matlab多重分形谱算法

多重分形谱程序

多重分形谱程序是一种用于分析复杂数据集的算法，它可以用来描述数据集中的不同尺度的结构和特征。

这种算法能够处理不同尺度上的变化和复杂性，并提供了一种有效的方式来描述和比较不同数据集的相似性和差异性。

多重分形谱程序的基本原理是通过计算数据集中不同尺度的子集的分布情况，来提取出数据集中的多重分形特征。

具体来说，它通过将数据集分成若干个子集，并计算每个子集的分布情况，然后利用这些分布情况来计算多重分形谱。

多重分形谱程序在许多领域都有广泛的应用，包括物理、生物学、医学、地理学和经济学等。

它可以用于描述各种复杂系统的结构和行为，例如股票市场的波动、地震活动的分布、人类语言的使用情况等。

要实现多重分形谱程序，需要编写相应的程序代码。

具体的实现方式可能会因不同的编程语言和工具而有所不同，但基本的思路是相似的。

一般来说，实现多重分形谱程序需要以下几个步骤：1.定义数据集：首先需要定义要分析的数据集，可以是数字、文本、图像等各种形式的数据。

2.分割数据集：将数据集分成若干个子集，每个子集包含一定数量的数据点。

子集的划分方式可以根据具体情况而定，例如可以按照大小、时间等维度进行划分。

3.计算子集的分布情况：对于每个子集，可以计算其分布情况，例如频率、概率等。

具体的计算方法可以根据数据类型和问题背景而定。

4.计算多重分形谱：利用子集的分布情况，可以计算出多重分形谱。

多重分形谱是一种描述数据集中不同尺度上的结构和特征的数学工具，可以通过特定的公式进行计算。

5.分析结果：根据计算出的多重分形谱，可以对数据集进行深入的分析和比较，例如寻找相似性和差异性、预测未来的趋势等。

总的来说，多重分形谱程序是一种强大的算法，可以用于处理和分析各种复杂的数据集。

但是，由于它涉及到一些数学和计算方面的知识，因此需要一定的专业背景和技能来理解和实现。

matlab分形

尽管分形几何的提出只有三十年左右的时间，但它已经在自然科学的各个领域如数学、物理、化学、地理、天文、材料、生命乃至经济、社会、艺术等极其广泛的领域有着广泛的应用。
这里以迭代的观点介绍分形的基本特性以及生成分形图形的基本方法。

生成元产生的分形图形

由IFS(迭代函数系)所生成的分形图形
一、生成元产生的分形图形
经过计算，可以得到如下结论：当 z0 [1.5,1.5] 时，z值始终不会超出某个范围；而当 z0 小于-1.5或大于1.5后，z值最终将趋于无穷。
现在，我们把这个函数扩展到整个复数范围。对于复数 z0 x iy ，取不同的x 值和y 值，函数迭代的结果不一样：对于有些 z0 ，函数值约束在某一范围内； z0 而对于另一些，函数值则发散到无穷。由于复数对应平面上的点，因此我们可以用一个平面图形来表示。 z 我们用深灰色表示不会使函数值趋于无穷的对于其0 ; z0 它的，我们用不同的颜色来区别不同的发散速度。 | z | 2 由于当某个时候时，函数值一定发散，因此这里定义发散速度为：使|z|大于2的迭代次数越少，则发散速度越快。编程画出这个图形。
该吸引子就是一个分形。利用I FS迭代可以生成各种漂亮的分形图形，而且I FS迭代的优点是程序具有通用性，要想得到不同的分形图形，只需改变仿射变换中的系数和概率的值即可。
Barnsley(巴斯理)羊齿叶
w a
1 2 3 4 0 0.85 0.2 -0.15
b
c
d
e
f
0 1.6 1.6 0.44
由生成元产生的分形是一种规则分形，是数学家按一定规则构造出来的，相当于物理中的模型。这类图形的构造方式都有一个共同的特点：

matlab混沌，分形

matlab混沌，分形对于函数f(x)=λsin(πx)，λ∈(0,1]，使⽤matlab计算随着λ逐渐增⼤，迭代x=f(x)的值，代码如下：function y=diedai(f,a,x1)N=32;y=zeros(N,1);for i=1:1e4x2=f(a,x1);x1=x2;y(mod(i,N)+1)=x2;endend%f=@(a,x)a*x*(1-x);f=@(a,x)a*sin(pi*x);%x0=0.1;hold on;for x0=-1:0.05:1for a=0:0.01:1y=diedai(f,a,x0);for count=1:32plot(a,y(count),'k.');hold on;endendend得到的图像如下：其中横轴为λ，纵轴为x可以看到随着λ的逐渐增⼤，出现了倍周期分叉的情况。

由图中可以看出第⼀个分叉值⼤约在0.3附近，第⼆个在0.73到0.75之间，第三个在0.8到0.85之间，混沌⼤约出现在0.86附近。

接下来编写代码计算分叉值，代码如下：format long;x0=0.1;for a=0.3182:0.0000001:0.3183y=diedai(f,a,x0);if max(y)>0.001disp(a);break;endend得到第⼀个分叉值⼤约为0.3182298format long;x0=0.1;for a=0.7199:0.000001:0.72y=diedai(f,a,x0);if max(y)-min(y)>0.001disp(a);break;endend得到第⼆个分叉值⼤约为0.719911format long;x0=0.1;for a=0.8332:0.000001:0.8333y=diedai(f,a,x0);if abs(y(32)-y(30))>0.001disp(a);break;endend得到第三个分叉值⼤约为0.833267利⽤Feigenbaum常数估计第三个分叉值，得到0.805939分形图周常青画mandelbrot分形图，主要使⽤了三个函数：iter=mandelbrot1(x0,y0,maxIter)，⽤来计算迭代后是否收敛，⽅程z=z2+z0。

MATLAB分形曲线与面积计算-1

x( t ) (1 t ) xk txk 1 , t (0,1) y( t ) (1 t ) yk tyk 1

Lk
ydx [(1 t ) yk tyk 1 ]( xk 1 xk )dt
1 0
1 ( xk 1 xk )( yk yk 1 ) 2
Koch分形曲线与面积计算
分形图形的基本特征正交矩阵与正交变换 Koch分形曲线 Koch分形雪花面积计算
1/13
分形概念始现于数学家曼德勃罗 1967 年发表于美国《科学》杂志一篇论文
“英国海岸线有多长” 。分形(Fractal)图形最基本特征是自相似性，即某一对象的局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有相似性。在自相似的图形中，局部只是整体的缩影，而整体则是局部的放大。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。
yk yk 1
MATLAB函数: polyarea(x,y)
8/13
面积计算的数学实验报告(三选一,或题材自选)
一、 Koch分形雪花 1.算法描述Koch分形雪花
2.证明Koch分形雪花图 Kn 的边数为
Ln 3 4n1
3.求Koch分形雪花图 Kn 的面积
lim Area ( K n )
(3) P5 ← P2; P2 ← Q1; P3 ← Q2; P4 ← Q3．
A是正交矩阵.
cos / 3 sin / 3 A sin / 3 cos / 3
功能:对向量做旋转变换.
MATLAB代码
function koch0(P,N) if nargin==0,P=[0 0;1 0];N=3;end n=max(size(P))-1; A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; for k=1:N p1=P(1:n,:);p2=P(2:n+1,:); d=(p2-p1)/3; q1=p1+d;q3=p1+2*d;q2=q1+d*A'; n=4*n;II=1:4:n-3; P(II,:)=p1;P(II+4,:)=p2; P(II+1,:)=q1;P(II+2,:)=q2;P(II+3,:)=q3; end plot(P(:,1),P(:,2)),axis off axis image

