解方程与因式分解
因式分解法解方程
8分钟后，比一比，做与例题类似的检测题。
04
二、自学指导
认真看课本（12—14页练习止）注意：
自研：
先认真自主学习课本p12-p14的内容，遇到看不懂的地方要用笔圈画下来。（时间：５分钟）
对学（3分钟）： 对子之间对于学习指导中的问题进行交流，对于解决不了的问题记录下来。
群学（3分钟）：小组内交流对子交流中解决不了的或出现争议的疑难问题，进行重点探讨：
理解解一元二次方程方程的思想就是“降次”。
通过“思考”问题，能灵活运用因式分解法解一元二次方程。
一、学习目标
看13页“思考”问题，如何用因式分式分解法解的一元二次方程须满足什么样的条件？ 3、看例题的解题格式，掌握因式分解法解一元二次方程的步骤。
02
理解14页归纳的内容。
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请言简意赅地阐述您的观点。
21.2解一元二次方程（四） 因式分解法
单击此处添加副标题
202X
情境引入：
我们已经学习了一元二次方程的哪些解法？ 式子ab=0说明了什么？ 把下列各式因式分解. （1）x2－x x2－4x （3）x＋3－x（x＋3） （2x－1）2－x2
（组长认真组织本组成员，确保每名组员都能认真参与，记录员要把小组内的疑难问题或争议题记录下来，教师巡视，可参与组内交流。）
三、自研共探:
四、学情展示
五、归纳总结
这一节课我的收获是什么？
当堂训练
课堂作业P17 第6题
一元二次方程的解法因式分解和因式分解
一元二次方程的解法因式分解和因式分解一元二次方程是代数学中非常重要的一个概念，它在解决实际问题中有广泛的应用。
在解一元二次方程的过程中，我们可以运用因式分解和求根公式两种方法。
本文将从这两个方面来详细介绍一元二次方程的解法。
我们来介绍因式分解法。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。
我们可以通过因式分解将其转化为两个一次方程的乘积形式，进而求解方程。
以一元二次方程x^2 + 5x + 6 = 0为例，我们首先要找到两个数的和为5，乘积为6的特性。
根据这个特性，我们可以将方程分解为(x + 2)(x + 3) = 0。
通过零乘积法则，我们得到x + 2 = 0或x + 3 = 0，进而解得x的值分别为-2和-3。
所以，原方程的解为x = -2或x = -3。
通过这个例子，我们可以看到因式分解法可以将原方程转化为两个一次方程，从而更容易求解。
但需要注意的是，并不是每个一元二次方程都可以通过因式分解法求解，因为它要求方程的系数能够被分解成两个数的乘积。
接下来，我们来介绍另一种解一元二次方程的方法——求根公式法。
求根公式是利用二次方程的一般形式ax^2 + bx + c = 0中的系数a、b、c计算方程的解。
具体求根公式为x = (-b ± √(b^2 -4ac)) / 2a。
同样以一元二次方程x^2 + 5x + 6 = 0为例，我们可以根据求根公式计算出方程的解。
将a、b、c代入公式中，得到x = (-5 ± √(5^2 - 4*1*6)) / 2*1，化简后可得x = -2或x = -3，与因式分解法得到的结果一致。
通过这个例子，我们可以看到求根公式法可以直接利用方程的系数计算出解，不需要进行因式分解的步骤。
但需要注意的是，在使用求根公式时，我们需要保证方程中的判别式b^2 - 4ac大于等于0，否则方程将无实数解。
因式分解法和求根公式法是解一元二次方程常用的两种方法。
因式分解解方程
解一元二次方程-因式分解法1．因式分解法把一个多项式分解成xx+1=0﹣﹣，x=±．，x±．，，=，．典例探究答案：【例1】【解析】（1）移项，提取公因式；（2）移项并利用平方差公式分解因式求解.解：（1）2(2x －1)2=(1－2x )移项，得2(2x －1)2－(1－2x )=0，即：2(2x －1)2+(2x －1)=0，因式分解，得（2x-1）[2(2x-1)+1]=0，整理，得(2x-1)(4x-1)=0，解得x 1=12，x 2=14； （2）4(y ＋2)2=(y －3)2移项，得4(y ＋2)2-(y －3)2=0因式分解，得[2（y+2）+(y-3)][2(y+2)-(y-3)]=0整理，得(3y+1)(y+7)=0解得y 1=－13，y 2=－7. 练1．【解析】首先利用完全平方公式以及平方差公式分解因式，进而解方程得出即可；解：x 2﹣6x+9=（5﹣2x ）2，（x ﹣3）2﹣（5﹣2x ）2=0，因式分解得：（x ﹣3+5﹣2x ）（x ﹣3﹣5+2x ）=0，整理得：（2﹣x ）（3x ﹣8）=0，解得：x 1=2，x 2=.点评：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．【例2】【解析】先设2x+5=y ，则方程即可变形为y 2﹣4y+3=0，解方程即可求得y （即2x+5）的值，进一步可求出x 的值．解：设x ﹣1=y ，则原方程可化为y 2﹣4y+3=0，所以（y ﹣1）（y ﹣3）=0解得y 1=1，y 2=3．当y=1时，即2x+5=1，解得x=﹣2；当y=3时，即2x+5=3，解得x=﹣1，所以原方程的解为：x 1=﹣2，x 2=﹣1．点评：本题运用换元法解一元二次方程．练2．【解析】设a+b=x ，则原方程转化为关于x 的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x （即a+b ）的值．解：设a+b=x ，则由原方程，得4x （4x ﹣2）﹣8=0，整理，得（2x+1）（x ﹣1）=0，解得x 1=﹣，x 2=1．则a+b 的值是﹣或1．故答案是：﹣或1．点评：本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．练3 【解析】设x2-3=y，则原方程转化为关于y的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求y（即x2-3）的值．解：设x2-3=y，则原方程可化为y2-5(-y)+4=0，即：y2+5y+4=0，因式分解得：（y+1）(y+4)=0,解得y1=-1，y2=-4.当y1=-1时，x2-3=-1，即x2=2，解得x=当y2=-4时，x2-3=-4，即x2-3=-1，方程无实数根.