数列与不等式综合习题
高一数学不等式解题技巧精析及针对练习题(含答案)
1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
不等式及其性质练习题
不等式及其性质练习题一、填空题1. 若 a > b，则 a + 3 与 b 2 的大小关系是______。
2. 若 x 5 < 0，则 x 的取值范围是______。
3. 若 |x| > 5，则 x 的取值范围是______。
4. 若 a < b < 0，则a² 与b² 的大小关系是______。
5. 若 |x 1| = |x + 3|，则 x 的值为______。
二、选择题1. 下列不等式中，正确的是（）A. a² > b²B. a + b > aC. (a + b)²= a² + b²D. |a| = a2. 若 a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a b > 0B. a < bC. a² < b²D. a/b < 13. 若x² 5x + 6 < 0，则 x 的取值范围是（）A. x < 2 或 x > 3B. 2 < x < 3C. x < 2 且 x > 3D. x ≠ 2 且x ≠ 3三、解答题1. 已知 a > b，证明：a² > ab。
2. 设 x 为实数，证明：若x² 3x + 2 > 0，则 x < 1 或 x > 2。
3. 已知 |x 1| + |x + 2| = 5，求 x 的值。
4. 若 a、b、c 为实数，且 a < b < c，证明：a + c < 2b。
5. 设 a、b 为正数，证明：若 a/b < 1/2，则 2a < b。
四、应用题1. 某商店举行优惠活动，满 100 元减 20 元，满 200 元减 50 元，满 300 元减 80 元。
小明购物满 300 元，实际支付了 220 元，求小明原价购物金额。
数列与不等式复习题
数列与不等式复习题（一）1．数列 ,8,5,2,1-的一个通项公式为 （ ） A ．43-=n a n B ．43+-=n a n C ．()43)1(--=n a nn D ．()43)1(1--=-n a n n2、在数列{}n a 中，122,211=-=+n n a a a ，则101a 的值为（ ）A ．49B ．50C ．51D ．523、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为（ ） A ．15. B ．17. C ．19. D ．21 4．不等式01312>+-x x 的解集是 （ ）A ．}2131|{>-<x x x 或B ．}2131|{<<-x xC ．}21|{>x xD ．}31|{->x x5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）A.5B.4C. 3D. 2 6．数列 ,1614,813,412,211前n 项的和为（ ） A ．2212nn n ++B ．12212+++-nn nC ．2212nn n ++-D ． 22121nn n -+-+7．f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≤0B ．a <-4C ．-<<40aD ．-<≤40a8．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ）(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n -9．已知在等比数列{}n a 中，各项均为正数，且,7,13211=++=a a a a 则数列{}n a 的通项公式是_________=n a .10．若方程x x a a 22220-+-=lg()有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围是__________________．11．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若5,10105-==S S ,则公差为 （用数字作答）． 12.已知实数a ，b ，c 成等差数列，和为15，且a ＋1，b ＋1，c ＋4成等比数列，求a ，b ，c ．13．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15，求S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式.14. 数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求 （I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式； （II ）2462n a a a a ++++ 的值.数列与不等式复习题（一）答案9．12n - 10．11,0,122⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．-1 12．解：由题意，得215 (1)2(2)(1)(4)(1)(3)a b c a c b a c b ⎧++=⎪+=⎨⎪++=+⎩………………由(1)(2)两式，解得5b =将10c a =-代入(3),整理得213220a a -+=，解得 2a =或11a =故2a =,5,8b c ==或11,5,1a b c ===- 经验算，上述两组数符合题意。
高中数学试卷 代数——数列练习题
高中数学试卷代数——数列练习题一、单选题1．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2(a n+1)，则a2的值为（）A．-4B．-2C．-6D．-82．已知等差数列{a n}中首项a1=2，公差d=1，则a5=（）A．5B．6C．7D．83．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a5+a8=15，则S9等于（）A．60B．45C．36D．184．在等差数列{a n}中，如果a1+a2=25，a3+a4=45，则a1=（）A．5B．7C．9D．105．在等差数列{a n}中，a1=3，a3=4则a5=（）A．3B．4C．5D．－16．各项均为正数的等比数列{a n}中，a2a4=4，则a1a5+a3的值为（）A．5B．3C．6D．87．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难次日脚痛减一半六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第6天走了（）A．48里B．24里C．12里D．6里8．若等差数列a n满足a3+a5+a7+a9+a11=80，则a8﹣12a9=（）A．8B．9C．10D．119．已知数列{a n}的前n项和公式为S n=n2﹣6n+3，则a7+a8+a9+a10等于（）A．7B．13C．33D．4010．等差数列{a n} 中，a5＞0，a4+a7＜0，则{a n} 的前n项和S n中最大的项为（）A．S4B．S5C．S6D．S711．已知甲乙两车间的月产值在2011年元月份相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2011年7月份发现两车间的月产值又相同，比较甲乙两个车间2011年4月月产值的大小，则有（）A．甲大于乙B．甲等于乙C．甲小于乙D．不确定12．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=18，a2a3=32，若{a n}的前n项和S n满足S k+10−S k=216−26，则正整数k等于（）A．5B．6C．7D．813．数列{a n}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（3n﹣1）2B．12(9n−1)C．9n﹣1D．14(3n−1)14．埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国.古埃及人的分数运算特别奇葩而且复杂，采用的思路可以说是世界上独一无二的.古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数叫做埃及分数，或者叫单分子分数.埃及分数求和是一个古老而饶有兴趣的数学问题，下面的几个埃及分数求和不正确的是（）A．12+14+18+116+132+164=6364B．122−1+142−1+162−1+⋯+1502−1=5051C．12+14+16=1112D．11+2+11+2+3+⋯+11+2+3+⋯+50=495115．等差数列a1,a2,⋅⋅⋅,a n(n≥3,n∈N∗)，满足|a1|+|a2|+⋅⋅⋅+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+⋅⋅⋅+|a n+1|=|a1−2|+|a2−2|+⋅⋅⋅+|a n−2|=2019，则（）A．n的最大值为50B．n的最小值为50C．n的最大值为51D．n的最小值为5116．设正项等比数列{a n}的前n项乘积为T n，已知a5=1，T3=2T7，则T n的（）A．最大值为32B．最大值为1024C．最小值为132D．最小值为1102417．数列{a n}的首项a1=−23，前n项和为S n.已知S n+1S n+2=a n(n≥2)，则使S n≥m恒成立的最大实数m=（）A．−1B．−89C．−98D．−79二、填空题18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=S n，n∈N∗，则S n=. 19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5+a7+a9=15，则S13=. 20．如果数列{a n}的前n项和S n=2a n−1，则此数列的通项公式a n=．21．设数列{a n}满足a1=1，a2=3且a n+2−2a n+1+a n=2，则a4−a3=，数列{a n}的通项a n=．22．已知等差数列{a n}的前三项为a−1,a+1,2a+3，则此数列的通项公式为23．记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a3+a4=24，则S6=.24．实数2和8的等比中项是．25．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+⋅⋅⋅+log3a10=；26．已知数列{a n}为等比数列，S n为其前n项和，a2=2，S8=0，则S99=．27．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是．28．若f(x)+f(1−x)=2,a n=f(0)+f(1n)+f(2n)+...+f(n−1n)+f(1)( n∈N∗)，则数列{a n}的通项公式是.29．等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q等于.30．在数列的每相邻两项之间插入此两项的平均数，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1、2进行“扩展”，第一次得到数列1、32、2；第二次得到数列1、54、32、74、2；第n次得到数列1、x1、x2、⋯、2，则第n次得到的数列项数为；记第n次得到的数列的所有项和为a n=1+x1+x2+⋅⋅⋅+2，则数列{a n}的前n项和S n=．31．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于20尺，该女子所需的天数至少为．32．已知等差数列{a n}，对任意n∈N+都有a1C n0+a2C n1+a3C n2+⋯+a n+1C n n=n⋅2n+1成立，则数列{1a n+1a n+2}的前n项和T n=．33．设[x] 为不超过x的最大整数，a n为[x[x]](x∈[0,n))可能取到所有值的个数，S n是数列{1a n+2n}前n项的和，则下列结论正确的是.（1）a3=4（2）190是数列{a n}中的项（3）S10=56（4）当n=7时，a n+21n取最小值34．设 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和，若 S 5S 10=13 ，则 S 5S 20+S 10=.三、解答题35．已知等差数列 {a n } 的前n 项的和为 S n ，且 a 3=3 ， S 10=55 .（1）求数列 {a n } 的通项公式；（2）设 b n =a n2n ，求数列 {b n } 的前n 项和 T n .36．已知等差数列 {a n } 中， S n 是数列 {a n } 的前 n 项和，且 a 2=5，S 5=35.（1）求数列 {a n } 的通项公式；（2）设数列 {1S n −n } 的前 n 项和为 T n ，求 T n .37．已知等差数列 {a n } 中， a 3=6 ， a 5+a 8=26 ．（∈）求数列 {a n } 的通项公式；（∈）设 b n =2a n +n ，求数列 (x 0,1) 的前 n 项和 S n ．38．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1+a 6=6，a 4=2.（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求S n 的最大值及相应的n 的值.39．已知数列 {a n } 为等差数列，且公差不为0， a 3=5 ， a 2 是 a 1 与 a 5 的等比中项．（1）求数列 {a n } 的通项公式，（2）记 b n =1a 2n ⋅a2n+2，求数列 {b n } 的前 n 项之和 T n ． 40．已知等差数列 {a n } 中， a 2=3 ， a 4=7 ，等比数列 {b n } 满足 b 1=a 1 ， b 4=a 14 .（1）求数列 {a n } 通项公式 a n ； （2）求数列 {b n } 的前n 项和 S n .41．各项均为正数的数列 {a n } 满足 S n =a n 2+2a n +14(n ∈N ∗) ，其中 S n 为 {a n } 的前 n 项和.（1）求 a 1,a 2 的值； （2）求数列 {a n } 的通项公式.42．已知数列{a n }满足：a 1=12，对∀n ∈N +，都有a n+1=a n 2+n2+1．（1）设b n =a n −n ，n ∈N +，求证：数列{b n }是等比数列； （2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n ．43．已知数列 {a n } 的前n 项和为 S n ，且 a 1=1 ， S n =2a n+1 ．（1）求数列 {a n } 的通项公式；（2）当b n=log32(3a n+1)时，求数列{1b n b n+1}的前n项和T n.44．在等差数列{a n}中，a1=1，a3=﹣3（∈）求数列{a n}的通项公式．（∈）若数列{a n}的前k项和S k=﹣35，求k的值．45．已知数列{a n}中，a1=2，其前n项和S n满足：S n=2a n+n−3．（∈）求数列{a n}的通项公式；（∈）令b n=1a n(a n−1)，数列{b n}的前n项和为T n，证明：对于任意的n∈N∗，都有T n<56．46．记S n为数列{a n}的前n项和，T n为数列{S n}的前n项和，已知S n+T n=2．（1）求证：数列{S n}是等比数列；（2）求数列{na n}的前n项和A n．47．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（∈）求{a n}的通项公式；（∈）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和S n．48．数列{a n}中，a3=1,S n=a n+1(n=1,2,3…).（1）求a1,a2；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）设b n=log2S n，存在数列{c n}使得c n⋅b n+3⋅b n+4=1，试求数列{c n}的前n项和.49．已知数列{a n}满足(1−1a1)(1−1a2)⋯(1−1a n)=1a n(n∈N∗)，Sn是数列{a n}的前n项和.（∈）求数列{a n}的通项公式；（∈）若a p，30，S q成等差数列，a p，18，S q成等比数列，求正整数p，q的值；（∈）是否存在k∈N∗，使得√a k a k+1+16为数列{a n}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.50．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2且S n=2S n−1+2(n≥2)．（1）求{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，在数列{d n}中是否存在3项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由，答案解析部分1．【答案】A【知识点】数列递推式【解析】【解答】依题意，数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，当 n =1 时， a 1=S 1=2(a 1+1) ，解得 a 1=−2 ， 当 n =2 时， S 2=2(a 2+2)=a 1+a 2 ，解得 a 2=−4 ， 故答案为：A.【分析】根据递推关系即可依次求得 a 1 和 a 2 的值.2．【答案】B【知识点】等差数列的通项公式【解析】【解答】解：∵等差数列{a n }中首项a 1=2，公差d=1，∴a 5=2+4×1=6． 故选：B ．【分析】利用等差数列的通项公式能求出该数列的第5项．3．【答案】B【知识点】等差数列的前n 项和；等差数列的性质 【解析】【解答】解： a 2+a 8=2a 5又 a 2+a 5+a 8=15 ， 3a 5=15 ， a 5=5S 9=9×(a 1+a 9)2=9×2×a 52=9×a 5=45故答案为：B【分析】由 a 2+a 5+a 8=15 求 a 5=5 ，再用 S 9=9a 5 即可4．【答案】D【知识点】等差数列的通项公式【解析】【解答】解：设数列的首项为 a 1 ，公差为 d ，由题意结合等差数列的通项公式可得：{a 1+(a 1+d)=25(a 1+2d)+(a 1+3d)=45 ， 解得： {a 1=10d =5 . 故答案为：D .【分析】先设等差数列首项为a 1，公差为d ，通过等差数列的通项公式a n =a 1+(n −1)d ，即可得出答案。
导数与数列型不等式的整合
中学数学研究
分析：题设条件是一个数列递推武，直接论 证结论比较困难，若能先求出数列通项，则可转 化为证明关于竹的不等式．
证明：由递推式得３¨‘口。＋１＝３‰。＋３净 ３“＋１口。＋ｌ一３％。＝３，．‘．｛３％。｝是以３口ｌ为首 项，３为公差的等差数列’．．。３‰。＝３盘ｌ＋（，２一
“、“
１７
万与一丢（愚≥２）．当，ｚ＝１时，显然成立；当竹
≥２时，毒口ｔ≤４＋［（１一丢）十（丢一号）＋…＋
（击一昙）］－５一吾＜５．
②＾瓦＝蕊了忌而＝南一 南，壹厄磊＝（詈一号）＋（号一号）＋
…＋（寿与一看ｈ）＝２一磊ｈ．
综上，原不等式得证． 例３ 过Ｐ（１，０）作曲线Ｃ：ｙ＝≯（工∈ （０，＋∞），志∈Ｎ’，志＞１）的切线，切点为Ｑ１， 设Ｑ１在工轴上的投影为Ｐ，，又过Ｐ，作曲线
１）．两边取对数并利用巴知不等式碍ｌｎ口。十ｔ≤
ｌｎ（１＋杰＋去ｊ＋ｌｎ％由例５（１）知ｌｎ（１＋
ｚ）≤ｚ，所以ｌｎ（１＋杰＋刍）≤杰＋
理‘十聍
Ｚ“
咒‘＋，２
去．故１ｎ口。＋－一Ｉｎｏ≤ｉ矗≮可＋毒（咒≥１）．
１ｎ口Ｈ＝ｌｎ口ｌ＋（１ｎｎ２一ｌｎｎｌ）＋（１ｎ口３一ｌｎ口２）＋…
＋（１ｎ口。一ｌｎ％，）≤南＋焘＋…＋ 毒‰＋丢＋壶＋．．．＋刍＝·一号＋号一
பைடு நூலகம்
＋ｃ；·２３＋…＋２”＞４ｃ：』２咒（，ｚ一１），．·．焉＜ 果．