多重分形谱的一种算法

多重分形谱的一种算法
杜兴华
【期刊名称】《东北石油大学学报》
【年(卷),期】2004(028)003
【摘要】定义了多重分形的ODR维谱函数,给出了一种计算多重分形谱的实用方法.以非线性Cantor集为例进行了计算,从而说明了此方法的有效性.
【总页数】2页(P114-115)
【作者】杜兴华
【作者单位】大庆石油学院,数学系,黑龙江,大庆,163318
【正文语种】中文
【中图分类】O174.12
【相关文献】
1.求多重分形谱的一种实用算法 [J], 沈晨;乐友喜;王才经
2.基于多重分形谱的物理层帧结构检测算法研究 [J], 李歆昊;张旻;韩树楠
3.基于小波模极大值求取多重分形谱多重分形克里格算法探究 [J], 张庆敏;岳云娟
4.一种求地震记录多重分形谱的改进算法 [J], 高海霞;胡远来
5.基于多重分形谱的木材高光谱图像纹理分类算法 [J], 唐艳慧; 赵鹏; 王承琨因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

分形几何中一些经典图形的Matlab画法+[文档在线提供]

分形几何中一些经典图形的Matlab画法（1）Koch曲线程序koch.mfunction koch(a1,b1,a2,b2,n)%koch(0,0,9,0,3)%a1,b1,a2,b2为初始线段两端点坐标,n为迭代次数a1=0;b1=0;a2=9;b2=0;n=3;%第i-1次迭代时由各条线段产生的新四条线段的五点横、纵坐标存储在数组A、B中[A,B]=sub_koch1(a1,b1,a2,b2);for i=1:nfor j=1:length(A)/5;w=sub_koch2(A(1+5*(j-1):5*j),B(1+5*(j-1):5*j));for k=1:4[AA(5*4*(j-1)+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5),BB(5*4*(j-1)+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5)] =sub_koch1(w(k,1),w(k,2),w(k,3),w(k,4));endendA=AA;B=BB;endplot(A,B)hold onaxis equal%由以(ax,ay),(bx,by)为端点的线段生成新的中间三点坐标并把这五点横、纵坐标依次分别存%储在数组A,B中function [A,B]=sub_koch1(ax,ay,bx,by)cx=ax+(bx-ax)/3;cy=ay+(by-ay)/3;ex=bx-(bx-ax)/3;ey=by-(by-ay)/3;L=sqrt((ex-cx).^2+(ey-cy).^2);alpha=atan((ey-cy)./(ex-cx));if (ex-cx)<0alpha=alpha+pi;enddx=cx+cos(alpha+pi/3)*L;dy=cy+sin(alpha+pi/3)*L;A=[ax,cx,dx,ex,bx];B=[ay,cy,dy,ey,by];%把由函数sub_koch1生成的五点横、纵坐标A,B顺次划分为四组,分别对应四条折线段中%每条线段两端点的坐标,并依次分别存储在4*4阶矩阵k中,k中第i(i=1,2,3,4)行数字代表第%i条线段两端点的坐标function w=sub_koch2(A,B)a11=A(1);b11=B(1);a12=A(2);b12=B(2);a21=A(2);b21=B(2);a22=A(3);b22=B(3);a31=A(3);b31=B(3);a32=A(4);b32=B(4);a41=A(4);b41=B(4);a42=A(5);b42=B(5);w=[a11,b11,a12,b12;a21,b21,a22,b22;a31,b31,a32,b32;a41,b41,a42,b42];图1 V on Koch曲线（2）Levy 曲线程序levy.mfunction levy(n)% levy(16),n为levy曲线迭代次数%x1,y1,x2,y2为初始线段两端点坐标,nn为迭代次数n=16;x1=0;y1=0;x2=1;y2=0;%第i-1次迭代时由各条线段产生的新两条线段的三端点横、纵坐标存储在数组X、Y中[X,Y]=levy1(x1,y1,x2,y2);for i=1:nfor j=1:length(X)/3w=levy2(X(1+3*(j-1):3*j),Y(1+3*(j-1):3*j));[XX(3*2*(j-1)+1:3*2*(j-1)+3),YY(3*2*(j-1)+1:3*2*(j-1)+3)]=levy1(w(1,1),w(1,2),w(1,3),w(1,4) );[XX(3*2*(j-1)+3+1:3*2*(j-1)+3+3),YY(3*2*(j-1)+3+1:3*2*(j-1)+3+3)]=levy1(w(2,1),w(2,2),w( 2,3),w(2,4));endX=XX;Y=YY;endplot(X,Y)hold onaxis equal%由以(x1,y1),(x2,y2)为端点的线段生成新的中间点坐标并把(x1,y1),(x2,y2)连同新点横、纵坐%标依次分别存储在数组X,Y中function [X,Y]=levy1(x1,y1,x2,y2)x3=1/2*(x1+x2+y1-y2);y3=1/2*(-x1+x2+y1+y2);X=[x1,x3,x2];Y=[y1,y3,y2];%把由函数levy1生成的三点横、纵坐标X,Y顺次划分为两组,分别对应两条折线段中每条线%段两端点的坐标,并依次分别存储在2*4阶矩阵w中,w中第i(i=1,2)行数字代表第i条线段%两端点的坐标function w=levy2(X,Y)a11=X(1);b11=Y(1);a12=X(2);b12=Y(2);a21=X(2);b21=Y(2);a22=X(3);b22=Y(3);w=[a11,b11,a12,b12;a21,b21,a22,b22];图2 Levy 曲线（3）分形树程序tree.hfunction tree(n,a,b)% tree(8,pi/8,pi/8),n为分形树迭代次数%a,b为分枝与竖直方向夹角%x1,y1,x2,y2为初始线段两端点坐标,nn为迭代次数n=8;a=pi/8;b=pi/8;x1=0;y1=0;x2=0;y2=1;plot([x1,x2],[y1,y2])hold on[X,Y]=tree1(x1,y1,x2,y2,a,b);hold onW=tree2(X,Y);w1=W(:,1:4);w2=W(:,5:8);% w为2^k*4维矩阵,存储第k次迭代产生的分枝两端点的坐标, % w的第i(i=1,2,…,2^k)行数字对应第i个分枝两端点的坐标w=[w1;w2];for k=1:nfor i=1:2^k[X,Y]=tree1(w(i,1),w(i,2),w(i,3),w(i,4),a,b);W(i,:)=tree2(X,Y);endw1=W(:,1:4);w2=W(:,5:8);w=[w1;w2];end%由每个分枝两端点坐标(x1,y1),(x2,y2)产生两新点的坐标(x3,y3),(x4,y4),画两分枝图形,并把%(x2,y2)连同新点横、纵坐标分别存储在数组X,Y中function [X,Y]=tree1(x1,y1,x2,y2,a,b)L=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);if (x2-x1)==0a=pi/2;else if (x2-x1)<0a=pi+atan((y2-y1)/(x2-x1));elsea=atan((y2-y1)/(x2-x1));endendx3=x2+L*2/3*cos(a+b);y3=y2+L*2/3*sin(a+b);x4=x2+L*2/3*cos(a-b);y4=y2+L*2/3*sin(a-b);a=[x3,x2,x4];b=[y3,y2,y4];plot(a,b)axis