超静定结构内力计算

超静定结构内力计算

首先，需要明确的是，超静定结构与静定结构的计算方法基本相同，都是通过力平衡和力矩平衡方程来计算结构内力。下面以一简支梁为例，介绍超静定结构内力计算的方法。

假设有一简支梁，梁长为L，受到均布载荷q，支座A、B处有横向支撑。我们需要计算梁上任意一点x处的弯矩和剪力。

首先，对于简支梁，力平衡方程可得：

∑Fx=0=>RA+RB=0(1)

∑Fy=0=>VA+VB-qL=0(2)

力矩平衡方程可得：

∑Mz=0=>-qLx+VBx=0(3)(x为横坐标)

由以上方程可以得到：RA=-RB=-qL/2，VA=-VB=qL/2

接下来，我们可以使用能量方法计算结构内力。能量方法是利用结构所受外界实际工作等于内力做的虚功，通过对外界做功和结构内工作的平衡，求解得到内力。

我们将简支梁分解为多个力学小段，每一小段的长度为Δx。

考虑梁上一小段AB，以A点为起点，Δx位置为B点。

对这一小段，外界对结构所做的虚功为：

δWext = -VAdy (4) (dy为小段长度)

其中，结构内力V由能量方法得到。

结构内力杆件AB的内工作为：

dU = VAdy (5)

因为外界做的虚功等于内工作，可得：

-δWext = dU

将式(4)和式(5)代入上式，得：

VAdy = -VAdy

对上式进行积分，得：

∫VAdy = -∫VAdy

∫VAdy = -(∫VAdy)

由于简支梁内力为常数，所以可以将其从积分符号中移出，得：

V∫Ady = -V∫Ady

即：

VAΔy=-VAΔy

可以看出，对于简支梁而言，外界虚功和结构内工作的积分是相等的。

通过上述分析，我们可以发现，能量方法实际上是在计算外界对结构

做的虚功，而虚功就是外界力对结构的作用力乘以作用距离的积分。所以

能量方法的基本思想是通过积分计算外界对结构的虚功，然后根据虚功等

于内工作的原理，推导出结构的内力。

总结起来，超静定结构的内力计算方法主要是使用力平衡和力矩平衡

方程，利用能量方法计算结构内力。通过对外界做功和结构内工作的平衡，

求解得到内力。需要注意的是，在计算过程中要根据实际情况考虑边界条件，如支座反力和弯矩的边界条件。

请注意，本回答中提到的方法和公式仅适用于简单形状的超静定结构，对于复杂结构的计算需要借助于有限元分析等更为精确的方法。