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导数与数列型不等式的整合
四川省苍溪中学 （６２８４００）林明成姚智铭
数列型不等式在研究数列的单调性、有界 性、极限的存在性、甚至求极限中，都有特殊的 作用．数列型不等式的证明问题，既需要证明不 等式的基本思路和方法，又要结合数列本身的 结构和特点，有着较强的技巧性，是传统的综合 性问题．将导数内容与传统的综合性问题—— 数列型不等式有机地结合在一起，设计综合题， 充当把关者的角色，体现了导数的工具性作用， 凸显‘了知识的纵横联系，加强了能力的考察力 度，符合新课程高考的方向．一些构思精巧、新 颖别致、极富思考性和挑战性的导数与数列型 不等式整合的命题不断涌现，并已成为近几年 高考的一个新亮点，引人注目，令人回味．本文 通过几例说明“导数与数列型不等式整合”的题 型特征及其解题方法．
数列与不等式结合典型题.doc
数列与不等式结合典型题1.已知数列}{n a 中，),3,2,1(0 =>n a n ，其前n 项和为n S ，满足*,)1(N n a p S p n n ∈-=-，10≠>p p 且. 数列}{n b 满足.log 1n p n a b -=（Ⅰ）求数列}{n a 、}{n b 的通项n n b a 与；（Ⅱ）若n n n n T a b c p ,,21==记为数列}{n c 的前n 项和，求证：.40<<n T2．已知定义在（－1，1）上的函数)1,1(,,1)21()(-∈=y x f x f 且对满足时，有).1()()(xyy x f y f x f --=- （I ）判断)1,1()(-在x f 的奇偶性，并证明之； （II ）令)}({,12,21211n nn n x f x x x x 求数列+==+的通项公式； （III ）设T n 为数列})(1{n x f 的前n 项和，问是否存在正整数m ，使得对任意的34,-<∈*m T N n n 有成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，则说明理由.3.设函数)0()(22>-+=a a x x x f 1)求)()(1x f x f -的反函数及定义域;2)若数列}{,),(,3}{111n n n n n n n b a a a a b a f a a a a 求设满足+-===-+的通项公式,3)S n 表示{b n }的前n 项和，试比较S n 与87的大小. 4.已知数列.)11(2,2:}{211n n n a na a a +==+满足（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n C Bn Anb 2)(2⋅++=，试推断是否存在常数A ，B ，C ，使对一切*∈N n 都有n n n b b a -=+1成立？说明你的理由；（3）求证：.2)22(2221+⋅+-≥+++n n n n a a a5. 设函数f （x ）=22-ax x （a ∈N*）, 又存在非零自然数m, 使得f （m ）= m , f （– m ）< –m1成立. （1） 求函数f （x ）的表达式;（2） 设{a n }是各项非零的数列, 若)...(41)1(21n n a a a a f +++=对任意n ∈N*成立, 求数 列{a n }的一个通项公式;（3） 在（2）的条件下, 数列{a n }是否惟一确定? 请给出判断, 并予以证明6. 已知函数)3(1)(b ax f x -=的图象过点A （1，2）和B （2，5）. （1）求函数)(x f 的反函数)(1x f-的解析式； （2）记*)(,3)(1N n a n f n ∈=-，试推断是否存在正数k ，使得 12)11()11)(11(21+≥+++n k a a a n对一切*N n ∈均成立？若存在，求出k 的 最大值；若不存在，说明理由.答案1．解：（I ）1=n 时，.10.0)1()1(1111=⇒>=-⇒-=-a p a p a p a p 由 1分当,)1(2n n a p S p n -=-≥ ①,)1(11++-=-n n a p S p ② 由②－①，有,)1(11++-=-n n n a a a p 2分从而，.111pa a a pa n n n n =⇒=++ ∴数列}{n a 是以1为首项，p1为公比的等比数列. ∴1)1(-=n n p a .∴.)1(1)1(log 1log 11n n p a b n p n p n =--=-=-=-（II ）当21=p 时，.21-==n n n n n a b c 1分 ∵.0.0>∴>n n T c12102232221-++++=n n n T ， ③n n n n n T 221222121121+-+++=∴- . ④ 由③－④，得n n n n T 221212121211210-++++=- .22222122211)21(11n n n n nn n n +-=--=---=-.2241-+-=∴n n n T 1分 .40.4,0221<<∴<∴>+∴-n n n T T n 1分 2．解：（I ）令0)0(,0===f y x 得。
数列与不等式30大题(有答案)
S1 S2
Sn
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10. 在等比数列 an 和等差数列 bn 中，a1 = b1 > 0，a3 = b3 > 0，a1 ≠ a3，试比较 a5 和 b5 的大 小．
11. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1 = 1，an+1 = 1 + Sn n ∈ ∗ ．
(1) 求数列 an 的通项公式；
∗ 成立，
18. 已知常数 p 满足 0 < p < 1，数列 xn 满足 x1 = p + 1p，xn+1 = xn2 − 2．
(1) 求 x2，x3，x4；
(2) 猜想 xn 的通项公式(不用给出证明)； (3) 求证：xn+1 > xn 对 n ∈ ∗ 成立．
19. 设 b > 0 ，数列
an
大值．
7. 已知 an 是正整数组成的数列，a1 = 1 ,且点( an,an+1 )( n ∈ ∗ )在函数 y = x2 + 1 的图象上；
(1) 求数列 an 的通项公式；
(2) 若数列 bn 满足 b1 = 1，bn+1 = bn + 2an ,求证：bn ⋅ bn+2 < bn2+1
8. x,y ∈
∈
+ 都成立
的最大正整数 k 的值．
6. 已知数列 an 是等比数列，首项 a1 = 1，公比 q > 0，其前 n 项和为 Sn，且 S1 + a1，S3 + a3，
S2 + a2 成等差数列．
(1) 求数列 an 的通项公式；
(2) 若数列
bn
满足 an+1 =
高中不等式证明练习题及参考答案
高中不等式证明练习题及参考答案高中不等式证明练习题及参考答案不等式证明是可以作文练习题经常出现的，这类的练习题是的呢?下面就是店铺给大家整理的不等式证明练习题内容，希望大家喜欢。
不等式证明练习题解答(1/a+2/b+4/c)*1=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)展开，得=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b基本不等式，得>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a + 2/b + 4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2=11+6√2≥18楼上的，用基本不等式要考虑等号时候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z则原不等式等价于：x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0含有绝对值的不等式练习。
1.实数x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提条件是：x7x+7, -1-7x-7, x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式变形为x2+x-<0，它与不等式x2+x+<0比较系数得：a=-4,b=-9.函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ，值域是，函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ，值域是[0, π] ，函数y=arctgx的定义域是 R ，值域是 .，函数y=arcctgx的定义域是 R ，值域是(0, π) .直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
数列综合练习题
Ⅰ题型归类练习1．已知等比数列{}n a ，12a =，且2525(3)2n n n a a -⋅≥=，试求21222l o g ()l o g ()l o g ()n a a a +++ 例1． 数列121,,,4a a --成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，求212a ab -。
练习1．等比数列{}n b 中，0nb >，524346236b b b b b b ++=，求53b b +。
练习2．等比数列{}n b 前n 项和n S ，若422S S =，求{}n b 公比。
二、求数列通项例1． 数列{}n a 满足21nn S a =+(1n ≥)，求n a 。
练习1．数列{}n a 满足11a =，且10n n n a S S -⋅+=(2n ≥)，试求n a 。
类型3．1()n n a a f n +=+⇒1()n n a a f n +-=⇒利用累加法(逐差相加法)求解例3．已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a n n+=++，求n a 。
练习3．已知数列{}n a 满足11a =，21n n a a n n +=++，求n a 。
类型4．1()n n a f n a +=⨯ ⇒1()n na f n a +=⇒利用累乘法(逐商相乘法)求解例4．已知数列{}n a 满足123a =，1(1)n n n a na ++=，求n a 。
练习4．已知数列{}n a 满足13a =，1(43)(41)n n n a n a ++=-，求n a 。
类型5．1n n a pa q +=+(其中p,q 为常数,(1)0pq p -≠) ⇒ 待定系数法例5．已知数列{}n a 中，满足12a =，121n n a a +=+，求n a 。
解：由条件得：12()n n a t a t ++=⨯+⇒ 1t = ⇒112(1)n n a a ++=⨯+ ⇒ 令1n n b a =+，则{}n b 是以1113b a =+=为首项，2为公比的等比数列 ⇒ 132n n b -=⨯ ⇒ 1321n n a -=⨯-练习5．已知数列{}n a 中，满足11a =，124nn a a +=+，求n a 。
数列与不等式12种题型
数列与不等式12种题型方法题型1 数列基本量运算例题1 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（ ） A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 【解析】由题知41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，选A练习1.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16B ．8C ．4D ．2【解析】设正数的等比数列{a n }公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==选C练习2. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．【解析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q = 又0q ≠，所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--题型2 数列性质运用例题2 设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ）A ．当101,102b a => B ．当101,104b a => C ．当102,10b a =->D ．当104,10b a =->【解析】对于B ，令214x λ-+=0，得λ12= 取112a =，∴2111022n a a ==，，＜∴当b 14=时，a 10＜10，故B 错误 对于C ，令x 2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1取a 1＝2，∴a 2＝2，…，a n ＝2＜10，∴当b ＝﹣2时，a 10＜10，故C 错误 对于D ，令x 2﹣λ﹣4＝0，得λ=取1a =，∴2a =…，n a =10 ∴当b ＝﹣4时，a 10＜10，故D 错误对于A ，221122a a =+≥，223113()224a a =++≥，4224319117()14216216a a a =+++≥+=＞， a n +1﹣a n ＞0，{a n }递增当n ≥4时，1n n a a +=a n 12na +＞11322+=，∴104a a ＞（32）6，∴a 1072964＞＞10 故A 正确，选A练习1．在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A ．66 B ．132 C ．-66D ．-132【解析】因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，所以3924a a +=- 又396242a a a +=-=，所以612a =-，61111111211()13222a a a S ⨯⨯+===-，选D练习2. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 【解析】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =所以105S S =11111091010024542552a d a a a d ⨯+==⨯+ 题型3 数列求和法的运用例题3 数列{}n a 中，12a =，且112(2)n n n n n a a n a a --+=+≥-，则数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2019项和为（ ）A ．40362019B ．20191010C ．40372019D ．40392020【解析】∵1122n n n n n a a n a a （）--+=+≥-，∴()22112n n n n a a a a n ----=﹣， 整理得：()()22111n n a a n ----=， ∴()()()2211112n a a n n ---=+-++，又12a =，∴()()2112n n n a +-=，可得：()()212112111n n n n n a ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭-．则数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2019项和为：111111201921212232019202020201010⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选B 练习1. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________． 【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得322,3a a =-=-,公差321d a a =-=,5320a a d =+= 由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-练习2．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是_____.【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯= 题型4 数列应用题例题4 《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮(0)m m >石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m 的值分别为（ ） A ．20% 369B ．80% 369C ．40% 360D ．60% 365【解析】设“衰分比”为a ,甲衰分得b 石，由题意得23(1)80(1)(1)16480164b a b a b a b m ⎧-=⎪-+-=⎨⎪++=⎩解得125b =,20%a =,369m =，选A题型5 数列的项和互化例题5 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1212a a ==，，且2123n n n a S S ++=-+，记 22122log log n n n b a a -=+，则数列(){}21nn b -⋅的前10项和为______． 【解析】∵1212a a ==，，且2123n n n a S S ++=-+，∴32332a =-+=， ∵2123n n n a S S ++=-+，∴2n ≥时，1123n n n a S S +-=-+， 两式相减可得，()()21112n n n n n n S a a S S S ++-+-=---，（2n ≥） 即2n ≥时，2112n n n n a a a a +++-=-即22n n a a +=，∵312a a =，∴数列{}n a 的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，12222n n n a -=⨯=，1121122n n n a ---=⨯=∴22122121n n n b log a log a n n n -=+=-+=-，则数列()()()221211nnn b n -⋅-=-，则(){}21nn b -⋅前10项和()()()22222231751917S =-+-++-()2412202836=⨯++++200=题型6 数列与不等式例题6 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N【解析】(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩，则数列{}n a 的通项公式为22n a n =- . 其前n 项和()()02212n n n S nn +-⨯==-，则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列， 即：()()()()21112n n n n n b n n b n n b ++=-+⨯+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 据此有：()()()()()()()()2222121112121n n n n n n n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+，故()()()()()22112121(1)(1)(1)(2)n n n n n n b n n n n n n n n n +--++==++++--+.(2)结合(1)中的通项公式可得：()()112221211nn n a n C n n b n n n n nn n -==<=<=--+++-，则()()()12210221212n C C C n n n +++<-+-++--=.