equalhold onX=[x2,x3,x4];Y=[y2,y3,y4];%把由函数tree1生成的X,Y顺次划分为两组,分别对应两分枝两个端点的坐标,并存储在一维%数组w中function w=tree2(X,Y)a1=X(1);b1=Y(1);a2=X(2);b2=Y(2);a3=X(1);b3=Y(1);a4=X(3);b4=Y(3);w=[a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4];图3 分形树（4）IFS算法画Sierpinski三角形程序sierpinski_ifs.hfunction sierpinski_ifs(n,w1,w2,w3)%sierpinski_ifs(10000,1/3,1/3,1/3)%w1,w2,w3出现频率n=10000;w1=1/3;w2=1/3;w3=1/3;M1=[0.5 0 0 0 0.5 0];M2=[0.5 0 0.5 0 0.5 0];M3=[0.5 0 0.25 0 0.5 0.5];x=0;y=0;% r为[0,1]区间内产生的n维随机数组r=rand(1,n);B=zeros(2,n);k=1;% 当0<r(i)<1/3时,进行M1对应的压缩映射;% 当1/3=<r(i)<2/3时,进行M2对应的压缩映射;% 当2/3=<r(i)<1时,进行M3对应的压缩映射;for i=1:nif r(i)<w1a=M1(1);b=M1(2);e=M1(3);c=M1(4);d=M1(5);f=M1(6);else if r(i)<w1+w2a=M2(1);b=M2(2);e=M2(3);c=M2(4);d=M2(5);f=M2(6);else if r(i)<w1+w2+w3a=M3(1);b=M3(2);e=M3(3);c=M3(4);d=M3(5);f=M3(6);endendendx=a*x+b*y+e;y=c*x+d*y+f;B(1,k)=x;B(2,k)=y;k=k+1;endplot(B(1,:),B(2,:),'.','markersize',0.1)图4 Sierpinski三角形（5）IFS算法画Julia集程序julia_ifs.hfunction julia_ifs(n,cx,cy)% julia_ifs(100000,-0.77,0.08)% f(z)=z^2+c,cx=real(c);cy=image(c);n=10000;cx=-0.77;cy=0.08;% z^2+c=z0,x=real(z0);y=image(z0);x=1;y=1;B=zeros(2,n);k=1;% A为产生的服从标准正态分布的n维随机数组A=randn(1,n);for i=1:nwx=x-cx;wy=y-cy;if wx>0alpha=atan(wy/wx);endif wx<0alpha=pi+atan(wy/wx);endif wx==0alpha=pi/2;endalpha=alpha/2;r=sqrt(wx^2+wy^2);if A(i)<0r=-sqrt(r);elser=sqrt(r);endx=r*cos(alpha);y=r*sin(alpha);B(1,k)=x;B(2,k)=y;k=k+1;endplot(B(1,:),B(2,:),'.','markersize',0.1)图5 Julia 集(6)逃逸时间算法画Sierpinski垫片程序sierpinski.hfunction sierpinski(a,b,c,d,n,m,r)%sierpinski(0,0,1,1,12,200,200)%(a,b),(c,d)收敛区域左上角和右下角坐标,m为分辨率% n为逃逸时间,需要反复试探,r逃逸半径a=0;b=0;c=1;d=1;n=12;m=200;r=200;B=zeros(2,m*m);w=1;for i=1:mx0=a+(c-a)*(i-1)/m;for j=1:my0=b+(d-b)*(j-1)/m;x=x0;y=y0;for k=1:nif y>0.5x=2*x;y=2*y-1;else if x>=0.5x=2*x-1;y=2*y;elsex=2*x;y=2*y;endif x^2+y^2>rbreak;endendif k==nB(1,w)=i;B(2,w)=j;w=w+1;endendendplot(B(1,:),B(2,:),'.','markersize',0.1)图6 Sierpinski三角形垫片(7)元胞自动机算法画Sierpinski三角形程序一维元胞自动机sierpinski_ca1.hfunction sierpinski_ca1(m,n)%sierpinski_ca1(1000,3000)m=1000;n=3000;x=1;y=1;t=1;w=zeros(2,m*n);s=zeros(m,n);s(1,fix(n/3))=1;for i=1:m-1for j=2:n-1if (s(i,j-1)==1&s(i,j)==0&s(i,j+1)==0)|(s(i,j-1)==0&s(i,j)==0&s(i,j+1)==1) s(i+1,j)=1;w(1,t)=x+3+3*j;w(2,t)=y+5*i;t=t+1;endendendplot(w(1,:),w(2,:),'.','markersize',1)图7.1 一维元胞自动机画Sierpinski三角形二维元胞自动机sierpinski_ca2.hfunction sierpinski_ca2(m,n)%sierpinski_ca2(400,400)m=400;n=400;t=1;w=zeros(2,m*n);s=zeros(m,n);s(m/2,n/2)=1;for i=[m/2:-1:2,m/2:m-1]for j=[n/2:-1:2,n/2:n-1]ifmod(s(i-1,j-1)+s(i,j-1)+s(i+1,j-1)+s(i-1,j)+s(i+1,j)+s(i-1,j+1)+s(i,j+1)+s(i+1,j+1),2)==1 s(i,j)=1;w(1,t)=i;w(2,t)=j;t=t+1;endendendplot(w(1,:),w(2,:),'.','markersize',0.1)图7.2 二维元胞自动机画Sierpinski三角形(8)IFS算法画Helix曲线程序helix_ifs.hfunction helix_ifs(n,w1,w2,w3)%helix_ifs(20000,0.9,0.05,0.05)%w1,w2,w3为出现频率n=20000;w1=0.9;w2=0.05;w3=0.05;M1=[0.787879 -0.424242 1.758647 0.242424 0.859848 1.408065];M2=[-0.121212 0.257576 -6.721654 0.05303 0.05303 1.377236];M3=[0.181818 -0.136364 6.086107 0.090909 0.181818 1.568035];x=0;y=0;% r为[0,1]区间内产生的n维随机数组r=rand(1,n);B=zeros(2,n);k=1;% 当0<r(i)<1/3时,进行M1对应的压缩映射;% 当1/3=<r(i)<2/3时,进行M2对应的压缩映射;% 当2/3=<r(i)<1时,进行M3对应的压缩映射;for i=1:nif r(i)<w1a=M1(1);b=M1(2);e=M1(3);c=M1(4);d=M1(5);f=M1(6);else if r(i)<w1+w2a=M2(1);b=M2(2);e=M2(3);c=M2(4);d=M2(5);f=M2(6);else if r(i)<w1+w2+w3a=M3(1);b=M3(2);e=M3(3);c=M3(4);d=M3(5);f=M3(6);endendendx=a*x+b*y+e;y=c*x+d*y+f;B(1,k)=x;B(2,k)=y;k=k+1;endplot(B(1,:),B(2,:),'.','markersize',0.1)图8 Helix曲线。

