高等代数论文
莆田学院数学与应用数学系
“高等代数选讲”课程论文题目:小论矩阵的对角化
姓名:刘文娟
学号:410401210
莆田学院数学与应用数学系
数学与应用数学专业2004级
2007年6 月22 日
小论矩阵的对角化
刘文娟 042数本 410401210
摘要:对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种,这里讨论n 阶矩阵对角化的一些判定条
件(充要条件)及几种常用矩阵的对角化问题。
关键词:可对角化 特征值 特征向量 不变因子 初等因子 最小多项式 矩阵的秩
特征多项式 循环矩阵
定义:数域F 上方阵A ,如果能与一个F 上的对角方阵相似,则A 在F 可对角化。 判定1:A 可对角化的充要条件是:有n 个线性无关的特征向量。 判定2:设n 方阵A 的全部不同的特征根为12,,
,m λλλ而()12,,1,2,i i isi i m ααα=为
()0i E A X λ-=的一个基础解系(从而是属于i λ的一极大无关特征向量组),A 可对角化的充要条件是:
12m s s s n ++=
判定3:设12,,
,m λλλ为n 方阵A 的全部不同的特征根,且分别为12,,
m s s s 重根,A 可
对角化的充要条件是: 对每个()1,2,
i i m =都有:
()i i r E A n s λ-=- 证明:充分性 设()i i r E A n s λ-=-, ()1,2,
i m =
则齐次线性方程组()0i E A X λ-=的基础解系含()i i n n s s --=个向量,
但由于12,,
,m λλλ分别为12,,m s s s 重根,从而12m s s s n ++=
故A 可对角化。
必要性 设A 必有n 个线性无关的特征向量,但由于12m s s s n ++
=,故每个
次线性方程组()0i E A X λ-=的基础解系必含i s 个向量,从而
()i i r E A n s λ-=-, ()1,2,i m =
判定4:数域F 上n 方阵A 与对角矩阵相似的充要条件是:A 的最小多项式是F 上互素的
一次因式的乘积。
判定5:复数域上矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是:A 的最小多项式没有重根。即A 的
最后一个不变因子无重根。
证明: 假设A 相似与对角矩阵,因为相似矩阵具有相同的最小多项式,我们只要证明对角
矩阵的最小多项式无重根即可。由于分块对角矩阵的最小多项式等于各块最小多项式的公倍式,对于对角矩阵而言,等于主对角线上一次式的最小公倍式,显然,这个多项式无重根子。
反之,设A 的最小多项式无重根,因为最小多项式是矩阵的最后一个不变因子,故
前面的不变因子无重根(它们都是最后一个不变因子的因子),于是A 的初等因子全是一次式,即A 的若当块都是一阶的。这就证明了A 相似与对角矩阵。
判定6:复数域上矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是:A 的初等因子是一次的。即A 的
每一个若当尔块皆是一级的。 判定7:C 为复数域,n n
A C
?∈,A 与对角矩阵相似的充要条件是:对于任意的C λ∈,
E A λ-与()2
E A λ-有相同的秩。
证明:设A 与对角矩阵相似,则存在可逆矩阵T ,使
121
n T AT λλλ-??
?????
?=???????
?
所以任意C λ∈,有()1
21
n T E A T λλλλλλλ--??
??-?
??
?-=??????-?
?
()()()
()2
12
22
12
n T E A T λλλλλλλ-??
-????-??-=?
???????-?
?
因此()1
T
E A T λ--与()2
1T E A T λ--等秩,由T 可逆知:E A λ-与()2
E A λ-有
相同的秩。
反之,设对每个C λ∈,E A λ-与()2
E A λ-有相同的秩,由于n n
A C ?∈,故A 可
与若当形矩阵相似,即存在可逆矩阵1
T -,使
12
1
s J J T AT J -??
?????
?=???????
?
其中i J 为若当块,1,2,i s =,
若某个i J 不是对角形(即i J 不是一级的),不妨设为1J ,即
1
1111,1
1
i
k J λλ
λ??
???
?
??=???????
?2,i k ≥故 110
10,1
1
0E J λ?????
???-=???????
