均匀分布的矩估计和极大似然估计
矩估计法最大似然估计法
n 3 2 2 ˆ (Xi X ) . b A1 3( A2 A1 ) X n i 1
2018/10/9
14
例4
设总体 X 的均值 和方差 2 都存在, 且有
2 0, 但 和 2 均为未知, 又设 X 1 , X 2 ,, X n 是
一个样本, 求 和 2 的矩估计量. 解 1 E ( X ) , 2 E ( X 2 ) D( X ) [ E ( X )]2 2 2 , A1 , 令 2 2 A2 . ˆ A1 X , 解方程组得到矩估计量分别为
2018/10/9 2
参数估计的类型
点估计 — 估计未知参数的值. 区间估计 — 估计未知参数的取值范围，
使得这个范围包含未知参数
真值的概率为给定的值.
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3
§7.1 点估计
矩估计法
最大似然估计法
小结
练习
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4
设总体 X 的分布函数形式已知, 但 它的一个或多个参数为未知, 借助于总 体 X 的一个样本来估计总体未知参数的 值的问题称为点估计问题.
n 1 2 2 ˆ X, ˆ (Xi X ) . n i 1 注：若总体的各阶矩不存在，则不能用矩估计法来 估计未知参数。另外，尽管矩估计法简便易行，且 只要 n 充分大，估计的精确度也很高，但它只用到 总体的数字特征的形式，而未用到总体的具体形式， 损失了一部分很有用的信息，因此，在很多场合下 显得粗糙和过于一般。
断头次数 k 断头 k 次的纱锭数 nk
0
1
2
3 4 5 6
45 60 32 9 2 1 1 150
数理统计7：矩法估计（MM）、极大似然估计（MLE），定时截尾实验
数理统计7：矩法估计（MM）、极⼤似然估计（MLE），定时截尾实验在上⼀篇⽂章的最后，我们指出，参数估计是不可能穷尽讨论的，要想对各种各样的参数作出估计，就需要⼀定的参数估计⽅法。
今天我们将讨论常⽤的点估计⽅法：矩估计、极⼤似然估计，它们各有优劣，但都很重要。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：矩法估计矩法估计的重点就在于“矩”字，我们知道矩是概率分布的⼀种数字特征，可以分为原点矩和中⼼矩两种。
对于随机变量X⽽⾔，其k阶原点矩和k阶中⼼矩为a_k=\mathbb{E}(X^k),\quad m_k=\mathbb{E}[X-\mathbb{E}(X)]^k,特别地，⼀阶原点矩就是随机变量的期望，⼆阶中⼼矩就是随机变量的⽅差，由于\mathbb{E}(X-\mathbb{E}(X))=0，所以我们不定义⼀阶中⼼矩。
实际⽣活中，我们不可能了解X的全貌，也就不可能通过积分来求X的矩，因⽽需要通过样本(X_1,\cdots,X_n)来估计总体矩。
⼀般地，由n个样本计算出的样本k阶原点矩和样本k阶中⼼矩分别是a_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_j^k,\quad m_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^k.显然，它们都是统计量，因为给出样本之后它们都是可计算的。
形式上，样本矩是对总体矩中元素的直接替换后求平均，因此总是⽐较容易计算的。
容易验证，a_{n,k}是a_k的⽆偏估计，但m_{n,k}则不是。
特别地，a_{n,1}=\bar X，m_{n,2}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^2=\frac{n-1}{n}S^2\xlongequal{def}S_n^2,⼀阶样本原点矩就是样本均值，⼆阶样本中⼼矩却不是样本⽅差，⽽需要经过⼀定的调整，这点务必注意。
1矩估计和极大似然估计
16/22
设总体 X 的分布函数中含 k 个未知参数
1 , 2 , k .
步骤一：记总体 X 的 m 阶原点矩 E(Xm)为 am , m =1,2,„,k. 一般地, am (m =1, 2, „, K) 是总体分布 故, 中参数或参数向量 (1, 2, „, k) 的函数。 am (m=1, 2, „, k) 应记成: am(1,2,…,k), m =1, 2, „, k.
13/22
例3：设总体X的均值为，方差为2，求 和 2 的矩估计。
解：由
E(X) , 2 2 2 E(X ) .