练习1. 已知等差数列{}n a 满足636a a =+，且31a -是241,a a -的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()11n n n b n a a *+=∈N ，数列{}n b 的前项和为n T ，求使1n T <成立的最大正整数n 的值 【解析】()I 设等差数列{}n a 的公差d6336a a d -==，即2d =，3313a a ∴-=+，2111a a -=+，416a a =+31a -是21a -，4a 的等比中项，()()232411a a a ∴-=-⋅，即()()()2111+3=16a a a ++，解得13a =，∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+（II ）由()I 得()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭. 1212n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+=11111135572123n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭()1112323323n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭由()13237n n <+，得9n <，∴使得1n T <成立的最大正整数n 的值为8题型7 与函数有关的不等式比较大小 例题7 设x 、y 、z 为正数，且，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z 【解析】令，则，，∴，则，，则，选D练习1. 已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，选A ． 题型8 与函数导数有关的构造 例题8 设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞【解析】构造新函数()()f x g x x =,()()()2'xf x f x g x x-='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃，选A 题型9 均值不等式的应用例题9 若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.【解析】 ()()2222211122x ty t y x y x yxy y ++-+++=≥++()01t <<12=，即15t =时()2212x y x y +++5=练习1．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则222124a b a b+++的最小值为_______． 【解析】因为1a b +=，且,a b 都是正实数.所以2221241414222a b a b a b a b a b ++⎛⎫+=+++=++ ⎪⎝⎭()14144421277211b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++⨯=+++=++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当12,33a b ==时，等号成立，所以222124a b a b+++的最小值为11 题型10 数形结合求最值例题10 已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ．【解析】22,222463{1034,22x y y xz x y x y x y y x+-≥-=+-+--=--<-由图可知当22y x ≥-时，满足的是如图的AB 劣弧，则22z x y =+-在点(1,0)A 处取得最大值5；当22y x <-时，满足的是如图的AB 优弧，则1034z x y =--与该优弧相切时取得最大值，故，所以15z =，故该目标函数的最大值为15.练习1．已知,x y R ∈，若24x y +=，则224x y +的最小值为__________；若2244x y +=，则x y +的最大值为__________．【解析】根据题意，x ，y ∈R +，且x +2y ＝4，则有4＝x +2y ≥22xy ，变形可得2xy 4≤，（当且仅当x ＝2y 2=时等号成立），x 2+4y 2＝（x +2y ）2﹣4xy ＝16﹣4xy ，又由4xy 8≤，则有x 2+4y 28≥，即x 2+4y 2的最小值为8； 若2244x y +=，由柯西不等式得（224x y +）（1+14）()2x y ≥+，（当且仅当x ＝4y 455=时等号成立）所以()2x y +≤454⨯，即x y +的最大值为5 题型11 与导数有关的不等式证明 例题11 已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．【解析】（1）的定义域为，.（i ）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii ）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当. 由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.练习1. 已知函数()f x =x ﹣1﹣alnx ． （1）若()0f x ≥ ，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，21111++1+)222n ()(1)(﹤m ，求m 的最小值． 【解析】（1）()f x 的定义域为()0，+∞.①若0a ≤，因为11=-+2＜022f aln ⎛⎫⎪⎝⎭，所以不满足题意；②若＞0a ，由()1a x af 'x x x-=-=知，当()0x ,a ∈时，()＜0f 'x ；当()，+x a ∈∞时，()＞0f 'x ，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增，故x=a 是()f x 在()0，+x ∈∞的唯一最小值点. 由于()10f =，所以当且仅当a=1时，()0f x ≥.故a=1（2）由（1）知当()1，+x ∈∞时，1＞0x ln x --，令1=1+2nx 得111+＜22n n ln ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而 2211111111++1+++1+＜+++=1-＜12222222n n n ln ln ln ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故21111+1+1+＜222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而231111+1+1+＞2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以m 的最小值为3. 练习2. 已知函数有两个零点. （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x 1，x 2是的两个零点，证明：.【解析】（Ⅰ）．（Ⅰ）设，则，只有一个零点．（Ⅱ）设，则当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．又，，取满足且，则故存在两个零点．（Ⅲ）设，由得或．若，则，故当时，，因此在单调递增．又当时，所以不存在两个零点．若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又时，，所以不存在两个零点．综上，的取值范围为．（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在单调递减，所以等价于，即．由于，而，所以． 设，则．所以当时，，而，故当时，． 从而，故．练习3设函数()1ln x xbe f x ae x x-=+,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2. (1)求,a b ；(2)证明()1f x >【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞()112'ln x x x x a b b f x ae x e e e x x x--=+-+，由题意可得()12f =， ()'1f e =.故1a =， 2b = （2）证明：由（1）知， ()12ln x x f x e x e x -=+，从而()1f x >等价于2ln xx x xe e ->-设函数()ln g x x x =，则()'1ln g x x =+，所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()'0g x <当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()'0g x >，故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增从而()g x 在()0,+∞上的最小值为11g e e⎛⎫=-⎪⎝⎭设函数()2xh x xe e-=-，则()()'1xh x e x -=- 所以当()0,1x ∈时， ()'0h x >；当()1,x ∈+∞时， ()'0h x < 故()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减 从而()h x 在()0,+∞上的最大值为()11h e=-综上，当0x >时， ()()g x h x >，即()1f x >函数导数不等式求参数例题12 已知函数（1）若，证明：当时，；当时，（2）若是的极大值点，求【解析】（1）当时，，.设函数，则当时，；当时，.故当时，，且仅当时，从而，且仅当时，，所以在单调递增又，故当时，；当时，（2）（i）若由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾. （ii）若，设函数.由于当时，，故与符号相同又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点如果，则当，且时，，故不是的极大值点如果，则存在根，故当，且时，所以不是的极大值点如果，则.则当时，；当时，所以是的极大值点，从而是的极大值点综上，。
基本不等式入门练习题
27．已知 ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为__________．
28．已知 ，则 的最小值为_____．
29．已知 ，且 ，则 的最小值为_______
30．函数 的最小值为_______
31．若a、b、c>0且 ，则2a＋b＋c的最小值为________
【详解】
由 可得出 ，
由于 、 为正实数，则 ，可得 ，
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查利用基本不等式求代数式的最值，解答的关键就是对所求代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题.
15．8
【分析】
首先设 ，得到 ，从而得到 ，利用基本不等式得到 的最小值是 ，即可得到答案.
不等式 恒成立，
所以 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了基本不等式的灵活运用能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
17．
【分析】
先利用基本不等式，求得 ，结合 恒成立，得出不等式 ，即可求解.
【详解】
由题意知 ， ，且 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
又因为不等式 恒成立，所以 ，
16．已知 ， ，且 ，若不等式 恒成立，则实数 的范围是______.
17．已知 ， ，当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是____
18．已知函数 的图象恒过定 ，若点 在直线 上，其中 ，则 的最小值为____
19．在 中，角 的对边分别为 ， 且 面积为 ，则面积 的最大值为_____．
20．已知函数 ，在 中，内角 的对边分别是 ，内角A满足 ，若 ，则 的面积的最大值为_______.
数列与不等式综合习题
数列与不等式的题型分类。
解题策略题型一求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1）若函数f(x）在定义域为D,则当x∈D时，有f（x)≥M恒成立⇔f(x）min≥M;f(x）≤M恒成立⇔f(x）max≤M；（2）利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得。
【例1】等比数列｛a n｝的公比q＞1,第17项的平方等于第24项，求使a1＋a2＋…＋a n＞错误!＋错误!＋…＋错误!恒成立的正整数n的取值范围.【分析】利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a1与公比q之间的关系，再利用等比数列前n项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n的取值范围。
【解】由题意得：（a1q16）2＝a1q23，∴a1q9＝1.由等比数列的性质知：数列{错误!}是以错误!为首项，以错误!为公比的等比数列,要使不等式成立，则须错误!＞错误!，把a错误!＝q-18代入上式并整理,得q-18（q n－1）＞q（1－错误!），q n＞q19，∵q＞1，∴n＞19，故所求正整数n的取值范围是n≥20.【点评】本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果。
本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用。
【例2】(08·全国Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1＝a，a n+1＝S n＋3n,n∈N*．(Ⅰ）设b n＝S n－3n，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥a n,n∈N*，求a的取值范围．【分析】第（Ⅰ）小题利用S n与a n的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件a n+1≥a n转化为关于n与a的关系，再利用a≤f（n)恒成立等价于a≤f(n）min求解．【解】（Ⅰ）依题意，S n+1－S n＝a n+1＝S n＋3n，即S n+1＝2S n＋3n，由此得S n+1－3 n+1＝2(S n－3n）．因此，所求通项公式为b n＝S n－3n＝(a－3）2 n-1，n∈N*, ①（Ⅱ)由①知S n＝3n＋（a－3）2 n-1,n∈N＊，于是，当n≥2时,a n＝S n－S n-1＝3n＋(a－3）2 n-1－3n-1－（a－3)2 n-2＝2×3n-1＋（a－3)2 n-2，a n+1－a n＝4×3 n-1＋(a－3)2 n-2＝2 n-2·［12·（错误!)n-2＋a－3]，当n≥2时，a n+1≥a n，即2 n-2·［12·（错误!）n-2＋a－3］≥0,12·(错误!）n-2＋a－3≥0，∴a≥－9，综上，所求的a的取值范围是［－9，＋∞]．【点评】一般地，如果求条件与前n项和相关的数列的通项公式，则可考虑S n与a n 的关系求解。
基本不等式及其应用 习题及解析
基本不等式及其应用习题及解析基本不等式及其应用一、选择题（共15小题）1.已知$x,XXX{R}$，$x+y+xy=315$，则$x+y-xy$的最小值是（）A。
35B。
105C。
140D。
2102.设正实数$x,y$满足$x>1,y>1$，不等式$\frac{x}{y-1}+\frac{y}{x-1}\geq 4$的最小值为（）A。
2B。
4C。
8D。
163.已知$a>0,b>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$，当且仅当（）A。
$a=b$B。
$a=b=1$XXX 1$D。
$a\neq b$4.已知$x,y$都是非负实数，且$x+y=2$，则$xy$的最大值为（）A。
0B。
$\frac{1}{4}$C。
$\frac{1}{2}$D。
15.已知$x,y,z$为正实数，则$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$的最大值为（）A。
3B。
4C。
5D。
66.若$a,b\in\mathbb{R},ab\neq 0$，且$a+b=1$，则下列不等式中，XXX成立的是（）A。
$ab\leq \frac{1}{4}$XXX{1}{4}$XXX{1}{8}$D。
$ab\geq \frac{1}{8}$7.设向量$\vec{OA}=(1,-2),\vec{OB}=(a,-1),\vec{OC}=(-b,2)$，其中$O$为坐标原点，$a>0,b>0$，若$A,B,C$三点共线，则$\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}$的最小值为（）A。
4B。
6C。
8D。
98.若$x>0,y>0,x+y=1$，则$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{xy}}$的最小值为（）A。
2B。
3C。
4D。
59.在下列函数中，最小值是2的是（）A。
$y=x^2+1$B。
$y=2-x^2$C。
高考数学一轮复习《不等式的性质》综合复习练习题(含答案)
