东南大学2010-2011-2几何与代数期终试卷答案

合集下载

东南大学线性代数几何代数历年试题

《线性代数》教学大纲32学时本课程是以矩阵为主要工具研究数量间的线性关系的基础理论课程，也是本科阶段关于离散量数学的最重要的课程。

本课程的目的是使学生熟悉线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本理论和基本方法，提高其抽象思维、逻辑思维的能力，为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。

教学内容和基本要求一．行列式1．理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算；12．知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响；3．了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n阶行列式；4．掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理；5．掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算；6．理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法。

二．矩阵1．理解矩阵的概念；2．理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算；3．理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质；4．理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质；5．了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；26．了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。

三．矩阵的初等变换与Gauss消元法1．理解矩阵的初等行变换与Gauss消元法的关系，理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念；2．了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系；3．了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解；4．理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系；5．熟练掌握用矩阵的秩判断线性方程组的相容性及讨论解的情况的方法。

四．向量组的线性相关性1．理解向量的概念，理解线性组合和线性表示的概念；2．理解向量组的线性相关、线性无关的概念以及有关性质，掌握向量组的线性相关性的判别方法；3．理解向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握向量组的秩的性质；34．理解向量组的最大线性无关组的概念，理解向量组的最大线性无关组与向量组的秩间的关系，会求向量组的最大线性无关组；5．理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法；6．理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法；7．知道向量空间、子空间、向量空间的基及维数的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间，会求由一向量组生成的子空间及一齐次线性方程组的解空间的基及它们的维数；8．知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵。

东南大学11-12-2 几何与代数B期末试题A与答案A

4．
过点
P(1,
2,
0)
且与直线
⎧ ⎨ ⎩
x x
+ −
2 y
y−z + 3z
= =
1 0
垂直的平面的方程是
；
5．若向量组 (1, −1, 2), (1, k, −3), (3, 0,1) 线性相关，则 k =
；
6．设 A 是 4 × 3 阶矩阵，若齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系只含一个解向量，则
；
⎛4 2 0 ⎞
10．
矩阵
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
2 0
k +1 k
k
k +
⎟ 1⎟⎟⎠
正定，则参数
k
满足
。
abc d a −1 b +1 c d
二、（10%）计算行列式
a−2 b c+2 d a−3 b c d +3 .
⎛0 0 1⎞
三、（12%）设矩阵
A
=
⎜ ⎜
2
−3
0
⎟ ⎟
，求矩阵方程
AXA−1
+
A−
2
⎟ ⎟
，特征向量 η3
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 0 ⎟⎠
⎜⎝ 2⎟⎠
⎛ 1/ 2
令正交矩阵 Q
⎛ = ⎜⎜⎝
η1 η1
,
η2 η2
,
η3 η3
⎞⎜
⎟⎟⎠
=
⎜ ⎜⎜⎝
−1
0 /
2
1/ 18 −4 / 18 1/ 18
2 / 3⎞ ⎟
1/3⎟ ， 2 / 3⎟⎟⎠
则正交变换 x = Qy 将二次型化为标准形： f ( y1, y2 , y3) = 7 y12 + 7 y22 − 2 y32 （2）变换 x = Qy 将二次曲面 f (x1, x2, x3) = −1的方程化为： 7 y12 + 7 y22 − 2 y32 = −1，

几何与代数习题参考答案_一二三章

8 −3
四、解：因为 (α × β ) ⋅ γ = 0
2 −1 = 63 ≠ 0, 3
1
2 2
所以 α , β , γ 不共面，
以这三个向量为棱所作的平行六面体体积 V = (α × β ) ⋅ γ = 63 。 ----------直接用混合积计算体积,判断共面性.
五、解：由于 α , β 不共线，向量 α , β , γ 共面，则可设 γ = xα + y β , 而
关于参考答案的说明
1、 2、 3、 4、本答案仅仅具有参考作用，因为不少题目或许有多种解法，此处不过是给了其中一种。况且偶尔也会出现错误。有时应该相信自己。如果你能清楚说明为什么自己是正确的，则你已成功。对自己的答案不太确定时，想办法证明自己对或不对，这种能力更为重要。不可能每件事情都有现成的答案在那里等你参考、核对。当你思考题目该怎么做？这样想、那样想对不对等诸如此类的问题时，不知不觉中，你已在进步。所以重要的是想，是思考。
所以当 a = 7, b ≠ 5 时方程组无解；当 a = 7, b = 5 时方程组有无穷多解。三、解：根据方程式，得到方程组
⎧ 6 x1 = x3 ⎧ 6 x1 − x3 = 0 ⎪ ⎪ ⎨6 x1 = 2 x4 , 即 ⎨6 x1 − 2 x4 = 0 , 直接取 x1 为自由未知量得， ⎪ 2x = x ⎪ 2x − x = 0 4 ⎩ 2 ⎩ 2 4
---------- 共面即说是线性组合，待定系数法。
小结：內积、外积、混合积何时为 0 最为重要，也经常使用。应用它们之前首先得清楚它们的几何意义。当然如果不会计算一切都是空谈。计算分两种，一是用定义；一是用坐标。特
3
别要记住用坐标如何计算。

东南大学《高等数学》2010-2011学年期中试卷B卷 (1)

东南大学成贤学院考试卷（A 卷）课程名称高等数学B(下)期中适用专业工科各专业考试学期 10 - 11 - 3 考试形式闭卷考试时间长度 120 分钟学号姓名得分题号一二三四五得分一、选择题(每题 3 分,共 5 题)1、点 M (−3,−7,− 1) 关于（）的对称点是 M ′ 3(,7,− 1)。