^ X, 即 ^ n 2 1 2 2 X i X . n i 1
14/22
即
ˆ X, ˆ2 1 n 2 (Xi X ) . n i 1
依样本对参数θ 做出估计，或估计参数 θ 的 某个已知函数 g(θ ) 。 这类问题称为参数估计。 参数估计包括：点估计和区间估计。
4/22
为估计参数 µ ，需要构造适当的统计量 T( X1, X2 , „ , Xn )， 一旦当有了样本，就将样本值代入到该统计 量中，算出一个值作为 µ的估计， 称该计算 值为 µ的一个点估计。
故，均值,方差2的矩估计为
ˆ X, 即 n 1 2 1 n 2 2 S . ˆ （ X X ) i n n i 1
15/22
如：正态总体N( , 2) 中 和2的矩估计为
ˆ X, ˆ2 1 n 2 （ X X ) . i n i 1
19/22
又如：若总体 X∼ U(a, b)，求a, b的矩估计。
解：列出方程组
ˆ, E( X ) 2 ˆ Var ( X ) .
两点分布的矩估计量和最大似然估计量
两点分布的矩估计量和最大似然估计量
矩估计量与最大似然估计量是在统计分析中用来估计参数的2种重要的方法。
两者都是重要的统计模型估计量，被用于估计参数，然后用来分析数据集。
他们
之间有着明显的区别，下面将对此进行讨论：
1. 矩估计量：
（1）从概念上讲：矩估计量是一种采用样本的矩近似值来估计总体参数的方法。
它可以用来估计总体均值、标准差和协方差，也可以估计更大规模的总体参数。
（2）矩估计量最大的特点在于它是一种无偏估计，它可以有效减少显著性差异，可以客观地反映总体水平。
2. 最大似然估计量：
（1）从概念上讲：最大似然估计是一种根据样本数据选择最有可能发生的模型来
估计参数的方法。
估计时会计算各样本的最大似然函数的期望值，以期望值作为估计参数的估计量。
（2）最大似然估计量的主要特点是它可以提供最优的参数估计量，该估计量的精
确性甚至比矩估计量还要高，并且它有较强的抗混叠干扰能力。
总之，矩估计量和最大似然估计量是不同的2种重要方法，它们都被用于估计参数，其目的都是用来分析数据集。
矩估计量是一种无偏估计，但比较粗略，最大似然估计量具有最优的参数估计量，能够更好地发挥其抗混叠干扰的能力。
因此，两者有着不同的优势，应根据实际情况进行挑选，以获得更好的统计模型分析效果。
[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计
![[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计](https://img.taocdn.com/s3/m/90363b11c281e53a5802ff71.png)
N1,N2 离散均匀分布参数的点估计本文基于Wolfram Mathematica 9,讨论了 N1,N2 离散均匀分布参数的点估计，包括矩估计法和极大似然估计。
并通过程序产生伪随机数进行模拟。
N1,N2 区间内的离散均匀分布，我们记作DU N1,N2 。
总体均值Μ m1 N1 N22，方差Σ2 1121 1 N1 N2 2 。
X 1,X 2, ,X n 为其一简单随机样本，X 1 ,X 2 , ,X n 为样本顺序统计量。
一、矩估计当N1，N2其中一个已知时，可知另一个即N1 2m1 N20或N2 2m1 N10，用样本矩估计总体矩m1 X 1n n i 1X i ，即得N1 2m1 N20或N2 2m1 N10。
当N1，N2其均未知时，显然方差是均值的函数，因此，无法用样本均值和方差估计出参数N1、N2。
我们考虑二阶原点矩m2 16N1 2N12 N2 2N1N2 2N22 ,将N2 2m1 N1代入，得到：m2 13m1 4m12 N1 2m1N1 N12 。
整理得到：N12 2m1 1 N1 4m12 m1 3m2 0,令b 2m1 1,c 4m12 m1 3m2,解方程得到：N1 b b 2 4c2.由于N1和N2对称且N1 N2,所以N1 b b 2 4c2，N2 b b 2 4c2。
同样，用样本矩m1 X 1n n i 1X i 代替同m1,m2 1n n i 1X i 2代替m2,即可得N1 ，N2 。
二、极大似然估计不管N1，N2是否其中一个已知，还是都未知，通过求解对数似然方程，容易得它们的极大似然估计为N1 X 1 ,N2 X n 。
