green函数法求解边值问题
格林函数法
第四章格林函数法拉普拉斯方程边值问题的求解方法调和函数： 1 拉普拉斯（Laplace ）方程的基本解§4.1 格林（Green ）公式及其应用具有二阶连续偏导数的调和方程的连续解；或满足Laplace 方程的函数。
三维Laplace 方程的基本解：22200011(,,)()()()MM u x y z r x x y y z z ==-+-+-特点：除 点外，任一点满足Laplace 方程。
0000(,,)M x y z 同学们自己验证。
二维Laplace 方程的基本解：220011(,)lnln()()MM u x y r x x y y ==-+-特点：除 点外，任一点满足Laplace 方程。
000(,)M x y 同学们自己验证。
问题：基本解是否为整个区域内的解？2 Green 公式（1）奥－高公式（高斯公式）：设 是有界区域， 是其边界曲面且足够光滑， 在 上连续，在 内有连续偏导数，则ΩΓΩ+Γ(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z Ω()(cos cos cos )P Q R d P Q R dS x y z αβγΩΓ∂∂∂++Ω=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰推导：令 其中 是 的外法线方向。
{cos ,cos ,cos }n αβγ=Γ（2）第一Green 公式：设 是有界区域， 是其边界曲面且足够光滑， 及其一阶偏导数在 上连续，在 内有二阶连续偏导数，则ΩΓΩ+Γ(,,),(,,)u x y z v x y z Ω()v u v u v u vu vd u dS d n x x y y z z ΩΓΩ∂∂∂∂∂∂∂∆Ω=-++Ω∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,,v v vP u Q u R ux y z∂∂∂===∂∂∂代入高斯公式，并注意方向导数公式即可得。
（2）第二Green 公式：设 是有界区域， 是其边界曲面且足够光滑， 及其一阶偏导数在 上连续，在 内有二阶连续偏导数，则ΩΓΩ+Γ(,,),(,,)u x y z v x y z Ω(()v uu v v ud u v dS n n ΩΓ∂∂∆-∆Ω=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰推导：由第一Green 公式，有()v u v u v u v u vd u dS d n x x y y z z ΩΓΩ∂∂∂∂∂∂∂∆Ω=-++Ω∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()u u v u v u v v ud v dS d n x x y y z z ΩΓΩ∂∂∂∂∂∂∂∆Ω=-++Ω∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰两式相减即可得。
数学物理方法--格林函数法
0, 0
泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题)
泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题) 泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题
6
4. 泊松方程的基本积分公式
点源泊松方程
G(r , r ') 4 (r r ')
3
感应电荷 是边界问题
2. 格林公式 第一格林公式： 区域 T，边界
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
u (r ) 和 设
T
在
上有连续一阶导数。由高斯定理 uv dS (uv)dV
T
v(r ) 在 T 中具有连续二阶导数，
7
5. 边值问题的格林函数
第一边值问题(狄里希利问题)
还需知道点源泊松方程度解的边界条件。
u
f
u (r , r ') G(r , r ') 0
第一边值问 题格林函数
1 u (r0 ) 4
1 G (r , r0 )r (r )dV 4 T
1
1
12.1
泊松方程的格林函数法
有源问题
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
1. 源问题 例 静电场 a.无界空间
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
q 4
r'
r r ' r
r
处静电场
1 (r ) u0 (r , r ') G(r , r ') r r '
一类常微分方程边值问题的 Green 函数讨论
一类常微分方程边值问题的 Green 函数讨论李君君【摘要】把常微分方程边值问题转化为积分方程，有个很重要的方法就是利用格林函数来求解。
讨论了一类二阶线性常微分方程的边值问题，求出它在不同边值条件下的格林函数，从而给出这类方程格林函数的一般求解方法及其应用。
