解方程与因式分解

解方程与因式分解

一、 因式分解的过程就是方程求根的过程：

1. )())(())((2112210111m m k n n n n n d x c x d x c x b x b x b x a a x a x a x a ++++---=++++-- 其中：k n m -=2。

2. 则当00111=++++--a x a x a x a n n n n 时，

0)())(())((211221=++++---m m k n d x c x d x c x b x b x b x a 。

因式分解其本质就是求根的过程，或者说求根的过程就是因式分解的过程。

3. 代数式子的除法。

二、 7个常用的公式及其理解

1. ))((2

2b a b a b a -+=-

2. 222)(2b a b ab a ±=+±

3. ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++

4. ))((2233b ab a b a b a ++-=-

5. ))((2233b ab a b a b a +-+=+

6. 3223333)(b ab b a a b a -+-=-

7. 3223333)(b ab b a a b a +++=+

8. 上述公式中的b a ,不仅仅表示b a ,这个字母，而是表示两个整体。 三、 十字相乘的理解：配平各项系数之间的关系。不限于一元二次方程。

基本题型解法及易错点

一、 一元二次

1. 十字相乘法：

1） 一定要注意系数的正负；

2） 相乘和相加的匹配；

3） 可以是根号相乘。

2. 配方法：

1） 熟练掌握平方和差的公式；

2） 开方有正负。

3. 公式法：

1） 本质就是配方法；

2） ∆的运算

4. 猜根+韦达定理相结合：优先推荐！

二、 一元三次

1. 添、拆项：

1） 技巧性较强；熟练掌握立方和差公式；

2） 寻找公因式。

2. 猜根+整除

1） 21±±，常见；

2） 整除降次；

3） 立方和差公式。

三、 多元

1. 十字相乘法

2. 分组分解

3. 猜根+整除

例题讲解

一、 一元二次：

例题1：分解因式：4232+-x x

解法1：十字相乘：2

2211⨯：)22)(2(4232++=+-x x x x 解法2：配方法：令04232=+-x x ，则

21429)29(223242322=-=+⨯⨯

-=+-x x x x 2

1)223(2=-x 即22223±=-x ，所以22=x 或2=x )22)(2(4232--=+-x x x x

解法3：令04232

=+-x x ，则2223244)23(232±=⨯-±=x 22=x 或2=x 即：)22)(2(4232--=+-x x x x

解法4：由系数关系知2=x 是04232=+-x x 方程的根，又因为：

2321=+x x ，所以：222=x 即：)22)(2(4232--=+-x x x x

1. 分解下列各因式：

1） 2452-+x x

2） 1492++x x

3） 7522-+x x

4） 2

3222-+x x 2. 分解下列各因式：

1） 252

+-x x

2） 3722+-x x

3） 2932+--x x

例题2：因式分解：4)63)(33(2

2-----x x x x

解：把x x 32-看成一个整体： 4)63)(33(22-----x x x x =14)3(9)3(222+---x x x x =)73)(23(22----x x x x

即：

4)63)(33(22-----x x x x =)2373)(2373)(2173)(2173(--+---+-x x x x 3. 分解下列各因式

1） 4)2(5)2(222++-+x x x x

2） 24)45)(25(2

2-+-+-x x x x

例3：化简：324- 解：222)13(312])3(1[3124324-=⨯⨯-+=⨯⨯-=-； 所以：324-13-=

4. 化简下列各式：

1） 348+

2） 549-

3） 2812+

4） )1(212

2>-+x x x 二、 一元三次：

例题1：证明：))((2

233b ab a b a b a ++-=-

证明：当b a =时，033=-b a ，所以)(b a -是33b a -的一个因式。 2

233)(b ab a b a b a ++--，所以))((2233b ab a b a b a ++-=-

例题2：证明：))((2

233b ab a b a b a +-+=+

证明：由例1，3333)(b a b a --=+，则))((2233b ab a b a b a +-+=+

1. 分解下列因式

1） 83-x

2） 38125.0b +

3） 3

27a --

2. 计算)1)(1)(1)(1(22+-++-+x x x x x x

例题3：因式分解：233+-x x 解法一：

233+-x x =)2)(1()1(232223--+-=+-+-x x x x x x x x =)2)(1(2

-+-x x x = )2()1(2--x x 。添了2x

解法二：233+-x x =)2)(1()1(2)1)(1(2223-+-=--+-=+--x x x x x x x x x x = )2()1(2--x x 。把x 3-拆成x x 2--

解法三：由系数关系可知1=x 是方程0233

=+-x x 的一个方根，则 2

23)1(23-++--x x x x x ，则233+-x x =)2)(1(2-+-x x x =)2()1(2--x x 。

3. 分解下列因式

1） 432

3+-x x

2） 103323+--x x x

3） 1643++x x 三、 多元

例题1：因式分解：34

381a b b -

解法一：提取公因式：)93)(3(3)27(3813223343b ab a b a b b a b b b a ++-=-=- 解法二：由题意可知b a 3=是081343=-b b a 的一个根，则 3

22432793813)3(b ab b a b b a b a ++--即：)2793)(3(81332243b ab b a b a b b a ++-=-，所以 )93)(3(38132243b ab a b a b b b a ++-=-