（A ）原点 O ；（B ） Oxy 平面；（C ） z 轴；（D ）平面 x + y − z = 0。

2、直线 = = 与直线 = = 的夹角是（）。

1 − 4 12 − 2 − 1 （A ）； 6 （B ）； 4 （C ）；3 （D ）。

43、为使二元函数 f (x , y ) = 当 (x , y ) 沿着某一特殊路线趋于 0(,0) 时的极限为 2，这条路x − y线应选择（）。

（A ） y = ；（B ） y = ；（C ） y =4、二元函数 z = 3(x + y ) − x 3 − y 3 的极值点是（（A ） 1(,− 1)；（B ） (− 1,1)；（C ） (− 1,− 1)；；（D ） y = 。

）（D ） 0(,0)。

5、设 D = {(x , y ) 1≤ x ≤ 2 , 3 ≤ y ≤ 4 }，则积分的值为（）。

4（A ） ln ；3 （B ） ln ； 2 （C ） ln ； 3（D ） ln 。

二、填空题(每题 3 分,共 5 题)1、直线 = = 在 Oxy 平面上的投影直线为。

- 1 -x = 0 sin(xy )(x ,y )→0(,0)2 −。

4、设z = x y ，则 dz 1(,1) = 。

5、交换积分次序： ∫dy∫yf (x , y )dx = 。

三、计算题(每题 7 分,共 5 题)1、已知某球面的中心在 3(,−5,2) 且与平面 2x − y +3z = 3相切，求球面方程。

【东南大学】《几何与代数》总复习资料资料

几何与代数总复习
主讲: 关秀翠
东南大学数学系
加法和数乘一 AB: 交换律消去律转置: (AB)T=BTAT 般
秩: r(A)=行(列)秩矩分块运算: 分块转置
阵初等行(列)变换
Ak , f(A) |A|: Rnn R tr(A)=aii: Rnn R 方 A1: AB=BA=E A*=(Aji): AA*=|A|E 阵

n
i为特征值
①秩
①② ③
Rnn
P可逆, s.t.
B PT AP
实对称
Ep Eq
O
③r,p,q, 对称性, 正定性 ①秩
《几何与代数》复习要点
二次曲面
一般方程表示的二次曲面
f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0
作直角系的旋转变换
3) r(Amn) = r A Em(r)nP,Q可逆,A =PEm(r)nQ.
A中至少有一个 r级子式0, 任一k(>r)级子式=0.
A Rsn, B Rnt , r A r B n r AB minr A , r B

r

B

r

A O
O
B

n,
if r A n
9)
设A是n(2)阶方阵, 则
r

A*

1,
if r A n 1
0, if r A n 2
作用初等变换终止矩阵
结果
秩
行变换阶梯阵
极大无关组(基)
阶梯阵行变换
行最简形

东南大学12-13-2 几何与代数B期末答案A

D 1,2 ,3 ( p 1)2 ( p 2) …………………………………………………….2
所以，1, 2 , 3 是1,2 ,3,4 的极大无关组当且仅当1, 2 , 3 线性无关….2
当且仅当 D 0 ，即 p 1, 2 ， q 可以任意取值。….…………………….2
2. 当 p, q 取何值时，1, 2 是这个向量组的极大线性无关组？并在这时将3 , 4 表
0
0
1
1 3 1
Q
0 2
3 2
0
……………………………………………………………………..4
4
共4页
第2页
1 1 p 1
四.
（15%）已知向量组 1
1
,
2
p
,
3
1
,
4
4
。
p
1
1
q
1. 当 p, q 取何值时，1, 2 , 3 是这个向量组的极大线性无关组？
或 6x 3y 2z 17 0 ………………………………………….2
共4页
第3页
3 2 2 六. （15%）已知矩阵 A k 1 k 与对角阵相似。求参数 k 的值，并求可逆矩阵 P
4 2 3 及对角阵，使得 P 1 AP 。
解： E A ( 1)( 1)2 。所以， A 的特征和值是1， 1（二重）。……………….6 如果 A 相似于对角阵，则相应于特征值 1， A 有两个线性无关特征向量，即 r( A E) 1 ，于是 k 0 。………………………………………………………….3
0
1
1 0
1 1
；
2.
若
2
阶方阵
A
( ,

东南大学09-10-2几何与代数(B)期末考试答案

共 4 页第页东南大学考试卷（ A 卷）课程名称几何与代数B 考试学期09-10-2得分适用专业电类专业考试形式闭卷考试时间长度 120分钟一. （30%）填空题1. 若101,110a A B b ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且222()AB A B =，则,a b 满足条件 a b =；2. 设2阶方阵(,)A αβ=，()2,3B αβαβ=-+，若B AC =，则矩阵C = 2113⎛⎫⎪-⎝⎭；3. 直线3221x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩的一个方向向量为 (5,4,3) ；4. 点(1,1,1)P 到平面223x y z -+=的距离是23；5. 如果向量组1111,,21a a a αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关，则参数a 满足条件 1a =；6. 向量12η⎛⎫= ⎪⎝⎭在2R 的基13,12αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭下的坐标是 41⎛⎫ ⎪-⎝⎭；7. 如果11⎛⎫ ⎪⎝⎭是矩阵211a ⎛⎫⎪⎝⎭的属于特征值b 的特征向量，则 (,)a b = (0,2) ； 8. 假设A 是22⨯矩阵，若可逆矩阵(,)P αβ=满足11002P AP -⎛⎫=⎪⎝⎭，(),Q βα=，则1Q AQ -= 2001⎛⎫⎪⎝⎭；9.(1)r n ≤≤的特征多项式是 (1)n r r λλ--。

共 4 页第页二. （10%）设211101111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111012B -⎛⎫= ⎪⎝⎭。

已知XA B X =+ ，求 X 。

解：()X A E B -=，1()X B A E -=-， (4)111111110A E ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，1122111221()0101A E --⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭， (4)51220102X ⎛⎫= ⎪--⎝⎭……………………………………………………………………2 三. （14%）设线性方程组12342341234123412123435(6)5x x x x x x x x x ax x b x x x a x + + +=⎧⎪ - +=⎪⎨+ + +=⎪⎪+ +++=⎩。