综上，x=【例3】【解析】（1）利用配方法得到（x﹣）2=，然后根据直接开平方法求解；（2）先变形得到3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程；（3）先计算判别式的值，然后利用求根公式法求解；（4）先变形得到（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，然后利用因式分解法解方程．解：（1）x2﹣5x=﹣1，x2﹣5x+（）2=﹣1+（）2，（x﹣）2=，x﹣=±，所以x1=，x2=；（2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，所以x1=2，x2=3；（3）△=（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）=48x===，所以x1=，x2=；（4）（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）=0，y+2+3y﹣1=0或y+2﹣3y+1=0，所以y1=﹣，y2=．点评：本题考查了一元二次方程的四种常见解法．练4．【解析】（1）根据因式分解法，可得方程的解；（2）根据公式法，可得方程的解；（3）根据因式分解法，可得方程的解；（4）根据公式法，可得方程的解．解：（1）因式分解，得（x ﹣1）（x ﹣6）=0，解得x 1=6，x 2=﹣1；（2）a=3，b=﹣4，c=﹣1，x 1=，x 2=； （3）方程化简得x 2+2x ﹣3=0，因式分解，得（x+3）（x ﹣1）=0，解得x 1=1，x 2=﹣3；（4）a=1，b=﹣2，c=1，x 1=1+，x 2=﹣1+．点评：本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择适当的方法是解题关键． 课后小测答案：一、选择题1．【解析】先移项，再分解因式，即可得出选项．解：x 2﹣2x=3，x 2﹣2x ﹣3=0，（x ﹣3）（x+1）=0，故选A ．点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确分解因式，题目比较好，难度不是很大．2.【解析】先移项，再分解因式，即可求得5x(x+3)=3(x+3)的解.解：5x(x+3)=3(x+3)，移项，得5x(x+3)-3(x+3)=0，分解因式，得（5x-3）（x+3）=0， 解得123,35x x ==-故选D.点评：注意本题不能两边约去（x+3），这样会失去一个解.3.【解析】先移项，再利用十字相乘法分解因式；或者方程两边同时加1，左边配成完全平方式.解：方法一：x 2-2x=3,移项，得x 2-2x-3=0,因式分解，得（x-3）(x+1)=0,方法二：x 2-2x+1=3+1,即：（x-1）2=4,移项，得（x-1）2-4=0.故选A.点评：本题考查了解一元二次方程——因式分解法.二、填空题4．【解析】把方程左边分解，则原方程可化为x ﹣1=0或x+3=0．解：（x ﹣1）（x+3）=0，x ﹣1=0或x+3=0．故答案为x ﹣1=0或x+3=0．点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．5．【解析】移项后分解因式得到（x+1）（x﹣2）=0，推出方程x+1=0，x﹣2=0，求出方程的解即可解：x（x+1）=2（x+1），移项得：x（x+1）﹣2（x+1）=0，即（x+1）（x﹣2）=0，∴x+1=0，x﹣2=0，解方程得：x1=2，x2=﹣1，故答案为：x1=2，x2=﹣1．点评：本题主要考查对解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．6．【解析】令x2+y2=t，将原方程化为（t+1）（t+2）=6，解出t，再求得x即可．解：令x2+y2=t，将原方程化为（t+1）（t+2）=6，即（t﹣1）（t+4）=0，解得t1=1，t2=﹣4，∵t≥0，∴t=1，∴x2+y2=1，故答案为1．点评：本题考查了用换元法解一元二次方程，注意题目中的整体是x2+y2．三、解答题7．【解析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解：（1）x2﹣2x+1=0，因式分解，得（x﹣1）2=0，解得x﹣1=0，即x1=x2=1；（2）x2﹣2x﹣2=0，移项，得x2﹣2x=2，配方，得x2﹣2x+1=2+1，即：（x﹣1）2=3，解得x﹣1=，即x1=1+，x2=1﹣；（3）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0，因式分解，得（x﹣3）（x﹣3+2）=0，即x﹣3=0，x﹣3+2=0，解得x1=3，x2=﹣1．点评：本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，此题是一道中档题目，难度适中．8．【解析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）原式利用因式分解法求出解即可；（3）将方程变形后，设y=x﹣，得到关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，可列出关于x的一元一次方程，分别求出一次方程的解即可得到原方程的解．解：（1）方程变形得：x2﹣4x=3，配方得：x2﹣4x+4=7，即（x﹣2）2=7，开方得：x﹣2=±，解得：x1=2+，x2=2﹣；（2）方程变形得：（x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣2﹣3）=0，解得：x1=2，x2=5；（3）2（﹣x）2﹣（x﹣）﹣1=0，变形得：2（x﹣）2﹣（x﹣）﹣1=0，设y=x﹣，则原方程可化为2y2﹣y﹣1=0，因式分解得：（2y+1）（y﹣1）=0，解得：y=﹣或y=1，当y=﹣时，x﹣=﹣，解得：x=0；当y=1时，x﹣=1，解得：x=，∴x1=，x2=0．点评：此题考查了解一元二次方程——因式分解法、配方法、换元法等，熟练掌握解一元二次的方法是解本题的关键．9．【解析】设x2﹣x=y，原方程可化为y2﹣5y+6=0，解得y的值，再代入求得x即可．解：设x2﹣x=y，则（x2﹣x）2=y2，那么原方程可化为y2﹣5y+6=0，解得y1=2，y2=3．当y=2时，x2﹣x=2，x1=2，x2=﹣1．当y=3时，x2﹣x=3，x3=，x4=．故原方程的解为x1=2，x2=﹣1，x3=，x4=．点评：本题考查了用换元法解一元二次方程．找出整体是解题的关键．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．10．【解析】先设z=x2+y2，则原方程变形为z2﹣2z﹣15=0，运用因式分解法解得z1=5，z2=﹣3，即可求得x2+y2的值．解：设z=x2+y2，原方程变形为（z﹣3）（z+1）=12，整理，得z2﹣2z﹣15=0，因式分解，得（z﹣5）（z+3）=0，解得z1=5，z2=﹣3，∵x2+y2≥0，∴x2+y2的值为5．点评：本题考查了换元法解一元二次方程．。