几个分形的matlab实现资料

几个分形的matlab 实现摘要：给出几个分形的实例，并用matlab 编程实现方便更好的理解分形，欣赏其带来的数学美感关键字：Koch 曲线实验图像一、问题描述：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成山丘形图形如下图1在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一个等边三角形的两条边代替，再次形成新的图形如此迭代，形成Koch 分形曲线。

二、算法分析：考虑由直线段（2个点）产生第一个图形（5个点）的过程。

图1中，设1P 和5P 分别为原始直线段的两个端点，现需要在直线段的中间依次插入三个点2P ，3P ，4P。

显然2P 位于线段三分之一处，4P 位于线段三分之二处，3P 点的位置可看成是由4P点以2P 点为轴心，逆时针旋转600而得。

旋转由正交矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)3cos()3sin()3sin()3cos(ππππA 实现。

算法根据初始数据（1P 和5P 点的坐标），产生图1中5个结点的坐标。

结点的坐标数组形成一个25⨯矩阵，矩阵的第一行为1P 的坐标，第二行为2P 的坐标……，第五行为5P 的坐标。

矩阵的第一列元素分别为5个结点的x 坐标，第二列元素分别为5个结点的y 坐标。

进一步考虑Koch 曲线形成过程中结点数目的变化规律。

设第k 次迭代产生的结点数为k n ，第1+k 次迭代产生的结点数为1+k n ，则k n 和1+k n 中间的递推关系为341-=+k k n n 。

三、实验程序及注释：p=[0 0;10 0]; %P为初始两个点的坐标,第一列为x坐标,第二列为y坐标n=2; %n为结点数A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %旋转矩阵for k=1:4d=diff(p)/3; %diff计算相邻两个点的坐标之差,得到相邻两点确定的向量%则d就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应 m=4*n-3; %迭代公式q=p(1:n-1,:); %以原点为起点,前n-1个点的坐标为终点形成向量p(5:4:m,:)=p(2:n,:); %迭代后处于4k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标 p(2:4:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于4k+2位置上的点的坐标p(3:4:m,:)=q+d+d*A'; %用向量方法计算迭代后处于4k+3位置上的点的坐标p(4:4:m,:)=q+2*d; %用向量方法计算迭代后处于4k位置上的点的坐标n=m; %迭代后新的结点数目endplot(p(:,1),p(:,2)) %绘出每相邻两个点的连线axis([0 10 0 10])四、实验数据记录：由第三部分的程序，可得到如下的Koch分形曲线：图2五、注记：１．参照实验方法，可绘制如下生成元的Koch 分形曲线：图3此时，旋转矩阵为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0110)2cos()2sin()2sin()2cos(ππππA 程序和曲线如下：p=[0 0;10 0]; %P 为初始两个点的坐标,第一列为x 坐标,第二列为y 坐标n=2; %n 为结点数A=[0 -1;1 0]; %旋转矩阵for k=1:4d=diff(p)/3; %diff 计算相邻两个点的坐标之差,得到相邻两点确定的向量%则d 就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应 m=5*n-4; %迭代公式q=p(1:n-1,:); %以原点为起点,前n-1个点的坐标为终点形成向量p(6:5:m,:)=p(2:n,:); %迭代后处于5k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标 p(2:5:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于5k+2位置上的点的坐标 p(3:5:m,:)=q+d+d*A'; %用向量方法计算迭代后处于5k+3位置上的点的坐标 p(4:5:m,:)=q+2*d+d*A'; %用向量方法计算迭代后处于5k+4位置上的点的坐标 p(5:5:m,:)=q+2*d; %用向量方法计算迭代后处于5k 位置上的点的坐标n=m; %迭代后新的结点数目endplot(p(:,1),p(:,2)) %绘出每相邻两个点的连线axis([0 10 0 10])图4由于中间三分之一部分是一个正方形时，有很多连接的部分。

MATLAB环境下图像分形维数的计算

根据图像计盒维数的计算过程，编写程序对二值图进行网格划分与统计（程序流程见图１），可以得到一系列“网格大小”与相应“覆盖网格数”的数据对，即子矩阵阶数与包含图像点（像素点为ｏ）的子矩阵个数的数据对；然后在双对数坐标系下绘出数据点，进行线性回归分析，如能得到一条线性相关的直线，直线斜率的负值即为图像的计盒维数．
也有采用递减序列进行像素点覆盖，递减序列的构造有多种方法，普遍使用的是二等分序列，也就是将图像逐次二等分．所采用的序列的最大值都将取决于图像的大小．网格的最小值始终为１，这是划分网格的极限．
根据分形维数的定义，块的尺寸越小，计算出的图像的维数越精确，但对于存储在计算机内的分形图像，只能分割到像素点尺寸，就不能再继续分割下去了．因此，当讨论图像的分形性质时，可以取一个像素点的尺寸作为尺度下限，为了避免奇异情形的发生，在计算分形维数的过程中，要求有适当多的测试点，至于尺度上限可根据具体情况和具体要求进行确定．
（１．中国矿业大学资源与安全工程学院，北京１０００８３；２．中原工学院数理系，河南郑州４５０００７）
摘要：利用ＭＡＴＬＡＢ的图像处理和数值计算功能，对大气可吸入颗粒物的场发射电镜
（ＦＥＳＥＭ）图像进行处理，得到颗粒物边界的二值图像；编制ＭＡＴＬＡＢ程序，统计一系列以不同
像素数量为边长的正方形块覆盖二值图像时的个数，根据像素数量和正方形块个数之间的关系，
确定图像的计盒维数．结果表明：ＭＡＴＬＡＢ对分形图像的处理简单、方便，通过科赫曲线、谢宾
斯基填料等有规分形图形分形维数的计算表明该方法计算出的结果准确、可靠．对大气颗粒物的
分形维数的计算表明，不同不规则程度的颗粒物有不同的分形维数，可以通过颗粒物分形维数的
计算分析颗粒物的来源和输运过程．