高考数学一轮复习《不等式的性质》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．已知01,0a b <<<，则下列大小关系正确的是（ ） A ．21ab a b << B ．21ab a b << C ．21ab a b << D ．21a b ab <<2．如果a bc c>，那么下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．22ac bc >B ．a b >C ．a c b c ->-D ．ac bc >3．如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（ ） A ．若a >b ，则11a b <B ．若a >b ，则22ac bc >C ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +dD ．若a >b ，c >d ，则ac >bd4．若a >b ，c >d ，则下列不等式中一定正确的是（ ） A ．a d b c +>+ B ．a d b c ->- C ．ad bc >D ．a b d c> 5．若,R a b ∈，下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则22a b > B ．R c ∈，若a b >，则22ac bc > C ．若33a b ->-，则a b <D ．0a ≠，0b ≠，若a b >，则11a b <6．已知,a b R ∈且满足1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是（ ）A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]7．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b<B ．ac bc >C ．()20a b c -≥D ．b c ba c a+>+ 8．设a ，b ∈R ，0a b <<，则（ ） A ．22a b <B ．b a a b> C ．11a b a>- D ．2ab b >9．若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．1423b b b b +≤+B ．4132b b b b ≤--C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤10．设0a b <<，给出下列四个结论：①a b ab +<；②23a b <；③22a b <；④a a b b <.其中正确的结论的序号为（ ） A ．①②B ．①④C ．②③④D ．①②③11．若向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且222a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最大的是（ ） A ．a b ⋅B ．b c ⋅C ．a c ⋅D ．不能确定12．已知0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．n 0()l a b ->B2C ．a b b a >D ．114a b+>二、填空题13．已知25,21a b a b ≤+≤-≤-≤，则3a b -的取值范围是___________.14．若2312a b <<<<，，则2a b -的取值范围是____． 15．已知12,03a b ≤≤≤≤，则2+a b 的取值范围为__________． 16．若23a -<<，12b <<，则2a b -的取值范围是____________．三、解答题17．比较（x －2）（x －4）与（x －1）（x －5）的大小关系．18．求解下列问题：(1)已知a ∈R ，比较()()37a a ++和()()46a a ++的大小； (2)已知0x y <<，比较1x与1y 的大小.19．（1）已知022a b <-<，123a b <+<，求a b +的取值范围； （2）已知x ，y ，z 都是正数，求证：222x y z xy xz yz ++≥++．20．对于四个正数m n p q 、、、，若满足mq np <，则称有序数对(),m n 是(),p q 的“下位序列”． (1)对于2、3、7、11，有序数对()3,11是()2,7的“下位序列”吗？请简单说明理由；(2)设a b a d 、、、均为正数，且(),a b 是(),c d 的“下位序列”，试判断a c a c b d b d ++、、之间的大小关系．21．请选择适当的方法证明. (1)已知0a >，0b >，且ab ，证明：3322a b a b ab +>+；(2)已知x ∈R ，22a x =-，23b x =-+，证明：a ，b 中至少有一个不小于0.22．已知关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为A ，集合(2,3)B =． (1)若A B ⊆，求实数a 的取值范围； (2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围．23．求证下列问题：(1)已知a b c ，，均为正数，求证:bc ac aba b c++a b c ≥++. (2)已知0xy >，求证: 11x y>的充要条件是x y <.24．已知定义在R 的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足：()()3x f x g x +=． (1)求(),()f x g x ，并证明：22()()(2)f x g x f x +=；(2)若存在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式2(2)2()10f x ag x ++≤成立，求实数a 的取值范围。
不等式练习题及答案解析
基本不等式练习题一、选择题1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( C )A ．x ＋12xB ．x 2－1＋1x 2－1C ．2x ＋2－x D ．x (1－x )2．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( D )A ．32－3B ．－3C ．6 2D ．62－3解析： y ＝3(x 2＋2x 2＋1)＝3(x 2＋1＋2x 2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3.3．已知m 、n ∈R ，mn ＝100，则m 2＋n 2的最小值是( A )A ．200B ．100C ．50D ．20解析：选A.m 2＋n 2≥2mn ＝200，当且仅当m ＝n 时等号成立． 4．给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2；②∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ；③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；w w w .x k b 1.c o m④∵x ，y ∈R ，，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－[(－x y )＋(－y x )]≤－2(－x y )(－yx)＝－2.其中正确的推导过程为( D )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ，ab∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然x ，y ∈(0，＋∞)，但当x ∈(0,1)时，lg x 是负数，y ∈(0,1)时，lg y 是负数，∴②的推导过程是错误的；③∵a ∈R ，不符合基本不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的； ④由xy ＜0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将全体x y ＋y x 提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．5．已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( C )A ．2B ．2 2C ．4D ．5解析：选C.∵1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22×2＝4.当且仅当⎩⎨⎧a ＝b ab ＝1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，不等式取得最小值4.6．已知x 、y 均为正数，xy ＝8x ＋2y ，则xy 有( C )A ．最大值64B ．最大值164C ．最小值64D ．最小值164解析：选C.∵x 、y 均为正数，∴xy ＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy ，当且仅当8x ＝2y 时等号成立．∴xy ≥64.7．若xy ＞0，则对 x y ＋yx说法正确的是( B )A ．有最大值－2B ．有最小值2C ．无最大值和最小值D ．无法确定8．设x ，y 满足x ＋y ＝40且x ，y 都是正整数，则xy 的最大值是( A )A ．400B ．100C ．40D ．20 9．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( D ) A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝cosx ＋1cosx ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x<π2C ．y ＝x2＋3x2＋2D ．24-+=x xee y [解析] x<0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错；∵0<x<π2，∴0<cosx<1，∴y ＝cosx ＋1cosx ≥2中等号不成立，故B 错；∵x2＋2≥2，∴y ＝x2＋2＋1x2＋2≥2中等号也取不到，故C 错∴选D.10.已知正项等比数列{an}满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得nm a a ＝4 a 1，则1m＋4n 的最小值为( A ) A.32B.53C.256D ．不存在[解析] 由已知an>0，a7＝a6＋2a5，设{an}的公比为q ，则a6q ＝a6＋2a6q ，∴q2－q －2＝0，∵q>0，∴q ＝2，∵aman ＝4a1，∴a12·qm＋n －2＝16a12，∴m ＋n －2＝4， ∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n)⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32， 等号在n m ＝4mn，即n ＝2m ＝4时成立．11． “a＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋ax ≥1”的( A )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[解析] ∵a ＝14，x>0时，x ＋ax ≥2x·a x ＝1，等号在x ＝12时成立， 又a ＝4时，x ＋a x ＝x ＋4x≥2x·4x ＝4也满足x ＋ax≥1，故选A. 12．设a ，b ∈R ，则“a＋b ＝1”是“4ab≤1”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件[解析] a ，b 中有一个不是正数时，若a ＋b ＝1，显然有4ab≤1成立，a ，b 都是正数时，由1＝a ＋b≥2ab 得4ab≤1成立，故a ＋b ＝1⇒4ab≤1，但当4ab≤1成立时，未必有a ＋b ＝1，如a ＝－5，b ＝1满足4ab≤1，但－5＋1≠1，故选A.13．若a>0，b>0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( D )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] ∵12为a 、b 的等差中项，∴a ＋b ＝12×2＝1.a ＋1a ＋b ＋1b ⇒1＋1a ＋1b ＝1＋a ＋b ab ＝1＋1ab， ∵ab ≤a ＋b 2，∴ab≤a ＋b 24＝14.∴原式≥1＋4.∴α＋β的最小值为5.故选D.二、填空题1．函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为____1____．2．若x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝1，则xy 有最___大_____值，其值为___116_____．解析：1＝x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy ，∴xy ≤116.3．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为___3_____．解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号．答案：34．已知x ≥2，则当x ＝_2___时，x ＋4x有最小值__4__．5．已知t>0，则函数y ＝t2－4t ＋1t 的最小值为__-2_____．[解析] y ＝t2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4因为t>0，y ＝t ＋1t－4≥2t·1t －4＝－2.,等号在t ＝1t，即t ＝1时成立．6．已知正数a ，b ，c 满足：a ＋2b ＋c ＝1则1a ＋1b ＋1c 的最小值为 [答案] [解析]1a ＋1b ＋1c ＝a ＋2b ＋c a ＋a ＋2b ＋c b ＋a ＋2b ＋c c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋2b c ＋4≥22＋2＋22＋4＝6＋42，等号在2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2b c 同时成立时成立,即a ＝c ＝2b ＝1－22时等号成立．7.已知x>0，y>0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则xy 的最大值是____112____．[解析] ∵lg2x ＋lg8y ＝lg2，∴2x·8y ＝2，即2x ＋3y ＝2，∴x ＋3y ＝1，∴xy ＝13x·(3y)≤13·⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22＝112，等号在x ＝3y ，即x ＝12，y ＝16时成立． 三、解答题1．已知f (x )＝12x＋4x .(1)当x ＞0时，求f (x )的最小值； (2)当x ＜0 时，求f (x )的最大值．解：(1)∵x ＞0，∴12x ，4x ＞0. ∴12x ＋4x ≥212x ·4x ＝8 3.当且仅当12x＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x ＞0时，f (x )的最小值为8 3.(2)∵x ＜0，∴－x ＞0.则－f (x )＝12－x ＋(－4x )≥212－x ·(－4x )＝83，当且仅当12－x＝－4x 时，即x ＝－3时取等号．∴当x ＜0时，f (x )的最大值为－8 3.2．(1)设x ＞－1，求函数y ＝x ＋4x ＋1＋6的最小值；(2)求函数y ＝x 2＋8x －1(x ＞1)的最值．解：(1)∵x ＞－1，∴x ＋1＞0.∴y ＝x ＋4x ＋1＋6＝x ＋1＋4x ＋1＋5≥2 (x ＋1)·4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号．∴x ＝1时，函数的最小值是9.(2)y ＝x 2＋8x －1＝x 2－1＋9x －1＝(x ＋1)＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2.∵x ＞1，∴x －1＞0.∴(x －1)＋9x －1＋2≥2(x －1)·9x －1＋2＝8.当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时等号成立，∴y 有最小值8.3．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)·(1b －1)·(1c－1)≥8.证明：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bc a ， 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c ，以上三个不等式两边分别相乘得 (1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．4．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．解：设污水处理池的长为x 米，则宽为200x米．总造价f (x )＝400×(2x ＋2×200x )＋100×200x＋60×200＝800×(x ＋225x )＋12000≥1600x ·225x＋12000＝36000(元)当且仅当x ＝225x(x ＞0)，即x ＝15时等号成立．。
高考数学不等式练习题及答案解析
高考数学不等式练习题及答案解析：一、选择题1.已知定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f (x) f (x 4) ，且当 x 2 时， f (x) 单调递增，如果 x1 x2 4 且 (x1 2)(x2 2) 0 ，则 f (x1) f (x2 ) 的值 （）A、恒大于 0 B、恒小于 0 C、可能为 0 D、可正可负2.已知函数 f (x) x x3 , x1 、 x2 、 x3 R ,且 x1 x2 0 ， x2 x3 0 ， x3 x1 0 ，则 f (x1 ) f (x2 ) f (x3 ) 的值（）A、一定大于零B、一定小于零C、等于零D、正负都有 3.设 M x, y y x2 2bx 1 ， P x, y y 2ax b， S a,bM P ，则 S 的面积是 （ ）A. 1B. C. 4D. 44.设f (x) 是 (x2 1 )6 2x 展开式的中间项，若 f (x) mx 在区间 2, 2数 m 的取值范围是（） 2 上恒成立，则实A． 0, B． 5 4, C． 5 4,5D． 5, 5.若不等式x2logmx0在 0,1 2 内恒成立,则实数m的取值范围是1 m1 A. 160m 1B.160m 1C.4m 1 D. 16()6.已知实数 x，y 满足 3x2+2y2=6x，则 x2+y2 的最大值是( )9 A、 2B、4C、5D、27.若 0 < a，b，c < 1，并且 a + b + c = 2，则 a 2 + b 2 + c 2 的取值范围是（ ）4 （A）[ 3 ，+ ∞ )4 （B）[ 3 ，2 ]4 （C）[ 3 ，2 )4 （D）( 3 ，2 )8.不等式 1 log2 x > 1 – log 2 x 的解是（（A）x ≥ 2（B）x > 1） （C）1 < x < 8（D）x > 2sin cossin 29.设 a = f (2)，b = f ( sin cos )，c = f ( sin cos )，其中 f ( x ) = log sin θ x， θ∈( 0， 2 )，那么（ （A）a ≤ c ≤ b） （B）b ≤ c ≤ a（C）c ≤ b ≤ a（D）a ≤ b ≤ c11110.S = 1 + 2 + 3 + … + 1000000 ，则 S 的整数部分是（ ）（A）1997（B）1998（C）1999（D）200011n 11.设 a > b > c，n∈N，且 a b + b c ≥ a c 恒成立，则 n 的最大值为（ ）（A）2（B）3（C）4（D）51 12.使不等式 2 x – a > arccos x 的解是– 2 < x ≤ 1 的实数 a 的值是（ ） （A）1 – 22 2 （B） 2 – 32 5 （C） 2 – 61 （D） 2 – π13.若不等式 a b m4 a2 b2 对所有正实数 a，b 都成立，则 m 的最小值是（ ）33A. 2 B. 2 2 C. 2 4 D. 45 xi R, xi 0(i 1,2,3,4,5)14.设 xii 11 ，则 ma xx1 x2 , x2 x3 , x3 x4, x4 x5的最小值等于（）1 A． 41 B． 31 C． 61 D． 415.已知 x, y, z 满足方程 x2 ( y 2)2 (z 2)2 2 ，则 x2 y2 z2 的最大值是A．4 2B．2 3C． 3 2D． 216. 若 直 线 y kx 1 与 圆 x2 y 2 kx my 4 0 交 于 M , N 两 点 , 且 M , N 关 于 直 线kkxx y2 my 00x y 0 对称,动点 P a,b 在不等式组 y 0表示的平面区域内部及边界上运动，则w b2 a 1 的取值范围是（）A．[2,) B． (,2] C．[2,2] D． (,2] [2,)17.已知x0,y0，且2 x1 y1，若x2ym22m 恒成立，则实数 m的取值范围是( )A． m 4或 m 2 B． m 2或 m 4 C． 2 m 4 D． 4 m 218.关于 x 的不等式 cos x lg(9 x2) cos x lg(9 x2) 的解集为（）A． (3, 2 2) (2 2,3)(2 2, ) ( , 2 2)B．