中位线概念

1.中位线概念：(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位

线．(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．注意：(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段．(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段．(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线．2.中位线定理：(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．(2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．

如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。角平分线能得到相同的两个角。

角平分线上的点，到角两边的距离相等。

平行四边形的定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的定义、性质：（1）平行四边形对边平行且相等。（2）平行四边形两条对角线互相平分。（菱形和正方形）（3）平行四边形的对角相等，两邻角互补（4）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论）（5）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形）（6）平行四边形是旋转对称图形，旋转中心是两条对角线的交点。（7）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。（8）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。（9）一般的平行四边形不是轴对称图形，菱形是轴对称图形。（10）平行四边形ABCD 中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和（可

用余弦定理证明）。（11）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。判定：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（6）一组对边平行一组对角线互相平分的四边形是平行四边形；（7）一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形；

最常用的：19.1 平行四边形1. 平行四边形：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2. 平行四边形的性质：○1平行四边形的对边相等；○2平行四边形的对角相等；○3平行四边形的对角线互相平分。3. 平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（定义）②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。4. 三角形中位线性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。19.2 特殊的平行四边形1. 矩形：有一个角是直角的平行四边形。2. 矩形的性质：○1矩形的四个角都是直角；○2矩形的对角线互相平分。

3. 直角三角形性质：○1在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么30°角所对的直角边是斜边的一半。○2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

4. 矩形的判定：○1有一个角是直角的平行四边形是矩形。（定义）○2对角线相等的平行四边形是矩形。○3有三个角是直角的四边形是矩形。

5. 菱形：有一组邻边相等的平行四边形。S菱形=1/2×AB （A、B为两条对角线）

6. 菱形的性质：○1菱形的四边都相等；○2菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

7. 菱形的判定：○1一组邻边相等的平行四边形是菱形。（定义）○2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。○3四条边相等的四边形是菱形。

8. 正方形：四条边相等，四个角相等。

9. 正方形的性质：正方形既是矩形，

又是菱形。所以它具有矩形的性质，又具有菱形的性质。10. 正方形的判定：○1对角线相等的菱形是正方形。○2有一个角为直角的菱形是正方形。○3对角线互相垂直的矩形是正方形。○4一组邻边相等的矩形是正方形。○5一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。○6对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。○7对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。○8一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。19.3 梯形1. 梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。2. 等腰梯形：两腰相等的梯形。等腰梯形的性质：1等腰梯形同一底边上的两个角相等；2等腰梯形两条对角线相等。等腰梯形的判定：同一底边上的两个角的梯形是等腰梯形。

定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形性质1．矩形的四个角都是直角,对边相等2．矩形的对角线相等3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）。5．对边平行且相等6．对角线互相平分7.矩形具有平行四边形的所有性质判定1．有一个角是直角的平行四边形是矩形2．对角线相等的平行四边形是矩形3．有三个角是直角的四边形是矩形4．四个内角都相等的四边形为矩形5．关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形6．对于平行四边形，若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形7．对角线互相平分且相等的四边形是矩形8．对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形

定义四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。各边相等且有三个角是直角的四边形叫做正方形。有一组邻边相等的矩形是正方形。有一组邻边相等且一个角是

直角的平行四边形是正方形。有一个角为直角的菱形是正方形。对角线平分且相等，并且交角为直角的四边形为正方形。性质边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直内角：四个角都是90°；对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。判定方法1：对角线相等的菱形是正方形。2：对角线互相垂直的矩形是正方形，正方形是一种特殊的矩形。3：四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。4：一组邻边相等的矩形是正方形。5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。6：四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形。7.有一个角为直角的菱形是正方形。依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。正方形的中点四边形是正方形。面积计算公式：S=a×a 或：S=对角线×对角线÷2 周长计算公式: C=4a 正方形是特殊的矩形, 菱形，平行四边形，四边形

义一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质对角线互相垂直且平分；四条边都相等；对角相等，邻角互补；每条对角线平分一组对角，菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的√3倍。菱形具备平行四边形的一切性质。[判定一组邻边相等的平行四边形是菱形四边相等的四边形是菱形关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. 依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形），对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形