三、计算程序及结果In[225]:=Needs "HypothesisTesting`"N10 6;N20 57000;X RandomVariate DiscreteUniformDistribution N10,N20 ,300 ;min Min X ;max Max X ;m1 Mean X ;m2 Moment X,2 ;"一.矩估计：""1.已知N1 N10，估计N2：""1.1公式法："N2ME1 Ceiling 2m1 N10"1.2函数法："N2ME2 CeilingN2ME2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N10,N2ME2 , ParameterEstimator "MethodOfMoments"Clear N2ME1,N2ME2 ;"2.已知N2 N20，估计N1：""2.1公式法："N1ME1 Ceiling 2m1 N20"2.2函数法："N1ME2 CeilingN1ME2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1ME2,N20 , ParameterEstimator "MethodOfMoments"Clear N1ME1,N1ME2 ;"3.N1、N2均未知：""3.1公式法："a 1;b 2m1 1;c 4m12 m1 3m2;N1ME3 Floor b b2 4a c 2a ;N2ME3 Ceiling b b2 4a c 2a ;N1ME3,N2ME3"3.2函数法："N1ME3,N2ME3 N1ME3,N2ME3 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1ME3,N2ME3 ,ParameterEstimator "MethodOfMoments" ;Floor N1ME3 ,Ceiling N2ME3Clear N1ME3,N2ME3 ;"二.极大似然估计：""1.已知N1 N10，估计N2：""1.1公式法："N2MLE1 max"1.2函数法："N2MLE2 Ceiling N2MLE2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N10,N2MLE2 Clear N2MLE1,N2MLE2 ;"2.已知N2 N20，估计N1："2[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计.nb[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计.nb3"2.1公式法："N1MLE1 min"2.2函数法："N1MLE2 Ceiling N1MLE2 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1MLE2,N20 Clear N1MLE1,N1MLE2 ;"3.N1、N2均未知：""3.1公式法："N1MLE3 min;N2MLE3 max;N1MLE3,N2MLE3"3.2函数法："N1MLE3,N2MLE3 N1MLE3,N2MLE3 .FindDistributionParameters X,DiscreteUniformDistribution N1MLE3,N2MLE3 ; N1MLE3,N2MLE3Clear N1MLE3,N2MLE3 ;Clear N10,N20,X,min,max,m1,m2 ;Out[233]=一.矩估计：Out[234]= 1.已知N1 N10，估计N2：Out[235]= 1.1公式法：Out[236]=58932Out[237]= 1.2函数法：Out[238]=58932Out[240]= 2.已知N2 N20，估计N1：Out[241]= 2.1公式法：Out[242]=1938Out[243]= 2.2函数法：Out[244]=1938Out[246]= 3.N1、N2均未知：Out[247]= 3.1公式法：Out[253]= 434,58504Out[254]= 3.2函数法：Out[256]= 434,58504Out[258]=二.极大似然估计：4[N1,N2]离散均匀分布参数的点估计.nbOut[259]= 1.已知N1 N10，估计N2：Out[260]= 1.1公式法：Out[261]=56930Out[262]= 1.2函数法：Out[263]=56930Out[265]= 2.已知N2 N20，估计N1：Out[266]= 2.1公式法：Out[267]=203Out[268]= 2.2函数法：Out[269]=203Out[271]= 3.N1、N2均未知：Out[272]= 3.1公式法：Out[275]= 203,56930Out[276]= 3.2函数法：Out[278]= 203,56930。
矩估计和极大似然估计
^ 2
1 n
n i1
Xi2
2
X .
14/22
即
ˆ X ,
ˆ 2
1 n
n i 1
(Xi
X )2.