东南大学线性代数试题及答案

03-04学年第二学期《空间解析几何与线性代数》期终试题解答一 (24%) 填空题:1. 若向量k j a i -+=α, k j i b ++=β,k =γ共面, 则参数a , b 满足ab = 1.2. 过点P (1, 2, 1)且包含x 轴的平面方程为y - 2z = 0.3. 已知矩阵A 满足A 2 + 2A - 3I = O , 其中I 表示单位矩阵, 则A 的逆矩阵A -1 = )2(31I A +. 4. 设矩阵A =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡031130021, B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡700650432, 则行列式|A 2B -1| = 1/70 . 5. 设向量组α1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡321, α2 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡123, α3 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-11k , 则当参数k =0时, α1, α2, α3线性相关. 6. 向量空间R 2中向量η = (2, 3)在R 2的基,与α = (1, 1) β = (0, 1)下的坐标为(2, 1).7. 满足下述三个条件的一个向量组为(-2, 1, 0), (1, 0, -1), 这三个条件是: ①它们是线性无关的; ②其中的每个向量均与α = (1, 2, 1)正交; ③凡与α正交的向量均可由它们线性表示.8. 已知2×2矩阵A = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a , 若对任意的2维列向量η有ηT A η = 0, 则abcd 满足条件 a = d = 0, b = -c .二 (12%) 假设矩阵A , B 满足A - B = AB , 其中A =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---021021020, 求B . 解: (法一) 由A - B = AB 得 (A +I )B = A , 其中I 表示单位矩阵. A +I = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---121011021. A +I 的行列式|A +I | = 1, 伴随矩阵(A +I )* = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--101011021. 因而(A +I )-1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--101011021. 于是B = (A +I ) -1A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--101011021⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---021021020 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--001001022. (注意B 未必等于A (A +I ) -1 !)(法二) 由A - B = AB 得 (A +I )B = A , 其中I 表示单位矩阵. A +I = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---121011021. [A +I , A ] =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------021021020 121011021 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--001001022 100010001= [I , (A +I ) -1A ] 初等行变换于是B = (A +I ) -1A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--001001022. 三 (15%) 设向量α1 = (a , 2, 10)T , α2 = (-2, 1, 5)T , α3 = (-1, 2, 4)T , β = (2, b , c )T , 问当参数a , b ,c 满足什么条件时1. β能用α1, α2, α3唯一线性表示?2. β不能用α1, α2, α3线性表示?3. β能用α1, α2, α3线性表示, 但表示方法不唯一? 求这时β用α1, α2, α3线性表示的一般表达式.解: 令A = [α3, α2, α1] = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--105421221a , (注: 这里把α3放在第一列纯粹是为了方便) [A , β] = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--c b a 2 105421221 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-++--442 2800223021b c b a a a = ]~ ,~[βA 1. 当参数a ≠ -4时, 秩(A ) = 3, 此时β能用α1, α2, α3唯一线性表示.2. 当参数a = -4, 而b - c ≠ 4时, 秩(A ) =2, 秩(A , β) = 3, 此时β不能用α1, α2, α3线性表示.3. 当参数a = -4, 且b - c = 4时, 秩(A ) = 秩(A , β) = 2, 此时β能用α1, α2, α3线性表示, 但表示方法不唯一.这时]~ ,~[βA = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+---042 000630421b ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-03/)1(22 000210001b 由此可得Ax = β的通解⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=333213/)1(222x x b x x x , 其中x 3为自由未知量.因而β用α1, α2, α3线性表示的一般表达式为β = t α1 + [-2t + 2(b +1)/3]α2 -2α3其中t 为任意数.四 (8%) 设实二次型f (x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2axy + 2ayz . 问: 实数a 满足什么条件时, 方程f (x , y , z ) = 1表示直角坐标系中的椭球面?解: 实二次型f (x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2axy + 2ayz 的矩阵A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10101a a a a . A 的顺序主子式a 11 = 1 > 0; 22211211a a a a = 1 - a 2; |A | = 1 - 2a 2. f (x , y , z ) = 1表示直角坐标系中的椭球面当且仅当A 正定, 当且仅当A 的顺序主子式全为正数, 即a 2 < 1/2.五 (12%) 设3阶方阵A 的特征值为2, -2, 1, 矩阵B = aA 3 - 4aA + I .1. 求参数a 的值, 使得矩阵B 不可逆.2. 问矩阵B 是否相似于对角阵? 请说明你的理由.解: 1. 因为3阶方阵A 有3个不同的特征值2, -2, 1, 所以存在可逆矩阵P , 使得P -1AP = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-100020002. 初等行变换初等行变换于是P -1BP = P -1(aA 3 - 4aA + I )P = a (P -1AP )3 - 4a (P -1AP ) + I = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-a 3100010001. 因而矩阵B 不可逆当且仅当|B | = 0, 而|B | = |P -1BP | = 1 -3a .所以当a = 1/3时, 矩阵B 不可逆.2. 由1可知矩阵B 相似于对角阵. 六 (12%) 已知二次曲面S 1的方程为z = 3x 2 + y 2, S 2的方程为z = 1 - x 2.1. 问: S 1与S 2分别属于哪一类二次曲面?2. 求S 1与S 2的交线在xOy 平面上的投影曲线方程;3. 画出由S 1与S 2所围成的立体的草图.解: 1. S 1与S 2分别属于椭圆抛物面和抛物柱面.2. 由z = 3x 2 + y 2和z = 1 - x 2消去z 得S 1与S 2的交线在xOy 平面上的投影曲线方程:⎩⎨⎧==+01422z y x 3. 由S 1与S 2所围成的立体的草图如右图所示: 七 (10%) 设3×3实对称矩阵A 的秩为2, 并且AB = C , 其中B = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011与C =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011. 求A 的所有特征值及相应的特征向量; 并求矩阵A 及A 9999.解: 因为A 是3阶矩阵, 且秩为2, 所以|A | = 0, 因而有一个特征值为0.又因为AB = C , 其中B = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011与C =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011, 令p 1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-101, p 2 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡101, 则Ap 1 = -p 1, Ap 2 = p 2, 可见p 1, p 2分别是A 的对应于λ = -1和λ = 1的特征向量. 由于A 是3×3的实对称矩阵, 所以对应于特征值0的特征向量与p 1, p 2正交,由此可得对应于特征值0的一个特征向量p 3 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡010. 令P = [p 1, p 2, p 3], 则P -1AP = Λ = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-000010001. 故A = P ΛP -1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-011100011⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-000010001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-0102/102/12/102/1= ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡001000100. A 9999 = (P ΛP -1)9999 = P Λ9999P -1 = P ΛP -1 = A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡001000100. 八 (7%) 证明题:1. 设η1, η2, …, ηt 是齐次线性方程组Ax = θ的线性无关的解向量, β不是其解向量. 证明: β, β+η1, β+η2, …, β+ηt 也线性无关.证明: 因为η1, η2, …, ηt 是齐次线性方程组Ax = θ的线性无关的解向量, β不是其解向量.所以β, η1, η2, …, ηt 线性无关, 否则β能由η1, η2, …, ηt 线性表示, 从而是线性方程组Ax = θ的解, 矛盾!假若k 1β + k 2(β+η1) + k 3(β+η2) + … + k t +1(β+ηt )= θ,则(k 1 + k 2 + k 3 + … + k t +1)β + k 2η1 + k 3η2 + … + k t +1ηt = θ. 于是(k 1 + k 2 + k 3 + … + k t +1) = k 2 = k 3 = … = k t +1 = 0,即k 1 = k 2 = k 3 = … = k t +1 = 0.所以β, β+η1, β+η2, …, β+ηt 线性无关.2. 设A 是n 阶正定矩阵, 证明: |I +A | > 1, 其中I 是n 阶单位矩阵. 证明: 因为A 是n 阶正定矩阵, 所以A 的特征值λ1, λ2, …, λn 都是正数.于是存在可逆矩阵P , 使得P -1AP = Λ = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ 00000021. 因而|I +A | = |P -1||I +A ||P | = |P -1(I +A )P | = |I + P -1AP | = nλλλ+++1000100121 = (1+λ1)(1+λ2)…(1+λn ) > 1.生活的辩证法就是这样：当苦难压来时，只有具备善良的愿望，坚定信念的人；只有不计回报，只求奉献的人；只有坚强不屈，不折不挠的人，才有希望趟过苦难，收获甘甜。

