二次根式的化简与求值
人教版八年级数学 竞赛专题：二次根式的化简与求值(含答案)
人教版八年级数学 竞赛专题：二次根式的化简与求值（含答案）【例1】 化简（1(ba b ab b -÷--（2（3（4解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例2】 比6大的最小整数是多少？解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y ==想一想：设x =求432326218237515x x x x x x x --++-++的值.的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例3】 设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例4】 （1的最小值.（2的最小值.解题思路：对于（1）的几何意义是直角边为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y =，设A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例5】 设2)m a =≤≤，求1098747m m mm m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.若满足0＜x＜y=x，y）是_______2.2x－3，则x的取值范围是（）A.x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞03）A．1B C. D. 54、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；丙：若α，β其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个5、化简：（1（2（3（4（56、设x =(1)(2)(3)(4)x x x x ++++的值.77x =，求x 的值.B 级1.已知3312________________x y x xy y ==++=则.2.已知42______1x x x ==++2x 那么.3.a =那么23331a a a++＝＿＿＿＿＿.4. a ，b 为有理数，且满足等式14a +=++则a ＋b ＝（ ）A .2B . 4C . 6D . 85． 已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b6.=） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 7. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则等于（ ）A .1B .2C .3D . 48． 把(1)a - ）A .B C. D .9、化简：（110099+（2（310、设01,x << 1≤<.12、已知a, b, c为有理数，证明：222a b ca b c++++为整数.参考答案例1 (1)⎤(2)+5．(3)3-；（4-++＝-．例2 x＋y＝，xy＝1，于是x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝22，x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＝，x6＋y6＝(x3＋y3)2－2x3y3＝10582 ．∵01，从而0＜6＜1，故10 581＜6＜10 582．例 3 x＝－y…①；同理，y＝x…②．由①＋②得2x＝－2y，x＋y＝0．例4 (1)构造如图所示图形，P A PB．作A关于l的对称点A'，连A'B交l于P，则A'B13为所求代数式的最小值．(2)设yA(x，0)，B(4，5)，C(2，3)．作C关于x轴对称点C1，连结BC1交x轴于A点．A即为所求，过B作BD⊥CC1于D点，∴AC＋AB＝C1B＝例 5 m＝＋＝．∵1≤a≤2，∴01，∴－11≤0，∴m＝2．设S＝m10＋m9＋m8＋…＋m－47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①，2S＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①，得S＝211－2－94＋47＝1 999．A级1．(17，833)，(68，612)，( 153，420) 2．B 3．C4．A 5．(1)()2x yx y+-(2)22-(4) 6．48提示：由已知得x2＋5x＝2，原式＝(x2＋5x＋4)(x2＋5x＋6)．7．由题设知x＞0，(＋)(－)＝14x．∴－＝2，∴2＝7x＋2，∴21x2－8x－48＝0．其正根为x＝127．B级1．642．9553．1提示：∵－1)a＝2－1，即1a－1．4．B提示：由条件得a＋3＋a＝3，b＝1，∴a＋b＝4．5．B提示：a－b－11＝0．同理c－a＞0 6．B 7．B 8．D提示：注意隐含条件a－1＜0．9．(1)910提示：考虑一般情形＝－(2)原式＝8153+＝2+(3)210．构造如图所示边长为1的正方形ANMD，BCMN．设MP＝x，则CPAP，AC，AM AC≤PC＋P A＜AM＋MC，，则≤＋＜1＋11．设y＝－＝，设A(4，5)，B(2，3)，C(x，0)，易求AB的解析式为y＝x＋1，易证当C在直线AB上时，y有最大值，即当y＝0，x＝－1，∴C(－1，0)，∴y＝12b c+-＝)22233ab bc b acb c-+--为有理数，则b2 －ac＝0．又a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋b2)＝()2cba++－2b（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）（a－b＋c），∴原式＝a－b＋c为整数．。
二次根式化简求值的十种技巧
二次根式化简求值的十种技巧
1、分解因子：将多项式的括号分解，提取未知项；
2、分子分母同乘以同一因子或者最小公倍数：分子分母乘以最小公倍数后，可分解未知项；
3、比例问题转化为相似三角形：通过比例问题比较两个等式，转化为两个相似三角形，求他们的包含角；
4、代入等式方法：把另外一个等式中的已知值替换掉未知项，再用未知项代入其他等式求解；
5、化简为等式：将式子中的所有常数项移到右边，使左边的各未知项组成解；
6、同类项除法：直接将同类项的分子分母分别相除，可消去某项未知数；
7、加减同乘：可以把加/减法式改成乘法式，使同类项可相除；
8、乘除同加：可以把乘/除法式改成加法式，使同类项可分解；
9、移项求值：把式子中的所有未知项移到右边，用常数项求出变量值；
10、套管问题：将多项式中的未知数抽出，再套回原来的表达式中去，计算未知项的值。
二次根式求值简便方法
二次根式求值简便方法二次根式的求值是初中数学中比较基础的知识，而在解题时，经常需要使用一些简便方法来快速求出其结果。
下面就来介绍一下二次根式的求值简便方法。
一、化简二次根式化简是求解二次根式的关键，只有化简后的二次根式才能进行计算。