22C． (2 2, 2 2)D． (3,3)19. 已 知 满 足 条 件的点构成的平面区域的面积为 ，满足条件的点构成的平面区域的面积为 ，其中 、 分别表示不大于 、的最大整数，例如 （），， 则 与 的关系A．B.C.D.20. 已 知 满 足 条 件的点构成的平面区域的面积为 ，满足条件的点构成的平面区域的面积为 ，（其中 、 分别表示不大于 、的最大整数），则点一定在（）A．直线左上方的区域内B．直线上C．直线右下方的区域内D．直线左下方的区域内0 21.根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点 O 沿正东偏北（2）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但 的大小以及何时改变方向不定. 如右图. 假定机器人行走速度为 10 米/分钟，设机器人行走 2 分钟时的可能落点区域为 S，则北S 可以用不等式组表示为（0 x 20 A. 0 y 20x2 y2 400 x0 y0C.）x2 y2 400 B. x y 20x y 20 x 20 y 20D.yP. (x, y)东Ox(m)0 22.根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点 O 沿正东偏北（2）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但 的大小以及何时改变方向不定. 如右图. 假定机器人行走速度为 10 米/分钟，设机器人行走 2 分钟时的可能落点区域为 S，则 S 的面积（单位：平方米）等于（ ）A. 100B. 100 200C. 400 100D. 200北yP. (x, y)东Ox(m)23.定义：若存在常数 ，使得对定义域 D 内的任意两个不同的实数 ， 均有成立，则称函数在定义域 D 上满足利普希茨条件．对于函数满足利普希茨条件、则常数 k 的最小值应是A．2 B．1 C． D．24.如果直线 y＝kx＋1 与圆交于 M、N 两点，且 M、N 关于直线x＋y＝0 对称，则不等式组：表示的平面区域的面积是（ ）A．B．25. 给出下列四个命题：①若C．1 ；D．2②“a<2”是函数“无零点”的充分不必要条件；③若向量 p=e1+e2，其中 e1，e2 是两个单位向量，则|p|的取值范围是[0，2]；④命题“若 lgx>lgy，则 x>y”的逆命题.其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．③④D．①②③26.已知点（x, y）构成的平面区域如图（阴影部分）所示， 区域内取得最大值优解有无数多个，则 m 的值为A．B．C．D．（m 为常数），在平面27. 若 A．228.2C．4B．3 D．229. 如果正数满足A、，且等号成立时B、，且等号成立时C、，且等号成立时的最大值为C．4D．5，那么 的取值唯一 的取值唯一 的取值不唯一（）D、，且等号成立时的取值不唯一30. 设 变 量 （）最小值为A.9B.431.设两个向量C.3 和D.2其中为实数.若则的取值范围是()A.B.C.D.32.某厂生产甲产品每千克需用原料 和原料 分别为 ，生产乙产品每千克需用原料和原料 分别为千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为元，月初一次性够进本月用原料 各 千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总 额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 千克， 千克，月利润总额为 元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为（A） 33.若（B） 且（C） ，则（D） 的最小值是（A）（B）3 （C）2 （D）34.若且则的最小值为（ ）（A）（B）35. 对任意实数 x,不等式（C）（D）恒成立，则 的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题36.已知函数 y f x是定义在 R 上的偶函数，当 x ＜0 时， f x 是单调递增的，则不等式 f x 1 ＞ f 1 2x 的解集是_________________________. 37.已知集合 A x x2 ax x a ，集合 B x1 log2 x 1 2 ，若 A B ，则实数a 的取值范围是________________________.38.设 A {x 1 x 2}, B {x f (x) m 3}，若 f (x) x2 1, A B ，则 m 的取值范围是_____39.已知 x 0, y 0 ，且 x y xy ，则 u x 4 y 的取值范围是_____________. xy02x y 2 y040.若不等式组 x y a 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则 a 的取值范围是． 41.不等式 loga x2 2x 3 1 在 R 上恒成立,则 a 的取值范围是_________________.42. 下 列 四 个 命 题 中 : ① a b 2ab②sin2x4 sin2x4③设x, y都是正整数,若1 x9 y1 ,则 x y的最小值为12④若x2,y2,则xy 2其中所有真命题的序号是___________________.a b 1 43.已知 x, y 是正数, a, b 是正常数,且 x y , x y 的最小值为______________.44.已知 a,b, a b 成等差数列, a,b, ab 成等比数列,且 0 logm ab 1,则 m 的取值范围是______.45.已知 a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=9, 则 ax+by+cz 的最大值为 三、解答题 46.（本小题满分 12 分）已知数列{an }和{bn }中， a1 t(t 0), a2 t 2 .当x t时, 函数 f (x) 1 3(an1an )x3(anan1 )x(n2)取得极值。
2023高考数学考点专题复习——基本不等式练习题
2023考点专题复习——基本不等式考法一： 直接法例题1、已知正数a ，b 满足8ab =，则2+a b 的最小值为（ ） A ．8B ．10C ．9D ．6例题2、若正实数x ，y 满足2x +y =1.则xy 的最大值为（ ） A ．14B ．18C ．19D ．116例题3、若0x >，则___________.练习1、已知x 、y R +∈，且24x y +=，则xy 的最大值是_________.练习2、若正实数x ，y 满足21x y +=，则2xy 的最大值为______． 练习3、已知正数x 、y 满足341x y +=，则xy 的最大值为_________． 练习4、已知,x y 为正实数，且4xy =，则4x y +的最小值是_____． 练习5、若0,0,10x y xy >>=，则25x y+的最小值为_____． 考法二：配凑法例1、已知01x <<，则)(33x x -的最大值为（ ） A ．12B ．14C ．23D ．34例2、已知(3,)x ∈+∞，函数43y x x =+-的最小值为（ ） A ．4B ．7C ．2D ．8例3、若103x <<，则()13x x -取最大值时x 的值是 例4、 若1x >-，则22441x x x +++的最小值为A ．1B ．2C ．3D ．4练习1、函数9424y x x=--，12x >的最小值为__________．练习2、函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．D ．3练习3、函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．-1练习4、若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－2a ＋b ＋c 的最小值为 。
练习5、已知1x >-，求函数11y x x =++的最小值是 。
数列与不等式压轴大题练习题和详细分析解答(2)
数列与不等式压轴大题练习题和详细分析解答（2）1．已知项数为()*2m m N m ∈≥，的数列{}n a 满足如下条件：①()*1,2,,n a Nn m ∈=；②12···.m a a a <<<若数列{}n b 满足()12*···1m n n a a a a b N m +++-=∈-，其中1,2,,n m=则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（I ）数列13579，，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（II ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12···m b b b >>>； （III ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且112049m a a ==，，求m 的最大值.2．已知数列{}n a 中，12112,4,23(2)n n n a a a a a n +-==+=≥． (1)求证：数列{}1n n a a +-是等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式；(3)设12122311,...n n n n n n a a a b a S b b b b b b +=-=+++，若对任意*n N ∈，有2823n m S m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围．3．用[]x 表示一个小于或等于x 的最大整数.如：[]22=，[]4.14=，[]3.14-=-. 已知实数列0a 、1a 、对于所有非负整数i 满足[][]()1i i i i a a a a +⋅=-，其中0a 是任意一个非零实数.（Ⅰ）若0 2.6a =-，写出1a 、2a 、3a ； （Ⅱ）若00a >，求数列[]{}i a 的最小值；（Ⅲ）证明：存在非负整数k ，使得当i k ≥时，2i i a a +=.4．已知函数()1sin ()x f x e a x a R =--∈（1）当x ∈[0，π]时，f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围；(参考数据：sin 1≈0.84) （2）当a =1时，数列{a n }满足：0<a n <1，1n a +=f (a n )，求证：{a n }是递减数列.5．设无穷数列{}n a 的每一项均为正数，对于给定的正整数k ，n n n k b a a +=⋅(*n N ∈)，若{}n b 是等比数列，则称{}n a 为()B k 数列.（1）求证：若{}n a 是无穷等比数列，则{}n a 是()B k 数列； （2）请你写出一个不是等比数列的(1)B 数列的通项公式；（3）设{}n a 为(1)B 数列，且满足2213a a a =⋅，请用数学归纳法证明：{}n a 是等比数列.6．Fibonacci 数列又称黄金分割数列，因为当n 趋向于无穷大时，其相邻两项中的前项与后0618≈.．已知Fibonacci 数列的递推关系式为121213n n n a a a a a n --==⎧⎨=+≥⎩，． （1）证明：Fibonacci 数列中任意相邻三项不可能成等比数列；（2）Fibonacci 数列{a n }的偶数项依次构成一个新数列，记为{b n }，证明：{b n ＋1-H 2·b n }为等比数列．7．如果存在常数k 使得无穷数列{}n a 满足mn m n a ka a =恒成立，则称为()P k 数列. （1）若数列{}n a 是()1P 数列，61a =，123a =，求3a ； （2）若等差数列{}n b 是()2P 数列，求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在()P k 数列{}n c ，使得2020c ，2021c ，2022c ，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列{}n c ；若不存在，请说明理由.8．对于数列{}n x ，若存在*N m ∈，使得2m k k x x -=对任意*121N ()k m k ≤≤-∈都成立，则称数列{}n x 为“m -折叠数列”.（1）若1*2020(20,)21N n n a C n n -=≤∈，()2*20191Nn b n n n =--∈，判断数列{}na ，{}nb 是否是“m -折叠数列”，如果是，指出m 的值；如果不是，请说明理由；（2）若*(N )n n x q n =∈，求所有的实数q ，使得数列{}n x 是3-折叠数列；（3）给定常数*N p ∈，是否存在数列{},n x 使得对所有*N m ∈，{}n x 都是pm -折叠数列，且{}n x 的各项中恰有1p +个不同的值，证明你的结论.数列与不等式压轴练习题和详细分析解答（2）1．已知项数为()*2m m N m ∈≥，的数列{}n a 满足如下条件：①()*1,2,,n a Nn m ∈=；②12···.m a a a <<<若数列{}n b 满足()12*···1m n n a a a a b N m +++-=∈-，其中1,2,,n m=则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（I ）数列13579，，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（II ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12···m b b b >>>； （III ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且112049m a a ==，，求m 的最大值. 【答案】（I ）不存在，理由见解析；（II ）详见解析；（III ）33. 【解析】 【分析】（I ）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论.（II ）利用差比较法判断出{}n b 的单调性，由此证得结论成立.（III ）利用累加法、放缩法求得关于m a 的不等式，由此求得m 的最大值. 【详解】（I ）不存在.理由如下：因为*413579751b N ++++-=∈-，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.（II ）因为*11,11,1n n n n a a b b n m n N m ++--=≤≤-∈-，又因为12m a a a <<<，所以10n n a a +-<，所以1101n n n n a a b b m ++--=<-，即1n n b b +<，所以12···m b b b >>>成立. （III ）1i j m ∀≤<≤，都有1j j i j a a b b m --=-，因为*i b N ∈，12m b b b >>>，所以*i j b b N -∈，所以*11204811m m a a b b N m m --==∈--.因为*111n n n n a a b b N m ----=∈-，所以11n n a a m --≥-.而()()()()()()111221111m m m m m a a a a a a a a m m m ----=-+-++-≥-+-++-()21m =-，即()2204911m -≥-，所以()212048m -≤，故46m ≤. 由于*20481N m ∈-，经验证可知33m ≤.所以m 的最大值为33. 【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查数列单调性的判断，考查累加法、放缩法，属于难题.2．已知数列{}n a 中，12112,4,23(2)n n n a a a a a n +-==+=≥． (1)求证：数列{}1n n a a +-是等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式；(3)设12122311,...n n n n n n a a a b a S b b b b b b +=-=+++，若对任意*n N ∈，有2823n m S m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）2nn a =；（3）1[,1]4-. 【解析】分析：第一问将1123(2)n n n a a a n +-+=≥，变形为11212(),2n n n n a a a a a a +--=--=，利用等比数列的定义即可证明；第二问根据第一问的结论可以得出12nn n a a +-=，之后应用累加法求得n a ，一定不要忘记对首项的验证；第三问对相应的项进行裂项，之后求和，再利用数列的单调性，不等式的解法即可得出结果. 详解：(1)证明：()11232n n n a a a n +-+=≥，()()1122n n n n a a a a n +-∴-=-≥．2120a a -=≠， ()102n n a a n -∴-≠≥， ()1122n nn n a a n a a +--∴=≥-．∴数列{}1n n a a +-是首项、公比均为2的等比数列.(2){}1n n a a +-是等比数列，首项为2，通项12n n n a a +-=，故()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-12122222n n -=++++=，当1n =时，112a =符合上式，∴数列{}n a 的通项公式为2n n a = .(3)解：2,121nnn n n a b a ==-=-，()()11121121212121n n n n n n n n a b b +++∴==----- 12231111111212121212121n n n S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭故11121n n S +=--，又因为{S n }单调递增，所以S n 的最小值为S 1=23，228233m m ≥-成立，由已知，有2431m m -≤，解得114m -≤≤，所以m 的取值范围为1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 点睛：该题属于数列的综合题，该题考查了等比数列的证明方法-------死咬定义，等比数列的通项公式，累加法求通项公式，裂项相消法求和，解不等式问题，在求解的过程中，要时刻注意细节问题，尤其是利用累加法求通项的时候一定不要忘记对首项的验证.3．用[]x 表示一个小于或等于x 的最大整数.如：[]22=，[]4.14=，[]3.14-=-. 已知实数列0a 、1a 、对于所有非负整数i 满足[][]()1i i i i a a a a +⋅=-，其中0a 是任意一个非零实数.（Ⅰ）若0 2.6a =-，写出1a 、2a 、3a ； （Ⅱ）若00a >，求数列[]{}i a 的最小值；（Ⅲ）证明：存在非负整数k ，使得当i k ≥时，2i i a a +=.【答案】（Ⅰ）1 1.2a =-，2 1.6a =-，30.8a =-；（Ⅱ）最小值为0；（Ⅲ）见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由0 2.6a =-，代入可得[][]()1000 1.2a a a a =-=-⋅，同理可得：2a 、3a ；（Ⅱ）由00a >，可得[]00a ≥，[][]()10000a a a a =-≥，设[]0i a ≥，1i ≥，可得10i a +≥，因此[]0i a ≥，0i ∀≥. 又因[]01i i a a ≤-<，可得[][]1i i a a +≤，0i ∀≥. 