东+南+大+学+考+试+卷(数分2010-2011-2)

sin(
xb
)

bx a b1
cos(
xb
)
,
x

0
，
0,
x0
故 f ( x) 可导，但 lim f ( x) x0
lim (axa1 sin( xb ) bxab1 cos( xb ))
x0
，
b lim xab1 cos( xb )
x0
由于 lim xab1 ，故 f ( x) 在区间[1,1]上无界。 x0
（3）当1 a 1 b时， f ( x) 可导，
但 f (x) 在区间 [1,1] 上无界。
f ( x) f (0)
lim
x0
x
，
lim xa1 sin( xb ) 0 lim f ( x) f (0)
x0
x0
x
f
(
x)

ax a 1
试求 dy 、 d2 y . dx dx2
dy dx
1 t 2，
d2 y dx 2
2t

1

1
2 t
2

2t(1 t 2 ) t2 1
13. 写出函数 f ( x) ln x 在 x 1处的
带有Lagrange 余项的 3阶Taylor 公式.
ln x x 1 1 ( x 1)2 1 ( x 1)3
0 ，取 min{1, }，
当0
x2
时，
x2 4 x2 2x 2
，
故 lim x2
x2 4 x2 2x

2
六．证由于 f ( x) 在区间(a,b) 上可导，由 Lagrange 中值定理，存在介于 x 与 x0 之间，使得

东南大学高数(上)至年期末考试(附答案)

东南大学高数（上）至年期末考试（附答案）作者:日期:x 3.一、单项选择题 1.设函数03〜10级高等数学 2003级高等数学（（每小题 4分，共16分） y （x ）由方程1"dt （A ）（上册）期末试卷A ）（上）期末试卷x 确定，则 (C)e-1(A)e 1；(B)1-e;(D)2e .（A ） y （C ） y * 二、填空题 Acos2x;Ax cos2x Bxsin2x;(B) (D)1. x m 0(e x2.（每小题 1X)x 2arcta n— x 3分，共18 分）e f 仏x），其中f 可导，则dydx .1 、八一、 x sin-, 设 f(x) x0, Axcos2x; Asi n2x若导函数f （X ）在x 0处连续，则的取值范围是4.若 f (x)x 2t 4_ 3 dt,则f (x)的单增区间为,单减区间为5•曲线y xe X 的拐点是6.微分方程 y 4y 4y 0的通解为y三、计算下列各题(每小题 6分，共36 分)dx计算积分一dx一2 cosx5.设f(x)连续，在x 0处可导，且f (0)x 0(t t f(u)du)dt0, f (0) 4，求 lim —一 ------------x 0x sinx1计算积分arcta n x . —dxx 2)2 (1.计算积分5COS x寸223.计算积分x 3e x dx4.6.求微分方程2xydy (x22y2)dx 0的通解四.（8分）求微分方程3y 2y 2xe x满足条件y0的特解xo 0,y五.（8分）设平面图形x2y22x与y x所确定，试求D绕直线x 2旋转一周所生成的旋转体的体积。

x5t 2 （7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线 C::y t2a[a, a]，使得 a f (x)dx七.（7分）设函数f （X ）在［a,a ］上有连续的二阶导数，且 f （0） 0,证明：至少存在一t与X 轴所围成，试求其质量m2t1. 2. 3. 4. 5. .填空题函数f 已知F 设函数2004级高等数学（A ）（上）期末试卷（每小题4分，共20分）1X ——1—的间断点 X 是第类间断点.x 是f X 的一个原函数，且f X 0,则 f X 1 X 2X 2005 e x e x dxSint/—U 4du dt ,则 f 0 2xdt 。

