第八章-曲线积分与曲面积分部分考研真题及解答

第八章 曲线积分与曲面积分 8.1对弧长的曲线积分
8.2对坐标的曲线积分
07.1) 设曲线:(,)1((,)L f x y f x y =具有一阶连续偏导数)，过第II 象限内的点M 和第IV 象限内的点N ，T 为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列小于零的是 （ B ） (A )
(,)T
f x y dx ⎰
. (B)
(,)T
f x y dy ⎰
.
(C)
(,)T
f x y ds ⎰
. (D)
(,)(,)x y T
f x y dx f x y dy ''+⎰
.
04.1) 设L 为正向圆周22
2
=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分
⎰-L
ydx xdy 2的值为
π2
3
.（利用极坐标将曲线用参数方程表示） 09.1)
已知曲线2
:(0L y x x =≤≤
，则L
xds ⎰=
136
10.1)已知曲线L 的方程为1||,y x =-([1,1]),x ∈-起点为(1,0),-终点为(1,0),则曲线积分
2L
xydx x dy +=⎰
0 （直接算或格林）
01.1)计算222222()(2)(3)L
I y z dx z x dy x y dz =
-+-+-⎰
，其中L 是平面2x y z ++=与
柱面|x |+|y |=1的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向。

解：记S 为平面2x y z ++=上L 所围部分的上侧，D 为S 在xOy 坐标面上的投影。

由斯托克斯公式得
(24)(26)(26)S
I y z dydz z x dzdx x y dxdy
=--+--+--
⎰⎰(423)S
x y z dS =++⎰⎰2(6)D
x y dxdy =--+⎰⎰12D
dxdy =-⎰⎰=-24
08.1)计算曲线积分
2sin 22(1)L
xdx x ydy +-⎰
，其中L 是曲线sin y x =上从点(0,0)到点
(,0)π的一段.（路径表达式直接代入）
8.3格林公式
02.1)设函数()f x 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，记2
2211()()1L
x I y f xy dx y f xy dy y y ⎡⎤⎡⎤=
++-⎣⎦⎣⎦⎰
（1）证明曲线积分I 与路径L 无关；（2）当ab cd =时，求I 的值.
03.1) 已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1)
dx ye dy xe dx ye dy xe
x L
y x L
y
sin sin sin sin -=-⎰⎰--; (2) .22sin sin π≥--⎰dx ye dy xe x L
y
【详解】 方法一： (1) 左边=dx e dy e x y ⎰⎰
--0sin 0
sin π
π
ππ=⎰-+π
π0
sin sin )(dx e e x x ，
右边=⎰
⎰--π
π
ππ0
sin sin dx e
dy e
x
y
=⎰-+π
π0
sin sin )(dx e e x x ，
所以
dx ye dy xe dx ye dy xe
x L
y x L y
sin sin sin sin -=-⎰⎰--.
(2) 由于2sin sin ≥+-x x
e e
，故由（1）得
.2)(20
sin sin sin sin πππ
≥+=-⎰⎰--dx e e dx ye
dy xe
x x x
L
y
方法二：
（1） 根据格林公式，得
⎰⎰⎰--+=-D
x y x L
y dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin ， ⎰⎰⎰+=---D
x y x L
y dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin . 因为D 具有轮换对称性，所以⎰⎰-+D
x y dxdy e e )(sin sin =⎰⎰+-D
x
y dxdy e e )(sin sin ， 故
dx ye dy xe dx ye dy xe
x L
y x L
y
sin sin sin sin -=-⎰⎰--.
(2) 由(1)知
⎰⎰⎰--+=-D
x y x L
y dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin =dxdy e dxdy e D
D
x y ⎰⎰⎰⎰-+sin sin =dxdy e dxdy e D
D
x
x ⎰⎰⎰⎰-+sin sin （利用轮换对称性） =
.22)(2sin sin π=≥+⎰⎰⎰⎰-dxdy dxdy e e
D
D
x x
05.1)设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分
⎰
++L
y x xydy
dx y 4
222)(ϕ的值恒为同一常数.
（I ）证明：对右半平面x >0内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有
022)(4
2
=++⎰
C
y
x xydy
dx y ϕ；
（II ）求函数)(y ϕ的表达式.
【详解】 （I ）
Y
l 3
如图，将C 分解为：21l l C +=，另作一条曲线3l 围绕原点且与C 相接，则
=
++⎰
C
y x xydy
dx y 4
222)(ϕ-
++⎰
+3
14
222)(l l y x xydy
dx y ϕ022)(3
24
2=++⎰
+l l y x xydy
dx y ϕ.
（II ） 设24
24
()
2,22y xy
P Q x y
x y ϕ=
=++，,P Q 在单连通区域0x >内具有一阶连续偏导数，
由（Ⅰ）知，曲线积分
2
4
()22L
y dx xydy
x y
ϕ++⎰
在该区域内与路径无关，故当0x >时，总有
Q P
x y
∂∂=∂∂. 2425
2422422(2)4242,(2)(2)Q y x y x xy x y y x x y x y ∂+--+==∂++ ① 243243
242242()(2)4()2()()4().(2)(2)
P y x y y y x y y y y y y x y x y ϕϕϕϕϕ'''∂+-+-==∂++ ② 比较①、②两式的右端，得
435
()2,
()4()2.
y y y y y y y ϕϕϕ'=-⎧⎨'-=⎩ 由③得2
()y y c ϕ=-+，将()y ϕ代入④得 5
3
5
242,y cy y -= 所以0c =，从而2
().y y ϕ=- 06.1)设在上半平面D=
(){},0x y y >内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的
t >0都有
()()2,,f tx ty t f x y =.
证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有()()2
,,0yf x y dx xf x y dy -=⎰
证：把2
(,)(,)f tx ty t
f x y t -=两边对求导得：(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty tf x y ''+=-
令 1t =，则(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 再令 (,),(,)P yf x y Q xf x y ==-
③ ④
所给曲线积分等于0的充分必要条件为
Q P
x y ∂∂=∂∂今 (,)(,)x Q f x y xf x y x
∂'=--∂
(,)(,)y P
f x y yf x y y
∂'=+∂ 要求
Q P
x y
∂∂=∂∂成立，只要(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 我们已经证明，Q P
x y
∂∂∴
=∂∂，于是结论成立。