假设0i ∀≥，都有[]0i a >成立，可得：[][]11i i a a +≤-，0i ∀≥，利用累加求和方法可得[][]0n a a n ≤-，1n ∀≥，则当[]0n a ≥时，[]0n a ≤，得出矛盾，[]0k a =，从而可得出[]{}i a 的最小值； （Ⅲ）当00a >时，由（Ⅱ）知，存在k ∈N ，[]0k a =，可得10k a +=，[]10k a +=，由此得出0i a =，i k ∀≥，成立.；若0i a <，0i ∀≥，推导出数列[]{}i a 单调不减.由[]i a 是负整数，可知存在整数m 和负整数c ，使得当i m ≥时，[]i a c =.所以，当i m ≥时，()1i i a c a c +=-，转化为22111i i c c a c a c c +⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭，令21i i c b a c =--，即1i i b cb +=，i m ≥.经过讨论：当0m b =时，得证.当0m b ≠时，0i b ≠，i m ≥，i mi m b c b -=，i m ≥，当i m≥时，[]i a c =，则[),1i a c c ∈+，则{}i b 有界，进而证明结论. 【详解】 （Ⅰ）0 2.6a =-，[][]()()10003 2.63 1.2a a a a ∴=-=-⨯--⋅+=，同理可得：2 1.6a =-，30.8a =-；（Ⅱ）因00a >，则[]00a ≥，所以[][]()10000a a a a =-≥， 设[]0i a ≥，1i ≥，则[][]()10i i i i a a a a +=-≥，所以[]0i a ≥，0i ∀≥. 又因[]01i i a a ≤-<，则[][]()[]1i i i i i a a a a a +=-≤，则[][]1i i a a +≤，0i ∀≥. 假设0i ∀≥，都有[]0i a >成立，则[][]()[]1i i i i i a a a a a +=-<， 则[][]1i i a a +<，0i ∀≥，即[][]11i i a a +≤-，0i ∀≥， 则[][]0n a a n ≤-，1n ∀≥，则当[]0n a ≥时，[]0n a ≤， 这与假设矛盾，所以[]0i a >，0i ∀≥不成立， 即存在k ∈N ，[]0k a =，从而[]{}i a 的最小值为0； （Ⅲ）当00a >时，由（Ⅱ）知，存在k ∈N ，[]0k a =， 所以10k a +=，所以[]10k a +=，所以0i a =，i k ∀≥，成立.当00a <时，若存在k ∈N ，0k a =，则0i a =，i k ∀≥，得证； 若0i a <，0i ∀≥，则[]1i a ≤-，则[][]()[]1i i i i i a a a a a +=->， 则[][]1i i a a +≥，0i ∀≥，所以数列[]{}i a 单调不减.由于[]i a 是负整数，所以存在整数m 和负整数c ，使得当i m ≥时，[]i a c =.所以，当i m ≥时，()1i i a c a c +=-，则22111i i c c a c a c c +⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭，令21i i c b a c =--， 即1i i b cb +=，i m ≥.当0m b =时，则0i b =，i m ≥，则21i c a c =-，i m ≥，得证.当0m b ≠时，0i b ≠，i m ≥，i mi m b c b -=，i m ≥，因当i m ≥时，[]i a c =，则[),1i a c c ∈+），则{}i b 有界，所以1c ≤，所以负整数1c =-.()()()11111222i m i m i m m a b a i m --⎛⎫∴=-+-=-+-+≥ ⎪⎝⎭，则,,2,4,1,1,3,m i m a i m m m a a i m m =++⎧=⎨--=++⎩令k m =，满足当i k ≥时，2i i a a +=.综上，存在非负整数k ，使得当i k ≥时，2i i a a +=. 【点睛】本题考查了数列的递推关系、取整函数[]x 的性质及其应用、反证法、分类讨论思想的应用，考查分析问题和解决问题的能力、推理论证能力，属于难题. 4．已知函数()1sin ()x f x e a x a R =--∈（1）当x ∈[0，π]时，f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围；(参考数据：sin 1≈0.84) （2）当a =1时，数列{a n }满足：0<a n <1，1n a +=f (a n )，求证：{a n }是递减数列. 【答案】（1）(,1]-∞；（2）证明见解析.【解析】 【分析】求导()cos '=-xf x e a x ，()sin ''=+xf x e a x ，分0a ≤，01a <≤，1a >三种情况讨论求解.（2）要证{a n }是递减数列.即证()10+-=-<n n n n a a f a a ，由a =1，构造函数()()1sin =-=---x g x f x x e x x ，用导数法证明()0<g x 即可.【详解】因为()1sin ()xf x e a x a R =--∈，所以()cos '=-xf x e a x ， 设()(),()sin xh x f x h x e a x +=''=，当0a ≤时，即0a -≥时，因为[]0,,sin 0π∈≥x x ， 所以sin 0-≥a x ，而10x e -≥，所以1sin 0--≥x e a x 即f (x )≥0恒成立，当01a <≤时，()sin 0x h x e a x '=≥+， 所以()f x '在[0，π]上递增，而(0)10'=-≥f a ， 所以()(0)0f x f ''≥=，所以()f x 在[0，π]上递增， 即()(0)0f x f ≥=成立，当1a >时，()sin 0xh x e a x '=≥+， 所以()f x '在[0，π]上递增，而2(0)10,()02ππ''=-<=>f a f e ，所以存在[]00,x π∈，有()00f x '=， 当00x x <<时，()0f x '<，()f x 递减， 当0x x π<<时，()0f x '>，()f x 递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x ，而0()(0)0f x f <=，不成立 综上：实数a 的取值范围(,1]-∞.（2）因为a =1，所以()()1sin ,0,1=--∈xf x e x x ，令()()1sin =-=---xg x f x x e x x ，所以()cos 1'=--xg x e x ，设()()u x g x ='所以0n (i )s xu x e x +'=≥， 所以()g x '在()0,1上递增，而(0)10,(1)cos110''=-<=-->g g e ， 所以存在()10,1x ∈，()10f x '=， 当10x x <<时，()0g x '<，()g x 递减， 当11x x <<时，()0g x '>，()g x 递增，而(0)0,(1)1sin1120.840==---≈--<g g e e ， 所以()0<g x ，即当()0,1x ∈时，()f x x <，而()10+-=-<n n n n a a f a a ，1n n a a +<， 所以{a n }是递减数列. 【点睛】本题主要考查导数与不等式恒成立问题以及零点存在定理，还考查分类讨论，转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.5．设无穷数列{}n a 的每一项均为正数，对于给定的正整数k ，n n n k b a a +=⋅(*n N ∈)，若{}n b 是等比数列，则称{}n a 为()B k 数列.（1）求证：若{}n a 是无穷等比数列，则{}n a 是()B k 数列； （2）请你写出一个不是等比数列的(1)B 数列的通项公式；（3）设{}n a 为(1)B 数列，且满足2213a a a =⋅，请用数学归纳法证明：{}n a 是等比数列.【答案】（1）证明见解析.（2）1112,21,2k n k a q n k a a qn k --⎧=-=⎨=⎩(2221a a q ≠).(答案不唯一).（3）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）通过证明210n nb q b +=>，证得数列{}n b 是等比数列，由此证得{}n a 为()B k 数列. （2）根据满足1n n n b a a +=⋅的数列{}n b 是等比数列，但无穷数列{}n a 不是等比数列，举出相应的例子.（3）首先根据已知条件得到22n na q a +=，再利用数学归纳法证明212nn n a a a ++=⋅（或者利用数学归纳法证明1n n na c q a +==），由此证得{}n a 是等比数列. 【详解】（1）设{}n a 是公比为q 的等比数列，对于给定的正整数k ，n n n k b a a +=⋅(*n ∈N )， ∴111n n n k b a a ++++=⋅，21110n n n kn n n kb a a q b a a +++++⋅==>⋅， 又1110k b a a +=⋅>，∴{}n b 是等比数列， ∴{}n a 为()B k 数列.（2）1112,21,2k n k a q n k a a qn k --⎧=-=⎨=⎩(2221a a q ≠).(答案不唯一) 简洁的例子如：1,212,2n n k a n k=-⎧=⎨=⎩(*k ∈N ).（3）∵{}n a 为(1)B 数列，∴{}n b 是等比数列，其中1n n n b a a +=⋅(*n ∈N )，∴11221n n n n n n n nb a a a b a a a +++++⋅==⋅(*n ∈N )，∴2{}n n a a +(*n ∈N )是常数列，设常数为2q ，即22n na q a +=(*n ∈N )， 以下用数学归纳法证明(法一)212n n n a a a ++=⋅(*n ∈N )，①由已知2213a a a =⋅可得：当1n =时命题成立；②假设1n k =-(*n ∈N ，2k ≥)时命题成立，即，211k k k a a a -+=⋅，当n k =时，∵2{}n na a +(*n ∈N )是常数列， ∴211k k k k a a a a ++-=(*n ∈N ，2k ≥)， ∴221211k k k k k k a a a a a a +++-⋅=⋅=， 等式也成立.根据①和②可以断定，212n n n a a a ++=⋅对任何*n ∈N 都成立，即{}n a 是等比数列.令1n n na c a +=，以下用数学归纳法证明(法二)n c q =(*n ∈N )， ①∵2213a a a =⋅，∴3221a a a a =，∴223211()a a q a a ==，∴21a q a =，即1c q =， ∴当1n =时命题成立， 假设n k =(*k ∈N ，1k)时命题成立，即k c q =(1k ka q a +=)； ②当1n k =+时，22211112k k k k k k k a a a ac q q a a a a +++++==⋅=⋅=， 等式也成立；根据①和②可以断定，n c q =对任何*n ∈N 都成立，即{}n a 是等比数列. 【点睛】本小题主要考查等比数列的证明，考查数学归纳法证明数列问题，属于难题.6．Fibonacci 数列又称黄金分割数列，因为当n 趋向于无穷大时，其相邻两项中的前项与后0618≈.．已知Fibonacci 数列的递推关系式为121213nn n a a a a a n --==⎧⎨=+≥⎩，． （1）证明：Fibonacci 数列中任意相邻三项不可能成等比数列；（2）Fibonacci 数列{a n }的偶数项依次构成一个新数列，记为{b n }，证明：{b n ＋1-H 2·b n }为等比数列．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）利用反证法，假设存在n a ，1n a +，2n a +三项成等比数列，则21+2n n n a a a +=，进而由已知关系证得1n n a a +=是无理数，这与其递推公式中反应的为有理数矛盾，得证； （2）由题表示2n n b a =，进而由已知n a 的递推关系表示出n b 的递推公式，再构造等比数列{}1n n b mb +-，进而由一一对应关系计算出对应参量，最后由等比数列定义得证.【详解】（1）证明：（反证法）假设存在n a ，1n a +，2n a +三项成等比数列，则21+2n n n a a a +=， 所以()21+1n n n n aa a a +=+，所以21110n n n n a aa a ++⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得1n n a a +=，由条件可知Fibonacci 数列的所有项均大于0，所以1n n a a +=， 又Fibonacci 数列的所有项均为整数（由递推公式），所以1nn a a +应该为有理数，这与1n n a a +=（无理数）矛盾（其相邻两项中的前项与后项的比值越来越接近黄金分割数，而不是恰好相等）， 所以假设不成立，故原命题成立．（2）证明：由条件得2n n b a =，21222n n n a a a ++=-，所以()224232222212222222212233n n n n n n n n n n n n n b a a a a a a a a a a b b ++++++++++==+=+=+-=-=-， 即213n n n b b b ++=-，设()()21121n n n n n n n b mb n b mb b m n b mnb +++++-=-⇒=+-，则332132m m n mn n ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或3232m n ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩所以211n n n n b b +++⎫-=⎪⎪⎝⎭或211n n n n b b +++⎫=⎪⎪⎝⎭所以)22211n n n n b H b b H b +++-⋅=-⋅，所以21{}n n b H b +-⋅． 【点睛】本题考查数列中的新定义问题的证明，涉及反证法的考查，还考查了构造等比数列，属于难题.7．如果存在常数k 使得无穷数列{}n a 满足mn m n a ka a =恒成立，则称为()P k 数列. （1）若数列{}n a 是()1P 数列，61a =，123a =，求3a ； （2）若等差数列{}n b 是()2P 数列，求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在()P k 数列{}n c ，使得2020c ，2021c ，2022c ，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列{}n c ；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）313a =；（2）0n b =或12n b =或2n n b =；（3）存在；满足条件的()P k 数列{}n c 有无穷多个，其通项公式为1n c k=. 【解析】 【分析】（1）根据()P k 数列的定义，得623a a a =，1226a a a =，可求3a ；（2）根据()P k 数列的定义，得2mn m n b b b =，分10b =和10b ≠两种情况讨论.当10b =，0n b =.当10b ≠时，由{}n b 是等差数列，对,m n 赋值，求出1b 和公差d ，即求n b ；（3）假设存在满足条件的()P k 数列{}n c ，设等比数列2020c ，2021c ，2022c ，…的公比为q .则有2020202020202020c kc c ⋅=，2020202120202021c kc c ⋅=，可得q ＝1，故当2020n ≥时，1n c k=.当12020n <<时，不妨设2020i n ≥，i N *∈且i 为奇数， 由()()1122221i i i i i ii n n n n n n n n n n n c c kc c kc c k c c k c -----⨯⨯==⨯=⨯=⨯==，可得1n c k=. 即满足条件的()P k 数列{}n c 有无穷多个，其通项公式为1n c k=. 【详解】（1）由数列{}n a 是()1P 数列，得6231a a a ==，12263a a a ==，可得313a =； （2）由{}n b 是()2P 数列知2mn m n b b b =恒成立，取m ＝1得12n n b b b =恒成立， 当10b =，0n b =时满足题意，此时0n b =，当10b ≠时，由2112b b =可得112b =，取m ＝n ＝2得2422b b =， 设公差为d ，则21132()22d d +=+解得0d =或者12d =，综上，0n b =或12n b =或2n n b =，经检验均合题意. （3）假设存在满足条件的()P k 数列{}n c ，不妨设该等比数列2020c ，2021c ，2022c ，…的公比为q ， 则有2020202020202020202020202020202020202020,c kc c c q kc c ⋅-⋅=∴⋅=⋅，可得2020202020202020qkc ⋅-=①2020202120202020202120202021202020202020,c kc c c q kc c q ⋅-⋅=∴⋅=⋅⋅，可得2020202120212020qkc ⋅-=②综上①②可得q ＝1，故202020202020c c ⋅=，代入2020202020202020c kc c ⋅=得20201c k=， 则当2020n ≥时，1n c k =， 又20201202011,c kc c c k=⋅∴=， 当12020n <<时，不妨设2020i n ≥，i N *∈且i 为奇数， 由()()1122221i i i i i ii n n n n n n n n n n n c c kc c kc c k c c k c -----⨯⨯==⨯=⨯=⨯==，而1i n c k =，11()i i n k c k -∴=，1()()ii n c k ∴=，1n c k∴=. 综上，满足条件的()P k 数列{}n c 有无穷多个，其通项公式为1n c k=. 【点睛】本题考查创新型题目，考查等差数列和等比数列的通项公式，考查学生的逻辑推理能力和计算能力，属于难题.8．对于数列{}n x ，若存在*N m ∈，使得2m k k x x -=对任意*121N ()k m k ≤≤-∈都成立，则称数列{}n x 为“m -折叠数列”.（1）若1*2020(20,)21N n n a C n n -=≤∈，()2*20191Nn b n n n =--∈，判断数列{}na ，{}nb 是否是“m -折叠数列”，如果是，指出m 的值；如果不是，请说明理由；（2）若*(N )n n x q n =∈，求所有的实数q ，使得数列{}n x 是3-折叠数列；（3）给定常数*N p ∈，是否存在数列{},n x 使得对所有*N m ∈，{}n x 都是pm -折叠数列，且{}n x 的各项中恰有1p +个不同的值，证明你的结论.【答案】（1）{}n a 是“m -折叠数列”，{}n b 不是“m -折叠数列”，理由见解析；（2）0q =或1q =或1q =-；（3）存在，证明见解析.【解析】 【分析】（1）由给的定义进行求解；（2）根据题中所给定义，列方程讨论q 的取值可得出结果；（3）只需列举出例子即可证明，结合定义，数列{}n x 的图象有无数条对称轴，可联想三角函数求解. 【详解】解：（1）若数列{}n a 为“m -折叠数列”，则2m k k a a -=， 所以21120202020m k k C C ---=，所以2112020m k k --+-=，得1011m =， 所以{}n a 为“m -折叠数列”，1011m =； 若数列{}n b 是“m -折叠数列，则2m k k b b -=， 所以2201922m k k -+=，得20192m =*N ∉， 所以数列{}n b 不是“m -折叠数列；（2）要使通项公式为*(N )n n x q n =∈的数列{}n x 是3-折叠数列，只需6kk qq -=， 当0q =时，0n x =，显然成立， 当0q ≠时，由6kk qq -=，得621k q -=，2(3)1k q -=，（{}1,2,3,4,5k ∈），所以1q =或1q =-， 综上0q =，1q =或1q =-；（3）对给定的*N p ∈，{}n x 都是pm -折叠数列，故n x 有多条对称轴，其中x pm =都是数列{}n x 的对称轴，设cos n x x pπ=，由x m pππ=（*N m ∈）得对称轴为x pm =，且nx 的周期为2p ，满足给定常数*N p ∈，使得对所有*N m ∈，{}n x 都是pm -折叠数列，n x 是周期函数，周期为2p ，在(1,2]p 这个周期内，x p =为对称轴，故(1,2]n x p ∈对应函数值的个数与[,2]n x p p ∈对应的函数值个数相等，即[,2]n x p p ∈时，[,2]n x pπππ∈所以{}n x 在[,2]n x p p ∈上单调递增，因为*N p ∈，所以n x 各项中共有1p +个不同的值，综上，给定常数*N p ∈，存在数列{}n x ，使得对所有*N m ∈，{}n x 都是pm -折叠数列，且{}n x 的各项中恰有1p +个不同的值 【点睛】此题考查了数列，三角函数等知识，用到了分类讨论思想，函数思想，属于难题.。