东南大学04-05学年第二学期《几何与代数》期终试卷

东南大学04-05学年第二学期几何与代数期终考试试卷一、 (24%)填空题1．以(1,1,2)A ，(2,1,1)B --，(1,1,1)C --为顶点的三角形的面积为；2．设3阶矩阵123(,,)A ααα=，23131(,2,)B ααααα=+-。

若A 的行列式3A =，则B 的行列式B = ；3．若向量(1,0,1)α=，(2,1,1)β=-，(1,1,)k γ=-共面，则参数k = ；4．若A 为n 阶方阵，则方阵2I O B A I ⎛⎫= ⎪⎝⎭的逆矩阵1B -= ； 5．已知向量111η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是矩阵11201122a A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的特征向量，则参数a = ，相应的特征值等于；6．假设矩阵1000A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则在实矩阵11001110,,,,11021101B C D E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1300F ⎛⎫= ⎪⎝⎭中，与A 相抵的有；与A 相似的有；与A 相合的有．二、（8%）计算行列式121111x x x x xx x x x x ．三、（10%）假设200110102A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121210B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求矩阵方程3X B XA =+的解．四、（14%）假设矩阵1101011A λλλ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，000θ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，11a b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．1．已知齐次线性方程组Ax θ=的基础解系中有两个线性无关的解向量．试确定这时参数λ的值，并求这时Ax θ=的一个基础解系．2．若在非齐次线性方程组Ax b =的解集中，存在两个线性无关的解向量，但不存在更多的线性无关的解向量，试确定这时参数λ及a 的值，并求Ax b =的通解．五、（10%）已知直线l 过点(1,1,1)P ，与平面:1x y z π+-=平行，且与直线1121xy z λ- ==：相交。

线性代数与解析几何__东南大学(28)--2010-2011-2《几何与代数B》试题参考解答

X.
解: 由 AX = B-X 得(A+E)X = B.
�2 0 0
由(A+E, B) = � � �02
2 0
0 2
2 0 4
6 -2 0
� � � �初uuu等uuu行uuu变uu换uur
�1 � � �00
0 1 0
0 0 1
1 3 � �1 3 �
0 1
--31� � �得 X = � � �10
x+2 -3
=
y -1 1
=
z 1
.
注: 也可以由(1, 2, 1)(2, 5, 1) = (-3, 1, 1)求 s.
�1 0 0� �2 6 �
四. (8 分)设 32 矩阵 X 满足 AX = B-X, 其中 A = � � �02
1 0
0 1
� � �, B
=
� � �04
-2 0
� � �, 求
八. (10 分) 1. 设 n 阶方阵 A 的伴随矩阵 A* O, 1, 2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的两个不同的解. 证明:
(1) 1-2 为齐次线性方程组 Ax = 的一个基础解系.
证明: 因为1, 2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的两个不同的解, 所以 1-2 是齐次线性方程组 Ax = 的非零解. 因而|A| = 0. 又因为 A* O, 所以 A 至少有一个 n-1 阶子式不为零, 可见 r(A) = n-1. 因而 Ax = 的基础解系中只有一个解向量. 所以1-2 是齐次线性方程组 Ax = 的一个基础解系.
ﾱ(x -1)2 + ( y -1)2 = 1, ﾱﾱz = 0.
3. 在右边的坐标系中作出曲面 S 和曲线 c1 的图形

