初中一次函数讲义

环球雅思教育学科教师讲义
讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期：
【考纲说明】
1、了解一次函数的定义、一般式以及定义域。

2、掌握一次函数与正比例函数各自的函数性质、图象特征，它们二者的关系。

3、理解一次函数的图像，掌握图像的画法，直线的截距的意义。

4、运用一次函数解决实际问题。

5、本部分在中考中占10分左右。

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【知识梳理】
一、一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。

当b=0时，一次函数y=kx，又叫做正比例函数。

⑴一次函数的解析式的形式是y=kx+b，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
⑵当b=0，k≠0时，y=kx仍是一次函数．
⑶当b=0，k=0时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
二、正比例函数的性质
正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零
当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．
(1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ）
(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 三、一次函数的性质
一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数
一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-
k
b
，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） （1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-
k
b
，0） （3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限
⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨
⎧<>0
b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩
⎨⎧<<00
b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴. （6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图
象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.
五、正比例函数与一次函数之间的关系
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
六、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
【经典例题】
1. （2011安徽芜湖，7，4分）已知直线y kx b =+经过点(,3)k 和(1,)k ，则k 的值为（ ）.
A B ． C D ．
2. （2011广东广州市，9，3分）当实数x 的取值使得x －2有意义时，函数y =4x +1中y 的取值范围是（ ）． A ．y ≥－7
B ．y ≥9
C ．y ＞9
D ．y ≤9
3. （2011山东滨州，6，3分）关于一次函数y=－x+1的图像，下列所画正确的是( )
4. （ 2011重庆江津， 4，4分）直线y=x －1的图像经过象限是( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限
5. （2011山东泰安，13 ，3分）已知一次函数y=mx +n -2的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ）
A.m ＞0,n ＜2
B. m ＞0,n ＞2
C. m ＜0,n ＜2
D. m ＜0,n ＞2
6. （2011浙江省，9，3分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点坐标为A （－2,4），B （4，2），直线y=kx-2与线段AB 有交点，则k 的值不可能是（ ）
A.-5
B.-2
C.3
D. 5
第6题
7. （2011江西，5，3分）已知一次函数y =x +b 的图像经过一、二、三象限，则b 的值可以是（ ）.
A.-2
B.-1
C.0
D.2
8. （2011江苏苏州，10,3分）如图，已知A 点坐标为（5,0），直线y=x ＋b （b>0）与y 轴交于点B ，连接AB ，∠α=75°，则b 的值为（ ） A.3 B.
335 C.4 D.4
3
5
9. （2011江西，14，3分）将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案。

