北京市中考数学专题突破一：填空压轴题型(含答案)

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中考数学填空题压轴题(含答案)

根据考试大纲，填空压轴题仍将以探究规律类型题为主要考察方向。

题型一：数字规律【例1】一组按一定规律排列的式子：－，，－，，…，（0a ≠）,则第n 个式子是（n为正整数）．【答案】【例2】按一定规律排列的一列数依次为：,916,79,54,31 ……，按此规律排列下去，这列数中的第5个数是，第n 个数是．【答案】1125,122+n n【例3】一组按规律排列的整数5，7，11，19，…，第6个整数为____ _，根据上述规律，第n 个整数为____ （n 为正整数）.【答案】67；32+n （n 为正整数）【例4】将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第一列第9行的数为，再结合第一行的偶数列的数的规律，判断2011所在的位置是第行第列.【答案】81;第45行第15列2a 52a 83a 114a 31(1)n na n --例题精讲填空题压轴题【例5】某些植物发芽有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽.发芽规律见下表（设第一年前的新芽数为a ）第n 年 1 2 3 4 5 … 老芽率 a a 2a 3a 5a … 新芽率 0 a a 2a 3a … 总芽率a2 a3a5a8a…照这样下去，第8年老芽数与总芽数的比值为 .【解析】由规律可以看出，从第3年开始，老芽率、新芽率，总芽率都分别是前两年之和，因此，第8年的老芽为21，总芽为34，因此答案为2134．【解析】2134题型二：多边形上存在的点数【例6】如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是．【解析】此类型题首先要找到边数的特点，然后找每条边上点的数目，第n 个图形是2n +边形，而且每个边上有n 个点。

【答案】(2)n n +或22n n +或2(1)1n +-【例7】用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n 个“口”字需用棋子___________【答案】4n【例8】用“O”摆出如图所示的图案，若按照同样的方式构造图案，则第10个图案需要个“O”．① ② ③ ④ 【答案】181第2个“口”第1个“口” 第3个“口”第n 个“口”………………第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形题型三：藏头露尾型【例9】如下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中由个基础图形组成．【解析】此类问题重点要找到“头是谁”“尾是谁”，①13+；②132+⨯；③133+⨯，……第n 个31n + 【答案】31n +【例10】搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要根钢管．图1 图2 图3【答案】83．题型四：成倍数变化型【例11】如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与ABC ∆的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．【解析】注意每一次变化所变化的倍数【答案】81；11(2)2n n - 【例12】如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，．．．．．．依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________；所作的第n 个四边形的周长为_________________．【答案】2,24()2n【例13】如图，在ABC ∆中，A α∠=，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠，则1______A ∠=．1A BC ∠的平分线与1ACD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠，……，2009A BC ∠的平分线与2009A CD ∠的平分线交于点2010A ，得2010A ∠，则2010A ∠= ．【答案】2α,20102α(1)(2)(3)……A 2A 1DC A【例14】如图，小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形1111A B C D ，正方形1111A B C D 的面积为；再把正方形1111A B C D 的各边延长一倍得到正方形2222A B C D ，如此进行下去，正方形n n n n D C B A 的面积为．（用含有n 的式子表示，n 为正整数）【答案】5，n5【例15】把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法……一直到第n 次挖去后剩下的三角形有个．第一次第二次第三次第四次【答案】3n题型五：相似与探究规律【例16】已知ABC AB AC m ∆==中，，72ABC ∠=︒，1BB 平分ABC ∠交AC 于1B ，过1B 作12B B //BC交AB 于2B ，作23B B 平分21AB B ∠，交AC 于3B ，过3B 作34//B B BC ，交AB 于4B ……依次进行下去，则910B B 线段的长度用含有m 的代数式可以表示为 .【答案】m 6215⎪⎪⎭⎫⎝⎛-【例17】如图，矩形纸片ABCD 中，6,10AB BC ==.第一次将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕与BD交于点1O ；设1O D 的中点为1D ，第二次将纸片折叠使点B 与点1D 重合，折痕与BD 交于点2O ；设21O D 的中点为2D ，第三次将纸片折叠使点B 与点2D 重合，折痕与BD 交于点3O ，… .按上述方法折叠，第n 次折叠后的折痕与BD 交于点n O ，则1BO = ，n BO = ．第一次折叠第二次折叠第三次折叠【答案】2；12332n n -- B AD C 1O 1O 2O 1D 1D 2D 1O 2O 3O B AD C B ADCBA DC【例18】如图，直线x y 33=，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 轴的垂线交直线于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于点3A ，…，按此做法进行下去，点4A 的坐标为（，）；点n A （，）．【答案】（938，0）（1)332(-n ，0）【例19】如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形1ABA ，再以等腰直角三角形1ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形11A BB ，……，如此作下去，若1OA OB ==，则第n 个等腰直角三角形的面积n S = ________（n 为正整数）.【解析】由题干可知：123124 (222)S S S ===，，可知22n n S -=【答案】22n -【例20】如图，n +1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设211B D C ∆的面积为1S ，322B D C ∆的面积为2S ，…，1n n n B D C +∆的面积为n S ，则2S = ；n S =____ （用含n 的式子表示）．【答案】233,31nn + 【例21】如图，P 为ABC ∆的边BC 上的任意一点，设BC a =，当1B 、1C 分别为AB 、AC 的中点时，1112B C a =，当2B 、2C 分别为1BB 、1CC 的中点时，2234B C a =，当3B 、3C 分别为2BB 、2CC 的中点时，3378B C a =，当4B 、4C 分别为3BB 、3CC 的中点时，441516B C a =当5B 、5C 分别为4BB 、4CC 的中点时，55_____B C =当n B 、n C 分别为1n BB -、1n CC -的中点时，则n n B C = ；设ABC ∆中BC 边上的高为h ，则n n PB C ∆的面积为______(用含a 、h 的式子表示)．【答案】a 3231,a n n 212-, ah n n 12212+-D 4D 3D 2D 1C 5C 4C 3C 2C 1B 5B 4B 3B 2B 1A……B 2B 1A 1BOAC 3B 3B 2C 2C 1B 1CBA【例22】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB a =，CD b =，E 为边AD 上的任意一点，EF AB ∥，且EF 交BC 于点F ．若E 为边AD 上的中点，则______EF =（用含有a ，b 的式子表示）；若E 为边AD 上距点A 最近的n 等分点（2n ≥，且n 为整数），则______EF =（用含有n ，a ，b 的式子表示）．【答案】2a b +；(1)b n an+-【例23】已知在ABC ∆中，BC a =.如图1，点1B 、1C 分别是AB 、AC 的中点，则线段11B C 的长是_______；如图2，点1B 、2B ,1C 、2C 分别是AB 、AC 的三等分点，则线段1122B C B C +的值是__________；如图3, 点12......、、、n B B B ，12......、、、n C C C 分别是AB 、AC 的(1)n +等分点，则线段1122n n B C B C B C ++⋅⋅⋅+的值是 ______.【答案】1,2a a ,12na 【例24】已知：如图，在Rt ABC ∆中，点1D 是斜边AB 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥于点1E ，连接1BE 交1CD 于点2D ；过点2D 作22D E AC ⊥于点2E ，连接2BE ，交1CD 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，如此继续，可以依次得到点4D 、5D 、…n D ，分别记11BD E ∆、22BD E ∆、33BD E ∆、…n n BD E ∆的面积为1S 、2S 、3S …n S ．设ABC ∆的面积是1,则1______S =， ______n S =（用含n 的代数式表示）.【答案】14，21(1)n +题型六：折叠与探究规律【例25】如图，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．设2AB =，当12CE CD =时，则________AMBN=．若1CE CD n =（n 为整数），则_______AM BN=．（用含n 的式子表示）【答案】15；1)1(22+-n n【例26】如图，正方形ABCD ，E 为AB 上的动点，（E 不与A 、B 重合）连接DE ，作DE 的中垂线，交图3图2图12n-1B 2C 2A BCB 1C 1C 1B 1CBA FE D CBANMFEDCBAB321AD 于点F ．⑴若E 为AB 中点，则______DFAE= ⑵若E 为AB 的n 等分点(靠近点A )，则________DFAE= 【答案】251,42n n+题型七：其他类型【例27】图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角,每条边都相等.如图2将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形,其面积为8+3中线段AB 的长为 .图1 图2 图31+【例28】如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形34,,,,n P P P ，记纸板n P 的面积为n S ，试计算求出=-23S S ；并猜想得到1n n S S --=()2n ≥【答案】1)41(2,32---n ππ【例29】如图，图①是一块边长为1，周长记为1P 的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的21）后，得图③，④，…，记第)3(≥n n 块纸板的周长为n P ，则=-34P P ；1--n n P P = ．P 3P 2P 1【答案】81,121-⎪⎭⎫⎝⎛n【例30】已知一个面积为S 的等边三角形，现将其各边n （n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．当8n =时，共向外作出了个小等边三角形；当n k =时，共向外作出了个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和是（用含k 的式子表示）．【答案】18；【例31】在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(10)，，点D 的坐标为(02)，．延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C …按这样的规律进行下去，第3个正方形的面积为________；第n 个正方形的面积为___________（用含n 的代数式表示）．【答案】4235）（,22235-⎪⎭⎫ ⎝⎛n【例32】如图所示，111()P x y ，、222()P x y ，，……()n n n P x y ，在函数4y x=(0x >)的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆…1n n n P A A -∆都是等腰三角形，斜边1OA 、12A A …1n n A A -，都在x 轴上，则1_____y =，12______n y y y ++⋅⋅⋅+=【答案】2 , 2n【例33】如图所示，直线1+=x y 与y 轴交于点1A ，以1OA 为边作正方形111OA B C ，然后延长11C B 与直线1+=x y 交于点2A ，得到第一个梯形112AOC A ；再以12C A 为边作正方形1222C A B C ，同样延长22C B 与直线1+=x y 交于点3A 得到第二个梯形2123A C C A ；，再以23C A 为边作正方形2333C A B C ，延长33C B ，得到第三个梯形；……则第2个梯形2123A C C A 的面积是；第n （n 是正整数）个梯形的面积是（用含n 的式子表示）．3(-2)k 23(2)k s k-n =3n =5……n =4① ② ③ ④C 2B 2A 2C 1B 1A 1DC B AO yx【答案】6；2n 2223-⨯或1n 423-⨯【例34】在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形，如图，菱形ABCD 的四个顶点坐标分别是(80)-，，(04)，，(80)，，(04)-，，则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形n n n n A B C D 的四个顶点坐标分别为(20)-，n ， (0)，n ，(20)，n ，(0)-，n （n 为正整数），则菱形n n n n A B C D 能覆盖的单位格点正方形的个数为_________（用含有n 的式子表示）．【答案】单位格点个数为48，单位格点个数为n n 442-【例35】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形1111A B C D 、2222A B C D 、3333A B C D 每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形10101010A B C D 四条边上的整点共有个．【答案】80【例36】对于每个正整数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于n A ，n B 两点，若n n A B 表示这两点间的距离，则n n A B = （用含n 的代数式表示）；112220112011A B A B A B +++的值为．【答案】()20122011,11+n nyxOD 1D 2D 3C 1C 2C 3B 1B 2B 3A 3A 2A 1123-1-2-3-3-2-1321-8-448ODC BAyx。

2024年北京市九年级中考二模数学汇编：填空压轴(第16题)(含解析)

2024北京初三二模数学汇编填空压轴（第16题）一、填空题1．（2024北京丰台初三二模）在正方形网格图形中，每个小正方形的边长为1，将其顶点称为格点．从一个格点运动到与之相距的另一个格点之间的一次移动，因类似中国象棋中马的“日”字型跳跃，故称为一次“跳马”变换．（1）如图1，在4×4的正方形网格图形中，从格点A 经过一次“跳马”变换可以到达的格点为（填“B ” “C ”或“D ”）；（2）如图2，现有6×6的正方形网格图形，若从该正方形的格点M 经过三次“跳马变换到达格点N ，则共有中不同的跳法．2．（2024北京燕山初三二模）年月日，联合国教科文组织将每年的月日定为“国际数学日”，这个节日的昵称是“节”，是为了纪念中国南北朝时期杰出的数学家祖冲之而设立的节日．某校今年“节”举办了“数学素养”大赛，现有甲、乙、丙三位同学进入了决赛争夺冠军，决赛共分为四轮，规定：每轮分别决出第一，二，三名（没有并列），对应名次的得分都分别为，，（，且，，均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况：第一轮第二轮第三轮第四轮最后得分甲乙丙（1）每轮比赛第一名的得分的值为；（2）丙同学在第二轮比赛中，获得了第名．3．（2024北京大兴初三二模）甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名到第4名的名次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名．”对乙说：“你不是第4名．”从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有种不同情况，其中甲是第4名有图1图2种可能情况．4．（2024北京石景山初三二模）如图，交通示意图中的A，B，C是产地（用■表示，旁边的数字表示产量，单位：吨），D，E，F是销地（用○表示，旁边的数字表示销量，单位：吨），产地与销地之间的线段旁小括号内的数字表示运货单价（单位：百元/吨）．在不考虑其他因素的前提下，将产地B的8吨货物全部运往销地，最少的运费为元；将A，B，C三个产地的产品全部运往销地，且每个销地的货物量恰好为该销地的销量，则调运的最小运费为元．5．（2024北京东城初三二模）现有一半径10米的圆形场地，建立如图所示的平面直角坐标系，场地圆心的坐标为．机器人在该场地中（含边界），根据指令完成下列动作：先朝其面对的方向沿直线行走距离，再在原地逆时针旋转角度，执行任务．机器人位于坐标原点处，且面对轴正方向．（1）若给机器人下达指令，则机器人至少重复执行次该指令能回到坐标原点处；（2）若给机器人下达指令，使机器人重复执行该指令回到坐标原点处，且最大，则应给机器人下达的指令是．6．（2024北京海淀初三二模）在中，为边的中点，为边上一点，连接．给出下面三个命题：①若，则；②若，则；③若，则．上述命题中，所有真命题的序号是．7．（2024北京房山初三二模）某校文艺部招聘主持人，有甲、乙、丙三名同学参加，学校设置了五轮比赛，规定：每一轮比赛分别决出第一、二、三名（不并列），对应名次的得分分别为（且均为正整数）．三名同学最后得分为五轮比赛得分之和，得分最高者中选，下表是三名同学在五轮比赛中的部分得分情况如下：一轮二轮三轮四轮五轮总分甲9乙22丙9则的值为，三名同学在五轮比赛中获得的第二名最多．8．（2024北京顺义初三二模）某学习小组的六个人围成一个圆圈做报数游戏，游戏的步骤如下：①每个人心里都想好一个数；②把自己想好的数悄悄如实地告诉他两旁的两个人；③每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报5的人心里想的数为．9．（2024北京昌平初三二模）某学校为丰富学生的课余生活，组织校园篮球赛，初三年级6个班进行单循环比赛（即每班都与其他班比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛．已知第一天（2）班与（4）班比赛，第二天（3）班与（5）班比赛，第三天（4）班与（6）班比赛，第四天（2）班与（3）班比赛，那么第三天与（3）班比赛的是班，第五天与（1）班比赛的是班．10．（2024北京门头沟初三二模）“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”知农爱农，珍惜粮食，传承美德，从校园做起．为响应此号召学校举办“减少舌尖上的浪费”宣传活动，参加活动的共60人，其中有校领导，教师代表，七年级学生代表，八年级学生代表和九年级学生代表．已知校领导和教师代表的总人数是七年级学生代表和八年级学生代表总人数的四分之一，校领导和七年级学生代表的总人数是教师代表和八年级学生代表总人数的七倍，则参加这次活动的九年级学生代表有人．11．（2024北京北师大附属实验中学初三二模）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是．12．（2024北京人大附中朝阳学校初三二模）如图，光发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点的反射光线交轴于点，再被平面镜（轴）上的点反射得光线，则直线的解析式为．13．（2024北京广渠门中学初三二模）高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：收费出口编号A，B B，C C，D D，E E，A通过小客车数量（辆）260330300360240在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的收费出口的编号是．14．（2024北京十一中初三二模）如图，点M是反比例函数图像上的一点，过点M作轴于点N，点P在y轴上，若的面积是2，则．16．（2024北京朝阳初三二模）甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数（）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了次游戏后，甲共获得颗糖果，乙共获得颗糖果，丙共获得颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数的卡片，那么的值为；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是．（填“”，“”或“”）参考答案1. C；122．；三．【分析】（）根据三位同学的最后得分情况列出关于，，的等量关系式，然后结合且，，均为正整数确定，，的值；（）根据推理从而确定丙同学第二轮的排名；本题考查了方程的解逻辑推理能力，理解题意，分析数据间的等量关系是解题关键．【详解】（）解：由题意可得：，∴，∵，，均为正整数，若甲每轮比赛第一名得分为，则最后得分最高的为，∴，又∵，∴最小取3，∴，∴，故答案为：；（）根据表格即甲、乙、丙得分可知：第一轮第二轮第三轮第四轮最后得分甲乙丙∴丙同学在第二轮比赛中，获得了第三名，故答案为：三．3．8 4【分析】本题考查了列举法求所有可能结果数，根据题意分析分别讨论，即可求解．【详解】解：依题意，甲和乙不是第1名，乙不是第4名，有以下8种情况，第1名第2名第3名第4名①丙乙丁甲②丙丁乙甲③丁丙乙甲④丁乙丙甲⑤丁甲乙丙⑥丁乙甲丙⑦丙甲乙丁⑧丙乙甲丁其中①②③④四种情况是甲为第4名，故答案为，．4．2400 6000【分析】本题考查了地点统筹优化问题，同时考虑到运费和销售地的销量是解题的关键．将产地B的8吨货物全部运往销地D，或一部分运往销地D，一部分运往销地F，运费都是一样，则可求最少运费；A地的5吨必然运往D，B地要运吨到D，剩下的吨运往E地，C地的运5吨到F，运吨到E，这样每个销地的货物量恰好为该销地的销量，可使运费最少，求解即可．【详解】解：将产地B的8吨货物全部运往销地最少的运费为：（元），故答案为：；A地的5吨必然运往D，B地要运吨到D，剩下的吨运往E地，C地的运5吨到F，运吨到E，这样每个销地的货物量恰好为该销地的销量，可使运费最少，则最少运费为：（元），故答案为：．5． 4【分析】（1）给机器人下达指令，则机器人应移动到点，并原地逆时针旋转，如此重复执行4次，可回到原点，即可获得答案；（2）若要使机器人重复执行该指令回到坐标原点处，且最大，则执行次数尽可能少，时针旋转角度尽可能大，且能被整除，易知符合条件的经过的路线为等边三角形，；过点作轴于点，连接、，延长交于点，连接，证明为等边三角形，易得，，即可获得答案．【详解】解：（1）如下图，给机器人下达指令，则机器人应移动到点，并原地逆时针旋转，再次执行该指令，机器人应移动到点，并原地逆时针旋转，再次执行该指令，机器人应移动到点，并原地逆时针旋转，再次执行该指令，机器人应移动到点，并原地逆时针旋转，∴至少重复执行4次该指令能回到坐标原点处；（2）根据题意可知，机器人重复执行该指令回到原点，则经过的路线为正多边形，若要使机器人重复执行该指令中最大，则执行次数尽可能少，时针旋转角度尽可能大，且能被整除，即正多边形的边数尽可能少，∵，∴符合条件的，此时经过的路线为等边三角形，如图，过点作轴于点，连接、，延长交于点，连接，∵，∴，，∴，∴，又∵，∴，，∴，∴，∵，轴，∴垂直平分，∴，∴为等边三角形，∴，，∴应给机器人下达的指令是，执行3次，即可回到原点，且最大．故答案为：4；．【点睛】本题主要是考查了坐标与图形、三角函数、等边三角形的判定与性质、圆周角定理、垂直平分线的性质等知识，正确理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．6．①③/③①【分析】本题考查了本题主要考查中位线，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据中位线的判定和性质可判定命题①，根据相似三角形的判定和性质可判定命题②③．【详解】解：∵是的中点，∴，命题①，若，则点是的中点∴，故命题①真命题；命题②，若，∴，，当时，，可得，故命题②假命题；命题③，若，∴，∴，∴，∴点为中点，则，故命题③真命题；综上所述，真命题的序号为①③，故答案为：①③．7． 5 甲【分析】本题考查了不定方程在实际问题中的应用．合理假设是解题关键．根据“每轮分别决出第一二三名（不并列）”及“乙的得分最高为”可计算出的值．假设甲有一轮获得第一，分析三人的实际得分情况即可求解．【详解】解：每轮分别决出第一二三名（不并列），，，乙的得分最高为，，均为正整数，，，均为正整数，的最小值分别为，，，，，，乙4轮得第一，1轮得第二，设甲有一轮得第一，则甲的得分至少，与甲的实际得分不符合故甲没有一轮得第一，丙有一轮得第一，，即丙剩下的三轮总分为3分，剩下的三轮丙只能是3轮都是第三，丙1轮得第一，4轮得第三，又乙4轮得第一，1轮得第二，三人第一、第二和第三的总数都是5，甲4轮得第二，1轮得第三，即甲获得的第二名最多．故答案为：5，甲．8．8【分析】本题主要考查的是阅读理解和探索规律题，其中考查的知识点有平均数的相关计算以及一元一次方程的应用，掌握以上知识点是解题的关键．假设报5的人心里想的数是x，由于0是报1的人和报5的人心里想的数的平均数，则报1的人心里想的是，报3的人心里想的是，然后根据6是报3和报5的人心里想的数的平均数列方程求解即可．【详解】解：设报5的人心里想的数是x则报1的人心里想的数是：报3的人：∵6是报3和报5的人心里想的数的平均数∴解的故答案为：8．9．（1）（2）【分析】本题考查逻辑推理能力．本题对学生的逻辑推理能力要求较高，根据每队都与其他队比赛一场，和已经进行的比赛，进行推断即可．【详解】解：（3）班已知的比赛：第二天（3）班与（5）班比赛，第四天（2）班与（3）班比赛，而第三天已知进行的是（4）班与（6）班比赛，故第三天只有（1）班与（3）班比赛，（4）班与（2）班比赛在第一天，（4）班与（6）班比赛在第三天，第二天已知（3）班与（5）班比赛，故第二天（4）班与（1）班比赛，（2）班与（6）班比赛，同理可得：第四天（1）班与（6）班比赛，（4）班与（5）班比赛，第一天（3）班与（6）班比赛，（1）班与（5）班比赛，故最后一天为（1）班与（2）班比赛，（3）班与（4）班比赛，（5）班与（6）班比赛，如表1第一天第二天第三天第四天第五天场地1场地2场地3同一天场地上的比赛可交换进行．故答案为：（1），（2）.10．20【分析】设参加这次活动的校领导有x人，教师代表有y人，七年级学生代表有z人，则参加这次活动的八年级学生代表有人，九年级学生代表有人，根据校领导和七年级学生代表的总人数是教师代表和八年级学生代表总人数的七倍，可列出关于x，y，z的三元一次方程，变形后，可得出，结合x，y，z均为正整数且27和8互质，可得出是8的倍数，结合九年级学生代表人数为正，可确定，再将其代入中，即可求出结论．【详解】解：设参加这次活动的校领导有x人，教师代表有y人，七年级学生代表有z人，则参加这次活动的八年级学生代表有人，九年级学生代表有人，根据题意得：，整理得：，∴．∵x，y，z均为正整数，且27和8互质，∴是8的倍数，又∵，∴，∴，∴（人），∴参加这次活动的九年级学生代表有20人．故答案为：20．11．【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可．【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H，由题意知：平分，∵，，∴，∴，∴，∴，∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，∵，，，∴，∴，∵，∴，即最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．12．【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，平行线的判定，过点B作轴，过点C作于T，交于H，证明得到，设，则，利用待定系数法求出直线的解析式为，进而代入A点坐标求出直线的解析式为；证明，则可设直线的解析式为，代入点C坐标即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点B作轴，过点C作于T，交于H，∴，由光的反射定律可知，又∵，∴，∴，设，则，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，把代入中得，，解得，∴直线的解析式为；同理可得，∵，∴，∴，∴可设直线的解析式为，把代入中得，解得，∴直线的解析式为，故答案为：．13．B【分析】根据表中数据两两相比较即可得到结论．【详解】解：∵，∴A收费出口通过的数量小于C收费出口通过的数量；D收费出口通过的数量小于B收费出口通过的数量；E收费出口通过的数量大于C收费出口通过的数量；D收费出口通过的数量大于A收费出口通过的数量；B收费出口通过的数量大于E收费出口通过的数量；∴，∴每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是B．故答案为：B．【点睛】本题主要考查统计表和不等式的基本性质，正确的理解题意是解题的关键．14．【分析】设，可求，，由，即可求解．【详解】解：设，轴，，，轴，，解得：，在上，，故答案：．【点睛】本题主要考查了在反比例函数中利用面积求，掌握解法是解题的关键．15．【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，理解数量关系，掌握整式的运用方法是解题的关键．根据题意可得，，结合均为正整数，可确定的取值范围，再根据每次游戏可能得结果进行推测即可求解．【详解】解：根据题意得，，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，且为正整数，当时，，不符合题意；当时，，∵是正整数，∴为正整数，∴当时，，∵丙共获得颗糖果，且丙的卡片上写的是正数，∴丙在前两次获得的糖果为颗，∵甲共获得颗，乙共获得颗，∴前两次中，甲共获得颗，乙获得颗，∴前两次丙比乙多获得的糖果数为（颗），∵丙第一次获得糖果数至少为，∴第一次乙获得糖果数至少为（颗），即，∵乙三次共获得颗，∴乙第一次获得糖果数至少为，即，∴乙第一次获得糖果数为，故答案为：．。

