精品 九年级数学上册 同步提高讲义
初中数学一元二次方程(教师版)九年级数学上册同步精品讲义(苏科版)
第1章 一元二次方程 1.1 一元二次方程课程标准课标解读1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.1、理解并掌握一元二次方程的定义.2、正确识别一元二次方程的二次项、一次项、常数项及各项的系数知识点01 一元二次方程的概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 【微点拨】识别一元二次方程必须抓住三个条件： （1）整式方程； （2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 【即学即练1】1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．10x += B ．11x x-= C ．223x y +=D ．2310x x -+=【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．目标导航知识精讲【详解】解：A 、10x +=是一元一次方程，故错误； B 、11x x-=不是整式方程，故错误； C 、223x y +=是二元二次方程，故错误； D 、2310x x -+=是一元二次方程，故正确． 故选：D ．知识点02 一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．【微点拨】 (1) 只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.【即学即练2】2．下列方程中，常数项为0的是（ ） A ．210x x ++= B ．221212x x --= C ．()2213(1)x x -=- D ．()2212x x +=+【答案】D 【分析】要确定方程的常数项，首先要把方程化成一般形式． 【详解】解：A 、x 2+x+1=0，常数项为1，故本选项不符合； B 、2x 2-x -24=0，常数项为-24，故本选项不符合； C 、2x 2-3x+1=0，常数项为1，故本选项不符合； D 、2x 2-x=0，常数项为0，故本选项符合． 故选：D ．知识点03 一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 【即学即练3】3．已知m 是方程210x x --=的一个根，则代数式22m m --的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．5【答案】A 【分析】把x=m 代入210x x --=即可求解． 【详解】解：把x=m 代入210x x --=，得210m m --=，∴221m m --=-， 故选A ．知识点04 一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.【即学即练4】4．已知2x =-是关于x 方程2530bx ax ++=的根，则代数式17208a b -+的值为（ ） A ．11 B ．14C ．20D ．23【答案】A 【分析】将2x =-代入方程2530bx ax ++=可得41030b a -+=，然后适当整理变形即可求解． 【详解】解：将2x =-代入方程2530bx ax ++=可得41030b a -+= ∴1043a b -=∴17208a b -+()172104a b =-⨯-1723=-⨯11=故选：A考法01 一元二次方程的定义1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次项的次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程 【典例1】下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．620x -+= B ．2210x y C ．212x x+= D ．220x x +=【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：A 、是一元一次方程，故A 不符合题意； B 、是二元二次方程，故B 不符合题意； C 、是分式方程，故C 不符合题意； D 、是一元二次方程，故D 符合题意； 故选：D ．考法02 一元二次方程的解方程的解的定义：使方程两边左右相等的未知数的值，叫做这个方程的解。
九年级数学上册同步精品讲义(人教版)：一元二次方程(教师版)
第 01 课 一元二次方程
学习目标 （1）会设未知数，列一元二次方程. （2）了解一元二次方程及其根的概念. （3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.
知识精讲
知识点 01 一元二次方程的概念
1、对“一元”、“二次”的理解 ①一元：方程只有一个未知数； ②二次：未知数的最高次为 2； 2、一元二次方程满足的三个条件
（1）当 m 取何值时是一元二次方程？ （2）当 m 取何值时是一元一次方程？
【答案】（1） m 1（2） m 0 或－1 【解析】
(1) m 1 xm2 1 m 3 x 1 0 是一元二次方程，
m+1≠0,m2+1=2， m=1，
当 m=1 时,方程 m 1 xm2 1 m 3 x 1 0 是一元二次方程；
A． 3 x 12 2 x 1
B．
1 x2
1 x
2
0
C． ax2 bx c =0
【答案】A
【解析】
A、根据一元二次方程的定义 A 满足条件，故 A 正确，
B、分母中有未知数，不是整式方程，不选 B，
C、二次项系数为 a 是否为 0，不确定，不选 C，
D、没有二次项，不是一元二次方程，不选 D．
知识点 04 由 a、b、c 的等式得出一元二次方程的根
（1）首先观察下表：
已知方程的根
得出等式
x=1
abc 0
x= 1
abc 0
x=2
4a 2b c 0
x= 2
4a 2b c 0
（2）由上表，根据 式
方程的根
abc 0 a c b abc 0
故选择：A．
D． x2 2x x2 1
北师版九年级上册数学同步精品讲义
北师版九年级上册数学同步精品讲义四边形平行四边形第01讲菱形温故知新我们之前学习了平行四边形及矩形，下面简单的回顾一下：1、四边形2、平行四边形的性质：边：角：对角线：3、我们又学习了哪种特殊的平行四边形？满足什么条件即可？它相比平行四边形而言，特殊在哪？智慧乐园探究活动：让我们一起通过折纸、剪纸的方法得到菱形。
我们一起这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.观察得到的菱形，猜想菱形有什么性质？边：菱形的两组对边分别平行。
（这是平行四边形具有的性质）菱形的四条边都相等。
（这是菱形特有的性质，如何进行证明呢？）角：菱形的两组对角分别相等。
菱形的邻角互补。
对角线：菱形的对角线互相平分、垂直，且每条对角线平分一组对角。
知识要点一菱形的定义与性质1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
注意：（1）菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等。
二者必须同时具备，缺一不可。
（2）菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判定方法。
2、性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（3）菱形具有平行四边形的一切性质；（4）菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线；（5）利用菱形的性质可证线段相等，角相等；（6）菱形的面积计算：①菱形的面积等于底乘高；②菱形的面积等于对角线乘积的一半，对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来进行计算。
典例分析例1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直例2、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5D．4例3、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（）A．2B．3C．D．2例4、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（）A．2B．C．D．例5、如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角a的度数应为．例6、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．例7、如图，在菱形ABCD中，点E为AB的中点，请只用无刻度的直尺作图（1）如图1，在CD上找点F，使点F是CD的中点；（2）如图2，在AD上找点G，使点G是AD的中点．举一反三1、如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E 是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．3cmB．4cmC．2.5cmD．2cm2、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC 上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6，则FG的长为．（1）求证：△ABE≌△ADE；（2）若AB=AE，∠BAE=36°，求∠CDE的度数．知识要点二菱形的判定判定的方法：1、（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形2、（对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、（边）：四条边相等的四边形是菱形。
精品 九年级数学上册 圆的基本性质讲义+同步练习题
圆的基本性质知识点圆的定义几何定义：线段OA，绕O点旋转一周得到的图形，叫做圆。
其中，O为圆心，OA为半径。
集合定义：到定点等于定长的所有点的集合。
其中，定点为圆心，定长为半径。
圆的书写格式：圆的对称性（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（3）圆是旋转对称图形。
与圆有关的线段半径：圆上一点与圆心的连线段。
确定一个圆的要素是圆心和半径。
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
直径：经过圆心的弦叫做直径。
弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
劣弧：小于半圆周的圆弧叫做劣弧。
表示方法：优弧：大于半圆周的圆弧叫做优弧。
表示方法：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
注意：同弧或等弧对应的弦相等。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
注意:定理中的“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，深圳可以是过圆心的直线或线段；该定理也可以理解为：若一条直线具有两条性质：①过圆心；②垂直于一条弦，则此直线具有另外三条性质：①平分此弦；②平分此弦所对的优弧；③平分此弦所对的劣弧.推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
在下列五个条件中:①CD是直径;②CD⊥AB;③AM=BM;④AC=BC;⑤AD=BD.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.注意：(1)在圆中，与已知弦（非直径）相等的弦共有条；共端点且相等的弦共有条。
（2）在圆中，与已知弦（非直径）平行的弦共有条；平行且相等的弦共有条。
例1.如图：OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD=BC.例2.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是E，如果AB=10cm，CD=8cm，求AE的长。
精品 九年级数学上册 圆-与圆有关的计算同步讲义+同步练习
第 12 题图
第 13 题图
11.如图，正方形的四个顶点在直径为 4 的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，AB、CD 过圆心 O，且 AB ⊥CD，则图中阴影部分的面积是（ A.4π B.2π ） C.π D.
2
12.如图，△ABC 中，BC=4，以点 A 为圆心，2 为半径的⊙A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于 E，交 AC 于 F， 点 P 是⊙A 上一点，且∠EPF=40°，则圆中阴影部分的面积是( A. 4 )． D. 8
0 0
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九年级数学上册 同步讲义
34.如图，PA，PB 切⊙O 于 A，B 两点，若∠APB=60 ，⊙O 的半径为 3，求阴影部分的面积．
0
35.如图,线段 AB 与⊙O 相切于点 C，连结 OA，OB，OB 交⊙O 于点 D，已知 OA=OB=6，AB= 6 3 ． （1）求⊙O 的半径； （2）求图中阴影部分的面积．
π 9
B. 4
8π 9
C. 8
4π 9
8π 9
13.如图,两个半圆,大半圆中长为 16cm 的弦 AB 平行于直径 CD,且与小半圆相切,则图中阴影部分的面积 为（ ） A. 34cm 2 B. 128cm 2 C. 32cm 2 D. 16cm 2
14.若正 n 边形的一个外角是一个内角的
0
例 4.如图，已知 AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB⊥CD 于 E，OF⊥AC 于 F，BE=OF. (1)求证:OF∥BC;(2)求证:△AFO≌△CEB;(3)若 EB=5cm,CD= 10 3 cm,设 OE=x,求 x 值及阴影部分的面积.