%To transform the ordinary differential equation boundary value problem into integral equations , There is a very important method is solved by using the green's function .The boundary value problems of a kind of second order linear ordinary differential equations are discussed in this paper .The paper considers the Green’ s functions for it with some boundary conditions .Then it refers to the general method of calculating and some applications of the Green ’ s function .【期刊名称】《淮阴师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)001【总页数】8页(P7-14)【关键词】边值问题;格林函数;常微分方程【作者】李君君【作者单位】南京财经大学应用数学学院，江苏南京 210023【正文语种】中文【中图分类】O1750 引言二阶常微分方程的通解中有两个任意常数,需要有两个条件才能确定它们,如果把两个条件都加在同一点上,就是初值问题．如果在一个区间的两个端点各加一个条件,这样的问题就叫做边值问题．对于常微分方程边值问题,我们可以将常微分方程转化为积分方程,从而可以更加方便的求出方程的解．在这一过程中,有个很重要的方法就是利用Green函数．比如,对于二阶非齐次常微分方程p0(x)y″+p1(x)y′+p2(x)y=f(x)的解即为y=G(x,ξ)f(ξ)dξ, a≤x≤b.Green函数在常微分方程中的研究中有着重要的作用,利用它将原方程转化为积分方程,可以广泛应用于流体力学、振动理论、电子工程等学科中．显然,边值问题解的问题就转化为求常微分方程的Green函数的问题．那么,同样的,Green函数的唯一性也就确定了解的唯一性．所以求Green函数就是成为问题的关键．关于如何求Green函数,目前还没有统一的方法．不同的资料给出了很多方法,主要是通过求方程的朗斯基行列式,利用朗斯基行列式求其解,通过进一步的化简,找出Green函数,但这种方法计算较复杂,而且会因初值条件选择的不同,使得计算难度加大．本文将研究二阶微分方程L(y)=p0(x)y′′+p1(x)y′+p2(x)y=0(1)在一些边界条件下的Green函数．我们所用的这种待定系数法是一种常见而且简单的方法,大部分常微分方程边值问题的Green函数都可以用这种方法求出．本文注重研究方程(1)在周期边界条件下的Green函数的表达式及解唯一性的判断,从而给出一般方法．对于边界条件(2)设上述y(a),y′(a),y(b),y′(b)的一次式V1,V2是线性独立的．引理1[1] 设ξ为(a,b)中的任意点:a<ξ<b,具有以下4个性质的函数G(x,ξ)称为边值问题(1)，问题(2)的Green函数:1) 在a≤x≤b上,G(x,ξ)本身连续;2) G(x,ξ)关于x的一阶导数,以x=ξ为第一类间断点,且跃度为即3) 作为x的函数,G(x,ξ)在[a,ξ)及(ξ,b]是方程(1)的解L(G)=0;4) 满足边界条件:Vk(G)=0,k=1, 2.1 周期边界条件下的Green函数及证明.首先设方程满足边界条件y(a)=y(b),y′(a)=y′(b).定理1 方程(1)的Green函数为,其中y1(x),y2(x)是方程(1)的解．证明设y1(x),y2(x)为方程的线性无关解,根据引理1的性质3),函数G(x,ξ)在区间[a,ξ)及(ξ,b]可由上述线性无关解表出,即可设G(x,ξ)=a1y1(x)+a2y2(x), a≤x<ξ, G(x,ξ)=b1y1(x)+b2y2(x), ξ<x≤b,式中a1,a2,b1,b2是ξ的函数．所以要求G(x,ξ)只要求出a1,a2,b1,b2即可．根据引理性质1),2)我们可以得到下列方程组不妨令 ck=bk-ak,k=1,2.则上述方程组可化简为容易求出(3)接下来我们再根据边值条件y(a)=y(b),y′(a)=y′(b)及引理1的性质3)有G(a,ξ)=G(b,ξ),G′(a,ξ)=G′(b,ξ),即又因为c1=b1-a1,c2=b2-a2,容易解出所以方程(1)的格林函数为其中c1,c2如(3)所求,证毕．引理2[1] 如果边值问题(1)(2)只有零解y(x)=0,则算子L 有且只有一个Green函数．在定理1的证明中,我们不难看出证明的过程给出的求解二阶线性常微分方程边值问题的Green函数的解法,也就是本文所介绍的待定系数法:1) 求出方程的基本解组,再求出其通解．根据边值条件判断,是否只有零解,则再根据引理2,判断Green函数是否唯一;2) 若Green函数唯一,根据引理1的性质3)构造Green函数;3) 根据引理1的性质1)，2)构造方程组,再代入边值条件求出系数,从而解出Green函数．