若是求解 $ \sqrt{16a^2b^4} $，可以将其化为 $ 4ab^2 $，利用$ \sqrt{a^2b^2} = ab $ 的特性，将式子中的平方项提出来即可：$$ \sqrt{16a^2b^4} = \sqrt{(4a)^2b^4} = 4ab^2 $$同样，假如需要求解 $ \sqrt{50}-\sqrt{18} $，则可以将其中的根式进行化简，得到：$$ \begin{aligned} \sqrt{50}-\sqrt{18} & = \sqrt{25\times2}-\sqrt{9\times2} \\ & = 5\sqrt{2}-3\sqrt{2} \\ & = 2\sqrt{2}\end{aligned} $$二、配方法在求解包含二次根式的方程时，常使用配方法来消去根号。
例如，求解 $ \sqrt{3x+1} + 2 = 5 $，可以使用配方法来解得：$$ \begin{aligned} & \qquad \sqrt{3x+1} + 2 = 5 \\ &\Rightarrow \sqrt{3x+1} = 3-2 \\ & \Rightarrow \sqrt{3x+1} = 1 \\ & \Rightarrow 3x+1 = 1 \\ & \Rightarrow 3x = 0 \\ &\Rightarrow x = 0 \end{aligned} $$三、分离因式对于某些稍微复杂的二次根式，有时候需要将其分离为简单的因式，再进行计算。
例如，求解 $ \sqrt{12}-\sqrt{48} $：$$ \begin{aligned} \sqrt{12}-\sqrt{48} & = 2\sqrt{3}-4\sqrt{3} \\ & = -2\sqrt{3} \end{aligned} $$这里就将二次根式 $ \sqrt{12} $ 和 $ \sqrt{48} $ 分别分离为$ 2\sqrt{3} $ 和 $ 4\sqrt{3} $，再将其合并计算即可。
八年级数学：常见二次根式化简求值的九种技巧
八年级数学：常见二次根式化简求值的九种技巧在有理数中学习的法则、运算律、公式等在二次根式中仍然适用，对于二次根式化简有些通过常规的方法计算比较麻烦，那有没有什么做题技巧呢？接下来老师来分享一下常见二次根式化简求值的九种技巧，很多同学都没见过。
技巧1：估算法问题思路分析：可通过估算法算出这三个数分别在哪两个整数之间，然后算出答案，本题比较简单。
技巧2：公式法问题思路分析：可根据多项式乘以多项式的法则轻松得到答案，这也是课上老师常练的计算题。
技巧3：拆项法问题思路分析：根据提示把上面的分子进行替换，然后再把式子拆成两项，什么时候用拆项法呢?当式子之间有联系（可以拆成有关系的式子）时，本题的具体答案如下：技巧4：换元法问题思路分析：如果直接把n的值代入计算量会很大并且计算易出错，那我们可以用换元法来做，因数学符号不好打，本题的具体答案如下（当然可以用其他的换元法）：技巧5：整体代入法问题思路分析：先把所求的式子进行化简，再利用完全平方公式进行化简整体代入，请同学们自己动手做一下，做完后对一下下面的答案：技巧6：因式分解法问题思路分析：把分母因式分解后，再和分子约分后化简，本题分母因式分解比较难，请同学们认真，本题的具体答案如下：技巧7：配方法问题思路分析：先根据二次根式的定义求得a的取值范围，然后对所求的式子进行化简，其中可以用配方法求得本题的答案，具体答案如下：技巧8：辅元法问题思路分析：所谓辅元法，就是引入一个新的未知数把其他未知数表示出新的未知数的代数式，然后再代入求值，请同学们按照上述老师说的方法自己动手做一下，具体答案如下：技巧9：先判后计算问题思路分析：先根据已知条件判断a和b的符号，然后再化简求值，希望同学们一定要动脑自己尝试去做一下，本题的具体答案如下：上面就是老师讲的常见二次根式化简求值的九种技巧，一定要注意所给出的条件或题中的隐含条件，根据题目的特点，选取适当的解题方法。
「初中数学」常见二次根式化简求值的几种技巧_0.doc
「初中数学」常见二次根式化简求值的几种
技巧
二次根式的化简求值是初中数学的重要内容，也是中考试题中的常见题型，对于特殊的二次根式的化简，除了掌握基本的概念和运算法则外，还应根据根式的具体结构特征，灵活一些特殊的方法和技巧，现就几种常用的方法和技巧举例说明如下:
一.巧用乘法公式
由于平方差公式:(a+b)(a一b)=a²一b²的结构特征的优越性，在根式的化简求值中简捷明了.
1.化简:(√2+√3+√5)(3√2+2√3一√30).
关键:对第二个因式提取√6后，发现与第一个因式的数量关系.
解:原式=(√2+√3+√5)√6(√3+√2一√5)=√6[(√2+√3)+√5][(√2+√3)一√5]=√6[(√2十√3)²一(√5)²]=√6(2+2√6+3一5)=√6×2√6=12.
2.化简:(√5+√6+√7)(√5+√6一√7)(√5十√7一√6)(√6十√7一√5).
解:原式=[(√5+√6)²一(√7)²][(√7)²一(√6一√5)²]=(4+2√30)(2√30一4)=(2√30)²一4²=104.
二.巧运逆运算
三.巧拆项
四.巧换元
五.巧因式分解
六.巧配方
七.巧平方
八.巧添项
九.巧取倒数
十.巧用1”代换
【总结】二次根式的化简求值题型多变，有较强的灵活性、技巧性、综合性。
在求解的过程中应根据根式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧，不仅可以化难为易，迅捷获解，而且对于培养和提高同学们的数学思维能力，激发学习兴趣是大有帮助的。
第三节 二次根式的化简求值-学而思培优
第三节二次根式的化简求值-学而思培优第三节二次根式的化简求值二、核心纲要如果二次根式的被开方数（式）中含有二次根式，这样的式子叫做双重二次根式，例如3-2.8+7.2.化简双重二次根式对于双重二次根式a±2b，设法找到两个正数x、y(x>y)，使得x+y=a，xy=b，则a±2b=(x±y)²=x²±2xy+y²。
3.二次根式化简求值的方法1) 直接代入：将已知条件代入所求代数式即可。
2) 变形代入：将条件或结论进行适当的变形，再代入求值。
4.共轭根式形如a+b和a-b（其中a，b是有理数）的两个最简二次根式称为共轭根式。
5.解无理方程解无理方程的方法就是转化为有理方程进行求解，然后检验。
本节重点讲解二次根式的化简和求值。
三、全能突破基础训练1.若x=m-n，y=m+n，则xy的值是( )。
A。
2m B。
2n C。
m+n D。
m-n2.已知若2x-1+y-3=√2，则4x×xy÷2y等于( )。
A。
2 B。
2√2 C。
2 D。
13.已知a=5+2，b=5-2，则a+b+7的值为( )。
A。
3 B。
4 C。
5 D。
64.代数式a+2a-2-2-a+3的值等于a-b=5.若a+b=5，ab=4，则：5.先化简，再求值：1) 2a³ab³-131/27a³b³+2abab，其中a=964，b=3.2) 3(a+3)(a-3)-a(a-6)-(a+2)²+13，其中a=2-1.a²-a-23) xy+(x+y)²/3-2，其中a=2-1.a²-4a+47.已知x=值，y=，求代数式xy-(x+y)²/3+2的值。
8.已知x=2+3，y=2-3，求下列代数式的值：1) x²-xy+y²2) x+y9.星期天，XXX的妈妈和XXX做了一个小游戏，XXX的妈妈说：“你现在研究了二次根式，若x表示10的整数部分，y代表它的小数部分，我这个纸包里的钱是(10+x)y元，你猜一猜这个纸包里的钱数是多少？10.某同学作业本上有这样一道题：“当a=□时，试求a+a-2a+1的值”。