例 5.如图,半圆的直径 AB=10,P 为 AB 上一点,点 C，D 为半圆的三等分点,求阴影部分的面积．
人教版九年级数学上册初三数学全册同步讲义定稿
22.1.4 二次函数图形变换
一般式与顶点式的互换
一般式化为顶点式的步骤 (1)提取二次项系数； (2)配方； (3)去括号，合并.
顶点坐标公式 (
b
第二十三章 旋转 ................................................................................. 51 23.1 旋转变换 ................................................................................. 51 23.2 旋转模型 ................................................................................. 64
想一想：上下平移在哪加减？左右平移在哪加减？ 【练习 12.1】
前情回顾：
1.若 (m－2)xm22 x ²－3=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是．<2 分钟>
2. 3x2 x 2 3 0 <2 分钟>
3. x2 3x 28 0<2 分钟>
4.某汽车销售公司 2005 年盈利 1500 万元，到 2007 年盈利 2160 万元，且从 2005 年到 2007 年，每年盈利的年增长率相同．
漫漫学 22.1.1 二次函数的定义及图像
二次函数的定义
一般地，形如的函数，叫做二次函数，其中， x 是自变量，分别是二次 项系数、一次项系数、常数项．
九年级数学上册同步精品讲义(人教版)第23课 切线长定理(教师版)
则△PCD 的周长是（ ）
A．20
B．36
C．40
D．44
【答案】C
【详解】解：∵PA、PB 切⊙O 于点 A、B，
∴PB=PA=20，
∵CD 切⊙O 于点 E，交 PA、PB 于 C、D 两点，
∴CA=CE，DB=DE，
∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=20+20=40．
x 4
解得：
y
5
z 9
∴ AF 4 ；
故选：A．
【典例 2】如图，P 为⊙ O 外的一点，PA，PB 分别切⊙ O 于点 A，B，CD 切⊙ O 于点 E，且分别交 PA， PB 于点 C，D，若 PA 4 ，则 PCD 的周长为（ ）
A．5
B．7
C．8
D．10
【答案】C
【详解】解：∵PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B，
D．9
∵ I 是△ ABD 的内心， ∴ AG AF, BG BE, DE DF ， 设 AG AF a, DE DF b ， ∵BD＝10， ∴ BE BG 10 b ， ∴ AB AG BG a 10 b , AC AD DC a b 4 ， ∵ AB AC ， ∴ a+10 b a b 4 ， 解得 b 3 ， ∴ BE BD DE 10 3 7 ， 故选 B． 【即学即练】如图， ABC 的内切圆⊙O 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F，已知 ABC 的周长为 36． AB 9 ， BC 14 ，则 AF 的长为（ ）
A．4
B．5
C．9
【答案】A
【详解】解： ABC 的周长为 36． AB 9 ， BC 14 ，
九年级数学上册 一元二次方程提高讲义 人教新课标版
一元二次方程一、本讲学习目标 1. 正确理解一元二次方程概念，会识别，在综合题中，做到合理应用。
熟练用各种方法解一元二次方程，注意旧知识的应用，体会知识的融汇贯通，及转化思2.想的重要性、普遍性。
3. 灵活应用根的判别式及根系关系，提高分析、解决、归纳问题的能力，加强分类思想。
从实际生活出发，应用数学解决问题，建立方程思想，立足相等关系，列一元二次方程，4.通过对它们的求解，经实际情况检验，最终解决实际应用题。
二、重点难点考点分析重点是一元二次方程及其解法，判别式和根系关系的应用。
1. 难点是配方法和列方程解应用题及综合题。
2. 三、概念解析一元二次方程1. 只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程.2?ax?0bx?c?)?0.其中称为一元二次方程的一般形式（ 2.一元二次方程的解. 使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解. 3.一元二次方程的解法：配方法；公式法；因式分解法配方法(1)用配方法解一元二次方程的原理是：开平方2x??a)x?a(a?0转化为一元一次方程2ax?bx??c0(a?0)用配方法解一元二次方程的一般步骤1、二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；2、移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；2)?0n(n?(x?m)把方程化为方程两边都加上一次项系数一般的平方，配方：3、的形式； 4、用直接开平方法解变形后的方程。
0n?注意：当时，方程无解公式法 (2)2)?0a?c?0(?axb用公式法解一元二次方程的依据是：将一般形式配方为22ac4bb?????x??22aa4??2)0(a??axbx?c?0的求根公式：再开平方并整理，得出一元二次方程2ac?4b?b?2?x?b?0)ac4（ . a21专心爱心用心．2)0(a?0ax?bx??c用公式法解一元二次方程一般步骤： 1、将方程化为一般形式2)(a?0ax?bx??c0；2acb?4、确定方程的各系数a，b，c ，计算的值； 222ac4?4ac?0b?b的值代入求根公式，得出方程的根以及，b，c，将、当3a2c?4a?b?b?x a22?0b4ac?、当时，方程无解；b、公式法是解一元二次方程的万能方法；注意: a2ac4b? c、利用的值，可以不解方程就能判断方程根的情况；分解因式法（3）分解因式法的理论依据是：若两个因式的积等于零，则这两个因式中至少有一个等于.零转化为一元一次方程a?0或b?0.0ab?原理是：一般步骤如下：1、将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；2、将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；3、令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；4、解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
九年级数学上册 第18课 圆 弧长与扇形面积同步提高讲义 练习(pdf,无答案)(新版)新人教版
第18课弧长与扇形面积l1.弧长：如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么，弧长=2.扇形面积计算：s方法一：如果已知扇形圆心角为n，半径为r，那么扇形面积=s方法二：如果已知扇形弧长为l，半径为r，那么扇形面积=※3.圆锥的侧面积与表面积:（1）h为圆锥的，a为圆锥的，r为圆锥的，由勾股定理可得：a、h、r之间的关系为：（2）圆锥的侧面展开后一个：圆锥的母线是扇形的而扇形的弧长恰好是圆锥底面的。
故:圆锥的侧面积就是圆锥的侧面展开后的扇形的。
圆锥的表面积=+【例1】如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心，6cm为半径作三个等圆，与三边的交点分别是E、G、H、N、M、F，求弧EF、弧GH、弧MN的长度的和l．【例2】已知扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm，求此扇形的面积。
【例3】如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B′C″的位置，设BC=1，AC=2，则顶点A运动到A//的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是____________（计算结果不取近似值）【例4】如图，ABCD 是矩形，AD=2，AB=1，弧DE 的圆心是点A.(1)求弧DE 的长；(2)求阴影部分的面积.【例5】如图，把Rt△ABC 的斜边AB 放在定直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到△A″B′C′的位置，设BC=1，∠A=30°，则顶点A 运动到点A″的位置时.(1)求点A 经过的路线长是多少？(2)点A所经过的路线与l 所围成的面积是多少?(计算结果不取近似值)1.在半径为6的⊙O 中，1200圆心角所对的弧长是()A.πB.π2C.π4 D.π62.已知扇形的面积为4π，扇形的弧长是π，则该扇形半径为（）A.4B.8C.6D.8π3.如图,⊙O 的半径是1,A,B,C 是圆周上的三点,∠BAC=360,则劣弧BC 的长是（）A.5π B.π52C.π53D.π54第3题图第4题图4.一个商标图案如图中阴影部分,在长方形ABCD 中,AB=8cm,BC=4cm,以点A 为圆心，AD 为半径作圆与BA 的延长线相交于点F,则商标图案的面积是()A.（4π+8）cm 2B.（4π+16）cm 2C.（3π+8）cm 2D.（3π+16）cm 25.某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在以五边形各顶点为圆心，2m 长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（）A.26m πB.25m πC.24m πD.23m π 6.半径为4cm，圆心角为600的扇形的面积为cm 27.已知圆上一段弧长为6π，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径为．8.已知扇形的圆心角为1500,它所对应的弧长20πcm，则此扇形的半径是cm，面积是cm 2。
初中数学一元二次方程的解法(三)因式分解法(学生版)九年级数学上册同步精品讲义(人教版)
第04课 一元二次方程的解法（三）--因式分解法课程标准课标解读1.掌握因式分解法解方程的原理和常见方法；2.掌握基础的十字相乘法解方程的简便算法。
掌握一元二次方程的简便算法；知识点01 因式分解法解一元二次方程因式分解法的原理为：如果0a b ，那么0a或0b；推广到一元二次方程中：若一元二次方程()()0ax b mx n ，那么或，解得两个实数根。
1.c 特殊因式分解法解一元二次方程： 我们已知20(0)axbx c a 中，c=0时，方程必有一根为0：因此，当一元二次方程中常数项c=0时，该一元二次方程可以用因式分解法简便运算。
2.常用的因式分解法提公因式分法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 提公因式法 2()()0ax b ax b 使用场景：有公因式，可将多项式化为乘积方式； 完全平方公式法2222()a abb ab使用场景：等号一侧为完全平方式（即计算△=0） 平方差公式法22()()a b a b a b使用场景：平方减平方形式：例如22()-()0axb mx n十字相乘法2121212()=()()x x x x x x x x x x使用场景：前两种方法都不能用时；【知识拓展】（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的知识精讲目标导航积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.知识点02十字相乘法解一元二次方程若一元二次方程20axbx c有两个实数根12,x x ，那么可以将一元二次方程写成：12()()0xx x x ，化简得21212()0x x x xx x ；有对应相等得：22221212121200()0()0b c x x ax bx c a axx x xx x x x x x x x可得：当二次项系数为1时，一次项系数b 为两实数根和的相反数；常数项c 为两实数根的积； 对于简单的方程可以进行因式分解法解方程来简化运算。
精品 九年级数学上册圆 圆与圆的位置关系 同步讲义+同步练习