例1 求边值问题的Green函数．解方程的基本解组为e-x,xe-x,通解为y=C1e-x+C2xe-x,其中C1,C2为任意常数．根据边值条件,有C1=C1e-1+C2e-1,-C1+C2=-C1e-1,得C1=C2=0,即方程仅有零解y(x)=0．根据引理,Green函数唯一．设Green函数为G(x,ξ)=a1e-x+a2xe-x, 0≤x<ξ, G(x,ξ)=b1e-x+b2xe-x, ξ<x≤1.由引理1的性质1),2)有记c1=b1-a1,c2=b2-a2.所以有解得c1=ξeξ,c2=-eξ又根据边值条件,有G(0,ξ)=G(1,ξ),G′(0,ξ)=G′(1,ξ)即又有b1-a1=c1=ξeξ,b2-a2=c2=-eξ.容易解得所以方程的Green函数是2 方程在另外几种边界条件下的Green函数下面我们以定理的形式给出其他边值条件下的相应结论及其证明．定理2 二阶边值问题的Green函数为.证明设y1(x),y2(x)为方程的线性无关解,根据引理1的性质3),函数G(x,ξ)在区间[a,ξ)及(ξ,b]可由上述线性无关解表出,即可设G(x,ξ)=a1y1(x)+a2y2(x), a≤x<ξ,G(x,ξ)=b1y1(x)+b2y2(x), ξ<x≤b,式中a1,a2,b1,b2是ξ的函数．根据引理1的性质1),2)我们可以得到下列方程组不妨令 ck=bk-ak,k=1,2.则上述方程组可化简为容易求出接下来我们再根据边值条件y(a)=y(b)=0及引理1的性质3)有G(a,ξ)=G(b,ξ)=0.即又因为c1=b1-a1,c2=b2-a2,容易解出所以Green函数为定理3 二阶边值问题的Green函数为证明设y1(x),y2(x)为方程的线性无关解,根据引理1的性质3),函数G(x,ξ)在区间[a,ξ)及(ξ,b]可由上述线性无关解表出,即可设G(x,ξ)=a1y1(x)+a2y2(x), a≤x<ξ,G(x,ξ)=b1y1(x)+b2y2(x), ξ<x≤b,式中a1,a2,b1,b2是ξ的函数．根据引理1的性质1),2)我们可以得到下列方程组不妨令 ck=bk-ak,k=1,2.则上述方程组可化简为容易求出接下来我们再根据边值条件y(a)=y′(b)=0及引理1的性质3)有G(a,ξ)=G′(b,ξ)=0,即又因为c1=b1-a1,c2=b2-a2,容易解出所以Green函数为定理4 二阶边值问题的Green函数为证明设y1(x),y2(x)为方程的线性无关解,根据引理1的性质3),函数G(x,ξ)在区间[a,ξ)及(ξ,b]可由上述线性无关解表出,即可设G(x,ξ)=a1y1(x)+a2y2(x), a≤x<ξ,G(x,ξ)=b1y1(x)+b2y2(x), ξ<x≤b,式中a1,a2,b1,b2是ξ的函数．根据引理1的性质1),2)我们可以得到下列方程组不妨令 ck=bk-ak,k=1,2.则上述方程组可化简为容易求出接下来我们再根据边值条件y′(a)=y(b)=0及引理1的性质3)有G′(a,ξ)=G(b,ξ)=0,即又因为c1=b1-a1,c2=b2-a2,容易解出所以Green函数为定理5 二阶边值问题的Green函数为证明设y1(x),y2(x)为方程的线性无关解,根据引理1的性质3),函数G(x,ξ)在区间[a,ξ)及(ξ,b]可由上述线性无关解表出,即可设G(x,ξ)=a1y1(x)+a2y2(x), a≤x<ξ,G(x,ξ)=b1y1(x)+b2y2(x), ξ<x≤b,式中a1,a2,b1,b2是ξ的函数．根据引理1的性质1),2)我们可以得到下列方程组不妨令 ck=bk-ak,k=1,2.则上述方程组可化简为容易求出接下来我们再根据边值条件y′(a)=y′(b)=0及引理1的性质3)有G′(a,ξ)=G′(b,ξ)=0,即又因为c1=b1-a1,c2=b2-a2,容易解出所以Green函数为在此,仅举其中一例加以说明．例2 求边值问题的Green函数．解由例1我们已经知道方程的基本解组为e-x,xe-x,通解为y=C1e-x+C2xe-x,其中C1,C2为任意常数且C1=C2=0,即方程仅有零解y(x)=0．根据引理,Green函数唯一．设Green函数为G(x,ξ)=a1e-x+a2xe-x, 0≤x<ξ,G(x,ξ)=b1e-x+b2xe-x, ξ<x≤1.根据例1的结果有c1=ξeξ,c2=-eξ,根据边值条件G(0,ξ)=a1=0,G(1,ξ)=b1e-1+b2e-1=0,所以b1=c1+a1=ξeξ,b2=-ξeξ,a2=b2-c2=-ξeξ+eξ,故Green函数为G(x,ξ)=(-ξeξ+eξ)xe-x,0≤x<ξ,G(x,ξ)=ξeξe-x-ξeξxe-x, ξ<x≤1.参考文献：[1] 沈以淡. 积分方程[M].北京:清华大学出版社,2012:272-274.[2] 蔡燧林. 常微分方程[M].武汉:武汉大学出版社,2003:328-329.[3] 葛渭高,李翠哲,王宏洲. 常微分方程与边值问题[M].北京:科学出版社,2008:172-174.[4] 刘丽环,常晶,高艳超. 二阶常微分方程边值问题的格林函数求法[J].