二次根式化简求值约分法
二次根式化简求值约分法
二次根式化简求值约分法主要涉及到二次根式的化简和约分。
首先，我们需要了解二次根式的基本性质，如：
a×b=a×b（当a≥0且b≥0）
ba=ba（当a≥0，b>0）
接下来，我们按照以下步骤进行化简和约分：
1.化简二次根式：
▪将被开方数分解为能开得尽方的因数或因式的乘积。
▪使用二次根式的基本性质进行化简。
2.约分：
▪找出分子和分母中的公因式。
▪使用二次根式的基本性质进行约分。
3.求值：
▪将化简和约分后的二次根式代入给定的值进行计算。
下面通过一个具体的例子来说明这个过程：
例：化简并求值312+27。
解：
4.化简二次根式：
▪12=4×3=23
▪27=9×3=33
5.约分：
▪323+33=353
▪使用二次根式的基本性质进行约分，得到5。
6.求值：
▪在这个例子中，由于已经化简和约分到了最简形式，所以直接得到结果为5。
通过这个过程，我们可以看到二次根式化简求值约分法的主要步骤和技巧。
在实际应用中，我们还需要注意被开方数的取值范围，确保开方运算的合法性。
— 1 —。
二次根式的化简求值(含答案)
第八讲 二次根式的化简求值用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式，有理式和无理式统称代数式，整式和分式统称有理式．有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点．这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形，有时需把待求式化简或变形，有时需把已知条件和待求式同时变形．例题求解 【例l 】已知21=+xx ，那么191322++-++x x x x x x 的值等于 ．(2001年河北省初中数学创新与知识应用竞赛题)思路点拨 通过平方或分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用xx 1+的代数式表示．【例2】 满足等式2003200320032003=+--+xy y x x y y x 的正整数对(x ，y)的个数是( )A ．1B ．2C ． 3D ． 4 (2003年全国初中数学联赛题)思路点拨 对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解．【例3】已知a 、b 是实数，且1)1)(1(22=++++b b a a ，问a 、b 之间有怎样的关系?请推导．(第20后俄罗斯数学臭林匹克竞赛题改编) 思路点拨 由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．【例4】 已知：aa x 1+= (0<a<1)，求代数式42422362222----+---+÷-+x x xx x x x x x x x 的值． (2002半四川省中考题)思路点拨 视x x x 4,22--为整体，把aa x 1+=平方，移项用含a 代数式表示x x x 4,22--，注意0<a1的制约．【例5】 (1)设a 、b 、c 、d 为正实数，a<b ，c<d ，bc>ad ，有一个三角形的三边长分别为22c a +，22d b +，22)()(c d a b -+-，求此三角形的面积；(第12届“五羊杯”竞赛题)（2）已知a ，b 均为正数，且a+b=2，求U=1422+++b a 的最小值．(2003年北京市竞赛题)思路点拨 (1)显然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)，22c a +的几何意义是以a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形人手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决；(2)用代数的方法求U 的最小值较繁，运用对称分析，借助图形求U 的最小值．学历训练1．已知2323-+=x ，2323+-=y ，那么代数式22)()(y x xy y x xy +-++值为 ．2．若41=+a a (0<a<1)，则aa 1-= ． 3．已知123123++=++x x ，则)225(423---÷--x x x x 的值．(2001年武汉市中考题)4．已知a 是34-的小数部分，那么代数式)4()2442(222a a a a aa a a a -⋅++++-+的值为 ． (2003年黄石市中考题)5．若13+=x ，则53)321()32(23+-+++-x x x 的值是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 (2003年河南省竞赛题) 6．已知实数a 满足a a a =-+-20012000，那么22000-a 的值是( ) A ．1999 B ．2000 C ．2001 D ．20027．设9971003+=a ，9991001+=a ,10002=c ，则a 、b 、c 之间的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．c<b<a C ． c<a<b D ．a<c<b8．设a a x -=1，则24x x +的值为( )A ．a a 1-B ．a a -1C ．aa 1+ D ．不能确定 9．若a>0，b>0， 且)5(3)(b a b b a a +=+，求abb a ab b a +-++32的值．10．已知x x =--2)1(1，化简x x x x +++-+414122．11．已知31+=x ，那么2141212---++x x x = ． (2003年“信利杯”全国初中数学竞赛题) 12．已知514=-++a a ，则a 26-= ．13．已知9)12(42+-++x a 的最小值为= ．（“希望杯”邀请赛试题）14．已知2002)2002)(2002(22=++++y y x x ，则58664322+----y x y xy x = ．(第17届江苏省竞赛题) 15．1+a2如果22002+=+b a ，22002-=-b a ，3333c b c b -=+，那么a 3b 3－c 3的值为( ) (2003年武汉市选拔赛试题)A ．20022002B ．2001C ．1D ．016．已知12-=a ，622-=b ，26-=c ，那么a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．b<a<c C ．c<b<a c<a<b (2002年全国初中数学联赛题)17．当220021+=x 时，代数式20033)200120054(--x x 的值是( ) A ． 0 B ．一1 C ． 1 D ．－ 22003 (2002年绍兴市竞赛题)18．设a 、b 、c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则2a+999b+1001c 的值是( ) A ．1999 B ． 2000 C ． 2001 D ．不能确定 (2001年全国初中数学联赛试题)19．某船在点O 处测得一小岛上的电视塔A 在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B 处，测得电视塔在船的西北方向，问再向西航行多少海里，船离电视塔最近?20．已知实数 a 、b 满足条件1<=-a b b a ，化简代数式2)1()11(--⋅-b a ba ，将结果表示成不含b 的形式．21．已知a a x 21+=(a>0)，化简：2222-++--+x x x x ．22．已知自然数x 、y 、z 满足等式062=+--z y x ，求x+y+z 的值． (加拿大“奥林匹克”竞赛题)答案：。
