中考数学圆的综合综合题汇编及详细答案

6．如图，已知四边形 ABCD 是矩形，点 P 在 BC 边的延长线上，且 PD=BC，⊙A 经过点 B， 与 AD 边交于点 E，连接 CE . （1）求证：直线 PD 是⊙A 的切线；
（2）若 PC=2 5 ，sin∠ P= 2 ，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）． 3
【答案】（1）见解析；（2）20-4π. 【解析】 分析：（1）过点 A 作 AH⊥PD，垂足为 H，只要证明 AH 为半径即可. （2）分别算出 Rt△ CED 的面积，扇形 ABE 的面积，矩形 ABCD 的面积即可. 详解：（1）证明：如图，过 A 作 AH⊥PD，垂足为 H，
∵ OC=OA， ∴ ∠ BAC=∠ OCA，
∵ ∴ ∠ BAC=∠ EAC， ∴ ∠ EAC=∠ OCA， ∴ OC∥ AE， ∵ DE 切⊙O 于点 C， ∴ OC⊥DE， ∴ AE⊥DE； （2）解：∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ △ ABC 是直角三角形， ∵ ∠ CBA=60°， ∴ ∠ BAC=∠ EAC=30°， ∵ △ AEC 为直角三角形，AE=3， ∴ AC=2 ， 连接 OF， ∵ OF=OA，∠ OAF=∠ BAC+∠ EAC=60°， ∴ △ OAF 为等边三角形，
① 求 C 的正切值； ② 若 ABC为等腰三角形，求 ABC 面积．
【答案】 1
30； 2① C 的正切值为
3 4
； ②S
ABC
27
或
432 25
.
【解析】
【分析】
1 连接 OA，OB，判断出 AOB 是等边三角形，即可得出结论；
2①先求出 AD 10 ，再用勾股定理求出 BD 8 ，进而求出 tanADB，即可得出结
5．如图，AB 为 O 的直径，弦 CD / / AB ，E 是 AB 延长线上一点， CDB ADE ．
1 DE 是 O 的切线吗？请说明理由； 2 求证： AC2 CD BE ．
【答案】（1）结论：DE 是 O 的切线，理由见解析；（2）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）连接 OD ，只要证明 OD DE 即可； （2）只要证明： AC BD ， CDB∽ DBE 即可解决问题.
2．如图，在平面直角坐标系 xoy 中，E（8,0），F(0 , 6)．
（1）当 G(4，8)时，则∠ FGE=
°
（2）在图中的网格区域内找一点 P，使∠ FPE=90°且四边形 OEPF 被过 P 点的一条直线分割
成两部分后，可以拼成一个正方形．
要求：写出点 P 点坐标，画出过 P 点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画
∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD=BC，AD∥ BC，∠ PCD=∠ BCD=90°， ∴ ∠ ADH=∠ P，∠ AHD=∠ PCD=90°， 又 PD=BC，∴ AD=PD， ∴ △ ADH≌ △ DPC，∴ AH=CD， ∵ CD=AB，且 AB 是⊙A 的半径， ∴ AH=AB,即 AH 是⊙A 的半径， ∴ PD 是⊙A 的切线.
的中
【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】
试题分析：（1）首先连接 OC，由 OC=OA，
，易证得 OC∥ AE，又由 DE 切⊙O 于
点 C，易证得 AE⊥DE；
（2）由 AB 是⊙O 的直径，可得△ ABC 是直角三角形，易得△ AEC 为直角三角形，根据
AE=3 求得 AC 的长，然后连接 OF，可得△ OAF 为等边三角形，知 AF=OA= AB，在△ ACB 中，利用已知条件求得答案． 试题解析：（1）证明：连接 OC，
2 CD / / AB ，
ADC DAB ， CDB DBE ， AC BD ， AC BD ，
DCB DAB， EDB DAB ，
EDB DCB， CDB ∽ DBE ， CD DB ，
BD BE BD2 CD BE ， AC2 CD BE ．
【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会 添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.
∴ 根据勾股定理，得 FG= ，EG= ，FE=10．
∵
，即
．
∴ △ FEG 是直角三角形，且∠ FGE=90 °．
（2）作图如下：
P（7，7），PH 是分割线． 考点：1．网格问题；2．勾股定理和逆定理；3．作图（设计）；4．圆周角定理．
3．如图，已知△ ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，点 F 在⊙O 上，且点 C 是 点，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 D，交 AF 的延长线于点 E． （1）求证：AE⊥DE； （2）若∠ BAF=60°，AF=4，求 CE 的长．
【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3． 【解析】
试题分析：（1）先判断出∠ OCF+∠ CFO=90°，再判断出∠ OCF=∠ ODF，即可得出结论； （2）先判断出∠ BDE=∠ A，进而得出△ EBD∽ △ EDA，得出 AE=2DE，DE=2BE，即可得出结 论；
（3）设 BE=x，则 DE=EF=2x，AB=3x，半径 OD= 3 x，进而得出 OE=1+2x，最后用勾股定理 2
扇形 ABE 的面积为 1 π×42=4π， 2
∴ 图中阴影部份的面积为 24-4-4π=20-4π. 点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形 的面积.
