微分几何曲面的第一基本形式

（2）对于坐标曲线的交角，有
cos? ? dr ??r ? ru ?rv ? F dr ?r ru rv EG
故坐标曲线正交的充要条件为 F = 0 。
2、3 正交曲线簇和正交轨线
设有两曲线 Adu ? Bdv ? 0 , C(u, v)?u ? D(u, v)?v ? 0
如果它们正交，则 Edu?u ? F (du?v ? ?udv) ? Gdv?v ? 0
??d?
?
??r?u
?
? rv
dudv
?
?? EG ?
F 2 dudv
D
D
D
其中 D 为相对应的 u,v 平面上的区域，
? (ru
?
? rv
)
2
?
r?u2r?v2
?
? (ru
?r?v )2
?
EG
?
F
2
?
0
从前面的讲解中知道弧长、夹角、曲面域的面积都 与第一类基本量有关，都可以用第一类基本向量 E、 F、G 来表示，这类量非常重要，要知道曲面的第一 基本形式，可以不管曲面的形状就可以计算
4、第一基本形式是正定的。 事实上，E ? ru ?ru ? ru2 ? 0, G ? rv2 ? 0, EG ? F 2 ? ru2rv2 ? (ru ?rv )2 ? 0. 也可从 ? ? ds2 直接得到。
1、把两个向 量 dr ? rudu ? rvdv和 ?r ? ru?u ? rv?v 间的交角 称为方向（ du : dv ）和（ ?u : ?v ）间的角。
B
?v ?u
?
0
即
?v ? ? BE ? AF ?u BF ? AG
ຫໍສະໝຸດ Baidu 2、4 曲面域的面积
如图,用坐标曲线把曲面
分成若干小块,每块的面积
为
d?
?
? ru
du
?
? rvdv
?
? ru
?
? rv
dudv
?
(u,v? dv) (u? du,v? dv)
rvdv
? rudu
P(u,v)
(u? du,v)
?
?
定理： 两个曲面之间的一个变换是等距的充要条件 是经过适当的参数选择后，他们具有相同的第一基 本形式。
推论 仅由第一基本形式所确定的曲面的性质 （内蕴性 质）在等距变换下是不变的 . 注 曲面上曲线的弧长、夹角、曲面域的面积等都是 等距不变的
例：证明平面和圆柱面等距 分析只要找到一个参数变换使第一基本形式相同即可
曲面
S
到
S1
的变换
?
给定两曲面： S：r
?
? r (u, v)
? S1：r1
?
? r1 (u1, v1 )
如果其对应点的参数之间存在一一对应关系：
u1 ? u1(u, v) ， v1 ? v1(u, v)
其中 u1(u, v), v1(u, v)
?(u, v) 连续，有连续的偏导数，且 ?(u1, v1)
证：平面和圆柱面的第一基本形式分别为
I平 ? du2 ? dv2 , I圆柱 ? R2d? 2 ? dz2
作
???
?
?
1u R
其雅可比行列式不为零有
?? z ? v
I圆柱 ? R2d? 2 ? dz2 ? du2 ? dv2 ? I平
2.6 保角变换
定义 曲面之间的一个变换，如果使曲面上对应曲 线的交角相等，则这个变换称为保角变换 (保形变换)
?
0
这由种于一一S对1 :应r?1关? 系r?1(称u1为, v曲1) 面? r?S1(到u1(Su1,的v)变, v1换(u。, v))
?
? r1(u, v)
这样两个曲面在对应点就有相同的参数。并且在以后的讨论中 我们总假定在对应点有相同的参数。
2)等距变换：曲面间的一个变换，如果保持曲面上任意对应曲 线的长度不变，则这个变换称为等距变换（保长变换）。
?
?
r ru du
rrvdv)2
?
r rvdv
?
r ru
?rru du 2
?
r 2ru
?rrvdudv ?
r rv
?rrvdv2
所以
? ? Edu2 ? 2Fdudv ? Gdv2
称为曲面的第一基本形式。其中
E
?
? ru
?r?u
,
F
?
? ru
?r?v
,
G
?
? rv
?r?v
称为第一类基本量。
3、用显函数样 z = z (x , y) 表示的曲面的第一基本形式
? r
?
{x,
y,
z( x,
y)}
? rx
?
{1,0,
p},
? ry
?
{0,1, q},
p ? ?z , q ? ?z . ?x ?y
E
?
? rx
?r?x
? 1?
p2, F
?
? rx
?r?y
?
pq , G
?
? ry
?r?y
? 1?
q2
? ? (1 ? p2 )dx2 ? 2 pqdxdy ? (1? q2 )dy2
定义 曲面上仅由第一类基本量表示的量称为曲面 的内蕴量 ,曲面上仅由第一类基本量有关的性质称为 曲面的内蕴性质
一个问题是什么样的曲面具有相同的第一基本形 式，显然不同曲面的表示不同就无法比较其第一 基本形式，为了研究这个问题必须使不同的曲面 有相同的参数表示。也即下节的等距变换。
2、5 等距变换
1)
2、设两方向的夹角为 ? ，则
cos? ? dr ??r ? (rudu ? rvdv)(ru?u ? rv?v)
dr ?r
dr 2 ?r 2
?
Edu?u ? F (du?v ? ?udv) ? Gdv?v
Edu2 ? 2Fdudv ? Gdv2 E?u2 ? 2F?u?v ? G?v2
3、特别 （1） (d ) ? (? ) ? Edu?u ? F (du?v ? ?udv) ? Gdv?v ? 0
第二节 曲面的第一基本形式
1、 给出曲面S：r = r (u ,v) ，曲面曲线 (c)：u = u (t) , v = v (t) ,
或
r = r [u (t) ,v (t) ] = r (t)，
若
s
表rr示?(t弧) ?长rr有u ddut ?
ds
r rv
2?
dv dt
drr
2
或
r dr
?
r (rudu
或 E ? F ( dv ? ?v) ? G dv ?v ? 0 du ?u du ?u
即 E ? F(A? C )? G AC ? 0 B D BD
若另给出一簇曲线 Adu? Bdv ? 0 ,
则另一族与它正交的曲线称为这曲线的正交轨线，它的微分方程
是
E
?
F
(?
A? B
?v ?u )
?
G(?
A )
与等距变换一样，下面假定曲面在对应点有相同参数。 什么样的两曲面保角呢？有下定理：
定理：两个曲面之间变换是保角变换的充要条件是 第一基本形式成比例。
充分性：设两个曲面的第一基本形式为：
I ? Edu2 ? 2Fdudv ? Gdv2.
I1 ? E1du 2 ? 2F1dudv ? G1dv2.