专题07 二次根式化简求值(解析版)
专题07 二次根式化简求值【考点归纳】1、二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．2、二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．3、二次根式的化简求值的常见题型及方法常见题型：与分式的化简求值相结合．解题方法：（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．【好题必练】一、选择题1．（2020秋•天心区期末）已知x＝+2，则代数式x2﹣x﹣2的值为（）A．9B．9C．5D．5【答案】D．【解析】解：∵x＝+2，∴x﹣2＝，∴（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2＝4x+1，∴x2﹣x﹣2＝4x+1﹣x﹣2＝3x﹣1，当x＝+2时，原式＝3（+2）﹣1＝3+5．故选：D．2．（2020秋•会宁县期末）已知a＝+2，b＝﹣2，则a2+b2的值为（）A．4B．14C．D．14+4【答案】B．【解析】解：∵a＝+2，b＝﹣2，∴a+b＝（+2+﹣2）＝2，ab＝（+2）（﹣2）＝﹣1，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（2）2﹣2×（﹣1）＝14，故选：B．3．（2020秋•乐亭县期末）已知x＝+1，y＝﹣1，则x2+2xy+y2的值为（）A．20B．16C．2D．4【答案】A．【解析】解：当x＝+1，y＝﹣1时，x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（+1+﹣1）2＝（2）2＝20，故选：A．4．（2020•石家庄模拟）当，分式的结果为a，则）A．a＞1B．C．D．【答案】B．【解析】解：+＝+＝＝，当x＝+1时，原式＝＝＝，即a＝，∵＜＜1，∴＜a＜1，故选：B．5．（2020秋•渝中区校级月考）已知m＝+，n＝﹣，则代数式的值为（）A．5B．C．3D．【答案】B．【解析】解：∵m＝+，n＝﹣，∴m+n＝2，mn＝5﹣2＝3，∴原式＝＝＝．故选：B．6．（2020秋•大洼区月考）当m＝3时，m+的值等于（）A．6B．5C．3D．1【答案】B．【解析】解：原式＝m+＝m+|m﹣1|，当m＝3时，原式＝3+|3﹣1|＝3+2＝5．故选：B．二、填空题7．（2020春•高密市期中）若a＝+1，则a2﹣2a+1的值为．【答案】6【解析】解：∵a＝+1，∴原式＝（a﹣1）2＝（+1﹣1）2＝6．故答案为：6．8．（2020春•明水县校级期中）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值：（1）x2+2xy+y2＝；（2）x2﹣y2＝．【答案】（1）12（2）4．【解析】解：（1）∵x＝+1，y＝﹣1，∴x+y＝2，∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（2）2＝12，故答案为：12；（2）∵x＝+1，y＝﹣1，∴x+y＝2，x﹣y＝2，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×2＝4，故答案为：4．9．已知a＝1+，b＝，则a2+b2﹣2a+1的值为．【答案】5【解析】解：∵a＝1+，b＝，∴a2+b2﹣2a+1＝（a2﹣2a+1）+b2＝（a﹣1）2+b2＝（1+﹣1）2+（）2＝2+3＝5，故答案为：5．10．（2020春•武昌区期中）若a＝2+，b＝2﹣，则ab的值为．【答案】1【解析】解：∵a＝2+，b＝2﹣，∴ab＝（2+）×（2﹣）＝4﹣3＝1．故答案为：1．11．（2019秋•高安市校级期末）若x＝﹣1，则x3+x2﹣3x+2020的值为．【答案】2019【解析】解：∵x＝﹣1，∴x+1＝，∴（x+1）2＝2，即x2＝﹣2x+1，∴x3＝﹣2x2+x＝﹣2（﹣2x+1）+x＝5x﹣2，∴x3+x2﹣3x+2020＝5x﹣2﹣2x+1﹣3x+2020＝2019．故答案为2019．三、解答题12．（2020春•常熟市期中）已知x＝﹣2，y＝+2，求代数式x2+y2+xy﹣2x﹣2y的值．【答案】解：∵x＝﹣2，y＝+2，∴x+y＝2，xy＝﹣1，∴x2+y2+xy﹣2x﹣2y＝（x+y）2﹣xy﹣2（x+y）＝（2）2﹣（﹣1）﹣2×2＝12+1﹣4＝13﹣4．【解析】先计算出x+y与xy的值，再利用完全平方公式得到x2+y2+xy﹣2x﹣2y＝（x+y）2﹣xy﹣2（x+y），然后利用整体代入的方法计算．13．（1）计算：（）2﹣3；（2）如果a＝﹣，求﹣的值．【答案】解：（1）原式＝3﹣3×3＝3﹣9＝﹣6；（2）∵a＝﹣，∴a+1＝﹣+1＜0，a﹣1＝﹣﹣1＜0，则原式＝|a+1|﹣|a﹣1|＝﹣a﹣1+a﹣1＝﹣2．【解析】（1）根据（）2＝a，＝|a|求解可得；（2）先由a＝﹣判断出a+1和a﹣1的符号，再根据＝|a|化简可得．14．（2020春•大悟县期中）先化简再求值：已知a＝，b＝，求．【答案】解：∵a＝＝+2，b＝＝﹣2，∴a+b＝2，ab＝1，∴＝＝＝＝4．【解析】先分母有理化，再计算出a+b与ab，再利用完全平方公式得到原式，然后利用整体的方法计算．15．（2020春•闵行区校级期中）先化简，再求值：已知a＝2﹣，b＝2，求的值．【答案】解：＝＝，当a＝2﹣，b＝2时，原式＝＝＝﹣．【解析】先化简分式，然后将a＝2﹣，b＝2代入求值．16．（2020春•江汉区期中）已知x＝，y＝，m＝﹣，n＝+（1）求m，n的值；（2）若﹣＝n+2，＝m，求+的值．【答案】解：（1）∵x＝，y＝，∴x+y＝，x﹣y＝﹣1，xy＝，∴m＝﹣＝＝﹣＝﹣＝2；n＝+＝＝＝＝4；（2）∵﹣＝6，＝2，∴（﹣）2＝36，∴（+）2﹣4＝36，∴（+）2＝36+4×2＝44，∴+＝2．【解析】（1）先利用x与y的值计算出x+y＝，x﹣y＝﹣1，xy＝，再把m、n变形为m＝﹣＝﹣；n＝+＝；然后利用整体代入的方法计算m、n的值；（2）由于﹣＝6，＝2，利用完全平方公式得到（+）2﹣4＝36，最后利用算术平方根的定义得到+的值．。
二次根式的化简求值
二次根式的化简求值二次根式是数学中一个常见的概念，我们通过化简可以将一个复杂的二次根式简化为更为简洁的形式，方便计算和理解。
下面我们将介绍化简二次根式的具体方法和求值的步骤。
1. 化简二次根式的基本规则化简二次根式的基本原则是将根号内的式子化为平方数的乘积，通常采用以下两种方法：①合并同类项：将根号内的式子合并同类项，将它们看作一个整体，比如√6 + √24 就可以合并为√6 + 2√6 = 3√6。
②有理化分母：通过有理化分母，将分母中的根式化为整数，比如√2/2 这个二次根式，在分母上下乘以√2，就可以化为 1。