长春工业大学学报,2011,32(1):102-104.[5] 赵增勤.一类常微分方程边值问题的格林函数求法[D].山东:曲阜师范大学,2009.[6] Po Fang Hsieh, Yasutaka Sibuya. Basic Theory of Ordinary Differential Equations[M].New York:Springer-Verlag,1999:148-150.[7] Pokornyi Yu V ,Borovskikh A V. The connection of the green’s function and the influence function for nonclassical problems[J].Journal of Mathematical Sciences,2004,119(6):739-768.。
10.2边值问题的格林函数法
dΩ
=
ds r2
=
sinθ
dθ
dϕ
－u(M
,
t)在以M
0为中心，r为半径的球面
sM0 r
上的平均值。
（2）显然
u(M
0
,
t0
)
=
limu
r →0
(r,
t0
)
Wuhan University
§10.2泊松方
二、积分公式－格林函数法 程的狄氏问题
1、(三维）狄氏积分公式 M , M 0 ∈τ
⎪⎧ Δ u = − h ( M ) (1) ⎪⎩⎨u σ = f ( M ) ( 2 )
⎧Δu = −h(M ) ⎩⎨u σ = g(M )
(1) 之解。
(2)
Wuhan University
一、格林公式
§10.2泊松方 程的狄氏问题
3、球面平均值公式
（1）定义
∫∫ u(r,t) = 1
u(M ,t)ds
π4 r 2 srM0
∫∫ = 1
u(M ,t)dΩ
4π srM0
r
•
M0
sM0 r
⎧ΔG = −δ (M − M 0 ) (3)
⎩⎨G σ = 0
(4)
则(3) → G = 1 (10.3.4),
4π r
r=
(x − x0 )2 ( y − y0 )2 (z − z0 )2
[(1) ⋅G − (3) ⋅ u]在[τ −τε ]中积分有 :
∫ ∫ ∫ [GΔu −uΔG]dτ
τ −τε
3、格林第二公式
=
∫σ
v
∂udσ
∂n
(4)
∫τuΔvdτ
数学物理方法3-5Green函数法
（ 1） u dS 0 n （ 2） u( M 0 ) 满足球面 (圆 )平均值公式：
1 u( M 0 ) = 4π ε
1 u( M 0 ) = 2π ε
2
ò
, ) ¶B ( M 0 ε
u( M )dS , n = 3 ，
ò
, ) ¶B ( M 0 ε
u( M )dS , n = 2
2 2
v S (u n )dS S (uv n )dS V div(uv)dV V uv u vdV u S (v n )dS S (vu n )dS V div(vu )dV V vu u vdV
d q
x
第三章 偏微分方程的定解问题 第五节 Green函数法
例3.5.1求三维球域
{( x, y, z ) : x 2 y 2 z 2 R 2 }
球内的格林函数
P
R o
M0
的Laplace方程第一边值问题的Green函数。
解：M0点处放置正电荷电量
M1点处负电荷电量
要求： C 1 , P 4 rPM1 4 rPM 0
u(M 0 )
B (0, R )
R
0
f ( M ) G ( M , M 0 )dS n
0
1
第三章 偏微分方程M 0 ( 0 , 0 ), M ( , ) B(0, R), M 1 (
R2
0
,0 )
rMM1 1 G(M , M 0 ) ln n 2 rMM 0 M B (0, R )
u(M 0 )
f ( M ) G ( M , M 0 )dS G ( M , M 0 )F ( M )dV n
数学物理方程第10讲 格林函数法 叶葱
M(x,y,z)
v u (u v u)dV (u n v n )ds
现在的问题是， V(x,y,z)不包含M0这一点！！！！ 所以运用公式时我们要挖去M0点（奇异点）
如何去除M0点？？
最简单的，以M0为中心， ɛ 为半径作一个球面， 球面为Ƭɛ,球体积为Kɛ,挖去这样一个球。
1 u(M 0 ) 4 1 rMM 0 n 1 u ( M ) )ds rMM 0 n
(u(M )
我们要求区域内一点M0处的u， 要知道这个函数在区域边界Ƭ上的值 以及在Ƭ上的法向导数的值
1 r 1 u )ds 4u 4 ( u ) 0 根据 (u n r n n
0, lim u u(M 0 )
1 u(M 0 ) 4 1 rMM 0 n 1 u ( M ) )ds rMM 0 n
(u(M )
调和函数的积分表达式
M0(x0,y0,z0)
M(x,y,z)
考虑球面Ƭɛ上，即M点在球面，此时r=ɛ
1 1 r r 1 1 n r r2 2
1 r ds 1 u n 2
uds r 1 u )ds ? (u n r n
2 2
第二格林公式
现在我们求解u（x，y，z）
u0
2
Dirichlet 问题
u
f ( x, y , z )
求出调和函数 的积分表达式
首先构造一个辅助函数
M0(x0,y0,z0) r
M(X,Y,Z)
