sin()a Z πσξ+=当0ξ→时,sin,cos1222bbbπππξξξ==⇒sin()sincos cos sin22222a a a bbbbbπππππξξξ+=+σcossin222a a bbbπππξ=+2222[sin()]()cos 2cos sin(sin)2222222a a a a a bbbbbb bπππππππξξξ+=++22[sin()](sin )2cos sin22222a a a a bbbbbπππππξξ⇒+-=sinaZ ξπσ→⇒=sinlim aK ξπσ→⇒===Ⅰ=取w M =修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对K Ⅰ的影响. 若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多(2125a b ≤)可不考虑相互作用,按单个裂纹计算.二、无限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题应力强度因子的计算 1.Ⅱ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):lim (K Z ξξ→=Ⅱ2.无限大平板中的周期性的裂纹,且在无限远的边界上处于平板面内的纯剪切力作用.τsin()zZ z πτ=sin()()a Z πτξξ+=lim ()K ξξ→⇒==Ⅱ3.Ⅲ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):lim ()K ξξ→=Ⅲ4.周期性裂纹:K =§2-2 深埋裂纹的应力强度因子的计算1950年，格林和斯内登分析了弹性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的应力和应变，得到椭圆表面上任意点,沿y 方向的张开位移为:1222022(1)x z y y a c=--其中:202(1)ay E μσ-=Γ.Γ为第二类椭圆积分.有φϕ= (于仁东书) 1222220[sin ()cos ]a d cπϕϕϕ=+⎰(王铎书)1962年,Irwin 利用上述结果计算在这种情况下的应力强度因子σ原裂纹面11cos ,sin z x ρϕρϕ==又222222221111221x z c x a z a c a c+=⇒+= ⇒ρ=假设:椭圆形裂纹扩展时,其失径ρ的增值r 与ρ成正比.r f ρ= (f 远小于1)r f ρ⇒==边缘上任一点(,)p x z ''',有:1()sin (1)sin (1)x r f f x ρϕρϕ'=+=+=+1()cos (1)z r f z ρϕ'=+=+11(,),(,)p x z p x z '''⇒均在0y =的平面内. 222242222(1)c x a z f a c a c ''''''⇒+=+=⇒新的裂纹面仍为椭圆.长轴(1)c f c '=+,短轴(1)a f a '=+. ⇒y 向位移22002(1)2(1)(1)(1)a f a y f y E E μσμσϕϕ'--+'===+原有裂纹面:222220()1x z ya c y ++=扩展后裂纹面:222220()1x z y a c y '''++='''以1x x '=,1z z '=,代入⇒原有裂纹面的边缘y 向位移y ',有2222211112222222011(1)(1)x z x z y y a c f a f c'=-+=--'''++。
应力强度因子计算
应力强度因子计算FRANC3D使用M-积分来计算应力强度因子，M-积分又称为交互积分，与J-积分具有相似的数学表达形式，能考虑温度、裂纹面接触、裂纹面牵引及残余应力等因素的影响，并能实现多工况的应力强度因子的叠加。
FRANC3D对围绕裂纹尖端的两个单元环执行守恒积分计算，积分域包括一个15节点奇异楔形单元的内环和一个20节点六面体单元的外环。
FRANC3D的自适应网格划分技术，还会在裂纹尖端周围布置第三个六面体单元环，但不参与积分计算。
M-积分在FRANC3D中的实现利用M-积分可同时计算出三种断裂模式的应力强度因子（KI、KII和KIII），其中，KII 用来预测裂纹扭转角度以确定裂纹前缘的扩展方向。
FRANC3D可计算各项同性和一般各向异性材料中的三种模式的应力强度因子，也是目前唯一一款可以计算一般各向异性材料中三种断裂模式应力强度因子的软件。
同时，还能提供J-积分、T-Stress、Kink Angle等断裂力学参数的结果。
FRANC3D计算应力强度因子时可以考虑温度、裂纹面牵引、裂纹面接触以及它们的组合的影响，还提供多种选项来定义结构中的残余应力或初始条件，包括：●恒定的裂纹面压强载荷●1维径向分布的残余应力●2维（轴向和径向）分布的残余应力●表面处理后的残余应力●基于网格的残余应力（将有限元应力分析结果映射到裂纹网格上，FRANC3D自动计算并转换为裂纹面牵引力）FRANC3D还提供位移法（COD）来计算应力强度因子，也可使用VCCT技术来计算获得能量释放率（GI、GII、GIII）的结果。
