数列极限的基本性质

第二章
三、 收敛数列的性质
1. 唯一性 2. 有界性 3. 保号性、保序性 4. 收敛数列与其子列的关系
三、 收敛数列的性质.
1.Baidu Nhomakorabea唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性) 若极限 lim xn 存在，
n
则极限唯一. 即若 lim xn a
n
且 lim xn b
n
则必有
ab 从而 使当 n > N1 时, xn , 2 同理, 因 lim xn b
n
故 N2 N+, 使当 n > N2 时, 有
ab xn 2 ab 从而 使当 n > N2 时, 有 xn 2 取 N max N1 , N 2 , 则当 n > N 时, ab ab 既有xn ，又有xn 矛盾！故假设不真 ! 2 2
2. 有界性
定义 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切正整 数 n , 恒有 x n M 成立, 则称数列 x n 有界； 否则, 称为{ x n }无界.
n1 例如: 数列 xn （ 1 ）
有界
无界
数列 xn 2
[ M , M ] 上.
n
数 轴 上 对 应 于 有 界 数 列 的 点 xn 都 落 在 闭 区 间
a,
a
(2) 用反证法证明.
注 由 xn 0 ( n N 0 )，且 lim xn a
n
a 0.
如： x 1 0, 但 lim x lim 1 0. n n n n n n
4. 收敛数列与其子数列的关系 (1) 子数列的概念
xn , xn , ..., xn , ...
a b.
证法1 ( 用反证法) 假设
n n
lim xn a 及 lim xn b 且 a b.
n
因 lim xn a 使当 n > N1 时, 即当 n > N1 时,
ba 取 , N1 N+, 2
ab xn , 2 ab 从而 使当 n > N1 时, xn , 2
k
发散 !
lim x2 k 1 lim x2 k 1 1
1 2 k
其中 1 n1 n2 ... nk ...
则 { xnk }：称为数列 { xn }的一个子数列(或子列)。
1 例如, 从数列 { } 中抽出所有的偶数项 n
1 组成的数列： 2k
是其子数列. 它的第k 项是 1 xn x2 k ( k 1, 2, 3， ) k 2k
2
当 n > N1 时,
ab xn 2
同理, 因 lim yn b , 故存在 N2 ,
n
使当 n > N2 时, 有 从而
取 N max N 1 , N 2 , 则当 n > N 时, 便有
ba ab yn b 2 2
ab xn yn , 2 与已知矛盾, 于是定理得证.
(2) 收敛数列与其子数列的关系 结论：（1)：
若数列 lim xn a,
n
则{xn }的任意子数列
{ xn } 也收敛，且 lim xn a .
k
k
k
（2)：
数列 lim xn a,
n
若数列{x2 k } {x2 k 1} 都收敛于a
注 1° 某{ x n }收敛 k

xn M ( n 1 , 2 , ) .
即收敛数列必有界.
注
有界性是数列收敛的必要条件，
但不是充分条件. 关系：
{ xn } 收敛
{ xn } 有界
例如, 数列 {( 1 )n 1 } 虽有界，但不收敛 . 推论 无界数列必发散.
3. 保号性、保序性 (1) 若
时, 有
(2) 若 N N ， 使当n > N 时，恒有
但 { x n } 发散.
{ xn } 收敛
k
n1 例如， 数列 xn （ 1 ） ，虽然 lim x2 k 1
2° 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ， 则原数列一定发散 . 定理 例如，
k k
n
lim xn a
k
lim x2 k lim x2 k 1 a .
推论： (收敛数列的保号性)
且 a 0, (<) 则 N N ， 使当n > N 时， lim xn a , (1) 若 n
恒有
x n 0.
(<)
(2) 若 xn 0 ( n N 0 ), (<)
且
n
lim xn a, 则 a 0.
( )
证 (1) 对 a > 0 , 取
定理2.2 (收敛数列的有界性)
收敛的数列必定有界. 即若
n
lim xn a,
则常数 M 0,
使
xn M (n =1,2,…).
证 设 取 1 , 则
N , 当 n N 时, 有
xn a 1 ,
从而有
xn a a 1 a
取 则有
M max x1 , x2 , , x N , 1 a
x n yn
且
n
lim xn a ,
n
lim yn b，则 a b .
证（1）：a b. 取 ab , 2 因 lim xn a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
n
从而
ba ab xn a 2 2
当 n > N1 时, x a b n