第19讲 一元一次方程 的解法(基础课程讲义例题练习含答案)

一元一次方程的解法（基础）知识讲解

【学习目标】

1. 熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；

2. 掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；

3. 进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法. 【要点梳理】

要点一、解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项

去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍

数

(1)不要漏乘不含分母的项

(2)分子是一个整体的，去分母后应加

上括号

去括号

先去小括号，再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的项

(2)不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，

其他项都移到方程的另一边(记住移项

要变号)

(1)移项要变号

(2)不要丢项

合并同类

项

把方程化成ax ＝b(a ≠0)的形式 字母及其指数不变

系数化成

1

在方程两边都除以未知数的系数a ，得

到方程的解b x a

=． 不要把分子、分母写颠倒

要点诠释：

（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．

(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．

要点二、解特殊的一元一次方程

1.含绝对值的一元一次方程

解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．

要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再分类讨论：

(1)当0c <时，无解；（2）当0c =时，原方程化为：0ax b +=；（3）当0c >时，原方程可化为：ax b c +=或ax b c +=-. 2.含字母的一元一次方程

此类方程一般先化为最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论： （1）当a ≠0时，b x a

=；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解． 【典型例题】

类型一、解较简单的一元一次方程

1．（•广州）解方程：5x=3（x ﹣4） 【答案与解析】

解：方程去括号得：5x=3x ﹣12， 移项合并得：2x=﹣12， 解得：x=﹣6．

【总结升华】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：

(1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边．

(2)合并：即通过合并将方程化为ax ＝b(a ≠0)的形式．

(3)系数化为1：即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a ，即得方程的解b x a

=． 举一反三：

【变式】下列方程变形正确的是( )． A ．由2x-3＝-x-4，得2x+x ＝-4-3 B ．由x+3＝2-4x ，得5x ＝5 C ．由23

32

x -

=，得x ＝-1 D ．由3＝x-2，得-x ＝-2-3

【答案】D

类型二、去括号解一元一次方程

2．解方程：

【思路点拨】方程中含有括号，应先去括号再移项、合并、系数化为1，从而解出方程． 【答案与解析】（1）去括号得：42107x x +=+ 移项合并得：65x -= 解得：56

x =-

（2）去括号得：32226x x --=- 移项合并得：47x -=-

解得：7

4

x =

【总结升华】去括号时，要注意括号前面的符号，括号前面是“+”号，不变号；括号前面是“-”，各项均变号． 举一反三：

【变式】解方程： 5(x-5)+2x ＝-4． 【答案】解： 去括号得：5x-25+2x ＝-4． 移项合并得： 7x ＝21．

解得： x ＝3． 类型三、解含分母的一元一次方程

()()1221107x x +=+()()()232123x x -+=-

3．（春•新乡期末）解方程﹣2=．

【思路点拨】方程按照去分母，去括号，移项合并同类项，把x系数化为1的步骤，即可求出解．

【答案与解析】

解：去分母得：2（2x﹣1）﹣12=3（3x+2），

去括号得：4x﹣2﹣12=9x+6，

移项合并得：5x=﹣20，

解得：x=﹣4．

【总结升华】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．

举一反三：

【变式】（•岳池县模拟）解方程：x+=﹣．

【答案】解：去分母得：12x+30=24x﹣8﹣3x+24，

移项合并得：﹣9x=﹣14，

解得：x=．

类型四、解较复杂的一元一次方程

4．解方程：

0.170.2

1 0.70.03

x x

-

-=

【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误．

【答案与解析】原方程可以化成：101720

1 73

x x

-

-=．

去分母，得：30x-7(17-20x)＝21．

去括号、移项、合并同类项，得：170x＝140．

系数化成1，得：

14

17

x=．

【总结升华】解此题的第一步是利用分数基本性质把分母、分子同时扩大相同的倍数，以使分母化整，与去分母方程两边都乘以分母的最小公倍数要区分开．

5. 解方程：112 [(1)](1) 223

x x x

--=-

【答案与解析】

解法1：先去小括号得：11122

()

22233

x x x

-+=-

再去中括号得：

11122

24433

x x x

-+=-移项，合并得：

511

1212

x

-=-