北师大版-数学-八年级上册-数学4.5梯形 导学案

4.5梯 形
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、经历探索梯形的有关概念、性质的过程，初步体会“联系与转化”的数学思想在分析图形中的作用．
2、运用平移，轴对称的知识研究梯形的性质，培养运用已有的知识解决新问题的能力．
【重点难点】
1、探索梯形的有关概念、性质．
2、运用联系与转化的数学思想将梯形转化为平行四边形或三角形来研究，使学生真正体会到图形之间的联系．
知识概览图 梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形 梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底 梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰
梯形的高：夹在两底之间的垂线段的长度叫做梯形的高
定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形
性质：(1)两腰相等；(2)同一底上的两个内角相等，两底所夹同旁内角
互补；(3)两条对角线相等；(4)是轴对称图形，有—条对称轴 判定：(1)同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；(2)对角线相等
的梯形是等腰梯形；(3)两腰相等的梯形是等腰梯形
直角梯形的定义：一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形
新课导引
【问题链接】 某村计划开挖一条长1500 m 的水渠，渠道
的横断面为等腰梯形，渠道深0.8 m ，渠底宽1.2 m ，坡角为
45°．这一工程共需挖多少立方米的土呢?
【点拨】 要想知道这一工程需挖多少立方米土，需求出
横断面ABCD 的面积，因为已知渠深和渠底宽。

所以求另一底AD 的长是关键问题．求AD 的长可以通过作两条高线，把梯形转化为矩形和直角三角形求解．因为渠道的横断面为等腰梯形，所以过点B ，C 作BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，垂足分别为点E ，F ，则BE ＝CF ＝0.8 m ．因为坡角是45°，所以∠BAD ＝∠AD C ＝45°，所以AE ＝DF ＝0.8 m ，所以AD =AE ＋EF ＋DF
＝AE ＋BC ＋DF ＝2.8(m)，所以S 梯形ABCD ＝
12×(AD ＋BC )×BE ＝12
×(2.8＋1.2)×0.8＝1.6(m 2)，所以这一工程共需挖1500×1.6＝2400 m 3的土．
教材精华
知识点1 梯形的有关概念
(1)梯形的定义(如图4－94所示)：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形 相关概念 等腰梯形
(2)梯形的相关定义．
①梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底．
②梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰．
③梯形的高：夹在两底之间的垂线段的长度叫做梯形的高．
(3)特殊梯形的定义．
①等腰梯形：两条腰相等的梯形叫做等腰梯形．
②直角梯形：一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形．
拓展(1)梯形是只有一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，或者说梯形是一组对边平行且不相等的四边形．如图4－95所示，若四边形ABCO中，AD∥BC，AB不平行于CD，则四边形ABCD是梯形．或者若四边形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，则四边形ABCD是梯形．
(2)梯形的上、下底是以长短划分的，并不是按上、下位置划分的，梯形的高线是两底之间的垂线段，不一定过顶点．如图4－96所示，AD是下底，BC是上底，EF是梯形的高线．
(3)在等腰梯形中不可能有直角，在直角梯形中不可能有相等的腰，等腰梯形和直角梯形都是特殊的梯形．
探究交流对边平行的四边形是梯形吗?