圆与圆的位置关系知识点：圆心距： 位置关系：(1) (2) (3) (4) (5)例1.若两圆的圆心距d 满足34=-d ,且两圆的半径r 1,r 2是方程x 2-7x+12=0 的两个根,试判断这两圆的位置关系.例2.如图,⊙O 与⊙O 1相交于A 、B 两点,过A 、B 的割线分别交两圆于C 、D 、E 、F.求证:EC ∥FD.例3.已知⊙O 1、⊙02相交于点A 、B ，∠AO 1B=1200，∠A02B=600，O 102=6cm.求： （1）∠O 1A02的度数；（2）⊙O 1的半径r 1和⊙02的半径r 2.例4.已知：AB为⊙O的直径，P为AB弧的中点．(1）若⊙O/与⊙O外切于点P（见图甲），AP、BP的延长线分别交⊙O/于点C、D，连接CD，则△PCD是三角形；(2）若⊙O/与⊙O相交于点P、Q（见图乙），连接AQ、BQ并延长分别交⊙O/于点E、F，请选择下列两个问题中的一个．．作答：问题一：判断△PEF的形状，并证明你的结论；问题二：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论.我选择问题，结论： .例5.已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦AB长为6cm，求这两个圆的圆心距O1O2的长。
例6.某人用如下方法测一钢管的内径:将一小段钢管竖直放在平台上, 向内放入两个半径为5cm的钢球,测得上面一个钢球顶部高DC=16cm(钢管的轴截面如图所示), 求钢管的内直径AD的长.课堂同步练习：1.⊙O 的半径为2,点P 是⊙O 外一点,OP 长为3,若以P 为圆心,且与⊙O 相切的圆的半径为( ) A.1或5 B.1 C.5 D.1或42.直径为6和10的两上圆相外切,则其圆心距为( )A.16B.8C.4D.2 3.设两圆的半径分别为R 、r(R>r),圆心距为d,且Rd r d R 2222=-+,则两圆的位置关系是（ ） A.内切 B.内切或外切 C.外切 D.相交 4.已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d ，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（ ）A.01d <<B.5d >C.01d <<或5d >D.01d <≤或5d >5.已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O 1O 2的取值范围在数轴上表示正确的是( )6.已知两圆半径分别为方程0142=+-x x 的两个圆,圆心距为52，则两圆的位置关系是（ ） A.相交 B.外离 C.外切 D.内切7.图中圆与圆之间不同的位置关系有（ ）A.2种B.3种C.4种D.5种O 2O 1O第7题图 第8题图 第9题图 第10题图8.如图,在以O 为圆心的两个圆中,大圆半径为5,小圆半径为3,则与小圆相切的大圆的弦长为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 9.如图,两个同心圆的半径分别为3cm 和5cm,弦AB 与小圆相切于点C ，则AB 的长为（ ）A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm10.如图,⊙O 的半径为r,⊙O 1、⊙O 2的半径均为r 1,⊙O 1与⊙O 内切,沿⊙O 内侧滚动m 圈后回到原来的位置,⊙O 2与⊙O 外切并沿⊙O 外侧滚动n 圈后回到原来的位置,则m 、n 的大小关系是( ) A.m>n B.m=n C.m<n D.与r,r 1的值有关11.⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3两两外切,且半径分别为2cm,3cm,10cm,则△O 1O 2O 3 的形状是( ) A.锐角三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形12.两圆的半径分别为6cm 和5cm ，圆心距为3cm ，则两圆的位置关系是 13.两圆相切，半径分别为9cm 和4cm ，则两圆的圆心距等于14.圆心都在y 轴上的两圆⊙O 1、⊙O 2，⊙O 1的半径为5,⊙O 2的半径为1,O 1 的坐标为(0,-1),O 2的坐标为(0,3),则两圆⊙O 1与⊙O 2的位置关系是________15.⊙O 1和⊙O 2交于A 、B 两点,且⊙O 1经过点O,若∠AO 1B=90°,那么∠AO 2B 的度数是 .第15题图 第16题图 第17题图16.如图,两圆相交于B,D,如果AB 为小圆直径，AB 、AD 延长线交大圆于C 、E ，若∠A=400，,则∠E= . 17.如图，若三个圆两两外切,圆心距分别是6,8,10,则这三个圆的半径分别是______18.已知△ABC 三边分别是a,b,c ，两圆半径12r a r b ==，,圆心距d c =,则这两个圆位置关系是 19.已知⊙O 1与⊙O 2是等圆,相交于A ，B 两点.若∠AO 1B=600，O 1A=1cm ，则O 1O 2的长是______第19题图 第20题图 第21题图20.矩形ABCD 中,AB=5,BC=12,如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切,点D 在⊙C 内,点B 在⊙C 外,那么圆A 的半径r 的取值范围是_________21.如图,A ⊙,B ⊙的半径分别为1cm ，2cm,圆心距AB 为5cm ．如果A ⊙由图示位置沿直线AB 向右平移3cm ，则此时该圆与B ⊙的位置关系是________22.两圆半径长分别是R 和r(R>r),圆心距为d,若关于x 的方程x 2-2rx+(R-d)2=0 有相等的两实数根,则两圆的位置关系是_________.23.如图，⊙O 1和⊙O 2的半径为1和3,连接O 1O 2,交⊙O 2于点P ，O 1O 2=8,若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转3600，则⊙O 1与⊙O 2共相切_______次．第23题图第24题图24.如图，施工工地的水平地面上有三根外径都是1米的水泥管，两两相切地堆放在一起，则其最高点到地面的距离是25.如图,在Rt△ABC中,∠C=900，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=900,过点A,D作圆O，使圆心O在AB 上,圆O与AB交于点E．求证:直线BD与圆O相切.26.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,切点为C,BE⊥CD,垂足为E,连接AC、BC．（1）△ABC的形状是______________，理由是_________________；（2）求证:BC平分∠ABE；（3）若∠A=600，OA=2,求CE的长．27.如图,B是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,延长AC至F,使∠F=∠ABC,已知OA=3,AE=2，(1)求证：FB为圆O切线；(2)求弦CD的长．28.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,AB经过圆心O,且与小圆相交于点A.与大圆相交于点B.小圆的切线AC与大圆相交于点D,且CO平分∠ACB．(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；(2)试判断线段AC.AD.BC之间的数量关系，并说明理由；(3)若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留 ）29.如图,点A,B在直线MN上,AB=11厘米,⊙A,⊙B的半径均为1厘米.⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动,与此同时,⊙B的半径也不断增大,其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0）．(1)试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；(2)问点A出发后多少秒两圆相切？圆与圆的位置关系同步测试题满分：100分时间：25分钟姓名：得分：1.两圆的半径为5cm和3cm，若圆心距为7cm，则两圆的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内切2.若两圆没有公共点，则两圆的位置关系时间（）A.只有外离B.外离或内含C.相切D.只有内含3.已知⊙O1和⊙O2相切,两圆的圆心距为9cm,⊙O1的半径为4cm,则⊙O2的半径为（）A.5cmB.13cmC.9cm 或13cmD.5cm 或13cm4.如图,某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧）,其跨度为24米,拱的半径为13米,则拱高为( )A.5米B.8米C.7米D.53米AO2O1第4题图第5题图第6题图第7题图5.如图,四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形,A、B、O是小正方形顶点,⊙O的半径为1,P是⊙O 上的点,且位于右上方的小正方形内,则∠APB等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°6.如图，A、B是⊙O上的两点,AC是⊙O的切线,∠B=700，则∠BAC等于（）A.70°B.35°C.20°D.10°7.如图,⊙O1和⊙O2内切,它们的半径分别为3和1,过O1作⊙O2的切线, 切点为A,则O1A的长为( )A.2B.4C.3D.58.如图,AB是半圆O的直径,点P从点O出发，沿OA AB BO--的路径运动一周,设OP长度为s,运动时间为t,则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（）9.半径为1cm和2cm的两个圆外切,那么与这两个圆都相切且半径为3cm 的圆的个数是( )A.5个B.4个C.3个D.2个10.已知两圆半径分别为8、6,若两圆内切,则圆心距为______;若两圆外切,则圆心距为______.11.已知两圆的圆心距d=8,两圆的半径长是方程x2-8x+1=0的两根,则这两圆的位置关系是______.12.如图,O⊙是△ABC的外接圆,已知∠ABO=400，则∠ACB的度数为第12题图第13题图第14题图第15题图13.如图,在⊙O中,∠ABC=400，∠A=150，则∠AOC= 度;∠C= 度14.如图,⊙O的直径CD=8,弦AB=6,AB⊥CD,垂足为M,则DM的长为．15.如图,两个同心圆,大圆半径为5cm,小圆的半径为3cm,若大圆的弦AB与小圆相交,则弦AB的取值范围是．16.如图，在126⨯的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），A的半径为1，B的半径为2，要使A与静止的B相切，那么A由图示位置需向右平移个单位.17.如图,A、B是两圆的交点,AC是小圆的直径,D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点.已知:AC=12cm,BE=30cm.且BC=AD.求:DE的长和∠C的度数.18.如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB=∠B=30°.(1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？(2)连接CD,若CD=5,求AB的长.19.如图,P是⊙O外一点,PA是⊙O的切线,A是切点,B是⊙O上一点,且PA=PB，连接AO、BO，并延长BO与切线PA相交于点C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若圆O半径为4，BC=9,求PA的长。
精品 九年级数学上册圆 与直线有关的位置关系 一同步讲义+同步练习
第6题 ） D. 4 5 ）
5 2
B. 5
C. 2 5
5.如图,AB 是⊙O 直径,P 是 AB 延长线上一点,PC 切⊙O 于点 C,PC=3,PB:AB=1:3,则⊙O 的半径为（
5 A. 2
A.2 7.下列命题中的假命题是（
B. 3
9 C. 4
） C. 3
9 D. 2
D. 2 3
6.如图,正三角形的内切圆半径为 1,那么这个正三角形的边长为（ B.3 ）
34.如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,E 为 AB 上一点,DE=DC,以 D 为圆心,DB 为半径作⊙D. 求证:（1）AC 是⊙O 的切线；（2）AB＋BE=AC.
