高级宏观经济学讲义(南开大学 刘晓峰教授-罗默的教材)【完整版】

高级宏观经济学讲义（南开大学刘晓峰教授－罗默的教

材）【完整版】

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第二章

索洛经济增长模型

一、问题的提出

1.什么因素决定了经济增长？

2.经济增长的一般趋势是什么？

3.为什么国家或地区之间存在着收入差异？

4.穷国能否赶上富国？

二、生产函数

1.投入与产出的函数形式

A

t

t

F

Y

t

K

)(t

(

L

)(

))

(

(

),

其中，Y为产量，K为资本，L为劳动力，A为知识或劳动的有效性，t表示时间

注意：AL为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型〞或“哈罗德中性〞

思考：如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)〔哈罗德中性〕，而是Y=F(AK,L)〔索洛中性〕或Y=AF(K,L)〔希克斯中性〕，结果会有何不同？[只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致]

2.生产函数的特性假设 〔1〕规模报酬不变：

F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于c ≥0

含义：经济足够大，专业化收益被穷尽；其他投入品〔如自然资源〕相对不重要

令c=1/AL,那么),(1)1,(

AL K F AL

AL K F = 令有效劳动的人均资本k=K/AL ，有效劳动人均产量y=Y/AL ，那么y=f(k),总产量Y=ALf(k)

〔2〕边际产品递减：

f(k)满足f(0)=0,f ’(k)>0,f 〞(k)<0，f ’(k)是资本的边际产品 【证明】

Y=ALf(k)两边分别对K 、L 求导数： 资本的边际产品为：

)('1

)('k f AL

k ALf K Y ==∂∂ 有效劳动的边际产品为：

)(')(])

()[(')()(2

k kf k f AL K

k ALf k f AL Y -=-+=∂∂ 〔3〕稻田条件：

∞=→)('lim k f o k ,0)('lim =∞→k f k

一个满足上述条件假设的新古典生产函数图示

f(k)

k

一个特殊的生产函数：C-D 生产函数

)(),(1AL K AL K F αα-=，10<<α

ααk AL

K

AL K F k f ===)()1,(

)( 思考：试证明C-D 生产函数满足3个特性假设。

3．生产投入品的变动

假设时间t 是连续的〔非离散的〕

〔1〕劳动力的增长：n t L dt t dL t L t L ==•

)(/]/)([)(/)( 〔2〕知识的增长：g t A dt t dA t A t A ==•)(/]/)([)(/)(

其中n 为人口增长率，g 为技术进步率，均为外生参数，表示不变增长速度

思考：L ，A 为何种形式的增长方式？〔指数形式增长，证明〕 〔3〕资本的增长：)()(]/)([)(t K t sY dK t dK t K δ-==• 其中s 为储蓄率，δ为资本折旧率，均为外生变量

三、平衡增长路径

1．k 的动态学 〔1〕k(t)的动态方程 )

()()

()(t L t A t K t k =

, 先做变换，两边取自然对数

)(ln )(ln )(ln )(ln t L t A t K t k --=

对t 求导数，得：

)

()

()()()()()()(t L t L t A t A t K t K t k t k •

•••-

-= )()

()()()()()()()()()()(t k t L t L t k t A t A t L t A t K t K t K t k •

•

•

•

--=

代入，有：g t k n t k t L t A t K t sY t k )()()

()()

()()(---=

•

δ

)()()()

()()

(t gk t nk t k t L t A t Y s

---=δ )()()())((t gk t nk t k t k sf ---=δ )()())((t k g n t k sf δ++-=

)()())(()(t k g n t k sf t k δ++-=•

是索洛模型的根本微分方程，

它说明)(t k •是k 的方程。

含义说明：人均实际投资))((t k sf 用于两方面：一是“资本的深化〞，即)(t k •，二是“资本的广化〞〔“持平投资〞〕，即)()(t k g n δ++。

〔2〕稳态均衡

定义“稳态〞：一种其中各种数量都以不变速度增长的状况，即

)(t k •

=0。

当))((t k sf >)()(t k g n δ++时，)(t k •

>0〔储蓄大于投资〕 当))((t k sf <)()(t k g n δ++时，)(t k •<0〔储蓄小于投资〕 当))((*

t k sf =)()(*

t k g n δ++时，)(t k •=0〔储蓄等于投资〕，即实际投资与持平投资相等。无论k 从何处开始，它都收敛于k*。

〔3〕图示： 稳态均衡图示1

)()(t k g n δ++

))((t k f

))((t k sf

k* k

稳态均衡图示2

)(δ++g n k k sf /)(

k* k 证明：

0')(')(]/)([]/)([2

2<-=--==k F s

k k kf k f s dk k k f d s dk k k sf d AL