点拨不一定是梯形．四边形有两组对边，当两组对边分别平行时是平行四边形，当一组对边平行而另一组对边不平行时是梯形．
知识点2 等腰梯形的性质
(1)两腰相等．
(2)同一底上的两个内角相等，两底所夹同旁内角互补．
(3)两条对角线相等．
(4)是轴对称图形，有一条对称轴．
如图4—97所示，在等腰梯形ABCD中，有如下结论：
(1)边：AB＝AD，AD∥BC→两腰相等，两底平行．
(2)角：∠ABC＝∠BCD，∠BAD＝∠CDA→同一底上的两个内角相等；∠ABC＋∠BAD ＝180°，∠BCD＋∠CDA＝180°→两底所夹同旁内角互补．
(3)对角线：AC=BD→对角线相等．
拓展(1)等腰梯形中相等的角只能在同一底边上．
(2)等腰梯形的对称轴是底边的中垂线．
知识点3 等腰梯形的判别
(1)同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．
(2)对角线相等的梯形是等腰梯形．
(3)两腰相等的梯形是等腰梯形．
拓展等腰梯形的判别可用图4－98表示。

解决有关等腰梯形的问题时常用的辅助线：
(1)如图4－99(1)所示，平移一腰，把等腰梯形分割成平行四边形和等腰三角形，利用平行四边形和等腰三角形的有关性质求解．
(2)如图4－99(2)所示，平移一条对角线，构造平行四边形和等腰三角形，运用平行四边形和等腰三角形的有关性质求解．
(3)如图4－99(3)所示，作两条高线，把等腰梯形分割成两个全等的直角三角形和矩形，运用直角三角形和矩形的有关性质求解．
(4)如图4－99(4)所示，延长两腰构造两等腰三角形，运用等腰三角形的有关性质求解．课堂检测
基本概念题
1、下列说法正确的是( )
A．平行四边形是一种特殊的梯形
B．等腰梯形的两底角相等
C．等腰梯形不可能是直角梯形
D．有两邻角相等的梯形是等腰梯形
基础知识应用题
2、如图4－100所示，已知梯形ABCO，∠B＝80°，∠C＝50°，试说明AB＝BC－AD．
3、如图4－101所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于O，
则图中面积相等的三角形有( )
A．1对B．4对
C．2对D．3对
综合应用题
4、如图4－102所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角
线AC⊥BD，AD＝4 cm，BC＝10 cm．求梯形的面积．
5、如图4－104所示，已知四边形ABCD中，AB＝CD，AC＝BD，AD≠BC请说明四边形ABCD是等腰梯形．
探索创新题
6、如图4－105所示，梯形ABCO中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24 cm，AB＝8 cm，BC＝26 cm，动点P从点A开始，沿AD边向D点以1 cm/s的速度运动，点Q从点C开始，沿CB边向B点以3 cm/s的速度运动，点P，Q分别同时从A，C两点出发，当其中有一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s，则当t为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形?
体验中考
1、如图4－106所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC＝20°，则∠A′BD的度数为( ) A．15°B．20°
C．25°D．30°
2、如图4－107所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°，∠C＝40°，作DE∥AB交BC于点E，若AD=3，BC=10，则CD的长是．
3、如图4－109所示，在梯形ABCD中，AB∥AD，DB平分∠AD C，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E．
(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形；
(2)若∠BD C＝30°，AD＝5，求CD的长．
4、如图4－110所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝CD，∠BD C＝90°，AD＝3，BC＝8，求AB的长．
学后反思
附：课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析平行四边形和梯形是四边形的两大分支，二者对立统一，不存在谁包含谁的问题，梯形有上、下两个底，4个底角，B中叙述不严密，只有同一底上的两个角相等的梯形才是等腰梯形．故选C．
2、分析要说明的三条线段不在同一直线上，需要进行转移，有关梯形的问题通常需添加一些辅助线，把梯形转化成平行四边形和三角形来解决．
解：过点A作AE∥DC交BC于E，
∵AD∥EC，AE∥AD，∴四边形AECD为平行四边形，
