二次函数最值问题复习专题

二次函数之最值问题研究

成都市天府新区籍田中学 吴磊

【教学目标】 建立二次函数数学模型，并用数学模型求最值；

【教学重点】 根据题意建立数学模型运用适当的数学思想方法解决问题；

【教学难点】 建立二次函数的数学模型，运用数学思想方法解决问题；

一、知识回顾

求最值问题的基本解题步骤：

1．审题．读懂问题，分析问题各个量之间的关系；

2．列数学表达式．用数学方法表示它们之间的关系，即建立二次函数关系式；

3．求值．利用顶点坐标公式24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

（对称轴法）或配方法求得最值； 对称轴法：（1）把2b x a

=-

代入2y ax bx c =++即可求出其最值； （2）自变量不能够取得2b x a

=-时， ①当0a >时，离对称轴越远函数值越大，离对称轴越近，函数值越小； ②当0a <时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近，函数值越大. 配方法：将二次函数2y ax bx c =++转化为2()y a x h k =-+的形式，对称轴为x h =． (1)当0a >时，y 有最小值，即当x =h 时，=y k 最小值；

(2)当0a <时，y 有最大值，即当x =h 时，=y k 最大值．

4．检验．检验结果的合理性．（函数求最值需考虑实际问题的自变量的取值范围）

二、分类问题处理:

第一类 常规求最值问题

【例1】（1） 抛物线y=23

x 2－4x ＋21的最小值是（ ） A.21 B.－21 C. 15 D.－15 （2）二次函数281y x x k =++-的最小值是5，则k 的值是（ ）

A.22 B －22 C.21 D.－21

〖变式训练〗

（1）抛物线21432

y x x =--+的最大值是（ ） A.3 B.－3 C. -11 D.11 （2）抛物线24y x ax =--的最大值是（ ）

A.24a

B.2

4a - C.4 D.-4

第二类 含自变量取值限制的求最值问题

【例2】（1）二次函数245y x x =-++，求当61x -≤≤的最值。

练习：1、二次函数2614y x x =--，求当19x -≤≤的最值。

2.二次函数2229y x x =---上有三个点A 111,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、B 225,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭、C 37,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则123y y 、、y 的大小关系是 ；

第三类 实际应用下的最值问题研究

【例3】家惠商场服装部为促进营销、吸引顾客，决定试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，试销过程中发现，销售量y （件）与销售单价x （元）之间存在如图所示的一次函数关系。

（1）求y 关于x 的函数关系式（不必写出x 的取值范围）；

（2）求试销期间该服装部销售该品牌服装获得利润W （元）与销售单价x （元）的函数关系式；销售单价定为多少元时，服装部可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）如果在试销期间该服装部想要获得500元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（4）若在试销期间该服装部获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的取值范围。

y/

三、自我挑战：已知二次函数1422-++=a ax ax y ，当14≤≤-x 时，y 的最大值为5，则实数a 的值为

四、谈谈你的收获：

五、课后作业

1、二次函数1542--=x x y 上有三个点A （1,29y -）、B （2,23y ）、C （3,2

15y -），则1y 、2y 、3y 的大小关系为

2、已知抛物线23

12+-=x y ，当51≤≤x 时，y 的最大值是 3、已知二次函数542++-=x x y ，其中32≤≤-x ，y 的最值是 4、为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+500．

（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

（2）设李明获得的利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

评课：1、这节课应由图贯穿始终，体现数形结合的思想，其实就是应该看图说话

2、选题应该看此题可能在试卷哪里可以放得下

、 3 、要借题讲方法（1）数据信息藏在题中的问题是函数背景还是方程背景

（2）找函数背景的共性，找套路

教学反思：

二次函数探究题是中考的重点和热点，用二次函数求解最大利润问题是其典型代表，是中考中B卷第26题常考的话题。这次选用的例题，就该班学生的学情来说，函数背景较为清楚和简单，学生能比较容易的列出函数关系式。但在求最大利润的过程中，最大利润在何时取到是该题考查的一个重点之一。为了让学生更好的解决这个问题，所以，在例一和例二都设计了二次函数求最值的问题。本以为同学们在这基础上解决好例三应该不存在问题，但是在巡视的过程中，发现依然有同学在取值的过程中犯错，虽然通过同学们的纠正后改正，但这也成为了我的困惑：为什么这种错误常讲常犯？听了谭老师点评后，受益匪浅，其实就是要让学生动手画图，就是让学生会看图说话。反思自己，这一类题让学生看图说话的引导的确做的还不够。包括例三最后一个问，表面上看是解一元二次不等式，这是初中阶段学生不能完成的问题，但是通过数形结合，就能很轻松地解决出来。但是同学们“舍不得”动手画图，没有将函数关系式与其图像结合起来，做起来就显得比较吃力。另外，在对二次函数求最值时，同学们最喜欢用的是配方法，其实，配方法相对较难，而且如果有分数还容易错，可以考虑用公式法，或者带对称轴进行计算。