2023年北京中考数学一模分类汇编——填空压轴题(学生版)

2023年北京中考数学一模分类汇编——填空压轴题1．（2023•海淀区一模）某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示．大中小尺寸数量（个）款式A81525B01020烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品．某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品．（1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用次；（2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为元．2．（2023•西城区一模）A，B，C三种原料每袋的重量（单位：kg）依次是1，2，3，每袋的价格（单位：万元）依次是3，2，5．现生产某种产品需要A，B，C这三种原料的袋数依次为x1，x2，x3（x1，x2，x3均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量W（单位：kg）＝（用含x1，x2，x3的代数式表示）；为了提升产品的品质，要求W≥13，当x1，x2，x3的值依次是时，这种产品的成本最低．3．（2023•东城区一模）一枚质地均匀的骰子放在棋盘上，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，相对两个面上的点数之和为7．骰子摆放的初始位置如图所示．骰子由初始位置翻滚一次，点数为1的面落在1号格内；再从1号格翻滚一次，点数为5的面落在2号格内；继续这样翻滚……（1）当骰子翻滚到2号格时，朝上一面的点数为；（2）依次翻滚6次到6号格，每次翻滚后骰子朝上一面的点数之和为．4．（2023•朝阳区一模）一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚130元．（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元．）（1）若该旅游团一晚的住宿房费为1530元，则他们租住了间一人间；（2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为元．5．（2023•丰台区一模）临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共200袋（每袋均为同一品种的粽子），其中小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个．为了促销，超市计划将所购粽子组合包装，全部制成A，B两种套装销售．A套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个；B套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个．（1）设购进的小枣粽x袋，豆沙粽y袋，则购进的肉粽的个数为（用含x，y的代数式表示）；（2）若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，则豆沙粽最多购进袋．6．（2023•石景山区一模）为落实生态文明建设，推动绿色发展，促进人与自然和谐共生，某公司装修采用同质地的A型、B型环保板材，具体要求如下：板材规格需用量板材要求板材型号A型板材60cm×30cm290块B型板材40cm×30cm180块现只能购得规格为150cm×30cm的符合质地要求的标准板材，一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，裁法如下（损耗忽略不计）：裁法一裁法二裁法三裁出数量（块）裁法板材型号A型板材210B型板材0a3如表中a的值为；公司需购入标准板材至少张．7．（2023•通州区一模）某学校带领150名学生到农场参加植树劳动，学校同时租用A，B，C三种型号客车去农场，其中A，B，C三种型号客车载客量分别为40人、30人、10人，租金分别为700元、500元、200元．为了节省资金，学校要求每辆车必须满载，并将学生一次性送到农场植树，请你写出一种满足要求的租车方案，满足要求的几种租车方案中，最低租车费用是元．8．（2023•平谷区一模）某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A、B两种货物各20箱到展馆，货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱80千克，B种货物每箱70千克，因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重160千克，则甲、乙两车各有箱货物装错，到达展馆，为了尽快把货物区分开，乙车司机借来了一台最多可以称300千克的秤精选最优称重方案，根据被错装货物出现的所有可能情况，最多需要称次就能把乙车上装错的货物区分出来．9．（2023•门头沟区一模）某校计划租用甲，乙，丙三种型号客车送师生去综合实践基地开展活动．每种型号客车的载客量及租金如下表所示：客车型号甲乙丙每辆客车载客量/人203040每辆客车的租金/元500600900其中租用甲型客车有优惠活动：租用三辆或三辆以上每辆客车的租金打8折．现有280名师生需要前往综合实践基地，要求每种型号的客车至少租1辆，且每辆车都坐满．（1）如果甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是2，4，3，那么租车的总费用为元；（2）如果租车的总费用最低，那么甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是．10．（2023•房山区一模）为进一步深化“创城创卫”工作，传播健康环保的生活理念，房山区持续推进垃圾分类工作．各乡镇（街道）的党员、志愿者纷纷参与“桶前值守”，在垃圾桶旁监督指导居民对垃圾进行分类．某垃圾值守点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与值守时间段如下表所示：志愿者可参与值守时间段1可参与值守时间段2甲6：00﹣8：0016：00﹣18：00乙6：30﹣7：3017：00﹣20：00丙8：00﹣11：0018：00﹣19：00丁7：00﹣10：0017：30﹣18：30已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的值守，任意时刻垃圾值守点同时最多需要2名志愿者值守，则该值守点这一天所有参与值守的志愿者的累计值守时间最短为小时，最长为小时（假设志愿者只要参与值守，就一定把相应时间段全部值完）11．（2023•延庆区一模）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，下列说法中，①甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大；②当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度小；③当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g；④当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相同．所有正确结论的序号是．12．（2023•顺义区一模）某京郊民宿有二人间、三人间、四人间三种客房供游客住宿，某旅游团有25位女士游客准备同时住这三种客房共8间，如果每间客房都要住满，请写出一种住宿方案；如果二人间、三人间、四人间三种客房的收费标准分别为300元/间、360元/间、400元/间，则最优惠的住宿方案是．13．（2023•大兴区一模）某校需要更换部分体育器材，打算用1800元购买足球和篮球，并且把1800元全部花完．已知每个足球60元，每个篮球120元，根据需要，购买的足球数要超过篮球数，并且足球数不超过篮球数的2倍，写出一种满足条件的购买方案．14．（2023•燕山一模）某工厂用甲、乙两种原料制作A，B，C三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下：工艺品型号含甲种原料的重量/kg含乙种原料的重量/kg工艺品的重量/kg A347B325C235现要用甲、乙两种原料共31kg，制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个．（1）若31kg原料恰好全部用完，则制作A型工艺品的个数为；（2）若使用甲种原料不超过13kg，同时使用乙种原料最多，则制作方案中A，B，C三种型号工艺品的个数依次为．。

2023~2024学年北京市九年级上期末数学分类——填空压轴题(原卷版)

2023~2024学年北京市九年级上期末数学分类——填空压轴题1．（2024•海淀区）小云将9张点数分别为1～9的扑克牌以某种分配方式全部放入A ，B 两个不透明的袋子中（每个袋子至少放一张扑克牌），从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k ，这一事件的概率记为P k ．（1）若将点数为1和2的扑克牌放入A 袋，其余扑克牌放入B 袋，则P 8＝；（2）对于所有可能的分配方式以及所有的k ，P k 的最大值是．2．（2023•西城区）如图，在三角尺ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝1．把CB 边放在直尺l 上，让三角尺在桌面上沿直尺l 按顺时针方向无滑动地滚动，直到CB 边再一次落到直尺l 上时停止滚动．三角尺的第一次滚动可看成将三角尺绕点B 顺时针旋转了150°，记为（B ，150°）．有以下三个结论：①第一次滚动的过程中，点C 运动的路径长为2π；②第二次滚动可记为（A ，120°）；③点A ，点B ，点C 在滚动全程中，运动路径最长的是点B ．上述结论中，所有正确结论的序号是．3．（2023秋•东城区期末）某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序．施工要求如下：①先完成工序A ，B ，C ，再完成工序D ，E ，F ，最后完成工序G ；②完成工序A 后方可进行工序B ，工序C 可与工序A ，B 同时进行；③完成工序D 后方可进行工序E ，工序F 可与工序D ，E 同时进行；④完成各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G 所需时间/天11152817163125（1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少天完成；（2）现因情况有变，需将工期缩短到80天．工序A ，C ，D 每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是万元．4．（2023秋•朝阳区期末）已知函数y1＝kx+4k﹣2（k是常数，k≠0），（a是常数，a ≠0），在同一平面直角坐标系中，若无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，则a的取值范围是．5．（2023秋•丰台区期末）平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2﹣1在x轴和x轴下方的部分记作G1，将G1沿x轴翻折记作G2，G1和G2构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是．①图形G关于原点对称；②图形G关于直线y＝x对称；③图形G的面积为S，满足2＜S＜π．6．（2023秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为P（﹣1，k），且经过点A（﹣3，0），其部分图象如图所示，下面四个结论中，①a＜0；②b＝﹣2a；③若点M（2，m）在此抛物线上，则m＜0；④若点N（t，n）在此抛物线上且n＜c，则t＞0．所有正确结论的序号是．7．（2023秋•通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0）．P是第一象限内任意一点，连接PO，PA．若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，则我们把P（m，n）叫做点P的“角坐标”．（1）点（2，2）的“角坐标”为；（2）若点P到x轴的距离为2，则m+n的最小值为．8．（2023秋•大兴区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（0，1），（2，1）．给出下面三个结论：①2a﹣b＝0；②a+b+c＞1；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c ﹣m＝0（m＜1）有两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是．9．（2024•平谷区）“十一”黄金周期间，明明和妈妈到某商场购物，得知该商场节日促销活动，单笔消费每满50元立减5元（即单笔消费有几个50元，就减几个5元，不足50元部分不减），累计消费满200元返20元购物券，购物券当天可用，用券和减免部分不在累计范围内．明明和妈妈打算购买以下三件商品：商品A：80元，商品B：95元，商品C：160元，如果你是聪明的明明，帮妈妈参谋一下三件商品妈妈分次结账，可以享受最多优惠；按此优惠方案，只需付款元，即可购买以上三件商品．10．（2024•房山区）在平面直角坐标系xOy中，A为y轴正半轴上一点．已知点B（1，0），C（5，0），⊙P是△ABC的外接圆．（1）点P的横坐标为；（2）若∠BAC最大时，则点A的坐标为．11．（2023秋•门头沟区期末）如图，已知E、F是正方形ABCD的边BC和CD上的两点，且AE＝AF，AB＝4，△AEF的面积S与CE的长x满足函数关系，写出该函数的表达式．12．（2023秋•昌平区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图，则以下四个结论中：①abc＞0；②2a+b＝0；③3a+c＜0；④4a+b2＞4ac，其中，正确结论的序号是．13．（2023秋•密云区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A、点B的位置如图所示，抛物线y＝ax2﹣2ax 经过A、B两点，下列四个结论中：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线x＝1；③A、B两点位于对称轴异侧；④抛物线的顶点在第四象限；所有不正确结论的序号是．14．（2024•顺义区）已知A（3，2），B（﹣1，﹣2）是抛物线上两点，下面有四个推断：①该抛物线与x轴有两个交点；②若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点一定在y轴的负半轴上；③若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线x＝1右侧；④若该抛物线开口向上，则在A，B两点中，点B到它的对称轴距离较小．所有正确推断的序号是．15．（2023秋•燕山期末）2023年第19届杭州亚运会的举办带热了吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”的销售．某网店经营亚运会吉祥物玩偶礼盒装，每盒进价为30元．当地物价部门规定，该礼盒销售单价最高不能超过50元/盒．在销售过程中发现该礼盒每周的销量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系：y＝﹣2x+180（30≤x≤50）．（1）设该网店每周销售该礼盒所获利润为w（元），则w与x的函数关系式为；（2）该网店每周销售该礼盒所获最大利润为元．。

2020北京市中考数学专题复习选择、填空压轴题

一、简单专题集训选择、填空压轴题类型一平面直角坐标系(8年2考：2018.8、2016.9)1.如图，点A在观测点北偏东30°方向，且与观测点的距离为8千米，将点A的位置记作A(8，30°).用同样的方法将点B，点C的位置分别记作B(8，60°)，C(4，60°)，则观测点的位置应在()A. 点O1B. 点O2C. 点O3D. 点O4第1题图2.如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为(4，2)，点B的坐标为(－2，－2)，则点C的坐标为()A. (2，1)B. (－2，1)C. (2，－1)D. (－2，－1)第2题图3.(2019北京逆袭卷)如图是五道口周围部分大学的分布示意图，在图中，分别以正东、正北方向为x 轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：第3题图①当表示北京航空航天大学的点的坐标为(0，0)，表示北京大学的点的坐标为(－9，4)时，表示北京师范大学的点的坐标为(5，－5)；②当表示清华大学的点的坐标为(－1，10)，表示中国农业大学的点的坐标为(6，9)时，表示中国人民大学的点的坐标为(－5，－1)；③当表示北京大学的点的坐标为(－4，0)，表示中国人民大学的点的坐标为(－3，－7)时，表示中国农业大学的点的坐标为(7，3)；④当表示北京理工大学的点的坐标为(－9，－9)，表示北京航空航天大学的点的坐标为(－1，－3)时，表示清华大学的点的坐标为(－5，5).上述结论中，所有正确结论的序号是()A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④4. (2019顺义区二模)数学课上，王老师让同学们对给定的正方形ABCD，建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标.下面是4名同学表示各顶点坐标的结果：第4题图甲同学：A(0，1)，B(0，0)，C(1，0)，D(1，1)；乙同学：A(0，0)，B(0，－1)，C(1，－1)，D(1，0)；丙同学：A(1，0)，B(1，－2)，C(3，－2)，D(3，0)；丁同学：A(－1，2)，B(－1，0)，C(0，0)，D(0，2).上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的同学是()A. 甲、乙、丙B. 乙、丙、丁C. 甲、丙D. 甲、乙、丙、丁5. 如图，水立方所在位置表示3街与3路的十字路口，玲珑塔所在位置表示4街与7路的十字路口.如果用(3，3)表示水立方的位置，那么“(3，3)→(3，4)→(3，5)→(3，6)→(3，7)→(4，7)”表示从水立方到玲珑塔的一种路线.请你用这种形式写出另一种从水立方到玲珑塔的路线，且使该路线经过鸟巢：.第5题图类型二分析与判断函数图象(8年5考：2017.9、2015.10、2014.8、2013.8、2012.8)1. (2019海淀区一模)如图①，一辆汽车从点M处进入路况良好的立交桥，图②反映了它在进入桥区行驶过程中速度(千米/时)与行驶路程(米)之间的关系.根据图②，这辆车的行车路线最有可能是()第1题图2.(2019昌平区二模)小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7∶40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校.如图是他们从家到学校己走的路程s(米)和所用时间t(分钟)的关系图.则下列说法中正确的是①小明家和学校距离1200米；②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分；③小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇；④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校.第2题图A. ①③④B. ①②③C. ①②④D. ①②③④3. (2019西城区一模)三名快递员某天的工作情况如图所示，其中A1，A2，A3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点B1，B2，B3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数.有如下三个结论：第3题图①上午派送快递所用时间最短的是甲；②下午派送快递件数最多的是丙；③在这一天中派送快递总件数最多的是乙.上述结论中，所有正确结论的序号是()A. ①②B. ①③C. ②D. ②③4.(2019通州区一模)为了迅速算出学生的学期总评成绩，一位同学创造了一张奇妙的算图.如图，y轴上动点M的纵坐标y m表示学生的期中考试成绩，直线x＝10上动点N的纵坐标y n表示学生的期末考试成绩，线段MN与直线x＝6的交点为P，则点P的纵坐标y P就是这名学生的学期总评成绩.有下面几种说法：①若某学生的期中考试成绩为70分，期末考试成绩为80分，则他的学期总评成绩为75分；②甲同学的期中考试成绩比乙同学高10分，但期末考试成绩比乙同学低10分，那么甲的学期总评成绩比乙同学低；③期中成绩占学期总评成绩的60%.结合这张算图进行判断，其中正确的说法是()第4题图A. ①③B. ②③C. ②D. ③5.(2019顺义区一模)如图，点A，C，E，F在直线l上，且AC＝2，EF＝1，四边形ABCD，EF G H，EFNM均为正方形，将正方形ABCD沿直线l向右平移，若起始位置为点C与点E重合，终止位置为点A 与点F重合.设点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于矩形MN G H内部的长度之和为y，则y与x的函数图象大致为()第5题图6. (2019怀柔区二模)研究发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的.讲课开始时，学生的注意力激增，中间有一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散.学生注意力指标数y随时间x变化的函数图象如图所示(y越大表示学生注意力越集中).当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分；当10≤x≤20和20≤x≤45时，图象是线段.根据图象回答问题：第6题图(1)课堂上，学生注意力保持平稳状态的时间段是.(2)结合函数图象回答，一道几何综合题如果需要讲25分钟，老师最好在上课后大约第分钟到第分钟讲这道题，能使学生处于注意力比较集中的听课状态.类型三分析统计图(表)(8年5考：2019.8、2018.16、2017.8、2016.10、2015.15)1. (2019丰台区一模)某市组织全民健身活动，有100名男选手参加由跑、跳、投等10个田径项目组成的“十项全能”比赛.其中25名选手的一百米跑成绩排名，跳远成绩排名与10项总成绩的排名情况如图所示.()第1题图甲、乙、丙表示三名男选手，下面有3个推断：①甲的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠前；②乙的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠后；③丙的跳远成绩排名比10项总成绩排名靠后.其中合理的是()A. ①B. ②C. ①②D. ①③2. (2019朝阳区二模)某公司生产的一种产品按照质量由高到低分为A，B，C，D四级，为了增加产量、提高质量，该公司改进了一次生产工艺，使得生产总量增加了一倍.为了解新生产工艺的效果，对改进生产工艺前、后的四级产品的占比情况进行了统计，绘制了如下扇形图：第2题图根据以上信息，下列推断合理的是()A. 改进生产工艺后，A级产品的数量没有变化B. 改进生产工艺后，B级产品的数量增加了不到一倍C. 改进生产工艺后，C级产品的数量减少D. 改进生产工艺后，D级产品的数量减少3.下面的统计图反映了我国出租车(巡游出租车和网约出租车)客运量结构变化.第3题图(以上数据摘自《中国共享经济发展年度报告(2019)》)根据统计图提供的信息，下列推断合理的是()A. 2018年与2017年相比，我国网约出租车客运量增加了20%以上B. 2018年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例不足60%C. 2015年至2018年，我国出租车客运的总量一直未发生变化D. 2015年至2018年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例逐年增加4. (2019西城区二模)5G网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶.据推测，2020年到2030年中国5G直接经济产出和间接经济产出的情况如下图所示.第4题图根据上图提供的信息，下列推断不合理的是()A. 2030年5G间接经济产出比5G直接经济产出多4.2万亿元B. 2020年到2030年，5G直接经济产出和5G间接经济产出都是逐年增长C. 2030年5G直接经济产出约为2020年5G直接经济产出的13倍D. 2022年到2023年与2023年到2024年5G间接经济产出的增长率相同5.某校为了解该校所有毕业班学生参加2019年中考一模考试的数学成绩情况(满分：150分，等次：A 等，130～150分；B等，110分～129分；C等，90分～109分；D等，89分及以下)，从该校所有参加考试的学生中随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果制作了如下的统计表(部分信息未给出)：下面有四个推断：①这次抽查了20名学生参加一模考试的数学成绩；②抽查学生数学成绩的中位数一定在C等级中；③抽查学生人数的众数一定在B等级中；④抽查学生数学成绩的平均数一定在97～123.2之间；所有合理推断的序号是()A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④6.某中学举行了“安全知识竞赛“，小华将所有参赛选手的成绩(得分均为整数)进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图，部分信息如下：第6题图则下列结论不正确的是()A. 频数分布直方图中“84.5～89.5“这一组人数为8人B. 参赛选手成绩的中位数一定在79.5～84.5之间C. 参赛选手成绩的平均数一定在79.2～84.1之间D. 参赛选手人数的众数一定在79.5～84.5之间7. (2019顺义区一模)下图是北京市2019年3月1日至20日的空气质量指数图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，那么在这20天中，空气质量优良天数比例是.第7题图8.(2019东城区二模)运算能力是一项重要的数学能力。

2023北京中考数学专题突破——填空压轴题(学生版)

2023北京中考数学专题突破——填空压轴题1．张老师准备为书法兴趣小组的同学购买上课的用具，在文具商店看到商店有A、B两种组合和C、D、E、F商品及它们的售价，组合及单件商品质量一样．若该小组共有12人，其中，笔和本每人各需要一份，砚台2人一方即可，墨汁n瓶（n≥3）．张老师共带了200元钱，请给出一个满足条件的购买方案（购买数量写前面商品代码写后面即可，例如：2A+3B+……）；n最多买瓶．商品价格组合A（1支笔+1个本+1方砚台+1瓶墨汁）25元组合B（1支笔+1个本+1瓶墨汁）18元C：1支笔5元D：1个本4元E：一方砚台10元F：一瓶墨汁12元2．某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如表所示：盒子型号A B C盒子容量/升234盒子单价/元569其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料．（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，3，4，则购买费用为元；（2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为.（写出一种即可）3．某快递员负责为A，B，C，D，E五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量如表小区需送快递数量需取快递数量A156B105C85D47E134（1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一种满足条件的方案（写出小区编号）；（2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案（写出小区编号）．4．某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1元，送乙类件每件收入2元．累计工作1小时，只送甲类件，最多可送30件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；…，经整理形成统计表如表：12345678累计工作时长最多件数（时）种类（件）甲类件305580100115125135145乙类件1020304050607080（1）如果快递员一天工作8小时，且只送某一类件，那么他一天的最大收入为元；（2）如果快递员一天累计送x小时甲类件，y小时乙类件，且x+y＝8，x，y均为正整数，那么他一天的最大收入为元．5．甲、乙两人分别在A，B两条生产线上加工零件，在A生产线，甲、乙均是每天最少可以加工2个A零件．当连续生产时，甲第一天能加工10个A零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少2个；乙第一天能加工8个A零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少1个．在B生产线，甲每天加工7个B零件，乙每天加工8个B零件．在同一天内，甲和乙不能在同一条生产线上工作，且在一条生产线连续工作不少于3天时可改变生产线，改变生产线后加工时间重新计算．根据题意，得：（1）甲在A生产线连续工作3天最多能加工A零件个；（2）若一个A零件、一个B零件组成一套产品，则14天最多能加工套产品．6．某甜品店会员购买本店甜品可享受八折优惠．“五一”期间该店又推出购物满200元减20元的“满减”活动．说明：①“满减”是指购买的甜品标价总额达到或超过200元时减20元．“满减”活动只享受一次；②会员可按先享“满减”优惠再享八折优惠的方式付款，也可按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款．小红是该店会员．若购买标价总额为220元的甜品，则最少需支付元；若购买标价总额为x元的甜品，按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款最划算，则x的取值范围是．7．某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如表所示：盒子型号A B C盒子容量/升234盒子单价/元569其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料．（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，4，3，则购买费用为元；（2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为．（写出一种即可）8．如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；③最后一个将球取完的人获胜．（1）若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则（填“甲”或“乙”）一定获胜；（2）若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是．9．为了鼓励本次模拟练习取得进步的同学，某班决定给该部分同学发放奖品，学习用品商店为了提高营业额，将商品打包促销（每个大礼包限购1个），老师发现了编号分别为A，B，C，D，E，F的六个大礼包中均含有老师需要的一、二、三等奖的奖品，每个大礼包中的各类奖品数量如下：大礼包编号一等奖（个）二等奖（个）三等奖（个）总奖品数（个）A15410B2338C3148D42511E5139F34512该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，请同学们帮助老师写出满足条件的购买方案．（写出要购买的大礼包编号）10．现在有三个仓库A1、A2、A3，分别存有7吨、12吨、11吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂B1、B2、B3，每个加工厂都需要10吨原材料．从每个仓库运送1吨材料到每个加工厂的成本如表所示（单位：元/吨）：B1B2B3 A1（7t）126A2（12t）042A3（11t）315现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料，（1）如果从A3运10吨到B1、运1吨到B2，从A1运7吨到B2，那么从A2需要运吨到B2；（2）考虑各种方案，运费最低为元．11．某公园划船项目收费标准如下：船型两人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为元．12．盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B 盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为元．13．为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某校初三（5）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小王、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第一、二、三名（没有并列），对应名次的得分分别为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）分，选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，小恩同学第三轮的得分为．第一轮第二轮第三轮第四轮第五轮第六轮总分小恩a a27小王a b c11小奕c b10 14．以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要分钟．准备时间（分钟）加工时间（分钟）用时种类米饭330炒菜156炒菜258汤5615．高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：收费出口编号A，B B，C C，D D，E E，A260330300360240通过小客车数量（辆）在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是．16．某生产线在同一时间只能生产一笔订单，即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品．一笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比．例如，该生产线完成第一笔订单用时5小时，之后完成第二笔订单用时2小时，则第一笔订单的“相对等待时间”为0，第二笔订单的“相对等待时间”为，现有甲、乙、丙三笔订单，管理员估测这三笔汀单的生产时间（单位：小时）依次为a，b，c，其中a＞b＞c，则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是．17．某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如下表所示．若每台机器只完成一项工作，则完成五项工作的效益值总和的最大值为．工作一二三四五效益机器甲1517141715乙2223212020丙913141210丁7911911戊1315141511 18．某学习兴趣小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数，①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为；②该小组人数的最小值为．19．某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示．大中小尺寸数量（个）款式A81525B01020烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品．某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品．（1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用次；（2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为元．20．某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者．如果对每个人的血样逐一化验，需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占0.05%．回答下列问题：（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数（填“是”或“否”）；（2）按照这种化验方法至多需要次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．21．为美化广场环境要建花坛，一个花坛由四季海棠、三色堇、蔷薇三种花卉组成，这三种花卉的盆数同时满足以下三个条件：a．三色堇的盆数多于四季海棠的盆数；b．四季海棠的盆数多于蔷薇的盆数；c．蔷薇盆数的2倍多于三色堇的盆数．①若蔷薇的盆数为4，则四季海棠盆数的最大值为；②一个花坛花盆数量的最小值为．22．某咖啡店提供三种咖啡，其对应两种容量的价格如下表所示：咖啡品种中杯（300ml）大杯（450ml）A30元/杯45元/杯B34元/杯55元/杯C45元/杯65元/杯咖啡店开展回馈活动，凡自备容器购买咖啡者，每种中杯咖啡价格可减免2元、大杯咖啡价格可减免5元．请根据上述信息，回答下列问题：（1）店长收到顾客反映，有的咖啡品种在自备容器后，同种大杯咖啡的每毫升价格还是比中杯的贵，请问是表中的品种（填“A”，“B”或“C”）；（2）若要让所有咖啡品种在自备容器后，同种大杯咖啡的每毫升价格都比中杯的便宜，则应将大杯咖啡的价格至少减免元（减免的钱数为整数）．23．我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到600元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折．为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况（见表格），若按照这个百分比情况定制商品，至少定制小熊个和钥匙扣个，才能筹集到600元资金（即获得600元利润）．小熊钥匙扣套装进价13316售价16418购买意向40%30%25%24．某超市对某品牌袋装茶叶搞促销活动，商家将该品牌袋装茶叶按以下五种类型出售：A 类只有一袋茶叶，B类有二袋茶叶，C类有三袋茶叶，D类有五袋茶叶，E类有七袋茶叶，价格如表：种类A B C D E 单价（元/类）2036426590小云准备在该超市购买6袋上述品牌的茶叶，则购买茶叶的总费用最低为元．25．某公司生产一种营养品，每日购进所需食材500千克，制成A，B两种包装的营养品，并恰好全部用完．信息如表：规格每包食材含量每包售价A包装1千克45元B包装0.25千克12元已知生产的营养品当日全部售出．若A包装的数量不少于B包装的数量，则A为包时，每日所获总售价最大，最大总售价为元．26．小宜跟几位同学在某快餐厅吃饭，如下为此快餐厅的菜单．若他们所点的餐食总共为10份盖饭，x杯饮料，y份凉拌菜．A套餐：一份盖饭加一杯饮料B套餐：一份盖饭加一份凉拌菜C套餐：一份盖饭加一杯饮料与一份凉拌菜（1）他们点了份A套餐（用含x或y的代数式表示）；（2）若x＝6，且A、B、C套餐均至少点了1份，则最多有种点餐方案．27．小周自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、55元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，小周对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，小周会得到支付款的80%．（1）当x＝6时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；（2）在促销活动中，为保证小周每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为．28．为了加强学生的交通意识，保证学生的交通安全，某附中和交警大队联合举行了“交通志愿者”活动，选派部分同学和家长志愿者到学校东门和南门的若干个交通路口协助警察维持交通秩序，若每个路口安排4人，那么每个路口安排完后还剩下18人，若每个路口安排6人，那么每个路口安排完后还剩下人数不足4人，若每个路口安排7人，只有最后一个路口不足7人，则这个中学一共选派的同学和家长志愿者的总人数为．29．某快餐店的价目表如下：菜品价格汉堡（个）21元薯条（份）9元汽水（杯）12元1个汉堡+1份薯条（A套餐）28元1个汉堡+1杯汽水（B套餐）30元1个汉堡+1份薯条+1杯汽水（C套餐）38元小明和同学们一共需要10个汉堡，5份薯条，6杯汽水，那么最低需要元．30．某校初一年级68名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下：车型大巴车（最多可坐55人）中巴车（最多可坐39人）小巴车（最多可坐26人）每车租金（元∕天）900800550则租车一天的最低费用为元．第11页（共11页）。