自考高数综合练习题五套
自考高数综合练习题一、单项选择题1．下列集合运算结果为空集的是（）A.{0,1,2,}∩{0,3,4}B.{1,2,3}∩{4,5,6}C.{0,2,3,5}∩{0,5,6}D.{1,2,3}∩{1,5,6}2．若f(sinx)=3-cos2x，则f(cosx)=()A.3-sin2xB.3+sin2xC.3-cos2xD.3+cos2x3．已知函数f(x)的定义域为[0,1]，则f(x+a)的定义域是（）A.[0,a]B.[-a,0]C.[a,1+a]D.[-a,1-a]4． ()5．设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，下列函数中必为奇函数的是（）A.y=|f(x)|B.y=-|f(x)|C.y=cD.y=xf(x2)6．arcsinx+arccosx=()（）8．（）A.∞B. 1C. 1/2D. 0是f(x)在x→a过程中为无穷小量9．若x→a时，有0≤f(x)≤g(x)，则的（）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件10．当n→∞时，与sin2等价的无穷小量是（）11．设f(x)=|x|，则（）A．-1 B．0 C．1 D．不存在12．“当x →x0时，f(x)-A是一个无穷小量”是“函数f(x)在点x=x处以A为极限”的（）A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件C．充分必要条件 D．无关条件13．（）A．-1 B．0 C．1/2 D．∞14．若处的二阶导数的定义是（）A． B．C． D．15．设收益函数R(x)=150x-0.01x2(元)，当产量x=100时其边际收益是（）A．149元 B．148元 C．150元 D．148百元16．() A．0 B．1 C．2 D．-217．设某商品在200元的价格水平下的需求价格弹性η=-0.12，它说明价格在200元的基础上上调1%时，需求量将下降（）A．0.12 B．0.12% C．1.2% D．12%18．（）19．( )A．递增 B．递减 C．不增不减 D．有增有减，则()20．设21．( )A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．无关条件22．下列函数对应的曲线在定义域上凹的是（）A．y=e -x B．y=ln(1+x2) C．y=x2-x3 D．y=sinx23．函数 y=x3在闭区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的条件，其中的ξ=（）=（）24．函数y=sin(x+π/2)在x∈[-π,π]上的极大值点xA．π B．-π C．π/2 D．025．下列函数中，在区间[-1，1] 上满足罗尔定理条件的是（）26．（）A．sin(1-2x) B．-2cos(1-2x) C．sin(1-2x)+c D．-2cos(1-2x)+c27．若，则 f(x)=（）28．()29．（）A．1 B．0 C．1/2 D．1/330．（）A．∞ B．1 C．1/3 D．-131．点M1（1，-4，-1），M2（1，0，3），则M1M2的中点坐标是（）A．（0，2，-2） B．（1，-2，1） C．（0，4，-4） D．（2，4，2）32．设由方程e z-xyz=0 确定的隐函数z=z(x,y)，则（）33．（）34．设积分区域D是由（）A．0 B．1/4 C．1/2 D．135．幂级数的收敛半径是（）A．2 B．1/3 C．1/2 D．336．在下列级数中，条件收敛的级数是（）的解的函数是（）37．在下列函数中，能够是微分方程A．y=1 B．y=x C．y=sinx D．y=e x38．微分方程的一个特解是（）A．y=x3+1 B．y=(x+2)3 C．y=(x+c)2 D．y=c(x+1)339．微分方程的通解是y=（）40．（）二、计算题（每小题4分，共12分）求k的值使 f (x) 在其定义域内连续。
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数列与不等式的题型分类.解题策略题型一 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f(x)在定义域为D ，则当x ∈D 时，有f(x)≥M 恒成立⇔f(x)min ≥M ；f(x)≤M 恒成立⇔f(x)max ≤M ；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得.【例1】 等比数列{a n }的公比q ＞1，第17项的平方等于第24项，求使a 1＋a 2＋…＋a n ＞1a 1＋1a 2＋…＋1a n 恒成立的正整数n 的取值围.【分析】 利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a 1与公比q 之间的关系，再利用等比数列前n 项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n 的取值围.【解】 由题意得：(a 1q 16)2＝a 1q 23，∴a 1q 9＝1.由等比数列的性质知：数列{1a n }是以1a 1为首项，以1q 为公比的等比数列，要使不等式成立，则须a 1(q n －1)q －1＞1a 1[1－(1q )n]1－1q ，把a 21＝q -18代入上式并整理，得q -18(q n －1)＞q(1－1qn )，q n ＞q 19，∵q ＞1，∴n ＞19，故所求正整数n 的取值围是n ≥20. 【点评】 本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用.【例2】 （08·全国Ⅱ）设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝a ，a n+1＝S n ＋3n ，n ∈N*．(Ⅰ)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥a n ，n ∈N*，求a 的取值围．【分析】 第（Ⅰ）小题利用S n 与a n 的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件a n+1≥a n 转化为关于n 与a 的关系，再利用a ≤f(n)恒成立等价于a ≤f(n)min 求解．【解】 (Ⅰ)依题意，S n+1－S n ＝a n+1＝S n ＋3n ，即S n+1＝2S n ＋3n ， 由此得S n+1－3 n+1＝2(S n －3n )．因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2 n -1，n ∈N*, ① (Ⅱ)由①知S n ＝3n ＋(a －3)2 n -1，n ∈N*，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n -1＝3n ＋(a －3)2 n -1－3n -1－(a －3)2 n -2＝2×3n -1＋(a －3)2 n -2，a n+1－a n ＝4×3n -1＋(a －3)2n -2＝2n -2·[12·(32)n -2＋a －3]，当n ≥2时，a n+1≥a n ，即2 n -2·[12·(32)n -2＋a －3]≥0，12·(32)n -2＋a －3≥0，∴a ≥－9，综上，所求的a 的取值围是[－9，＋∞]．【点评】 一般地，如果求条件与前n 项和相关的数列的通项公式，则可考虑S n 与a n的关系求解.本题求参数取值围的方法也一种常用的方法，应当引起重视.题型二 数列参与的不等式的证明问题此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.【例3】 已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设p 、q 都是正整数，且p ≠q ，证明：S p+q ＜12(S 2p ＋S 2q )．【分析】 根据条件首先利用等差数列的通项公式及前n 项公式和建立方程组即可解决第(Ⅰ)小题；第(Ⅱ)小题利用差值比较法就可顺利解决.【解】 （Ⅰ）设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝74a 1＋6d ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3d ＝2，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.（Ⅱ）证明：∵a n ＝2n ＋1，∴S n ＝n(a 1＋a n )2＝n 2＋2n ．2S p+q －(S 2p ＋S 2q )＝2[(p ＋q)2＋2(p ＋q)]－(4p 2＋4p)－(4q 2＋4q)＝－2(p －q)2， ∵p ≠q ，∴2S p+q －(S 2p ＋S 2q )＜0，∴S p+q ＜12(S 2p ＋S 2q )．【点评】 利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化.【例4】 (08·高考)设数列{a n }满足a 1＝0，a n+1＝ca n 3＋1－c ，c ∈N*，其中c 为实数.(Ⅰ)证明：a n ∈[0，1]对任意n ∈N*成立的充分必要条件是c ∈[0，1]；(Ⅱ)设0＜c ＜13，证明：a n ≥1－(3c)n -1，n ∈N*；（Ⅲ）设0＜c ＜13，证明：a 12＋a 22＋…＋a n 2＞n ＋1－21－3c ，n ∈N*.【分析】 第（1）小题可考虑用数学归纳法证明；第（2）小题可利用综合法结合不等关系的迭代；第（3）小题利用不等式的传递性转化等比数列，然后利用前n 项和求和，再进行适当放缩.【解】（Ⅰ）必要性：∵a 1＝0，a 2＝1－c ， 又∵a 2∈[0，1]，∴0≤1－c ≤1，即c ∈[0，1].充分性：设c ∈[0，1]，对n ∈N*用数学归纳法证明a n ∈[0，1].(1)当n ＝1时，a 1∈[0，1].(2)假设当n ＝k 时，a k ∈[0，1](k ≥1)成立，则a k ＋1＝ca k 3＋1－c ≤c ＋1－c ＝1，且a k ＋1＝ca k 3＋1－c ≥1－c ≥0， ∴a k ＋1∈[0，1]，这就是说n ＝k ＋1时，a n ∈[0，1]. 由（1）、（2）知，当c ∈[0，1]时，知a n ∈[0，1]对所胡n ∈N*成立. 综上所述，a n ∈[0，1]对任意n ∈N*成立的充分必要条件是c ∈[0，1].（Ⅱ）设0＜c ＜13，当n ＝1时，a 1＝0，结论成立.当n ≥2时，由a n ＝ca n -13＋1－c ，∴1－a n ＝c(1－a n -1)(1＋a n -1＋a n -12)∵0＜c ＜13，由(Ⅰ)知a n -1∈[0，1]，所以1＋a n -1＋a n -12≤3，且1－a n -1≥0，∴1－a n ≤3c(1－a n -1)，∴1－a n ≤3c(1－a n -1)≤(3c)2(1－a n -2)≤…≤(3c) n -1(1－a 1)＝(3c) n -1，∴a n ≥1－(3c)n -1，n ∈N*.(Ⅲ)设0＜c ＜13，当n ＝1时，a 12＝0＞2－21－3c ，结论成立.当n ≥2时，由（Ⅱ）知a n ≥1－(3c)n -1＞0，∴a n 2≥[(1－(3c)n -1)] 2＝1－2(3c)n -1＋(3c)(n -1)＞1－2(3c)n -1，a 12＋a 22＋…＋a n 2＝a 22＋…＋a n 2＞n －1－2[3c ＋(3c)2＋…＋(3c)n -1]＝n －1－2[1＋3c ＋(3c)2＋…＋(3c)n -1－1]＝n ＋1－2[1－(3c)n ]1－3c ＞n ＋1－21－3c .【点评】 本题是数列与不等式、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，此类试题在高考中点占有一席之地，复习时应引起注意.本题的第(Ⅰ)小题实质也是不等式的证明，题型三 求数列中的最大值问题求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建立目标函数，通过不等式确定变量围，进而求得最值；(2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3)利用条件中的不等式关系确定最值.【例5】 (08·高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为______.【分析】 根据条件将前4项与前5项和的不等关系转化为关于首项a 1与公差d 的不等式，然后利用此不等关系确定公差d 的围，由此可确定a 4的最大值.【解】 ∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4≥10，S 5≤15，∴⎩⎪⎨⎪⎧ S 4＝4a 1＋4×32d ≥10S 5＝5a 1＋5×42d ≤15，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ≥5a 1＋2d ≤3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1＋3d ≥5－3d 2＋3d ＝5＋3d 2a 4＝a 1＋3d ＝(a 1＋2d)＋d ≤3＋d ， ∴5＋3d2≤a 4≤3＋d ，则5＋3d ≤6＋2d ，即d ≤1. ∴a 4≤3＋d ≤3＋1＝4，故a 4的最大值为4.【点评】 本题最值的确定主要是根据条件的不等式关系来求最值的，其中确定数列的公差d 是解答的关键，同时解答中要注意不等式传递性的应用.【例6】 等比数列{a n }的首项为a 1＝2002，公比q ＝－12．(Ⅰ)设f(n)表示该数列的前n 项的积，求f(n)的表达式；(Ⅱ)当n 取何值时，f(n)有最大值．【分析】 第(Ⅰ)小题首先利用等比数列的通项公式求数列{a n }的通项，再求得f(n)的表达式；第(Ⅱ)小题通过商值比较法确定数列的单调性，再通过比较求得最值.【解】 (Ⅰ)a n ＝2002·(－12)n -1，f(n)＝2002n ·(－12)n(n -1)2(Ⅱ)由(Ⅰ)，得|f(n ＋1)||f(n)|＝20022n ，则当n ≤10时，|f(n ＋1)||f(n)|＝20022n ＞1，∴|f(11)|＞|f(10)|＞…＞|f(1)|，当n ≥11时，|f(n ＋1)||f(n)|＝20022n ＜1，∴|f(11)|＞|f(12)|＞|f(13)|＞…，∵f(11)＜0，f(10)＜0，f(9)＞0，f(12)＞0，∴f(n)的最大值为f(9)或f(12)中的最大者． ∵f(12)f(9)＝200212·(12)6620029·(12)36＝20023·(12)30＝(2002210)3＞1， ∴当n ＝12时，f(n)有最大值为f(12)＝200212·(12)66．【点评】 本题解答有两个关键：(1)利用商值比较法确定数列的单调性；(2)注意比较f(12)与f(9)的大小.整个解答过程还须注意f(n)中各项的符号变化情况.题型四 求解探索性问题数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在围的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.【例7】 已知{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝4.(Ⅰ)求证：数列{a n }是等比数列；(Ⅱ)是否存在正整数k ，使S k+1－2S k －2＞2成立.【分析】 第(Ⅰ)小题通过代数变换确定数列a n +1与a n 的关系，结合定义判断数列{a n }为等比数列；而第(Ⅱ)小题先假设条件中的不等式成立，再由此进行推理，确定此不等式成立的合理性.【解】 (Ⅰ)由题意，S n ＋a n ＝4，S n +1＋a n +1＝4，由两式相减，得(S n +1＋a n +1)－(S n ＋a n )＝0，即2a n +1－a n ＝0，a n +1＝12a n ，又2a 1＝S 1＋a 1＝4，∴a 1＝2，∴数列{a n }是以首项a 1＝2，公比为q ＝12的等比数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)，得S n ＝2[1―(12)n ]1―12＝4－22-n .又由S k+1－2S k －2＞2，得4－21-k －24－22-k －2＞2，整理，得23＜21-k ＜1，即1＜2 k -1＜32，∵k ∈N *，∴2k -1∈N *，这与2k -1∈(1，32)相矛盾，故不存在这样的k ，使不等式成立.【点评】 本题解答的整个过程属于常规解法，但在导出矛盾时须注意条件“k ∈N *”，这是在解答数列问题中易忽视的一个陷阱.【例8】 (08·高考)已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n+1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n－3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a ＜b,S n 为数列{b n }的前n 项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有a ＜S n ＜b?若存在，求λ的取值围；若不存在，说明理由.【分析】 第(Ⅰ)小题利用反证法证明；第(Ⅱ)小题利用等比数列的定义证明；第(Ⅲ)小题属于存在型问题，解答时就假设a ＜S n ＜b 成立，由此看是否能推导出存在存在实数λ.【解】 （Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即 (23λ－3)2＝λ(49λ－4)⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾，所以{a n }不是等比数列. (Ⅱ)解：因为b n+1＝(－1)n+1[a n+1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n+1(23a n －2n ＋14)＝－23(a n －3n －21)＝－23b n ，又b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b n ＝0(n ∈N*)，此时{b n }不是等比数列；当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，由上可知b n ≠0，∴b n+1b n ＝－23(n ∈N*).