计算应力强度因子FRANC3D可以图形化和以列表形式显示应力强度因子的计算结果，能同时显示K I、K II、K III的结果，同时还能显示J-积分和T-应力的结果，并提供多种选项供用户输出想要的结果和数据格式。
结果显示和输出。
应力强度因子的数值计算方法
应力强度因子的数值计算方法一、引言数值计算方法通过将裂纹尖端的应力场分布模拟为一个虚拟的数学模型，利用计算机进行数值求解来得到应力强度因子的数值。
数值计算方法通常分为两种类型：直接方法和间接方法。
1.直接方法直接方法是指直接通过有限元分析软件求解裂纹尖端的应力场分布，并通过一些后处理技术来计算应力强度因子。
其中最常用的方法是J积分法和节点法。
（1）J积分法：J积分法是一种常用的裂纹应力强度因子计算方法，它通过在裂纹尖端附近引入一个虚拟断裂面，将裂纹尖端附近的应力场分布（由有限元分析得到）转化为裂纹尖端处的应力强度因子。
具体计算方法较为复杂，一般需要通过数值积分的方法求解。
（2）节点法：节点法是一种基于有限元网格节点的方法，其基本思想是通过增加节点对裂纹尖端附近的应力场进行离散，利用节点处的应力场计算应力强度因子。
节点法相对于J积分法计算简单，但适用条件较为有限。
2.间接方法间接方法是指通过已知应力场的变化率来计算应力强度因子的方法。
常用的间接方法有格里菲斯准则法、欠奇性法和EOS法。
（1）格里菲斯准则法：格里菲斯准则法是最早提出的计算裂纹扩展的方法之一，基于弹性力学理论和线弹性断裂力学基本假设，通过对裂纹尖端周围应力场的分析，得到应力强度因子与裂纹尖端形状和尺寸以及应力场的关系。
（2）欠奇性法：欠奇性法是一种基于能量原理的裂纹尖端应力强度因子计算方法，通过构造合适的应变能表达式和裂纹尖端应力强度因子的定义，利用应变能的分式展开求解裂纹尖端处的应力强度因子。
（3）EOS法：EOS法是一种在裂纹尖端周围选取合适的控制体，通过求解控制体内外表面的应力分布，建立应力强度因子与表面应力之间的关系，从而计算裂纹尖端处的应力强度因子。
三、应用场景1.断裂力学：数值计算方法可以用于预测和分析裂纹扩展行为，在断裂力学领域中有着重要的应用。
通过计算裂纹尖端的应力强度因子，可以评估材料的断裂韧性和脆性。
2.疲劳分析：3.材料破坏：数值计算方法可以用于分析材料的破坏机理和破坏行为。
应力强度因子的数值计算方法
应力强度因子的数值计算方法应力强度因子是用来描述裂纹尖端应力场的重要参数，它在研究裂纹扩展、断裂行为等问题中具有重要的应用价值。
本文将介绍应力强度因子的数值计算方法，包括解析方法和数值方法。
一、解析方法解析方法是指通过求解弹性力学方程，得到应力场的解析表达式，进而计算应力强度因子。
常见的解析方法有：1. 爱尔兰函数法：该方法适用于轴对称问题，通过引入爱尔兰函数，将弹性力学方程转化为常微分方程，进而得到应力强度因子的解析表达式。
2. 奇异积分法：该方法适用于不规则裂纹形状或复杂载荷情况。
通过奇异积分的性质，将应力场分解为奇异和非奇异两部分，进而得到应力强度因子的解析表达式。
3. 线性弹性断裂力学方法：该方法通过建立合适的应力强度因子与裂纹尺寸之间的关系，利用裂纹尖端应力场的奇异性，通过分析弹性力学方程的边界条件，得到应力强度因子的解析表达式。
二、数值方法数值方法是指通过数值计算的方式，求解弹性力学方程，得到应力场的数值解，从而计算应力强度因子。
常见的数值方法有：1. 有限元法：有限元法是一种广泛应用的数值方法，通过将结构离散为有限个单元，建立节点间的关系，利用数值方法求解离散方程组，得到应力场的数值解，进而计算应力强度因子。
2. 边界元法：边界元法是一种基于边界积分方程的数值方法，通过将边界上的应力场表示为边界积分方程的形式，利用数值方法对积分方程进行离散求解，得到应力场的数值解，进而计算应力强度因子。
3. 区域积分法：区域积分法是一种基于区域积分方程的数值方法，通过将应力场表示为积分方程的形式，利用数值方法对积分方程进行离散求解，得到应力场的数值解，进而计算应力强度因子。
以上介绍了应力强度因子的数值计算方法，包括解析方法和数值方法。
解析方法适用于问题简单、载荷条件规则的情况，可以得到解析表达式并具有较高的精度；数值方法适用于问题复杂、载荷条件不规则的情况，通过数值计算可以得到应力场的数值解，并利用数值解计算应力强度因子。
应力强度因子的计算
满足双调和方程
24
分析第一应力不变量
x
y
2
x2
2
y 2
4 Re[x' (z)]
对于Ⅰ.Ⅱ型复合裂纹
Ⅰ型：
x
Re ZI
y Im
Z
' I
y Re ZI y Im ZI'
21
1.巴里斯和薛
a c 0 时， 接近于单边切口试样 M1 1.12
a c
1
时，
接近于半圆形的表面裂纹
M1 1
利用线性内插法
M1
1
0.12(1
a c
)
利用中心穿透裂纹弹性体的厚度校正系数
M2
(2B
a
tan
a
)
1 2
2B
裂纹深度 板厚
浅裂纹不考后自由表面的影响
22
2. 柯巴亚希.沙.莫斯
y 0, xy 0
sin z
Z
2b
(sin z )2 (sin a )2
2b
2b
7
采用新坐标: z a
sin ( a)
Z
2b
(sin ( a))2 (sin a )2
2b
2b
当 0 时，sin , cos 1
KI表 KI边 KI埋 KI中