解方程的因式分解法
解方程的因式分解法一、引言解方程是数学中常见的问题之一，而因式分解法是解方程的一种常用方法。
通过将方程进行因式分解，可以将复杂的方程简化为更简单的形式，从而更容易求解。
本文将详细介绍解方程的因式分解法，并给出一些例子来帮助读者更好地理解和掌握这一方法。
二、基本概念在了解因式分解法之前，我们需要了解一些基本概念。
首先，方程是一个等式，其中包含一个或多个未知数，并且需要找到使等式成立的未知数的值。
其次，因式分解是将一个多项式拆解为更简单的乘积形式的过程。
在解方程时，我们可以利用已知的因式分解形式来帮助我们求解未知数。
三、解方程的因式分解法步骤解方程的因式分解法可以分为以下几个步骤：1. 将方程移项，将所有项都移到等式的一边，使方程等于零。
2. 因式分解多项式。
将多项式进行因式分解，找到可以整除多项式的因子。
3. 令每个因子等于零，解出因子对应的未知数值。
4. 将解得的未知数值代入原方程中验证。
四、例子下面我们通过几个例子来演示解方程的因式分解法。
例子1：解方程：2x^2 - 5x - 12 = 0步骤1：将方程移项，得到2x^2 - 5x - 12 = 0步骤2：因式分解多项式，得到(2x + 3)(x - 4) = 0步骤3：令每个因子等于零，解得2x + 3 = 0 或 x - 4 = 0，得到x = -3/2 或 x = 4步骤4：将解得的未知数值代入原方程中验证，验证通过。
例子2：解方程：x^2 + 7x + 12 = 0步骤1：将方程移项，得到x^2 + 7x + 12 = 0步骤2：因式分解多项式，得到(x + 3)(x + 4) = 0步骤3：令每个因子等于零，解得x + 3 = 0 或 x + 4 = 0，得到x = -3 或 x = -4步骤4：将解得的未知数值代入原方程中验证，验证通过。
通过以上两个例子，我们可以看出解方程的因式分解法能够有效地求解方程，并且验证结果的准确性。
五、总结解方程的因式分解法是一种常用的解方程方法。
多项式的因式分解与解方程
多项式的因式分解与解方程多项式是数学中一个重要的概念，通过因式分解与解方程的方法，我们能够更好地理解和处理多项式的相关问题。
本文将介绍多项式的因式分解与解方程的相关知识，并通过例子详细讲解其应用。
一、多项式的因式分解多项式的因式分解是将一个多项式表达式拆解成若干个因式的乘积。
通过因式分解，我们可以更好地理解多项式的结构，简化表达式，并更方便地进行运算。
以一个简单的一元二次多项式为例，多项式表达式为ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
常见的因式分解方法有以下几种：1. 公因式提取法：如果多项式中的各项存在着公共的因式，我们可以先将公共因式提取出来，再进行进一步因式分解。
例如：6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)2. 因式定理：多项式的因式分解中，因式定理常常被使用。
因式定理表述了“如果a是多项式f(x)的一个因式，那么在f(x)中用x-a除以得到的商式为0。
”根据这个定理，我们可以确定多项式的因式，并进一步进行因式分解。
例如：x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)3. 完全平方式：对于二次多项式，我们可以利用完全平方式进行因式分解。
如果一个二次多项式能够表示成两个一次多项式的平方和差的形式，那么我们可以通过完全平方式进行因式分解。
例如：x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)通过以上几种常见的因式分解方法，我们可以将复杂的多项式拆解成简单的因式乘积形式，进一步化简问题，便于理解和求解。
二、多项式方程的解多项式方程是由多项式表达式构成的等式，求解多项式方程即找出使方程等式成立的变量值。
解多项式方程的过程也是寻找多项式与零的交点，通常使用因式分解的方法。
以一元一次方程为例，多项式方程表达式为ax + b = 0，其中a、b 为常数。
解一元一次方程的方法是将方程中的未知数x移到一侧，常数移到另一侧，通过求解得到x的值。
例如：3x + 2 = 0，将常数2移到一侧可得3x = -2，进一步解得x = -2/3。
一元二次方程解法——因式分解、配方法
3 2 B． （2-5x）+（5x-2） =0，∴（5x-2） （5x-3）=0，∴x1= ，x2= 5 5
2
2．下列方程中，一定有实数解的是（ ） ． A．x2+1=0 B． （2x+1）2=0
C． （x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2 D．x2=x 两边同除以 x，得 x=1 2．下列命题①方程 kx2-x-2=0 是一元二次方程；②x=1 与方程 x2=1 是同解方 程；③方程 x2=x 与方程 x=1 是同解方程；④由（x+1） （x-1）=3 可得 x+1=3 或 x-1=3，其中正确的命题有（ ） ． A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 3．如果不为零的 n 是关于 x 的方程 x2-mx+n=0 的根，那么 m-n 的值为（ ） ． A．-
解：设 6x+7=y
1 1 1 1 y+ ，x+1= y6 6 2 2 1 1 1 1 依题意，得：y2（ y+ ） （ y- ）=6 6 6 2 2
则 3x+4= 去分母，得：y2（y+1） （y-1）=72 2 2 4 2 y （y -1）=72， y -y =72
1 2 289 ）= 2 4 1 17 y2- =± 2 2
p ，达到降次转化之目的．若 p＜0 则方程无解
自主练习：1：用直接开平方法解下列方程： （1） x 225 ；
2
（2） ( x 1) 9 ；
2
1 ． 2
（3） (6 x 1) 25 0 ．
2
