2.8中国邮路

V2
2 5
4
V7
3 3
2 6 1 2
V2
2 4 5
4 3
V7
3
V1
4 3
V3 V4
4
V6 V1
4
V3
3 6
2
1
V6
V5 4 V2与V4度数为3，首先使之为偶数。重复部 分长=6，只考虑最小的回路V1,V2,V3,V4。该 回路长=14，未超一半。
V5
V4
V2
2 2 5 4 4 3
4 3
V7
3 3
V2
4
V7
3
V2
2 3 2 2 5 5 3 3 3 2 2 V1 V3 V6 2 V1 V3 V6 4 3 4 3 4 3 1 1 6 1 6 V4 4 V5 V4 4 V5
4 4
V7
将所有的单数的邻接点直接连起来，以最少 代价使每个点变成偶数。
有向图的中国邮路 对于有向图来说,中国邮路可能无解。 其原因是G中可能含有出度(正度)或 入度(负度)为0的结点，可能出去后 回不来，断头路。 如果各结点的正、负度相等，则G 中存在有向Euler回路。它经过每一 次也仅一次，因此任一条Euler回路 都是中国邮路。
各点入度-出度标示如图，显然除了V1外，其 他各点的入度出度，不存在经过每边一次的有 向Eluer回路，如何尽可能少走重复路? 利润=入-出
V2
2
V5
0
V1
8
5
2 7 5 -1 V3 3 1 2
0
V4
-1
有向图的中国邮路 如果图G不对称,即存在一些结点Vi,其出 度d+(Vi) ≠D－(Vi),不妨设出度<入度,由于 邮递员要经过进入Vi的每一条边(每边至 少去一次),不可能集在Vi不走，因此他一 定要重复走以Vi为始点的某一条出边. 使结点Vi的出度提高,使之与入度相等. 设fij表示边(Vi,Vj)的重复次数,Wij表示该 边的权,那么中国邮路要选择重复一些边 后存在有向Euler回路,并且使 ∑Wijfij最小 (i,j)E(G).
有向图的中国邮路
d－(vi)+∑fji = d+(vi)+∑fij ∑(fij－fji )= d－(vi)－d+(vi)=d'(i). 如果d'(i)>0,表示进入Vi的边>出去的边，要 使之平衡，须重复d’(i)条出边 ,供应点 如果d'(i)<0,表示进入V i的边<出去的边， 要使之平衡，须重复d’(i)条入边。消费点 如果这些重复边的总长最小,它即是最佳邮 路.
如果G中度数为单数的点多于2个, 如何确定最佳邮路呢? 定理:L是无向连通图G最佳邮路的充 要条件: 1.G中每条边最多重复一次. 2.在G的任意一个回路上,重复边的长 度和不超过该回路长度一半.
基于上述定理的构造方法如下: 找出度数为单数的结点,按条件1构造 邮路,添加重复边后使各点的都是偶数. 再根据条件2进行判断,如果发现某 个回路不满足条件,则令该回路中原先 重复边的不重复,而不重复边的变成重 复,即求异或运算,直到完全满足为止. 边的重复性取反
有向图的中国邮路基本思想
1.计算各结点的正/负度,求利润d'(i)=d－－d+ 2.增加超源点Vs,对d’(i)>0的结点Vi,加入 d’(i)条有向边(Vs,Vi),权均为0;增超汇点Vt, 对d’(i)<0的结点Vj加入d’(i)条有向边 (Vj,Vt),权均为0,得到G’（入多者再多入） 3.在G’中求d(Vs)条过以Vs,Vt为端点的形如 (Vs,Vi),(Vj,Vt)每边一次且仅一次的总和最 小的Pst道路.记下G中各边重复的次数. 4.计入各边的重复次数,此时G中存在有向 Euler回路,其中一条即为解。
各点入度-出度标示如图，显然除了V1外，其 他各点的入度出度，不存在经过每边一次的有 向Eluer回路，如何在少重复的前提下走过每边
V2
2
V5
0
V1
8
5
2 7 5 -1 V3 3 1 2
0
V4
-1
有向图的中国邮路
对图G增设两个结点:超发点Vs,超收点Vt. 对每一个供应点(入边过量)Vi增加d(i)形如 (Vs,Vi)的入边, wsi=0。(入边本来已多，再多 几条). 对于每消耗点Vj(出边过量),增加d(j)条形 如(Vj,Vt)的出边，wjt=0。(出边本已够多了, 再多几条) 得到多重图G’,这样中国邮路问题变成求 G’中经过形如(Vs,Vi),(Vj,Vt)每边一次，总 长最短的k(=Vs的度数)条P(st)道路。？
V2
4 3
V7
V1
V3
6 6
2 2 5 3 3 2 2 V6 V1 2 V6 V3 4 4 3 1 1 6
V4 4
V5
V4 4
V5
V3,V5,V6,V7是单数，重复边如图，对于V3V5重复边，在V3-V5-V6回路上，超过一半，故 换成右图，但V2-V1-V4-V3-V7-V2重复为9，超 一半，故转换图4。
2.8中国邮路
概念
• 经过每一条街道最后返邮局，有可能重复经过某个 街道，希望在此前提下寻找一条最短的投递线路。 称为“中国邮路”问题。 • 在一个正权连通图中，求从某点出发，经过每边至 少一次，最后返回起点的最短回路。 • Euler回路：经过每边一次也仅一次又回到起点的 路。 • Hamilton回路：经过每个结点一次也仅一次回到起 点的回路。 • TSP：经过每个结点一次也仅一次的最短H回路。 • 关键路径：从起点到终点一条最长路径。
各点利润标示如图,Vs出发到入度超过出度的 结点,使之入度更多,接收点发出边到超收点,使 之更能接收,为什么? 盈者更盈、亏者更亏 Vs 0
0 V2 2 7 5 -1 V3 3 1 2
2
V5
0
V1
8
5
0
Vt
V4
-1
Vs-V2-V4-Vt(起止于超级,经过不平衡点的路) 5 Vs-V2-V4-V3-Vt,路长6,这些路之和=11,这些路 d(Vs)条路,(V2,V4)重复2次,(V4,V3)重复1次. Vs 0 V2 0 V2 2
0
V1
8Biblioteka Baidu
5
2 7 5 -1 V3 3 1 2
V5 0 V1 Vt
V3
V5
V4
-1
V4
V2 V3 V5
V1
V4 由于在d(Vs)条路中,(V2,V4)重复了2次,(V4,V3) 重复了1次,现可以构成中国邮路 V1-V2-V4-V3-V2-V4-V3-V5-V2-V4-V5-V1,即为 一条中国邮路.难在寻找D(Vs)条总和最小的起止 超级点的路,最小费用问题来解决.