1 1 v( x, y, z) 2 2 2 r ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
第15章：Green 函数理论
1 x(l − ξ ) G ( x, ξ ) = l ξ (l − x) p (ξ ) w(u1 , u2 ) = l
0≤ x ≤ξ ξ ≤ x≤l
例二、求 L=-d2/dx2+λ 在边界条件u|x=0=u|x=l=0 下的 Green 函数。
7
解：先求齐次方程的解
d 2u L[u ] ≡ − 2 + λu = 0 dx
2
∂G =0 ∂n ∂V
可证明解不存在。物理上，Laplace 方程表示稳定 的温度场分布，区域中有点源的存在，而又要求边界 是绝热的，这样的温度场是不可能稳定的。
18
Green 函数的对称性质 G (r , r ′) = G (r ′, r ) 证明：Green 公式
∂u ∂v u − v dS ∫∫∫V (u∇ v − v∇ u)dV = ∫∫∂V ∂n ∂n
G ( x, ξ ) |x =ξ −0 = G ( x, ξ ) |x =ξ +0 dG dG − = p −1 (ξ ) dx x =ξ −0 dx x =ξ +0
注：第二个条件可由：对 方程在区间[ξ-0， ξ+0] 积 分而得到。
• a
ξ
•
• b
5
x
最后可得到 Green 函数
∂V
15
利用 Green 公式
∂u ∂v − v dS u ∫∫∫V (u∇ v − v∇ u)dV = ∫∫∂V ∂n ∂n
2 2
取 u 满足 Poisson 方程，v=G, 于是有
∂v ∂u u − v dS ∫∫∫V [uδ (r , r ′) − fv ] dV = ∫∫∂V ∂n ∂n
应用pde讲义02_格林函数
应用偏微分方程与科学计算讲义（2）Lecture Notes onApplied Partial Differential Equations andScientific ComputingNo. 2马 石 庄2011．09．08．北京第2讲 边值问题Green函数解教学目的：围绕Sturm‐Liouville边值问题，阐述Green函数解法，就是把任意的非齐次项微分方程边值问题，归结为一个特殊边值问题的求解．Green函数是广义函数，取决于算子的性质、边界条件的类型，与方程的非齐次项无关。
主要内容：§1位势方程的定解问题 (2)1.1 位势方程的导出 (2)1.2直接积分 (6)1.3物理意义 (8)§2广义函数和广义解 (10)2.1广义函数 (12)2.2 广义函数的导数 (18)2.3微分算子和广义解 (19)§3 Green函数的构造 (22)3.1 构造Green函数 (23)3.2 非齐次Sturm‐Liouville边值问题 (26)3.3 广义Green函数 (28)习题2 (32)在求解微分方程定值问题中，Green函数有着特殊重要的地位，优越性在于把具体的具有非齐次项和任意边值的定解问题归结为求解一个特定的定解问题，它仅仅依赖于微分算子、边界条件形式和区域的形状。
一旦求得了相应的Green函数，就可以通过叠加原理给出原定解问题的解。
§1位势方程的定解问题泛定方程本身不足以求得定解问题的解，必须添加在定义域边界上的条件。
初值条件，在定义域上同一点给出的条件。
边值条件：在定义域上多于一点上给出。
因此，也把初值条件成为单边边值条件。
1.1 位势方程的导出位势方程在物理上描述平衡状态，导出方法很多。
设有一根拉紧的均匀且柔软的轻弦，长度 1，两端固定，当在垂直外力作用下弦达到平衡时，讨论弦的形状．如图建立坐标系，把受外力作用时弦的平衡位置取为 轴，并以 ， 分别表示弦上横坐标为 的点处所受的外力密度。
拉普拉斯方程的格林函数法
然出现感应电荷, 内任意一点的电位，就是点电荷的
电位 1 和感应电荷的电位 内4的rM电0M位.
v
的叠加，
Green函数=
➢将 上的感应电荷用一个等价的点电荷代替，使得这
个“虚”的电荷和真实的点电荷一起，在 内给出和原
来的问题同样的解
M0
M1
4.4 两种特殊区域的格林函数 及狄氏问题的解
4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解
r
2
2
同理可得 因此
1 r
u n
dS
1
u n
dS
4
u n
u
n
1 r
1 r
u n
dS
4
u
4
u n
0
4.2 格 林 公 式
令 0, 则
lim 0 u uM0
于是
lim
0
4
u n
0
u
M
0
1
4
u M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n dS
4.2 格 林 公 式
4.3 格林函数
要想确定格林函数, 需要找一个调和函数 v , 它满
1
足: 易,
但v 对| 于4一 r些M0特M .殊对的于区一域般, 的如区半域空,间确，定球v域并等不, 容格
林函数可以通过初等方法得到. 我们通常使用“电
象法”求解。
4.3 格林函数
Green函数的物理意义
➢在接地的闭曲面中放上点电荷之后，在 面内侧必
边界条件:
1） 第一边值问题
u 0 ()
u | f .