2 （4） 4( x 2) 81 0
三次方程的因式分解——解析与实例
三次方程的因式分解——解析与实例引言：三次方程作为高中数学中的重要内容之一，是我们进一步了解多项式函数的基础。
本文将详细介绍三次方程的因式分解方法，包括基本原理、步骤和实例分析，旨在帮助读者更好地理解并运用这一概念。
一、三次方程与因式分解的关系（100字）三次方程是由三次多项式构成的方程，形如ax^3+bx^2+cx+d=0。
因式分解是将多项式拆分为两个或多个因式相乘的形式。
因式分解可以用于求解三次方程的解，同时也可用于研究多项式的最高次项和因式之间的关系。
二、三次方程的因式分解原理（200字）三次方程的因式分解基于因子定理和多项式乘法展开原理。
根据因子定理，如果一个多项式P(x)的值为0，那么x-a是P(x)的一个因子，其中a是其一个根。
因此，要分解一个三次方程，我们需要先找到其一个根，将其与因式x-a相乘，再进行多项式乘法展开，最终得到因式分解形式。
三、三次方程的因式分解步骤（300字）1. 寻找一个根：可以通过观察、代入法、综合余式定理等方法找到一个根。
2. 将根与因式相乘：将根x-a与三次方程相乘，即将三次方程中的每一项乘以x-a。
3. 展开多项式：将乘法展开后的多项式进行整理，得到一个新的多项式。
4. 重复上述步骤：重复进行步骤1-3，直到无法找到更多根为止。
5. 整理因式：将所有的因式相乘并整理，得到最终的因式分解的形式。
四、三次方程的因式分解实例分析（500字）我们通过一个具体的例子来进一步理解三次方程的因式分解。
例题：求解方程x^3-6x^2+11x-6=0步骤一：寻找一个根我们可以通过观察法发现，当x=1时，方程的值为0，即x=1是方程的一个根。
步骤二：将根与因式相乘将方程中的每一项乘以x-1，即得到：(x-1)(x^3-6x^2+11x-6)=0步骤三：展开多项式进行多项式乘法展开，得到：x^4-7x^3+12x^2-5x-6=0步骤四：重复上述步骤我们可以发现，x=1不再是新方程的根。
因式分解法解方程
在数学中，因式分解法是解方程的常用方法之一。本章将介绍方程的基本概 念，然后重点讲解一次和二次因式分解法，以及解方程的步骤和示例。
方程的定义和基本概念
了解方程的定义和基本概念是解方程过程中的第一步。方程是等式，其中包 含未知数的表达式和已知数的常量，通过求解方程，我们可以找到未知数的 值。
因式分解法的介绍
因式分解法是一种将多项式分解成更简单的因式的方法。通过因式分解，我 们可以更容易地解决复杂的方程。
一次因式分解法
一次因式分解法适用于一次方程，即未知数的最高次数为1的方程。通过因式分解，我们可以将方 程转化为一个或多个一次因式相乘的形式，从而求解方程。
二次因式分解法
二次因式分解法适用于二次方程，即未知数的最高次数为2的方程。通过因式分解，我们可以将方 程转化为一个或多个二次因式相和示例
解方程的一般步骤包括观察方程、因式分解、列方程、求解方程和检验解。通过一些示例，我们 可以更好地理解和掌握解方程的方法。
通过因式分解法解方程的练习题
通过一些练习题，我们可以巩固和应用因式分解法解方程的知识。挑战自己，提升解题能力。
总结和要点
通过本章的学习，我们了解了方程的基本概念和因式分解法的重要性。掌握解方程的方法可以帮 助我们解决实际问题和提升数学能力。
二次方程的解法与因式分解
二次方程的解法与因式分解二次方程是高中数学中的重要概念，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
本文将探讨二次方程的解法和因式分解，帮助读者更好地理解和应用这一知识。
一、二次方程的解法二次方程一般的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知实数，且a≠0。
解二次方程的方法有三种：因式分解法、配方法和求根公式法。
1. 因式分解法当二次方程可以因式分解时，我们可以通过因式分解法来求解。
例如，对于二次方程x^2+5x+6=0，我们可以将其因式分解为(x+2)(x+3)=0，然后令每个因式等于零，得到x=-2和x=-3，这就是方程的解。
2. 配方法当二次方程无法直接因式分解时，我们可以使用配方法来求解。
配方法的基本思想是通过添加和减去适当的常数，将二次方程变形为一个完全平方的形式。
例如，对于二次方程x^2+6x+8=0，我们可以通过添加和减去4来完成配方，得到(x+2)^2-4=0，然后化简得到(x+2-2)(x+2+2)=0，即(x+1)(x+3)=0，解得x=-1和x=-3。
3. 求根公式法当二次方程无法因式分解且无法使用配方法时，我们可以使用求根公式法来求解。
求根公式法是利用二次方程的根与系数之间的关系，通过求解一元二次方程的根来得到二次方程的解。
二次方程的求根公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
例如，对于二次方程x^2+2x-3=0，我们可以根据求根公式计算得到x=1和x=-3。
二、二次方程的因式分解除了用于求解二次方程，因式分解也是二次方程的重要应用之一。
通过因式分解，我们可以将复杂的二次方程化简为简单的乘法形式，从而更容易进行计算和分析。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，如果其可以因式分解为(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)=0，其中a_1、a_2、b_1、b_2为已知实数，那么方程的解为x=-b_1/a_1和x=-b_2/a_2。
因此，通过因式分解，我们可以直接得到方程的解。
一元二次方程的解法5-因式分解法
P42
T5
解得
x1 1 , x2 3 . 5 2
（3）（35-2x)² -900=0 解 （3）原方程可化为（35-2X）² -30² =0 把方程左边因式分解，得
(35-2X+30)(35-2X-30)=0
因此得 65-2X=0或 5-2X=0
解得 x1=32.5 ，x2= 2.5.
小提示
从例1至例4看到，解一元二次方程的 基本方法之一是因式分解法，即通过移项 使方程右边为0，然后把左边分解成两个 一次因式的乘积，从而转化成一元一次方 程，进行求解．
.
移项，得(x-1)(x+2)-2(x+2)=0. ∴(x+2)(x-3)=0, ∴ x+2=0 或 x-3=0. ∴ x1=-2，x2=3.
中考 试题
2
3 方程 x -4x = 0 的解是 x1=0，x2=-2，x3=2 .