又有
KI边 K I中
(1
0.1sin 2 A 1
应力强度因子的求解方法的综述
应力强度因子的求解方法的综述摘要：应力强度因子是结构断裂分析中的重要物理量，计算应力强度因子的方法主要有数学分析法、有限元法、边界配置法以及光弹性法。
本文分别介绍了上述几种方法求解的原理和过程，并概述了近几年来求解应力强度因子的新方法，广义参数有限元法，利用G*积分理论求解，单元初始应力法，区间分析方法，扩展有限元法，蒙特卡罗方法，样条虚边界元法，无网格—直接位移法，半解析有限元法等。
关键词：断裂力学；应力强度因子；断裂损伤；Solution Methods for Stress Intensity Factor of Fracture MechanicsShuanglin LU(HUANGSHI Power Survey&Design Ltd.)Abstract: The solution methods for stress intensity factor of fracture mechanics was reviewed, which include mathematical analysis method, finite element method, boundary collocation method and photo elastic method. The principles and processes of those methods were introduced, and the characteristics of each method were also simply analyzed in this paper.Key words: fracture mechanics; stress intensity factors0 引言断裂力学的基础理论最初起源于1920年Griffith的研究工作[1]。
Griffith在研究玻璃、陶瓷等脆性材料的断裂现象时，认为裂纹的存在及传播是造成断裂的原因。
应力强度因子
断裂与损伤力学应力强度因子数值计算方法综述2013年6月第一章应力强度因子求解方法概述含有裂纹的工程结构的断裂力学分析一直是一个重要问题，在断裂力学理论中应力强度因子是线弹性断裂力学中最重要的参量。
它是由构件的尺寸、形状和所受的载荷形式而确定。
由于裂尖应力场强度取决于应力强度因子，因此在计算各种构件或试件的应力强度因子是线弹性断裂力学的一项重要任务。
由于应力强度因子在裂纹体分析中的中心地位，它的求解自断裂力学问世以来就受到了高度的重视。
迄今为止，已经产生了众多的理论和致值解法。
70年代中期以前的有关工作在文献中已有相当全面的总结，近20年来，求解的方法又得刭了明显的发展与完善。
下文将穿透裂纹问题(二维)与部分穿透裂纹问题（三维）分开讨论。
第二章 二维裂纹问题2.1 复变函数法由Muskhelishvili 的复变函数法，应力函数为：_])()()([2/1)]()(Re[z z z z z z z z χψψχψ++=+=Φ平面应变情况下的应力与位移为： )]('Re[42222z yx y x ϕφφσσ=∂∂+∂∂=+ )]('')(''[22z z z i xy y x χϕτσσ+=+-)](')('[21)(243x z z z iv u χϕμϕμμ+--=+ 可以证明，在裂纹尖端区域：)]('lim[220z z z iK K K I ϕπ-=-=∏由上式可见。
由于k 仅与)(z φ有关，因此只需确定一个解析函数)(z φ，就能求得k I ，这一方法一般只能用来解无限体裂纹问题。
对于含孔边裂纹的无限大板，通常可利用复变函数的保角映射原理来简化解题过程。
如采用复变（解析）变分方法，则可求解具有复杂几何形状的含裂纹有限大板的应力强度因子。
2.2 积分方程法弹性边值问题可以变为求解下列形式的积分方程：)())(()().,(r f dt t b a t t P t r M -=--⎰ 由积分方程解出沿裂纹的坐标的函数，便能直接求出应力强度因子k 。
xfem计算应力强度因子
xfem计算应力强度因子引言应力强度因子是评估裂纹尖端应力场的重要参数，对于研究裂纹扩展行为和预测断裂失效具有重要意义。
传统的有限元法在计算应力强度因子时需要事先确定裂纹尖端位置，然而在实际工程中，裂纹的形状和位置往往是未知的。
为了克服传统有限元法的缺陷，出现了扩展有限元法（Extended Finite Element Method，简称xfem）。
xfem方法xfem方法是一种基于有限元法的计算方法，它通过在有限元中引入裂纹的自由度，克服了传统有限元法中需要提前确定裂纹位置的问题。
xfem方法的基本原理是在有限元网格中引入额外的自由度，以描述裂纹的形状和位置。
通过这种方式，裂纹的形状和位置可以在计算过程中自动更新，从而实现对裂纹扩展行为的准确模拟。
xfem方法在计算应力强度因子方面的应用xfem方法在计算应力强度因子方面具有很大的优势。
相比传统有限元法，xfem方法能够更准确地模拟裂纹扩展行为。
在传统有限元法中，由于需要提前确定裂纹位置，因此裂纹的形状和位置通常是固定的，无法考虑裂纹扩展过程中的形变和位移。