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九年级数学上册 同步讲义
与直线有关的位置关系一 同步测试题 满分：100 分 时间：25 分钟 姓名： 得分： ) 1.⊙O 的直径是 3，直线 l 与⊙0 相交，圆心 O 到直线 l 的距离是 d，则 d 应满足 (
A.d>3 B.1.5<d<3 C.O≤d<1.5 D.d<O 2.直角三角形 ABC 中,∠C=900，AC=2,BC=4,如果以点 A 为圆心，AC 为半径作⊙A，那么斜边中点 D 与⊙A 的位置关系是( ) A.点 D 在⊙A 外 B.点 D 在⊙A 上 C.点 D 在⊙A 内 D.无法确定 3.如图， AB、 AC 与⊙O 相切于 B、 C， ∠A=50°， 点 P 是圆上异于 B、 C 的一个动点， 则∠BPC 的度数是( ) A.65° B.115° C.60°和 115° D.130°和 50°
．
第 12 题
第 13 题
第 14 题 ．
人教版九年级上册数学全册同步讲义
第1讲 一元二次方程及解法（一）【引例】小明把一张边长为10cm 的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm 2,那么剪去的正方形的边长是多少？设剪去的正方形的边长为xcm ，你能列出满足条件的方程吗？列出的方程是知识要点梳理：一元二次方程的概念：1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的整式方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ,其中 是二次项， 是一次项， 是常数项， 是二次项系数 ， 是一次项系数。
3、一元二次方程的解（根）：使得方程成立的未知数的值4、形如2x =a(a ≥0)或（mx+n ）2=a(a ≥0)的方程可用直接开方法求解经典例题：例1.判断下列方程是否为一元二次方程。
（1）8142=x ； （2）y x 3)1(22=-； （3）x x 4152=-； （4）02112=-+xx ； （5）1322-+x x ； （6）)2(5)1(3+=-x x x ； （7）关于x 的方程0232=+-x mx ； （8）关于y 的方程05)12()1(22=+-++y a y a例2 将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
（1）8142=x （2）)2(5)1(3+=-x x x例3.解下列方程：（1）x 2－2＝0; （2）16x 2－25＝0.（3）64)3(2=+x （4）49)121(42=-x（5）0862=+-x x例4.已知关于x 的方程122)2(222-+=--x x kx x k 是一元一次方程，求k 的值，并求出这个方程的解？经典练习：1、判断下列方程是否是一元二次方程;（1）0233122=--x x （ ） （2）0522=+-y x ( ) (3) 02=++c bx ax （ ） (4)07142=+-xx ( ) 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x 2－x =2； （2）7x －3=2x 2;（3）(2x －1)－3x (x －2)=0 （4）2x (x －1)=3(x ＋5)－4.3、关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，则a 的值为（ ）A.1B.-1C.1或-1D.214、要使02)1()1(1=+-+++x k x k k 是关于x 的一元二次方程，则k=_____.5、已知关于x 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个解是0，求m 的值。
沪教版九年级数学上册同步精品讲义
例题解析
【例 1】相似的图形，它们的形状
相同，它们的大小
（选填“一定”或“不一定”或“一定不”）
【难度】★
【答案】一定，不一定．
【解析】相似图形是形状相同的两个图形，由其定义可得出结论．
【总结】考查相似图形的概念，注意全等图形是特殊的相似图形．
相同．
【例 2】在下边的方格图中，分别画出 ABC 和四边形 ABCD 的一个相似图形．
x
y
y
2
3
3
1 3
；
（2）由
a 4
b 5
，可得
a
4 5
b
，原式=
2
4
4 5 b
b b
b
13 ；
5
（3）由
2x
5y
0
，可得
x
5 2
y
，原式=
3
5 2
y
y
:
4
5 2
y
3y
17
:14
．
【总结】考查比例性质运用中的基本计算，确定单位“1”再准确计算．
【例 15】（1）已知： a b 2 ，求 2a 4b 的值；
4
6cm ．
【解析】（1）由题意可知 ab 62 ，由此 ab 6 ， ab 1 6 1 35 ；
ab
66
（2）由题意可知 b2 9 4 36 ，可解得 b 6 ；
（3） a 、 b 都为线段，因此其比例中项只能是线段，取正值，即为 6 16 4 6cm
【总结】考查比例中项的定义，注意线段比例中项和数字比例中项的区别．
矩形 EMNH 的面积 S 与 x 的函数关系式．
【难度】★★★
【答案】 S 2x2 10x 0 x 5 ．
(精品)数学讲义九年级同步第2讲：三角形一边的平行线(一) - 教师版
三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线性质定理及推论，重点是掌握该定理及其推论，分清该定理及其推论之间的区别和联系，难点是理解该定理和推论的推导过程中所蕴含的分类讨论思想和转化思想，并认识“A”字型和“X”字形这两个基本图形，为后面学习相似三角形奠定基础．1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，已知ABC∆，直线//l BC，且与AB、AC所在直线交于点D和点E，那么AD AEDB EC=．三角形一边的平行线（一）内容分析知识结构模块一：三角形一边的平行线性质定理知识精讲【例1】如图，在ABC∆中，15AB=，10AC=，//DE BC，6BD=，求CE．【难度】★【答案】4．【解析】BD CEAB AC=，代入可得：=4CE．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理．【例2】阳光通过窗口照在教室内，在地面上留下2.7米宽的亮区（如图）．已知亮区一边到窗下的墙角距离8.7CE=米，窗口 1.8AB=米，求窗口底边离地面的高BC．【难度】★【答案】5.8m．【解析】射入的光线平行，则有AB DEAC CE=，代入可求得：5.8AC m=，4BC AC AB m=-=．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，在路灯、太阳光线中经常用到．【例3】在ABC∆中，点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，//DE BC，若:2:3AD AB=，12EC=厘米，则AC=．【难度】★【答案】7.2cm．【解析】由//DE BC，可得23AE ADAC AB==，故53ECAC=，代入求得7.2AC cm=．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理和比例合比性的综合应用．例题解析2/ 25【例4】如图在ABC ∆中，CD 平分ACB ∠，//DE BC ，5AC =厘米，3:5ADAB=，求DE 的长．【难度】★ 【答案】2cm ． 【解析】//DE BC ，35AE AD AC AB ∴==． 由5AC cm =，代入可求得：32AE cm CE cm ==，． 又//DE BC ，EDC DCB ∴∠=∠．又CD 平分ACB ∠， ECD DCB ∴∠=∠． ECD EDC ∴∠=∠， 2DE CE cm ∴==．【总结】本题中涉及一个基本图形，平行线与角平分线一起会产生等腰三角形，同时应用三角形一边平行线的性质定理．【例5】如图，已知在ABC ∆中，//DE BC ，//EF AB ，2AE CE =，6AB =，9BC =，求四边形BDEF 的周长．【难度】★ 【答案】16． 【解析】2AE CE =，2133AE CE AC AC ∴==，． 又//DE BC ，//EF AB ，2133AD AE EF CE AB AC AB AC ∴====，，四边形BDEF 为平行四边形． 代入可求得：62DE EF ==，， ()2=16BDEF C DE EF ∴=+四边形．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用．【例6】如图，在ABC∆中，10AB=，8AC=，点D在直线AB上，过点D作//DE BC交直线AC与点E．如果4BD=，求AE的长．【难度】★★【答案】245或565．【解析】（1）D在线段AB上时，6AD AB BD=-=，由//DE BC，可得：AD AEAB AC=，代入可得：245AE=；（2）D在线段AB延长线上时，14AD AB BD=+=，由//DE BC，可得：AD AEAB AC=，代入可得：565AE=；（3）D在线段AB反向延长线上的情况不存在．【总结】题目中的点是在直线或者射线上时，要注意仔细看题，考虑多解情况的出现．【例7】如图，在ABC∆中，AB AC>，AD BC⊥于点D，点F是BC中点，过点F作BC 的垂线交AB于点E，:3:2BD DC=，则:BE EA=．【难度】★★【答案】5:1．【解析】由:3:2BD DC=，BF FC=，即得：32BF FDBF FD+=-，可得：51BFFD=．又AD BC⊥，EF BC⊥，EF∴//AD，::5:1BE EA BF FD∴==．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用．4/ 25【例8】如图，已知////AB CD EF ，14OA =，16AC =，8CE =，12BD =，求OB 、DF 的长．【难度】★★ 【答案】212OB =，6DF =． 【解析】由////AB CD EF ，OA OBAC BD ∴=． 代入可得：141221162OB ⨯==． 同时根据比例的合比性，可得：OA AC OB BD AC BD ++=，即OC ODAC BD=， 又根据平行，可得：OC ODCE DF=， AC BDCE DF∴=．代入求得：812616DF ⨯==． 【总结】考查三角形一边平行线定理的变形应用，实际上，任意两条直线被三条平行线所截得的线段对应成比例．【例9】如图，已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，//DE BC ，:3:4ECD BCD S S ∆∆=，求EC 的长．【难度】★★【答案】12．【解析】∵ECD 和BCD 为等高三角形，故34ECD BCD S DE BC S ==，由//DE BC ，2BC =，ABC ∆为等边三角形， 可知ADE 也为等边三角形，∴32DE =，∴31222EC AC AE =-=-=． 【总结】平行于等边三角形一边截得的三角形也是等边三角形．【例10】如图，P为ABCD对角线BD上任意一点．求证：PQ PI PR PS=．【难度】★★【答案】略．【解析】证明：四边形ABCD为平行四边形，////AB CD AD BC∴，，////RB DI SD BQ∴，．根据三角形一边平行线的性质定理，则有PI PD PS PR PB PQ==，PQ PI PR PS∴⋅=⋅．