设菱形中较小角为x 度，平行四边形中较大角为y 度，则y 与x 的关系式是 。

10．（2011四川成都，21,4分）在平面直角坐标系xOy 中，点P(2，a )在正比例函数1
2
y x =的图象上，则点Q( 35a a -，)位于第______象限．
【课堂练习】
1. （2011四川乐山8，3分）已知一次函数y ax b =+的图象过第一、二、四象限，且与x 轴交于点（2，0），则关于x 的不等式(1)0a x b -->的解集为
A ．x<－1
B ．x> -1
C ． x>1
D ．x<1
2. （2011安徽芜湖，7,4分）已知直线y kx b =+经过点(,3)k 和(1,)k ，则k 的值为（ ）.
A B ． C D ．
3. （2011湖北黄石，10，3分）已知梯形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A （－1，0），B （5，0），C （2，2），D （0，
2），直线y=kx +2将梯形分成面积相等的两部分，则k 的值为 A. －
32 B. －92 C. －74 D. －7
2
4. （2011河北，5，2分）一次函数y=6x+1的图象不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5. （2011山东枣庄，10，3分）如图所示，函数x y =1和3
4
312+=x y 的图象相交于（－1，1），（2，2）两点．当21y y >时，x 的取值范围是（ ）
A ．x ＜－1
B ．—1＜x ＜2
C ．x ＞2
D ． x ＜－1或x ＞2
6. （2011湖南怀化，7，3分）在平面直角坐标系中，把直线y=x 向左平移一个单位长度后，其直线解析式为 A ．y=x+1 B.y=x-1 C.y=x D. y=x-2
7. （2011上海，12，4分）一次函数y ＝3x －2的函数值y 随自变量x 值的增大而_____________（填“增大”或“减小”）． 8. （2011湖南衡阳，15，3分）如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴的交点坐标为（2，0），则下列说法：①y 随
x 的增大而减小；②b >0；③关于x 的方程0kx b +=的解为2x =．其中说法正确的有 （把你认为说法
正确的序号都填上）．
9. (20011江苏镇江,16,2分)已知关于x 的一次函数y=kx+4k-2(k≠0).若其图象经过原点,则k=_____;若y 随x 的增大而减小,则k 的取值范围是________.
10. (2011 浙江湖州，19，6) 已知：一次函数y kx b =+的图象经过M (0，2)，(1，3)两点． (l) 求k 、b 的值；
(2) 若一次函数y kx b =+的图象与x 轴的交点为A (a ，0)，求a 的值．
11. （2011浙江省，23，12分）设直线l 1:y 1=k 1x +b 1与l 2:y 2=k 2x +b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．
(1) 已知直线①22
1
+-
=x y ；②2+=x y ；③22+=x y ；④42+=x y 和点C （0,2）．则直线 和 是点C 的直角线（填序号即可）；
(2) 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A（3,0）、B（2,7）、C（0,7），P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．
【课后作业】
1. （2011广西桂林，8，3分）直线y=kx-1一定经过点（）．
A．（1，0）B．（1，k）C．（0，k）D．（0，-1）
2．（2012乐山）若实数a、b、c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则函数y=ax+c的图象可能是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（2012•济宁）周一的升旗仪式上，同学们看到匀速上升的旗子，能反应其高度与时间关系的图象大致是（）
A．B．
C．D．
4．（2012娄底）对于一次函数y=﹣2x+4，下列结论错误的是（）
A．函数值随自变量的增大而减小
B．函数的图象不经过第三象限
C．函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象
D．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）
5. （2011湖北随州，14，3分）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC扫过的面积为（）
A．4 B．8 C．16 D
．
6. （2011贵州遵义，7，3分）若一次函数()22--=x m y 的函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是
A. 0<m
B. 0>m
C. 2<m
D. 2>m
7. （2011广东清远，9，3分）一次函数2y x =+的图象大致是（ ）
8.（2012上海）已知正比例函数y=kx （k≠0），点（2，﹣3）在函数上，则y 随x 的增大而 （增大或减小）． 9. （2011青海西宁，20，2分）如图11，直线y =kx +b 经过A （﹣1，1）和B （7，0）两点，则不等式0＜kx +b ＜﹣
x 的解集为______．
10．(2011湖南郴州市，20，6分)求与直线y x =平行，并且经过点P(1，2)的一次函数解析式．
11. (2011浙江绍兴，21，10分)在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点.例如，图中过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB 的周长与面积相等，则点P 是和谐点.
（1）判断点(1,2),(4,4)M N 是否为和谐点，并说明理由；
（2）若和谐点(,3)P a 在直线()y x b b =-+为常数上，求点,a b 的值
.
O是坐标原点，点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(0，b)(b>0)．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P'（点P'不在y轴上），连结PP'，P'A，P'C．设点P的横坐标为a．
(1)当b＝3时，
①求直线AB的解析式；
②若点P'的坐标是(-1，m)，求m的值；
(2)若点P在第一象限，记直线AB与P'C的交点为D．当P'D：DC=1：3时，求a的值；
(3)是否同时存在a，b，使△P'CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．
【课后反馈】
本次______________同学课堂状态：_________________________________________________________________
本次课后作业：___________________________________________________________________________________
需要家长协助：____________________________________________________________________________________
家长意见：________________________________________________________________________________________
【参考答案】
【经典例题】
1、B
2、B
3、C
4、D
5、D
6、B
7、D
8、B
9、y=90+x 10、四 【课堂练习】
1、A
2、B
3、A
4、D
5、D
6、B
7、增大
8、 ①②③
9、
1
2
，k<0 10、(1)由题意得2
3b k b =⎧⎨+=⎩
，解得12k b =⎧⎨=⎩，∴k ，b 的值分别是1和2.
(2)由(1)得2y x =+，∴当y ＝0时，x ＝－2，即a ＝－2. 11、（1）画图象可知，直线①与直线③是点C 的直角线；
（2）设P 坐标为(0，m)，则PB ⊥PB 于点P 。