matlab用结构函数法计算分形维数程序__理论说明

matlab用结构函数法计算分形维数程序理论说明1. 引言1.1 概述本文旨在介绍使用结构函数法计算分形维数的程序和相关理论。

分形维数是描述自然界和人工物体中不规则结构复杂程度的重要指标之一，它能够定量衡量对象的自相似性和尺度变换特征。

而结构函数法是一种计算分形维数的常用方法，它通过测量对象的尺度不变性来实现对分形维数的求解。

1.2 文章结构本文共分为四个部分；引言部分即本章首先对文章进行概述和简介；接着第二部分将介绍分形维数的基本概念以及与结构函数法计算之间的关系；第三部分将详细介绍如何在Matlab环境下使用结构函数法来计算分形维数，并给出具体示例数据和结果展示；最后，第四部分将给出总结，回顾研究目的，总结各种方法并展望改进和应用前景。

1.3 目的本文旨在向读者介绍使用Matlab编写程序进行结构函数法计算分形维数的方法，并通过具体数据案例展示其有效性。

通过本文的阅读，读者将了解到什么是分形维数以及在实际研究中如何使用结构函数法来计算分形维数。

同时，本文还将讨论该方法的优缺点，并探究其未来的应用前景和改进方向。

以上是关于“1. 引言”部分的详细内容，希望能对您撰写长文提供帮助。

2. 正文:2.1 分形维数的基本概念分形维数是描述分形对象复杂程度的重要指标。

分形是一类特殊的几何结构，具有自相似性和无限细节等特征。

分形维数通常用于量化描述分形对象的粗糙程度和层级结构。

2.2 结构函数法与分形维数计算的关系结构函数法是一种常用于计算分形维数的方法，其基本思想是通过结构函数来测量物体在不同尺度下的信息量。

结构函数可以通过计算物体上不同区域内对应尺度上像素值差异的平均值来得到。

分析这些差异可以揭示出物体在不同尺度下的内在结构规律，从而计算出其分形维数。

2.3 Matlab中使用结构函数法计算分形维数的程序步骤在Matlab中使用结构函数法计算分形维数需要以下步骤：步骤1: 读取并预处理图像或数据集。

首先将图像或数据集转换为灰度图像，并进行必要的预处理操作（如噪声去除、平滑等），以便更好地提取其结构信息。

多重积分的MATLAB实现

多重积分的MATLAB实现多重积分是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程等领域。

MATLAB是一个功能强大的科学计算软件，可以进行多重积分的计算和可视化。

本文将介绍如何使用MATLAB实现二重积分和三重积分的计算。

对于二重积分的计算，MATLAB提供了多种方法。

其中一种常用的方法是使用dblquad函数。

该函数的调用方式为：I = dblquad(fun, xmin, xmax, ymin, ymax)其中fun是一个指定要计算的函数的句柄，xmin和xmax是积分区间的x轴上界和下界，ymin和ymax是积分区间的y轴上界和下界。

另外还可以通过增加其他参数来进一步控制计算的精度。

以下是一个计算二重积分的例子。

假设要计算函数f(x, y) = sin(x) + cos(y)在区域[xmin, xmax] × [ymin, ymax]上的积分。

可以用下面的代码实现：xmin = 0;xmax = pi;ymin = 0;ymax = pi;I = dblquad(fun, xmin, xmax, ymin, ymax)该代码将输出计算得到的积分结果。

除了dblquad函数，MATLAB还提供了其他函数来计算二重积分，如quad2d和integral2等。

这些函数在使用方法上有所差异，但原理类似。

对于三重积分的计算，MATLAB同样提供了多种方法，如triplequad和integral3等。

以下是使用triplequad函数计算三重积分的一个例子。

假设要计算函数f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2在区域[xmin, xmax] × [ymin, ymax] × [zmin, zmax]上的积分。

可以用下面的代码实现：xmin = 0;xmax = 1;ymin = 0;ymax = 2;zmin = 0;zmax = 3;I = triplequad(fun, xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax)该代码将输出计算得到的积分结果。

基于MATLAB实现分形图形的绘制论文

目录前言 (1)第一章 MATLAB介绍 (2)1.1 MATLAB简介 (2)1.2 MATLAB语言 (2)1.2.1 创建向量、向量元素的访问： (2)1.2.2 创建矩阵、矩阵元素的访问 (3)1.2.3 流程控制 (4)1.3 MATLAB语言的传统优点 (5)第二章分形入门知识 (6)2.1 分形理论 (6)2.2 分形几何观及其应用 (7)第三章 Koch雪花的绘制 (7)3.1 von Koch曲线简介 (8)3.2 Koch雪花算法设计 (8)第四章 Frac_tree绘制 (11)第五章 Mandelbort集的绘制 (12)5.1 Mandelbort集简介 (13)5.2 Mandelbort集算法设计 (13)第六章 Julia集的绘制 (17)6.1 Julia集简介 (18)6.2 Julia集的算法设计 (18)6.3 Julia集与Mandelbort集 (20)第七章花篮簇的绘制 (22)总结 (23)主要参考文献： (23)前言分形是描述不规则几何形态的有力工具。

不言而喻，不规则的几何形态在我们的周围处处可见，诸如花草、山脉、烟云、火焰等举目皆是。

至于微观世界的复杂物质结构，宏观世界浩瀚天体的演变，更展现出了层出不穷的不规则几何形态，它们往往都是分形几何的研究对象。

大自然向人类展示其美丽多变形态的同时，也提出了难以回答的询问：怎样描述复杂的自然表象？恰恰是分形几何学，它把自然形态看作是具有无限嵌套层次的精细结构，并且在不同的尺度下保持某种相似的属性，于是在变换与迭代中得到描述自然形态的有效方法。

分形的研究离不开计算机。

如果不是计算机图形图像处理功能的增强，不能想象怎样才能直观地看到Julia集和Mandelbort集的精细结构，更不能想象可以产生具有无限细结的自然景物和高度真实感的三维动画。