中考数学填空题压轴题(含答案)

根据考试大纲，填空压轴题仍将以探究规律类型题为主要考察方向。

【北京专版】2019中考数学专题突破一填空压轴题型作业手册

填空压轴题型规律探究性问题的解答需要学生经历观察、分析、归纳、概括、推理、检验等一系列探索活动、对学生的“数感”提出较高要求．新定义题型就是指通过试题提供的新定义、新规则、新概念、新材料来创设新情景、提升类比迁移等综合素质．因此、这两个考点成为北京市中考填空题压轴题的热点．1．[2015·北京] 阅读下面材料：在数学课上、老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB.图Z1－1求作：线段AB 的垂直平分线．小芸的作法如下：如图、图Z1－2(1)分别以点A 和点B 为圆心、大于12AB 的长为半径作弧、两弧相交于C 、D 两点；(2)作直线CD .所以直线CD 就是的所求作的垂直平分线．老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是______________________．2．[2014·北京] 在平面直角坐标系xOy 中、对于点P (x 、y )、我们把点P ′(－y ＋1、x ＋1)叫做点P 的伴随点、已知点A 1的伴随点为A 2、点A 2的伴随点为A 3、点A 3的伴随点为A 4、这样依次得到点A 1、A 2、A 3…、A 4…、若点A 1的坐标为(3、1)、则点A 3的坐标为________、点A 2014的坐标为________；若点A 1的坐标为(a 、b )、对于任意正整数n 、点A n 均在x 轴上方、则a 、b 应满足的条件为__________________．3．[2013·北京] 如图Z1－3、在平面直角坐标系xOy 中、已知直线l ：t ＝－x －1、双曲线y ＝1x .在l 上取点A 1、过点A 1作x 轴的垂线交双曲线于点B 1、过点B 1作y 轴的垂线交l 于点A 2、请继续操作并探究：过点A 2作x 轴的垂线交双曲线于点B 2、过点B 2作y 轴的垂线交l 于点A 3、…、这样依次得到l 上的点A 1、A 2、A 3、…、A n 、….记点A n 的横坐标为a n 、若a 1＝2、则a 2＝________、a 2013＝________；若要将上述操作无限次地进行下去、则a 1不能取．．．的值是________图Z1－34．[2012·北京] 在平面直角坐标系xOy 中、我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点、已知点A (0、4)、点B 是x 轴正半轴上的整点、记△AOB 内部(不包括边界)的整点个数为m .当m ＝3时、点B 的横坐标的所有可能值是________；当点B 的横坐标为4n (n 为正整数)时、m ＝________________(用含n 的代数式表示)．图Z1－45．[2011·北京] 在下表中、我们把第i 行第j 列的数记为a i 、j (其中i 、j 都是不大于5的正整数)、对于表中的每个数a i 、j 规定如下：当i ≥j 时、a i 、j ＝1；当i <j 时、a i 、j ＝0.例如：当i ＝2、j ＝1时、a i 、j ＝a 2、1＝1.按此规定、a 1、3＝________；表中的25个数中、共有______个1；计算a 1、1·a i 、1＋a 1、2·a i 、2＋a 1、3·a i 、3＋a 1、4·a i 、4＋a 1、5·a i 、5的值为________．一、与数与式有关的规律探究1．[2015·朝阳一模] 一组按规律排列的式子：2a 、－5a 2、10a 3、－17a 4、26a5、…、其中第7个式子是________、第n 个式子是________(用含n 的式子表示、n 为正整数)．二、与图形有关的规律探究2．[2015·西城一模] 如图Z1－5、数轴上点A 的初始位置表示的数为1、现点A 做如下移动：第1次点A 向左移动3个单位长度至点A 1、第2次从点A 1向右移动6个单位长度至点A 2、第3次从点A 2向左移动9个单位长度至点A3、…、按照这种移动方式进行下去、点A4表示的数是________、如果点A n与原点的距离不小于20、那么n的最小值是________．图Z1－53．[2014·延庆县一模] 如图Z1－6、点E、D分别是正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的一边延长线和另一边延长线上的点、且BE＝CD、DB的延长线交AE于点F、则图①中∠AFB的度数为________；若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”、其他条件不变、则∠AFB 的度数为________．(用含n的代数式表示、其中、n≥3且n为整数)图Z1－64．[2014·昌平区一模] 已知：四边形ABCD的面积为1.如图Z1－7①、取四边形ABCD各边的中点、则图中阴影部分的面积为________；如图Z1－7②、取四边形ABCD各边的三等分点、则图中阴影部分的面积为________；…；取四边形ABCD各边的n(n为大于1的整数)等分点、则图中阴影部分的面积为________．图Z1－7三、平面直角坐标系中的规律探究5．[2014·石景山一模] 在平面直角坐标系xOy中、已知直线l：y＝x、作A1(1、0)关于直线y＝x的对称点B1、将点B1向右平移2个单位得到点A2；再作A2关于直线y＝x的对称点B2、将点B2向右平移2个单位得到点A3；….请继续操作并探究：点A3的坐标是________、点B2014的坐标是________．6．[2015·房山一模] 如图Z1－8、在平面直角坐标系中放置了5个正方形、点B1(0、2)在y轴上、点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上、C1的坐标是(1、0)、B1C1∥B2C2∥B3C3.则点A1到x轴的距离是________、点A2到x轴的距离是________、点A3到x轴的距离是________．图Z1－87．[2015·东城一模] 在平面直角坐标系xOy中、记直线y＝x＋1为l.点A1是直线l与y轴的交点、以A1O为边作正方形A1OC1B1、使点C1落在x轴正半轴上、作射线C1B1交直线l于点A2、以A2C1为边作正方形A2C1C2B2、使点C2落在x轴正半轴上、依次作下去、得到如图Z1－9所示的图形．则点B4的坐标是________、点B n的坐标是________．图Z1－98．[2014·丰台一模] 如图Z1－10、已知直线l ：y ＝33x 、点A 1坐标为(0、1)、过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1、以原点O 为圆心、OB 1长为半径画弧交y 轴于一点A 2；再过点A 2作y 轴的垂线交直线l 于点B 2、以原点O 为圆心、OB 2长为半径画弧交y 轴于点A 3、…、按此作法进行下去、点A 4的坐标为(________、________)；点A n 的坐标为(________、________)．图Z1－109．[2014·顺义一模] 如图Z1－11、所有正三角形的一边平行于x 轴、一顶点在y 轴上．从内到外、它们的边长依次为2、4、6、8、…、顶点依次用A 1、A 2、A 3、A 4、…表示、其中x 轴与边A 1A 2、边A 1A 2与A 4A 5、A 4A 5与A 7A 8、…均相距一个单位长度、则顶点A 3的坐标为________、A 31的坐标为________、A 3n －2(n 为正整数)的坐标为________．图Z1－1110．[2014·通州一模] 如图Z1－12、在反比例函数y ＝4x (x ≥0)的图象上、有点P 1、P 2、P 3、P 4、…、P n (n为正整数、且n ≥1)、它们的横坐标依次为1、2、3、4、…、n (n 为正整数、且n ≥1)．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线、连接相邻两点、图中所构成的阴影部分(近似看成三角形)的面积从左到右依次为S 1、S 2、S 3、…、S n －1(n 为正整数、且n ≥2)、那么S 1＋S 2＋S 3＝________、S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋…＋S n －1＝________(用含有n 的代数式表示)．图Z1－1211．[2014·燕山一模] 如图Z1－13、在平面直角坐标系中、已知点P 0的坐标为(1、0)、将线段OP 0绕点O 按顺时针方向旋转45°、再将其长度伸长为OP 0的2倍、得到线段OP 1；又将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°、再将其长度伸长为OP 1的2倍、得到线段OP 2、…、这样依次得到线段OP 3、OP 4、…、OP n .则点P 2的坐标为________；当n ＝4m ＋1(m 为自然数)时、点P n 的坐标为________________．图Z1－1312．[2014·西城一模] 如图Z1－14、在平面直角坐标系xOy 中、点A (1、0)、B (2、0)、正六边形ABCDEF 沿x 轴正方向无滑动滚动、当点D 第一次落在x 轴上时、点D 的坐标为________；在运动过程中、点A 的纵坐标的最大值是________；保持上述运动过程、经过点(2014、3)的正六边形的顶点是________．图Z1－1413．[2015·东城二模] 如图Z1－15、已知A 1、A 2、…、A n 、A n ＋1在x 轴上、且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n A n ＋1＝1、分别过点A 1、A 2、…、A n 、A n ＋1作x 轴的垂线交直线y ＝x 于点B 1、B 2、…、B n 、B n ＋1、连接A 1B 2、B 1A 2、A 2B 3、B 2A 3、…、A n B n ＋1、B n A n ＋1、依次相交于点P 1、P 2、P 3、…、P n 、△A 1B 1P 1、△A 2B 2P 2、…、△A n B n P n 的面积依次记为S 1、S 2、…、S n 、则S 1＝________、S n ＝________．图Z1－15四、定义新运算14．[2014·东城一模] 现定义运算“★”、对于任意实数a 、b 、都有a ★b ＝a 2－3a ＋b 、如：3★5＝32－3×3＋5、根据定义的运算求2★(－1)＝________．若x ★2＝6、则实数x 的值是________．15．[2015·燕山一模] 定义：对于任意一个不为1的有理数a 、把11－a 称为a 的差倒数、如2的差倒数为11－2＝－1、－1的差倒数为11－（－1）＝12.记a 1＝12、a 2是a 1的差倒数、a 3是a 2的差倒数、a 4是a 3的差倒数、…、依此类推、则a 2＝________、a 2015＝________．16．[2015·海淀一模] 若三角形的某一边长等于其外接圆半径、则将此三角形称为等径三角形、该边所对的角称为等径角．已知△ABC 是等径三角形、则等径角的度数为________．17．[2014·海淀一模] 在一次数学游戏中、老师在A 、B 、C 三个盘子里分别放了一些糖果、糖果数依次为a 0、b 0、c 0、记为G 0＝(a 0、b 0、c 0)．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同、则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个、给另外两个盘子各放一个(若有两个盘子中的糖果数相同、且都多于第三个盘子中的糖果数、则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果)、记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同、则游戏结束．n 次操作后的糖果数记为G n ＝(a n 、b n 、c n )． (1)若G 0＝(4、7、10)、则第________次操作后游戏结束；(2)小明发现：若G 0＝(4、8、18)、则游戏永远无法结束、那么G 2014＝________．18．[2015·海淀模拟] 对于正整数n 、定义F (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，n <10f （n ），n ≥10、其中f (n )表示n 的首位数字、末位数字的平方和．例如：F (6)＝62＝36、F (123)＝f ()123＝12＋32＝10.规定F 1(n )＝F (n )、F k ＋1(n )＝F (F k (n ))(k 为正整数)．例如：F 1()123＝F ()123＝10、F 2(123)＝F (F 1(123))＝F (10)＝1.(1)求：F 2(4)＝________、F 2015(4)＝________；(2)若F 3m (4)＝89、则正整数m 的最小值是________．19．[2015·海淀二模] 五子棋是一种两人对弈的棋类游戏、规则是：在正方形棋盘中、由黑方先行、白方后行、轮流弈子、下在棋盘横线与竖线的交叉点上、直到某一方首先在任一方向(横向、竖向或者是斜着的方向)上连成五子者为胜．如图Z1－16、这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘、以点O 为原点、在棋盘上建立平面直角坐标系、将每个棋子看成一个点、若黑子A 的坐标为(7、5)、则白子B 的坐标为________；为了不让白方在短时间内获胜、此时黑方应该下在坐标为________的位置处．图Z1－16参考答案1.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线 2．(－3、1) (0、4) －1＜a ＜1且0＜b ＜2 [解析] ∵A 1的坐标为(3、1)、∴A 2(0、4)、A 3(－3、1)、A 4(0、－2)、A 5(3、1)、 …、依此类推、每4个点为一个循环组依次循环、 ∵2014÷4＝503……2、∴点A 2014的坐标与A 2的坐标相同、为(0、4)； ∵点A 1的坐标为(a 、b )、∴A 2(－b ＋1、a ＋1)、A 3(－a 、－b ＋2)、A 4(b －1、－a ＋1)、A 5(a 、b )、 …、以此类推、每4个点为一个循环组依次循环、 ∵对于任意的正整数n 、点A n 均在x 轴上方、∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，－a ＋1＞0，⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋2＞0，b ＞0，解得－1＜a ＜1、0＜b ＜2.3．－32 －13 0、－1 [解析] 当a 1＝2时、B 1的纵坐标为b 1＝12、B 1的纵坐标和A 2的纵坐标相同、则A 2的横坐标为a 2＝－32、 A 2的横坐标和B 2的横坐标相同、则B 2的纵坐标为b 2＝－23、 B 2的纵坐标和A 3的纵坐标相同、则A 3的横坐标为a 3＝－13、 A 3的横坐标和B 3的横坐标相同、则B 3的纵坐标为b 3＝－3、 B 3的纵坐标和A 4的纵坐标相同、则A 4的横坐标为a 4＝2、 A 4的横坐标和B 4的横坐标相同、则B 4的纵坐标为b 2＝12、即当a 1＝2时、a 2＝－32、a 3＝－13、a 4＝2、a 5＝－32、b 1＝12、b 2＝－23、b 3＝－3、b 4＝12、b 5＝－23、∵20133＝671、∴a 2013＝a 3＝－13；点A 1不能在y 轴上(此时找不到B 1)、即x ≠0、点A 1不能在x 轴上(此时A 2在y 轴上、找不到B 2)、即y ＝－x －1≠0、解得x ≠－1.综上可得a 1不可取0、－1.4．3或4 6n －3 [解析] 如图：当点B 在(3、0)点或(4、0)点时、△AOB 内部(不包括边界)的整点为点(1、1)、(1、2)、(2、1)、共三个点、所以当m ＝3时、点B 的横坐标的所有可能值是3或4.当点B 的横坐标为8时、n ＝2、△AOB 的内部(不包括边界)的整点个数m ＝（4×2＋1－2）×3－32＝9.当点B 的横坐标为12时、n ＝3、△AOB 的内部(不包括边界)的整点个数m ＝（4×3＋1－2）×3－32＝15.所以当点B 的横坐标为4n (n 为正整数)时、m ＝（4×n＋1－2）×3－32＝6n －3.5．0 15 1 [解析] 由题意当i ＜j 时、a i 、j ＝0、当i ≥j 时、a i 、j ＝1；由图表中可以很容易知道等于1的数有15个．由题意、很容易发现、从i 与j 之间大小关系分析：当i ＜j 时、a i 、j ＝0；当i ≥j 时、a i 、j ＝1、∴a 1、1·a i 、1＋a 1、2·a i 、2＋a 1、3·a i 、3＋a 1、4·a i 、4＋a 1、5·a i 、5＝1×1＋0＋0＋0＋0＝1.一、与数与式有关的规律探究1.50a 7 (－1)n ＋1·n 2＋1a n [解析] 观察分母的变化为a 的1次幂、2次幂、3次幂、…、n 次幂；分子的变化为：2、5、10、17、…、n 2＋1；分式符号的变化为：＋、－、＋、－、…、(－1)n ＋1.∵2a ＝(－1)2·12＋1a1、－5a2＝(－1)3·22＋1a2、10a3＝(－1)4·32＋1a3、…∴第7个式子是50a7、第n 个式子为：(－1)n ＋1·n 2＋1an .二、与图形有关的规律探究2．7 13 [解析] 序号为奇数的点在点A 的左边、各点所表示的数依次减少3、序号为偶数的点在点A 的右侧、各点所表示的数依次增加3、于是可得到A 13表示的数以及A 12表示的数、则可判断A n 与原点的距离不小于20时n 的最小值．第1次点A 向左移动3个单位长度至点A 1、则A 1表示的数为1－3＝－2；第2次点A 1向右移动6个单位长度至点A 2、则A 2表示的数为－2＋6＝4；第3次点A 2向左移动9个单位长度至点A 3、则A 3表示的数为4－9＝－5；第4次点A 3向右移动12个单位长度至点A 4、则A 4表示的数为－5＋12＝7. 第5次点A 4向左移动15个单位长度至点A 5、则A 5表示的数为7－15＝－8； …则点A 7表示的数为－8－3＝－11、点A 9表示的数为－11－3＝－14、A 11表示的数为－14－3＝－17、A 13表示的数为－17－3＝－20、A 6表示的数为7＋3＝10、A 8表示的数为10＋3＝13、A 10表示的数为13＋3＝16、A 12表示的数为16＋3＝19、所以如果点A n 与原点的距离不小于20、那么n 的最小值是13. 3．60°（n －2）·180°n[解析] (1)在①中的正三角形ABC 中、AB ＝BC 、∠ABC ＝∠ACB ＝60°、∴∠ABE ＝∠BCD ＝120°、又∵BE ＝CD 、 ∴△ABE ≌△BCD 、 ∴∠E ＝∠D 、又∵∠FBE ＝∠CBD 、∴∠AFB ＝∠E ＋∠FBE ＝∠D ＋∠CBD ＝∠ACB ＝60°.由以上不难得到②中△AEB ≌△BDC 、进一步证出③中△BEF ∽△BDC 、得出、②中∠AFB 的度数等于∠DCB ＝90°、同理可得③中∠AFB 度数等于∠BCM ＝108°.(2)由正三角形、正四边形、正五边形时、∠AFB 的度数分别为60°、90°、108°、可得出正n 边形中、其他条件不变、则∠AFB 的度数为（n －2）·180°n.4.12 79 1－2n2 [解析] 如图①、连接AC 、BD.∵点A 1、D 1是边AB 、AD 的中点、 ∴A 1、D 1是△ABD 的中位线、 ∴A 1D 1∥BD 、A 1D 1＝12BD 、∴△AA 1D 1∽△ABD 、 ∴S △AA 1D 1S △ABD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A 1D 1BD 2＝14、∴S △AA 1D 1＝14S △AB D .同理、S △CB 1C 1＝14S △BCD 、S △BA 1B 1＝14S △ABC 、S △DD 1C 1＝14S △ACD 、∴S 阴影＝S 四边形ABCD －(S △AA 1D 1＋S △CB 1C 1＋S △BA 1B 1＋S △DD 1C 1)＝1－14(S △ABD ＋S △BCD ＋S △ABC ＋S △ACD )＝1－24S 四边形ABCD＝1－12＝12.如图②同理可得S 阴影＝1－19(S △ABC ＋S △BCD ＋S △ABC ＋S △ACD )＝1－29S 四边形ABCD ＝1－29＝79.当取四边形ABCD 各边的n (n 为大于1的整数)等分点时、则S 阴影＝1－1n 2(S △ABD ＋S △BCD ＋S △ABC ＋S △ACD )＝1－2n 2S 四边形ABCD ＝1－2n2.三、平面直角坐标系中的规律探究5．(3、2) (2013、2014) [解析] 根据题意画出图象、进而得出各点坐标变化规律进而得出答案．如图所示：点A 3的坐标是(3、2)、∵B 1(0、1)、B 2(1、2)、B 3(2、3)、 ∴B 点横坐标比纵坐标小1、∴点B 2014的坐标是：(2013、2014)．故答案为：(3、2)、(2013、2014)． 6．3 32 347．(15、8) (2n－1、2n －1) [解析] 根据一次函数、得出点A 1、A 2的坐标、继而得知B 1、B 2等点的坐标、从中找出规律、进而可求出B n 的坐标．把x ＝0代入y ＝x ＋1、可得y ＝1、所以可得点B 1的坐标是(1、1)．把x ＝1代入直线y ＝x ＋1、可得y ＝2、所以可得点B 2的坐标是(3、2)、同理可得点B 3的坐标是(7、4)；点B 4的坐标是(15、8)；由以上得出规律是B n 的坐标为(2n －1、2n －1)．[点评] 本题考查了正方形的性质、解此题的关键是根据一次函数的图象上点的坐标得出规律、题目比较好、但是一道比较容易出错的题目． 8．0 8 0 2n －1 [解析] 已知直线y ＝33x 、点A 1坐标为(0、1)、过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1、可知B 1点的坐标为(3、1)、以原点O 为圆心、OB 1长为半径画弧交y 轴于点A 2、OA 2＝OB 1＝2OA 1＝2、点A 2的坐标为(0、2)、这种方法可求得B 2的坐标为(2 3、2)、故点A 3的坐标为(0、4)、点A 4的坐标为(0、8)、此类推便可求出点A n 的坐标为(0、2n －1)．9．(0、1－3) (－11、11) (－n 、n ) [解析] ∵从内到外、它们的边长依次为2、4、6、8、…、顶点依次用A 1、A 2、A 3、A 4、…表示、其中x 轴与边A 1A 2、边A 1A 2与A 4A 5、A 4A 5与A 7A 8、…均相距一个单位长度、 ∴A 1A 2＝2、A 1E ＝1、A 1(－1、1)、同理可得出：4(－2、2)、7(－3、3)、…∵4＝2×3－2、7＝3×3－2、10＝4×3－2、…、31＝11×3－2、∴A 31的坐标为：(－11、11)、∴A 3n －2(n 为正整数)的坐标为(－n 、n )．10.32 2－2n [解析] 当x ＝1时、P 1的纵坐标为4、当x ＝2时、P 2的纵坐标为2、当x ＝3时、P 3的纵坐标为43、当x ＝4时、P 4的纵坐标为1、当x ＝5时、P 5的纵坐标为45、…则S 1＝12×1×(4－2)＝1＝2－1；S 2＝12×1×(2－43)＝13＝1－23；S 3＝12×1×(43－1)＝16＝23－24；∴S 1＋S 2＋S 3＝2－1＋1－23＋23－24＝2－24＝32；S 4＝12×1×(1－45)＝110＝24－25；…S n －1＝2n －1－2n ； ∴S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋…＋S n －1 ＝2－1＋1－23＋23－24＋…＋2n －1－2n＝2－2n .故答案为32、2－2n .根据点P 0坐标可求出OP 0、然后分别求出OP 1、OP 2、OP 3、OP 4、…、OP n 、再根据点P 2在y 轴负半轴上写出P 2的坐标即可；分n 是正奇数和n 是0和正偶数两种情况确定出点P n 所在的象限、然后根据等腰直角三角形的性质写出坐标即可、∵P 0的坐标为(1、0)、∴OP 0＝1.∴OP 1＝2、OP 2＝2×2＝22、OP 3＝22×2＝23、OP 4＝23×2＝24、…、OP n ＝2n －1×2＝2n .∵每次旋转45°、点P 0在x 轴正半轴上、 ∴点P 2在y 轴负半轴上．∴点P 2的坐标为(0、－4)．∵OP n 为所在象限的平分线、①m 为正奇数时、点P n 在第二象限、②m 为0和正偶数时、点P n 在第四象限．综上所述、点P n 的坐标为(－2·2n －1、2·2n －1)(m 为正奇数)、(2·2n －1、－2·2n －1)(m 为0和正偶数)12．(4、0) 2 A 或C [解析] ∵点A (1、0)、B (2、0)、∴OA ＝1、OB ＝2、∴正六边形的边长为：AB ＝1、∴当点D 第一次落在x 轴上时、OD ＝2＋1＋1＝4、此时点D 的坐标为：(4、0)．如图所示：当滚动到A ′D ⊥x 轴时、E 、F 、A 的对应点分别是E ′、F ′、A ′、连接A ′D 、过点F ′、E ′作F ′G ⊥A ′D 、E ′H ⊥A ′D 、垂足分别为G 、H 、∵六边形ABCDEF 是正六边形、∴∠A ′F ′G ＝30°、∴A ′G ＝12A ′F ′＝12、同理可得：HD ＝12、 ∴A ′D ＝2、∴在运动过程中、点A 的纵坐标的最大值是2. ∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周、∴A 点从点(1、0)开始到点(2014、3)、正六边形正好滚动2013个单位长度．∵20136＝335……3、 ∴恰好滚动335周多3个、A ′点的纵坐标为3、∴会过点(2014、3)的是点A 、当点E 在(2014、0)位置时、则点F 在(2015、0)位置、此时C 点在E 点的正上方、CE ＝3、所以C 点也符合题意．13.16 n 24n ＋2[解析] ∵A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n ＋1是x 轴上的点、且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n A n ＋1＝1、分别过点A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n ＋1作x 轴的垂线交直线y ＝x 于点B 1、B 2、…、B n 、B n ＋1、∴依题意得：B 1(1、1)、B 2(2、2)、B 3(3、3)、…、B n (n 、n )．∵A 1B 1∥A 2B 2、∴△A 1B 1P 1∽△B 2A 2P 1、∵A 1B 1A 2B 2＝12、 ∴△A 1B 1P 1与△A 2B 2P 1对应高的比为1∶2.∵A 1A 2＝1、∴A 1B 1边上的高为13、 ∴S △A 1B 1P 1＝13×1×12＝16、同理可得：S △A 2B 2P 2＝25、S △A 3B 3P 3＝914、 ∴S n ＝n 24n ＋2. 故答案为16、n 24n ＋2. 四、定义新运算14．－3 －1或4 [解析] ∵a ★b ＝a 2－3a ＋b 、x ★2＝6、∴x 2－3x ＋2＝6、解得x ＝－1或x ＝4.15．2 2 [解析] 首先根据a 1＝12、可得a 2＝11－a 1＝11－12＝2、a 3＝11－a 2＝11－2＝－1、a 4＝11－a 3＝11－（－1）＝12、…、所以这列数是12、2、－1、12、2、－1、…、每3个数是一个循环、然后用2015除以3、求出一共有多少个循环、还剩下几个数、进而判断出a 2015的值是多少即可．16．30°或150° [解析] 根据边长等于半径时、边长所对的圆心角为60°、根据圆周角与圆心角的关系和圆内接四边形的性质求出等径角的度数．如图、边AB 与半径相等时、则∠AOB ＝60°、当等径角的顶点为C 时、∠C ＝12∠AOB ＝30°、当等径角顶点为D 时、∠C ＋∠D ＝180°、∠D ＝150°、故答案为：30°或150°.17．(1)3 (2)(11、9、10) [解析] (1)若G 0＝(4、7、10)、第一次操作结果为G 1＝(5、8、8)、第二次操作结果为G 2＝(6、6、9)、第三次操作结果为G3＝(7、7、7)、所以经过3次操作后游戏结束．(2)若G0＝(4、8、18)、则G1＝(5、9、16)、G2＝(6、10、14)、G3＝(7、11、12)、G4＝(8、12、10)、G5＝(9、10、11)、G6＝(10、11、9)、G7＝(11、9、10)、G8＝(9、10、11)、G9＝(10、11、9)、G10＝(11、9、10)、…由此看出从G5开始3个一循环、(2014－4)÷3＝670、所以G2014与G7相同、也就是(11、9、10)．18．(1)37 26 (2)6 [解析] 通过观察前8个数据、可以得出规律、这些数字7个一循环、根据这些规律计算即可．(1)F2(4)＝F(F1(4))＝F(16)＝12＋62＝37；F1(4)＝F(4)＝16、F2(4)＝37、F3(4)＝58、F4(4)＝89、F5(4)＝145、F6(4)＝26、F7(4)＝40、F8(4)＝16、…、通过观察发现、这些数字7个一个循环、2015是7的287倍余6、因此F2015(4)＝F6(4)＝26.(2)由(1)知、这些数字7个一个循环、F4(4)＝89＝F18(4)、因此3m＝18、所以m＝6.19．(5、1) (3、7)或(7、3)[解析] 根据题意得、白子点B的坐标为(5、1)．因为白方已把(4、6)、(5、5)、(6、4)三点凑在一条直线上、黑方只有在此三点两端任加一点即可保证不会让白方在短时间内获胜、即位置(3、7)或(7、3)．。