而xfem方法通过引入额外的自由度，能够更精确地描述裂纹的形状和位置，从而能够更准确地计算应力强度因子。
xfem方法还能够模拟复杂的裂纹形态，包括分支和交叉等情况。
传统有限元法往往难以处理这些复杂情况，而xfem方法通过引入额外的自由度，能够更灵活地描述裂纹形态，从而能够处理各种复杂情况。
xfem方法的计算步骤xfem方法的计算步骤主要包括以下几个方面：1. 网格划分：首先需要对计算区域进行网格划分，将其分割成多个小单元，每个小单元内部包含有限元节点。
2. 裂纹表达：在网格中引入额外的自由度，以描述裂纹的形状和位置。
常用的裂纹表达方式有分段线性函数和基函数等。
3. 裂纹扩展：根据裂纹扩展准则，通过更新裂纹的形状和位置，模拟裂纹在计算过程中的扩展行为。
裂纹扩展准则可以根据不同的应用需求进行选择。
应力强度因子
断裂与损伤力学应力强度因子数值计算方法综述2013年6月第一章应力强度因子求解方法概述含有裂纹的工程结构的断裂力学分析一直是一个重要问题，在断裂力学理论中应力强度因子是线弹性断裂力学中最重要的参量。
它是由构件的尺寸、形状和所受的载荷形式而确定。
由于裂尖应力场强度取决于应力强度因子，因此在计算各种构件或试件的应力强度因子是线弹性断裂力学的一项重要任务。
由于应力强度因子在裂纹体分析中的中心地位，它的求解自断裂力学问世以来就受到了高度的重视。
迄今为止，已经产生了众多的理论和致值解法。
70年代中期以前的有关工作在文献中已有相当全面的总结，近20年来，求解的方法又得刭了明显的发展与完善。
下文将穿透裂纹问题(二维)与部分穿透裂纹问题（三维）分开讨论。
第二章 二维裂纹问题2.1 复变函数法由Muskhelishvili 的复变函数法，应力函数为：_])()()([2/1)]()(Re[z z z z z z z z χψψχψ++=+=Φ平面应变情况下的应力与位移为： )]('Re[42222z yx y x ϕφφσσ=∂∂+∂∂=+ )]('')(''[22z z z i xy y x χϕτσσ+=+-)](')('[21)(243x z z z iv u χϕμϕμμ+--=+ 可以证明，在裂纹尖端区域：)]('lim[220z z z iK K K I ϕπ-=-=∏由上式可见。
由于k 仅与)(z φ有关，因此只需确定一个解析函数)(z φ，就能求得k I ，这一方法一般只能用来解无限体裂纹问题。
对于含孔边裂纹的无限大板，通常可利用复变函数的保角映射原理来简化解题过程。
如采用复变（解析）变分方法，则可求解具有复杂几何形状的含裂纹有限大板的应力强度因子。
2.2 积分方程法弹性边值问题可以变为求解下列形式的积分方程：)())(()().,(r f dt t b a t t P t r M -=--⎰ 由积分方程解出沿裂纹的坐标的函数，便能直接求出应力强度因子k 。
应力强度因子的计算.
以1x x '=, 1z z '=,代入⇒原有裂纹面的边缘y向位移y ',有
22222
11112222222
011(1 (1 x z x z y y a c f a f c
'=-+=--'''++
222222
1111112222221(12 (12 12( x z x z x z f f f a c a c a c
r f ρ= (f远小于
1
r
f ρ
⇒=
=
边缘上任一点(, p x z ''',有:
1(sin (1 sin (1 x r f f x ρϕρϕ'=+=+=+
1(cos (1 z r f z ρϕ'=+=+
11(, , (, p x z p x z '''⇒均在0y =的平面内. 222242222(1 c x a z f a c a c ''''''⇒+=+=
a. , 0x y xy z σστ→∞===.
b. , z a <出去z b =±处裂纹为自由表面上0, 0y xy στ==。
c.如切出xy坐标系内的第一象限的薄平板，在x轴所在截面上内力总和为p。
y '
以新坐标表示：
Z =
⇒( K Z ξ→==
Ⅰ
2.在无限大平板中,具有长度为2a的穿透板厚的裂纹表面上，在距离1x a =±的范围内受均布载荷q作用.
⇒新的裂纹面仍为椭圆.长轴(1 c f c '=+,短轴(1 a f a '=+. ⇒y向位移
论述实测应力强度因子的方法
第二章应力强度因子的计算K--应力、位移场的度量 K的计算很重要,计算K值的几种方法:1.数学分析法:复变函数法、积分变换；2.近似计算法：边界配置法、有限元法；3.实验标定法：柔度标定法；4.实验应力分析法：光弹性法.论述实测应力强度因子的方法应力强度因子是反映裂纹尖端弹性应力场强弱的物理量。
它和裂纹大小、构件几何尺寸以及外应力有关。
应力在裂纹尖端有奇异性，而应力强度因子在裂纹尖端为有限值。
网格法是以网格为制图单元，反映制图对象特征的一种地图表示方法。
其制图精度取决于网眼大小，网眼越小，精度越高。
网眼大小的确定，取决于制图目的、比例尺和掌握制图资料的详细程度等。
网格法既可表示制图对象的数量特征，也可表示其质量特征。
使用该法编图时，首先把制图区域按照一定原则，用规定的网眼尺寸画出格网，然后根据掌握的制图资料、野外考察得到的制图对象的分布特征，分别用每个网眼赋值。