解
原方程变形为x(x2-4)=0, 即 x(x+2)(x-2)=0, ∴ x=0 或 x+2=0或x-2=0， ∴ x1=0，x2=-2，x3=2.
（1） x(x-5)=3x 解:
原方程可以写成 x(x-5)-3x = 0.
把方程左边因式分解，得 x(x-5-3)= 0. 由此得出 x =0 或 x-5-3 = 0. 解得 x1=0 ，x2= 8.
（2） 2x(5x-1)=3(5x-1) 解: 原方程可以写成 2x(5x-1)-3(5x-1)= 0. 把方程左边因式分解，得 (5x-1)(2x-3)= 0. 由此得出 5x-1 = 0 或 2x-3 = 0.
2
2.解下列方程：
（1）2x(x-1)= 1-x；
（2）5x(x+2) = 4x+8.
用因式分解法解一元二次方程练习题
用因式分解法解一元二次方程练习题一、因式分解和解方程首先，我们来解一元二次方程。
对于$x^2-5x=0$，我们可以将其因式分解为$x(x-5)=0$，得到$x=0$或$x=5$。
对于$3x^2=6x$，我们可以将其化简为$3x(x-2)=0$，得到$x=0$或$x=2$。
对于$x^2+12x=(1+2)x^2-(1-2)x$，我们可以将其写成$(1+2)x^2-(1-2)x=0$，然后再因式分解为$x(3-x)=0$，得到$x=0$或$x=3$。
对于$(2t+3)^2=3(2t+3)$，我们可以将其化简为$(2t+3)(2t+3-3)=0$，得到$t=-\frac{3}{2}$或$t=0$。
二、平方差和解方程对于$(x+5)(x-5)=0$，我们可以得到$x=-5$或$x=5$。
对于$4x^2-1=(x-2)^2=256$，我们可以将其化简为$(x-2)^2=17^2$，得到$x=15$或$x=-13$。
三、十字交叉和解方程对于$x^2-4x-21=(x-7)(x+3)=0$，我们可以得到$x=7$或$x=-3$。
对于$5x^2-(5^2+1)x+10=(5x-1)(x-2)=0$，我们可以得到$x=\frac{1}{5}$或$x=2$。
四、完全平方和解方程对于$x^2-6x+9=(x-3)^2=0$，我们可以得到$x=3$。
对于$4x^2-4x+1=(2x-1)^2=0$，我们可以得到$x=\frac{1}{2}$。
五、三角形周长根据题意，我们需要求出方程$x^2-14x+48=0$的两个根，并将其代入周长公式$2x+10$中。
将方程因式分解为$(x-6)(x-8)=0$，得到$x=6$或$x=8$。
因此，三角形的周长为$2\times6+10=22$或$2\times8+10=26$。
六、解关于$x$的方程对于$x^2-2mx-8m^2=(x-2m)(x+4m)=0$，我们可以得到$x=2m$或$x=-4m$。
因式分解法解方程
因式分解法解方程1. 引言在数学中，方程是一个数学等式，其中包含未知数和已知数之间的关系。
解方程是求出使得等式成立的未知数的值。
因式分解法是一种常用的解方程方法，它通过将方程中的多项式进行因式分解，从而简化求解过程。
本文将详细介绍因式分解法解方程的基本概念、步骤和示例，并提供一些常见问题的解答。
2. 基本概念在讨论因式分解法解方程之前，我们先来了解一些基本概念。
2.1 方程与多项式方程（equation）是一个等式，其中包含未知数和已知数之间的关系。
通常用字母表示未知数。
多项式（polynomial）是由若干个单项式相加或相减得到的代数表达式。
例如，2x2+3x−5就是一个二次多项式。
2.2 因子与因式因子（factor）是能整除一个数字或代数表达式的数字或代数表达式。
例如，在6中，1,2,3,6都是它的因子；在x2+x中，x是它的因子。
因式（factor）是能整除一个多项式的多项式。
例如，在2x2+3x−5中，2,x+1,x−5都是它的因式。
3. 因式分解法解方程的步骤接下来，我们将介绍因式分解法解方程的基本步骤。
步骤1：将方程转化为多项式形式首先，将所给的方程转化为多项式形式。
确保方程中只包含一个未知数，并将未知数的次数按照降序排列。
例如，对于方程2x2+3x−5=0，已经是多项式形式了。
步骤2：因式分解多项式接下来，我们要对多项式进行因式分解。
通过找到多项式的因子和因子间的关系，将多项式分解为更简单的乘积形式。
例如，在2x2+3x−5中，我们可以发现2x2的因子是2x，而−5的因子是−1,5。
根据乘法运算法则可知：(2x2+3x−5)=(ax+b)(cx+d)其中a,b,c,d是待确定的常数。
步骤3：确定常数的值现在，我们需要确定常数a,b,c,d的值。
这可以通过展开右侧的乘积并与原多项式进行比较来实现。
例如，在(ax+b)(cx+d)中展开并与2x2+3x−5进行比较，我们可以得到以下等式：$$ ac = 2 \\ ad + bc = 3 \\ bd = -5 $$通过解这个方程组，可以求解出a,b,c,d的值。
数学人教版九年级上册因式分解法解方程
§21..2.3 《一元二次方程的解法—因式分解法》教学设计一、内容和内容解析 1．内容用因式分解法解某些一元二次方程。
2.内容解析数学中，一般都要在研究一般情况后，再看看有什么特殊情况。
考察“特例“是数学研究的基本套路。
在学习了配方法与公式法这两种适用于解任何的一元二次方程的解法后，学生自然会思考，除了配方法或公式法，能否找到更简单的方法解方程呢？课本通过一个实际问题得到了方程09.4102=-x x ,这个学生很容易想到，这个方程不需要通过配方、开平方降次，只要通过因式分解，将方程化为0)9.410(=-x x ，就能实现降次，然后再进行归纳，得出针对某些方程的简便解法—因式分解法。
实际上，这是一个“从一般到特殊”的过程，针对某些特殊形式的一元二次方程的特殊解法。
为了让学生获得解一元二次方程的方法，教学中应加强类比、从特殊到一般等思想方法的引导。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：理解因式分解法的基本思想，会用因式分解法解一元二次方程．二、目标和目标解析 1.目标1．会用因式分解法解某些一元二次方程．2．能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的各种解法求方程的根．3．在探究用因式分解法解一元二次方程的过程中，进一步体会降次与化归思想。
2.目标解析达成目标（1）的标志是：知道方程的一般形式能因式分解成A ﹒B=0，能通过降次，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。
达成目标（2）的标志是：能明确各种解法的来源、特点，在面对具体问题时，要根据方程的特点作出恰当的选择。
达成目标（3）的标志是：能将方程一边化为0，另一边分解为两个一次因式的乘积，分别令每个因式等于0，就将一元二次方程化归为两个一次方程。