故，均值,方差2的矩估计为
ˆ ˆ
X, 2 1
n
n
（X
i1
i
X )2
即
n 1S2. n
15/22
如：正态总体N(, 2) 中和2的矩估计为
)2
i1 2
(2 ) e , 2
n 2
1
2
2
n i1
( xi )2
对数似然函数为
ln
L(,
2
)
n 2
ln( 2
)
n 2
ln
2
1
2
2
n
( xi
i1
)2,
35/22
似然方程组为
ln L(, 2 ) 1 2
ln L(, 2 )
X1, X2 , … , Xn . 依样本对参数θ 做出估计，或估计参数θ 的 某个已知函数 g(θ ) 。 这类问题称为参数估计。
参数估计包括：点估计和区间估计。
4/22
为估计参数 µ，需要构造适当的统计量 T( X1, X2 , … , Xn )，
一旦当有了样本，就将样本值代入到该统计 量中，算出一个值作为µ的估计， 称该计算 值为 µ的一个点估计。
7/22
总体 k 阶原点矩 ak E(X k ),
样本 k 阶原点距
Ak
1 n
一文读懂矩估计、极大似然估计和贝叶斯估计
一文读懂矩估计、极大似然估计和贝叶斯估计概率论和数理统计是机器学习重要的数学基础。
概率论的核心是已知分布求概率，数理统计则是已知样本估整体。
概率论和数理统计是互逆的过程。
概率论可以看成是由因推果，数理统计则是由果溯因。
数理统计最常见的问题包括参数估计，假设检验和回归分析。
所谓参数估计，就是已知随机变量服从某个分布规律，但是概率分布函数的有些参数未知，那么可以通过随机变量的采样样本来估计相应参数。
参数估计最主要的方法包括矩估计法，极大似然估计法，以及贝叶斯估计法。
机器学习中常常使用的是极大似然估计法和贝叶斯估计法。
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一，矩估计法矩估计的基本思想是用样本的k阶矩作为总体的k阶矩的估计量，从而解出未知参数。
例如服从正态分布，但和参数未知。
对采样N次，得到试估计参数和解：用样本的一阶距估计总体的一阶距，用样本的二阶中心距估计总体的二阶中心距。
可以得到：对的估计是有偏的，无偏估计是二，极大似然估计法极大似然估计法简称MLE(Maximum Likelihood Estimation).极大似然估计法先代入参数值计算观测样本发生的概率，得到似然函数，然后对似然函数求极大值，得到对应的参数，即为极大似然估计参数。
对于离散随机变量X，N次采样得到样本结果为，则极大似然估计法的公式为：对于连续随机变量X，如果其概率密度函数为，其中为待求参数向量。
那么N次采样得到样本结果为的概率正比于如下似然函数为了便于计算方便，可以构造对数似然函数为对数似然函数取极大值时，有求解该方程可以得到的极大似然估计。
例如服从正态分布，但和参数未知。
对采样n次，得到试估计参数和解：正态分布的概率密度函数为对应的对数似然函数为对数似然函数取极大值时，有解得三，贝叶斯估计法贝叶斯估计也叫做最大后验概率估计法, 简称MAP(Maximum A Posterior)。
6.1矩估计
有两种，一种是对未知参数作出点估计，另一种是
对未知参数作出区间估计，以下分别讨论
5
假如我们要估计某队男生的平均身高.
2 N ( , 0 . 1 ) （假定身高服从正态分布 ）
是要根据选出的样本（5个数）求出总体均值 的 估计. 而全部信息就由这5个数组成 .
现从该总体选取容量为5的样本，我们的任务
ˆ h ( A , , A ) j j 1 k
j=1,2,…,k
15
例 设总体X的概率密度为
X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数 的矩估计.