【总结】初步认识相似三角形中的“X”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．【例11】如图，在平行四边形ABCD中，CD的延长线上有一点E，BE交AC于点F，交AD于点G．求证：2BF FG EF=．【难度】★★【答案】略．【解析】证明：四边形ABCD为平行四边形，////AB CD AD BC∴，，////AB CE AG BC∴，．根据三角形一边平行线的性质定理，则有：EF CF BF BF AF FG==，∴2BF FG EF=．【总结】初步认识相似三角形中的“X”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．6/ 25【例12】如图，点C 在线段AB 上，AMC ∆和CBN ∆都是等边三角形．求证：（1）MD AMDC CN =；（2）MD EB ME DC =．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：（1）AMC ∆和CBN ∆是等边三角形，60ACM NCB AMC ∴∠=∠=∠=︒．∵点C 在线段AB 上，18060MCN ACM NCB AMC ∴∠=︒-∠-∠=︒=∠．//AM CN ∴，∴MD AMDC CN =． （2）同（1）易证得//CM BN ，则有ME MCEB NB=．AMC ∆和CBN ∆是等边三角形，MC AM NB CN ∴==，，MD MEDC EB∴=， ∴MD EB ME DC =． 【总结】初步认识相似三角形中的“X ”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化．【例13】如图，ABC ∆的面积是10，点D 、E 、F （与A 、B 、C 是不同的点）分别位于 AB 、BC 、CA 各边上，而且2AD =，3DB =，如果ABE ∆的面积和四边形DBEF 的面积相等，求ABE ∆的面积．【难度】★★★ 【答案】6． 【解析】连结DE ，由ABEDBEF S S =四边形，可得ADFAEFSS=，两三角形同底，可得两三角形等高，故//DE AC ，根据平行于三角形一边的直线性质定理，可得：35BD BE AB BC ==，故35ABE ABC S BE S BC ==，求得3=10=65ABES⨯． 【总结】注意等高（同底）三角形面积比等于底边（高）之比．8 / 25【例14】如图，在ABC ∆中，6BC =，42AC =，45C ∠=︒，在BC 边上有一动点P ，过P 作//PD AB 与AC 相交于于点D ，联结AP ，设BP x =，APD ∆的面积为y ．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围； （2）P 点是否存在这样的位置，使APD ∆的面积是APB ∆的面积的23？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】（1）()212063y x x x =-+<<；（2）存在，2BP =．【解析】（1）过点P 作PE AC ⊥于点E ． 由BP x =，可得：6PC x =-， 又45C ∠=︒，故()22622PE CE PC x ===-． 又//PD AB ，故BP ADBC AC=，代入可得223AD x =，故()()2112221620622233y PE AD x x x x x =⋅=⋅-⋅=-+<<． （2）过点A 作AF BC ⊥于点F ． 由4542C AC ∠=︒=，可得4AF CF ==， 故122ABPSAF BP x =⋅=， ∵APD ∆的面积是APB ∆面积的23， ∴2122233y x x x =-+=⨯，解得：2x =，即2BP =．【总结】考查三角形中一边平行线性质的综合应用，同时在题目中，注意对于特殊角的利用．FE1、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，//DE BC，那么DE AD AEBC AB AC==．2、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．【例15】如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且//DE BC ． （1）如果2DE =，6BC =，3AD =，求AB 的长； （2）如果2DE =，6BC =，8BD =，求AD 、AB 的长；（3）如果35AD BD =，求DEBC的值． 【难度】★【答案】（1）9；（2）412AD AB ==，；（3）38．【解析】（1）∵//DE BC ，13AD DE AB BC ==，9AB =； （2）∵//DE BC ，∴13AD DE AD BD BC ==+，∴4AD =，∴12AB AD BD =+=；（3）∵//DE BC ，∴33358DE AD BC AB ===+． 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理．模块二：三角形一边的平行线性质定理推论知识精讲例题解析10 / 25【例16】如图，BE 、CF 是ABC ∆的中线，交于点G ．求证：12GE GF GB GC ==．【难度】★ 【答案】略．【解析】证明：过点F 作//FD BE 交AC 于点D ． F 是AB 中点， D ∴是AE 中点，故12DF AD BE AE ==， 又E 是AC 中点，//FD EG ，12GF DE GC CE ∴==，23EG CE FD CD ==，即()2132EG EG BG =+，整理得：12GE GF GB GC ==． 【总结】考查三角形重心性质的证明，通过一个中点作对边的平行线即可．【例17】已知小智的身高是 1.6CD =米，他在路灯下的影长2DE =米，小智与路灯灯杆的底部B 的距离为3DB =米，则路灯灯泡A 距地面的高度AB =米．【难度】★ 【答案】4．【解析】∵//AB CD ，∴22235CD DE AB BE ===+，∴4AB m =． 【总结】考查三角形一边平行线定理的实际应用．【例18】如图，一根直立于水平地面的木杆AB 在灯光下形成影子，当木杆绕点A 按逆时针 反向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化.设AB 垂直于地面时的影子为AC （假 定AC AB >），影子的最大值为m ，最小值为n ，有下列结论：① m AC >；②m=AC ；③n AB =；④影子的长度先增大后减小.其中正确的序号是．【难度】★★ 【答案】①③④．【解析】木杆绕点A 逆时针旋转时，当AB 与BC 光线垂直 时，m 最大，则m AC >，①成立，②不成立；最小值 为AB 与AC 重合，故③成立；由上可知，影子长度先增大后减小，故④成立．【总结】找准临界值，注意进行思维分析．Da Nb Qx c P M xNa Qcb P M cNxQa b P M cN b Qa x PM 【例19】已知：MN // PQ ，a b ≠，c x ≠，则满足关系式bcx a=的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【难度】★★ 【答案】C【解析】交叉相乘，满足ax bc =的是C 选项． 【总结】考查三角形一边平行线性质的简单应用．【例20】如图，ABC ∆中，//DE BC ，3AE =，4DE =，2DF =，5CF =，求EC 的长． 【难度】★★ 【答案】92EC =． 【解析】//DE BC ，25DE DF AE BC CF AC ∴===，即3235EC =+，求得：92EC =．【总结】相似三角形中“A ”字型和“X ”字型的综合应用，可得到相等比例关系式．【例21】如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，若:1:2DE EC =，则:BF BE =．【难度】★★ 【答案】3:5．【解析】:1:2DE EC =，可知23CE CE CD AB ==，由//CE AB ，可知32BF AB EF CE ==，故:3:5BF BE =． 【总结】初步认识相似三角形中的“X ”字型．12 / 25【例22】如图，在ABC ∆中，6BC =，G 是ABC ∆的重心，过G 作边BC 的平行线交AC 于点H ，求GH 的长．【难度】★★ 【答案】2．【解析】连结AG 并延长交BC 于点D ，根据重心的定义，可知D 为BC 中点，则132DC BC ==，根据重心的性质，又//GH DC ，可得：23GH AG DC AD ==，求得2GH =．【总结】考查三角形重心的性质．【例23】如图，已知////AB CD EF ．AB m =，CD n =，求EF 的长．（用m 、n 的代数式表示）．【难度】★★【答案】mnm n+．【解析】由////AB CD EF ，则有EF CF EF BFAB BC CD BC==，，即1EF EF m n +=，得mnEF m n =+．【总结】考查相似三角形中“X ”字型的综合应用，得到比例关系．【例24】如图，E 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，13AE EC =，BE 的延长线交CD的延长线于点G ，交AD 于点F ，求:BF FG 的值．【难度】★★ 【答案】1:2．【解析】由//AF BC ，可得13AF AE BC EC ==，即13AF AD =， 故12AF FD =，由//AB DG ，可得：::1:2BF FG AF FD ==．【总结】考查相似三角形中“X ”字型的综合应用，得到比例关系．D【例25】如图，12//l l ，:2:5AF FB =，:4:1BC CD =，求:AE EC 的值． 【难度】★★ 【答案】2:1．【解析】由12//l l ，得：25AG AF BD FB ==，又:4:1BC CD =，可得21AG CD =，故::2:1AE EC AG CD ==．【总结】考查相似三角形中“X ”字型的综合应用，得到比例关系．【例26】如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在AB 上，且//EO BC ，已知3AD =，6BC =．求EO 的长．【难度】★★ 【答案】2．【解析】由//AD BC ，可得：3162AO AD CO BC ===，故13AO AC =，由//EO BC ，13EO AO BC AC ==，求得2EO =． 【总结】相似三角形中“A ”字型和“X ”字型的综合应用，可得到相等比例关系式．【例27】如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，3AD =，5BC =，E 、F 是两腰上的点，且//EF AD ，:1:2AE EB =，求EF 的长．【难度】★★ 【答案】113．【解析】过点A 作//AH DC 交BC 于H ，交EF 于G ， 则有32CH FG AD BH ====，，又//EG BH ，可得：13EG AE BH AB ==，解得：23EG =，故113EF EG GF =+=． 【总结】两条直线被三条平行线所截得的线段长对应成比例．G H14 / 25MFEDCBA 【例28】如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，:3:1BD DC =，G 为AD 的中点，联结BG 并延长AC 交于E ，求:EG GB 的值．