∴AD＝EC，∠1＝∠C＝50°．
∵∠B＝80°，∠B＋∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝50°．∴∠1＝∠2，∴AB＝BE．
∵BE＝BC－EC＝BC－AD，∴AB＝BC－AD．
3、分析∵同底等高的两个三角形面积相等，∴S△ABC＝S△BCD，S△ABD=S△ACD，另外S△AOB
＝S△DOC，这是应用了等式的性质，故选D．
4、分析求面积，想到作高线．由等腰梯形的性质，作出两条高线便可解决．
解法1：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
∴BE＝CF＝104
2
-
=3(cm)，∴BF＝7 cm．
∵AB=CD，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，∴△ABC≌△DCB，∴∠ACB＝∠D BC ∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠D BC＝45°．∴在△D BF中，DF＝BF＝7 cm．
∴S梯形ABCD＝410
2
+
×7＝49(cm2)．
解法2：如图4－103所示，设AC与BD交于O，过D作DF∥AC交BC的延长线于F，作DE⊥BC于点E，
则四边形ACFD是平行四边形，
所以DF＝AC，CF＝AD＝4 cm．
因为AC⊥BD，AC∥DF，所以∠BDF＝∠BOC＝90°．
又AC＝BD，所以BD＝DF．
所以BF＝BC＋CF＝14(cm)，DE＝1
2
BF＝7(cm)，
所以S梯形ABCD＝1
2
×(4＋10)×7＝49(cm2)．
【解题策略】作对角线的平行线是常见的引辅助线的方法．梯形的面积也等于△DBF 的面积．
5、分析此题需先说明四边形ABCD是梯形，再说明其是等腰梯形．
解：在△ABC和△ADB中，
,
,
, AB CD AC BD BC CB
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC＝∠ADB．同理∠BAD＝∠CDA，
∴∠DAB＋∠ABC＝1
2
×360°＝180°，∴AD∥BC．
又∵AD≠BC，∴四边形ABCD是梯形．
又∵∠ABC＝∠ADB，∴梯形ABCD是等腰梯形．
【解题策略】四边形的内角和是360°．
6、解：分别作PE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
要使四边形PQCD为等腰梯形，
则PQ＝DC且PD≠Q C，PD∥Q C，
那么QE＝CF＝BC－AD＝26－24＝2(cm)，
所以AD－AP＋4＝Q C，即24－t＋4＝3t，解得t＝7，
所以当t＝7 s时，四边形PQCD为等腰梯形．
【解题策略】找出相等关系，列出关于t的方程，是解决这一实际问题的关键．
体验中考
1、分析在Rt△A′BC中，∠3＝90°－∠A′BC=90°－20°=70°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－70°＝110°．由题意知∠2＝∠A，∠1＝∠A′BD，又∵AD∥BC，∴∠ABC
＝180°－∠A＝180°－110°=70°，∴∠A′BD＝1
2
∠ABA′＝
1
2
(∠ABC－∠A′BC)＝
(70°－20°)＝25°．故选C．
2、分析首先由DE∥AB得出∠DEC＝∠B＝70°．又因为∠C＝40°，所以∠CDE ＝70°，所以DC＝CE．然后由AD∥BE，DE∥AB得出四边形ABED是平行四边形．所以BE＝AD＝3，所以CE＝BC－BE＝10－3＝7，所以CD＝7．故填7．
【解题策略】运用平行四边形和特殊三角形的性质，是解决此类问题的常用方法．
3、分析(1)欲说明梯形ABCD是等腰梯形，可通过说
明∠AD C=∠C.(2)由∠BD C＝30°，可知∠C＝60°，所以∠DBC=90°，从而可求CD的长．解：(1)∵AE∥BD，∴∠E＝∠BD C.
∵DB平分∠AD C，∴∠AD C=2∠BD C
又∵∠C=2∠E，∴∠AD C＝∠C
∴梯形ABCD是等腰梯形．
(2)结合(1)知∠C＝2∠E＝2∠BD C＝60°，且BC＝AD=5.
∵在△BCD中，∠C＝60°，∠BD C＝30°，
∴∠D BC＝90°，∴DC＝2BC=10．
4、解：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．
∵∠BD C＝90°，BD＝CD，
∴DF＝BF＝CF＝1
2
BC＝
1
2
×8＝4．
又∵AD∥BC，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∴AE＝DF＝4，EF＝AD＝3，
∴BE＝BF－EF＝4－3＝1．
在Rt△ABE中，AB
【解题策略】在梯形中作两条高线是常用的辅助线作法，这样把梯形分割成矩形和直角三角形，可以利用矩形和直角三角形的有关性质求解．。