故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列.(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ＝－18，b n ＝0(n ∈N*)，S n ＝0，不满足题目要求；.∴λ≠－18，故知b n ＝－(λ＋18)×(－23)n -1，于是S n ＝－35(λ＋18)·[1－(－23)n ]要使a ＜S n ＜b 对任意正整数n 成立，即a ＜－－35(λ＋18)·[1－(－23)n ]＜b ，(n ∈N*).得a1－(－23)n ＜－35(λ＋18)＜b 1－(－23)n，(n ∈N*) ① 令f(n)＝1－(－23)n ，则当n 为正奇数时，1＜f(n)≤53，当n 为正偶数时59≤f(n)＜1；∴f(n)的最大值为f(1)＝53，f(n)的最小值为f(2)＝59,于是，由①式得59a ＜－35(λ＋18)＜35b ，∴－b －18＜λ＜－3a －18，(必须－b ＜－3a ，即b ＞3a).当a ＜b ＜3a 时，由－b －18≥－3a －18，不存在实数满足题目要求； 当b ＞3a 存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有a ＜S n ＜b,且λ的取值围是(－b －18，－3a －18).【点评】 存在性问题指的是命题的结论不确定的一类探索性问题，解答此类题型一般是从存在的方面入手，寻求结论成立的条件，若能找到这个条件，则问题的回答是肯定的；若找不到这个条件或找到的条件与题设矛盾，则问题的回答是否定的.其过程可以概括为假设——推证——定论.本题解答注意对参数λ及项数n 的双重讨论.【专题训练】一、选择题1．已知无穷数列{a n }是各项均为正数的等差数列，则有（ ）A ．a 4a 6＜a 6a 8B ．a 4a 6≤a 6a 8C ．a 4a 6＞a 6a 8D ．a 4a 6≥a 6a 82．设{a n }是由正数构成的等比数列，b n ＝a n+1＋a n+2，c n ＝a n ＋a n+3，则（ ） A ．b n ＞c nB ．b n ＜c nC ．b n ≥c nD ．b n ≤c n3．已知{a n }为等差数列，{b n }为正项等比数列，公比q ≠1，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则（ ）A ．a 6＝b 6B ．a 6＞b 6C ．a 6＜b 6D ．a 6＞b 6或a 6＜b 6 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足５＜a k ＜８，则k ＝ （ ）A ．9B ．8C ．7D ．6 5．已知等比数列{a n }的公比q ＞0，其前n 项的和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是（ ）A ．S 4a 5＜S 5a 4B ．S 4a 5＞S 5a 4C ．S 4a 5＝S 5a 4D ．不确定 6．设S n ＝1＋2＋3＋…＋n ，n ∈N*，则函数f(n)＝S n(n ＋32)S n+1的最大值为（ ）A ．120B ．130C ．140D ．1507．已知y 是x 的函数，且lg3，lg(sinx －12)，lg(1－y)顺次成等差数列，则（ ）A ．y 有最大值1，无最小值B ．y 有最小值1112，无最大值C ．y 有最小值1112，最大值1D ．y 有最小值－1，最大值18．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值围是（ ）Ａ．(－∞，－1] Ｂ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) Ｃ．[3，＋∞) Ｄ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 9．设3b 是1－a 和1＋a 的等比中项，则a ＋3b 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．设等比数列{a n }的首相为a 1，公比为q ，则“a 1＜0，且0＜q ＜1”是“对于任意n ∈N*都有a n+1＞a n ”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分比要条件 D ．既不充分又不必要条件11．{a n }为等差数列，若a 11a 10＜－1，且它的前n 项和S n 有最小值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝ （ ）A ．11B ．17C ．19D ．2112．设f(x)是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ∈R ，都有f(x)f(y)＝f(x ＋y)，若a 1＝12，a n ＝f(n)(n ∈N*)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值围是（ ）A ．[12，2)B ．[12，2]C ．[12，1)D ．[12，1]二、填空题13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26，记T n ＝S nn2，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，T n ≤M 都成立．则M 的最小值是__________．14．无穷等比数列{a n }中，a 1＞1，|q|＜1，且除a 1外其余各项之和不大于a 1的一半，则q的取值围是________. 15．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b)2cd 的最小值是________. Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．416．等差数列{a n }的公差d 不为零，S n 是其前n 项和，给出下列四个命题：①A ．若d ＜0，且S 3＝S 8，则{S n }中，S 5和S 6都是{S n }中的最大项；②给定n ，对于一定k ∈N*(k ＜n)，都有a n -k ＋a n+k ＝2a n ；③若d ＞0，则{S n }中一定有最小的项；④存在k ∈N*，使a k －a k+1和a k －a k -1同号其中真命题的序号是____________. 三、解答题17．已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5．（Ⅰ）求{a n }的通项n a ；（Ⅱ）求{a n }前n项和S n 的最大值．18．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n +1)(n ∈N *）在函数y ＝x 2＋1的图象上.(Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛b n ｝满足b 1＝1,b n +1＝b n ＋2a n ，求证：b n·b n +2＜b 2n +1.19．设数列{a n }的首项a 1∈(0，1)，a n ＝3－a n -12，n ＝2，3，4，….（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝a n 3－2a n ，证明b n ＜b n+1，其中n 为正整数．20．已知数列{a n }中a 1＝2，a n+1＝(2－1)( a n ＋2)，n ＝1，2，3，….（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n }中b 1＝2，b n+1＝3b n ＋42b n ＋3，n ＝1，2，3，….证明：2＜b n ≤a 4n -3，n＝1，2，3，…21．已知二次函数y ＝f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f '(x)＝6x －2，数列{a n }的前n项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N*)均在函数y ＝f(x)的图像上.（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝1a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m20对所有n ∈N*都成立的最小正整数m ；22．数列{}n a 满足11a =，21()n n a n n a λ+=+-（12n =L ，，），λ是常数．（Ⅰ）当21a =-时，求λ及3a 的值；（Ⅱ）数列{}n a 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅲ）求λ的取值围，使得存在正整数m ，当n m >时总有0n a <．【专题训练】参考答案 一、选择题 1．B 【解析】a 4a 8＝(a 1＋3d)(a 1＋7d)＝a 12＋10a 1d ＋21d 2，a 62＝(a 1＋5d)2＝a 12＋10a 1d ＋25d 2，故a 4a 6≤a 6a 8.2．D 【解析】设其公比为q,则b n －c n ＝a n (q －1)(1－q 2)＝－a n (q －1)2(q ＋1)，当q ＝1时，b n ＝c n ，当q ＞0，且q ≠1时，b n ＜c n ，故b n ≤c n .3．B 【解析】因为q ≠1，b 1＞0，b 11＞0，所以b 1≠b 11，则a 6＝a 1＋a 112＝b 1＋b 112＞b 1b 11＝b 6.4．B 【解析】因数列为等差数列，a n ＝S n －S n -1＝2n －10，由5＜2k －10＜8，得到k ＝8.5．A 【解析】S 4a 5－S 5a 4 ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)a 4q －(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)a 4＝－a 1a 4＝－a 12q 3＜0，∴S 4a 5＜S 5a 4． 6．D 【解析】由S n ＝n(n ＋1)2，得f(n)＝n (n ＋32)(n ＋2)＝nn 2＋34n ＋64＝1n ＋64n＋34≤1264＋34＝150，当n ＝64n ，即n ＝8时取等号，即f(n)max ＝f(8)＝150．7．B 【解析】由已知y ＝－13(sinx －12)2＋1，且sinx ＞12，y ＜1，所以当sinx ＝1时，y有最小值1112，无最大值.8．D 【解】∵等比数列{a n }中a 2＝1，∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2(1q ＋1＋q)＝1＋q ＋1q .∴当公比q ＞0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q ＝3，当公比q ＜0时，S 3＝1－(－q －1q)≤1－2(－q)·(－1q)＝－1，∴S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞).9．B 【解析】3b 是1－a 和1＋a 的等比中项，则3b 2＝1－a 2⇔a 2＋3b 2＝1，令a ＝cos θ，3b ＝sin θ，θ∈(0，2π)，所以a ＋3b ＝cos θ＋3in θ＝2sin(θ＋π6)≤2.10．A 【解析】当a 1＜0，且0＜q ＜1时，数列为递增数列，但当数列为递增数列时，还存在另一情况a 1＞0，且q ＞1，故选A.11．C 【解析】由a 11a 10＜－1，得a 10＋a 11a 10＜0⇔a 1＋a 20a 10＜0⇔12×20(a 1＋a 20)12×19(a 1＋a 19)＜0⇔S 20S 19＜0，则要使S n 取得最小正值必须满足S 19＞0，且S 20＜0，此时n ＝19.12．C 【解析】f(x)是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ∈R ，都有f(x)f(y)＝f(x ＋y)，a 1＝12，a n ＝f(n)(n ∈N*)，a n+1＝f(n ＋1)＝f(1)f(n)＝12a n ，∴S n ＝12[1－(12)n ]1－12＝1－(12)n .则数列{a n }的前n 项和的取值围是[12，1).二、填空题13．2 【解析】由a 4－a 2＝8，可得公差d ＝4，再由a 3＋a 5＝26，可得a 1＝1，故S n ＝n ＋2n (n －1)＝2n 2－n ，∴T n ＝2n －1n ＝2－1n，要使得T n ≤M ，只需M ≥2即可，故M 的最小值为2，答案：214．(－1，0]∪(0，13] 【解析】a 1q 1－q ≤a 12⇒q ≤13，但|q|＜1，且q ≠0，故q ∈(－1，0]∪(0，13]. 15．4 【解析】∵(a ＋b)2cd ＝(x ＋y)2xy ≥(2xy)2xy＝4.16．D 【解析】对于①：∵S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝0，∴S 5＝S 6，又d ＜0，S 5＝S 6为最大，故A 正确；对于②：根据等差中项知正确；对于③：∵d ＞0，点(n ，S n )分布在开口向上的抛物线，故{S n }中一定有最小的项，故③正确；而a k －a k+1＝－d ，a k －a k -1＝d ，且d ≠0，故④为假命题. 三、解答题17．【解】（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，由已知条件，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2．所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5．（Ⅱ）S n ＝na 1＋n(n －1)2d ＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4，所以n ＝2时，S n 取到最大值4． 18．【解】(Ⅰ)由已知得a n +1＝a n ＋1，即a n +1－a n ＝1，又a 1＝1，所以数列｛a n ｝是以1为首项，公差为1的等差数列，故a n ＝1＋(a －1)×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：a n ＝n 从而b n +1－b n ＝2n .b n ＝(b n －b n -1)＋(b n -1－b n -2)＋…＋（b 2－b 1）＋b 1＝2n -1＋2n -2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n －1.因为b n ·b n +2－b 21+n ＝(2n －1)(2n +2－1)－(2n -1－1)2＝(22n +2－2n +2－2n ＋1)－(22n +2－2－2n +1－1)＝－5·2n ＋4·2n ＝－2n ＜0, 所以b n ·b n +2＜b 21+n .19．【解】（Ⅰ）由a n ＝3－a n -12，n ＝2，3，4，….整理得1－a n ＝－12(1－a n -1)．又1－a 1≠0，所以{1－a n }是首项为1－a 1，公比为－12的等比数列，得a n ＝1－(1－a 1)(－12)n -1， （Ⅱ）由（Ⅰ）可知0＜a n ＜32，故b n ＞0．那么，b n+12－b n 2＝an+12(3－2a n+1)－a n 2(3－2a n )＝(3－a n 2)2(3－2×3－a n 2)－a n 2(3－2a n )＝9a n4(a n －1)2.又由（Ⅰ）知a n ＞0，且a n ≠1，故b n+12－b n 2＞0，因此b n ＜b n+1，为正整数．20．【解】（Ⅰ）由题设：a n+1＝(2－1)(a n ＋2)＝(2－1)(a n －2)＋(2－1)(2＋2)，＝(2－1)(a n －2)＋2，∴a n+1－2＝(2－1)(a n －2)．所以，数列{a n －2}a 是首项为2－2，公比为2－1)的等比数列，a n －2＝2(2－1)n ，即a n 的通项公式为a n ＝2[(2－1)n ＋1]，n ＝1，2，3，….（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当n ＝1时，因2＜2，b 1＝a 1＝2，所以2＜b 1≤a 1，结论成立．（ⅱ）假设当n ＝k 时，结论成立，即2＜b k ≤a 4k -3，，也即0＜b n －2≤a 4k -3－2， 当n ＝k ＋1时，b k+1－2＝3b k ＋42b k ＋3－2＝(3－22)b k ＋(4－32)2b k ＋3＝(3－22)(b k －2)2b k ＋3＞0，又12b k ＋3＜122＋3＝3－22， 所以b k+1－2＝(3－22)(b k －2)2b k ＋3＜(3－22)2(b k －2)≤(2－1)4(a 4k -3－2)＝a 4k+1－ 2也就是说，当n ＝k ＋1时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知2＜b n ≤a 4n -3，n ＝1，2，3，….21．【解】（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2＋bx (a ≠0) ，则 f`(x)＝2ax ＋b ，由于f`(x)＝6x －2，得a ＝3 ，b ＝－2，所以f(x)＝3x 2－2x.，又因为点(n ，S n )(n ∈N*)均在函数y ＝f(x)的图像上，所以S n ＝3n 2－2n ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5（n ∈N*）. （Ⅱ）由（Ⅰ）得知b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)[6(n －1)－5]＝12(16n －5－16n ＋1)，故T n ＝∑n i=1b i ＝12[(1－17)＋(17–113)＋…＋(16n －5－16n ＋1)]＝12(1–16n ＋1），因此，要使12(1－16n ＋1）＜m 20（n ∈N*）成立的m ，必须且仅须满足12≤m20，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.22．【解】（Ⅰ）由于21()(12)n n a n n a n λ+=+-=L ，，，且11a =． 所以当21a =-时，得12λ-=-，故3λ=．从而23(223)(1)3a =+-⨯-=-． （Ⅱ）数列{}n a 不可能为等差数列，证明如下：由11a =，21()n n a n n a λ+=+-得22a λ=-，3(6)(2)a λλ=--，4(12)(6)(2)a λλλ=---．若存在λ，使{}n a 为等差数列，则3221a a a a -=-，即(5)(2)1λλλ--=-， 解得3λ=．于是2112a a λ-=-=-，43(11)(6)(2)24a a λλλ-=---=-． 这与{}n a 为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{}n a 都不可能是等差数列．（Ⅲ）记2(12)n b n n n λ=+-=L ，，，根据题意可知，10b <且0n b ≠，即2λ> 且2*()n n n λ≠+∈N ，这时总存在*0n ∈N ，满足：当0n n ≥时，0n b >；当01n n -≤时，0n b <．所以由1n n n a b a +=及110a =>可知，若0n 为偶数， 则00n a <，从而当0n n >时，0n a <；若0n 为奇数，则00n a >，从而当0n n >时0n a >．因此“存在*m ∈N ，当n m >时总有0n a <”的充分必要条件是：0n 为偶数，记02(12)n k k ==L ，，，则λ满足22221(2)20(21)210k k b k k b k k λλ-⎧=+->⎪⎨=-+--<⎪⎩． 故λ的取值围是22*4242()k k k k k λ-<<+∈N ．。