【难度】★★ 【答案】1:7．【解析】过点D 作//DF BE 交AC 于F ．此时则有14DF CF DC BE CE BC ===，又G 为AD 中点，根据平行可得：12GE DF =，故18GE BE =，即18EG EG GB =+，可得:1:7EG GB =．【总结】构造平行线，构造比例线段是解决这类问题的根本．【例29】已知点D 是ABC ∆的BC 边上的一点，13CD BC =，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，求:AF AC 的值．【难度】★★ 【答案】2:5．【解析】过点D 作//DM BF 交AC 于点M ．∵13CD BC =，∴13CM CD CF BC ==，∴12CM MF =． 又E 为AD 中点，//DM BF ， ∴F 为AM 中点，即AF FM =，∴:2:5AF FC =．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，通过构造平行线等比例转化即可得出答案．F【例30】如图，路灯A 的高度为7米，在距离路灯正下方B 点20米处有一墙壁CD ，CD BD ⊥， 如果身高为1.6米的学生EF 站立在线段BD 上（EF BD ⊥，垂足为F ，EF CD <），他的影子的总长度为3米，求该学生到路灯正下方B 点的距离FB 的长．【难度】★★★【答案】818m 或18m【解析】（1）影子全部在地面上时， 设点E 在地面的投影为点M ， 则有3FM =．由EF BD ⊥，AB BD ⊥，可得//EF AB ，则有EF FMAB BM =， 代入可求得：1058BM m =，则818FB BM FM m =-=． （2）影子部分在地面，部分在墙面上时，如图，根据同一时刻同一地点任何物体影长与其 高度比值相同，设墙上部分影长ND x =，则有3DF x =-，17FB x =+，则有ND GD AB GB =， 即720x GD GD =+，可得207xGD x=-， 又根据//ND EF ，可得ND GD EF GF =，即207201.637xx x x xx-=+--， 整理即得：210110x x +-=， 解得：()12111x x ==-，舍．故18FB m =．【总结】影长问题，注意同一时刻同一地点任何物体影长与其高度比值相同，有障碍物时，障碍物上的影长仍满足这个条件，注意进行分类讨论．EFNG16 / 25GH FEDCBAFE D CBA【例31】如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、AD 上，EF 交AC 于点G ，若:2:3AE EB =，:1:2AF AD =，求:AG AC 的值．【难度】★★★ 【答案】2:9．【解析】延长FE 交CB 的延长线于点H ．∵//AF BH ，∴23AF AE BH EB ==． 又:1:2AF AD =，故可得：227AF AF CH AF BH ==+，∵//AF CH ，∴27AG AF GC CH ==，故:2:9AG AC =． 【总结】构造与所求线段相关的“A ”字型或“X ”字型，比例转化．【例32】如图，在ABC ∆中，设D 、E 是AB 、AC 上的两点，且BD CE =，延长DE 交BC的延长线于点F ，:3:5AB AC =，12cm EF =，求DF 的长．【难度】★★★ 【答案】20cm ．【解析】过点D 作//DH AC 交BC 于H ，则有35BD AB DH AC ==，又BD CE =，则有35CE DH =，由//CE DH ，得35EF CE DF DH ==，代入计算得：125320DF cm =⨯÷=． 【总结】作平行线，构造出与所求线段相关的“A ”字型或“X ”字型，比例转化．G FEDCBA G FEDCBA【例33】如图，已知ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且:3:2AD DB =，:1:2AE EC =，直线ED 和CB 的延长线交于点F ，求:FB FC ．【难度】★★★ 【答案】1:3．【解析】过点B 作//BG FE 交AC 于G ． 根据三角形一边平行线的性质定理，可得： 32AE AD EG DB ==，又:1:2AE EC =，故13EG EC =，由//BG FE ，可得：::1:3FB FC EG EC ==．【总结】作平行线，构造出与所求线段相关的“A ”字型或“X ”字型，比例转化．【例34】已知：在ABC ∆中，D 、E 是BC 上的两点，且//AD EG ，EG 交AC 于F ，交BA 的延长线于G ，若2EF EG AD +=．求证：AD 是ABC ∆的中线．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：//AD EG ， AD BD EF CEEG BE AD CD ∴==，． BE CEEG AD EF AD BD CD∴=⋅=⋅，．2EF EG AD +=， 2BE CE BD CD∴+=． 则有11BE CEBD CD-=-， BE BD CD CEBD CD --∴=． 即DE DEBD CD=． BD CD ∴=．即AD 是ABC ∆的中线．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，注意根据题目条件灵活进行比例转换，将条件转化到同一个量，得出结论．18 / 25【习题1】如图，在ABC ∆，//DE BC ，DE 与边AB 、AC 分别交于点D 、E ． （1）已知6AD =，8BD =，4AE =，求CE 、AC 的长；（2）已知:2:5AE AC =，10AB =，求AD 的长．【难度】★ 【答案】（1）162833AE CE ==，；（2）4． 【解析】（1）∵//DE BC ，∴AE AD CE DB =，∴163CE =； （2）∵//DE BC ，:2:5AE AC =，∴25AD AE AB AC ==，∴4AD =．【总结】考查三角形一边平行线的性质．【习题2】如图，//EF AB ，//DE BC ，下列各式正确的是（）（A ）AD BF BD CF = （B ）AE CEED BC =（C ）AE BDEC AD=（D ）AD ABED BC=【难度】★ 【答案】A【解析】根据三角形边平行线的性质进行比例线段转化可 知A 选项正确；B 、C 、D 错误．【总结】考查三角形一边平行线的性质的应用．【习题3】如图，菱形ADEF 内接于ABC ∆，16AB =，14BC =，12AC =，求BE 的长． 【难度】★ 【答案】8．【解析】根据三角形一边平行线的性质，DE BE EF CEAC BC AB BC==，， 即有1DE EF AC AB +=，可解得菱形边长487DE AD ==，故647BD AB AD =-=，BE BDBC BA=，∴8BE =． 【总结】考查三角形一边平行线的性质的综合应用．随堂检测GMDCBA【习题4】如图，P 是ABC ∆的中线AD 上一点，//PE AB ，//PF AC ．求证：BE CF =．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：//PE AB ，//PF AC ，BE AP CF APBD DA DC DA ∴==，， BE CFBD DC ∴=， 又BD CD =，BE CF ∴=．【总结】考查三角形一边平行线的性质的综合应用，用固定线段的比值作为中间量．【习题5】如图，在ABC ∆中，//DE BC ，且:2:3AD AB =，求:EO EB 的值． 【难度】★★ 【答案】2:5．【解析】由//DE BC ，可得23DE AD BC AB ==，则23EO DE BO BC ==，根据比例的合比性，可得:2:5EO EB =．【总结】找准图形中的“A ”字型和“X ”字型进行比例线段的转化构造．【习题6】在ABC ∆中，AB AC =，如果中线BM 与高AD 相交于点G ，求AGAD． 【难度】★★【答案】23．【解析】AB AC AD BC =⊥，，BD CD ∴=．即D 为BC 中点，M 为AC 中点， G ∴为ABC ∆重心，23AG AD ∴=． 【总结】考查重心的意义和性质，先证明再利用性质．20 / 25NE GH F M D CBA【习题7】如图ABC ∆，点D 、E 分别在BC 、AC 上，BE 平分ABC ∠，//DE BA ．如果24CE =，26AE =，45AB =，求DE 和CD 的长．【难度】★★ 【答案】1085DE =，129665CD =． 【解析】根据三角形一边平行线的性质，可得DE CEAB AC=， ∴452410824265AB CE DE AC ⋅⨯===+．由BE 平分ABC ∠，则有ABE DBE ∠=∠，由//DE BA ，可得：DEB ABE ∠=∠，即DEB DBE ∠=∠，故1085BD DE ==，进而可得：CD CE BD AE =，∴129665BD CE CD AE ⋅==． 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理的应用，同时考查平行线与角平分线一起出现会产生等腰三角形的基本图形．【习题8】如图，梯形ABCD 中，//////DC EF GH AB ，30AB cm =，10CD cm =，::2:3:4DE EG GA =，求EF 与GH 的长度．【难度】★★★ 【答案】13019099EF cm GH cm ==，．【解析】过点C 作//CP DA 分别交EF 、GH 、AB 于 点M 、点N 、点P ，则易得四边形DAPC 为平行 四边形．则10EM GN AP DC cm ====，20PB cm =．由//FM BP ，可得：29FM CM DE PB CP DA ===，代入可得：409FM cm =，1309EF EM FM cm =+=． 由//NH PB ，可得：59NH CN DG PB CP DA ===，代入可得：1009NH cm =，1909GH GN NH cm =+=． 【总结】夹在平行线间的线段对应成比例．M N P【作业1】已知线段a、m、n，且ax mn=，求作x，作法正确的是（）（A）（B）（C）（D）【难度】★【答案】C【解析】考查三角形一边平行线的性质定理，变形即为a nm x=，可知C选项满足题意．【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，进行简单的变形应用，可知线段错位相乘满足题意的即为所求选项．【作业2】如图，ABC∆中，AB ACBE EC=，53ABAC=，//DE AC，求:AB BD的值．【难度】★【答案】8:5．【解析】由AB ACBE EC=，53ABAC=，可得53BEEC=，根据比例的合比性质，可得58BEBC=，由//DE AC，可得::8:5AB BD BC BE==．【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用．课后作业22 / 25NEFMDCB A 【作业3】如图，////AB EF CD ，2AB =，8CD =，:1:5AE EC =，求EF 的长度． 【难度】★★ 【答案】3EF =．【解析】过点B 作//BN AC 交EF 于点M ，交CD 于点N ． ∵////AB EF CD ，∴四边形AEMB 、ACNB 、ECNM 都为平行四边形，∴2CN EM AB ===，且有FM BMDN BN =． :1:5AE EC =，16BM AE BN AC ∴==． 