北京中考数学选择填空压轴题

北京中考选择填空压轴题专项练习8.如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE =PB . 设AP =x ,△PBE 的面积为y . 则能够正确反映y 与x 之间的函数关系的图象是8．如图，在Rt ABC △中，∠C =90°，AB =5cm ，BC =3cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿A →B →C的方向运动，到达点C 时停止.设2y PC =, 运动时间为t 秒，则能反映y 与t 之间函数关系的大致图象是8.如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪ABC PDC A B D图 2成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是 A. 669 B. 670 C.671 D. 6728．如图1是一个小正方体的平面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时小正方体朝上一面的字是A ．生B ．态C ．家D ．园 8．如图，AB 是O ⊙的直径，弦2cm BC =，F 是弦BC 的中点， 60ABC ∠=°．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A B A →→方向运动，设运动时间为()(03)t s t <≤，连结EF ，当BEF △是直角三角形时，t （s ）的值为 A ．47 B ．1 C ．47或1 D ．47或1 或49８．已知：如图,在等边三角形ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，D 是MN 上任意一点，CD 、BD 的延长线分别与AB 、AC 交于F 、E ，若116CE BF+= ，则等边三角形ABC 的边长为 A.81 B. 14 C. 21 D.18．如图，△ABC 的面积为1．第一次操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点A 1，B 1，C 1，使A 1B ＝AB ，B 1C ＝BC ，C 1A ＝CA ，顺次连结A 1，B 1，C 1，得到△A 1B 1C 1．第二次操作：分别延长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1至点A 2，B 2，C 2，使A 2B 1＝A 1B 1，B 2C 1＝B 1C 1，C 2A 1＝C 1A 1，顺次连结A 2，B 2，C 2，得到△A 2B 2C 2．…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2011，最少经过（）次操作． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．类比二次函数图象的平移，把双曲线y=x1向左平移2个单位，再向上平移1个单位，其对应的函数解析式变为 A ．2x 3x y ++= B ．2x 1x y ++=C ．2x 1x y -+=D ．2x 1x y --=8. 如图，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点.动点R 从点B 出发，沿B →C →D →F 方向运动至点F 处停止．设点R 运动的路程为x ，EFR △的面积为y ，当y 取到最大值时，点R 应运动到A ．BC 的中点处B ．C 点处321生建设设生态家园图1建 NM CBA E DFC ．CD 的中点处 D ．D 点处8.观察下列图形及所对应的算式，根据你发现的规律计算1+8+16+24+ … + 8n(n 是正整数)的结果为A. ()221n + B. 18n + C. 18(1)n +- D. 244n n +8．如图，点A 在半径为3的⊙O 内，OA=3，P 为⊙O 上一点，当∠OP A 取最大值时，P A 的长等于（）. A ．32B ．6C ．32D ．238．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在由直线3+-=x y ，直线4y =和直线1x =所围成的区域内或其边界上，点Q 在x 轴上，若点R 的坐标为(2,2)R ，则QP QR +的最小值为 A ．17 B ．25+ C ．35 D ．48．如图，在边长为1的正方形ABCD 内作等边三角形DCG ，并与正方形的对角线交于E 、F 点．则图标中阴影部分图形AEGFB 的面积为A ．)32(43- B ．213- C ．33 D ．331-8．如图，正方形ABCD 的边长为2，动点P 从点C 出发，在正方形的边上沿着C B A →→的方向运动（点P 与A 不重合). 设点P 的运动路程为x , 则下列图象中，表示△ADP 的面积y 与x 的函数关系的是第8题图BACPD.C.B.A.CDF EBA8.用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小数，若函数}1,1min{22x x y --=，则y 的图象为8．如图，A 是高为10cm 的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A 点出发，沿30°角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是A. 10cmB. 20cmC. 30cmD. 40cm8．将如图所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，以阴影部分为底面放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是12．如图，正方形ABCD ，E 为AB 上的动点，（E 不与A 、B 重合）联结DE ，作DE 的中垂线，交AD 于点F ．（1）若E 为AB 中点，则DF AE= ．（2）若E 为AB 的n 等分点(靠近点A)，则DF AE= ．4 3 2 1 0 1 2 3 x yC 43 2 1 0 12 3 x y A43 2 1 0 12 3 xyB43 2 1 0 12 3 xyD xyA 1-1-1-1-11111111xy0BxyC xyD12. 如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为． 12．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 的内部，延长BG 交DC 于点F ．若DC =2DF ，则AD AB = ；若DC=nDF ，则AD AB = （用含n 的式子表示）． 12．对于每个正整数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于A n ，B n 两点，若n n A B 表示这两点间的距离，则n n A B = （用含n 的代数式表示）；112220112011A B A B A B +++的值为．12．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =30°，AB =6．点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA =DE ，则AD 的取值范围是________________.12. 如图1，小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形1111D C B A ，正方形1111D C B A 的面积为；再把正方形1111D C B A 的各边延长一倍得到正方形2222D C B A （如图2），如此进行下去，正方形n n n n D C B A 的面积为．（用含有n 的式子表示，n 为正整数）图1 图2C D ABE （第12题）GEDCBAFAH B O C 1O1H1A1C12．已知：点F 在正方形纸片ABCD 的边CD 上，AB=2，∠FBC=30°（如图1）；沿BF 折叠纸片，使点C 落在纸片内点C ＇处（如图2）；再继续以BC ＇为轴折叠纸片，把点A 落在纸片上的位置记作A ＇（如图3），则点D 和A ＇之间的距离为_________.12．已知ABC AB AC m ∆==中，，72ABC ∠=︒，1BB 平分ABC ∠交AC 于1B ，过1B 作12B B //BC 交AB 于2B ，作23B B 平分21AB B ∠，交AC 于3B ，过3B 作34//B B BC ，交AB 于4B ……依次进行下去，则910B B 线段的长度用含有m 的代数式可以表示为 .12．如图，矩形纸片ABCD 中，6,10AB BC ==.第一次将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕与BD 交于点1O ；设1O D 的中点为1D ，第二次将纸片折叠使点B 与点1D 重合，折痕与BD 交于点2O ；设21O D 的中点为2D ，第三次将纸片折叠使点B 与点2D 重合，折痕与BD 交于点3O ，… .按上述方法折叠，第n 次折叠后的折痕与BD 交于点n O ，则1BO = ，n BO = ．…第一次折叠第二次折叠第三次叠A D A D D C ＇F F F A ＇B C B B图1 图2 图3B ADCBA D C 1O 1O 2O 1D 1D 2D 1O 2O 3O B A D CB A DC12. 如图，直线x y 33=，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 轴的垂线交直线于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于点3A ，…，按此做法进行下去，点4A 的坐标为（，）；点n A （，）．12．如图，在函数12y x=（x ＞0）的图象上，有点1P ，2P ，3P ，…，n P ，1n P +，若1P 的横坐标为a ，且以后每点的横坐标与它前面一个点的横坐标的差都为2，过点1P ，2P ，3P ，…，n P ，1n P +分别作x 轴、 y 轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为1S ，2S ，3S ，…，n S ，则1S = ， 1S +2S +3S +…+n S = ．（用n 的代数式表示）12．如图所示，直线1+=x y 与y 轴交于点1A ，以1OA 为边作正方形111C B OA 然后延长11B C 与直线1+=x y 交于点2A ，得到第一个梯形211A OC A ；再以21A C 为边作正方形2221C B A C ，同样延长22B C 与直线1+=x y 交于点3A 得到第二个梯形3212A C C A ；，再以32A C 为边作正方形3332C B A C ，延长33B C ，得到第三个梯形；……则第2个梯形3212A C C A 的面积是；第n （n 是正整数）个梯形的面积是（用含n的式子表示）．12．已知一个面积为S 的等边三角形，现将其各边n （n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．y x8642O S 3S 2S 1P 1P 2P 3P 4y =12x当n = 8时，共向外作出了个小等边三角形；当n = k 时，共向外作出了个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和是（用含k 的式子表示）．12. 如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是．12．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，．．．．．．依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________；所作的第n 个四边形的周长为_________________．（12题图）n =3n =5……n =4。

2019-2023北京中考真题数学汇编：填空压轴(第16题)

2019-2023北京中考真题数学汇编填空压轴（第16题）生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟．4．（2020·北京·统考中考真题）如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序．5．（2019·北京·中考真题）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．++=（吨）；（2）选择ABC时，装运的II号产品重量为：1236++=（吨）；选择ABE时，装运的II号产品重量为：1258+=（吨）；选择AD时，装运的II号产品重量为：134++=（吨）；选择ACD时，装运的II号产品重量为：1337++=（吨）；选择BCD时，装运的II号产品重量为：2338++=（吨）.选择ACE时，装运的II号产品重量为：1359故答案为：ACE．【点睛】本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键．3． 53 28【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案．++++++=（分钟），【详解】解：由题意得：9979710253即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；假设这两名学生为甲、乙，∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟，然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟，最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，++=（分钟），∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要991028故答案为：53，28；【点睛】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键．4．丙，丁，甲，乙【分析】根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为2，3，4，5可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4．丁所购票数最多，因此应让丁第二购票，据此判断即可．【详解】解：丙先选择：1，2，3，4．丁选：5，7，9，11，13．甲选：6，8．乙选：10，12，14．∴顺序为丙，丁，甲，乙．（答案不唯一）【点睛】本题考查有理数的加法，认真审题，理解题意是解题的关键．5．①②③【分析】根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．【详解】解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，∴OA=OB=OC=OD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠OBM=∠ODP，∠OAQ=∠OCN，过点O的直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，∴∠BOM=∠DOP，∠AOQ=∠CON，所以△BOM≌△DOP（ASA），△AOQ≌△CON（ASA），所以OM=OP，OQ=ON，则四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；②如图，当PM=QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；④当四边形MNPQ是正方形时，MQ=PQ，则△AMQ≌△DQP，∴AM=QD，AQ=PD，∵PD=BM，∴AB=AD，∴四边形ABCD是正方形，当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故错误；故正确结论的序号是①②③．故答案为：①②③．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．。