2. 化简二次根式的具体方法对于形如a√n 或a + b√n 的二次根式，我们可以通过以下方法进行化简：① a√n + b√n = (a + b)√n② a√n - b√n = (a - b)√n③ (a + b)√n + (c + d)√n = (a + b + c + d)√n④ (a + b)√n - (c + d)√n = (a + b - c - d)√n⑤ (√n + a)(√n + b) = n + a√n + b√n + ab = (a + b)√n + n⑥ (√n + a)(√n - b) = n - ab - b√n - a√n = (a - b)√n + n - ab3. 求解二次根式的具体步骤求解二次根式通常需要进行以下步骤：①化简二次根式，提取出公因数或合并同类项，得到一个简化后的式子。
②根据需要，进行有理化分母，消去分母中的根式，使分母变为整数。
③如果需要求具体的值，将已有的数字代入式子中，进行计算。
4. 实际应用场景二次根式在现代数学和物理学中有着广泛的应用，比如：①网站安全性的评估：用于计算在用户的密码长度和密码字典的规模之下，恶意攻击者能够穷尽所有密码的最大数量。
②统计分析：用于计算标准差和方差。
③金融学：用于计算股票价格的变化幅度， volatility index。
二次根式化简求值
二次根式化简求值1. 什么是二次根式化简？二次根式是指含有平方根的表达式，形如√(a + b√c)，其中a、b、c为实数。
二次根式化简是指将一个二次根式表达式转化为最简形式的过程。
最简形式指的是将二次根式中的平方根项和非平方根项分开，并且使得其中不含有相同的根式。
2. 二次根式的化简规则二次根式的化简可以通过以下规则进行：2.1 合并同类项合并同类项是指将二次根式中的相同根号项合并在一起。
例如，√2 + 3√2可以合并为4√2。
2.2 分离平方根项和非平方根项将二次根式中的平方根项和非平方根项分离开来。
例如，√3 + 2可以分离为√3+ 2√1。
2.3 化简平方根项将平方根项中的根号内的数化简。
例如，√4可以化简为2。
2.4 化简非平方根项将非平方根项中的数化简。
例如，2√1可以化简为2。
3. 二次根式的求值求二次根式的值是指计算二次根式的数值结果。
对于已经化简的二次根式，可以直接求值。
3.1 求值的方法求值可以通过以下方法进行：3.1.1 代入数值将二次根式中的变量用具体的数值代入，然后进行计算。
例如，对于√(2 + √3)，可以将其中的√3用具体的数值代入，如√(2 + 1.732)。
3.1.2 使用近似值如果二次根式中的数值较复杂，无法精确求解，可以使用近似值进行计算。
近似值可以通过计算器或数值计算方法获得。
3.2 求值的注意事项在进行二次根式的求值时，需要注意以下事项：3.2.1 考虑正负号二次根式中的根号项可以有正负两种情况。
在求值时，需要根据具体的问题确定根号项的正负号。
3.2.2 注意精度在使用近似值进行计算时，需要注意计算精度。
精确度越高，计算结果越准确。
4. 示例下面通过几个示例来演示二次根式的化简和求值过程：4.1 示例1化简和求值√(2 + √3)。
首先，我们将√3作为一个整体，得到√(2 + √3) = √(2 + √3)。
然后，我们将√3展开，得到√(2 + √3) = √(2 + 1.732)。
二次根式的运算及化简求值技巧
二次根式的运算及化简求值技巧嘿，朋友们，今天咱们聊聊一个让人又爱又恨的话题——二次根式。
对，这就是那些看起来像“√2”、“√5”这种的根式。
别急，虽然听上去像是数学天书，其实也没那么难懂。
咱们一起理清楚，搞定这些小家伙，让它们乖乖听话！1. 二次根式是什么？1.1 根式的定义首先，咱们得搞清楚什么是二次根式。
简单来说，二次根式就是根号下的数字，比如√4、√9、√x。
这个√就是根号的意思，表示一个数的平方根。
举个例子，√4等于2，因为2的平方是4。
同理，√9等于3，因为3的平方是9。
是不是觉得有点小有趣？1.2 根式的分类接下来，根式的世界可不止这么简单。
根式可以分成几种类型。
比如，完全平方根和非完全平方根。
完全平方根就是可以被开平方的，像√9、√16；而非完全平方根就是像√2、√5，这些小家伙的平方根是个无理数，也就是小数点后面是无限的。
2. 二次根式的运算2.1 加减运算说到运算，大家可能会问：“根式怎么加减？”答案是，只有在根号下的数字一样的时候才能加减。
就像你不能把一只苹果和一只香蕉放一起当水果来吃，对吧？比如√2 + √2 就等于2√2，因为它们的根号下的数字相同，但√2 + √3 就不能直接相加，得留着搞清楚。
2.2 乘除运算那么，根式的乘除呢？这就简单多了。
乘法是根号里边的数字直接相乘，比如√2 × √3 就等于√(2 × 3)，也就是√6。
除法也差不多，比如√8 ÷ √2 就等于√(8 ÷ 2)，也就是√4，结果是2。
看吧，这个计算方法是不是特别直白？3. 二次根式的化简3.1 化简根式说到化简，二次根式的化简就是把它弄得更简单、更容易看懂。
比如√50，咱们可以把50拆成25 × 2，25是完全平方数，所以√50 可以化简成√(25 × 2) = 5√2。
看，这样不是更清晰了吗？3.2 利用平方数还有个技巧，就是利用平方数。
专题01 二次根式的化简与求值
专题01 二次根式的化简与求值专题01 二次根式的化简与求值二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式和分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧。
有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点。
这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法。
解题的基本思路是：1、直接代入已知条件，然后化简求值；2、变形代入，适当地变条件和结论，再代入求值。
数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负、加与减、乘与除、数与形、有理数与无理数、常量与变量、有理式与无理式、相等与不等、正面与反面、有限与无限、分解与合并、特殊与一般、存在与不存在等。
数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展。
想一想：若$x$、$y$、$n$都是正整数且$y=n$，则$x$、$y$、$n$都是同类二次根式，为什么？例题与求解例1】当$x=\frac{1}{\sqrt{2002}+1}$时，代数式$(4x^3-2005x-2001)^{2003}$的值是（）$A$、$B$、$-1$、$1$、$-2$。
（绍兴市竞赛试题）例2】化简：1）$\frac{ab+b\sqrt{ab}}{1-b\sqrt{ab}}$；2）$\frac{10+14-15-21}{10+14+15+21}$；3）$\frac{6+4\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(6+3)(3+2)}$；4）$\frac{315-10-26+33-2+18}{5+23+1}$。
解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难。
仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解。
思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式和分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中。
恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度。
例3】比$(6+5)^6$大的最小整数是多少？（XXX少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁。
二次根式的化简与运算详细解析
二次根式的化简与运算详细解析二次根式是数学中重要的一个概念，它在代数中的运算和化简是我们必须掌握的基本技能。
本文将详细解析二次根式的化简与运算，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、二次根式的化简化简二次根式是将含有根号的表达式变得更简单，通常有以下几种方法：1. 分解因式法当二次根式中的根号下为完全平方数时，可使用分解因式法进行化简。
例如，对于√36，因为36是6的平方，我们可以得到√36=√(6×6)=6。
2. 求平方法当二次根式中的根号下含有两项且其中一项为平方时，可以使用求平方法进行化简。
例如，对于√(x+2)(x+2)，我们可以将其展开为(x+2)，即√(x+2)(x+2)=x+2。
3. 合并同类项法当二次根式中存在相同的根号下的项时，可以使用合并同类项法进行化简。
例如，对于√12+√12，我们可以将其合并为2√12。
二、二次根式的运算二次根式的运算包括加减乘除四种基本运算，下面将详细介绍每一种运算的步骤和方法。
1. 加法与减法运算对于二次根式的加法与减法运算，要求根号下的项相同，即它们的根号下含有相同的因式。
例如，对于√5+√3-√5，我们可以合并相同的根号项，得到√5-√5+√3，进而化简为√3。
2. 乘法运算二次根式的乘法运算需要使用分配律，即将一个二次根式乘以另一个二次根式，并化简结果。
例如，对于√2 × √3，我们可以运用分配律，得到√(2 × 3)，即√6。
3. 除法运算二次根式的除法运算可以通过有理化的方法进行。
有理化是指将含有根号的表达式乘以一个合适的有理数，使得分子或分母中的根号项消去。
例如，对于√10/√2，我们可以将分子和分母都乘以√2，得到(√10 ×√2)/(√2 × √2)，即√20/2。
进一步化简为√20/2=√4/1=2。
三、应用举例为了更好地理解和应用二次根式的化简与运算，下面通过一些具体例子进行说明。
二次根式化简求值的十种技巧
二次根式化简求值的十种技巧下面是二次根式化简求值的十种技巧：技巧一：分解因式当二次根式的被开方数可以进行因式分解时，可以将其分解为两个或多个较简单的二次根式。
例如，√12可以分解为√4×√3，即2√3技巧二：有理化分母当二次根式的分母中含有二次根式时，可以采用有理化分母的方法进行化简。
有理化分母的方法是将分母有理化，即将分母中的二次根式进行去除。
例如，化简√(3/√2)时，可以将分母有理化为√(3×√2)。
技巧三：配方当二次根式中含有如(√x±√y)²或(√x±a)(√x±b)类型的项时，可以采用配方的方法进行化简。
例如，化简√(x+2√2+2)时，可以采用配方的方法，将其化简为(√(√2)+1)²。
技巧四：合并同类项当二次根式中含有相同的根号并且系数不同的项时，可以将其合并为一个项。
例如，化简√(2+√3)-√(2-√3)时，可以将两个相同根号下的项合并为一个项。
技巧五：有理数与二次根式相乘当二次根式与有理数相乘时，可以将二次根式中的根号与有理数相乘得到一个更简单的二次根式。
例如，化简2√8时，可以将其化简为2√(4×2)，即4√2技巧六：有理数与二次根式相除当一个有理数与一个二次根式相除时，可以将有理数分子和二次根式的分母相除，并将其结果乘以二次根式的分子。
例如，化简2/√(3+√5)时，可以将其化简为2(√(3+√5))/((3+√5))。
技巧七：分子和分母进行有理化当一个二次根式作为一个分数的分子或分母时，可以将分子和分母同时进行有理化。
例如，化简√(5/√3)时，可以将其化简为(√5×√3)/√(3×√3)，即(√15)/√3技巧八：提取公因式当一个二次根式中含有公因式时，可以将其提取出来，并进行分解或合并。
例如，化简√(6x+9)时，可以将其提取公因式3，并进行分解为3√(2x+3)。
八年级数学 二次根式化简求值及比较大小(含知识点练习题)
8设
S1
1 1 12
1 22
，
S2
1
1 22
1 32
，
S3
1
1 32
1 42
，
…，
Sn
1
1 n2
1
n 12
．
若
S S1 S2 … Sn ，求 S（用含 n 的代数式表示，其中 n 为正整数）．
9 已知
x
y 1
z
2
1 2
(x
y
z)
，求
x
、
y
随堂练习
x 3.1 当 x 0 时， x2 的值为（ ）
A． 1
B．1
x3 x 1
3.2 化简
x ，得（ ）
C． 1
D．x
A． x 1 x
B． 1 x x
C． x 1 x
D． x 1 x
3.3 实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则 (a +b)2 +a 的化简结果为____．
(
x x
x2 1)2
2x (x
1 1)2
，其中
x
3 2
．
二：多重二次根式 例 3.2.1 化简：（1） 4 12 （2） 4 15
例 3.2.2 化简： 10 8 3 2 2 ． 例 3.2.3 若正整数 a 、 m 、 n 满足 a2 4 2 m n ，则 a 、 m 、 n 的值依次是_______．
4.3 已知 a 2 1， b 2 2 6 ， c 6 2 ，那么 a ， b ， c 的大小关系是（ ）
二次根式化简与求值(同步)
二次根式： 双重二次根式：形如32-，二次根式的被开方数（式）中含有二次根式的式子叫双重二次根式． 多重二次根式：二次根式的被开方数（式）中含有多于一个二次根式的式子叫多重二次根式．双（多）重二次根式的解法：平方法、配方法、构造法、待定系数法．一、二次根式的化简求值【题1】 已知1322x =-，1322y =+，求2y x x y ++的值．【题2】 已知121x x +=，121x x ⋅=-，求12x x 的值．【题3】 求111122*********++++++的值．【题4】 求222122*********+++---的值．【题5】 当125a =-+，求代数式22296213a a a a a a a -+-++--的值．二次根式化简与求值基础演练新知学习【练一练】已知13a =- ，12b =，求3()2b a b -的值【题6】 先化简，再求值：2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-，其中3m =．【题7】 先化简，再求值222x y xy x y x y x y +++--，其中33x =-，23y =．【练一练】先化简，再求值：2232()111x x x x x x +÷---，其中31x =-．【练一练】先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x +++--+，其中332x =．