九年级二次函数培优竞赛试题与答案

九年级二次函数培优竞赛试题及答案
1 •在如图的直角坐标系中，已知点A(2,0)、B(0，-4)，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC.
(1) 求点C的坐标；
1 2
⑵若抛物线y = —4X + ax + 4经过点C.
①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在点P(点C除外)使厶ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.
I - * 2
2 .如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x +bx+c 经过
A、B两点，与x轴交于另一个点C,对称轴与直线AB交于点E,抛物线顶点为D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第三象限，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3, 求点F 的坐标；
(3)点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值.
1. 【解析】
试题分析：（1）过点C作CD垂直于x轴，由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC,根据旋转的旋转得到AB=AC且/ BAC为直角，可得/ OAB与/ CAD 互余，由/ AOB为直角，可得/ OAB与Z ABO互余，根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等，利用ASA可证明三角形ACD与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB CD=OA由A和B的坐标及位置特点求出OA 及OB的长，可得出OD及CD的长，根据C在第四象限得出C的坐标；
（2）①由已知的抛物线经过点C，把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出抛物线的解析式；②假设存在点P使厶ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，分三种情况考虑：
（i ）A为直角顶点，过A作AR垂直于AB且AR=AB过R作P i M垂直于x轴，
如图所示，根据一对对顶角相等，一对直角相等，AB=AP,利用AAS可证明三角形APM与三角形ACD全等，得出AP与RM的长，再由P i为第二象限的点，得出此时P i的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（ii ）当B为直角顶点，过B作BB垂直于BA且BP=BA过P2作P2N垂直于y轴，如图所示，同理证明三角形BRN与三角形AOB全等，得出RN与BN的长，由R为第三象限的点，写出P2的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（iii ）当B为直角顶点，过B作BF3垂直于BA且BR=BA如图所示，过P B作P3H垂直于y轴，同理可证明三角形RBH 全等于三角形AOB可得出P B H与BH的长，由P B为第四象限的点，写出P B的坐标，代入抛物线解析式检验，不满足，综上，得到所有满足题意的P的坐标.
试题解析：（1）过C作CDLx轴，垂足为D,
••• BAL AC, •••/ OAB Z CAD=90，
又Z AOB=90 ,•••/ OAB Z OBA=90，
•••Z CAD Z OBA 又AB=AC Z AOB Z ADC=90 ,
•••△ AOB^A CDA 又A (1, 0) , B (0,- 2),
•OA=CD=1 OB=AD=2
•OD=OA+AD=3^ C为第四象限的点，
•C的坐标为(3,- 1)；
(2)①•••抛物线y=- 1 x2+ax+2 经过点C,且C (3,- 1),
2
•••把C的坐标代入得：-1 = --9+3a+2,解得：a=-1,
2 2
则抛物线的解析式为y= - 1 x2+-1 x+2；
2 2
②存在点P,A ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，
(i )若以AB为直角边，点A为直角顶点，
则延长CA 至点P i 使得RA=CA 得到等腰直角三角形 ABR ，过点P i 作RM L x 轴, ••• AP=CA / MAfi=Z CAD / RIMA " CDA=90 ,
•••△ ADC
••• AM=AD=2P i M=CD=1 ••• P i (- 1, 1),经检验点P i 在抛物线y=- 1 x 2+-1 x+2上；
2 2
(ii )若以AB 为直角边，点B 为直角顶点，则过点B 作BP 丄BA 且使得BP=AB,
同理可证厶BPN ^A ABO
••• NP=OB=2 BN=OA=1 ••• R (- 2, - 1),经检验 P 2 (- 2, - 1)也在抛物线 y=- -1 x 2+J x+2 上; 2 2
(iii )若以AB 为直角边，点B 为直角顶点,则过点B 作BP 丄BA 且使得BR=AB,
同理可证厶BPH ^A BAO
••• HP=OB=2 BH=OA=1
二 P 3 (2 , - 3),经检验 P 3 (2 , - 3)不在抛物线 y= - J x+1 x+2 上;
2 2
则符合条件的点有P 1 (- 1 , 1), P 2 (- 2, - 1)两点.
考点：1.二次函数综合题2•点的坐标3.等腰直角三角形.