8.4对面积的曲面积分
07.1) 设曲面:1x y z ∑++=，则
dS y x ⎰⎰∑
+|)|(
解：由于曲面∑关于平面x =0对称，因此dS x ⎰⎰∑
=0. 又曲面:1x y z ∑++=具有轮
换对称性，于是
dS y x ⎰⎰∑
+|)|(=dS y ⎰⎰∑
||=dS x ⎰⎰∑
||=dS z ⎰⎰∑
||=
dS z y x ⎰⎰∑
++|)||||(|31
=
dS ⎰⎰∑
3123831⨯⨯=
10.1)设P 为椭球面2
2
2
:1S x y z yz ++-=上的动点，若S 在点P 处的切平面与xOy 面垂
直，求点P 的轨迹C
，并计算曲面积分
2x y z
I ∑
+-=，其中∑是椭球面位
于C 上方的部分.
8.5对坐标的曲面积分
06.1)
设
∑
是锥面
1)
Z ≤≤的下侧，则
23(1)2xdydz ydzdx z dxdy π∑
++-=⎰⎰ (补一个曲面221
:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩1上侧)
8.6高斯公式
05.1) 设Ω是由锥面22y x z +=
与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω
的整个边界的外侧，则
⎰⎰∑
=++zdxdy ydzdx xdydz 3
)2
21(2R -
π.(用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可) 08.1)设曲面∑
是z =2
xydydz xdzdx x dxdy ∑
++=⎰⎰4π （高斯） 04.1) 计算曲面积分,)1(3222
33dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑
-++=
其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.
【详解】 取1∑为x o y 平面上被圆12
2
=+y x 所围部分的下侧，记Ω为由∑与1∑围成的空间闭区域，则
dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑+∑-++=
1
)1(3222
33 .)1(3221
2
3
3
dxdy z
dzdx y dydz x ⎰⎰∑-++-
由高斯公式知
dxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x ⎰⎰⎰
⎰⎰Ω
∑+∑++=-++)(6)1(322222331
=rdz r z dr d r )(6
20
1
10
22
⎰
⎰⎰
-+π
θ
=.2)]1()1(2
1
[122
3
2
21
0ππ=-+-⎰
dr r r r r
而
⎰⎰⎰⎰≤+∑=--=-++1
233221
33)1(322y x dxdy dxdy z dzdx y dydz x π，
故 .32πππ-=-=I
07.1) 计算曲面积分23,
I xzdydz zydzdx xydxdy ∑
=
++⎰⎰其中∑为曲面
2
2
1(01)4
y z x z =--≤≤的上侧。

【详解】 补充曲面：2
2
1:1,04
y x z ∑+==，取下侧. 则 1
23I xzdydz zydzdx xydxdy ∑+∑=
++⎰⎰1
23xzdydz zydzdx xydxdy ∑-++⎰⎰
=
(2)3D
z z dxdydz xydxdy Ω
++⎰⎰⎰⎰⎰
其中Ω为∑与1∑所为成的空间区域，D 为平面区域2
2
14
y x +≤.
由于区域D 关于x 轴对称，因此
30D
xydxdy =⎰⎰. 又
(2)3z z dxdydz zdxdy Ω
Ω
+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=1
1
332(1).z
D zdz dxdy z z dz ππ=⋅-=⎰⎰⎰⎰
其中z D 2
2
:14
y x z +≤-. 09.1) 计算曲面积分32222
()
xdydz ydzdx zdxdy I x y z ∑
++=++⎰⎰
其中∑是曲面222
224x y z ++=的外
侧。

【考点】3R 中复连通域上的 S t okes 定理、Gua ss 公式。

【解析与点评】32222
()
xdydz ydzdx zdxdy I x y z ∑
++=
++⎰⎰
，其中222
224x y z ++=
记33
3
22222222222
2
,,()()()
x
y
z X Y Y x y z x y z x y z ===++++++，则
222
5
2222
2()X y z x x
x y z ∂+-=∂++， 由轮换对称性，222222
55
22222222
22,()()Y x z y Z x z z y z
x y z x y z ∂+-∂+-==∂∂++++， 除原点外，散度(,,)0X Y Z
div X Y Z x y z
∂∂∂=
++=。

记222
1:1S x y z ++=，由复连域上的Stokes 公式及Guass 公式，注意到约束条件可得：
1
332222222
2
()
()
S xdydz ydxdz zdxdy
xdydz ydxdz zdxdy
x y z x y z ∑
++++=++++⎰⎰
⎰⎰
1
43 3.
43
S xdydz ydxdz zdxdy dV π
πΩ
++===⎰⎰⎰⎰⎰。