狄利克雷(Direchlet)问题 2)第二边值问题
green函数
附注
1. 若u ∈ C 2 (Ω) ∩ C1 (Ω)是Piosson方程 -∆u = f ( x) 的解，则有
∂u ( x) ∂Γ( x; ξ ) u (ξ ) = ∫ Γ( x; ξ ) f ( x)dx + ∫ Γ( x; ξ ) − u ( x) dS x ∂n ∂n Ω ∂Ω
1 G ( x; ξ ) = ln 2π x − ξ ⋅ x − ξ1*
x − ξ1 ⋅ x − ξ *
第四节 特殊区域上边值问题的解
圆内Dirichlet问题
−∆u = f ( x, y ), ( x, y ) ∈ Ba u ( x , y )∈∂Ba = ϕ ( x, y )
∂G ( x, y; ξ ,η ) u (ξ ,η ) = ∫∫ G ( x, y; ξ ,η ) f ( x, y )dxdy − ∫ ϕ ( x, y ) dS x , y ∂n Ba ∂Ba
+∞
+
1 (x − ξ ) + ( y +η ) G ( x , y ; ξ ,η ) = ln 4π ( x − ξ ) 2 + ( y − η ) 2
2
2
于是在 y=0上，有
∂G ∂n ∂G =− ∂y
y =0
y =0
η =− π ( x − ξ )2 + η 2
1
1 u (ξ ,η ) = 4π +
1 1 a 1 G ( x; ξ ) = − 4π x − ξ 4π ξ x − ξ *
上半平面上的Green函数
2 −∆g = 0, ( x, y ) ∈ R+ 1 1 g y =0 = 2π ln x − ξ y =0
§5.2 Laplace方程的边值问题与Green函数
∂G ∂u − (3) × ∂n ∂n
∂u ⎞ ∂G ⎛ ∂G − G ⎟ ∂Ω = ϕ ( x, y, z ) ，带入（1） ，并利用互易性定理，得 ∂n ⎠ ∂n ⎝ ∂n v v 1 v v v v v ∂G (r0 , r ) u (r ) = ∫∫∫ G (r0 , r ) f (r0 )dV0 − ∫∫ ϕ (r ) dS0 Ω α ∂Ω ∂n v v v v 4、Green 函数互易性定理： G (r , r0 ) = G (r0 , r )
第一项物理意义为源点 r0 处所有电荷在 r 处产生电势的累加； 第二项代表边界处产生偶 电层在 r 产生电势的累加。 2、第二类边值问题（纽曼边值问题）
v
v
v
⎧∇ 2u = − f ( x, y, z ) ⎪ ⎨ ∂u ⎪ ∂Ω = ϕ ( x, y, z ) ⎩ ∂n
其中， Ω 为三维空间上的区域， ∂Ω 为 Ω 的边界。 其解为：
α , β不同时为零
其中， Ω 为三维空间上的区域， ∂Ω 为 Ω 的边界。 其解为
1 v v v v u (r ) = ∫∫∫ G (r0 , r ) f (r0 )dV0 +
Ω
v v v ϕ (r )G (r , r )dS ∫∫ β
∂Ω 0
0
后者
1 v v v v u (r ) = ∫∫∫ G (r0 , r ) f (r0 )dV0 −
令 u = G (r , r0 ) ， v = G (r , r1 )
v v
v v
v v v v v v v v v v ∂G (r , r0 ) ⎞ ⎛ v v ∂G (r , r1 ) − G (r , r1 ) ⎟dS ∫∫∫Ω [− G(r , r0 )δ (r − r1 ) + G(r , r1 )δ (r − r0 )]dV = ∫∫∂Ω ⎜ G(r , r0 )
§2 格林公式及其应用
1
力场势函数） 。 力场势函数）
1 F ( M ) 可理解为电荷体密度或质量密度。 称为体位势： 可理解为电荷体密度或质量密度。 − ∆ V ( M 0 ) 称为体位势： 4π
(2.11)
证 明： 将调和函数基本积分公式应用到Γa 上有：
1 ∂ 1 1 ∂u u( M 0 ) = − ∫∫ u r − r dS = 0 4π Γa ∂n r r ∂n
上页 下页 返回
1 1 1 ∂ 1 在Γa 上 = ， r = − 2 ，所以 r a ∂n r a 1 ∂u 1 ∂u r r ∫∫ r ∂n dS = a ∫∫ ∂n dS = 0 Γa Γa
1 1 1 ∂u ∂ 1 1 ∂u − ∫∫∫ ∆udΩ = ∫∫ u r − r dS + 2 ∫∫ udS − ∫∫ r dS r ∂n r r ∂ n ε Γε ∂n ε Γε Ω\ Kε Γ
ε ε ε
上页 下页 返回