因此，AB 2=(3-2)2+72=50, 又 ∵ PA 2=PO 2+OA 2=m 2+32，PB 2=PC 2+BC 2=(7-m)2+22 ,
∴AB 2=PA 2+PB 2=m 2+32+(7-m)2+22=50
解得：m 1=1，m 2=6.
当m=1时，l 1为：y 1=13+x ， l 2为：y 2=1
31
+-x ； 当m=6时，l 1为：y 1=6
21
+x , l 2为：y 2=62+-x ；
【课后作业】
1、D
2、A
3、D
4、C
5、C
6、D
7、A
8、 减小
9、﹣7＜x ＜﹣1 10、设一次函数解析式为y kx b =+， 因为图象与直线y x =平行，所以1k =， 图象过点P(1，2)，所以211b =⨯+，所以1b =， 所以一次函数解析式1y x =+.
11、（1）122(12),442(44),⨯≠⨯+⨯=⨯+
∴点M 不是和谐点，点N 是和谐点.
（2）由题意得，
当0a >时，(3)23,a a +⨯=
6a ∴=，点(,3)P a 在直线y x b =-+上，代入得9b =；
当0a <时，(3)23a a -+⨯=-
6a ∴=-，点(,3)P a 在直线y x b =-+上，代入得3b =-.
6,96, 3.a b a b ∴===-=-或
12、解：(1)①设直线AB 的解析式为y=kx +3，
把x ＝－4，y ＝0代人上式，得－4k +3＝0， ∴34
k =
， ∴334y x =+ ②由已知得点P 的坐标是(1，m )， ∴3134m =⨯+，∴334
m =.
(2) ∵PP '∥AC ，
∴△PP 'D ∽△ACB ， ∴
''21,43
P D P D a DC CA a ==+即， ∴45a =. (3)以下分三种情况讨论．
①当点P 在第一象限时，
i)若∠AP 'C = 90°，P 'A = P 'C （如图1），过点P '作P'H ⊥x 轴于点'H ，∴PP '=CH =AH =P'H =
12AC ， ∴12(4)2a a =+，∴43a =
． ∵P'H ＝PC =12
AC ，△ACP ∽△AOB ， ∴12
OB PC OA AC ==，即142b =， ∴2b =．
ii)若∠P'AC =90°，P'A = CA (如图2)，则PP '=AC ，∴2a ＝a +4，∴ a ＝4．
∵P'A ＝PC ＝AC , △ACP ∽△AOB ， ∴1OB PC OA AC
==，即14=b ，∴4b =．
iii)若∠P'CA =90°，则点P '，P 都在第一象限，这与条件矛盾，
∴△P'CA 不可能是以C 为直角顶点的等腰直角三角形．
②当点P 在第二象限时，∠P'CA 为钝角（如图3），此时△P'CA 不可能是等腰直角三角形．
③当点P 在第三象限时，∠PAC 为钝角（如图4）， 此时△P'CA 不可能是等腰直角三角形，∴所有满足条
件的a ，b 的值为44342
a a
b b ⎧==⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩或
.。