高中数学抛物线知识点

1. 抛物线定义：

平面内与一个定点和一条直线

的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点

叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点

不在定直线上。

2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数

的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：

其中为抛物线上任一点。

3. 对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。

4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于

，直线

与的斜率分别为，直线

的倾斜角为，则有

，

，，，

，

，。

抛物线部分是每年高考必考内容，考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质，多出现在选择题和填空题中，主要考查基础知识、基础技能、基本方法，分值大约是５分。

考查通常分为四个层次：

层次一：考查抛物线定义的应用；

层次二：考查抛物线标准方程的求法；

层次三：考查抛物线的几何性质的应用；

层次四：考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。

解决问题的基本方法和途径：待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。

【典型例题分析】

例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长等于，求此抛物线的方程。

解析：设所求抛物线的方程为或

设交点（y

>0）

1

则，∴，代入得

∴点在上，在上

∴或，∴

故所求抛物线方程为或。

例2. 设抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且∥轴，证明直线经过原点。

解析：由题意知抛物线的焦点

故可设过焦点的直线的方程为

由，消去得

设，则

∵∥轴，且在准线上∴点坐标为

于是直线的方程为

要证明经过原点，只需证明，即证

注意到知上式成立，故直线经过原点。

例3. （2006江西）设为坐标原点，为抛物线的焦点，为抛物线上一点，若，则点的坐标为（）

A. B. C. D.

答案：Ｂ解析：解法一：设点坐标为，则

，解得或（舍），代入抛物线可得点的坐标为。

解法二：由题意设，则，即，，求得，∴点的坐标为。

例4. （2006安徽）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（）（本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系）

A. －2

B. 2

C. －4 Ｄ. 4

答案：D 解析：椭圆的右焦点为，所以抛物线

的焦点为，则。