1 ∂u 1 ∂u dS ， 即 u∗ 和 udS ， r = 记u = 2 ∫∫ r 2 ∫∫ 4πε Γε ∂n 4πε Γε ∂n
当 u 是Ω 内的调和函数， M 0 ≠ Ω ，则由格林第二公式 有：
∂ 1 u( M ) r ∫∫ ∂n rM 0 M Γ
1 ∂u( M ) − r dS = 0 r ∂n M0M
当 u 是 Ω 内的调和函数，M 0 ∈ ∂Ω = Γ ，类似基本积分公 内的调和函数， 式的推导， 式的推导，记 Γε′ = Γε I Ω ， Γ ′ = Γ \ K ε ，则有
2m阶非线性边值问题的Green函数与正解
Ｊ ｏ 一ｙ（） …… 一Ｙ （） ， （） ｌ０ 一 ０ 一０
ｌ ’ １ 一 … … 一 ｙ 一” １ （） ｙ （ ）一 ０ ．
（） １
假 定 ：Ｈ ） （ ） ０ １ ×［ ， 。 上 非 负连 续 ， ０ １ 内 的任何 紧子 区 间上 ｆ ｘ ） 恒 为 ０ （ ｆ ｘ， 于［ ，］ ０ ＋ｏ ） 在［ ， ］ （， 不 ．
估计及 导数估 计 ， 改进 了文献 ［ ］ ５ 的有 关结果 ， 最后 ， 非线 性项 满 足适 当 的条 件 下 ， 用 锥压 缩 与 锥拉 伸 在 利
不动点 定理 ， 证明 了该边值 问题 的正解 存在性 ．
１ 问 题 与 主 要 定 理
考虑 ２ｎ阶非线性 微分方 程边 值问题 ｒ
（ｉ（ ）ｙ （ 一－ ｚ， ， ． Ｅ（ ， ） 并且 （ ） ｉ 一１ｍ ） 厂 ）“ ） （ ． Ｏ１， － 满足 ｒ
ｙ ’０ 一０， ≤ Ⅲ一 ， （ ） “（） Ｏ ≤ ‘ １ 一０， ≤ ２ ≤ ｍ一 １ ．
定理 １ 假 设 （ （ ） 立 ， 边值 问题 （ ） Ｈ ） Ｈ。成 则 １ 至少存 在一个 正解 ．
为证 明定理 １ 需 要锥 不动点 定理 ， ， 见文献 ［ ］ ６．
定 理 设 Ｂ是 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 问 ， ＫＣＢ是 Ｂ 中的一个 锥 ， ， Ｑ Ｑ２是 Ｂ 中的有 界 开 集 ， ， Ｑ ， ０ Ｑ Ｑ ｃ 若 Ｅ
：
ｋ Ｑ Ｑ ） Ｋ 是 全连续算 子 ， Ｎ（ ＼ 一 满足
借鉴 文献 ［ ］ ４ 的方 法 ， 先 ， 右端边 界条件 是高 阶导数 的情形 下 ， 首 在 构造并 给 出 了 ２ 阶 的非线性 微 分方 程 ｍ 边值 问题 的 Ｇ ｅｎ函数 ， ｒｅ 但是 在技术 处理 与计算方 法 上与文献 ［ ］ 同 ， 次 ， ４不 其 建立 了 Ｇｒｅ ｅｎ函数 的上下 界
第四章格林函数法课件
特点：除 M0(x0,y0,z0)点外，任一点满足Laplace方程。
同学们自己验证。
PPT学习交流
2
二维Laplace方程的基本解：
1
1
u(x,y)ln ln
rM M 0
(xx0)2(yy0)2
特点：除 M0(x0, y0) 点外，任一点满足Laplace方程。
同学们自己验证。 问题：基本解是否为整个区域内的解？
n
n
从而得证
1
1 1 u (M )
Ò u (M 0) 4
[u (M ) ( )
nrM M 0 rM M 0
]d S n
PPT学习交流
8
4 调和函数的基本性质
性质1：设 u ( x, y , z ) 在有界区域 内为调和函数，且在
上有一阶连续偏导数，则
Ò
u n
dS
0
证：令 v 1 将 u , v 代入第二Green公式即可。
uv
PPT学习交流
11
证明：用反证法
若在 内有 u v ，即 uv0 ，而在边界上 uv0 ， 说明 u v 在内部可能取最大值。
推论2：狄利克莱问题 的解唯一。
u0, u f
(x, y,z)
证明：设 u 1 和 u 2 均为该问题的解，则 u u1 u2 满足
由极值原理， u 0
u0, u 0
于是
r rMM0
r2 MM0
2
乙 u n(rM 1 M 0)d S1 2 u d S1 24 2u4 u
乙 rM 1M0 u ndS1 u ndS4 u n
PPT学习交流
7
代入上式，得
Ò [u( 1)1u]dS4 u4 u0
第四章 Green函数法(all)
2. 基本解
定义：设 M ( r ), M 0 ( r0 ) 为n维空间中的点，
则称满足方程
G0 ( r r0 )
的解为Poisson方程的基本解。 基本解的物理意义： G0 ( r , r0 ) 表示 M 0 ( r0 ) 的点源 所产生的场。
1. Green函数
三维Poisson方程的边值问题的统一表达式
u f u [ u] n
(T ) ()
其中 , 是不同时为 0 的常数.