数学期望 是一阶 原点矩
( 1) x , 0 x 1 f ( x) 其它 0,
其中
1
是未知参数,
解: 1 E ( X ) x( 1) x dx
23
矩法估计的缺点：(1)矩法估计有时会得到不合理的解；
(2)求矩法估计时，不同的做法会得到不同的解；
(通常规定，在求矩法估计时，要尽量使用低阶矩)
例 设总体X~P(λ)，求 λ的矩估计。 n
解
若上例中，不是用1阶矩，而是用2阶矩 n 1 E ( X 2 ) D( X ) ( EX ) 2 ( X ) 2 X i2 n i 1 n n 1 1 2 2 2 ˆ ˆ X 不同 X X ( X X ) 与 i i n i 1 n i 1
14
设总体的分布函数中含有k个未知参数
1 , , k
,那么它的前k阶矩
1 ,, k
一般
都是这k个参数的函数,记为：
i gi (1,, k )
从这k个方程中解出
i=1,2,…,k
j h j ( 1 ,, k )
概率论与数理统计第七章-1矩估计法和极大似然估计法
数理统计
例5
设总体 X ~N( μ , σ 2) , μ , σ 2 未知 . x1 ,
, xn
是来自 X 的样本值 , 试求 μ , σ 2的最大似然估计量 . 解 X 的概率密度为
数理统计
定义 用样本原点矩估计相应的总体原点矩 ,
用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的 连续函数, 这种参数点估计法称为矩估计法 . 矩估计法的具体做法如下 设总体的分布函数中含有k个未知参数 θ1 , θ2 , 那么它的前k阶矩 μ1 , μ2 ,
, θk ,
, μk , 一般
l xi P{ X xi ;1 , 2 , , k } l E ( X l ) l 1 hl (1 , 2 , , k ) x l p ( x; , , , )dx 1 2 k
数理统计
点估计问题的一般提法 设总体 X 的分布函数 F ( x; )的形式为已
知, 是待估参数 . X 1 , X 2 ,, X n 是 X 的一个样 本, x1 , x2 ,, xn 为相应的一个样本值 .
点估计问题就是要构造 一个适当的统计量 ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n ), 用它的观察值 ˆ ( x1 , x2 ,, xn ) 来估计未知参数 . ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n )称为 的估计量. 通称估计, ˆ. ˆ ( x1 , x2 ,, xn )称为 的估计值. 简记为
先看一个简单例子： 某位同学与一位猎人一起外 出打猎 . 一只野兔从前方窜过 .
数理统计
只听一声枪响，野兔应声倒下 . 如果要你推测，是谁打中的呢？
数理统计
你可能会想，只发一枪便打中, 猎人命中的概 率一般大于这位同学命中的概率 . 看来这一枪是猎 人射中的 . 这个例子所作的推断已经体现了极大似然估计 法的基本思想 .
参数估计-矩法和极大似然法
它首先是由德国数学家高斯在 1821年提出的 . 然而,这个方法常 归功于英国统计学家费歇 .
Gauss
Fisher
费歇在1922年重新发现了这 一方法，并首先研究了这种方法 的一些性质 .
最大似然法的基本思想
先看一个简单例子： 某位同学与一位猎人一起外 出打猎 . 一只野兔从前方窜过 . 只听一声枪响，野兔应声倒下 . 如果要你推测，是谁打中的呢？ 你会如何想呢?
你就会想，只发一枪便打中, 猎人命中的概率 一般大于这位同学命中的概率 . 看来这一枪是猎人 射中的 .
这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的 基本思想 .
最大似然估计原理：
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本 的联合密度(连续型）或联合分布律 (离散型)为 f
(x1,x2,… ,xn ; ) .
当给定样本X1,X2,…Xn时，定义似然函数为：
L( ) f (x1, x2 ,…, xn; )
这里 x1, x2 ,…, xn 是样本的观察值 .
似然函数：
L( ) f (x1,x2,…, xn; )
L( )看作参数 的函数，它可作为 将以多大可
能产生样本值 x1, x2,… ,xn 的一种度量 .
i 1
i 1
对p求导并令其为0，
d ln L( p) dp
1 p
n i 1
xi
1 1 p
(n
n i 1
xi )=0
得
pˆ
1 n
n i 1
xi
x
即为 p 的最大似然估计值 .
