第八章-曲线积分与曲面积分部分考研真题及解答
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第八章 曲线积分与曲面积分 8.1对弧长的曲线积分
8.2对坐标的曲线积分
07.1) 设曲线:(,)1((,)L f x y f x y =具有一阶连续偏导数),过第II 象限内的点M 和第IV 象限内的点N ,T 为L 上从点M 到点N 的一段弧,则下列小于零的是 ( B ) (A )
(,)T
f x y dx ⎰
. (B)
(,)T
f x y dy ⎰
.
(C)
(,)T
f x y ds ⎰
. (D)
(,)(,)x y T
f x y dx f x y dy ''+⎰
.
04.1) 设L 为正向圆周22
2
=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分
⎰-L
ydx xdy 2的值为
π2
3
.(利用极坐标将曲线用参数方程表示) 09.1)
已知曲线2
:(0L y x x =≤≤
,则L
xds ⎰=
136
10.1)已知曲线L 的方程为1||,y x =-([1,1]),x ∈-起点为(1,0),-终点为(1,0),则曲线积分
2L
xydx x dy +=⎰
0 (直接算或格林)
01.1)计算222222()(2)(3)L
I y z dx z x dy x y dz =
-+-+-⎰
,其中L 是平面2x y z ++=与
柱面|x |+|y |=1的交线,从z 轴正向看去,L 为逆时针方向。
解:记S 为平面2x y z ++=上L 所围部分的上侧,D 为S 在xOy 坐标面上的投影。由斯托克斯公式得
(24)(26)(26)S
I y z dydz z x dzdx x y dxdy
=--+--+--
⎰⎰(423)S
x y z dS =++⎰⎰2(6)D
x y dxdy =--+⎰⎰12D
dxdy =-⎰⎰=-24
08.1)计算曲线积分
2sin 22(1)L
xdx x ydy +-⎰
,其中L 是曲线sin y x =上从点(0,0)到点
(,0)π的一段.(路径表达式直接代入)
8.3格林公式
02.1)设函数()f x 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数,L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线,其起点为(,)a b ,终点为(,)c d ,记2
2211()()1L
x I y f xy dx y f xy dy y y ⎡⎤⎡⎤=
++-⎣⎦⎣⎦⎰
(1)证明曲线积分I 与路径L 无关;(2)当ab cd =时,求I 的值.
03.1) 已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界. 试证: (1)
dx ye dy xe dx ye dy xe
x L
y x L
y
sin sin sin sin -=-⎰⎰--; (2) .22sin sin π≥--⎰dx ye dy xe x L
y
【详解】 方法一: (1) 左边=dx e dy e x y ⎰⎰
--0sin 0
sin π
π
ππ=⎰-+π
π0
sin sin )(dx e e x x ,
右边=⎰
⎰--π
π
ππ0
sin sin dx e
dy e
x
y
=⎰-+π
π0
sin sin )(dx e e x x ,
所以
dx ye dy xe dx ye dy xe
x L
y x L y
sin sin sin sin -=-⎰⎰--.
(2) 由于2sin sin ≥+-x x
e e
,故由(1)得
.2)(20
sin sin sin sin πππ
≥+=-⎰⎰--dx e e dx ye
dy xe
x x x
L
y
方法二:
(1) 根据格林公式,得
⎰⎰⎰--+=-D
x y x L
y dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin , ⎰⎰⎰+=---D
x y x L
y dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin . 因为D 具有轮换对称性,所以⎰⎰-+D
x y dxdy e e )(sin sin =⎰⎰+-D
x
y dxdy e e )(sin sin , 故
dx ye dy xe dx ye dy xe
x L
y x L
y
sin sin sin sin -=-⎰⎰--.
(2) 由(1)知
⎰⎰⎰--+=-D
x y x L
y dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin =dxdy e dxdy e D
D
x y ⎰⎰⎰⎰-+sin sin =dxdy e dxdy e D
D
x
x ⎰⎰⎰⎰-+sin sin (利用轮换对称性) =
.22)(2sin sin π=≥+⎰⎰⎰⎰-dxdy dxdy e e
D
D
x x
05.1)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分
⎰
++L
y x xydy
dx y 4
222)(ϕ的值恒为同一常数.
(I )证明:对右半平面x >0内的任意分段光滑简单闭曲线C ,有
022)(4
2
=++⎰
C
y
x xydy
dx y ϕ;
(II )求函数)(y ϕ的表达式.
【详解】 (I )
Y