16FM BM ND BN ∴==/ ∵6ND CD CN =-=， ∴1FM =，3EF EM FM ∴=+=．【总结】三条平行线被两条直线所截，将其中一条直线平移，放到同一个三角形中解答．EGFMDCBA E G FMDCBA 【作业4】平行四边形ABCD ，E 是AB 的中点，在直线AD 上截取2AF FD =，EF 交AC于G ，求AGGC 的值．【难度】★★【答案】25或23．【解析】（1）当点F 在AD 上时，如图． 过点E 作//EM BC 交AC 于点M ， 由E 为AB 中点，则M 为AC 中点， 四边形ABCD 为平行四边形，//AD BC AD BC ∴=，．又2AF FD =， 223AF AF AF AD BC EM ∴===． 由//AF EM ， 43AG AF GM EM ∴==,42105AG AG GC GM AM ∴===+． （2）当点F 在AD 延长线上时，如图， 过点E 作//EM BC 交AC 于点M ， 由E 为AB 中点，则M 为AC 中点， 四边形ABCD 为平行四边形，//AD BC AD BC ∴=，．又2AF FD =， 22AF AF AF AD BC EM ∴===． 由//AF EM ， 4AG AF GM EM∴==4263AG AG GC GM AM ∴===+． 【总结】注意题目中的关键词语，在直线上，由此要进行分类讨论，根据三角形一边平行线的性质构造“A ”字型、“X ”字型即可．24 / 25【作业5】如图，////AB EF DC ，已知20AB =，80CD =，求EF 的长． 【难度】★★ 【答案】16【解析】由////AB EF DC ，可得:BF EF BC CD =，CF EFBC AB=，则有1EF EFAB CD+=，代入计算得16EF =． 【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用，利用比例线段之间的关系构造等式求解．【作业6】如图，在ABC ∆中，D 是边BC 上一点，//DF AB ，//DE CA ．（1）求证：AE CFEB FA =； （2）如果2CF =，5AC =，6AB =，求AE 、DE 的长． 【难度】★★【答案】（1）略；（2）1235AE DE ==，． 【解析】（1）证明：//DE CA ，AE CDEB DB ∴=， 又//DF AB ， CD CFDB FA∴=，AE CFEB FA∴=． （2）解：由（1）可得AE CFEB FA=， 根据比例的合比性质，得：AE CFAB AC=， 代入可解得：621255AE ⨯==， 由//DE CA ，//DF AB ， 可知四边形AEDF 为平行四边形，即得：3DE AF AC CF ==-=．【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用，进行比例线段转化．【作业7】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE 与BD 相交于点O ，CE 与BA 的延长线相交于点G ，已知2DE AE =，10CE =，求GE 和CO 的长．【难度】★★★【答案】56GE CO ==，．【解析】四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC AD BC ∴=，．又2DE AE =，13GE AE AE GC BC AD ∴===，23EO DE OC BC ==， 即13GE GE EC =+，23EC CO CO -=，代入即可求得56GE CO ==，．【总结】考查利用三角形一边平行线的性质构造“A ”字型和“X ”字型，进行比例线段的综合应用．【作业8】如图， //DE BC ，3ADE S ∆=，18CBD S ∆=，求ABC S ∆． 【难度】★★★ 【答案】27． 【解析】设BDES a =，则有3AED BEDS AE SBE a==，318ABD CBDS AD a SCD +==，由DE //BC ，可知AE ADBE CD=， 则有3318aa +=，整理得23540a a +-=，解得6a =， 由此361827ABCADEBDEDBCS SSS=++=++=．【总结】考查三角形一边的平行线定理，以及等高三角形面积比等于其底边之比的知识点的灵活运用．。
精品 九年级数学 反比例函数同步讲义+同步综合练习
反比例函数综合复习网络结构：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧.3.2.1m m ,,,,系：步骤：一次函数与不等式的关个单位后，解析式为向左或向右平移直线有关，左右平移：与个单位后，解析式为向上或向下平移直线有关，上下平移：与图象平移：象限；时，直线经过第当象限；时，直线经过第当象限；时，直线经过第当象限；时，直线经过第当经过象限：）的一条直线；，）和（，是经过（形状：一次函数图象性质点坐标；法，已知直线上任意解析式求法：解析式：一次函数b kx y b kx y b k b k b kb k⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧∆2,,321t k S k S y x P y x P x y x x y x k x y xx y x k k kR 则构成的则该矩形面积轴作垂线，围成矩形轴、作上，过）在双曲线（点；的增大而随时，当的增大而随时，当时，当；的增大而随时，当的增大而随时，当时，当增减性：象限；时，图象分布在第当象限；时，图象分布在第当象限分布：点坐标；法，已知双曲线上任意解析式求法：图象形状：是图象性质）（，）（，）（解析式：反比例函数矩形例1.已知21y y y -=，1y 与x 成反比例，2y 与)2(-x 成正比例，并且当x=3时，y=5；当x=1时，y=-1；求y 与x 之间的函数关系式.例2.如图,反比例函数xy 8-=与一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象交于A 、B 两点,且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是-2．求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB 的面积．例3.如图,已知一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B•两点,且与反比例函数)0(≠=m xmy 的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D,若OA=OB=OD=1． (1)求点A 、B 、D 的坐标；(2)求一次函数和反比例函数的解析式．例4.如图，双曲线xy 5=在第一象限的一支上有一点C(1，5)，过点C 的直线)0(≠+=k b kx y 与x 轴交于点A(a ，0)．(1)求点A 的横坐标a 与k 的函数关系式(不写自变量取值范围)．(2)当该直线与双曲线在第一象限的另一个交点D 的横坐标是9时，求△COA•的面积．课堂练习：1.函数xky =的图象经过（1,-1)，则函数2-=kx y 的图象是（ ）2.在同一坐标系中，函数xky =和3+=kx y 的图像大致是 （ ）3.若函数xky =的图象过点（3,-7），那么它一定还经过点 （ ） A.(3，7) B.(-3，-) C.(-3，7) D.(2，-7)4.若反比例函数1232)12(---=k k x k y 的图象位于第二、四象限，则k 的值是（ ） A.0 B.0或1 C.0或2 D.45.已知反比例函数)0(<=k xky 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且21x x <，则21y y -的值是 （ ）A.正数B.负数C.非正数D.不能确定 6.函数xy 1=与函数x y =的图象在同一平面直角坐标系内的交点的个数是（ ）A.一个B.二个C.三个D.零个7.若点（3,4）是反比例函数221m m y x+-=图象上一点，则此函数图象必须经过点（ ） A.(2,6) B.(2,-6) C.(4,-3) D.(3,-4） 8.若y 与x 成正比例，x 与z 成反比例，则y 与z 之间的关系是（ ）A.成正比例B.成反比例C.不成正比例也不成反比例D.无法确定9.如图,A 为反比例函数x ky =图象上一点,AB 垂直x 轴于B 点，若3=∆AOB S ，则k 的值为（ ）A.6B.3C.23 D.不能确定10.在一个可以改变容积的密闭容器内,装有一定质量m 的某种气体,当改变容积V 时,气体的密度ρ也随之改变.ρ与V 在一定范围内满足ρ=Vm,它的图象如图所示,则该气体的质量m 为（ ） A.1.4kg B.5kg C.6.4kg D.7kg11.已知112233(,),(,),(,)x y x y x y 是反比例函数4y x-=的图象上三点，且1230x x x <<<，则123,,y y y 的大小关系是（ ）A.1230y y y <<<B.1230y y y >>>C.1320y y y <<<D.1320y y y >>> 12.使函数1992)4(+--=m mx m y 是反比例函数,m= ,图象在每个象限内y 随x 的增大而 .13.在函数为常数）（k x k y 22--=的图象上有三个点），（1y 2-,(-1，y 2)，（21，y 3），函数值1y ，2y ，3y 的大小为 14.已知xky =经过点（-1,3），如果A(a 1,b 1)，B(a 2,b 2)两点在该双曲线上，且a 1<a 2<0，那么b 1 b 2． 15.若反比例函数xb y 3-=和一次函数y=3x+b 图象有两个交点,且有一个交点纵坐标为6,则b=16.已知反比例函数x k y =的图象经过点)214(，，若一次函数1+=x y 的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B （2，m ），求平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标为______________17.已知函数kx y -=与xy 4-=的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于ｙ轴，垂足为点C ，则△BOC 的面积为＿＿＿＿18.已知A(x 1,y 2),B(x 2,y 2)都在6y x=图像上。
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九年级数学上册 同步提高讲义 共20课第01课 根与系数的关系知识点：一元二次方程解法：(1) ; (2) ; (3) ; (4) ; 求根公式：根与系数的关系式：一元二次方程的根与系数的关系 ：(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=_________，x 1x 2=____________(2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=______，x 1x 2=________(3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 ______________________．变形公式：(1) 2221x x += ; (2) 2111x x += ; (3)221)(x x -= ; (4)21x x -= ;(5))1)(1(21--x x = ; (6))1)(1(21x x --= ;例1.设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）2221x x +；（2）1221x x x x +（3）221221x x x x +（4）2221)1()1(+++x x（5）)3)(3(21--x x（6）||21x x -（7）3622121+--x x x （8）3621222+--x x x例2.若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .例3.若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.例4.不解方程，判别方程07322=-+x x 两根的符号。
