浙江省高三数学一轮复习基本初等函数单元训练

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浙江专用2022高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第1讲函数及其表示学案(含答案)

高考数学一轮复习学案：第1讲函数及其表示知识点最新考纲函数及其表示了解函数、映射的概念．了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.函数的基本性质理解函数的单调性、奇偶性，会判断函数的单调性、奇偶性．理解函数的最大(小)值的含义，会求简单函数的最大(小)值. 指数函数了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用. 对数函数理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式．理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用. 幂函数了解幂函数的概念．掌握幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 12的图象和性质.函数与方程了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.函数模型及其应用了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征．能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.第1讲函数及其表示1．函数的概念 (1)函数的定义①A ，B 是两个非空数集．②对于A 中任意一元素x ，B 中都有唯一确定的元素y 与之对应． (2)定义域：x 的取值范围A . (3)值域：函数值的集合． 2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)函数的表示法表示函数的常用方法：解析法、图象法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．特别提醒1．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致． 2．直线x ＝a (a 是常数)与函数y ＝f (x )的图象有0个或1个交点．常见误区1．函数定义域是研究函数的基础依据，必须坚持定义域优先的原则，明确自变量的取值范围．2．分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．[思考辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是相等函数．( )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ) (3)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点．( ) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× [诊断自测]1．已知函数f (x )＝log a (3－x )x －2，则函数f (x )的定义域为( )A ．(－∞，3)B ．(－∞，2)∪(2，3]C ．(－∞，2)∪(2，3)D ．(3，＋∞)解析：选C ．要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <3，x ≠2，即x <3且x ≠2，即函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，3)，故选C ．2．下列图形中可以表示为以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )解析：选C ．A 项，函数定义域为M ，但值域不是N ；B 项，函数定义域不是M ，值域为N ；D 项，集合M 中存在x 与集合N 中的两个y 对应，不能构成函数关系．故选C 项．3．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 不是函数的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x .解析：对于③，因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，所以③不是函数．答案：③4．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．答案：x 2－1(x ≥0)函数的定义域(自主练透) 1．函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为( )A ．(2，＋∞)B ．(1，2)C ．(0，2)D ．[1，2]解析：选B ．要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2x －x 2>0，解得1<x <2.所以函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为(1，2)．2．若函数f (x )的定义域为[0，6]，则函数f (2x )x －3的定义域为( ) A ．(0，3) B ．[1，3)∪(3，8] C ．[1，3)D ．[0，3)解析：选D ．因为函数f (x )的定义域为[0，6]，所以0≤2x ≤6，解得0≤x ≤3.又因为x －3≠0，所以函数f (2x )x －3的定义域为[0，3)．3．如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选D ．因为－2x ＋a >0，所以x <a 2，所以a2＝1，所以a ＝2.4．若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0对x ∈R 恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上可得0≤m ≤4. 答案：[0，4]求函数定义域的两种方法方法解读适合题型直接法构造使解析式有意义的不等式(组)求解已知函数的具体表达式，求f (x )的定义域转移法若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域[提醒] 定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．函数的解析式(师生共研)(1)已知函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为________．(2)若f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，则f (x )的解析式为________．(3)已知函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝2x ，则f (x )的解析式为________．【解析】 (1)(换元法)令2x＋1＝t ，得x ＝2t －1，因为x ＞0，所以t ＞1，所以f (t )＝lg2t －1(t >1)，即f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． (2)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝c ＝3，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋3. (3)(解方程组法)因为2f (x )＋f (－x )＝2x ，① 将x 换成－x 得2f (－x )＋f (x )＝－2x ，② 由①②消去f (－x )，得3f (x )＝6x ，所以f (x )＝2x . 【答案】 (1)f (x )＝lg2x －1(x ＞1) (2)f (x )＝x 2－x ＋3 (3)f (x )＝2x求函数解析式的4种方法1．(一题多解)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，则f (x )＝________．解析：方法一(换元法)：令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．方法二(配凑法)：因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．方法三(待定系数法)：因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．答案：x 2－5x ＋9(x ∈R )2．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实数根，且f ′(x )＝2x ＋2；求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ＋c .又因为方程f (x )＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝4－4c ＝0，解得c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.分段函数(多维探究) 角度一求分段函数的函数值已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ≤0，log a x ，x >0.若f (0)＋f (2)＝0，则a ＝________，f (f (12))＝________．【解析】易知f (0)＝－1.因为f (0)＋f (2)＝0，所以f (2)＝1，即log a 2＝1，得a ＝2.所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ≤0，log 2x ，x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (－1)＝1－1－1＝－12.【答案】 2 －12分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应由内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．角度二分段函数与方程、不等式问题(1)(一题多解)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，x 2－4x ＋3，x >1，则f (x )<f (x ＋1)的解集是________．