北京专版2019中考数学专题突破一填空压轴题型作业手册

百度文库：精选试题填空压轴题型规律探究性问题的解答需要学生经历观察、分析、归纳、概括、推理、检验等一系列探索活动、对学生的“数感”提出较高要求．新定义题型就是指通过试题提供的新定义、新规则、新概念、新材料来创设新情景、提升类比迁移等综合素质．因此、这两个考点成为北京市中考填空题压轴题的热点．阅读下面材料：1．[2015·北京]在数学课上、老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．AB. 已知：线段1－图Z1AB 求作：线段的垂直平分线．小芸的作法如下：如图、图Z1－21ABABCD两点；、为圆心、大于的长为半径作弧、两弧相交于(1)分别以点和点 2CD . (2)作直线CD 就是的所求作的垂直平分线．所以直线老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是______________________．xOyPxyPyxP 的叫做点＋′(－1)014·北京2．[2] 在平面直角坐标系＋中、对于点1(、、)、我们把点AAAAAAAAA …、伴随点、已知点的伴随点为的伴随点为、这样依次得到点、点的伴随点为、、点、343112223AAAAAa 、的坐标为________；若点(、、…、若点的坐标为(31)、则点的坐标为________点的坐标为13420141bnAxab 应满足的条件为__________________、．、对于任意正整数)、点均在轴上方、则n 备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题1xOyltxyl上在＝3、在平面直角坐标系－中、已知直线1：、双曲线＝－.3．[2013·北京] 如图Z1－x AAxBBylA、请继续操作并探究：过取点、过点、过点轴的垂线交作作轴的垂线交双曲线于点于点21111AxBBylAlAA、…、作这样依次得到轴的垂线交、点于点作上的点轴的垂线交双曲线于点、、过点222231AAAaaaa＝________；若要将上述操作无限＝的横坐标为________、若、＝、…、2、….记点、则nnn2013231a不能取的值是________ 次地进行下去、则．．．1图Z1－3xOyA(0、4)中、我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点、已知点、4．[2012·北京] 在平面直角坐标系BxAOBmmB的横坐标的所3当时、点内部(不包括边界)点的整点个数为是＝轴正半轴上的整点、记△.Bnnmn的代数式表示)．________________(用含为正整数)时、有可能值是________；当点的横坐标为4＝(图Z1－4ijaij都是不大于5的正整数)(其中、5．[2011·北京] 在下表中、我们把第、行第对于列的数记为ji、a规定如下：表中的每个数ji、ijaijaijaaa＝________按此规定、＝；当0.例如：＝＝2当、≥1.时、＝1；当＝<1时、时、＝jiijji3、12、、、、1aaaaaaaaaa的值为＋···＋＋·______表中的25个数中、共有个1；计算＋·iiiii5、2、、1、34、、11、351、111、2、4________．aaaaa511、4、1、11、21、3aaaaa522、2、42、2、32、1aaaaa534、33、1、33、23、aaaaa544、、424、14、34、aaaaa5、5、34155、25、、5一、与数与式有关的规律探究251017261．[2015·朝阳一模] 一组按规律排列的式子：、－、、－、、…、其中第7个式子是________、5324aaaaannn为正整数)用含．的式子表示、第个式子是________(二、与图形有关的规律探究AAA次点做如下移动：第、数轴上点1的初始位置表示的数为1、现点Z12．[2015·西城一模] 如图－5AAAA向左移动9个单位长度至点、第3次从点6次从点、第3向左移动个单位长度至点2向右移动2121备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题AAA与原点的距离________、…、按照这种移动方式进行下去、点、如果点个单位长度至点表示的数是n43n的最小值是________、那么．不小于20图Z1－5EDABCABCMABCMN中以6、点、正四边形、、正五边形分别是正三角形3．[2014·延庆县一模] 如图Z1－CBECDDBAEFAFB的＝于点、、则图①中∠点为顶点的一边延长线和另一边延长线上的点、且的延长线交nAFB则∠正五边形”改为“正其他条件不变、边形”、度数为________；若将条件“正三角形、正四边形、nnn为整数)用含3的代数式表示、其中、且≥．的度数为________(图Z1－6ABCDABCD各边的中点、则图－7①、取四边形如图] 已知：四边形Z1的面积为1.4．[2014·昌平区一模ABCD各边的三等分点、则图中阴影部分的面积为取四边形Z1－7②、中阴影部分的面积为________；如图ABCDnn为大于1的整数)等分点、则图中阴影部分的面积为________________；…；取四边形．各边的(图Z1－7三、平面直角坐标系中的规律探究xOylyxAyx的对称＝中、已知直线(1：、＝0)、作5．[2014·石景山一模] 在平面直角坐标系关于直线1BBAAyxBB向右平移2；再作的对称点关于直线个单位＝点、将点、将点向右平移2个单位得到点222121AAB的坐标是________、点________得到点．；….请继续操作并探究：点的坐标是201433ByC、2)在、在平面直角坐标系中放置了5个正方形、点轴上、点(0、6．[2015·房山一模] 如图Z1－811EECEECxCBCBCBCAx轴的距离是0)、________.∥、、则点、∥、、、在到轴上、的坐标是(1、14213311221233AxAx轴的距离是________．到点到轴的距离是________、点32图Z1－8xOyyxlAly轴的交点、以是直线1为.7．[2015·东城一模] 在平面直角坐标系中、记直线点＝与＋1AOAOCBCxCBlAAC为边作正方形落在轴正半轴上、作射线、使点于点、以为边作正方形交直线1111121121ACCBCxB的坐标是________则点、9落在依次作下去、轴正半轴上、得到如图Z1－所示的图形．使点、422212B的坐标是________点．n备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题9图Z1－3yAylxA＝－10、已知直线：．[2014·丰台一模坐标为(0、1)、过点作8轴的垂线交] 如图、点Z1113lyBOOByAAl于、以原点；再过点为圆心、直线长为半径画弧交于点轴的垂线交直线轴于一点作2211AOBOByA、点、以原点(________为圆心、按此作法进行下去、长为半径画弧交点轴于点的坐标为、…、4223A．(________、________)；点________)的坐标为n10－图Z1yx轴上．从内到外、它们轴、一顶点在Z1－11、所有正三角形的一边平行于9．[2014·顺义一模] 如图AAAxAAAAAAA、轴与边、边、4的边长依次为2、、6、8、…、顶点依次用、…表示、其中、与、5324111224nAAAAAAA为正整________、…均相距一个单位长度、则顶点、的坐标为________、与(的坐标为n234315－738．)数的坐标为________11－图Z14nPPPPyxP(、Z1] 如图－12、在反比例函数、＝(、≥0)的图象上、有点、…、10．[2014·通州一模n4123x xnnnn≥1)．分别过这些点作(、…、为正整数、且为正整数、且2≥1)、它们的横坐标依次为1、、3、4SSy、近似看成三角形)的面积从左到右依次为、轴与连接相邻两点、轴的垂线、图中所构成的阴影部分(21SSSSSSnSSnSS用＋＋…＋、…、(＋为正整数、且________(≥2)、那么＋＋＋＝________、＝nn1－123433112－n．的代数式表示含有)12－图Z1OPOP绕点、0)13如图Z1－、在平面直角坐标系中、已知点、将线段的坐标为(1] 11．[2014·燕山一模00OOPOPOP按顺时针方向的2倍、得到线段绕点；又将线段按顺时针方向旋转45°、再将其长度伸长为110OPOPOPOPOP则点、…、这样依次得到线段、、…、.倍、得到线段的45旋转°、再将其长度伸长为2n4231备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题PmmPn ________________时、点4．＋1(的坐标为为自然数的坐标为________；当)＝n213Z1－图ABCDEFABxOy、正六边形0)(2中、点、(1、0)12．[2014·西城一模] 如图Z1－14、在平面直角坐标系、ADxDx的轴正方向无滑动滚动、当点的坐标为第一次落在________轴上时、点沿；在运动过程中、点、3)的正六边形的顶点是________．纵坐标的最大值是________；保持上述运动过程、经过点(2014图Z1－14AAAAxOAAAAAAA＝…＝、…、轴上、且、15、已知＝、在＝13．[2015·东城二模] 如图Z1－nnnn＋221121＋113AAAAxyxBBBBABBA、＝于点、连接轴的垂线交直线＝1、分别过点、、、…、、、、…、作、nnnn22＋11＋111221ABBAABBAPPPPABPABPABP的面积、、…、、依次相交于点、△、、、△、…、、、…、△nnnnnnnn2＋121131＋22131223SSSSS＝________、、．、…、、则依次记为________nn＝121图Z1－15四、定义新运算22ababaab、如：3★5＝3＋＝14．[2014·东城一模] 现定义运算“★”、对于任意实数－、3、都有－★xx的值是________．★2＝6、则实数．若3×3＋5、根据定义的运算求2★(－1)＝________1aa的差倒数、如2的有理数1的差倒数为、把称为15．[2015·燕山一模] 定义：对于任意一个不为a1－1111aaaaaaa的差倒、是的差倒数、的差倒数、是.＝－1、－1的差倒数为＝记是＝3121243）21－221－（－1aa＝________．、＝________ 数、…、依此类推、则2015216．[2015·海淀一模] 若三角形的某一边长等于其外接圆半径、则将此三角形称为等径三角形、该边所ABC是等径三角形、则等径角的度数为________．对的角称为等径角．已知△ABC三个盘子里分别放了一些糖果、糖果数依次、、17．[2014·海淀一模] 在一次数学游戏中、老师在abcGabc)、为、．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同、则从糖果数最、、记为＝(、0000000多的一个盘子中拿出两个、给另外两个盘子各放一个(若有两个盘子中的糖果数相同、且都多于第三个盘子中的糖果数、则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果)、记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题nGabc)．、相同、则游戏结束．次操作后的糖果数记为、＝(nnnn G＝(4、7、10)(1)若、则第________次操作后游戏结束；0GG＝________．18)、则游戏永远无法结束、那么＝(4、8、(2)小明发现：若201402nn<10，??nnFnfn的首位数字、末位))＝、其中18．[2015·海淀模拟] 对于正整数表示、定义((?nn10f（≥），??()222123fFF＝1＋336(6)＝6＝、＝(123)＝数字的平方和．例如：10.()()123123FFnkFFFFnnFnFFF(123))())((123)为正整数)．例如：＝＝10＝、规定()＝(()、()＝(kk11＋112F(10)＝＝1.FF(4)＝________、＝________；(1)求： (4)20152Fm的最小值是________、则正整数89．(2)若 (4)＝m319．[2015·海淀二模] 五子棋是一种两人对弈的棋类游戏、规则是：在正方形棋盘中、由黑方先行、白方后行、轮流弈子、下在棋盘横线与竖线的交叉点上、直到某一方首先在任一方向(横向、竖向或者是斜着的方向)上连成五子者为胜．如图Z1－16、这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘、以OA的坐标为(7、为原点、在棋盘上建立平面直角坐标系、将每个棋子看成一个点、若黑子5)点、则白子B的坐标为________；为了不让白方在短时间内获胜、此时黑方应该下在坐标为________的位置处．图Z1－16备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题参考答案北京真题体验1.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线ab＜＜2 ＜1且(0、4) －1＜02．(－3、1)A的坐标为(3、1)、解析] ∵[1AAAA(3、1)、、、1)、 (0∴、－(0、4)、2)(－35324…、依此类推、每4个点为一个循环组依次循环、∵2014÷4＝503……2、AA的坐标相同、为(0、4)；∴点的坐标与22014Aab)、、∵点的坐标为(1AbaAabAbaAab)、、＋1)、－、＋2)、( ∴－(－、＋11＋1)、、－(－(5243…、以此类推、每4个点为一个循环组依次循环、nAx轴上方、、点∵对于任意的正整数均在n ab＋2＞0＞0，－，＋1????∴??ab＞0，，＋1＞0－????ab ＜2.0＜＜1、解得－1＜311aBb＝、2时、解析0、－1 [] 当的纵坐标为＝3．－－1112323aAAB 的纵坐标相同、则＝－的横坐标为的纵坐标和、212222bABB的横坐标和＝－的横坐标相同、则、的纵坐标为222231aABA的横坐标为、的纵坐标相同、则＝－的纵坐标和33233bBBA 3的纵坐标为的横坐标和、的横坐标相同、则＝－3333aABA、的纵坐标和＝的纵坐标相同、则2的横坐标为bABB的横坐标相同、则＝的纵坐标为、的横坐标和24442313aaaaa＝－、＝2即当时、＝2、44431＝－、、＝－543122321212bbbbb＝、、、＝、、＝－＝－＝－354321322312013aa；＝－＝671、∴＝∵3201333AyBx≠0、 )点、即不能在轴上(此时找不到11AxAyByx－1≠0、、即点不能在(轴上此时在＝－轴上、找不到)212x≠－解得1.a不可取0综上可得、－1.1备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题n ] 如图：3 [．3或4 6解析－4AOBB、共三个、1)2)、(2(1、1)、(1、(30)点或(4、0)点时、△、内部(不包括边界)当点的整点为点在点、Bm4.或时、点的横坐标的所有可能值是所以当3＝33）×3－1－2（4×2＋mAOBBn9.的整点个数＝、△＝的内部(当点不包括边界的横坐标为8时、)＝223）×3－1－2（4×3＋mAOBBn15.的整点个数＝＝的内部(当点不包括边界的横坐标为12时、)＝3、△23）×3－1－2（4×n＋nmnnB3.6)时、所以当点－的横坐标为4＝(＝为正整数2ajaiij1；由图表中可以很容易知道等于≥由题意当＝＜时、时、＝0、当15．0 15 1 [解析] jiij、、个．的数有15ji 与由题意、很容易发现、从之间大小关系分析：aji0时、；＝当＜ji、aij1时、、当＝≥ji、aaaaaaaaaa1. ＝0＋0·＋＝1×1＋·0＋·＋＋0·＋＋∴·iiiii5、2、31、5、、14、、131、2、1、411北京专题训练一、与数与式有关的规律探究2n150＋n1＋na次幂；分子的变次幂、…、次幂、2次幂、3－1)· [解析] 观察分母的变化为的11. (n7a a n12＋n.17、…、1)＋1；分式符号的变化为：＋、－、＋、－、…、(－10化为：2、5、、211＋22、(－1)·∵＝1aa2512＋3、1)－＝(－·22aa213＋104－1)·、＝(33aa…50 、7∴第个式子是7a2n1＋n1＋n.(－·1)第个式子为：n a二、与图形有关的规律探究AA的3、序号为偶数的点在点各点所表示的数依次减少] [7 2．13 解析序号为奇数的点在点的左边、备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题AAA与原点的距离表示的数以及右侧、各点所表示的数依次增加3、于是可得到表示的数、则可判断n1213n的最小值． 20时不小于AAA表示的数为1－3＝－2第1次点；向左移动3个单位长度至点、则11AAA表示的数为－2＋6＝42次点；向右移动6个单位长度至点、则第212AAA表示的数为4－9＝－53次点9向左移动个单位长度至点；、则第323AAA表示的数为－5＋、则12第4次点＝向右移动12个单位长度至点7. 443AAA表示的数为7－15＝－8向左移动15个单位长度至点；、则第5次点545…AAAA表17、－33＝－14、＝－表示的数为－则点＝－表示的数为－8－311、点14表示的数为－11－131179示的数为－17－3＝－20、AAAA表示的数为16＋3＝193＝16、、、表示的数为10＋3＝13、表示的数为13＋表示的数为7＋3＝10121086An的最小值是13. 与原点的距离不小于20所以如果点、那么n n－2）·180°（ABCABBCABCACB＝60＝∠＝°、、∠ [解析] (1)603．°在①中的正三角形中、nABEBCD＝120＝∠°、∴∠BECD、又∵＝ABEBCD、∴△≌△ED、＝∠∴∠FBECBD、＝∠又∵∠AFBEFBEDCBDACB＝60＝∠°∴∠＋∠＝∠.＋∠＝∠AEBBDCBEFBDC、由以上不难得到②中△≌△∽△、进一步证出③中△AFBDCBAFBBCM＝108°90°、同理可得③中∠得出、②中∠.的度数等于∠度数等于∠＝AFBn边形中、°、可得出正°、108的度数分别为60°、(2)由正三角形、正四边形、正五边形时、∠90n－2）·180°（AFB的度数为其他条件不变、则∠.n172ACBD.、[解析] 如图①、连接4. 1－2n92ADABAD的中点、、是边∵点、11ADABD的中位线、是△、∴111ADBDADBD、∥∴＝、11112AADABD、∽△∴△112DADAA1S△??1111??＝、∴＝BD??S4ABD△1SAADS.∴＝△AB D△114111SCBCSSBABSSDDCS、＝同理、△、＝＝、△△ACDBCDABC△△1△SSSAADSCBCSBABSDDCSSSSS－1＝＝)1－(＋＋＋)＋＋－＝∴(△△＋△△ACDABCDABCABDBCD四1111144412边形△△△1阴影四边形1111111△44备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题11.＝1－＝ABCD227122SSSSSS.＝＋1)＝1如图②同理可得－＝1－(＋－＋＝ABCDABCACDBCDABC四边形△△阴影△△9999nnABCD当取四边形等分点时、则各边的的整数()为大于1221SSSSSS.1＋)＝1＝1－(－＋－＋＝ABCDACDBCDABDABC四边形△△△△阴影222nnn三、平面直角坐标系中的规律探究 ] 根据题意画出图象、进而得出各点坐标变化规律进而得出答案．、2) (2013、2014) [解析5．(3A2)如图所示：点、的坐标是(3、3BBB3)、2)、、∵(2(0、1)、、(1312B∴、点横坐标比纵坐标小1B∴点．的坐标是：(2013、2014)2014．、2)、(2013、2014)故答案为：(333 6．3 42nn1－BABA等点的坐标、的坐标、继而得知、、2) [解析] 根据一次函数、得出点7．(15、8) (2－1、2121B从中找出规律、进而可求出的坐标．n yxxy ＋1、可得代入、＝＝把1＝0B所以可得点．的坐标是(1、1)1yxyx＝2＝、＋1把＝1代入直线、可得B的坐标是(3、所以可得点2)、2BB；、8)4)；点的坐标是同理可得点(15的坐标是(7、43nn1－B)．－1、2由以上得出规律是(2的坐标为n本题考查了正方形的性质、解此题的关键是根据一次函数的图象上点的坐标得出规律、题目比较点评] [ 好、但是一道比较容易出错的题目．3n1－BAyylxA、轴的垂线交直线] 已知直线于点＝、过点、0 8．8 0 2点作坐标为(0、1) [解析1113B、可知1)、点的坐标为(31AOBOAOAOOByA 2)、点、轴于点的坐标为、＝(0＝2、以原点＝为圆心、长为半径画弧交2212112B、、2)的坐标为(2 这种方法可求得32AA 8)、的坐标为(0、故点的坐标为(0、4)、点43n1－A)．(0、此类推便可求出点2的坐标为n nn) [解析] ∵从内到外、它们的边长依次为2、4、6、11) 1－3) (－11、(－8、、…、顶9．(0、AAAA、…表示、、、、点依次用4123xAAAAAAAAAA、…均相距一个单位长度、、与与其中轴与边、边8244712515AAAEA(－1、1)、 12∴＝、＝、1112备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题3．AA、…3、、2)、3)(同理可得出：－(－274、3－22、…、31＝11×∵4＝2×3－2、7＝3×3－2、10＝4×3－A、11、∴11)的坐标为：(－31nnAn．－)的坐标为(∴)(、为正整数n23－23Px、的纵坐标为＝1时、 2－4 [解析] 当10.1n2Px22时、、当的纵坐标为＝24Px3时、的纵坐标为当、＝33Px、4时、的纵坐标为当1＝44Px、时、当的纵坐标为＝555 …1S；2－1－1×(42)＝则1＝＝×122114S 1－；＝1×(2－)＝＝×2332324121S＝－；×(－1)＝×＝134332632222SSS；＝－2－＋＋＝＝∴21－－1＋＋S (1－－)＝；＝×＝1×4541025 …22S＝－；n1－nn1－3212433422141SSSSS＋…＋＋∴＋＋n11－32422222 －＋…＋＋－1＝2－＋1－nn133－42.2－＝n23.故答案为－、2n2备战中考模拟试卷．百度文库：精选试]解和正偶))1(4))为正奇(yOPOPOPOPOPPPOP轴负半轴上写出、、再根据点、、然后分别求出、在根据点、…、坐标可求出n2104302PPnn所在的象限、然后根据等腰直角三角和正偶数两种情况确定出点的坐标即可；分是是正奇数和0n2形的性质写出坐标即可、OPP1. 、∴∵＝的坐标为(1、0)00nn1－22334OPOPOPOPOP. 2、…、2＝2×∴2＝2、、＝2×2＝2＝＝2×2＝2、＝＝2×2n4312xP轴正半轴上、°、点在∵每次旋转450PyP轴负半轴上．∴点4)的坐标为在．(0∴点、－22OP为所在象限的平分线、∵n Pm①在第二象限、为正奇数时、点n Pm②在第四象限．为0和正偶数时、点nnn1－－1mP、为正奇数综上所述、点(的坐标为－2·2、2·2)()nnn1－－1m)和正偶数(2·2、－2·2)(0为BAAC (2、、0)、 [解析] ∵点(112．(4、0) 2 、或0)OBOA、、＝∴2＝1AB、＝1∴正六边形的边长为：ODxD＝4、＝2＋1∴当点＋第一次落在1轴上时、D、0)此时点．的坐标为：(4AEFDxEFAA⊥′、轴时、的对应点分别是′、′、、′、连接如图所示：当滚动到HGHADGDAFEFADE⊥、′′、过点、′、、′作′′⊥、垂足分别为′ABCDEF∵六边形是正六边形、GFA∴∠′30′°、＝11FGAA＝、∴′＝′′221HD、＝同理可得：2DA∴＝′2、A2. ∴在运动过程中、点的纵坐标的最大值是个单位长度时正好滚动一周、∵正六边形滚动6A个单位长度．3)、正六边形正好滚动2013(1、0)开始到点(2014∴、点从点2013 ∵＝335……3、6A、′点的纵坐标为∴恰好滚动3353周多3个、A3)的是点、∴会过点(2014、E位置时、(2014、当点0)在CCECEF、所以点的正上方、点也符合题意．则点＝在(2015、0)位置、此时3点在2n1AAAAAAOAAAAAAx、分别＝…＝＝ 13. [解析] ∵轴上的点、且、、＝、…、、1是＝nnnn113＋11223＋21n264＋BBBxAAxyBAAA、作、…、轴的垂线交直线＝、于点、过点、、、…、、nnnn1＋112＋312nBBnBB、．、…、、1)、(22)、(3、3))(、∴依题意得：(1n312BBAA ∥∵、2112备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题ABPBAP、∴△∽△112121AB111＝、∵BA222ABPABP对应高的比为1∶2. ∴△与△121121AA＝1、∵211AB边上的高为∴、113111SABP＝×1△×＝、∴11132629SABPSABP＝＝同理可得：、△、△3322235142nS＝.∴n n24＋2n1.、故答案为n2＋64四、定义新运算2abaab、＋－或4 [解析] ∵3★＝14．－3 －12xxxxx＝或4.＝－31＋2＝6★2＝6、∴、解得－111111aaaa＝＝＝－1＝2、、＝．2 2 [解析] 首先根据＝、可得＝＝＝154312aaa－2121－－11－13211－21111＝、…、所以这列数是、2、－1、、2、－1、…、每3个数是一个循环、然后用2015除以）221－（－12a的值是多少即可．、求出一共有多少个循环、还剩下几个数、进而判断出 3201516．30°或150° [解析] 根据边长等于半径时、边长所对的圆心角为60°、根据圆周角与圆心角的关系和圆内接四边形的性质求出等径角的度数．AB与半径相等时、如图、边AOB＝60则∠°、1CCAOB＝30°、时、∠＝∠当等径角的顶点为2DCDD＝150°、＝180当等径角顶点为时、∠°、∠＋∠故答案为：30°或150°.GG＝(5、8、8)、] (1)解析若＝(4、710)、第一次操作结果为、第二次[、、(1)3 17．(2)(11910)10G＝(6、6、9)、操作结果为2备战中考模拟试卷．百度文库：精选试题G＝(7、7、7)、所以经过3次操作后游戏结束．第三次操作结果为3GGGGGG、10)12、＝(8、、＝(7、11、12)、(4、8、18)、则＝(5、9、16)、14)＝(6、10、(2)若＝512043GGGGG＝(11、9)、9、、＝(10、119)、、＝(11、9、10)、＝(9、10、11)、＝(910、11)、(10＝、11、108976G开始3个一循环、10)、…由此看出从5(2014－4)÷3＝670、GG相同、也就是(11、9、所以10)与．7201418．(1)37 26 (2)6 [解析] 通过观察前8个数据、可以得出规律、这些数字7个一循环、根据这些规律计算即可．22FFFF(16)＝1＋6＝＝(1)37(4)＝；( (4))12FFFF(4)＝58、＝37、(4)＝16(4)＝、 (4)312FFFF(4)＝4026、、(4)＝145、 (4)＝(4)＝89、7546F(4)＝16、…、8FF(4)＝(4)＝的287倍余6、因此26. 7通过观察发现、这些数字个一个循环、2015是762015FFmm＝、所以36. ＝个一个循环、知、这些数字718(4)＝89＝(4)、因此由(2)(1)18419．(5、1) (3、7)或(7、3)B的坐标为(5、1)解析[] 根据题意得、白子点．因为白方已把(4、6)、(5、5)、(6、4)三点凑在一条直线上、黑方只有在此三点两端任加一点即可保证不会让白方在短时间内获胜、即位置(3、7)或(7、3)．备战中考模拟试卷．。

2020中考数学专题突破训练_填空压轴题_含解析_-1

2020中考数学专题突破训练：填空压轴题（含解析）1.如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E为AD上一点，且∠ABE=30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与AD相交于点F，则DF的长为．解：如图作A′H⊥BC于H．∵∠ABC=90°，∠ABE=∠EBA′=30°，∴∠A′BH=30°，∴A′H=BA′=1，BH=A′H=，∴CH=3﹣．∵△CDF∽△A′HC，∴ =，∴ =，∴DF=6﹣2．故答案为：6﹣2．2.数学课上，老师提出如下问题：△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D.请借助直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线.晓龙同学的画图步骤如下：（1）延长OD交»BC于点M；（2）连接AM交BC于点N.所以线段AN为所求△ABC中∠BAC的平分线.请回答：晓龙同学画图的依据是.【答案】垂径定理，等弧所对的圆周角相等．3.如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2，P3，…均在直线y=﹣x+4上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2018=．【分析】分别过点P1.P2.P3作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案．【解答】解：如图，分别过点P1.P2.P3作x轴的垂线段，垂足分别为点C.D.E，∵P1（3，3），且△P1OA1是等腰直角三角形，∴OC=CA1=P1C=3，设A1D=a，则P2D=a，∴OD=6+a，∴点P2坐标为（6+a，a），将点P 2坐标代入y=﹣x+4，得：﹣（6+a ）+4=a ，解得：a=，∴A 1A 2=2a=3，P 2D=，同理求得P 3E=、A 2A 3=，∵S 1=×6×3=9.S 2=×3×=、S 3=××=、……∴S 2018=，故答案为：．4．阅读下面材料：小亮的作法如下：C老师说：“小亮的作法正确”请回答：小亮的作图依据是_________________________________________________．【答案】两点确定一条直线；同圆或等圆中半径相等；5.如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A 逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BC=DC+EC ；探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；（2）连接CE，根据全等三角形的性质得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可；（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE=9，根据勾股定理计算即可．【解答】解：（1）BC=DC+EC，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∴BC=BD+CD=EC+CD，故答案为：BC=DC+EC；（2）BD2+CD2=2AD2，理由如下：连接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ACE=∠B，∴∠DCE=90°，∴CE2+CD2=ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE，∴BD2+CD2=2AD2；（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE=9，∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，∴∠EDC=90°，∴DE==6，∵∠DAE=90°，∴AD=AE=DE=6．6.如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是【分析】由图形可知，第n行最后一个数为=，据此可得答案．【解答】解：由图形可知，第n行最后一个数为=，∴第8行最后一个数为==6，则第9行从左至右第5个数是=，故答案是 7．已知：在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90º，M 、N 分别是CD 和BC 上的点．求作：点M 、N ，使△AMN 的周长最小．作法：如图，（1）延长AD ，在AD 的延长线上截取DA ´=DA ；（2）延长AB ，在AB 的延长线上截取B A″=BA ；（3）连接A′A″，分别交CD 、BC 于点M 、N ．则点M 、N 即为所求作的点．请回答：这种作法的依据是_____________．【答案】①线段垂直平分线的定义（或线段垂直平分线的判定，或轴对称的性质即对称点的连线段被对称轴垂直平分）②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）；③两点之间线段最短.8.如图，∠MON=30°，点B 1在边OM 上，且OB 1=2，过点B 1作B 1A 1⊥OM 交ON 于点A 1，以A 1B 1为边在A 1B 1右侧作等边三角形A 1B 1C 1；过点C 1作OM 的垂线分别交OM 、ON 于点B 2.A 2，以A 2B 2ABC D A ''A 'N M DC BA为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM、ON于点B3.A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△A n B n+1C n的面积为（）2n﹣2×．（用含正整数n的代数式表示）【解答】解：由题意△A1A2C1是等边三角形，边长为，△A2A3C2是等边三角形，边长为×，△A3A4C3是等边三角形，边长为××=（）2×，△A4A5C4是等边三角形，边长为×××=（）3×，…，△A n B n+1C n的边长为（）n﹣1×，∴△A n B n+1C n的面积为×[（）n﹣1×]2=（）2n﹣2×．9.如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C′处，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为23 °．解∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=46°，由翻折不变性可知，∠DBE=∠EBC=∠DBC=23°，故答案为23．10. 我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，，，边AD 长为5. 现固定边AB ，“推”矩形使点D 落在y 轴的正半轴上（落点记为），相应地，点C 的对应点的坐标为 .【答案】(7,4)11.如图，正方形AOBO 2的顶点A 的坐标为A （0，2），O 1为正方形AOBO 2的中心；以正方形AOBO 2的对角线AB 为边，在AB 的右侧作正方形ABO 3A 1，O 2为正方形ABO 3A 1的中心；再以正方形ABO 3A 1的对角线A 1B 为边，在A 1B 的右侧作正方形A 1BB 1O 4，O 3为正方形A 1BB 1O 4的中心；再以正方形A 1BB 1O 4的对角线A 1B 1为边在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1O 5A 2，O 4为正方形A 1B 1O 5A 2的中心：…；按照此规律继续下去，则点O 2018的坐标为（21010﹣2，21009）．【分析】由题意Q 1（1，1），O 2（2，2），O 3（，4，2），O 4（，6，4），O 5（10，4），O 6（14，8）…观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为2，下标为偶数的点在直线y=x+1上，点O 2018的纵坐标为21009，可得21009=x+1，同侧x=21010﹣2，可得点O 2018的坐标为（21010﹣2，21009）．【解答】解：由题意Q 1（1，1），O 2（2，2），O 3（，4，2），O 4（，6，4），O 5（10，4），O 6（14，8）…观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为2，(3,0)A -(4,0)B D 'C'下标为偶数的点在直线y=x+1上，∵点O 2018的纵坐标为21009， ∴21009=x+1，∴x=21010﹣2，∴点O 2018的坐标为（21010﹣2，21009）．故答案为（21010﹣2，21009）． 12．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A m -绕坐标原点O 顺时针旋转90︒后，恰好落在右图中阴影区域（包括边界）内，则m 的取值范围是 .【答案】532m ≤≤ 13.为了从2018枚外形相同的金蛋中找出唯一的有奖金蛋，检查员将这些金蛋按1﹣2018的顺序进行标号．第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖金蛋，他将剩下的金蛋在原来的位置上又按1﹣1009编了号（即原来的2号变为1号，原来的4号变为2号……原来的2018号变为1009号），又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋……如此下去，检查到最后一枚金蛋才是有奖金蛋，问这枚有奖金蛋最初的编号是 1024 ．【解答】解：∵将这些金蛋按1﹣2018的顺序进行标号，第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖金蛋，∴剩余的数字都是偶数，是2的倍数，；∵他将剩下的金蛋在原来的位置上又按1﹣1009编了号，又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋，∴剩余的数字为4的倍数，以此类推：2018→1009→504→252→126→63→31→15→7→3→1共经历10次重新编号，故最后剩余的数字为：210=1024．故答案为：1024．14．下面是“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．请回答：在上面的作图过程中，①ABC △是直角三角形的依据是；②ABC △是等腰三角形的依据是．【答案】①直径所对的圆周角为直角OQB②线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等15.按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2018个数的和为_____．【答案】【解析】【分析】根据数列得出第n个数为，据此可得前2018个数的和为，再用裂项求和计算可得．【详解】由数列知第n个数为，则前2018个数的和为===1﹣=，故答案为：．16.下面是“作三角形一边上的高”的尺规作图过程.已知：△ABC.求作：△ABC的边BC上的高AD.作法：如图，（1）分别以点B和点C为圆心，BA,CA为半径作弧,两弧相交于点E；请回答：该尺规作图的依据是．【答案】与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形的高的定义.17.下面是按一定规律排列的代数式：a2，3a4，5a6，7a8，…则第8个代数式是15a16．【分析】直接利用已知单项式的次数与系数特点得出答案．【解答】解：∵a2，3a4，5a6，7a8，…∴单项式的次数是连续的偶数，系数是连续的奇数，∴第8个代数式是：（2×8﹣1）a2×8=15a16．故答案为：15a16．。