当表示数量差异时，填入分级级别；表示质量特征时，填入类型代码等。
最后用色彩或面状网线符号区分它们。
这种方法在计算机辅助制图、统计制图中得到广泛应用。
实验应力分析方法的一种。
网格法是在试件表面印制或刻划网格，则当试件受载而发生变形时，网格随之变形，通过测量网格因变形而引起的位移，以确定试件的位移场或应变场。
它适用于测量5%以上的大应变,而用于测量较小的应变时，精度很低。
此法于20世纪40年代开始应用，后来在较大程度上被云纹法所取代。
光弹性法应用光学原理研究弹性力学问题的一种[[实验应力分析]]方法。
将具有双折射效应的透明塑料制成的结构模型置于偏振光场中，当给模型加上载荷时，即可看到模型上产生的干涉条纹图。
测量此干涉条纹，通过计算，就能确定结构模型在受载情况下的应力状态。
20世纪初，E.G.科克尔和L.N.G.菲伦用光弹性法研究桥梁结构等的应力分布。
40年代，M.M. 弗罗赫特对光弹性的基本原理、测量方法和模型制造等方面的问题，作了全面系统的总结，从而使光弹性法在工程上获得广泛的应用。
单位分解有限元方法求解应力强度因子
单位分解有限元方法求解应力强度因子
一、有限元法的基本概念
有限元法（Finite Element Method,FEM）是一种应用于结构力学、流体力学以及固
体力学等众多研究领域的数值计算方法，是建立在离散一阶相对论基础上的数学解析方法。
其基本思路是：将对象划分成若干小的有限域，然后对每个有限域建立起离散的误差限制
条件，把原本的等价边界条件经过离散化处理后作为这些有限域的边界条件，将未知的空
间量化，然后分别针对这些有限元的非线性函数建立数学模型，最后求解出各元素的空间量，从而得到对象的总体函数解析模型。
二、应力强度因子有限元法求解
1、基本原理
应力强度因子（Stress Intensity Factor, SIF）是用于分析结构力学中弯曲、压缩、扭转、拉伸等力学载荷情况下结构的破坏程度，它的基本原理是根据St. Venant-
Kirchhoff理论，建立起材料应力应变关系和对应的力学载荷，并计算在周边某点结构的
分析结果，从而得出该点的SIF值。
2、有限元法求解
有限元法可以很好地用于求解应力强度因子。
若要求解某个结构的应力强度因子，首
先应当将其划分成多个相互交错的有限域，每个有限域内进行逐一求解，并使用对应的离
散构件模型与约束条件，得出不同结点的截断应力和截断应变的变化规律，最终归并各节
点的解析结果，从而计算出相应结构的应力强度因子。
应力强度因子
应力强度因子应力强度因子是力学领域中一个重要的概念，用来描述材料在裂纹尖端的应力集中情况。
在材料工程和断裂力学中，应力强度因子的概念被广泛应用。
应力强度因子的理论基础是线弹性断裂力学，该理论描述了材料在发生破裂时的应力和位移场。
应力强度因子的定义在裂纹尖端处的应力场通常是复杂的，而应力强度因子是一种在裂纹尖端的应力场附近对应力的特定描述。
它通常用符号K表示，可根据裂纹尖端的应力场表达式得出。
应力强度因子是衡量材料裂纹尖端应力集中程度的物理量。
应力强度因子的计算计算应力强度因子的方法主要有解析解法、半解析解法和数值解法。
解析解法适用于简单几何形状和边界条件的情况，可以通过应力场的解析解来计算应力强度因子。
半解析解法则是在解析解法的基础上引入数值计算方法解决更为复杂的情况。
数值解法则通过数值模拟来近似计算裂纹尖端的应力场和应力强度因子。
应力强度因子的应用应力强度因子的应用可以帮助工程师和科学家更好地理解材料的断裂行为。
通过计算裂纹尖端的应力强度因子，可以预测材料的疲劳寿命、裂纹扩展速率等参数，进而指导材料设计和使用。
此外，在材料选用、损伤评估、结构安全性评估等方面，应力强度因子也扮演着重要的角色。
结论应力强度因子作为描述裂纹尖端应力集中的重要参数，在材料断裂力学和工程实践中发挥着至关重要的作用。
深入理解和准确计算应力强度因子，对于改善材料性能、提高结构安全性具有重要意义。
在未来的研究和工程实践中，应该进一步探讨应力强度因子的计算方法和应用，为材料工程领域的发展做出新的贡献。
以上是对应力强度因子的简要介绍，希望对读者有所帮助。
应力强度因子的计算
应力强度因子的计算应力强度因子（Stress Intensity Factor）是应用于裂纹尖端的一个参数，用于描述裂纹尖端应力场的强度和分布情况，是计算裂纹扩展速率和破裂韧性的重要参数。
本文将详细介绍应力强度因子的计算方法。
一、引言在构件中存在裂纹时，应力场的分布将发生变化，通常存在一个应力集中区域，即裂纹尖端。
在裂纹尖端附近，裂纹两侧的应力强度具有很大的梯度，因此需要引入应力强度因子来准确描述和分析裂纹尖端的应力状态。
二、应力强度因子的定义应力强度因子可以描述裂纹尖端应力场的强度和分布情况。
对于模式I或拉应力模式下的裂纹，应力强度因子K是一个标量，具有长度的物理意义。
对于一种给定的应力场，应力强度因子K与应力强度因子K对应的应力场是相似的。
此外，由于应力强度因子K的引入，裂纹尖端附近的应力场能够用一个等效应力来代替，从而使裂纹尖端的破坏准则能够使用等效应力来描述。
三、常用的计算方法1.解析方法解析方法是通过对裂纹尖端附近应力场的数学分析，推导出裂纹尖端的应力强度因子。