反过来，分形理论与方法又极大地丰富了计算机图形学内容，甚至分形的思想会在计算机科学的发展上产生一定的影响。

煤岩类型的多重分形奇异性指数特征分析

煤岩类型的多重分形奇异性指数特征分析作者：谭浩来源：《科技创新与生产力》 2015年第9期谭浩（安徽理工大学测绘学院，安徽淮南 230001）摘要：运用多重分形理论中的盒计数法计算出若干煤岩薄片的奇异性指数，再进行统计分析得到奇异性指数与煤岩类别之间的关系，为煤岩分类提供了重要依据。

关键词：多重分形；盒计数法；煤岩分类中图分类号：P624.6 文献标志码：A DOI：10.3969/j.issn.1674-9146.2015.09.119收稿日期：２０15－04－15；修回日期：２０15－05－18作者简介：谭浩（1991-），男，安徽淮南人，在读硕士，主要从事多重分形在地质方面的应用研究，E-mail：1659851059@。

煤炭是我国主要能源之一，对煤矿资源进行开采使用时，为了煤炭资源得到更加合理的利用，需要将其进行分类研究，提高煤炭资源的利用率[1]。

20世纪60年代，数学家Mandelbrot以“fractal”一词揭示了不具有一个整数维特性的复杂几何对象[2]。

分维提供了一个系统的方法去量化不规则图形，这种图形在一定比例范围内其内部结构是不断重复的[3]。

实现多重分形的方法有很多，诸如盒计数法、fBm法、面积测定法等。

笔者以盒计数法实现多重分形，计算不同类型煤岩薄片的奇异性指数。

通过对奇异性指数的统计，找出奇异性指数与煤岩煤化程度之间的关系，为煤岩分类提供依据。

1 煤岩样本情况试验涉及到4个煤岩薄片样本，分别为长焰煤、肥煤、瘦煤、贫煤。

这4种煤代表了变质程度的各个阶段。

其中长焰煤是变质程度最低的煤。

肥煤变质程度比长焰煤较高。

瘦煤变质程度比肥煤较高。

贫煤是变质程度最高的烟煤。

2 多重分形算法实现2.1 盒计数法算法以盒计数进行探究时，随着观察精度的不断提高，被观察的几何对象也相应变化。

那么，把像素（P）个数随观察精度而变化的速率设为α。

用精度为t的盒子覆盖所要研究的几何对象，则盒子的尺寸为 b（L）。

分形插值算法和MATLAB实验分析

一，分形插值算法——分形图的递归算法1，分形的定义分形（Fractal）一词，是法国人B.B.Mandelbrot 创造出来的，其原意包含了不规则、支离破碎等意思。

Mandelbrot 基于对不规则的几何对象长期地、系统地研究，于1973 年提出了分维数和分形几何的设想。

分形几何是一门以非规则几何形状为研究对象的几何学，用以描述自然界中普遍存在着的不规则对象。

分形几何有其显明的特征，一是自相似性；分形作为一个数学集合, 其内部具有精细结构, 即在所有比例尺度上其组成部分应包含整体, 而且彼此是相似的。

其定义有如下两种描述：定义 1如果一个集合在欧式空间中的 Hausdorff 维数H D 恒大于其拓扑维数r D ，则称该集合为分形集，简称分形。

定义 2组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。

对于定义 1 的理解需要一定的数学基础，不仅要知道什么是Hausdorff 维数，而且要知道什么是拓扑维数，看起来很抽象，也不容易推广。

定义 2 比较笼统的说明了自然界中的物质只要局部和局部或者局部和整体之间存在自相似性，那么这个物质就是分形。

正是这一比较“模糊”的概念被人们普遍接受，同时也促进了分形的发展。

根据自相似性的程度，分形可分为有规分形和无规分形。

有规分形是指具有严格的自相似的分形，比如，三分康托集，Koch 曲线。

无规分形是指具有统计意义上的自相似性的分形，比如，曲折的海岸线，漂浮的云等。

本文主要研究有规分形。

2. 分形图的递归算法2.1 三分康托集1883 年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人知的三分康托集。

三分康托集是很容易构造的，然而，它却显示出许多最典型的分形特征。

它是从单位区间出发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程构造出来的(如图2.1)。

其详细构造过程是：第一步，把闭区间[0，1]平均分为三段，去掉中间的 1/3 部分段，则只剩下两个闭区间[0，1/3]和[2/3，1]。

MATLAB程序设计分形技术—移动平均Hurst指数计算

分形技术—移动平均Hurst指数计算Hurst指数是分形技术在金融量化分析中的典型应用。

分形是以非整数维形式充填空间的形态特征。

分形可以说是来自于一种思维上的理论存在。

1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。

分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。

由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。

分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。

1 Hurst指数简介基于重标极差(R/S)分析方法基础上的赫斯特指数(H)研究是由英国水文专家H．E．Hurst(1900—1978)在研究尼罗河水库水流量和贮存能力的关系时，发现用有偏的随机游走(分形布朗运动)能够更好地描述水库的长期存贮能力，并在此基础上提出了用重标极差(R/S)分析方法来建立赫斯特指数(H)，作为判断时间序列数据遵从随机游走还是有偏的随机游走过程的指标。

赫斯特指数有三种形式：1．如果H=0.5，表明时间序列可以用随机游走来描述；2．如果0.5<H≤1，表明黑噪声(持续性)即暗示长期记忆的时间序列；3．如果0≤H<0.5，表明粉红噪声(反持续性)即均值回复过程。

也就是说，只要H ≠0.5，就可以用有偏的布朗运动(分形布朗运动)来描述该时间序列数据。

Mandelbrot 在1972 年首次将R/S分析应用于美国证券市场，分析股票收益的变化，Peters 把这种方法作为其分形市场假说最重要的研究工具进行了详细的讨论和发展，并做了很多实证研究。

经典的金融理论一般认为股票市场是有效的，已有的信息已经充分在股价上得到了反映，无法帮助预测未来走势，下一时刻的变动独立于历史价格变动。

因此股市变化没有记忆。

实际上中国股市并非完全有效，在一定程度上表现出长期记忆性（Long TermMemory）。

分形维数 matlab

分形维数 matlab分形维数是度量分形特征的重要方法。

它是通过对分形对象进行测量来确定对象的尺寸和形状复杂性的。

在matlab中，可以使用多种方法来计算分形维数。

本文将介绍matlab中计算分形维数的方法，包括盒维数、哈斯特指数和多重分形维数。

一、盒维数法盒维数法是最基本的计算分形维数的方法之一。

它通过测量覆盖分形对象所需的最小正方形数来计算分形维数。

具体计算方法为：1.将分形对象放置在一个正方形网格中。

2.选取一个长度为l的正方形框，将其移动滑动网格，去覆盖分形对象。

3.计算分形对象被框覆盖的次数，这就是盒维数的结果。

在matlab中，可以使用下面的代码计算盒维数：% 定义分形对象x = linspace(-1, 1, 100);y = x.^2;% 计算盒维数D = boxcount(x, y);disp(['盒维数：' num2str(D)]);二、哈斯特指数法1.将信号分解成一系列尺度不同的信号，即小波系数。