2020北京中考数学一模分类汇编16题填空压轴

1.【2020东城一模】16．从-1，0，2，3四个数中任取两个不同的数（记作a k ，b k ）构成一个数对M K ={a k ，b k }（其中k =1，2…s ，且将{a k ，b k }与{b k ，a k }视为同一个数对），若满足：对于任意的M i ={a i ，b i }和M j ={a j ，b j }（i ≠j ，1≤i ≤s ，1≤j ≤s ）都有a i +b i ≠a j +b j ，则s 的最大值是．2.【2020西城一模】16．某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表.根据以上信息，以下四个判断中，正确的是（填写所有正确结论的序号）．①该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有4天；②该景区这个月每日接待游客人数的中位数在5～10万人之间；③该景区这个月平均每日接待游客人数低于5万人；④这个月1日至5日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为310. 3.【2020海淀一模】16．如果四边形有一组对边平行，且另一组对边不平行，那么称这样的四边形为梯形，若梯形中有一个角是直角，则称其为直角梯形．下面四个结论中，①存在无数个直角梯形，其四个顶点分别在同一个正方形的四条边上；②存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一条抛物线上；③存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一个反比例函数的图象上；④至少存在一个直角梯形，其四个顶点在同一个圆上．所有正确结论的序号是．4.【2020朝阳一模】16．某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如下表所示：已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有8人乘坐缆车，返程时有17人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是2400元，该小组共有人．5.【2020丰台一模】16．某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入1元，送乙类件每件收入2元．累计工作1小时，只送甲类件，最多可送30件，只送乙类件，最多可送10件；累计工作2小时，只送甲类件，最多可送55件，只送乙类件，最多可送20件；……，经整理形成统计表如下：（1）如果快递员一天工作8小时，且只送某一类件，那么他一天的最大收入为元；（2）如果快递员一天累计送x小时甲类件，y小时乙类件，且x+y=8，x,y均为正整数，那么他一天的最大收入为元．6.【2020石景山一模】16．在平面直角坐标系xOy中，函数1()y x x m=<的图象与函数2 2()y x x m=≥的图象组成图形G.对于任意实数n，过点(0,)P n且与x轴平行的直线总与图形G有公共点.写出一个满足条件的实数m的值为_________（写出一个即可）.7.【2020门头沟一模】16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，B （3，0），△AOB 是等边三角形，动点P 从点B 出发以每秒1个单位长度的速度沿BO 匀速运动，动点Q 同时从点A 出发以同样的速度沿OA 延长线方向匀速运动，当点P 到达点O 时，点P ，Q 同时停止运动．过点P 作PE ⊥AB 于Et 秒，得出下面三个结论，①当t =1时，△OPQ为直角三角形；②当t =2时，以AQ ，AE 为边的平行四边形的第四个顶点在∠AOB 的平分线上；③当t 为任意值时，12DE AB =. 所有正确结论的序号是．8.【2020房山一模】16． ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是边AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），连接EO 并延长，交CD 于点F ，连接A F ，C E ，下列四个结论中：①对于动点E ，四边形AECF 始终是平行四边形；②若∠ABC ＜90°，则至少存在一个点E ，使得四边形AECF 是矩形；③若AB ＞AD ，则至少存在一个点E ，使得四边形AECF 是菱形；④若∠BAC =45°，则至少存在一个点E ，使得四边形AECF 是正方形．以上所有正确说法的序号是_________________________．9.【2020大兴一模】16．如图，直线l 是四边形ABCD 的对称轴，若AD =CB ，下面四个结论中：①AD ∥CB ；②AC ⊥BD ；③AO ＝OC ；④AB ⊥BC ，一定正确的结论的序号是 .10.【2020通州一模】16．如图，点A ，B ，C 为平面内不在同一直线上的三点，点D 为平面内一个动点，线段AB ，BC ，CD ，DA 的中点分别为M ，N ，P ，Q ．在点D 的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ 是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ 是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ 是矩形；④存在两个中点四边形MNPQ 是正方形．所有正确结论的序号是．11.【2020顺义一模】16．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，E 、F 是对角线AC 上的两个动点，且2EF =，P 是正方形四边上的任意一点．若PEF ∆是等边三角形，符合条件的P 点共有个，此时AE 的长为．12.【2020延庆零模】16．小明的爸爸想给妈妈送张美容卡作为生日礼物，小明家附近有3家美容店，爸爸不知如何选择，于是让小明对3家店铺顾客的满意度做了调查：53 28 19 （说明：顾客对于店铺的满意度从高到低，依次为3个笑脸，2个笑脸，1个笑脸）小明选择将（填“A ”、“ B ”或“C ”）美容店推荐给爸爸，能使妈妈获得满意体验可能性最大．13.【2020密云一模】16．如图16-1，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1．取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图16-2中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图16-3中阴影部分......如此下去，则正六角星形A n F n B n D n C n E n的面积为.16-116-216-314.【2020平谷一模】16．某公司计划招募10名技术人员，他们对20名面试合格人员进行了测试，测试包括理论知识和实践操作两部分，20名应聘者的成绩排名情况如图所示，下面有3个推断：①甲测试成绩非常优秀，入选的可能性很大；②乙的理论知识排名比实践操作排名靠前；③位于椭圆形区域内的应聘者应该加强该专业理论知识的学习；其中合理的是.（写序号）15.【2020燕山一模】16．已知⊙O ．如图，（1）作⊙O 的直径AB ；（2）以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交⊙O 于C ，D 两点；（3）连接CD 交AB 于点E ，连接AC ，BC ．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：CE ＝DE ； ②BE ＝3AE ； ③BC ＝2CE ．所有正确推断的序号是．A B。

【最新】北京市中考数学常考压轴题(含答案)

最新北京市中考数学常考压轴题（含答案）一．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积．证明：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝S2 ，S5＝，S6＝S4 + S5 ，S阴影＝S1+S6＝S1+S2+S3＝ 2 ．【分析】利用图形的拼割，正方形的性质，寻找等面积的图形，即可解决问题；【解答】证明：由题意：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝S2，S5＝S3，S6＝S4+S5，S阴影面积＝S1+S6＝S1+S2+S3＝2．故答案为：S2，S3，S4，S5，2．【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC 交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）当BE＝3，cosC＝时，求⊙O的半径．【分析】（1）连结OM，易证OM∥BC，由于AE是BC边上的高线，从而可知AM⊥OM，所以AM是⊙O的切线．（2）由于AB＝AC，从而可知EC＝BE＝3，由cosC＝＝，可知：AC＝EC＝，易证△AOM∽△ABE，所以，再证明cos∠AOM ＝cosC＝，所以AO＝，从而可求出OM＝【解答】解：（1）连结OM．∵BM平分∠ABC∴∠1＝∠2 又OM＝OB∴∠2＝∠3∴OM∥BC∵AE是BC边上的高线∴AE⊥BC，∴AM⊥OM∴AM是⊙O的切线（2）∵AB＝AC∴∠ABC＝∠C，AE⊥BC，∴E是BC中点∴EC＝BE＝3∵cosC＝＝∴AC＝EC＝∵OM∥BC，∠AOM＝∠ABE∴△AOM∽△ABE∴又∵∠ABC＝∠C∴∠AOM＝∠C在Rt△AOM中cos∠AOM＝cosC＝，∴∴AO＝AB＝+OB＝而AB＝AC＝∴＝∴OM＝∴⊙O的半径是【点评】本题考查圆的综合问题，涉及锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，综合程度较高，需要学生综合运用知识的能力．属于中考常考题型．三．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M 称为碟顶．（1）由定义知，取AB中点N，连结MN，MN与AB的关系是MN⊥AB，MN＝AB ．（2）抛物线y＝对应的准蝶形必经过B（m，m），则m＝ 2 ，对应的碟宽AB是 4 ．（3）抛物线y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB ＝6．①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P（xp，yp），使得∠APB为锐角，若有，请求出yp的取值范围．若没有，请说明理由．【分析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案；（2）利用已知点为B（m，m），代入抛物线解析式进而得出m的值，即可得出AB的值；（3）①根据题意得出抛物线必过（3，0），进而代入求出答案；②根据y＝x2﹣3的对称轴上P（0，3），P（0，﹣3）时，∠APB 为直角，进而得出答案．【解答】解：（1）MN与AB的关系是：MN⊥AB，MN＝AB，如图1，∵△AMB是等腰直角三角形，且N为AB的中点，∴MN⊥AB，MN＝AB，故答案为：MN⊥AB，MN＝AB；（2）∵抛物线y＝对应的准蝶形必经过B（m，m），∴m＝m2，解得：m＝2或m＝0（不合题意舍去），当m＝2则，2＝x2，解得：x＝±2，则AB＝2+2＝4；故答案为：2，4；（3）①由已知，抛物线对称轴为：y轴，∵抛物线y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB＝6．∴抛物线必过（3，0），代入y＝ax2﹣4a﹣（a＞0），得，9a﹣4a﹣＝0，解得：a＝，∴抛物线的解析式是：y＝x2﹣3；②由①知，如图2，y＝x2﹣3的对称轴上P（0，3），P（0，﹣3）时，∠APB 为直角，∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P，使得∠APB 为锐角，yp的取值范围是yp＜﹣3或yp＞3．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及等腰直角三角形的性质，正确应用等腰直角三角形的性质是解题关键．属于中考常考题型．四．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）（1）如果∠A＝30°①如图1，∠DCB＝60 °②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转 2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE.BF、BP三者的数量关系（不需证明）【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，（2）如图2，求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP ＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝DEtanα即可．【解答】解：（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，∴△CDB是等边三角形，∴∠DCB＝60°．故答案为60②如图1，结论：CP＝BF．理由如下：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A＝α，∴DC＝DB＝AD，DE∥AC，∴∠A＝∠ACD＝α，∠EDB＝∠A＝α，BC＝2CE，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2α，∵∠PDF＝2α，∴∠FDB＝∠CDP＝2α﹣∠PDB，∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，∴DP＝DF，在△DCP和△DBF中，∴△DCP≌△DBF，∴CP＝BF，CP＝BF．（2）结论：BF﹣BP＝2DE•tanα．理由：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A＝α，∴DC＝DB＝AD，DE∥AC，∴∠A＝∠ACD＝α，∠EDB＝∠A＝α，BC＝2CE，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2α，∵∠PDF＝2α，∴∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，∴DP＝DF，在△DCP和△DBF中，∴△DCP≌△DBF，∴CP＝BF，而 CP＝BC+BP，∴BF﹣BP＝BC，在Rt△CDE中，∠DEC＝90°，∴tan∠DCE＝，∴CE＝DEtanα，∴BC＝2CE＝2DEtanα，即BF﹣BP＝2DEtanα．【点评】本题考查了三角形外角性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP≌△DBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．属于中考常考题型．五．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点C在x轴的负半轴上，点A在y轴正半轴上，矩形OABC的面积为．把矩形OABC沿DE 翻折，使点B与点O重合，点C落在第三象限的G点处，作EH⊥x轴于H，过E点的反比例函数y＝图象恰好过DE的中点F．则k ＝，线段EH的长为：．【分析】连接BO与ED交于点Q，过点Q作QG⊥x轴，垂足为G，可通过三角形全等证得BO与ED的交点就是ED的中点F，由相似三角形的性质可得S△OGF＝S△OCB，根据反比例函数比例系数的几何意义可求出k，从而求出S△OAE，进而可以得到AB＝4AE，即BE＝3AE．由轴对称的性质可得OE＝BE，从而得到OE＝3AE，也就有AO＝2AE，根据△OAE的面积可以求出AE，OA的值．易证四边形OAEH为矩形，从而得到EH＝OA，就可求出EH的值．【解答】解：连接BO与ED交于点Q，过点Q作QN⊥x轴，垂足为N，如图所示，∵矩形OABC沿DE翻折，点B与点O重合，∴BQ＝OQ，BE＝EO．∵四边形OABC是矩形，∴AB∥CO，∠BCO＝∠OAB＝90°．在△BEQ和△ODQ中，．∴△BEQ≌△ODQ（ASA）．∴EQ＝DQ．∴点Q是ED的中点．∵∠QNO＝∠BCO＝90°，∴QN∥BC．∴△ONQ∽△OCB．∴＝（）2＝（）2＝．∴S△ONQ＝S△OCB．∵S矩形OABC＝8，∴S△OCB＝S△OAB＝4．∴S△ONQ＝．∵点F是ED的中点，∴点F与点Q重合．∴S△ONF＝．∵点F在反比例函数y＝上，∴＝．∵k＜0，∴k＝﹣2．∵S△OAB＝4，∴AB＝4AE．∴BE＝3AE．由轴对称的性质可得：OE＝BE．∴OE＝3AE．OA＝＝2AE．∴S△OAE＝AO•AE＝×2AE×AE＝．∴AE＝1．∴OA＝2×1＝2．∵∠EHO＝∠HOA＝∠OAE＝90°，∴四边形OAEH是矩形．∴EH＝OA＝2．故答案分别为：﹣2、2．【点评】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性．属于中考常考题型．六．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC＝AM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD ＝24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC＝AM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．【分析】（1）在RT△OAB中，利用勾股定理OA＝求解，（2）由四边形ABCD是菱形，求出△AFM为等边三角形，∠M＝∠AFM＝60°，再求出∠MAC＝90°，在Rt△ACM中tan∠M＝，求出AC．（3）求出△AEM≌△ABF，利用△AEM的面积为40求出BF，在利用勾股定理AF＝＝＝，得出△AFM的周长为3．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD，∵BD＝24，∴OB＝12，在Rt△OAB中，∵AB＝13，∴OA＝＝＝5．（2）如图2，∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴FA＝FC，∠FAC＝∠FCA，由已知AF＝AM，∠MAF＝60°，∴△AFM为等边三角形，∴∠M＝∠AFM＝60°，∵点M，F，C三点在同一条直线上，∴∠FAC+∠FCA＝∠AFM＝60°，∴∠FAC＝∠FCA＝30°，∴∠MAC＝∠MAF+∠FAC＝60°+30°＝90°，在Rt△ACM中∵tan∠M＝，∴tan60°＝，∴AC＝AM．（3）如图，连接EM，∵△ABE是等边三角形，∴AE＝AB，∠EAB＝60°，由（2）知△AFM为等边三角形，∴AM＝AF，∠MAF＝60°，∴∠EAM＝∠BAF，在△AEM和△ABF中，，∴△AEM≌△ABF（SAS），∵△AEM的面积为40，△ABF的高为AO∴BF•AO＝40，BF＝16，∴FO＝BF﹣BO＝16﹣12＝4AF＝＝＝，∴△AFM的周长为3．【点评】本题主要考查四边形的综合题，解题的关键是灵活运用等边三角形的性质及菱形的性质．属于中考常考题型．七．在平面直角坐标系中xOy中，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图的方式放置．点A1，A2，A3…、A n和点C1，C2，C3…、∁n分别落在直线y＝x+1和x轴上．抛物线L1过点A1、B1，且顶点在直线y＝x+1上，抛物线L2过点A2、B2，且顶点在直线y＝x+1上，…，按此规律，抛物线L n过点A n、B n，且顶点也在直线y＝x+1上，其中抛物线L1交正方形A1B1C1O的边A1B1于点D1，抛物线L2交正方形A2B2C2C1的边A2B2于点D2…，抛物线L n交正方形A n B n∁n C n﹣1的边A n B n于点D n（其中n≥2且n为正整数）．（1）直接写出下列点的坐标：B1，B2，B3；（2）写出抛物线L2，、L3的解析式，并写出其中一个解析式的求解过程，再猜想抛物线L n的顶点坐标；（3）①设A1D1＝k•D1B1，A2D2＝k2•D2B2，试判断k1与k2的数量关系并说明理由；②点D1、D2、…，D n是否在一条直线上？若是，直接写出这条直线与直线y＝x+1的交点坐标；若不是，请说明理由．八．在平面直角坐标系中xOy中，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图的方式放置．点A1，A2，A3…、A n和点C1，C2，C3…、∁n分别落在直线y＝x+1和x轴上．抛物线L1过点A1、B1，且顶点在直线y＝x+1上，抛物线L2过点A2、B2，且顶点在直线y＝x+1上，…，按此规律，抛物线L n过点A n、B n，且顶点也在直线y＝x+1上，其中抛物线L1交正方形A1B1C1O的边A1B1于点D1，抛物线L2交正方形A2B2C2C1的边A2B2于点D2…，抛物线L n交正方形A n B n∁n C n﹣1的边A n B n于点D n（其中n≥2且n为正整数）．（1）直接写出下列点的坐标：B1（1，1），B2（3，2），B3（7，4）；（2）写出抛物线L2，、L3的解析式，并写出其中一个解析式的求解过程，再猜想抛物线L n的顶点坐标（3×2n﹣2﹣1，3×2n﹣2）；（3）①设A1D1＝k•D1B1，A2D2＝k2•D2B2，试判断k1与k2的数量关系并说明理由；②点D1、D2、…，D n是否在一条直线上？若是，直接写出这条直线与直线y＝x+1的交点坐标；若不是，请说明理由．【分析】（1）先求出直线y＝x+1与y轴的交点坐标即可得出A1的坐标，故可得出OA1的长，根据四边形A1B1C1O是正方形即可得出B1的坐标，再把B1的横坐标代入直线y＝x+1即可得出A1的坐标，同理可得出B2，B3的坐标；（2）根据四边形A1B1C1O是正方形得出C1的坐标，再由点A2在直线y＝x+1上可知A2（1，2），B2的坐标为（3，2），由抛物线L2的对称轴为直线x＝2可知抛物线L2的顶点为（2，3），再用待定系数法求出直线L2的解析式；根据B3的坐标为（7，3），同上可求得点A3的坐标为（3，4），抛物线L3的对称轴为直线x＝5，同理可得出直线L2的解析式；（3）①同（2）可求得L2的解析式为y＝（x﹣2）2+3，当y＝1时，求出x的值，由A1D1＝﹣D1B1，可得出k1的值，同理可得出k2的值，由此可得出结论；②由①中的结论可知点D1、D2、…，D n是否在一条直线上，再用待定系数法求出直线D1D2的解析式，求出与直线y＝x+1的交点坐标即可．【解答】解：（1）∵令x＝0，则y＝1，∴A1（0，1），∴OA1＝1．∵四边形A1B1C1O是正方形，∴A1B1＝1，∴B1（1，1）．∵当x＝1时，y＝1+1＝2，∴B2（3，2）；同理可得，B3（7，4）．故答案为：（1，1），（3，2），（7，4）；（2）抛物线L2、L3的解析式分别为：y＝﹣（x﹣2）2+3；，y＝﹣（x﹣5）2+6；抛物线L2的解析式的求解过程：对于直线y＝x+1，设x＝0，可得y＝1，A1（0，1），∵四边形A1B1C1O是正方形，∴C1（1，0），又∵点A2在直线y＝x+1上，∴点A2（1，2），又∵B2的坐标为（3，2），∴抛物线L2的对称轴为直线x＝2，∴抛物线L2的顶点为（2，3），设抛物线L2的解析式为：y＝a（x﹣2）2+3，∵L2过点B2（3，2），∴当x＝3时，y＝2，∴2＝a（3﹣2）2+3，解得：a＝﹣1，∴抛物线L2的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+3；抛物线L3的解析式的求解过程：又∵B3的坐标为（7，3），同上可求得点A3的坐标为（3，4），∴抛物线L3的对称轴为直线x＝5，∴抛物线L3的顶点为（5，6），设抛物线L3的解析式为：y＝a（x﹣5）2+6，∵L3过点B3（7，4），∴当x＝7时，y＝﹣4，∴4＝a×（7﹣5）2+6，解得：a＝﹣，∴抛物线L3的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+6；猜想抛物线L n的顶点坐标为（3×2n﹣2﹣1，3×2n﹣2）；（猜想过程：方法1：可由抛物线L1、L2、L3…的解析式：∵y＝﹣2（x﹣）2+，y＝﹣（x﹣2）2+3，y＝﹣（x﹣5）2+6…，归纳总结；方法2：可由正方形A n B n∁n C n﹣1顶点A n、B n的坐标规律A n（2n﹣1﹣1，2n﹣1）与B n（2n，2n﹣1），再利用对称性可得抛物线L n的对称轴为直线x＝，即x＝＝3×2n﹣2﹣1，又顶点在直线y＝x+1上，所以可得抛物线L n的顶点坐标为（3×2n﹣2﹣1，3×2n﹣2）．故答案为：（3×2n﹣2﹣1，3×2n﹣2）；（3）①、k1与k1的数量关系为：k1＝k2，理由如下：同（2）可求得L2的解析式为y＝（x﹣2）2+3，当y＝1时，1＝﹣（x﹣2）2+3解得：x1＝2﹣，x2＝2+，∴x＝2﹣，∴A1D1＝2﹣＝（﹣1），∴D1B1＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴A1D1＝﹣D1B1，即k1＝；同理可求得A2D2＝4﹣2＝2（﹣1），D2B2＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2＝2（﹣1），A2D2＝﹣D2B2，即k2＝，∴k1＝k2；②∵由①知，k1＝k2，∴点D1、D2、…，D n在一条直线上；∵抛物线L2的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，∴当y＝1时，x＝2﹣，∴D1（2﹣，1）；同理，D2（5﹣2，2），∴设直线D1D2的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，∴直线D1D2的解析式为y＝（3+）x+﹣3，∴，解得，∴这条直线与直线y＝x+1的交点坐标为（﹣1，0）．【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特点，正方形的性质等知识，熟练掌握正方形的四条边相等且四个角都是直角的知识是解答此题的关键．属于中考常考题型．。

2021年北京中考数学一模分类汇编——填空压轴题

2021北京中考数学一模分类汇编——填空压轴题1．图1是一个2×2正方形网格，两条网格线的交点叫做格点，甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：游戏规则a．两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点；b．新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其他公共点；c．已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上；d．当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜．如图2，甲先画出线段AB，乙随后画出线段BC．若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是（填“甲”，“乙”或“不确定”）．2．某商家需要更换店面的瓷砖，商家打算用1500元购买彩色和单色两种地砖进行搭配，并且把1500元全部花完．已知每块彩色地砖25元，每块单色地砖15元，根据需要，购买的单色地砖数要超过彩色地砖数的2倍，并且单色地砖数要少于彩色地砖数的3倍，那么符合要求的一种购买方案是．3．小青要从家去某博物馆参加活动，经过查询得到多种出行方式，可选择的交通工具有地铁、公交车、出租车、共享单车等，小青的家到地铁站（或公交车站）有一段距离，地铁站（或公交车站）到该博物馆也有一段距离，需要步行或骑共享单车，共享单车的计价规则为：每30分钟1.5元，不足30分钟的按30分钟计算．出行方式的相应信息如下表（√表示某种出行方式选择的交通工具）：乘出租车乘坐公交车乘坐地铁骑共享单车共需步行（公里）总用时（分钟）费用（元）方式1√ 2.0474方式2√563方式3√ 1.6783方式4√ 1.8803方式5√√ 1.5606方式6√√ 1.6566方式7√√ 1.7556方式8√√ 1.5576方式9√0.23241根据表格中提供的信息，小青得出以下四个推断：①要使费用尽可能少，可以选择方式2，3，4；②要使用时较短，且费用较少，可以选择方式1；③如果选择公交车和地铁混合的出行方式，平均用时约57分钟；④如果将上述出行方式中的“步行”改为“骑共享单车”，那么除方式2外，其它出行方式的费用均会超过8元．其中推断合理的是（填序号）．4．某校初三年级共有8个班级的190名学生需要进行体检，各班学生人数如下表所示：班级1班2班3班4班5班6班7班8班人数2919252322272124若已经有7个班级的学生完成了体检，且已经完成体检的男生、女生的人数之比为4：3，则还没有体检的班级可能是．5．京剧作为一门中国文化的传承艺术，常常受到外国友人的青睐．如图，在平面直角坐标系xOy中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D 分别是图形G与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆圆心M的坐标为（1，0）．关于图形G给出下列四个结论，其中正确的是（填序号）．①图形G关于直线x＝1对称；②线段CD的长为3+；③图形G围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；④当﹣4≤a≤2时，直线y＝a与图形G有两个公共点．6．某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如表所示：步骤回收餐具清洁椅面摆放新餐时间（分钟）桌别与剩菜、清洁桌面与地面具大桌532小桌321现有三名餐厅工作人员分别负责：①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要分钟．7．某生产线在同一时间只能生产一笔订单，即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品．一笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比．例如，该生产线完成第一笔订单用时5小时，之后完成第二笔订单用时2小时，则第一笔订单的“相对等待时间”为0，第二笔订单的“相对等待时间”为，现有甲、乙、丙三笔订单，管理员估测这三笔汀单的生产时间（单位：小时）依次为a，b，c，其中a＞b＞c，则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是．8．把图1中边长为10的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为16，将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形，则图2中的阴影的面积为．9．标有1﹣25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位．游戏规则如下：①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位；②每人使自己所选的座位号数字之和最小；③座位不能重复选择．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么甲选1，2号座位，乙选3，4，5号座位，丙选7，8，9，10号座位，丁选13，14，15，16，17号座位，此时四人所选的座位号数字之和为124．如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为．10．某种预防病虫害的农药即将于三月上旬喷洒，需要连续三天完成，又知当最低温度不低于0摄氏度，且昼夜温差不大于10摄氏度时药物效果最佳，为此农广站工作人员查看了三月上旬天气预报，请你结合气温图给出一条合理建议，药剂喷洒可以安排在日开始进行．11．甲，乙，丙，丁，戊，己六人，将在“学党史，讲党史”活动中进行演讲，要求每位演讲者只讲一次，并且在同一时间只有一位演讲者，三位演讲者在午餐前演讲，另三位演讲者在午餐后演讲，丙一定在午餐前演讲，仅有一位演讲者处在甲和乙之间，丁在第一位或在第三位演讲．如果戊是第四位演讲者，那么第三位演讲者是．12．如图，在▱ABCD中，AD＞AB，E，F分别为边AD，BC上的点（E，F不与端点重合），对于任意▱ABCD，下面四个结论中：①存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE是平行四边形；②至少存在一个四边形ABFE，使得四边形ABFE菱形；③至少存在一个四边形ABFE，使得四边形ABFE矩形；④存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE的面积是▱ABCD面积的一半．所有正确结论的序号是．13．以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要分钟．用时种类准备时间（分钟）加工时间（分钟）米饭330炒菜156炒菜258汤515。