常用的方法有：格里菲斯公式、韦尔奇定理、赵万江公式等。
这些方法通常需要对裂纹尖端应力场进行严格的数学推导和分析，适用于简单几何形状的裂纹。
2.应力分析方法应力分析方法是通过有限元分析、边界元分析等数值方法，对裂纹附近的应力场进行数值模拟，进而计算应力强度因子。
通过数值模拟可以得到更为复杂的几何形状下的应力强度因子。
通常需要使用计算机软件进行模拟和计算。
3.基于实验的方法基于实验的方法是通过实验测定裂纹尖端的应力强度因子，从而得到一种实验估算的方法。
常用的实验方法有高约束比压缩试验法、断口法、几何函数法等。
与解析方法和数值方法相比，实验方法具有直接、可靠、全面的优点，但通常对实验设备和技术要求较高。
四、应力强度因子的应用应力强度因子的计算在材料科学、工程结构分析和破坏力学等领域具有广泛的应用价值。
它可用于计算裂纹扩展速率、破断韧性、疲劳寿命等。
共线双裂纹应力强度因子计算方法
共线双裂纹应力强度因子计算方法共线双裂纹在固体力学研究中是一个重要的问题。
如何计算共线双裂纹的应力强度因子是一个关键问题，本文将分步骤介绍计算方法。
一、定义共线双裂纹是指在同一直线上的两裂纹，它们的长度和深度一般是不相等的。
根据裂纹理论，裂纹两端的应力集中最为严重，通常用应力强度因子K来评价裂纹尖端应力集中的严重程度。
二、计算公式对于共线双裂纹，计算应力强度因子通常采用以下公式：K = K1 + K2其中，K1和K2分别为两个单独裂纹的应力强度因子，由斯蒂芬-麦克唐纳公式计算：K1 = σ√(πa1) f1(β1)K2 = σ√(πa2) f2(β2)其中，a1和a2分别为两个裂纹尖端的半径，σ为应力，f1和f2分别是与裂纹起始角有关的无量纲函数，β1和β2为裂纹起始角度。
三、计算流程计算共线双裂纹的应力强度因子的具体流程如下：1. 建立模型：绘制共线双裂纹的2D模型，并以相应的尺寸确定裂纹尖端的半径a1和a2以及裂纹起始角度β1和β2。
2. 确定应力：根据实际情况确定施加在模型上的应力σ。
3. 计算f1和f2：根据裂纹起始角度β1和β2，求出f1和f2的数值。
4. 计算K1和K2：根据公式，利用模型中确定的a1、a2、σ和f1、f2，分别计算K1和K2的数值。
5. 计算K：根据公式，将K1和K2的数值求和，即可得到共线双裂纹的应力强度因子K的数值。
四、注意事项在计算共线双裂纹的应力强度因子时，需要注意以下几点：1. 在建立模型时，裂纹长度和深度应该保持一定比例，不宜出现极度不平衡的情况。
2. 计算K1和K2时，应根据实际情况选择合适的f1和f2的数值。
3. 计算K前，应保证裂纹尖端处应力的集中程度已达稳定状态。
总之，共线双裂纹应力强度因子的计算方法是基于斯蒂芬-麦克唐纳公式推导出来的，计算公式简单明确，但在具体计算过程中需要认真细致地处理每一个因素，确保计算结果的准确性和可靠性。
应力强度因子的数值计算方法
应力强度因子的数值计算方法引言一、理论计算方法1.弹性理论解法弹性理论解法是应力强度因子计算中最常用的一种方法。
它假设材料是弹性线性的，并忽略了材料的塑性变形。
常用的解法有Westergaard解和Westergaard-Hankel解。
2.能量解法能量解法是一种基于弹性力学的解法，通过计算裂纹尖端处的应力场能量和应变能量来计算应力强度因子。
常用的解法有Line-spring法和Irwin法。
3.有限元法有限元法是一种数值计算方法，通过将复杂的问题离散化为多个小区域，并在每个小区域上建立适当的数学模型进行计算。
通过求解离散化的方程组，可以得到裂纹尖端处的应力强度因子。
有限元法可以处理各种复杂的边界条件和几何形状的问题，并且可以考虑非线性和塑性变形。
这使得它成为计算应力强度因子的一种重要方法。
二、实验计算方法实验计算方法主要是通过设计和进行试验来测量裂纹尖端区域的应力和应变场，然后根据测量数据计算应力强度因子。
常用的方法有：1.发光全场法发光全场法是一种全场应变测量技术，通过在被测结构表面涂覆一层发光材料，然后利用高速摄像机记录结构在加载过程中的应变分布。
通过分析图像数据，可以得到裂纹尖端区域的应力和应变场，进而计算应力强度因子。
2.特征裂纹法特征裂纹法是一种利用疲劳试验得到应力强度因子的方法。
通过在试样上开几何形状确定的裂纹，然后在加载过程中观察裂纹的扩展行为，通过测量裂纹长度和加载荷载的关系，可以计算应力强度因子。
3.数值模拟法数值模拟法是一种将实验和数值计算相结合的方法。
通过建立几何和材料特性相似的数值模型，并在模型中模拟加载过程，可以得到裂纹尖端区域的应力和应变场，进而计算应力强度因子。
三、应力强度因子的应用1.疲劳断裂评估基于应力强度因子的计算结果，可以对工程结构在疲劳载荷下的断裂寿命进行评估和预测。
这对于提高结构的可靠性和安全性具有重要意义。
2.材料断裂韧性评定3.裂纹扩展行为研究通过分析应力强度因子的变化规律，可以研究裂纹在不同加载条件下的扩展行为，揭示断裂的机理和规律。
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应力强度因子的求解方法的综述摘要：应力强度因子是结构断裂分析中的重要物理量，计算应力强度因子的方法主要有数学分析法、有限元法、边界配置法以及光弹性法。