11-12(2)高等代数与解析几何试卷(A)参考答案及评分标准

中国计量学院2011 ~ 2012学年第 2 学期《高等代数》(2)课程试卷（A ）参考答案及评分标准一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.D2.B3.D4.C5.A二、填空题(每小题3分，共15分)1.1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭；2. __1，-3__；3.100010011⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭； 4. 20x y +-= 5.222x y pz +=．三、计算题1．(12分)设A 是3P 中的线性变换，且A 在基)1,1,1(1-=η,)1,0,1(2-=η,)1,1,0(3=η下的矩阵为101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭求A 在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===下的矩阵.解因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011，所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，-------------4分故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211 -------------12分2．(12分)求λ矩阵222211λλλλλλλλλλ()A ⎛⎫-⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭的标准形、不变因子、行列式因子、初等因子．解对-λ矩阵作初等变换,有A =)(λ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--222211λλλλλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--222101λλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--)1(00001λλλλ → )()1(0000001λλλλD =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+ 标准形为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=)1(000001)(λλλλD ；----------------------6分不变因子为：)1()(,)(,1)(321+===λλλλλλd d d ；----------------------8分行列式因子为：)1()(,)(,1)(2321+===λλλλλλD D D ；----------------------10分初等因子为：1,,2+λλλ.----------------------12分3．(12分) 设二次型()222123123121323,,22448f x x x x x x x x x x x x =---++ ，求一正交变换 x Ty =，将二次型化为标准形. 解二次型对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=242422221A ，----------------------2分且A 的特征多项式为 2)2)(7(-+=-λλλA E ，特征值为2,7321==-=λλλ．---------------------4分相应的特征向量为 ()()()1,0,2,0,1,2,2,2,1321=-=-=ααα，---------------------6分正交化,可得()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=1,54,52,0,1,2,2,2,1321βββ，再单位化,有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=535,534,532,0,51,52,32,32,31321ηηη， ----------------------8分令X=TY ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=53503253451325325231T ，----------------------10分则 232221'227y y y AX X ++-=．----------------------12分4.(12分) 求顶点在原点，准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程. 解设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：z Zy Y x X ==----------------------3分设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,， -----------6分将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：0)()(222=-+--y z y z z x即：0222=-+z y x此为所要求的锥面方程. ----------------------12分5. (12分)求过双曲抛物面z y x =-41622上的点（2,1,0）的直母线方程. 解：双曲抛物面z y x =-41622的两族直母线为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x u uy x )24(24 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-z yx v v yx 24(24----------------------6分将点（2,1,0）分别代入上面两族直母线的方程，求得,1==v u----------------------10分因此，所求的直母线方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x yx 24124 及 ⎪⎩⎪⎨⎧==-024z y x ----------------------12分四、证明题((每小题5分，共10分)1.在2R 中，定义变换(,)(2,2)x y x y x y σ=++．（1）证明：σ是2R 的线性变换.（2）取2R 的一组基：12(1,0),(0,1)εε==，求σ的值域2()σR 及2()σR 的一组基.证明(1)设1221x x A y y σξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，σ是2R 到R 的映射，且2,,k αβ∀=∈∀∈R R ，有()()k l A k l kA lA σαβαβαβ+=+=+，所以σ是线性变换；-----------------3分(2) 对于2R 的基：12(1,0),(0,1)εε==，有12()(1,2),()(2,1)σεσε==，易知12(),()σεσε线性无关，于是它们构成2()σR 的一组基，且值域为 12()((),())((1,2),(2,1))L L σσεσε==3R .-----------------5分 2.欧氏空间V 中的线性变换A 称为反对称的，如果对任意α，β∈V ，有（A α，β）= —（α，A β）．证明：如果V 1是反对称线性变换A —子空间，则V 1⊥也是A —子空间．证明任取∈αV 1⊥，可证A ∈αV 1⊥，即A ∈αV 1，事实上，任取β∈V 1，由于V 1是A 子空间，因此A β1V ∈，而∈αV 1⊥，故（α，A β）=0．----------------------3分再由题设，A 是反对称的，知（A α，β）= —（α，A β）=0，----------------------4分由β的任意性，即证A ∈αV 1 ．从而V 1⊥也是A —子空间．----------------------5分。

东南大学《高等数学》2011-2012学年第二学期期中试卷

东南大学2011-2012学年第二学期《高等数学（上）》期中考试试卷课程名称髙■歎爭AB （上）期中考试学期_11炬_ 得分请用专业_用学而-AB够亳*坐考试形式闭慝考试时间长度120分钟一、填空題（本題共8小题，每小裁4分，共32分）1.设当了t 0时，sin（2z） - 2ainf与i"是同阶无穷小，则n *■\2,函数f（x） = Jim （n € N+）的冋断点的坐标地y = ―_,是第__类间断点tX < 0mum疝。

'若血在顷姓可导m数z常数石5函旳满足寸⑴表则《）= —5.曲线” = ln（l+产*工）在工*=；处的切鏡方程为________6,设/（Z）= HE礼则=.. -一；7,设卩工/（血时/・\（了 A。

）,其中/可徹.则徹分勤=8,极限lini（l - 5 Lai?工）；血=.二' 计算下列各融（本題共S小題，毎小題H分，满分40分）1.求极限lim y/n(^n—1).Z82.求极限io 1 — cosx + sin x3.求函数y =】n(e，+ /TE)的导数敦ax4.设v = |/(x)是由方程冊-cscy + g3 = 0所确定的隐函数’求票.(1 +色，求祟及典|匕y = arctan t ctr dx三、（本题满分7分）证明多项式f（x） = / - 3工+ Q在区间［0,1］上不可能有两个零点，为使/（》）在区间［0,1］ ±存在零点，a应当满足怎样的条件？四' （本题满分7分）设u = |,环*］ = £羿,（n = l,2,…），利用单调有界收敛准则证明数列｛%｝收敛，并求lim %.五、（本題满分7分）试证：当於0时，W +脂六、（本虢满分7分）设函数/在［a,51±存在三阶导数，且满足/（«） = f（b） = r（a） = r（b） = r（a） = r（b） = O ,证明存在ee（a,6）,使得/何）=r（o .10-11-2高等数学（A, B ）期中试卷参考答案一.填空a （毎小睽4分，本理満分32分）1. 3 :2. 1,1}3. 1,1（或跳跃）：4. ~2 :5. 7. f '伽+ /(Inx)/Xx) k'⑴虫；8. e^. V x *,— , J二.计耳我（每小題8分.本题満分40分）Jl + e"&咯喜=沽时3分噜滞,"乱， IT?三(7分).解/,(x)»3(x J -l)<0, x€(0,l), /(x)在(0,1)±严格単减.所以/(x)在［0,1］上不可能有两个零点（4分）./（0） = a . /（I ） = a-2,故必须满足a （a-2）M0,SP0SoS2 （3分）（注：若缺了等号，扣1分）1 1 +必四.（7分）解己知X, =-＜!»设払＜1，则》2=—7丄＜1，由归纳法知与＜质=1,2,…，且显见x fl ＞0,于是捋冷二乂“, {x“}单增且有上界,故低｝收敛，(5分)令lim%=/,得/ =半，解得7 = 1，即limx B =l (2分)^ = ln2--| x- 21ten 1.解】im Jn(y/n -1) = lim 、们 e ” 1 = lim l n n—=0 (2*3*3 分) —Vnln(l + x) + ln(J-x) = Hm 2.解 lim --------------- 7-j ------- — --------------- . 2 1 — cos x + sm x 1 -cosx + sm x lim -------------- -------- - *■*« 1 -cosx sin x 3x 2x 1 （3分）（2分）（3分〉4.解 2’In2+ ycotNC$cy+ 3_y'y = 0 ・ y 12'ln2 方2(8分) cot*cscy+3>，五(7 分)证设/(x) = >^+71n(l+x)-x,x>0 (1 分)尸(工)=二=fln(l + x) + —-2岳員(2 分) 设此=瓦(心+着-2后，加=十訐-<0, x>0,故应单2V1+X减，而g(0) = 0,故当x>0时，g(x)<0 (2分)，即/'(x)<0,从而/'(x)单减，故X当x20时，/(x)</(0) = 0,即ln(l + x)<-7=,x^0 (2分) Vl + x六(7 分)证设g(x) = e-x(/(x)+/(x) + f r(x)), (4 分)g(x)在［a,如上连续且可导，g(a) = g0) = O,由Rolle定理知存在^e(a,b),使得g'(f) = 0,即次(尸©)-/(为)=0,而『JO,所以广© = f© <3分)。