三、教学问题诊断分析学生在之前的学习中，已经掌握了直接开平方法、配方法、公式法解一元二次方程，并且掌握了因式分解的几种基本方法，在适当的复习因式分解的方法后，学生应能快速地掌握简单因式分解解方程的方法，但是对于较复杂的因式分解，学生还是较难掌握；并且对于一个一元二次方程，用哪种方法来解才是最简便，学生在这方面也会比较糊涂，因此，观察具体的方程结构与特点，选择最简便的解法也是学生的一个难点。
因式分解法解方程
基础练习题
总结词
掌握基本概念
详细描述
通过简单的因式分解法练习，如x^2 - 4 = 0， 熟悉因式分解的基本步述
通过练习，熟悉因式分解的基本步骤，如提取公因 式、分组、应用差平方公式等。
提高速度和准确性
总结词
详细描述
通过大量的基础练习，提高因式分解的速度和准确性， 为解决更复杂的方程打下基础。
进阶练习题
总结词
应用进阶技巧
总结词
解决实际问题
详细描述
在基础练习的基础上，尝试更复杂的因式分 解，如x^4 - 16，需要应用平方差公式和完 全平方公式。
详细描述
通过解决实际问题，如几何问题、代数问 题等，将因式分解法应用于实际情境中， 提高解决实际问题的能力。
综合练习题
总结词
综合运用知识
详细描述
04 因式分解法的扩展应用
二次方程的因式分解法
总结词
通过因式分解简化求解过程
详细描述
对于形如 ax^2+bx+c=0 的二次方程，可以通过因式分解将其转化为两个一次方程，从而简化求解过程。 例如，对于方程 2x^2-3x+1=0，可以分解为 (2x-1)(x-1)=0，从而得出解 x=1/2 和 x=1。
复杂多项式的因式分解
总结词
复杂多项式的因式分解需要运用更多的技巧和规则，如十字相乘法、差平方公 式等，以将多项式化为整式的积。
详细描述
对于形如 $x^2 - 2x - 3$ 的多项式，可以使用十字相乘法，找到两个数 $a$ 和 $b$，满足 $a + b = -2$ 且 $ab = -3$，即 $-3$ 和 $-1$，得到 $(x - 3)(x + 1)$。差平方公式也可以用于因式分解，如 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$。
因式分解在解方程中的应用
因式分解在解方程中的应用因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用数学运算之中，在数学求根作图、一元二次方程方面也有很广泛的应用。
是解决许多数学问题的有力工具。
把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解。
因式分解方法灵活，技巧性强。
学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养解题技能、发展思维能力都有着十分独特的作用。
学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高综合分析和解决问题的能力。
因式分解作为重要恒等变形方式，我们初中学生学习起来是很困难的，虽然初中所接触的只是因式分解很简单的一部分，确是中学生必须掌握的、熟练运用的重要知识点，只有掌握了它，才能在解决其他数学问题，特别是解方程这一知识环节上有长足的进步。
归纳起来因式分解的方法很多，我们初中经常用的方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、拆项补项法、配方法等。
对于用因式分解的方法解一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。
现就我们在学习过程中所遇到的用因式分解解方程的具体问题做以阐述，以便同学在今后的学习过程中借鉴。
一、用提取公因式法解方程如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。
在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。
当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。
我们在解题过程中不仅应该尽量运用相对简单的解题方法还应该注意不可马虎大意，不能养成不细心的习惯，不能因为一次没有找到最简单的方法，就产生了不想继续下去的念头。
还有，在去括号，移项过程中一定要注意每一项，和每一项系数的符号的变化，只有这样才能形成良好的做题习惯，在以后的解题过程中少出现过失。
解一元二次方程--因式分解法
(2x +1)(2x −1) = 0.
4x2 −1 = 0,
例4、用分解因式法解方程 、用分解因式法解方程: (1)5x (2)x-2=x(x(1)5x2=4x; (2)x-2=x(x-2);
(1)解: 5x − 4x = 0,
2
∴x = 0,或 x − 4 = 0. 5
4 ∴x1 = 0; x2 = . 5
问题1 问题
你学过哪几种解一元二次方程的方法? 你学过哪几种解一元二次方程的方法 解一元二次方程的方法 (1)直接开平方法 x2=a (a≥0) 直接开平方法: 直接开平方法 (2)配方法 配方法: 配方法
(x+h)2=k (k≥0)
2
−b ± b − 4ac 2 (3)公式法 x = 公式法: 公式法 . b − 4ac ≥ 0 . 2a
(
)
问题2、什么叫分解因式 什么叫分解因式? 什么叫分解因式
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式. 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式 整式乘积的形式叫做分解因式
问题3、分解因式的方法有那些 的方法有那些? 问题 、分解因式的方法有那些 （1）提取公因式法: ）提取公因式法 am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法 ）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2. ± x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
提示: 提示: 1.用分解因式法的条件是 方程左边易于分解, 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 关键是熟练掌握因式分解的知识 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 理论依旧是 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零, 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至 少有一个因式等于零. 少有一个因式等于零.”