2024北京中考数学二轮复习专题一选择、填空压轴题 (含答案)

2024北京中考数学二轮复习专题一选择、填空压轴题类型一分析统计图(表)1.根据国家统计局2019—2023年中国普通本专科、中等职业教育及普通高中招生人数的相关数据，绘制统计图如下：2019—2023年普遍本专科、中等职业教育及普遍高中招生人数第1题图下面有四个推断：①2019—2023年，普通本专科招生人数逐年增多；②2023年普通高中招生人数比2019年增加约4%；③2019—2023年，中等职业教育招生人数逐年减少；④2019年普通高中招生人数约是中等职业教育招生人数的1.4倍．所有合理推断的序号是()A.①④ B.②③ C.①②④D.①②③④2.为了解某校学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取该校a 名学生进行调查，获得的数据整理后绘制成统计表如下：每周课外阅读时间x (小时)0≤x <22≤x <44≤x <66≤x <8x ≥8合计频数817b 15a 频率0.080.17c 0.151表中4≤x <6组的频数b 满足25≤b ≤35.下面有四个推断：①表中a的值为100；②表中c的值可以为0.31；③这a名学生每周课外阅读时间的中位数一定不在6～8之间；④这a名学生每周课外阅读时间的平均数不会超过6.所有合理推断的序号是()A.①②B.③④C.①②③D.②③④3.密云水库是首都北京重要水源地，水源地生态保护对保障首都水源安全及北京市生态和城市可持续发展具有不可替代的作用．以下是1986—2023年密云水库水体面积和年降水量变化图．1986—2023年密云水库水体面积和年降水量变化图第3题图(以上数据来源于《全国生态气象公报(2023年)》，部分年份缺数据)对于现有数据有以下结论：①2004年的密云水库水体面积最小，仅约为20km2；②2015—2023年，密云水库的水体面积呈持续增加趋势．表明水资源储备增多；③在1986—2023年中，2023年的密云水库水体面积最大，约为170km2；④在1986—2023年中，密云水库年降水量最大的年份，水体面积也最大．其中结论正确的是()A.②③B.②④C.①②③D.③④4.某公司计划招募一批技术人员，他们对25名面试合格人员又进行了理论知识和实践操作测试，其中25名入围者的面试成绩排名，理论知识成绩排名与实践操作成绩的排名情况如图所示第4题图下面有3个推断：①甲的理论知识成绩排名比面试成绩排名靠前；②甲的实践操作成绩排名与理论知识成绩排名相同；③乙的理论知识成绩排名比甲的理论知识成绩排名靠前．其中合理的是()A.①B.①②C.①③D.①②③5.多年来，北京市以强有力的措施和力度治理大气污染，空气质量持续改善，主要污染物的年平均浓度值全面下降．下图是1998年至2019年二氧化硫(SO2)和二氧化氮(NO2)的年平均浓度值变化趋势图．第5题图下列说法错误的是()A.1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的平均数小于NO2的年平均浓度值的平均数B.1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的中位数小于NO2的年平均浓度值的中位数C.1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的方差小于NO2的年平均浓度值的方差D.1998年至2019年，SO2的年平均浓度值比NO2的年平均浓度值下降得更快6.“实际平均续航里程”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值，是反映电动汽车性能的重要指标．某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，按年龄不超过40岁和年龄在40岁以上将客户分为A，B两组，从A，B组各抽取10位客户的电动汽车的实际平均续航里程数据整理成图．其中“⊙”表示A组的客户，“*”表示B组的客户.第6题图下列推断不正确的是()A.A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值低于B组B.A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差低于B组C.A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的平均值低于B组D.这20位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的中位数落在B组7.某种预防病虫害的农药即将于三月15日之前喷洒，需要连续三天完成，又知当最低温度不低于0摄氏度，且昼夜温差不大于10摄氏度时药物效果最佳，为此农广站工作人员查看了三月1—15日的天气预报，请你结合气温图给出一条合理建议，药剂喷洒可以安排在________日开始进行．1—15日天气情况第7题图类型二分析与判断函数图象1.如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同．用t 表示小球滚动的时间，v 表示小球的速度．下列图象中，能表示小球在斜坡上时v 与t 的函数关系的图象大致是()第1题图2.某农科所响应“乡村振兴”号召，为某村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗先在农科所的温室中生长，平均高度长到大约20cm 时，移至该村的大棚内继续生长．研究表明，60天内，这种瓜苗的平均高度y (cm)与生长时间x (天)的函数关系的图象如图所示．当这种瓜苗长到大约80cm 时，开始开花结果，此时瓜苗在该村大棚内生长的天数是()第2题图A.10天B.18天C.33天D.48天3.有一圆形苗圃如图①所示，中间有两条交叉过道AB ，CD ，它们为苗圃⊙O 的直径，且AB ⊥C D.入口K位于AD ︵中点，园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进．设该园丁行进的时间为t ，与入口K 的距离为S ，表示S 与t 的函数关系的图象大致如图②所示，则该园丁行进的路线可能是()第3题图A.A →O →DB.C →A →O →BC.D →O →CD.O →D →B →C4.(2023通州区一模)为满足人民对美好生活的向往，造福子孙后代，环保部门要求相关企业加强污水治理能力，污水排放未达标的企业要限期整改．甲、乙两个企业的污水排放量W 与时间t 的关系如图所示，我们用W t表示t时刻某企业的污水排放量，用－Wt1－Wt2t1－t2的大小评价在t1至t2这段时间内某企业污水治理能力的强弱．已知甲、乙两企业在整改期间排放的污水排放量与时间的关系如下图所示．第4题图给出下列四个结论：①在t1≤t≤t2这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t1时刻，乙企业的污水排放量高；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；④在0≤t≤t1，t1≤t≤t2，t2≤t≤t3这三段时间中，甲企业在t2≤t≤t3的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是()A.①②③B.①③④C.②④D.①③5.(2023房山区一模)在平面直角坐标系xOy中，若函数图象上任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)均满足(x1－x2)(y1－y2)>0.下列四个函数图象中，所有正确的函数图象的序号是()第5题图A.①②B.③④C.①③D.②④类型三代数类问题1.(2023西城区期末)现有函数y ＋4（x <a ），2－2x （x ≥a ），如果对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得当x ＝m 时，y ＝n ，那么实数a 的取值范围是()A.－5≤a ≤4 B.－1≤a ≤4 C.－4≤a ≤1D.－4≤a ≤52.在平面直角坐标系xOy 中，对于自变量为x 的函数y 1和y 2，若当－1≤x ≤1时，都满足|y 1－y 2|≤1成立，则称函数y 1和y 2互为“关联的”．下列函数中，不与y ＝x 2互为“关联的”函数是()A.y ＝x 2－1B.y ＝2x 2C.y ＝(x －1)2D.y ＝－x 2＋13.(2023人大附中模拟)在数轴上有三个互不重合的点A ，B ，C ，它们代表的实数分别为a ，b ，c ，下列结论中：①若abc >0，则A ，B ，C 三点中，至少有一个点在原点右侧；②若a ＋b ＋c ＝0，则A ，B ，C 三点中，至少有一个点在原点右侧；③若a ＋c ＝2b ，则点B 为线段AC 的中点；④O 为坐标原点且A ，B ，C 均不与O 重合，若OB －OC ＝AB －AC ，则bc >0.所有正确结论的序号是()A.①② B.③④ C.①②③D.①②③④4.(2023西城区二模)从1，2，3，4，5中选择四个数字组成四位数abcd ，其中a ，b ，c ，d 分别代表千位、百位、十位、个位数字.若要求这个四位数同时满足以下条件：①abcd 是偶数；②a >b >c ；③a ＋c ＝b ＋d ，请写出一个符合要求的数________．5.(2023燕山区期末)在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a *b ＝a 2－a b.根据这个法则，下列结论中错误的是________．(把所有错误结论的序号都填在横线上)①2*3＝2－6；②若a ＋b ＝0，则a *b ＝b *a ；③(x ＋2)*(x ＋1)＝0是一元二次方程；④方程(x ＋2)*1＝3的根是x 1＝－3－52，x 2＝－3＋52.6.(2023丰台区一模)京剧作为一门中国文化的传承艺术，常常受到外国友人的青睐．如图，在平面直角坐标系xOy 中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G .点A ，B ，C ，D 分别是图形G 与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为(0，－3)，AB 为半圆的直径，且AB ＝4，半圆圆心M 的坐标为(1，0)．关于图形G 给出下列四个结论，其中正确的是________(填序号)．①图形G 关于直线x ＝1对称；②线段CD 的长为3＋3；③图形G 围成区域内(不含边界)恰有12个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；④当－4≤a ≤2时，直线y ＝a 与图形G 有两个公共点．第6题图7.(2023石景山区二模)在平面直角坐标系xOy 中，A (0，1)，B (1，1)，有以下4种说法：①一次函数y ＝x 的图象与线段AB 无公共点；②当b <0时，一次函数y ＝x ＋b 的图象与线段AB 无公共点；③当k >1时，反比例函数y ＝k x的图象与线段AB 无公共点；④当b >1时，二次函数y ＝x 2－bx ＋1的图象与线段AB 无公共点．上述说法中正确的是________．8.(2023一七一中学模拟)小聪用描点法画出了函数y ＝x (x ≥0)的图象F ，如图所示．结合旋转的知识，他尝试着将图象F 绕原点逆时针旋转90°得到图象F 1，再将图象F 1绕原点逆时针旋转90°得到图象F 2，如此继续下去，得到图象F n .在尝试的过程中，他发现点P (4，2)在图象________上(写出一个正确的即可)；若点P (a ，b )在图象F 2021上，则a ＝________(用含b 的代数式表示)．第8题图9.如图，A (0，1)，B (1，5)，曲线BC 是双曲线y ＝k x(k ≠0)的一部分，曲线AB 与BC 组成图形G ，由点C 开始不断重复图形G 形成一线“波浪线”，若点P (2023，m )，Q (x ，n )在该“波浪线”上，则m 的值为________．n 的最大值为________．第9题图类型四几何类问题1.(2023海淀区一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR 边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα＞cosα，则点M所在的线段可以是()第1题图A.AB和CDB.AB和EFC.CD和GHD.EF和GH2.程老师制作了如图①所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图②是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．第2题图有以下结论：①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ；②当∠PAQ＝30°，PQ＝9时，可得到形状唯一确定的△PAQ；③当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ；④当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ.其中所有正确结论的序号是()A.②③B.③④C.②③④D.①②③④3.(2021东城区二模)数学课上，李老师提出如下问题：已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于C.求作：弧BC的中点D.同学们分享了如下四种方案：第3题图①如图①，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D；②如图②，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D；③如图③，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D；④如图④，在射线AC上截取AE，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点D.上述四种方案中，正确的方案的序号是________．4.(20231大兴区一模)如图，在▱ABCD中，AD>AB，E，F分别为边AD，BC上的点(E，F 不与端点重合)．对于任意▱ABCD，下面四个结论中：①存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE是平行四边形；②至少存在一个四边形ABFE，使得四边形ABFE是菱形；③至少存在一个四边形ABFE，使得四边形ABFE是矩形；④存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE的面积是▱ABCD面积的一半．所有正确结论的序号是________．第4题图5.(2021西城区期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，P(4，3)，⊙O经过点P.点A，点B 在y轴上，PA＝PB，延长PA，PB分别交⊙O于点C，点D，设直线CD与x轴正方向所夹的锐角为α.(1)⊙O的半径为________；(2)tanα＝________第5题图参考答案类型一分析统计图(表)1.C【解析】由题图知2019—2023年，普通本专科招生人数逐年增多，故①正确；2023年普通高中招生人数比2019年增加约876－839×100%≈4%，故②正确；从2019—2018839年，中等职业教育招生人数逐年减少，从2019—2023年，中等职业教育招生人数在增加，故③错误；2019年普通高中招生人数约是中等职业教育招生人数的839÷600≈1.4倍，故④正确．2.A【解析】①8÷0.08＝100，故表中a的值为100，是合理推断；②25÷100＝0.25，35÷100＝0.35，1－0.08－0.17－0.35－0.15＝0.25，1－0.08－0.17－0.25－0.15＝0.35，故表中c的值为0.25≤c≤0.35，表中c的值可以为0.31，是合理推断；③∵表中4≤x<6组的频数b满足25≤b≤35，∴8＋17＋25＝50，8＋17＋35＝60，∴这100名学生每周课外阅读时间的中位数可能在4～6之间，也可能在6～8之间，故此推断不是合理推断；④这a名学生每周课外阅读时间的平均数可以超过6，故此推断不是合理推断．3.A【解析】由题图知①2004年的水体面积超过60km2，不符合题意；②2015—2023年，密云水库的水体面积呈持续增加趋势，表明水资源储备增多，符合题意；③在1986—2023年中，2023年的密云水库水体面积最大，约为170km2，符合题意；④水体面积最大的年份是2023年，但年降水量不是最大，不符合题意．4.D【解析】由题图知，甲的面试成绩排名为11，理论知识成绩排名为8，实践操作成绩排名为8；乙的面试成绩排名为7，实践操作成绩排名为15，理论知识成绩排名为5，故①②③都合理，故选D.5.C【解析】由题图可得，A.2000年至2019年，SO2的年平均浓度值都在NO2的年平均浓度值以下，由此可得SO2的年平均浓度值的平均数小于NO2的年平均浓度值的平均数，此选项正确，不合题意；B.2000年至2019年，SO2的年平均浓度值都在NO2的年平均浓度值以下，由此可得SO2的年平均浓度值的中位数小于NO2的年平均浓度值的中位数，此选项正确，不合题意；C.根据图中两折线中点的离散程度可得SO2的年平均浓度值的方差大于NO2的年平均浓度值的方差，此选项错误，符合题意；D.1998年至2019年，根据图中两折线的起止点可得SO2的年平均浓度值比NO2的年平均浓度值下降得更快，此选项正确，不合题意．6.C 【解析】由图象可得，A 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值在350左右，B 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值在450左右，故A 选项不符合题意；A 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的数据波动比B 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的数据波动小，即A 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差比B 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差小，故B 选项不符合题意；A 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的平均值不一定低于B 组，故C 选项符合题意；这20位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”按从大到小排序，第10位，第11位均在B 组，故D 选项不符合题意．7.3或12(任写一个即可)【解析】由题图可知，3日、4日、5日最低温度分别是1摄氏度、2摄氏度、0摄氏度，且昼夜温差分别是8－1＝7摄氏度，4－2＝2摄氏度，9－0＝9摄氏度，最低温度不低于0摄氏度，且昼夜温差不大于10摄氏度，可以药剂喷洒，12日、13日、14日最低温度分别是6摄氏度、7摄氏度、8摄氏度，且昼夜温差分别是12－6＝6摄氏度，16－7＝9摄氏度，14－8＝6摄氏度，最低温度不低于0摄氏度，且昼夜温差不大于10摄氏度，可以药剂喷洒．类型二分析与判断函数图象1.D 【解析】∵一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同，∴v t为定值，∴v 与t 是正比例函数的关系．∴选项D 符合题意．2.B 【解析】当15<x ≤60时，设y ＝kx ＋b (k ≠0)，k ＋b ＝20，k ＋b ＝170，＝103，＝－30，∴y ＝103x －30.当y ＝80时，103x －30＝80，解得x ＝33，33－15＝18(天)，∴开始开花结果，此时瓜苗在该村大棚内生长的天数是18天．3.B 【解析】若按A →O →D 路线，图象应呈现对称性，故A 错误；若按C →A →O →B ，则从C →A 距离逐渐减少，A →O →B 距离先减少，再增大，符合题图中函数图象的大致走势，故B 正确；C 、D 中，起始点处S 值小于终点处S 值，由题图可知在起点和终点时，S 值最大且相等，故C 、D 错误．4.D 【解析】①在t 1≤t ≤t 2这段时间内，甲企业的图象比乙企业的图象倾斜角度大，故①正确；②在t 1时刻，甲企业的污水排放量高，故②错误；③在t 3时刻，甲、乙两企业的污水排放量在达标量以下，故③正确；④在0≤t ≤t 1，t 1≤t ≤t 2，t 2≤t ≤t 3这三段时间中，甲企业在t 1≤t ≤t 2的图象倾斜角度最大，即治理污水能力最强，故④错误．5.D 【解析】由题意中(x 1－x 2)(y 1－y 2)>0可知，x 1－x 2>0，y 1－y 2>0或x 1－x 2<0，y 1－y 2<0，即当x 1>x 2时，y 1>y 2或当x 1<x 2时，y 1<y 2.故函数中y 随着x 的增大而增大，故②④正确．类型三代数类问题1.A 【解析】如解图，由图象可知，当－5≤a ≤4时，对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得当x ＝m 时，函数y ＝n .第1题解图2.C 【解析】A .∵|y 1－y 2|＝|x 2－(x 2－1)|＝1≤1，故A 选项与y ＝x 2互为“关联的”函数；B .∵|y 1－y 2|＝|x 2－2x 2|＝x 2，又∵－1≤x ≤1，∴x 2≤1，故B 选项与y ＝x 2互为“关联的”函数；C .∵|y 1－y 2|＝|x 2－(x －1)2|＝|2x －1|，又∵－1≤x ≤1，∴|2x －1|≤3，故C 选项不与y ＝x 2互为“关联的”函数；D .∵|y 1－y 2|＝|x 2－(－x 2＋1)|＝|2x 2－1|，又∵－1≤x ≤1，∴|2x 2－1|≤1，故D 选项与y ＝x 2互为“关联的”函数．3.D 【解析】若全在原点的左侧，则a <0，b <0,c <0，与abc >0矛盾，∴三点中至少有一个在原点的右侧，故①正确；若全在原点的左侧，则a <0,b <0,c <0，∴a ＋b ＋c <0.又∵a ，b ，c 不全为0，与a ＋b ＋c ＝0矛盾，∴至少有一个点在原点右侧，故②正确；∵a ＋c ＝2b ，∴b ＝a ＋c 2，∴B 为AC 的中点，故③正确；由绝对值的意义：OB ＝|b |,OC ＝|c |,AB ＝|b －a |,AC ＝|c －a |，|b |－|c |＝|b －a |－|c －a |，∴A 在最左或最右时，上面等式的右边＝b －c 或c －b ，∴|b |－|c |＝b －c ，∴b >0，c >0，∴bc >0，|b |－|c |＝c －b ，∴b <0，c <0，∴bc >0，故④正确．4.4312(答案不唯一)【解析】∵abcd 是偶数，∴d ＝2或4.∵a >b >c ，a ＋c ＝b ＋d ，∴a ＝4，b ＝3，c ＝1，d ＝2，或a ＝5，b ＝4，c ＝1，d ＝2，或a ＝5，b ＝3，c ＝2，d ＝4，或a ＝5，b ＝2，c ＝1，d ＝4，∴abcd ＝4312或5412或5324或5214.5.③④【解析】根据题中的定义得：2*3＝(2)2－2×3＝2－6，①正确，不符合题意；若a ＋b ＝0，则有a ＝－b ,a *b ＝a 2－ab ＝b 2＋b 2＝2b 2,b *a ＝b 2－ab ＝b 2＋b 2＝2b 2，即a *b ＝b *a ,②正确，不符合题意；已知等式变形得：(x ＋2)2－(x ＋2)(x ＋1)＝0，即x 2＋4x ＋4－x 2－3x －2＝0，合并得：x ＋2＝0，是一元一次方程，③错误，符合题意；④方程变形得：(x ＋2)2－(x ＋2)＝3，整理得：x 2＋4x ＋4－x －2－3＝0，即x 2＋3x －1＝0，∵a ＝1,b ＝3,c ＝－1，∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－3±132，解得x 1＝－3＋132，x 2＝－3－132，④错误，符合题意．6.①②【解析】由半圆M 可知A (－1，0)，B (3，0)，M (1，0)，且点A ，B 在抛物线上，∴图形G 关于直线x ＝1对称，故①正确；如解图，连接CM ，第6题解图在Rt △MOC 中，∵OM ＝1,CM ＝2，∴OC ＝22－12＝ 3.又∵D (0，－3)，∴OD ＝3，∴CD ＝OC ＋OD ＝3＋3，故②正确；根据题图得，图形G 围成区域内(不含边界)恰有13个整点(即横、纵坐标均为整数的点)，故③错误；由题意得A (－1，0)，B (3，0)，当a ＝－4时，直线y ＝－4与图形G 有一个公共点，当a ＝2时，直线y ＝2与图形G 有一个公共点，故④错误．综上所述，正确的有①②.7.②③【解析】一次函数y ＝x 图象经过点B (1，1)，即一次函数y ＝x 的图象与线段AB 有公共点，故①错误；一次函数y ＝x 图象刚好经过点B (1，1)，向下平移直线y ＝x ，此时b <0，直线y ＝x ＋b 与线段AB 无公共点，故②正确；反比例函数y ＝1x的图象刚好经过点B (1，1)，当k >1时，反比例函数y ＝k x的图象沿着y ＝x 向远离原点的方向平移，与线段AB 无公共点，故③正确；二次函数y ＝x 2－bx ＋1的图象一定经过A (0，1)，即二次函数的图象与线段AB 有公共点，故④错误．8.F 4，－b 【解析】根据旋转的规律得，F 1的解析式为y ＝x 2，其图象位于第二象限；F 2的解析式为y ＝－－x ，其图象位于第三象限；F 3的解析式为y ＝－x 2，其图象位于第四象限；F 4的解析式为y ＝x ，其图象位于第一象限；…则2021÷4＝505……1，即F 2021的图象位于第二象限，该图象的函数解析式是y ＝x 2.∵P (4，2)位于第一象限，∴点P 所在的图象是F 4.∵点P (a ，b )在图象F 2021上，∴b ＝a 2，∴a ＝－b .9.1，5【解析】∵B (1，5)在y ＝k x 的图象上，∴k ＝1×5＝5.当x ＝5时，y ＝55＝1.∴C (5，1)．又∵2023÷5＝404，∴m ＝1.∵Q (x ，n )在该“波浪线”上，∴n 的最大值是5.类型四几何类问题1.D 【解析】如解图，连接OQ ，则∠POQ ＝45°，sin 45°＝cos 45°＝22，当点M 在AB 和CD 上时，α＜45°，则sin α＜cos α，当点M 在EF 和GH 上时，α＞45°，sin α＞cos α.第1题解图2.C 【解析】①当∠PAQ ＝30°，PQ ＝6时，以P 为圆心，6为半径画弧，与射线AM 有两个交点，则△PAQ 的形状不能唯一确定，故①错误；②当∠PAQ ＝30°，PQ ＝9时，以P 为圆心，9为半径画弧，与射线AM 有两个交点，但左边位置的Q 不符合题意，∴Q 点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ ，故②正确；③当∠PAQ ＝90°，PQ ＝10时，以P 为圆心，10为半径画弧，与射线AM 有两个交点，但此时两个三角形全等，Q 点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ ，故③正确；④当∠PAQ ＝150°，PQ ＝12时，以P 为圆心，12为半径画弧，与射线AM 有两个交点，左边的Q 不符合题意，∴Q 点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ ，故④正确，故选C .3.①②③④【解析】①如题图①，由作图可知，BC 的垂直平分线经过圆心O ，∵OD⊥BC ，∴点D 是BC ︵的中点；②如解图①，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵OD ∥AC ，∴OD ⊥BC ，∴点D 是BC ︵的中点；③如题图③，∵∠BAD ＝∠CAD ，∴点D 是BC ︵的中点；④如解图②，连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵AE ＝AB ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∴点D 是BC ︵的中点．图①图②第3题解图4.①②④【解析】只要满足AB ∥EF ，则四边形ABFE 是平行四边形，这样的EF 有无数条，故①正确；∵AD >AB ，∴在AD 上截取AE ＝AB ，再满足AB ∥EF ，就能使得四边形ABFE 是菱形，故②正确；∵∠B 不是直角，∴矩形ABFE 不存在，故③错误；只要当EF 经过▱ABCD 对角线交点时，四边形ABFE 的面积是▱ABCD 面积的一半，这样的EF 有无数条，故④正确．5.(1)5；(2)43【解析】(1)如解图，连接OP ，∵P (4，3)，∴OP ＝32＋42＝5；(2)如解图，设CD 交x 轴于点J ，过点P 作PT ⊥AB 交⊙O 于点T ，交AB 于点E ，连接CT ，DT ，OT ，∵P (4，3)，∴PE ＝4，OE ＝3.在Rt △OPE 中，tan ∠POE ＝PE OE ＝43，∵OE ⊥PT ，OP ＝OT ，∴∠POE ＝∠TOE ，∴∠PDT ＝12∠POT ＝∠POE ，∵PA ＝PB ，PE ⊥AB ，∴∠APT ＝∠DPT ，∴TC ︵＝DT ︵，∴∠TDC ＝∠TCD ，∵PT ∥x 轴，∴∠CJO ＝∠CKP ，∵∠CKP ＝∠TCK＋∠CTK ，∠CTP ＝∠CDP ，∠PDT ＝∠TDC ＋∠CDP ，∴∠TDP ＝∠CJO ，∴∠CJO ＝∠POE ，∴tan α＝tan ∠CJO ＝tan ∠POE ＝43.第5题解图。