东南大学2009-2010学年高等数学A(期末)考试试题及答案

共 8 页第 1 页东南大学考试卷（A 卷）课程名称高等数学A 期末考试学期 09-10-3得分适用专业选修高数A 的各专业考试形式闭卷考试时间长度 150分钟一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分) 1. 将22222d ()d x y f x y z z -++⎰⎰（其中()f t 为连续函数）写成球面坐标系下的三次积分；2. 球面22230x y z x ++-=在点(1,1,1)处的切平面方程为；3. 设1,0()2,0x f x x x ππ-<≤⎧=⎨<≤⎩，且以2π为周期，()S x 为()f x 的Fourier 级数的和函数，则(3)S π= ，(2)S π-= ；4. 已知3222(cos )d (1sin 3)d axy y x x by x x y y -+++为某个二元函数(,)f x y 的全微分，则____,____a b ==；5. 设C 为圆周2z =，取逆时针方向，则1d (i)(4)C z zz =+-⎰ ；6. 留数ln(12)Res ,01cos z z +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；7. 设{,,},x y z r ===r r div(e )r =r ；8.设∑是锥面1)z z =≤≤下侧，则3d d 2d d (1)d d x y z y z x z x y ∑∧+∧+-∧=⎰⎰ ；9. 设()(,)d d x y tF t f x y x y +≤=⎰⎰，其中2,0(,)0,x y x x f xy ⎧≥≥=⎨⎩且其它，则(2)F = . 二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)共 8 页第 2 页10．设 (,)z z x y =是由方程e e e z y xz x y =+所确定的隐函数，求,z z x y∂∂∂∂. 11．计算22222d ed d d yy x y x y x y x ----+⎰⎰⎰.12．判断级数111(1)!179n n n n n-∞-=-⎛⎫⎪⎝⎭∑的敛散性.13. 求幂级数ln 12n nn x n∞=∑的收敛域. （注：级数若在收敛区间的端点处收敛，须说明是绝对收敛还是条件收敛.）共 8 页第 3 页三（14）．（本题满分7分）设1,022()0,2x f x x πππ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩在[0,]π上展开成正弦级数，并写出它的和函数.四（15）。

线性代数与解析几何__东南大学(27)--2013-2014-2《几何与代数A》试题参考解答

B)
=
2,
可见
B
的
Jordan
标准形为
� � �00
2 0
00 � � �.
�2 1 0�
所以 A 的 Jordan 标准形为 � � �00
2 0
0 0
� � �,
最小多项式为(

2)2.
七. (14 分)求正交变换 x = Qy 把二次型 f(x) = a(x12 + x22 + x32) + 2(x1x2 + x1x3 x2x3)化
八. 证明题(每小题 5 分, 共 10 分) 1. 设1, 2 为矩阵 A 的两个线性无关的特征向量, 证明: 1 + 2 为 A 的特征向量当且仅
当1, 2 对应于 A 的同一个特征值. 证明: ()设 A1 = 11, A2 = 22, A(1 + 2) = (1 + 2),
于是有t = x = (1 Tx) = (1 tT) = (1 4t),
进而有t = 1 4t, 即(+4)t = 1. 可见 4, 此时 t = (+4)1.
当 4 且 0 时, 存在唯一的 x = (+4)1满足(1 Tx) = x.
2 1
� � �得
A1
=
� � �31
2 1
� � �;
� � �AA
E O
E O
O E
� � �经初等行变换化为
� � �OE
O E
O E
A1 E
� � �,
第3页共7页
�0 0 3 2 �
可见 B1 = � � �OE
A1 E

几何与代数第5章课后习题答案

这样排列次序时称为字典序排列法.
如果将 n 元多项式 f (x1,,xn ) 中的任意两个变量相互交换后, f 不改变,则 f 叫做
x1,x2,,xn 的对称多项式.
幂和: sk = x1k + x2k + + xnk , k Î N .
初等对称多项式:
n
å s1 = xi ,
i =1
å s2 =
定理对于 F[x] 中任意两个多项式 f (x) 与 g(x) ,其中 g(x) ¹ 0 ,一定存在 F[x ] 中的多项式 q(x),r(x) ,使得 f (x) = q(x)g(x) + r(x) ,其中 deg r(x) < deg g(x) ,且这样的 q(x),r(x) 是由 f (x),g(x) 唯一决定的. 定义设 f ,g Î F[x ] .如果存在 h Î F[x ] ,使得 f = gh ,那么我们称 g 整除 f ,记为 g | f .
六、多元多项式
基本概念
å 多项式表为如下形式 : f (x1,x2,,xn ) =
ak1k2kn x1k1x2k2 xnkn , 可简记为
å k1,k2,,kn
f = akxk ,其中 I = {(k1,,kn ) : ki ³ 0,ki Î Z,i = 1,,n} ,求和取遍 I 集合,但只有有限个
四、最大公因式定义设 f ,g,d Î F[x] .如果d 是 f 和 g 的公因式,而且 f 与 g 的每个公因式 h 都是d 的因式,那么d 是 f 与 g 的最大公因式. 定理 F[x] 上任意两个多项式的最大公因式唯一存在,并有 Bézout 等式成立:
(f ,g) = uf + vg,u,v Î F[x ]