例5.若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.例6.已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.例7.已知α、β是方程0522=-+x x 的两个实数根，求αα22++ap 的值。
例8.用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（217x +）cm ，正六边形的边长为（22x x +）cm (0)x >其中.求这两段铁丝的总长.课堂练习：1.下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）A.0322=-+x xB.0322=+-x xC.0322=--x xD.0322=++x x2.关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是（ ）A.1B.－1C.1或－1D.23.已知方程0122=-+x x 的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ）A.－7B.3C.7D.－34.若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）A.5或－2B.5C.－2D.－5或25.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）6.若一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______.7.方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .8.若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .9.已知a 、b 是一元二次方程0122=--x x 的两个实数根，则代数式ab b a b a +-+-)2)((的值=______.10.如果关于x 的方程062=++k x x 的两根之差为2，那么k=11.已知关于x 的方程0)1(232=-+-m mx x 的两根为x 1,x 2，且431121-=+x x ，则m= 。
12.已知21,x x 是方程04722=--x x 的两个根，那么：2221x x += ；)1)(1(21++x x = ；21x x -= 。
13.已知关于x 的一元二次方程0642=--x mx 的两根为x 1和x 2，且221-=+x x ，则m= ；21)(21x x x x ⋅+= 。
14.如果一元二次方程022=++a x x 的一个根是21-，那么另一个根是 ，a 的值为 。
15.若α、β为实数且0)2(32=-+-+αββα，则以α、β为根的一元二次方程为 。
(其中二次项系数为1)16.解一元二次方程：(1))2(5)2(3+=+x x x (2)0122=--x x (3)032=+--x x17.已知一元二次方程0142=+-x x 的两根分别为21,x x ,求：(1)2221x x +； (2)1221x x x x +； (3)221)(x x -； (4)7522121+--x x x18.关于x 的方程)0(01)3(222≠=+-+m x m x m 的两实数根为21,x x ，若2111x x m +=，求m 的值。
19.当m 为何值时，关于x 的一元二次方程0)5()1(22=-++--m m x m x 的两个根互为倒数。
20.关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.21.关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.22.在解方程02=++q px x 时，小张看错了p ，解得方程的根为1与-3；小王看错了q, 解得方程的根为4与-2。
这个方程的根应该是什么？14.解方程：(1)072)3(82=--x （2）0)21()12(2=---x x x （3）0562=-+x x15.不解方程，判别方程011522=+--x x 两根的符号。
16.已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
17.已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.18.已知α、β是方程0522=-+x x 的两个实数根，求a 22++αβα的值。
第02课 韦达定理及应用知识点：一元二次方程根的判别式 ：当△>0时⇔方程有 ，当△=0时⇔方程有 ，当△<0时⇔方程 .韦达定理的应用：1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值4.已知两数的和与积，求这两个数例1.关于x 的一元二次方程0483222=-+--m m mx x .求证：当m>2时,原方程永远有两个实数根.例2.已知关于x 的方程01)1(22=-++-k x x kx 有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围;(2)是否存在实数k ，使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值;若不存在，说明理由.例3.已知关于x 的方程014)3(222=--+--k k x k x .(1)若这个方程有实数根，求k 的取值范围;(2)若这个方程有一个根为1，求k 的值;例4.已知关于x 的一元二次方程0321)2(2=-+-+m x m x (1)求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。
(2)若这个方程的两个实数根21,x x 满足1221+=+m x x ，求m 的值。
例5.当m 为何值时，方程07)1(82=-+--m x m x 的两根：(1)均为正数; (2)均为负数; (3)一个正数，一个负数; (4)一根为零; (5)互为倒数; (6)都大于2.例6.已知a,b,c,是△ ABC 的三边长，且关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x c ax x b 有两个相等的实根， 求证：这个三角形是直角三角形。
例7.若0>n ，关于x 的方程041)2(2=+--mn x n m x 有两个相等的正的实数根，求n m 的值。
课堂练习：1.下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A.0122=-+x xB.02222=++x xC.0122=++x xD.022=++-x x2.已知12,x x 是方程2310x x -+=的两个实数根，则2111x x +的值是（ ） A.3 B.-3 C.13D.1 3.关于x 的二次方程22(1)230m x x m m -+++-=的一个根为0，则m 的值为（ ）A.1B.-3C.1或－3D.不等于1的实数4.方程0)2()25(22=-+--k x k x 的两根互为相反数，k 的值为（ ）A.5=k 或5-B.5=kC.5-=kD.以上都不对5.若方程x 2＋mx ＋4=0的两根之差的平方为48，则m 的值为（ ）A.±8B.8C.-8D.±46.已知关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ，若有一个根为0，则m=________ ，这时方程的另一个根是 ________；若两根之和为53-，则m=_______ ，这时方程的两个根为____________ 7.已知方程012=-+px x 的一个根为52-+，可求得p=_______8.若32-是关于x 的方程0822=+-k x x 的一个根，则另一个根为_____，_____=k 。
9.方程05622=--x x 两根为α，β，则α2+β2= ，2)(βα-= 。
10.要使6429+-n n a 与n a 3是同类项，则n=11.解下列方程：(1)16)12(2=-x (2)0342=+-x x (3)02352=--x x12.关于x 的方程0)3()12(2=-+--a x a ax 有实数根，求a 的取值范围。
13.设21,x x 是方程01422=--x x 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：(1))1)(1(21++x x ； (2)1221x x x x +； (3)2221x x +.14.关于x 的方程0)3()12(2=-+--a x a x ，试说明无论a 为任何实数，方程总有两个不等实数根。
15.已知关于x 的方程0113)1(222=-+-+m x m x ，（1）m 为何值时，方程有两个相等的实数根？（2）是否存在实数m ，使方程的两根x 1、x 2满足12211x x x x +=-？若存在，求出方程的根；若不存在，请说明理由。
16.关于x 一元二次方程()()022=-+-+-b a x a b x b c 有两个相等的实数根,其中c b a ,,是三角形三边的长,试判断这个三角形的形状。
17.已知ABC R ∆t 中，两直角边长为方程0)2(4)72(2=-++-m m x m x 的两根，且斜边长为13，求ABC S ∆的值.第03课 一元二次方程应用题--经济利润问题知识点：解应用题步骤：1．审题； 2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种； 3．找等量关系列方程； 4．解方程；5．判断解是否符合题意； 6．写出正确的解．平均增长率问题：平均增长率公式为a(1+x)n =b(a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)平均降低率问题：平均降低率公式为a(1-x)n =b(a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.)商品销售问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)；总利润=每件的利润×总件数%100⨯=进价（成本）利润利润率；实际售价打折数标价=⨯10；101打折数标价利润率）（进价⨯=+⨯ 例1.某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？例2.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。