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北京市中考数学专题突破一：填空压轴题型（含答案）专题突破(一)填空压轴题型规律探究性问题的解答需要学生经历观察、分析、归纳、概括、推理、检验等一系列探索活动，对学生的“数感”提出较高要求．新定义题型就是指通过试题提供的新定义、新规则、新概念、新材料来创设新情景，提升类比迁移等综合素质．因此，这两个考点成为北京市中考填空题压轴题的热点．2012—2015年北京中考知识点对比题型年份2012201320142015填空探究式的规律定义新运算，探函数综合循环尺规作图的理究规律规律论依据1．[2015·北京]阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB.图Z1－1求作：线段AB的垂直平分线．小芸的作法如下：如图，图Z1－2(1)分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；(2)作直线CD.所以直线CD就是的所求作的垂直平分线．老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是______________________．2．[2014·北京]在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，我们把点P′(－y＋1，x＋1)叫做点P的伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，这样依次得到点A1，A2，A3…，A4…，若点A1的坐标为(3，1)，则点A3的坐标为________，点A2014的坐标为________；若点A1的坐标为(a，b)，对于任意正整数n，点A n均在x轴上方，则a，b应满足的条件为__________________．3．[2013·北京]如图Z1－3，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：t＝－x－1，双曲线y＝1x.在l上取点A1，过点A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过点B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过点A2作x 轴的垂线交双曲线于点B2，过点B2作y轴的垂线交l 于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，A n，….记点A n的横坐标为a n，若a1＝2，则a2＝________，a2013＝________；若要将上述操作无限次地进行下去，则a1不能取．．．的值是________图Z1－34．[2012·北京]在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，已知点A(0，4)，点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部(不包括边界)的整点个数为m.当m＝3时，点B的横坐标的所有可能值是________；当点B的横坐标为4n(n为正整数)时，m＝________________(用含n的代数式表示)．图Z1－45．[2011·北京]在下表中，我们把第i行第j列的(其中i，j都是不大于5的正整数)，对于表中数记为a i，j的每个数a i规定如下：，j＝1；当i<j时，a i，j＝0.例如：当i 当i≥j时，a i，j＝2，j＝1时，a i＝a2，1＝1.按此规定，a1，3＝________；，j·a i，1＋表中的25个数中，共有______个1；计算a1，1a1，2·a i，2＋a1，3·a i，3＋a1，4·a i，4＋a1，5·a i，5的值为________．a1，1a1，2a1，3a1，4a1，5a2，1a2，2a2，3a2，4a2，5a3，1a3，2a3，3a3，4a3，5a 4，1 a 4，2 a 4，3 a 4，4 a 4，5a 5，1 a 5，2 a 5，3 a 5，4 a 5，5一、与数与式有关的规律探究1．[2015·朝阳一模] 一组按规律排列的式子：2a ，－5a 2，10a 3，－17a 4，26a5，…，其中第7个式子是________，第n 个式子是________(用含n 的式子表示，n 为正整数)．二、与图形有关的规律探究2．[2015·西城一模] 如图Z1－5，数轴上点A 的初始位置表示的数为1，现点A 做如下移动：第1次点A 向左移动3个单位长度至点A 1，第2次从点A 1向右移动6个单位长度至点A2，第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，…，按照这种移动方式进行下去，点A4表示的数是________，如果点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值是________．图Z1－53．[2014·延庆县一模]如图Z1－6，点E，D分别是正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN 中以C点为顶点的一边延长线和另一边延长线上的点，且BE＝CD，DB的延长线交AE于点F，则图①中∠AFB 的度数为________；若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其他条件不变，则∠AFB 的度数为________．(用含n的代数式表示，其中，n≥3且n为整数)图Z1－64．[2014·昌平区一模]已知：四边形ABCD的面积为1.如图Z1－7①，取四边形ABCD各边的中点，则图中阴影部分的面积为________；如图Z1－7②，取四边形ABCD各边的三等分点，则图中阴影部分的面积为________；…；取四边形ABCD各边的n(n为大于1的整数)等分点，则图中阴影部分的面积为________．图Z1－7三、平面直角坐标系中的规律探究5．[2014·石景山一模]在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝x，作A1(1，0)关于直线y＝x的对称点B1，将点B1向右平移2个单位得到点A2；再作A2关于直线y＝x的对称点B2，将点B2向右平移2个单位得到点A3；….请继续操作并探究：点A3的坐标是________，点B2014的坐标是________．6．[2015·房山一模]如图Z1－8，在平面直角坐标系中放置了5个正方形，点B1(0，2)在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上，C1的坐标是(1，0)，B1C1∥B2C2∥B3C3.则点A1到x轴的距离是________，点A2到x轴的距离是________，点A3到x轴的距离是________．图Z1－87．[2015·东城一模]在平面直角坐标系xOy中，记直线y＝x＋1为l.点A1是直线l与y轴的交点，以A1O 为边作正方形A1OC1B1，使点C1落在x轴正半轴上，作射线C1B1交直线l于点A2，以A2C1为边作正方形A2C1C2B2，使点C2落在x轴正半轴上，依次作下去，得到如图Z1－9所示的图形．则点B4的坐标是________，点B n的坐标是________．图Z1－98．[2014·丰台一模]如图Z1－10，已知直线l：y＝33x，点A1坐标为(0，1)，过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交y 轴于一点A2；再过点A2作y轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交y轴于点A3，…，按此作法进行下去，点A4的坐标为(________，________)；点A n的坐标为(________，________)．图Z1－109．[2014·顺义一模]如图Z1－11，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，其中x轴与边A1A2，边A1A2与A4A5，A4A5与A7A8，…均相距一个单位长度，则顶点A3的坐标为________，A31的坐标为________，A3n－2(n为正整数)的坐标为________．图Z1－1110．[2014·通州一模]如图Z1－12，在反比例函数y＝4x(x≥0)的图象上，有点P1，P2，P3，P4，…，P n(n为正整数，且n≥1)，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n(n为正整数，且n≥1)．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，连接相邻两点，图中所构成的阴影部分(近似看成三角形)的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S n－1(n 为正整数，且n≥2)，那么S1＋S2＋S3＝________，S1＋S2＋S3＋S4＋…＋S n－1＝________(用含有n的代数式表示)．图Z1－1211．[2014·燕山一模]如图Z1－13，在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将线段OP0绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，…，这样依次得到线段OP3，OP4，…，OP n.则点P2的坐标为________；当n＝4m＋1(m为自然数)时，点P n的坐标为________________．图Z1－1312．[2014·西城一模]如图Z1－14，在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(2，0)，正六边形ABCDEF 沿x轴正方向无滑动滚动，当点D第一次落在x轴上时，点D的坐标为________；在运动过程中，点A的纵坐标的最大值是________；保持上述运动过程，经过点(2014，3)的正六边形的顶点是________．图Z1－1413．[2015·东城二模]如图Z1－15，已知A1，A2，…，A n，A n＋1在x轴上，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n A n＋1＝1，分别过点A1，A2，…，A n，A n＋1作x轴的垂线交直线y＝x于点B1，B2，…，B n，B n＋1，连接A1B2，B1A2，A2B3，B2A3，…，A n B n＋1，B n A n＋1，依次相交于点P1，P2，P3，…，P n，△A1B1P1，△A2B2P2，…，△A n B n P n 的面积依次记为S1，S2，…，S n，则S1＝________，S n ＝________．图Z1－15四、定义新运算14．[2014·东城一模] 现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32－3×3＋5，根据定义的运算求2★(－1)＝________．若x ★2＝6，则实数x 的值是________．15．[2015·燕山一模] 定义：对于任意一个不为1的有理数a ，把11－a称为a 的差倒数，如2的差倒数为11－2＝－1，－1的差倒数为11－（－1）＝12.记a 1＝12，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，则a 2＝________，a 2015＝________．16．[2015·海淀一模] 若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC 是等径三角形，则等径角的度数为________．17．[2014·海淀一模] 在一次数学游戏中，老师在A ，B ，C 三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a 0，b 0，c 0，记为G 0＝(a 0，b 0，c 0)．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个(若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果)，记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，则游戏结束．n 次操作后的糖果数记为G n ＝(a n ，b n ，c n )．(1)若G 0＝(4，7，10)，则第________次操作后游戏结束；(2)小明发现：若G 0＝(4，8，18)，则游戏永远无法结束，那么G 2014＝________．18．[2015·海淀模拟] 对于正整数n ，定义F (n )＝⎩⎨⎧n 2，n <10f （n ），n ≥10，其中f (n )表示n 的首位数字、末位数字的平方和．例如：F (6)＝62＝36，F (123)＝f ⎝⎛⎭⎫123＝12＋32＝10.规定F 1(n )＝F (n )，F k ＋1(n )＝F (F k (n ))(k 为正整数)．例如：F 1⎝⎛⎭⎫123＝F ⎝⎛⎭⎫123＝10，F 2(123)＝F (F 1(123))＝F (10)＝1.(1)求：F 2(4)＝________，F 2015(4)＝________；(2)若F 3m (4)＝89，则正整数m 的最小值是________．19．[2015·海淀二模] 五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，白方后行，轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向(横向、竖向或者是斜着的方向)上连成五子者为胜．如图Z1－16，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘，以点O为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点，若黑子A的坐标为(7，5)，则白子B的坐标为________；为了不让白方在短时间内获胜，此时黑方应该下在坐标为________的位置处．图Z1－16参考答案北京真题体验1.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线2．(－3，1) (0，4) －1＜a ＜1且0＜b ＜2[解析] ∵A 1的坐标为(3，1)，∴A 2(0，4)，A 3(－3，1)，A 4(0，－2)，A 5(3，1)， …，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ∵2014÷4＝503……2，∴点A 2014的坐标与A 2的坐标相同，为(0，4)； ∵点A 1的坐标为(a ，b )，∴A 2(－b ＋1，a ＋1)，A 3(－a ，－b ＋2)，A 4(b －1，－a ＋1)，A 5(a ，b )，…，以此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ∵对于任意的正整数n ，点A n 均在x 轴上方， ∴⎩⎨⎧a ＋1＞0，－a ＋1＞0，⎩⎨⎧－b ＋2＞0，b ＞0，解得－1＜a ＜1，0＜b ＜2.3．－32 －130，－1 [解析] 当a 1＝2时，B 1的纵坐标为b 1＝12， B 1的纵坐标和A 2的纵坐标相同，则A 2的横坐标为a 2＝－32， A 2的横坐标和B 2的横坐标相同，则B 2的纵坐标为b 2＝－23， B 2的纵坐标和A 3的纵坐标相同，则A 3的横坐标为a 3＝－13， A 3的横坐标和B 3的横坐标相同，则B 3的纵坐标为b 3＝－3，B 3的纵坐标和A 4的纵坐标相同，则A 4的横坐标为a 4＝2，A 4的横坐标和B 4的横坐标相同，则B 4的纵坐标为b 2＝12，即当a 1＝2时，a 2＝－32，a 3＝－13，a 4＝2，a 5＝－32，b 1＝12，b 2＝－23，b 3＝－3，b 4＝12，b 5＝－23， ∵20133＝671，∴a 2013＝a 3＝－13；点A 1不能在y 轴上(此时找不到B 1)，即x ≠0，点A 1不能在x 轴上(此时A 2在y 轴上，找不到B 2)，即y ＝－x －1≠0，解得x ≠－1.综上可得a 1不可取0，－1.4．3或4 6n －3 [解析] 如图：当点B 在(3，0)点或(4，0)点时，△AOB 内部(不包括边界)的整点为点(1，1)，(1，2)，(2，1)，共三个点，所以当m ＝3时，点B 的横坐标的所有可能值是3或4.当点B 的横坐标为8时，n ＝2，△AOB 的内部(不包括边界)的整点个数m ＝（4×2＋1－2）×3－32＝9. 当点B 的横坐标为12时，n ＝3，△AOB 的内部(不包括边界)的整点个数m ＝（4×3＋1－2）×3－32＝15. 所以当点B 的横坐标为4n (n 为正整数)时，m ＝（4×n ＋1－2）×3－32＝6n －3. 5．0 15 1 [解析] 由题意当i ＜j 时，a i ，j ＝0，当i ≥j 时，a i ，j ＝1；由图表中可以很容易知道等于1的数有15个．由题意，很容易发现，从i 与j 之间大小关系分析：当i ＜j 时，a i ，j ＝0；当i ≥j 时，a i ，j ＝1，∴a 1，1·a i ，1＋a 1，2·a i ，2＋a 1，3·a i ，3＋a 1，4·a i ，4＋a 1，5·a i ，5＝1×1＋0＋0＋0＋0＝1. 北京专题训练一、与数与式有关的规律探究1.50a7 (－1)n ＋1·n 2＋1a n [解析] 观察分母的变化为a 的1次幂、2次幂、3次幂、…、n 次幂；分子的变化为：2，5，10，17，…，n 2＋1；分式符号的变化为：＋，－，＋，－，…，(－1)n ＋1.∵2a ＝(－1)2·12＋1a1，－5a 2＝(－1)3·22＋1a2， 10a 3＝(－1)4·32＋1a3， …∴第7个式子是50a7，第n 个式子为：(－1)n ＋1·n 2＋1a n .二、与图形有关的规律探究2．713[解析] 序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A13表示的数以及A12表示的数，则可判断A n与原点的距离不小于20时n的最小值．第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数为1－3＝－2；第2次点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为－2＋6＝4；第3次点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4－9＝－5；第4次点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为－5＋12＝7.第5次点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7－15＝－8；…则点A7表示的数为－8－3＝－11，点A9表示的数为－11－3＝－14，A11表示的数为－14－3＝－17，A13表示的数为－17－3＝－20，A6表示的数为7＋3＝10，A8表示的数为10＋3＝13，A10表示的数为13＋3＝16，A12表示的数为16＋3＝19，所以如果点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13.3．60° （n －2）·180°n[解析] (1)在①中的正三角形ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴∠ABE ＝∠BCD ＝120°，又∵BE ＝CD ，∴△ABE ≌△BCD ，∴∠E ＝∠D ，又∵∠FBE ＝∠CBD ，∴∠AFB ＝∠E ＋∠FBE ＝∠D ＋∠CBD ＝∠ACB ＝60°.由以上不难得到②中△AEB ≌△BDC ，进一步证出③中△BEF ∽△BDC ，得出，②中∠AFB 的度数等于∠DCB ＝90°，同理可得③中∠AFB 度数等于∠BCM ＝108°.(2)由正三角形、正四边形、正五边形时，∠AFB 的度数分别为60°，90°，108°，可得出正n 边形中，其他条件不变，则∠AFB 的度数为（n －2）·180°n. 4.12 79 1－2n 2 [解析] 如图①，连接AC ，BD.∵点A 1，D 1是边AB ，AD 的中点，∴A 1，D 1是△ABD 的中位线，∴A 1D 1∥BD ，A 1D 1＝12BD ， ∴△AA 1D 1∽△ABD ，∴S △AA 1D 1S △ABD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A 1D 1BD 2＝14， ∴S △AA 1D 1＝14S △AB D . 同理，S △CB 1C 1＝14S △BCD ，S △BA 1B 1＝14S △ABC ，S △DD 1C 1＝14S △ACD ， ∴S 阴影＝S 四边形ABCD －(S △AA 1D 1＋S △CB 1C 1＋S △BA 1B 1＋S △DD 1C 1)＝1－14(S △ABD ＋S △BCD ＋S △ABC ＋S △ACD )＝1－24S 四边形ABCD ＝1－12＝12. 如图②同理可得S 阴影＝1－19(S △ABC ＋S △BCD ＋S △ABC ＋S △ACD )＝1－29S 四边形ABCD ＝1－29＝79. 当取四边形ABCD 各边的n (n 为大于1的整数)等分点时，则S 阴影＝1－1n 2(S △ABD ＋S △BCD ＋S △ABC ＋S △ACD )＝1－2n 2S 四边形ABCD ＝1－2n 2. 三、平面直角坐标系中的规律探究5．(3，2) (2013，2014) [解析] 根据题意画出图象，进而得出各点坐标变化规律进而得出答案．如图所示：点A 3的坐标是(3，2)，∵B1(0，1)，B2(1，2)，B3(2，3)，∴B点横坐标比纵坐标小1，∴点B2014的坐标是：(2013，2014)．故答案为：(3，2)，(2013，2014)．6．332347．(15，8)(2n－1，2n－1)[解析] 根据一次函数，得出点A1，A2的坐标，继而得知B1，B2等点的坐标，从中找出规律，进而可求出B n的坐标．把x＝0代入y＝x＋1，可得y＝1，所以可得点B1的坐标是(1，1)．把x＝1代入直线y＝x＋1，可得y＝2，所以可得点B2的坐标是(3，2)，同理可得点B3的坐标是(7，4)；点B4的坐标是(15，8)；由以上得出规律是B n的坐标为(2n－1，2n－1)．[点评] 本题考查了正方形的性质，解此题的关键是根据一次函数的图象上点的坐标得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．8．0802n－1[解析] 已知直线y＝33x，点A1坐标为(0，1)，过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，可知B1点的坐标为(3，1)，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交y轴于点A2，OA2＝OB1＝2OA1＝2，点A2的坐标为(0，2)，这种方法可求得B2的坐标为(2 3，2)，故点A3的坐标为(0，4)，点A4的坐标为(0，8)，此类推便可求出点A n的坐标为(0，2n－1)．9．(0，1－3)(－11，11)(－n，n)[解析] ∵从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，其中x轴与边A1A2，边A1A2与A4A5，A4A5与A7A8，…均相距一个单位长度，∴A1A2＝2，A1E＝1，A1(－1，1)，∴EA3＝3，则OA3＝3－1，则顶点A3的坐标为：(0，1－3)．同理可得出：A4(－2，2)，A7(－3，3)，…∵4＝2×3－2，7＝3×3－2，10＝4×3－2，…，31＝11×3－2，∴A31的坐标为：(－11，11)，(n为正整数)的坐标为(－n，n)．∴A3n－210.32 2－2n [解析] 当x ＝1时，P 1的纵坐标为4，当x ＝2时，P 2的纵坐标为2，当x ＝3时，P 3的纵坐标为43，当x ＝4时，P 4的纵坐标为1，当x ＝5时，P 5的纵坐标为45，…则S 1＝12×1×(4－2)＝1＝2－1； S 2＝12×1×(2－43)＝13＝1－23；S 3＝12×1×(43－1)＝16＝23－24；∴S1＋S2＋S3＝2－1＋1－23＋23－24＝2－24＝32；S4＝12×1×(1－45)＝110＝24－25；…S n－1＝2n－1－2n；∴S1＋S2＋S3＋S4＋…＋S n－1＝2－1＋1－23＋23－24＋…＋2n－1－2n＝2－2 n.故答案为32，2－2n.11．(0，－4)(－2·2n－1，2·2n－1)(m为正奇数)或(2·2n－1，－2·2n－1)(m为0和正偶数)[解析] 根据点P0坐标可求出OP0，然后分别求出OP1，OP2，OP3，OP4，…，OP n，再根据点P2在y轴负半轴上写出P2的坐标即可；分n是正奇数和n是0和正偶数两种情况确定出点P n所在的象限，然后根据等腰直角三角形的性质写出坐标即可，∵P0的坐标为(1，0)，∴OP0＝1.∴OP1＝2，OP2＝2×2＝22，OP3＝22×2＝23，OP4＝23×2＝24，…，OP n＝2n－1×2＝2n.∵每次旋转45°，点P0在x轴正半轴上，∴点P2在y轴负半轴上．∴点P2的坐标为(0，－4)．∵OP n为所在象限的平分线，①m为正奇数时，点P n在第二象限，②m为0和正偶数时，点P n在第四象限．综上所述，点P n的坐标为(－2·2n－1，2·2n－1)(m 为正奇数)，(2·2n－1，－2·2n－1)(m为0和正偶数)12．(4，0)2A或C[解析] ∵点A(1，0)，B(2，0)，∴OA＝1，OB＝2，∴正六边形的边长为：AB＝1，∴当点D第一次落在x轴上时，OD＝2＋1＋1＝4，此时点D的坐标为：(4，0)．如图所示：当滚动到A′D⊥x轴时，E，F，A的对应点分别是E ′，F ′，A ′，连接A ′D ，过点F ′，E ′作F ′G ⊥A ′D ，E ′H ⊥A ′D ，垂足分别为G ，H ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠A ′F ′G ＝30°，∴A ′G ＝12A ′F ′＝12，同理可得：HD ＝12， ∴A ′D ＝2，∴在运动过程中，点A 的纵坐标的最大值是2. ∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周， ∴A 点从点(1，0)开始到点(2014，3)，正六边形正好滚动2013个单位长度．∵20136＝335……3，∴恰好滚动335周多3个，A ′点的纵坐标为3， ∴会过点(2014，3)的是点A ，当点E 在(2014，0)位置时，则点F 在(2015，0)位置，此时C 点在E 点的正上方，CE ＝3，所以C 点也符合题意．13.16 n 24n ＋2[解析] ∵A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n A n ＋1＝1，分别过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1作x 轴的垂线交直线y ＝x 于点B 1，B 2，…，B n ，B n ＋1，∴依题意得：B 1(1，1)，B 2(2，2)，B 3(3，3)，…，B n (n ，n )．∵A 1B 1∥A 2B 2，∴△A 1B 1P 1∽△B 2A 2P 1，∵A 1B 1A 2B 2＝12， ∴△A 1B 1P 1与△A 2B 2P 1对应高的比为1∶2.∵A 1A 2＝1，∴A 1B 1边上的高为13， ∴S △A 1B 1P 1＝13×1×12＝16，同理可得：S △A 2B 2P 2＝25，S △A 3B 3P 3＝914， ∴S n ＝n 24n ＋2. 故答案为16，n 24n ＋2.四、定义新运算14．－3 －1或4 [解析] ∵a ★b ＝a 2－3a ＋b ， x ★2＝6，∴x 2－3x ＋2＝6，解得x ＝－1或x ＝4.15．2 2 [解析] 首先根据a 1＝12，可得a 2＝11－a 1＝11－12＝2，a 3＝11－a 2＝11－2＝－1，a 4＝11－a 3＝11－（－1）＝12，…，所以这列数是12，2，－1，12，2，－1，…，每3个数是一个循环，然后用2015除以3，求出一共有多少个循环，还剩下几个数，进而判断出a2015的值是多少即可．16．30°或150°[解析] 根据边长等于半径时，边长所对的圆心角为60°，根据圆周角与圆心角的关系和圆内接四边形的性质求出等径角的度数．如图，边AB与半径相等时，则∠AOB＝60°，当等径角的顶点为C时，∠C＝12∠AOB＝30°，当等径角顶点为D时，∠C＋∠D＝180°，∠D＝150°，故答案为：30°或150°.17．(1)3(2)(11，9，10)[解析] (1)若G0＝(4，7，10)，第一次操作结果为G1＝(5，8，8)，第二次操作结果为G2＝(6，6，9)，第三次操作结果为G3＝(7，7，7)，所以经过3次操作后游戏结束．(2)若G0＝(4，8，18)，则G1＝(5，9，16)，G2＝(6，10，14)，G3＝(7，11，12)，G4＝(8，12，10)，G5＝(9，10，11)，G6＝(10，11，9)，G7＝(11，9，10)，G8＝(9，10，11)，G9＝(10，11，9)，G10＝(11，9，10)，…由此看出从G5开始3个一循环，(2014－4)÷3＝670，所以G2014与G7相同，也就是(11，9，10)．18．(1)3726(2)6[解析] 通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一循环，根据这些规律计算即可．(1)F2(4)＝F(F1(4))＝F(16)＝12＋62＝37；F1(4)＝F(4)＝16，F2(4)＝37，F3(4)＝58，F4(4)＝89，F5(4)＝145，F6(4)＝26，F7(4)＝40，F8(4)＝16，…，通过观察发现，这些数字7个一个循环，2015是7的287倍余6，因此F2015(4)＝F6(4)＝26.(2)由(1)知，这些数字7个一个循环，F4(4)＝89＝F18(4)，因此3m＝18，所以m＝6.19．(5，1)(3，7)或(7，3)[解析] 根据题意得，白子点B的坐标为(5，1)．因为白方已把(4，6)，(5，5)，(6，4)三点凑在一条直线上，黑方只有在此三点两端任加一点即可保证不会让白方在短时间内获胜，即位置(3，7)或(7，3)．。

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