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

；亚州必赢 https:// 亚州必Байду номын сангаас ；
；亚州必赢 https:///a/gw 亚州必赢；
宋继华离开后，花儿吃了一口。 我真的没想到她这么快就会成为一个新男友。无论出于何种原因，她完全告别了爱情。 如果她是琼瑶歌剧的一部分，她应该为她的生活而死。如果她是一部武侠剧，她应该心甘情愿，找到李文博面对他的几声耳光。 但她生活在一个真实的社会中，不得不与现实生活妥协，所以她什么也没做，只是埋葬了她的爱情，然后找到了一个认为她放心并托付给她余生的人。 想到从胸部一直到眼睑的这种酸涩的感觉，她忍不住吸了鼻子。这显然是我自己做出的决定。为什么会有悲伤的感觉？也许它仍然有点不愿意和解。我不愿意在没有爱的情况下进入被围困的城市。 但是，如果你不愿意也可以，你就无法承受再次尝试的勇气，只能妥协。 平静了一会儿后，她拿出手机打电话给林米尔。 “亲爱的，你有时间说话吗？” 林米尔刚起床，她打开声音说：“时间就像一个乳沟，总会有拥挤，让我们说说。” “如果我告诉你我有男朋友，你会感到惊讶吗？” 林米尔惊呆了然后突然意识到，“我上次说你遇到了一个帅哥，决定忘记未来是不对的。” “当然不是，我不是那么随便。就在前天，我的妈妈让我去相亲..” “约会？你的男朋友不会是你的相亲？我的上帝，鲜花，你在堕落。”林米尔喊道。 花翻了个白眼。 “你能闭嘴让我完成吗？” “好吧，我不说话。”林米尔开始刷牙，洗脸。无论如何，刷牙不能说。 花继续说：“我发现相亲的对象实际上是我的高中同学。我们曾经是好朋友，所以我非常了解他人，其他人非常好..” “等等..”林米尔抓住钥匙。 “其他人好吗？你为什么和他在一起？“ “我们..” 鲜花被打断而没有说什么。 “你不能告诉我你们两个是对的。如果你杀了我，我就不会相信你。”你应该给我一个合理的解释。“p> “林米尔，你是我肚子里的蝗虫吗？”花儿磨牙，她想说的一切都被抢走了。 “我不想做那么恶心的事情。”林米尔咧嘴一笑。 “来吧，我还在等你的解释。” “还记得我最后一次对你说过什么吗？我不想再经历过爱的痛苦。我只想找到一个了解真相的人，让我感到安心。我将过着平静而稳定的生活“。鲜花试图让自己的语气。冷静。 “花，你多大了？你是否必须让自己像一个经历过沧桑的老太太？未来还有很长的路要走。没有爱的支持，你确定你能继续支持吗？它？”林米尔喜欢机枪，她不想让鲜花的生命因为混乱的决定而留下遗憾。 “世界上有这么多没有爱情的婚姻，他们并没有过好日子。”鲜花驳斥了拒绝。 “你有没有想过如果我在爱情中遇到另一个问题会发生什么？最可怕的是，如果结婚后，即使生了孩子，另一方也有问题，那我该怎么办？” “你怎么会有这样的消极想法呢？那么你确定你的同学不会有你说的问题吗？”林米尔只想切割花朵的头部，看它是如何生长的。 “与陌生人相比，至少我对他很熟悉。我会退步一万步说，我不爱他。即使出现问题，我也不会伤心。”花色正在下降。 “如果你想这么说，那我无话可说。”林米尔放弃了。这小妮子还是受伤了，已经进入了号角的角落。现在她可以告诉她她不能听的。 “哦，好吧，我刚告诉你。我只是决定一起尝试，我没有时间结婚。别担心。” “好吧，无论如何，我无法说服你。”林米尔戴上口红，舔了舔嘴唇，完美无缺。 “那我有话要说，下个月8号我会嫁给陆家界。” “婚姻？下个月八点？”这是花的转折，“今天有多少？” “今天16日，你们在这一天有很多困惑。”林米尔忍不住呕吐。 “那还不到一个月。怎么突然这么焦虑，你不应该怀孕吗？”鲜花只能想到这种可能性。 “没有这样的事情。事实上，这不是一个突然的决定。之前已经讨论过，但是日子还没有解决。后来它被修复了，因为你没有告诉你，因为你心情不好。 “ 林米儿和卢家杰已经在一起四年了。是时候结婚了。 “很好。”花真诚地说。从纯真年代到婚姻，这是一件美妙的事情。最初，她应该是这样的，但不幸的是现在什么也没有了。 “花，我..”林米尔咬着嘴唇。她知道带鲜花的新闻肯定会让鲜花难过，所以她什么都没说，但婚礼就在附近，她不得不说。 “为什么这种语气，这是一件好事，我想成为伴娘！”鲜花收拾好自己的情绪，并以轻松的语气说。 “啊，不是吗？”林米尔显然不太愿意。 “林米尔，你是什么意思？作为你最好的女朋友，你不要让我成为伴娘，你想要什么？”这朵花假装很凶。 “谁让你看起来如此美丽，当我站在我旁边并比较我时，我该怎么办？”林米尔非常委屈。 “嘿，自然美很难放弃，没办法。”花叹了口气。 “是的，是的，你是最美丽的，所以请带我们去看看这些平庸的人。”当听到鲜花说出大学的口头禅时，林米尔会微笑。 “好吧，今天这个女孩心情很好，这次我会饶你的。”事实上，花说是伴娘也是一个玩笑，她害怕她无法忍受婚礼现场的气氛，万一触摸无法控制，岂它对林米尔无害。 “两天前你必须过来帮助我。” “安安，你打算上班。”鲜花被要求挂断电话，但他们不能再吃任何东西了。他们只是把自己扔到床上睡觉，当他们睡着时，他们不必考虑任何事情。