2.计算每个尺度下的信号的自相关函数。

% 定义信号load noisysignals.mat;[~, ~, H] = haursd(signal);三、多重分形维数法多重分形维数法是一种区间分析法，它通过对分形对象进行分割，分析分割后各段的分形特征来计算分形维数。

具体计算方法为：1.将分形对象分割为多个区间，求出每个区间的分形特征，如盒维数或哈斯特指数。

2.根据分形特征和区间的尺寸关系，计算每个区间的分形维数。

3.通过对所有区间的分形维数作图，得到分形维数的分布情况。

plot(q, fDq, 'r-');xlabel('q');title('多重分形维数');。

几个分形的matlab实现

几个分形的matlab 实现摘要：给出几个分形的实例，并用matlab 编程实现方便更好的理解分形，欣赏其带来的数学美感关键字：Koch 曲线实验图像一、问题描述：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成山丘形图形如下图1在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一个等边三角形的两条边代替，再次形成新的图形如此迭代，形成Koch 分形曲线。

二、算法分析：考虑由直线段（2个点）产生第一个图形（5个点）的过程。

图1中，设1P 和5P 分别为原始直线段的两个端点，现需要在直线段的中间依次插入三个点2P ，3P ，4P 。

显然2P 位于线段三分之一处，4P 位于线段三分之二处，3P 点的位置可看成是由4P 点以2P 点为轴心，逆时针旋转600而得。

旋转由正交矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)3cos()3sin()3sin()3cos(ππππA 实现。

算法根据初始数据（1P 和5P 点的坐标），产生图1中5个结点的坐标。

结点的坐标数组形成一个25⨯矩阵，矩阵的第一行为1P 的坐标，第二行为2P 的坐标……，第五行为5P 的坐标。

矩阵的第一列元素分别为5个结点的x 坐标，第二列元素分别为5个结点的y 坐标。

进一步考虑Koch 曲线形成过程中结点数目的变化规律。

设第k 次迭代产生的结点数为k n ，第1+k 次迭代产生的结点数为1+k n ，则k n 和1+k n 中间的递推关系为341-=+k k n n 。

三、实验程序及注释：p=[0 0;10 0]; %P为初始两个点的坐标,第一列为x坐标,第二列为y坐标n=2; %n为结点数A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %旋转矩阵for k=1:4d=diff(p)/3; %diff计算相邻两个点的坐标之差,得到相邻两点确定的向量%则d就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应 m=4*n-3; %迭代公式q=p(1:n-1,:); %以原点为起点,前n-1个点的坐标为终点形成向量p(5:4:m,:)=p(2:n,:); %迭代后处于4k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标 p(2:4:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于4k+2位置上的点的坐标p(3:4:m,:)=q+d+d*A'; %用向量方法计算迭代后处于4k+3位置上的点的坐标p(4:4:m,:)=q+2*d; %用向量方法计算迭代后处于4k位置上的点的坐标n=m; %迭代后新的结点数目endplot(p(:,1),p(:,2)) %绘出每相邻两个点的连线axis([0 10 0 10])四、实验数据记录：由第三部分的程序，可得到如下的Koch分形曲线：图2五、注记：１．参照实验方法，可绘制如下生成元的Koch 分形曲线：图3此时，旋转矩阵为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0110)2cos()2sin()2sin()2cos(ππππA 程序和曲线如下：p=[0 0;10 0]; %P 为初始两个点的坐标,第一列为x 坐标,第二列为y 坐标n=2; %n 为结点数A=[0 -1;1 0]; %旋转矩阵for k=1:4d=diff(p)/3; %diff 计算相邻两个点的坐标之差,得到相邻两点确定的向量%则d 就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应 m=5*n-4; %迭代公式q=p(1:n-1,:); %以原点为起点,前n-1个点的坐标为终点形成向量p(6:5:m,:)=p(2:n,:); %迭代后处于5k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标 p(2:5:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于5k+2位置上的点的坐标 p(3:5:m,:)=q+d+d*A'; %用向量方法计算迭代后处于5k+3位置上的点的坐标 p(4:5:m,:)=q+2*d+d*A'; %用向量方法计算迭代后处于5k+4位置上的点的坐标 p(5:5:m,:)=q+2*d; %用向量方法计算迭代后处于5k 位置上的点的坐标n=m; %迭代后新的结点数目endplot(p(:,1),p(:,2)) %绘出每相邻两个点的连线axis([0 10 0 10])图4由于中间三分之一部分是一个正方形时，有很多连接的部分。