欲求以上问题的解，自然想到Poisson方程
的基本积分公式。
G0 u u( r0 ) G0 fdV ( u G0 )dS n n T
其中 ( n , x ), ( n , y ), ( n , z )是曲面Σ的外法向量 n 与坐标 轴夹角。
P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z ) 满足：在T上一阶连续
可微， 在 T 上连续。
1 2 将u,v交换位置 u ( x , y , z ), v ( x , y , z ) C ( T ) C (T ) 设
x0 x0
点电荷、点热源都是满足以上关系式的物理量。
定义：δ函数是指具有下列性质的函数，
( x) 0 x0 x0
且
( x )dx 1
物理意义：单位质量（电量、热量等）集中x=0点 的密度函数。 ―般地,若单位点源不是放在 x=0处，而是在 x=x0 处, 则有
§1. δ函数
δ函数是用来表示点源的密度分布的函数 1. δ函数的引入与物理意义
第五章Green函数法
所以，
(t ) f (t )dt f (0).
更一般地有， (t t0 ) f (t )dt f (t0 ).
2.函数是偶函数 ,即 (t ) (t );
3.
t
d 0, t 0 ( )d H (t ), H (t ) (t ),其中 H (t ) dt 1, t 0
所以,当t 0时, i (t ) 0;当t 0时,由于 q (t )是不连续的， 从而在普通导数的意义 下， q (t )在这一点导数不存在， 如果我们从形式上计算 这个导数，则得
dq( t ) q(0 t ) q(0) 1 i( t ) lim lim . t 0 t 0 t dt t
2 , t 0 sin t d 0, t0 0 , t 0 2 则 当t 0时,
1 1 1, t 0 1 1 sin t 2 2 f (t ) dt 2 0 1 1 ( ) 0, t 0 2 2
' (t ) 0
ti
( ti ) 1 1 所以有 [ (t )]dt ( w)dw t i ( t i ) ' ( ) ' ( t ) i k
于是
k i 1
f (t ) [ (t )]dt
i 1
ut 2 u 0
§5.1
函数
物理和工程技术中，许多物理现象具有脉冲性 如集中在一点的质量分布、电荷分布等问题（即质点、 点电荷的概念）力学中集中作用在一点的力所产生的压 强、热学中的点热源，以及在电路中出现的瞬时电流、 瞬时电压等 。 它们不在某一空间范围内出现，也不在某一时间间隔内 出现，而只是在某一空间点，或某一瞬时才出现。 研究这类现象产生的问题都要涉及到下面介绍的δ函数
第二章 静电场 格林函数法
( x) ( x ) G ( x, x) ( x)dV 0 G ( x, x ) dS V S n
1 S ( x)dS 0 S
此式称为外问题的Green函数解的形式。边值问题的解找到 了，其实并作为此，因为只有把问题的Green函数 找到了，才能对表达式（第一类边值问题的形式解 和第二类边值问题的形式解）作出具体的计算。实 际求Green函数本身并不是件容易的事，所以以上 解的形式只具有形式解的意义。当然，它把唯一性 定理更具体地表达出来了。 在这里介绍几种不同区域的Green函数的制作 方法。
因为Green公式中积分，微分都是对变量 x 进行的， 而Green函数关于源点和场点是对称的，即 G( x, x)
G( x, x ) ，为方便起见，把变量 x 换为 x ，故有 改为 ，即得
[G( x, x)
V
1
0
( x) ( x)
1
0
( x x )]dV
电势方程为
0 假设有一包含 x 点的某空间区域V，在V 的边界
2
1
( x x)
（3）
S上有如下边界条件
S
0 或者 n
S
1 0S
（4）
则把满足边界条件（4）式的（3）式的解称为 泊松方程在区域V的第一类或第二类边值问题 的Green函数。
Green函数一般用 G( x, x) 表示，x 表示单位电荷 所在的位置，x代表观察点，在（3）式和（4） 式中，把
故得到
1 4 ( x x) r
2
与微分方程比较，即有 1 1 2 2 1 G ( x, x) ( x x) 40 r 0