一元三次方程解法因式分解法
一元三次方程解法因式分解法
（详细介绍）
因式分解法：
当一元三次方程具有特殊因式时，可以通过因式分解将方程化简为一个已知的二次方程，从而求得方程的根。
例如，当ax3+bx2+cx+d=0具有形如（x-x1）的因式时，可利用因式（x-x1）进行除法运算，将原来的方程化成二次方程。
【知识拓展】
1.公式法
一元三次方程有一个特殊的求根公式——卡尔达诺公式。
这个公式较为繁琐，但可以解决一切一元三次方程的求根问题。
卡尔达诺公式包括两种情况，分别对应着一元三次方程无重根和有一组重根的情况。
2.代入法
通过假定x的值和辅助等式进行求解。
设y=ax3+bx2+cx+d，将y带入方程中后化成二次或一次方程，再通过公式或其他方法求得x 的值。
3.图形法
一元三次函数是一条连续的曲线，通过画出它的图像，并观察其在区间内是否存在零点。
如果图像将x轴穿过并切线方向向下，则说明对应的区间内有唯一的一个实数根；如果图像穿过x轴并切线方向向上，则说明对应的区间内没有实数根；否则，在该区间内存在不止一个实数根。
根据图像大致位置估计出根的范围，再通过二分法、牛顿迭代法等数值方法精细计算根的值。
高次方程的解法和因式分解
高次方程的解法和因式分解高次方程是指次数大于等于2的方程。
解高次方程的方法有多种，其中两种常见的方法是因式分解和求根公式。
一、因式分解因式分解是将一个多项式拆分成多个乘积的过程。
对于高次方程，如果能够将其因式分解，就可以得到方程的解。
下面以一元高次方程为例进行讲解。
1. 确定方程的次数首先，我们需要确定方程的次数。
例如，对于一个二次方程，其形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数。
2. 判断是否可因式分解接下来，我们需要判断方程是否可以因式分解。
对于低次方程（次数小于等于4），可以通过观察系数是否有共同因子或使用配方法进行因式分解。
对于高次方程，则可能需要使用其他方法求解。
3. 使用求根公式如果方程无法直接因式分解，我们可以通过求根公式来解方程。
对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中，±表示取正负两个解。
对于三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，求根公式比较复杂，可以通过将方程转化为标准形式（取代变量）后，再使用求根公式求解。
对于四次方程ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其求根公式比较繁琐，可以通过先将方程转化为标准形式，再使用求根公式求解。
4. 通过因式分解求解高次方程对于高次方程，如果无法直接使用求根公式求解，我们可以尝试通过因式分解将方程拆解成低次方程。
例如，对于二次方程，我们可以将其因式分解为(x - p)(x - q) = 0的形式，从而得到解x = p和x = q。
二、求根公式求根公式是一种通过特定的公式来求解高次方程的方法。
在前面的讲解中，已经提到了二次方程、三次方程和四次方程的求根公式。
对于高次方程，一般情况下，没有通用的求根公式。
因此，对于高次方程，我们需要根据具体的情况，根据该方程的特点和形式来选择适合的求解方法。
二次函数的因式分解和解方程
二次函数的因式分解和解方程二次函数是一种形式为y=ax²+bx+c的函数，其中a、b和c都是实数且a≠0。
在数学中，因式分解和解方程是处理二次函数的重要方法。
通过因式分解可以将二次函数表示为两个一次函数的乘积形式，而解方程则是求解二次函数关于自变量的值，使得函数等于某个给定值。
一、二次函数的因式分解在开始讨论因式分解之前，我们先来了解一下关于二次函数的标准形式与一般形式。
标准形式：y=a(x-h)²+k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标，如果a>0，则抛物线向上开口；如果a<0，则抛物线向下开口。
一般形式：y=ax²+bx+c，其中a、b、c为实数且a≠0。
为了将二次函数进行因式分解，我们需要找到其两个因式。
在进行因式分解时需要注意以下几个步骤：1. 首先，我们可以尝试使用配方法对一般形式的二次函数进行因式分解。
配方法的原理是将一般形式的二次函数转换为完全平方的形式，即使用常数项b的一半的平方来完成配方法。
具体而言，我们可以将一般形式的二次函数表示为(x+p)²=q的形式，其中p为常数。
2. 大多数情况下，我们可以使用代入法来求解pq。
代入法的原理是令y=0，并将x代入方程求解p和q的值。
通过找到p和q的值，我们可以将二次函数表示为两个一次函数的乘积形式，即因式分解完成。
举例说明：考虑一般形式的二次函数y=2x²+7x+3。
1. 我们首先使用配方法，将二次函数转换为完全平方的形式。
(x+p)²=q2x²+7x+3 = (x+p)² = x²+2px+p²即2x²+7x+3 = x²+2px+p²2. 接下来，我们使用代入法解方程pq。
比较系数可得：2p=7，p²=3由2p=7，解得p=7/2代入p²=3，解得q=1/23. 得到p和q的值后，我们可以将二次函数表示为两个一次函数的乘积形式。
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解方程与因式分解一、 因式分解的过程就是方程求根的过程：1. )())(())((2112210111m m k n n n n n d x c x d x c x b x b x b x a a x a x a x a ++++---=++++-- 其中：k n m -=2。
2. 则当00111=++++--a x a x a x a n n n n 时，0)())(())((211221=++++---m m k n d x c x d x c x b x b x b x a 。
因式分解其本质就是求根的过程，或者说求根的过程就是因式分解的过程。
3. 代数式子的除法。
二、 7个常用的公式及其理解1. ))((22b a b a b a -+=-2. 222)(2b a b ab a ±=+±3. ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++4. ))((2233b ab a b a b a ++-=-5. ))((2233b ab a b a b a +-+=+6. 3223333)(b ab b a a b a -+-=-7. 3223333)(b ab b a a b a +++=+8. 上述公式中的b a ,不仅仅表示b a ,这个字母，而是表示两个整体。
三、 十字相乘的理解：配平各项系数之间的关系。
不限于一元二次方程。
基本题型解法及易错点一、 一元二次1. 十字相乘法：1） 一定要注意系数的正负；2） 相乘和相加的匹配；3） 可以是根号相乘。
2. 配方法：1） 熟练掌握平方和差的公式；2） 开方有正负。
3. 公式法：1） 本质就是配方法；2） ∆的运算4. 猜根+韦达定理相结合：优先推荐！二、 一元三次1. 添、拆项：1） 技巧性较强；熟练掌握立方和差公式；2） 寻找公因式。
2. 猜根+整除1） 21±±，常见；2） 整除降次；3） 立方和差公式。
