(完整版)分式的运算及题型讲解

§17.2分式的运算

一、分式的乘除法

1、法则：

（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。(意思就是,分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）. 用式子表示：bd ac d c b a =•

（2）除法法则：分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。

用式子表示：

2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同,即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3)分式乘除法的结果要化简到最简的形式。

二、分式的乘方

1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则,分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方,然后再相除。

用式子表示：（其中n 为正整数,a ≠0）

2、注意事项：（1)乘方时,一定要把分式加上括号；(2）在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时,应先算乘方,再算乘除，有多项式时应先因式分解,再约分；

（3）最后结果要化到最简。

三、分式的加减法

bc ad c d b a d c b a =•=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛

（一)同分母分式的加减法

1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

用式子表示：

2、注意事项:（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；

（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式.

（二）异分母分式的加减法

1、法则：异分母分式相加减,先通分，转化为同分母分式后，再加减。用式子表示：bd bc ad bd

bc bd ad d c b a ±=±=±。 2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。(2）若分式加减运算中含有整式,应视其分母为1,然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。

四、分式的混合运算

1、运算规则:分式的加、减、乘、除、乘方混合运算,先乘方，再乘除，最后算加减。遇到括号时，要先算括号里面的。

2、注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；(3）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式.

例计算：（1)()212242-⨯-÷+-a a a a ； (2）22

2---x x x ; (3)x x x x x x 2421212-+÷⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-+ 【分类解析】

b c a b c b a ±=±

一、分式运算的几种技巧

1、先约分后通分技巧例 计算2312+++x x x +4222--x x x 分析:不难发现，两个分式均能约分,故先约分后再计算 解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21+x +2+x x =21++x x

2、分离整数技巧例 计算233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x -341

2+-x x

分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。

解：原式=231

)23(22+-++-x x x x -651)65(22+-++-x x x x —3412+-x x

=1+2312+-x x —1—651

2+-x x -3412+-x x

=)2)(1(1

--x x —)3)(2(1--x x -)3)(1(1--x x

=)3)(2)(1()2()1(3--------x x x x x x =)3)(2)(1(----x x x x =-)3)(2)(1(---x x x x

3、裂项相消技巧例 计算)1(1+x x +)3)(1(2

++x x +)6)(3(3++x x

分析：此类题可利用)(1m n n +=m 1（n 1-m 1）裂项相消计算.

解：原式=(x 1-11+x )+22(11+x -31+x ）+33（31+x -61+x ）

=x 1—61+x =)6(6+x x

练习：

4、分组计算技巧例 计算21-a +12+a —12-a —21+a

分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a 2-4，第二项、第三项分母乘积为a 2—1，采取分组计算

简捷.

解：原式=（21-a -21+a ）+（12+a —12-a ）

=44

2-a +142--a =)1)(4(1222--a a

练习： 5、分式求值问题全解

1）字母代入法

例1。 b=a+1,c=a+2，d=a+3,求d

a d d c

b

c c b a b

d a a +++++++++的值。 【解析】 仔细观察已知条件，虽然出现的字母很多,但都可以用一个字母代替：

a=a ，b=a+1，c=a+2,d=a+3

所以可以用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简

d

a d d c

b

c c b a b

d a a +++++++++ =

3332122113+++++++++++++++++++a a a a a a a a a a a a a a =3

2363233132++++++++++a a a a a a a a =

)2(32)1(31323+++++++++a a a a a a a =3

1311++ =3

5 【探讨】 当已知条件中不同的字母都可以用一个字母表示时，第一个要想到的方法就是字母带入法，因为最后的结果一定是由有理数或者某个字母表示,所以用这种方法能不能得到正确结果就在于自己的分式化简能力了。

2） 设值代入法

例2。 已知c

z b y a x ==，求证：22a x ca bc ab zx yz xy =++++ 【解析】这道题也可以用字母代入法，可以得到x a b y =，x a c z =，代入后分式的分子分母中有分式,化简麻烦。我们用一种新的代入方式,考虑到a x 、b

y 、c z 连等，让它们都等于k 则 x=ak y=bk z=ck 代入得 ca

bc ab zx yz xy ++++=ca bc ab ckak bkck akbk ++++ =2k ca

bc ab ca bc ab ++++ =22

2

a x k = 【探讨】 当遇到连等式，可以采用以下三种方式来运用这个条件