多重分形谱程序

多重分形谱程序多重分形谱（multifractal spectrum）是一种用于描述分形几何结构的方法。

分形几何是一种利用自相似性原理描述物体或图形的数学模型，具有在各种尺度上都具有相似性的特征。

多重分形谱可以揭示物体或图形在不同尺度上的分形特征，从而更全面地理解其内在结构。

多重分形谱的基本思想是通过计算不同尺度下的分形维数，从而得到一个描述分形结构的谱。

该谱可用于分析各个尺度上的分形特征，如分形维数量化了分形的粗糙程度和纹理的丰富性。

通过分析多重分形谱，可以揭示材料、图像等领域的复杂结构和非线性行为。

多重分形谱的计算步骤如下：1.选择一个合适的分形特征：多重分形谱适用于描述具有不同分形特征的物体，如分形纹理、分形信号等。

2.确定尺度：通过改变分析尺度，可以得到不同粗糙度下的分形特征。

通常使用尺度区间来表示不同的尺度。

3.计算分形维数：选择一个分形维数测量方法，如盒计数法、分形能量法等，计算不同尺度下的分形维数。

4.构建多重分形谱：将得到的分形维数按照尺度进行排序，并绘制成图谱。

多重分形谱通常呈现出一个上升或下降的曲线，反映了分形结构的变化趋势。

多重分形谱广泛应用于物理、材料科学、地质学、图像处理等领域，例如分析复杂材料的纹理特征、识别图像中的纹理类型等。

它不仅可以在定性上描述物体的分形特征，还可以量化分形结构的不同方面，如分形维数的变化范围、分形结构的复杂程度等。

多重分形谱在实际应用中也面临一些挑战和限制。

首先，计算多重分形谱需要大量的数据和计算资源，对于大规模数据和高分辨率图像可能存在计算效率问题。

其次，选择合适的分形维数测量方法对结果的准确性和可靠性有着重要影响，需要根据具体问题选择适合的方法。

总之，多重分形谱是一种重要的分形分析方法，能够揭示物体或图形在不同尺度上的分形特征。

通过分析多重分形谱，我们可以更全面地了解分形结构的内在性质和复杂行为，为材料科学、图像处理等领域的研究提供了一个有力的工具。

MATLAB中的分形数学方法介绍

MATLAB中的分形数学方法介绍分形是一种迷人且富有挑战性的数学领域，在现代科学和工程中有着广泛的应用。

MATLAB作为一种出色的计算工具，提供了丰富的分形数学方法和相关函数，使得研究者能够更方便地探索和实现分形数学的各种应用。

本文将介绍一些常见的MATLAB中的分形数学方法以及它们的应用。

首先，让我们从最经典的分形图像开始，即“分形树”。

分形树是一种具有自相似性质的图形，它的分支结构在各个层次上都呈现出类似的形状。

在MATLAB中，我们可以使用递归算法来生成分形树。

首先定义一个起始点，然后在每一个分支处分别生成更小的分支，直到达到指定的层数。

接下来，我们介绍分形图像中的另一个重要概念：分形维度。

分形维度是描述分形图像复杂性的一个重要指标，它可以帮助我们量化和比较不同分形图像的特征。

在MATLAB中，我们可以使用盒计数法来计算一个图像的分形维度。

该方法通过在图像上放置越来越小的盒子，并统计图像中相应位置包含的点的个数，从而得到一个关于盒子尺寸的函数。

通过对这个函数进行线性拟合，我们可以得到图像的分形维度。

除了生成图像和计算分形维度外，MATLAB还提供了其他一些强大的分形数学方法。

例如，通过MATLAB的迭代函数系统，我们可以构建一些令人惊叹的分形图案。

迭代函数系统是指由一系列函数和相应的权重所构成的系统，通过重复应用这些函数，并根据权重分配概率来生成图像。

通过调整函数和权重的选择，我们可以创造出各种各样的分形图案。

此外，MATLAB还提供了许多用于分形分析和建模的工具。

例如，我们可以使用MATLAB的分形相关函数来计算一个时间序列数据的分形维度，从而分析其复杂性和变化规律。

此外，MATLAB还提供了一些用于生成分形地形模型的函数，这对于地理信息系统和仿真研究非常有用。

综上所述，MATLAB为分形数学提供了丰富的工具和函数，使得研究者能够更方便地探索和实现分形数学的各种应用。

无论是生成分形图像、计算分形维度还是进行分形分析和建模，MATLAB都能够提供强大的支持。

几个分形的matlab实现(可编辑修改word版)

三、实验程序及注释：p=[o 0:10 0]：为初始两个点的坐标，第-列为X 坐标，第一列为y 坐标n=2;粒1为结点数A= [cos(pi/3) -sin(pi/3) :sin(pi/3) cos(pi/3)] : %旋转矩阵 for k=l:4d=diff(p)/3;算和邻两个点的坐标之差，得到相邻两点确定的向量%则<1就计算出毎个向量长度的三分之与题中将线段三等分对应 m=4*n-3;$迭代公式q=p(l:n-l,:);弔以原点为起点，前n-l 个点的坐标为终点形成向量p(5:4:m, :)=p(2:n,:);気迭代后处于4k+l 位置上的点的坐标为迭代前的和应坐标 p(2:4:m, :) =q+d: p(3:4:m, :〉=q+d+d*A'; p(4:4:m, :)=q+2*d; plot(p(:, l),p(:>2)) axis([0 10 0 10]) 四、实验数据记录：由第三部分的程序，可得到如下的Koch 分形曲线:五、注记：1・参照实验方法，可绘制如下生成元的Koch 分形曲线:%用向量方法计算迭代后处于4k+2位置上的点的坐标■^6用向量方法计算迭代后处于低+3位置上的点的坐标 %用向量方法计算迭代后处于4k 位置上的点的坐标 %迭代后新的结点数目 n=m ： end%绘出每相邻两个点的连线10■•・・・・■-------■RJ<7〜9 876 54323455769 10由于中间三分之一部分是一个正方形时，有很多连接的部分。

所以我们将髙度压缩到原来的0.7倍，即中间部分为一个长与宽之比为1:0.7的矩形时，得到程序和曲线如下： P=[o 0:10 0];为初始两个点的坐标，第•列为X 坐标，第一列为y 坐标此时，旋转矩阵为:A If os (亍)-sinQ)sin( ) cos(—)2 2丿程序和曲线如下：p=Eo o ：io 0]； n=2;A=EO -1;1 0]; for k=l:4d=diff(p)/3;喙hff 计算和邻两个点的坐标之差，得到相邻两点确定的向量$则＜1就计算出毎个向量长度的三分之与题中将线段三等分对应m=5*n-4; $迭代公式q=p(l:n-l, :) ; %以原点为起点，前n-l 个点的坐标为终点形成向量p(6:5:m, :) =p(2:n,:);p(2:5:m, :〉=q+d;p(3:5:m, :〉=q+d+d*A';%P 为初始两个点的坐标，第•列为X 坐标，第一列为y 坐标如为结点数 %旋转矩阵%迭代后处于5k-l 位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标%用向量方法计算迭代后处于5k ・2位置上的点的坐标%用向量方法计算迭代后处于5k-3位置上的点的坐标p(4:5:m, :) =q+2*d+d*A';驚用向呈方法计算迭代后处于5k-4位置上的点的坐标 p(5:5:m, :)=q+2*d: n=m ： end%用向量方法计算迭代后处于5k 位置上的点的坐标 %迭代后新的结点数目plot(p(:, l),p(:,2)) axis([0 10 0 10])%绘出每相邻两个点的连线n=2;$n 为结点数A=[0 -1;1 0]; 弔旋转矩阵 for k=l:4d=diff(p)/3;算和邻两个点的坐标之差，得到相邻两点确定的向量$则<1就计算出每个向量长度的三分之与题中将线段一等分对应 m=5*n-4; %迭代公式q=p(l:n-U ：) ； %以原点为起点，前n-l 个点的坐标为终点形成向量p(6:5:m, :)=p(2:n, :); %迭代后处于5k-l 位置上的点的坐标为迭代前的和应坐标 p(2:5:m. :>=q+d;黑用向量方法计算迭代后处于3k ・2位置上的点的坐标p(3:5:m, :)=q+d+0. 7*d*A* ; %用向量方法计算迭代后处于3k+3位置上的点的坐标p(4:5:m, :)=q+2*d+0. 7*d*A* ;用向量方法计算迭代后处于5k+4位置上的点的坐标p(5:5:m, :〉=q+2*d; n=m ： endplot(P(:, l),p(:>2)) axis([0 10 0 10])图52.参照实验方法，我们由四边形的四个初始点出发，对于四边形的每条边，生成元如下:%用向量力法计算迭代后处于5k 位a 上的点的坐标 %迭代后新的结点数目%绘小每相邻两个点的连线可得到火焰般的图形。

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