7．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 是半圆 O 的三等分点，过点 C 作⊙O 的切线交 AD 的 延长线于点 E，过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，交⊙O 于点 H，连接 DC，AC． （1）求证：∠ AEC=90°； （2）试判断以点 A，O，C，D 为顶点的四边形的形状，并说明理由； （3）若 DC=2，求 DH 的长．
【详解】
1 解：结论：DE 是 O 的切线．
理由：连接 OD．
CDB ADE ， ADC EDB ，
CD / / AB ， CDA DAB ，
OA OD ， OAD ODA ， ADO EDB ，
AB 是直径， ADB 90 ， ADB ODE 90 ， DE OD ， DE 是 O 的切线．
（2）如图，在 Rt△ PDC 中，∵ sin∠ P= CD 2 ，PC=2 5 ， PD 3
令 CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)2=(2 5 )2，
解得：x=2，∴ CD=4，PD=6， ∴ AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，
∵ 矩形 ABCD 的面积为 6×4=24，Rt△ CED 的面积为 1 ×4×2=4， 2
∴ ∠ BDE=∠ A，而∠ BED=∠ DEA，∴ △ EBD∽ △ EDA，∴ DE BE BD ．∵ Rt△ ABD AE DE AD
中，tanA= BD = 1 ，∴ DE BE = 1 ， AD 2 AE DE 2
∴ AE=2DE，DE=2BE，∴ AE=4BE，∴ AB=3BE；
（3）设 BE=x，则 DE=EF=2x，AB=3x，半径 OD= 3 x．∵ OF=1，∴ OE=1+2x． 2
【答案】（1）证明见解析； （2）四边形 AOCD 为菱形； （3）DH=2 ． 【解析】 试题分析：（1）连接 OC，根据 EC 与⊙O 切点 C，则∠ OCE=90°，由题意得
，∠ DAC=∠ CAB，即可证明 AE∥ OC，则∠ AEC+∠ OCE=180°，从而得出 ∠ AEC=90°；
（2）四边形 AOCD 为菱形．由（1）得
法）．
【答案】（1）90；（2）作图见解析，P（7，7），PH 是分割线． 【解析】 试题分析：（1）根据勾股定理求出△ FEG 的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△ FEG 是 直角三角形，且∠ FGE="90" °． （2）一方面，由于∠ FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点 P 在以 EF 为直径 的圆上；另一方面，由于四边形 OEPF 被过 P 点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一 个正方形，从而 OP 是正方形的对角线，即点 P 在∠ FOE 的角平分线上，因此可得 P（7， 7），PH 是分割线． 试题解析：（1）连接 FE， ∵ E（8,0），F(0 , 6)，G(4，8)，
AF 3 AC 18 ，
5
5
CF 24 ， 5
S
ABC
1 2
AF BC
1 2
18 5
24 5
432 25
；
Ⅲ、当 BA
BC 6 时，如图
5，由对称性知， S
ABC
432 25
．
【点睛】 圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积 公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
AO 是 BC 的垂直平分线，
过点 O 作 OG AB于 G，
AOG 1 AOB， AG 1 AB 3，
2
2
AOB 2 ACB，
ACF AOG ，来自百度文库
在 Rt AOG 中， sin AOG AG 3 ， AC 5
sin ACF 3 ， 5
在 Rt ACF中， sin ACF 3 ， 5
论；
② 分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．
【详解】
1 如图 1，连接 OB，OA，
OB OC 5 ， AB m 5 ，
OB OC AB， AOB 是等边三角形， AOB 60 ， ACB 1 AOB 30 ，
2
故答案为 30；
2①如图 2，连接 AO 并延长交 O 于 D，连接 BD，
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在⊙O 中，AB 为直径，OC⊥AB，弦 CD 与 OB 交于点 F，在 AB 的延长线上有点 E，且 EF=ED． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若 tanA= 1 ，探究线段 AB 和 BE 之间的数量关系，并证明； 2
（3）在（2）的条件下，若 OF=1，求圆 O 的半径．
在 Rt△ ODE 中，由勾股定理可得：（ 3 x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴ x=﹣ 2 （舍）或 x=2，
2
9
∴ 圆 O 的半径为 3．
点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角 函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△ EBD∽ △ EDA 是解答本题的关键．
AD 为 O 的直径， AD 10， ABD 90 ， 在 Rt ABD中， AB m 6，根据勾股定理得， BD 8 ， tan ADB AB 3 ，
BD 4
C ADB ， C的正切值为 3 ；
4 ② Ⅰ、当 AC BC 时，如图 3，连接 CO 并延长交 AB 于 E，
∴ AF=OA= AB， 在 Rt△ ACB 中，AC=2 ，tan∠ CBA= ， ∴ BC=2， ∴ AB=4， ∴ AF=2． 考点：切线的性质．
4．已知 O 的半径为 5，弦 AB 的长度为 m，点 C 是弦 AB 所对优弧上的一动点．
1 如图 ① ，若 m 5 ，则 C 的度数为______ ； 2 如图 ② ，若 m 6 ．
AC BC ， AO BO ，
CE 为 AB 的垂直平分线，
AE BE 3，
在 Rt AEO 中， OA 5 ，根据勾股定理得， OE 4 ，
CE OE OC 9 ，
S
ABC
1 2
AB CE
1 2
69
27
；
Ⅱ、当 AC AB 6 时，如图 4，
连接 OA 交 BC 于 F，
AC AB ， OC OB ，
即可得出结论．
试题解析：（1）证明：连结 OD，如图．∵ EF=ED，∴ ∠ EFD=∠ EDF．∵ ∠ EFD=∠ CFO， ∴ ∠ CFO=∠ EDF．∵ OC⊥OF，∴ ∠ OCF+∠ CFO=90°．∵ OC=OD，∴ ∠ OCF=∠ ODF， ∴ ∠ ODC+∠ EDF=90°，即∠ ODE=90°，∴ OD⊥DE．∵ 点 D 在⊙O 上，∴ DE 是⊙O 的切线； （2）线段 AB、BE 之间的数量关系为：AB=3BE．证明如下： ∵ AB 为⊙O 直径，∴ ∠ ADB=90°，∴ ∠ ADO=∠ BDE．∵ OA=OD，∴ ∠ ADO=∠ A，