从而 p 的最大似然估计量为
pˆ ( X1,
1n , X n ) n i1 X i X
求最大似然估计(MLE)的一般步骤是：
概率 第七章矩估计极大似然估计ppt课件
§1 点估计
这是包含 k 个未知参数 ， ， 的联立方 1 k
2 ， ， k A 1 1 1， A ， 2 ， ， k 2 2 1 2 ， ， k k k 1， A
ˆ， ˆ, 从中解出方程组的解 ,记为 ， 1 k即
这种对未知参数进行定 值估计的问题就是点 计问题
第七章 参数估计
注意：
§1 点估计
⑴估计量与估计值有着本 质的不同：
估 计 量 是 统 计它 量是 ，随 因机 而 （ 变 一 量 维
而估计值则是一维或多 维数组． 或多维 ； ）
⑵ 在不引起混淆的情况下 ，我们统称估计 与估计值为未知参数 的估计．
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§2 估计量的评选标准 §3 区间估计
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退 出
第七章 参数估计
§1 点估计 •点估计 •矩估计法 •极大似然估计法
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第七章 参数估计
一、点估计问题
§1 点估计
设总体 X 的分布函数 F ( x ; ) 的形式为已 是待 估参数。 X , ,X 是 X 的一个 x , 样 ,x 是 本相 ， 1 n 1 n 应的样本值。
第七章 参数估计
§1 点估计
矩法求估计量的步骤：
2 ) 令 A ( A ); 1 1 2 2
1 ) 求 EX ( EX ); 1 2
2
3) 解上 面方 程（组）， 得 ˆ ˆ ( X , , X ) 1 1 1 n ˆ ˆ ( X ,, X )). ( 2 2 1 n
则 ( , , ), l 1 , 2 , , k . 1 其中 A X 令 A ,l 1 , , k , n
矩估计和极大似然估计的求解步骤
2 1
(n
1)
2 0.975
(4)
0.484,
2
(n 1)
2 0.025
(4)
11.143
2
2
由样本值得：S 2 0.01425 , 代入数据计算区间上、下限，
得 2的置信度为95%的置信区间为：(0.0051,0.1178)。
总结：
2已知,的置信区间
(X Z , X Z )
小节：推导置信区间的步骤
（1）寻求一个含有待估参数θ（而不含其他任 何未知参数）的统计量U ，且其分布已知.
（2）对事先给定的置信度1-α，确定分位点. （3）解不等式，求得待估参数θ的置信区间.
例1: 设总体X~N(µ，52)，随机抽取容量为16的样
__
本，求得 x 65 , 试 求µ的置信度为95%的置信
使得 P ˆ1 ˆ2 1 (1)
成立，则称随机区间 ˆ1,ˆ2 为参数的置信度
为1－ 的置信区间。 1－ 称为置信度。
说明:
1、（1）式的含义是指总体参数θ 以1- 的概率
包含在 ˆ1,ˆ2 内，而不被包含的概率仅为。若取 =0.05, (1)式是指θ 以95的概率包含在 ˆ1,ˆ2 内,不
2
2
2 n 1 y
2
例3:求课本P124例2 中 2的置信度为95%的置信区间。 解： 2的置信度为1-α 的置信区间为：
n
2
2
1S 2 n 1
，n
2 1
1S n
2
2
1
对给定的α=1-0.95=0.05，查表知
均匀分布u[-θ,θ]参数θ的几种估计量
![均匀分布u[-θ,θ]参数θ的几种估计量](https://img.taocdn.com/s3/m/4b06f628ae1ffc4ffe4733687e21af45b307fed3.png)
均匀分布u[-θ,θ]参数θ的几种估计量均匀分布u[-θ,θ]的参数θ的几种估计量包括：
1. 极大似然估计量：通过最大化样本的似然函数来估计参数θ。
在均匀分布中，样本的似然函数即为样本数据的上下界与参数θ的关系。
通过求解似然方程，可以得到θ的最大似然估计量。
2. 矩估计量：基于样本矩的统计量进行参数的估计。
在均匀分布中，可以使用样本的平均数和方差来估计参数θ。
通过求解矩方程，即样本矩与理论矩的差异，可以得到θ的矩估计量。
3. 最小二乘估计量：通过最小化样本观测值与均匀分布理论分布的平方残差之和来估计参数θ。
在均匀分布中，最小二乘估计量可以通过求解最小化平方残差的方程得到。
需要注意的是，以上估计量都是基于样本数据的统计方法，估计结果可能受到样本量大小、样本选择以及估计方法的影响。
专题18 矩估计与极大似然估计
分析:注意题目给的是分布函数， 求矩估计需要计算均值； 先求概率密度 似然函数是密度函数的乘积.
10
解:X的概率密度为f
( x;
)
x 1
0,
,
x x
1, 1.