【题8】 先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中5151,22a b +-==．【题9】 已知21x =+，求2211()21x x x x x x x+-÷--+的值．【练一练】 已知3232x +=-，求5x x -的值．【练一练】已知2,3a b ==，求b b a b a b --+的值．【练一练】已知1322x =+，1322y =-，求1111x y +--的值.【题10】 已知3232x -=+，3232y +=-求代数式22353x xy y -+的值．【题11】 已知1(75)2a =+，1(75)2b =-，求代数式225a ab b -+的值．【题12】 已知a 、b 、c 均为实数，且220,1,ab a a c c ab+===， 化简222()()b a b a c c b -++---．【题13】 31221x x +=++，求35(2)242x x x x -÷----二、二次根式的大小比较1、估算【题14】 如下图，在数轴上A ，B 两点之间表示整数的点有个.【练一练】估计88的大小应（ ）．A.在9.1～9.2之间B.在9.2～9.3之间C.在9.3～9.4之间D.在9.4～9.5之间【题15】55-的整数部分是 ． 【练一练】135-的整数部分是 ．2、通过平方比较大小【题16】 比较大小（1）12+和3 （2）10-和133-【练一练】比较大小：7 48．【练一练】实数7-，22-，3-的大小关系是 ．（用“＞”表示）3、通过做差比较大小 【题17】 比较大小65-和85-4、通过取倒数比较大小【题18】 比较大小（1）6532--和 （2）20112010-和20122011-【题19】 比较36+与78+的大小．205B A【练一练】比较大小：52--与23--【题20】试比较5151+-与7373+-的大小．【练一练】比较下列二次根式的大小：21410-与63【题21】比较下列二次根式的大小：45aa++与56aa++【题22】比较大小：1011-与1123-三、化简求值【题23】已知121423352a b a b c c+----=---，求a b c++的值．【题24】设5151+-的整数部分为m，小数部分为n，求2212m mn n++的值．【题25】已知121x=+，求代数式235x x+-的值．【题26】 已知121x =+，求代数式21x x +的值．【题27】 若0m >，0n >，且(5)3(5)m m n n m n +=+，求23m n mn m n mn ++-+的值．【题28】 若512x +=，求341x x x x ++=的值．【题29】 2223331()21121f x x x x x x =+++-+-+，求(1)(3)(2011)f f f +++的值；四、多重二次根式【题30】 化简：⑴526+ ⑵945-【题31】 化简：⑴9214-⑵16415-【练一练】 化简：（1）415- （2）236104322-+-【题32】 化简：4102541025-++++【题33】 求根式2222-+-+的值．【题34】 若[]a 表示实数a 的整数部分，则11667⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦等于（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4．【题35】 计算3225267212922011230-+-+-+-+-132421525617272+-+-+-【练一练】 求248256256(21)(21)(21)(21)(21)1++++++的值．五、与二次根式有关的最值问题【题36】 代数式12x x x +-+-的最小值为（ ）A ．0B ．12+C ．1D ．不存在的【题37】 设x 、y 都是正整数，且使116100x x y -++=，则y 的最大值是 ．【题38】 若0x ≠，求24411x x x x++-+的最大值是_____________． 【题39】 实数a 、b 满足222136121032a a a a b b -++-+=-+--，则22a b +的最大值为___________．【题1】 化简：2235=+-（ ）A ．26156+- B ．26156++C ．36156++ D ．不同于以上三个答案【题2】 如果式子2)1(2-+-x x 化简的结果为32-x ，则x 的取值范围是（）A ．1x ≤B ．2x ≥C ．12x ≤≤D ．0x >【题3】 化简：（1）2441x x x -++-其中12x <<（2）2()a b a b b a b a -⋅---+-【题4】 化简：333yxx y x y xy x y +-+【题5】 3144xx y y y ---【题6】 化简： 3222231144x x y xy x y xy y ++-++【题7】 22691025a a a a +++-+课后作业【题8】计算222223333()22m n m n aa a m n-+-÷⨯-（a>0）【题9】若2220x y+=，则221123x y-+-的最大值是多少？【题10】化简：132527235+++。
二次根式化简求值技巧
二次根式化简求值技巧二次根式是数学中常见的一种形式，它可以通过化简来简化计算和理解。
本文将介绍一些二次根式化简求值的技巧，帮助读者更好地掌握这一概念。
一、二次根式的定义和性质二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
二次根式有以下几个重要的性质：1. 二次根式的值是非负实数，即√a ≥ 0。
2. 当a和b都是非负实数时，有√(ab) = √a * √b。
3. 当a和b都是非负实数时，有√(a/b) = √a / √b（当分母不等于0）。
二、化简二次根式的基本方法1. 提取因子法：如果二次根式中的数可以分解成两个数的乘积，可以使用提取因子法进行化简。
例如，√12 = √(4 * 3) = √4 * √3 = 2√3。
2. 合并同类项法：如果二次根式中含有相同的根式，可以使用合并同类项法进行化简。
例如，√7 + √7 = 2√7。
3. 有理化分母法：如果二次根式的分母是一个二次根式，可以使用有理化分母法进行化简。
例如，1 / (√2 + √3) = (√2 - √3) / ((√2 + √3) * (√2 - √3)) = (√2 - √3) / (2 - 3) = -(√2 - √3)。
三、求值二次根式的常用技巧1. 使用近似值计算：二次根式有时难以精确计算，可以使用近似值来估算结果。
例如，√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732，√5 ≈2.236。
2. 使用特殊值计算：对于一些特殊的二次根式，可以直接使用已知的特殊值进行计算。
例如，√4 = 2，√9 = 3，√16 = 4。
3. 使用平方公式计算：对于一些复杂的二次根式，可以使用平方公式进行化简。
例如，(√3 + √5) ^ 2 = (√3) ^ 2 + 2 * (√3) * (√5) + (√5) ^ 2 = 3 + 2√15 + 5 = 8 + 2√15。
四、例题解析现在我们来看几个例题，通过化简求值的技巧来解答：例题1：化简并求值√12 + √27 - √48。