过点P 2作P 2N 丄y 轴，如图,
ABP ,过点P 3作P s H 丄y 轴, 如图,
得到等腰直角三角形
2. 【答案】（1） y=-x 2-2x+3 ; （2）（丄 21，丄 门1 ） 2 2 或2秒或3秒或
14秒时，以P 、B C 为顶点的三角形是直角三角
形 3
【解析】
试题分析：（1）先由直线AB 的解析式为y=x+3，求出它与x 轴的交点A 、与y 轴的交点B 的坐标，再将A 、B 两点的坐标代入y=-x 2+bx+c ，运用待定系数法即 可求出抛物线的解析式；
（2） 设第三象限的点F 的坐标为（m -m 2-2m+3），运用配方法求出抛物线的对 称轴及顶点D 的坐标，再设抛物线的对称轴与 x 轴交于点G 连接FG 根据S A AE =S M EG +S MF &S A EFC F3，列出关于m 的方程，解方程求出 m 的值，进而得出点F 的 坐标；
（3） 设P 点坐标为（-1，n ） •先由B 、C 两点坐标，运用勾股定理求出 BC=10, 再分三种情况进行讨论：①/ PBC=90，先由勾股定理得出 PB+BC=PC ，据此 列出关于n 的方程，求出n 的值，再计算出PD 的长度，然后根据时间=路程十 速度，即可求出此时对应的t 值；②/ BPC=90，同①可求出对应的t 值；③ / BCP=90，同①可求出对应的t 值.
试题解析：（1）v y=x+3与x 轴交于点A,与y 轴交于点B ，
•••当y=0时，x=-3，即A 点坐标为（-3，0），
当x=0时，y=3，即B 点坐标为（0，3），
将 A （-3，0），B （0, 3）代入 y=-x +bx+c ,得 9 3b
C 0，解得b 2
,
c 3 c 3 •抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3 ；
（2）如图1，
D ： 衬 设第三象限的点F 的坐标为（m, -m 2-2m+3），贝U m<0，-m 2-2m+3v0.
2 2
■/ y=-x -2x+3=- （x+1） +4，
•对称轴为直线x=-1，顶点D 的坐标为（-1，4），
设抛物线的对称轴与x 轴交于点G,连接FG 则G （-1，0），AG=2
•••直线AB 的解析式为y=x+3,
（3）当t 为4秒
3
•••当 x=-1 时，y=-1+3=2 ,
••• E 点坐标为(-1 , 2).
1 1
2 1 2
Sx AE =Sx AE +Sx AFG-S △ EFC = X 2X 2+- X 2X( m+2m-3) -- X 2X( -1-m ) =m+3m ，
2 2 2
•••以A 、E 、F 为顶点的三角形面积为3时，m+3m=3 时，-m 2-2m+3=-m-3m+m+3=-3+m+3=m=^ 21，•点
F 的坐标为
2
.21
2
(3)设P 点坐标为(-1 , n ).
•- B (0 , 3), C (1 , 0),
• BC=12+32=10.
,那么 P B+B C=P C ,
即(0+1) 2+ (n-3) 化简整理得6n=16, 2+10= (1+1) 2+ (n-0) 2
,
解得 8
n=_ ,
3 8）
,
3 •••顶点D 的坐标为（-1 ,
• PD=4-8 =4 ,
3 3
•••点P 的速度为每秒1个单位长度，
• + 4
…"=-；
3 ②如图3,如果/ BPC=90，那么PB+PC=BC ,
• P 点坐标为（-1 , 4),
解得: m 1 、21 2 , m 2
3221 （舍去）,
,21 2
即(0+1) 2+ (n-3) 2+ (1+1) 2+ (n-0) 2=10, 化简整理得n 2-3n+2=0，解得n=2或1,
••• P 点坐标为(-1 , 2)或(-1 , 1),
•••顶点D 的坐标为(-1 , 4),
••• PD=4-2=2或 PD=4-1=3,
•••点P 的速度为每秒1个单位长度，
t 2=2, t 3=3 ；
③如图4,如果/ BCP=90，那么B C+P C=P B ,
即 10+ (1+1) 2+ (n-0 ) 2= (0+1) 2+ (n-3 ) 2, 化简整理得6n=-4，解得n=- -2 ,
3
2 ••• P 点坐标为（-1,--）, 3
•••顶点D 的坐标为（-1 , 4）,
PD=4* =14
t 4=1
4
•••点P 的速度为每秒 1个单位长度,
综上可知，当t为4秒或2秒或3秒或14秒时，以
B、C为顶点的三角形是
3 3
直角三角形.。