(1)矩估计E X
xf (x; )dx
x
1
EX ， EX 1
(2)似然函数L( )
n
i1
ˆ1
f (xi ; n
15
X1 min X1, X 2 , , X n ,
此时，似然函数L( , ˆ)
1
n
nˆ
e
exp
nx
,
所以
lnL , ˆ nln
1
n
Xi
i 1
ˆ ,
dlnL d
n
1
2
n i 1
Xi X1 ,
dlnL
d
=ˆ
0,
ˆ
X
X 1
16
总结：矩估计的难点（1）是计算数学期望
max xi / 2 min xi ,
且L( )是的单减函数，
极大似然估计值ˆ max xi / 2 1.48.
9
例18.3.设总体X的分布函数为F (x;
)
1
1 x
0,
,
x x
1, 1.
其中未知参数 1, X1, X 2, , X n为来自总体X的简单随
机样本,求(1)的矩估计量，(2)的极大似然估计量.
f
x; ,
1
e x
,
x
L,
n i 1
1
e xi
1
n
exp
1
n
矩估计和极大似然估计
=θ2+(θ+μ)2
注意到 令 θ μ X , 2 θ M 2 . DX = E ( X2 )－( EX )2=θ2
2 1 ˆ M2 (Xi X ) , n i 1 ˆ X M . μ n
2
14
第二节
极大似然估计
第七章
极大似然估计
15
极大似然估计法: 定义7.1 设 是
1, 第i次取到不合格品； Xi i 1, 2, , n. 0, 第i次取到合格品.
解 因 p=EX, 故 p 的矩估计量为
1 ˆ X X i f n ( A) p n i 1
(即出现不合格产品的频率).
9
n
例5
设总体X ~ U [a, b], a, b未知；X 1 , , X n
1100
可用两种方法：矩法估计 和极大似然估计.
28
1 x e , x0 X : p( x; ) ( 0) 0 , other
1）矩法估计
令 X
1 EX x e dx 0 则可得 的矩法估计量为：ˆ X .
x
1 n A1 X i X n i 1
1 ˆ 则 x (0 75 1 90 6 1) 1.22 250
ˆ 1.22。 所以 X 估计 下面我们通过几个例子说明利用矩估计法求 未知参数的过程。
6
例2
22
令
即
所以参数
的极大似然估计量为
23
例3
解
设 X1, X2, …, Xn 是取自总体X 的一个样本,
，求参数λ的极大似然估计值。
似然函数为:
矩估计和极大似然估计-PPT文档资料
当总体标准差0已知，区间应该是
x 1 . 9 6
0
, x 1 . 9 6 n n
0
例7.2.4 在例7.2.1 测量问题中，总体来自N (,2 ) ， 假如有 9 个观测数据 x1， x2， …，x9 (1). 当2 (即仪器精度) 未知时， 钻石重量 的区间估计是 s s x 2 . 3 1 , x 2 . 3 1 9 9 (2). 假如已经知道测量仪器的精度0 ， 则钻石重量 的区间估计应该用
样本统计量± “抽样误差” 来构造。
抽样误差与置信水平有关，一般默认置信水平 0.95
例7.2.1 某人得到了一块钻石(精确重量是未知参数)， 他用一台标准差为 的秤测量了n 次，得到数据 x1， x2， …，xn 他应该如何去估计 ？ (1). 采用点估计的想法，…… (2). 采用区间估计， 应该是在某个范围内，而且
7 . 5 3 t ( 1 1 ) 2 . 2 0 1 4 . 7 8 0 . 0 2 5 3 . 4 6 4 1 1 2
因此可以构造出一个区间 (31.4,41.0) □
s
历史数据表明，科学家研究工作的黄金时期是31岁半 到41岁间。这个年龄段他们将有可能做出重要工作。 这个结论的可靠程度是 95% 。
科学发现 日心说 望远镜、天文学基本定律 科学家 哥白尼 伽利略 时间 1543 1600 年龄 40 43
动力学、万有引力、微积分
电的本质 燃烧即氧化
牛顿
富兰克林 拉瓦锡
1665
1746 1774
23
40 31
地球的演变
进化论 光的电磁特性 放射性 量子力学
莱尔
达尔文 麦克思韦 居里 普朗克
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一、概述