二次根式的的化简求值题
二次根式的的化简求值题二次根式是指含有平方根的数学表达式，形式为：$a\sqrt{b}$，其中$a$和$b$是实数，且$b$为非负实数。
化简和求值二次根式的题目可以分为以下几种情况。
一、化简二次根式化简二次根式的目的是将其写成最简形式。
一般来说，最简形式是指系数和被开方数互质，且被开方数为最小非平方数。
例1：化简$\sqrt{8}$。
解： $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} =2\sqrt{2}$。
例2：化简$\sqrt{72}$。
解： $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} =6\sqrt{2}$。
二、合并同类项当二次根式具有相同的被开方数时，可以合并为同一个二次根式。
例3：合并同类项$\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$。
解：$\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = (1 - 2 + 4)\sqrt{3} =3\sqrt{3}$。
三、二次根式的运算二次根式可以进行加减乘除运算。
其中，加减运算要求被开方数相同；乘运算可以简单地将系数相乘，并且被开方数也需要相乘；除运算要求除数不为0。
例4：计算$3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$。
解：$3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$。
例5：计算$(\sqrt{3} - 2\sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2})$。
解：$(\sqrt{3} - 2\sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} -2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 6 + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{6} - 4 = 2$。
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二次根式的化简与求值
一、教学目标：
1、二次根式的加减运算
2、二次根式的加混合运算
二、教学重、难点：
1、二次根式的化简求值
2、双重二次根式的化简
三、典型例题：
知识点一：同类二次根式
1、如果最简二次根式b a +7与36+-b b a 可以合并，求a 、b 的值。
、
2、合并下列二次根式
⑴ 2322+ ⑵ 33321
- ⑶ 545352+-
知识点二：二次根式的加减
1、计算
⑴ ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3135.1225.435.2428118
⑵ 32)2(3
1122-+--
⑶ 332ab b a b a b a b a
+-- （0＞a 0＞b ）
知识点三：二次根式的混合运算
1、运用运算法则计算
⑴ ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯2128 ⑵ 121212218-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- ⑶ 5
656-+ ⑷ 3)32(12÷-=
2、运用运算律和乘法公式计算
⑴ 22)23()23(--+
⑵ 020172016)2(2
32)32()32(----+⨯- ⑶ )23)(13(2)23()13(22+--++-
3、已知23-=x ，23+=y ，求33xy y x +的值。
4、已知a 、b 是正整数，且2020=+b a ，求a 、b 的值。
5、观察下列等式；322322=+，833833=+，15
441544=+…… ⑴猜想99
1010+的结果 ⑵你发现了什么规律？请用含n （n ≥2且n 为整数）的式子将规律表示出来，并证明。
知识点四：双（多）重二次根式的化简
化简求值：
⑴ 312213242--+=__________。
⑵ 3243819++-=___________。
⑶ 2648
13-53+++=____________。
四、课堂训练：
1、计算：
⑴
321+-631+27 ⑵ 2115141021-15-1410++++
⑶ （
））（12010200920101541231121+++⋯⋯++++++
2、已知x=
131-3+，y=1-313+，求x 4+y 4的值。
3、⑴已知x+x 1=7(0<x<1)，则x
x 1-的值为（ ） A -7 B -5 C
7 D 5
4、已知a=1-5，求2a 3+7a 2-2a-12的值。
5、设a=
11716+，求a 5+2a 4-17a 3-a 2+18a-17的值。
6、如a=
28
1-81221+，求a 2+14++a a 的值；
7、[a]表示不大于a 的最大整数，{a}=a-[a]，设a=[
7-31]，b={7-31}， 则a 2+(1+7)ab=______。
8、设s 1=1+222111+，s 2=1+223121+，s 3=1+2
24131+……sn=1+22)111++n n （，设s=n s s s +⋯⋯++21，则s=_____________(用含n 的代数式表示，期中n 为正整数）
9、已知3=++c b a ，且a 、b 、c 互不相等，求
)
1)(1)1)(1()1)(1()1()1()12
22--+--+---+-+-c a c b b a c b a （的值
五、精彩作业带回家：
1、已知m=1+2，则代数式822+-m m 的值为_________.
2、已知)432(
3)(b a b b a a +=+，其中ab ≠0，则ab b a ab b a +++-5的值为（ ）
A 75
B 76
C 7
4 D 以上答案都不对 3、若x-x
1=5，则1128104610++++++x x x x x x 的值为____________. 4、已知a=2005-2006，b=2006-2007，c=2007-2008，则a 、b 、c 三者之间的关系是__________.
5、如果a=-2+2，那么1+a ++3121
的值为（ ）
A -2
B 2
C 2
D 22
6、设（x+12+x )(y+42+y )=0，则x 42+y +y 12+x =____________.
7、化简 2212-1722-3+=_________。
8、观察下列式子：312311=+，413412=+，5
14513=+，……,请你将发现的规律用含自然数n(n ≥1)的形式表示出来__________.
9、已知x+1=x 5，求1
31
2242
++-++x x x x x x 的值。
10、已知a=3
21+，求a a a a a a a -+---+2221212-1的值。
11、档a 取何值时，212-+-++=
x x x y 有最大值和最小值？这个值是多少？
12、已知等式a a a =-+-20172016成立，求22016-a 的值。