本文分别介绍了上述几种方法求解的原理和过程，并概述了近几年来求解应力强度因子的新方法，广义参数有限元法，利用G*积分理论求解，单元初始应力法，区间分析方法，扩展有限元法，蒙特卡罗方法，样条虚边界元法，无网格—直接位移法，半解析有限元法等。
关键词：断裂力学；应力强度因子；断裂损伤；Solution Methods for Stress Intensity Factor of Fracture MechanicsShuanglin LU(HUANGSHI Power Survey&Design Ltd.)Abstract: The solution methods for stress intensity factor of fracture mechanics was reviewed, which include mathematical analysis method, finite element method, boundary collocation method and photo elastic method. The principles and processes of those methods were introduced, and the characteristics of each method were also simply analyzed in this paper.Key words: fracture mechanics; stress intensity factors0 引言断裂力学的基础理论最初起源于1920年Griffith的研究工作[1]。
Griffith在研究玻璃、陶瓷等脆性材料的断裂现象时，认为裂纹的存在及传播是造成断裂的原因。
裂纹的扩展过程,从能量的观点来看,存在着两种完全对抗的因素：一种是阻止裂纹扩展的因素，另一种是推动裂纹扩展的因素。
Griffith由此建立了材料的脆性断裂判据[1]：(1)在(1)式中：—断裂应力；E—材料的弹性模量；—材料的表面能；a—裂纹长度的一半。
Griffith判据并不能完全成功地应用于金属断裂问题。
1949年, Orowan考虑到裂纹释放的应变能不仅转化成表面能，也同时转化成使裂纹顶附近材料发生塑性变形所需要的功。
因此，Orowan对Griffith判据进行修正并得到了具有塑性变形的金属材料的断裂判据[1]：(2)在(2)式中：—断裂应力；E—材料的弹性模量；为塑性功；a—裂纹长度的一半。
1975年，Irwin认为裂纹是脆性断裂破坏的要害，而裂纹顶端区域的应力场又是其中的核心。
从(1)、(2)可以看出：是一个常数，也就是说与载荷条件、式样尺寸、裂纹大小毫不相干，是只由材料的固有性质决定的不变值。
当大于这个值时裂纹就快速扩展，因而，这个常数才真正代表了材料对断裂的抵抗能力。
于是，Irwin对应提出了一个崭新的物理量—应力强度因子。
由裂纹尖端的应力应变的表达式[2]可以看出：裂纹尖端附近各点的应力、应变和位移均由应力强度因子K唯一确定，因此，如何计算K值是断裂力学中的一个重要内容。
目前，对于无限体中的简单裂纹和有限边界的贯穿裂纹，确定K值的主要方法有：数学分析、数值计算、试验标定以及光弹性法等。
1数学分析法1.1复变函数法对于平面弹性问题，利用复变函数能够很方便的求得裂纹尖端应力应变场。
在文献[2]中详细给出了针对型裂纹，利用威斯特葛尔德(Westergaard)应力函数求解应力分量的过程，最后得到各应力分量的表达式为：(3)根据(3)式可以由胡克定律得到应变分量，然后再根据应变与位移之间的关系式可以得到位移分量的表达式。
由上所述可以看出，只要知道了ZI函数的表达式，应力分量、应变分量和位移分量都可以求出来了。
因此，用复变函数法求解应力强度因子的思想就是，针对不用的裂纹情况构造出满足相应边界条件的复变解析函数，并由此复变函数求得裂纹尖端的应力应变场，最后由应力强度因子的表达式求得K值。
复变函数法在弹性平面问题的应用中比较方便，但对于弹塑性或三维空间问题，该方法就不再实用，其主要原因是构造满足边界条件的复变函数很困难。
文献[3]和文献[4]中给出了利用复变函数法求解正交各向异性含内部裂纹板、带单裂纹无限平板中作用有集中力和力矩以及带单裂纹无限弹性体作用有纵向集中力等情况下应力强度因子的计算方法。
1.2积分变换法弹性理论已经证明，常体力下弹性平面问题存在应力函数，称为Airy应力函数，为双调和函数[5]。
对于平面问题，可用Laplace Transform和Fourier Transform来解答应力场强度因子。
鉴于求解方程为4Ψ=0（Ψ为Airy应力函数）很困难，故可考虑Fourier Transform来解断裂力学问题。
首先对Ψ取Fourier变换，记为，即：(4)于是，应满足方程：(5)用降阶法可以求出方程(5)的通解为：(6)由(6)式结果来求解应力分量如下：(7)其相应的位移场为：(8)经过反演分析即可得出Ψ以及σ，μ等全部场量。
如用Fourier变换仍求解椭圆形裂缝问题得KI，则由：(9)一旦两个材料参数m、s确定，则KⅠ、KⅡ的数值可以根据下列公式十分容易地求得：(10)在式(10)中：σ为材料的抗压强度；l为裂纹长度。