矩估计和极大似然估计是统计学中常用的两种参数估计方法，它们在众多领域中都有着重要的应用。
本文将对均匀分布的矩估计和极大似然估计进行深入探讨，分析它们的特点和适用范围，并对两种方法的优缺点进行比较和总结。
二、均匀分布的矩估计
1. 均匀分布的概念和特点
均匀分布是概率论中常见的一种离散型随机变量分布，它具有概率密度函数f(x) = 1/(b-a)，其中a和b分别为分布的起始值和终止值。
均匀分布的特点是在[a, b]区间内各个数值出现的概率相等。
2. 均匀分布的矩估计方法
均匀分布的参数估计通常采用矩估计方法。
矩估计是利用样本矩来估计总体矩，其基本思想是将样本矩与总体矩相等，通过方程求解得到参数的估计值。
对于均匀分布而言，可以通过样本均值和样本方差来进行参数估计，具体的计算过程可以通过数学推导来进行详细阐述。
三、均匀分布的极大似然估计
1. 极大似然估计的基本原理
极大似然估计是统计学中另一种常用的参数估计方法，其基本思想是在给定样本条件下，寻找最大化似然函数的参数值作为估计值。
对于均匀分布而言，可以通过求解似然函数的一阶导数为0的方程来得到
参数的极大似然估计值，具体的推导过程也需要进行详细的分析和阐述。
2. 极大似然估计与矩估计的比较
极大似然估计与矩估计在参数估计的方法和理论基础上存在着一定的
差异，它们在不同情况下各有优劣。
通过比较两种方法在均匀分布参
数估计中的应用，可以得出它们在精确度、稳定性和有效性等方面的
优缺点，为使用者提供更多的参考依据。
四、实例分析
通过实际的数据样本和模拟实验，可以对均匀分布的矩估计和极大似
然估计进行对比分析。
选择适当的参数和样本规模，比较两种方法得
到的参数估计值与真实值之间的偏差情况，从而验证两种方法的可靠
性和有效性。
五、结论
通过对均匀分布的矩估计和极大似然估计的深入研究和分析，可以得
出它们在不同情况下各有优劣，适用范围也有所不同。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的参数估计方法，以保证估计结果
的准确性和可靠性。
对于参数估计方法的选择和优化也值得进一步的
研究和探讨。
六、参考文献
1. 张三.统计学导论.北京：清华大学出版社，2005.
2. 李四.概率论与数理统计.上海：上海人民出版社，2008.
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七、应用领域拓展
除了在均匀分布参数估计中的应用，矩估计和极大似然估计在实际领域中的应用还涉及到许多其他方面。
在工程领域中，矩估计和极大似然估计常常用于信号处理、通信系统和控制系统等领域的参数估计和信号分析；在金融领域，参数估计方法被广泛应用于风险管理、资产定价和金融工程等方面；在医学领域，矩估计和极大似然估计也有着重要的应用，例如在疾病患病率和药物疗效评价中的参数估计等。
八、矩估计和极大似然估计的拓展
除了均匀分布的参数估计，矩估计和极大似然估计的理论和方法在统计学中有更广泛的应用。
对于连续分布和离散分布等不同类型的概率分布，矩估计和极大似然估计也有着相应的推广和应用。
对于多维参数的估计和非线性参数模型的拟合，矩估计和极大似然估计也有着不同的拓展和改进方法。
九、未来发展方向
随着科学技术的不断发展和社会经济的不断进步，统计学作为一门重要的工具学科，对于参数估计方法的需求也将更加迫切。
未来的发展方向将包括对参数估计方法的进一步优化和改进，提高参数估计的精确度和稳定性；结合机器学习、人工智能和大数据分析等新兴技术，拓展参数估计方法在复杂系统和大规模数据下的应用，以满足不同领域中对于参数估计的需求。
十、总结与展望
通过对均匀分布的矩估计和极大似然估计的研究和探讨，可以看出统计学中参数估计方法的重要性和应用前景。
矩估计和极大似然估计作为两种常用的参数估计方法，各有其独特的优势和适用范围，可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行参数估计。
未来在参数估计方法的改进和应用方面还有许多工作需要进一步探讨和完善，以推动统计学在实际应用中的发展和创新。
十一、参考文献
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