?()2
110
00
10
1
0J λ????????-=???
????
?
由此可知
()
2
11E J λ-的秩小于11E J λ-的秩,因而()2
1
1T E A T λ--的秩小于
()11T E A T λ--的秩,进而()2
E A λ-的秩小于E A λ-的秩,与已知矛盾。 故每个i J 是对角形,从而12
1
s J J T AT J -??
????
?
?=???????
?
为对角形()s n = 判定8:矩阵A =n CE (杨:数量矩阵吗)的充要条件是A 的不变因子组(杨:这种称呼的来源?)中无常数。
证明: 必要性显然 下证充分性
若A 的不变因子无常数,则只能为C λ-,C λ-,C λ-
因此A 相似于对角矩阵,且主对角线上的元素全是C ,即存在可逆矩阵P , ()1
1
,n n n P AP CE A P CE P CE --===
判定9:设A 为n 方阵,()f E A λλ=-是A 的特征多项式,并令
()()
()()()
,f g f f λλλλ=
'
则A 与一对角矩阵相似的充要条件是:()0g A =
证明:必要性 由A 与对角矩阵相似,其最小多项式()A m λ无重根,且()A m λ取()f
λ的
所有根,又()()
()()()
,f g f f λλλλ='无重根且与()f λ的根相同,故()()A g m λλ=
因而()0g A =
充分性 由()0g A =知()()|,A m g λλ从而()A m λ无重根,A 与对角矩阵相似。 性质1:一个矩阵是否可对角化(即与一个对角矩阵相似)同数域的大小有关。 例如:二阶方阵0110A -??
=?
?
??
在实数域不可对角化,但在复数域上却可以对角化,因此此时它与对角矩阵 00i i ??
Λ=?
?
-??
相似 事实上,取11P i i ??
=??-??
即有1
P AP -=Λ 判定10:设A 为一个n 复矩阵,()f
E A λλ=-是A 的特征多项式,A 可对角化的充要
条件是:若a 是()f
λ的k 重根,则秩()aE A n k -=-
证明:必要性 由条件可知,存在可逆矩阵X ,使
1
21
n X AX λλλ-??
???
??
?=???????
?
而()()()()12,n f
E A λλλλλλλλ=-=---a 是()f λ的k 重根,
因而在12
,n λλλ中有k 个a ,故矩阵
()121
n a a X aE A X a λλλ--??
??-?
??
?-=??????-?
?
的主对角线上有k 个零,从而秩()aE A n k -=- 充分性 由a 是()f
λ的根,即a 是A 的特征值,由条件知,存在可逆矩阵X ,使
1
2
1
n J J X AX J -??
???
??
?=???????
?
,
11
1
i i
i
i
i i n n J λλλ????????
?=???????
?1,2,i s =
设12,,
r J J J 的对角线元素为a ,而1,
r s J J +不以a 为特征值,则
()11
2211
s aE J aE J X aE A X aE X AX aEs J ---??
??-?
??
?-=-=????
??-?
?
故秩()()()1111r r s aE A n n n n n r n k +-=-+-++
=-=-
从而11,,1,k r r k n n k n n =+
==
=由于a 是任意的,故1X AX -为对角矩阵。
性质2:设A 是数域P 上的n 阶可逆矩阵,则以下条件等价: ()1A 与对角矩阵相似 ()21A -与对角矩阵相似 ()3*A 与对角矩阵相似
证明:()()12? 设12n D λλλ??
???
?
?
?=???????
?
,且A 与D 相似,则存在可逆矩阵T ,使得111
21
1n T AT λλλ----??
?
???
?
?=???????
?
,即1A -也与对角矩阵相似。 ()()23?,设12n u u U u ?????
?
?
?=???????
?,且1A -与U 相似,则存在可逆矩阵Q ,使 1
21n u u Q AQ u -??
???
??
?=???????
?
于是有:
1
211n u u A Q Q u --??
???
??
?=???????
?
进而有:
1
122
*11
1n n u A u u A u A A A A Q Q Q Q u A u ---??
??
????
???
??
??
?===????
????
?????
??
?
即*
A 也与对角矩阵相似。