三、 多元1. 十字相乘法2. 分组分解3. 猜根+整除例题讲解一、 一元二次：例题1：分解因式：4232+-x x解法1：十字相乘：22211⨯：)22)(2(4232++=+-x x x x 解法2：配方法：令04232=+-x x ，则21429)29(223242322=-=+⨯⨯-=+-x x x x 21)223(2=-x 即22223±=-x ，所以22=x 或2=x )22)(2(4232--=+-x x x x解法3：令04232=+-x x ，则2223244)23(232±=⨯-±=x 22=x 或2=x 即：)22)(2(4232--=+-x x x x解法4：由系数关系知2=x 是04232=+-x x 方程的根，又因为：2321=+x x ，所以：222=x 即：)22)(2(4232--=+-x x x x1. 分解下列各因式：1） 2452-+x x2） 1492++x x3） 7522-+x x4） 23222-+x x 2. 分解下列各因式：1） 252+-x x2） 3722+-x x3） 2932+--x x例题2：因式分解：4)63)(33(22-----x x x x解：把x x 32-看成一个整体： 4)63)(33(22-----x x x x =14)3(9)3(222+---x x x x =)73)(23(22----x x x x即：4)63)(33(22-----x x x x =)2373)(2373)(2173)(2173(--+---+-x x x x 3. 分解下列各因式1） 4)2(5)2(222++-+x x x x2） 24)45)(25(22-+-+-x x x x例3：化简：324- 解：222)13(312])3(1[3124324-=⨯⨯-+=⨯⨯-=-； 所以：324-13-=4. 化简下列各式：1） 348+2） 549-3） 2812+4） )1(2122>-+x x x 二、 一元三次：例题1：证明：))((2233b ab a b a b a ++-=-证明：当b a =时，033=-b a ，所以)(b a -是33b a -的一个因式。
2233)(b ab a b a b a ++--，所以))((2233b ab a b a b a ++-=-例题2：证明：))((2233b ab a b a b a +-+=+证明：由例1，3333)(b a b a --=+，则))((2233b ab a b a b a +-+=+1. 分解下列因式1） 83-x2） 38125.0b +3） 327a --2. 计算)1)(1)(1)(1(22+-++-+x x x x x x例题3：因式分解：233+-x x 解法一：233+-x x =)2)(1()1(232223--+-=+-+-x x x x x x x x =)2)(1(2-+-x x x = )2()1(2--x x 。
添了2x解法二：233+-x x =)2)(1()1(2)1)(1(2223-+-=--+-=+--x x x x x x x x x x = )2()1(2--x x 。
把x 3-拆成x x 2--解法三：由系数关系可知1=x 是方程0233=+-x x 的一个方根，则 223)1(23-++--x x x x x ，则233+-x x =)2)(1(2-+-x x x =)2()1(2--x x 。
3. 分解下列因式1） 4323+-x x2） 103323+--x x x3） 1643++x x 三、 多元例题1：因式分解：34381a b b -解法一：提取公因式：)93)(3(3)27(3813223343b ab a b a b b a b b b a ++-=-=- 解法二：由题意可知b a 3=是081343=-b b a 的一个根，则 322432793813)3(b ab b a b b a b a ++--即：)2793)(3(81332243b ab b a b a b b a ++-=-，所以 )93)(3(38132243b ab a b a b b b a ++-=-1. 因式分解下列式子1） bx by ay ax -+-3932） 45ab a -3） 2233ay ax y x -+-例题2：因式分解2223y xy x +- 解法一：由题意可知y x =是02322=+-y xy x 的一个根，则 yx y xy x y x 223)(22-+--，则2223y xy x +-=)2)((y x y x --解法二：令02322=+-y xy x ，则 0)2)(()2)(1(02)(3)(2=--=--==+-y x y x yx y x y x y x 所以：2223y xy x +-=)2)((y x y x -- 解法三：十字相乘：2111--⨯，所以2223y xy x +-=)2)((y x y x -- 解法四：2223y xy x +-=)2)(()(2)(2222y x y x y x y y x x y xy xy x --=---=+-- 解法五：求根公式2. 分解下列各因式1） 1+--y x xy2） 222062y xy x --3） 22453y xy x -+3. 已知2323,2323-+=+-=y x ，求22353y xy x +-的值。
课后练习1. 若k mx x ++212是一个完全平方式，则k 等于（ ） A. 2m B. 241m C. 231m D. 2161m 2. 分解下列因式1） 24102+-x x2） 15342-+x x3） 1642-+x x4） 8)532)(132(22+++-+x x x x3. 分解下列因式1） 63+-x x2） 432262x x x x ---+3） 3292315x x x +++4） 432564x x x x ----4. 分解下列因式1） 255m n mn m +--2） 333)()()2(c b b a c b a +-+-++3） y x y xy x ++--22324） 4925322-++-+y x y xy x5） 22()()ax by bx ay ++-6） 2222()()ab c d cd a b +++7） ()()()bc b c ca c a ab a b ++--+8） ()()()222a b c b c a c a b -+-+-9） )()(2222b a cd d c ab ---5. 求值：1） 设ac e =，且1>e ，025222=+-a ac c ，求e 的值； 2） 正数y x ,满足xy y x 222=-，求yx y x +-的值； 3） 31,41==b a ，求2222533b ab a ab a -+-的值； 4） 若05422=-+y xy x ，求22223y x y xy x +++的值。
6. 证明：1)127)(23(22++-+-x x x x 为非负数。
7. 已知21=-x x ，求331xx -的值 8. 解方程：01)1(3)1(222=-+-+xx x x 9. 已知1=+y x ，求xy y x 333++的值。
10. 已知3=++c b a ，3=++ac bc ab ，求222c b a ++的值。
11. 对任意实数c b a ,,，证明：ac bc ab c b a ++≥++222 12. 计算)1011)(911()311)(211(2232---- 的值。