2边界配置法由弹性力学可知，二维弹性力学问题的应力函数为双调和函数，即满足微分方程式：。
当裂纹表面满足边界条件，，时，有Williams无穷级数的应力函数[6,7]：(11)其中：(12)在(12)式中：为偶函数部分，相当于Ⅰ型裂纹里对称加载；为奇函数部分，相当于Ⅱ型裂纹里反对称加载。
应用复应力强度因子公式：(13)注意到(12)式中的Cj=-Cj/2=-Cn以及Dj=-Dj/2=-Dn，因此有，Cj/2 -C1和Dj/2 -D1故有：(14)即：(15)因此，要计算应力强度因子KⅠ、KⅡ，则先要求解(12)式。
为此，需要由边界条件建立含有Ci、Di的线性方程组，求解此方程组以确定系数C1、D1。
由弹性力学可知，弹性力学问题的解必须满足平衡条件和边界条件。
这里，在边界上取2m个配置点，对于每一个配置点i可以提出两个边界条件：(16)在(16)式中：，分别为含裂纹体的应力函数及其法向偏导数；，分别为非裂纹体的应力函数及其法向偏导数。
因此，对于2m个配置点便可以建立4m个类似的边界条件，由4m个方程式组成线性方程组。
解此线性方程组即可求得4m个未知量的值。
采用边界配置法就是将(11)式或(12)式截断，然后由边界上的2m个配置点处4m个边界条件去确定其中的4m个待定常数Cj、Dj，把问题归结于求解4m个线性方程组，用计算机及程序计算很方便。
3有限元法随着有限元法的发展，有限元在断裂力学中的应用越来越普及。
近些年，计算机技术得到迅猛发展，很多大型通用软件，如ANSYS、ADINA以及MSC/Nastran等都具有计算各算各种断裂参数的功能，因此利用有限元计算断裂力学中的应力强度因子也得到广泛的应用。
构件中的裂纹可以抽象为二维或三维模型，如图1所示。
求解断裂力学问题的步骤包括先进行弹性或弹塑性静力分析，然后用特殊的后处理命令或宏命令计算所需的断裂参数。
在有限元中主要采用1/4法计算应力强度因子。
根据县弹性断裂理论，裂纹尖端的位移场可以表示为[7]：(17)在(17)式中：u、v和w为对应于裂纹尖端局部坐标的位移；r和θ是计算点在局部柱坐标的坐标值；G是剪切模量,v是泊松比；对于平面应力，而对于平面应变。
、和分别为Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型裂纹的应力强度因子；0(r)是高阶无穷小量。
根据公式(17),如果裂纹表面(θ=±180°)某一点垂直于裂纹平面的位移已知，可以导出对称裂纹的应力强度因子计算公式：图1裂纹的二维和三维模型(18)对于非对称裂纹体,其应力强度因子的计算公式为：(19)在(19)式中：Δu、Δv和Δw分别为两个裂纹面之间的相对位移。
由于裂纹尖端的应力和应变是奇异的,因此在进行有限单元建模或单元网格划分时,必须先在裂纹尖端位置定义应变奇异点,而且围绕裂纹定点的有限单元是二项式的奇异单元,它是把单元边上的中间点放到1/4边处。
图2所示为ANSYS 的2-D和3-D模型中所采用的奇异单元。
图2裂纹尖端的奇异单元应用有限元方法计算裂纹体的应力强度因子,关键是要建立一个能够反映裂纹体特征的共线(共面)的裂纹几何模型,并确定裂纹尖端的局部坐标。
在划分裂纹尖端附近的几何体时,必须选用具有奇异特征的单元。
在完成静力学计算后,才能计算裂纹尖端的应力强度因子。
文献[8]和文献[9]中的计算结果表明，应用有限元分析软件计算出的应力强度因子与断裂力学求得的应力强度因子非常相近，因此，利用有限元计算材料的断裂强度因子是可行的。
4光弹性法由于光弹性法可以确定光弹性模型在裂纹尖端附近的应力变化规律，因此提供了用实验方法确定裂纹尖端应力强度因子K的基础[11]。
利用透光材料制成含裂纹的试件，用激光光源照射，由于实时全息干涉原理，在照片上可以看到一组以裂纹尖端为中心的明暗交替的条纹。
可以证明：条纹中光的强度和试件的主应力、间的关系如下：(20)在(20)式中：是材料的应力—光学常数；是光的波长；是光波振幅；是光的强度。
因为出现暗条纹的条件是，即：也就是：(21)引进常量m，它与条纹序数N的关系为：，因此：(22)对于张开型裂纹，在裂纹延长线上( )，由裂纹尖端应力分量的表达式可看出xy=0，因为在裂纹上的剪应力为0，所以σx和σy就是主应力σ1和σ2。
因此，由裂纹尖端应力分量的表达式可得：(23)由于(23)式是在双向应力σ作用下导出来的，为了得到单项拉伸下的应力场公式，可在x方向叠加一套应力，，，但这并不改变裂纹尖端的奇异性和K Ⅰ值，这套应力在裂纹内产生一个均匀的应力场，故x方向的合力为：则单向拉伸时x轴上的应力为：(24)(25)将(25)式代入到(22)之中得：(26)在远离裂纹处，只有在y方向的均匀拉应力，这时σ1+σ2=σy=σ,该处的m 用表示，代入到(22)式得：(27)联立(26)式和(27)式得：(28)由于一般KⅠ的表达式为：(29)将(29)式代入(28)式得：(30)由可得：(31)联立(28)式和(31)式，得：(32)其中，N为裂纹线上距裂纹顶端为r的干涉条纹序数，N*为远离裂纹其应力等于均匀拉应力处的条纹序数。
按(32)式可以为纵坐标，为横坐标的直角坐标系中将实验结果画出，它是一条直线，其斜率就是Y。