【解析】 (1)方法一：当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，所以f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2a ，所以a ＝14.此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1＞1，所以f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝6，故选C ．方法二：因为当0＜x ＜1时，f (x )＝x ，为增函数，当x ≥1时，f (x )＝2(x －1)，为增函数，又f (a )＝f (a ＋1)，所以a ＝2(a ＋1－1)，所以a ＝14.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝f (4)＝6. (2)当x ≤0时，x ＋1≤1，易知f (x )单调递增，所以f (x )＜f (x ＋1)恒成立；当0＜x ≤1时，1＜x ＋1≤2，所以f (x )∈(1，2]，f (x ＋1)∈[－1，0)，则f (x )＜f (x ＋1)不成立；当x ＞1时，f (x )＜f (x ＋1)可化为x 2－4x ＋3＜(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3，解得x ＞32，所以x ＞32.综上，f (x )＜f (x ＋1)的解集为(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 【答案】 (1)C (2)(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞求解分段函数与方程、不等式问题的方法方法一：解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．方法二：如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x <2，x 2＋ax ，x ≥2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－6，则实数a 的值为________，f (2)＝________．解析：由题意得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×23＋1＝3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f (3)＝9＋3a ＝－6，所以a ＝－5，f (2)＝4－5×2＝－6. 答案：－5 －62．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________．解析：由题意知，若x ≤0，则2x＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12.故所求x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，223．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为________．解析：当a >0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0可化为a 2＋a －3a >0，解得a >2.当a <0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0可化为－a 2－2a <0，解得a <－2.综上所述，a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)函数的新定义问题(师生共研)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数：①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3；③h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；④φ(x )＝ln x .其中是一阶整点函数的是( ) A ．①②③④ B ．①③ C ．①④D ．④【解析】对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D ；对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A ；对于函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B ．故选C ．【答案】 C(1)函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．(2)破解函数的新定义题的关键：紧扣新定义函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f (x )的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．1．若函数f (x )满足：对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有f (x 1)＋f (x 2)>2f (x 1＋x 22)，则称函数f (x )具有H 性质，则下列函数不具有H 性质的是( )A ．f (x )＝(12)xB ．f (x )＝ln xC ．f (x )＝x 2(x ≥0)D ．f (x )＝tan x (0≤x <π2)解析：选B ．若对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有f (x 1)＋f (x 2)＞2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的中点在点⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的上方，示意图如图所示⎝⎛⎭⎪⎫其中a ＝f (x 1)＋f (x 2)2，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.根据基本初等函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，f (x )＝ln x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ＜π2的图象可知，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ＜π2具有H 性质，函数f (x )＝ln x 不具有H 性质，故选B ．2．若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： (1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0； (2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x . 以上三个函数中，________是“优美函数”．(填序号)解析：由条件(1)，得f (x )是R 上的奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调递减函数．对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”．答案：②。

(浙江专用)新高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数 8 第8讲函数与方程高效演练分层突

第8讲函数与方程[基础题组练]1．(2020·某某省名校联考)已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x 1 2 3 4 5 6 y124.433－7424.5－36.7－123.6则函数y ＝f (x )在区间[1，6]上的零点至少有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：选B.依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1，6]上的零点至少有3个．2．(2020·某某十校联考(一))设函数f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.法一：因为f (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2>0，所以f (1)·f (2)<0，因为函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，所以函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的区间，作出两函数的图象如图所示，由图可知，函数f (x )的零点所在的区间为(1，2)．3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x－tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2，若实数x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<t <x 0，则f (t )的值( )A ．大于1B ．大于0C ．小于0D ．不大于0解析：选B.y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x是减函数，y 2＝－tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上也是减函数，可知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x－tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递减．因为0<t <x 0，f (t )>f (x 0)＝0.故选B.5．(2020·某某模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18 C ．－78D ．－38解析：选C.因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－78.故选C.6．(2020·某某市余姚中学期中检测)已知函数f (x )＝|x |x ＋2－kx 2(k ∈R )有四个不同的零点，则实数k 的取值X 围是( )A ．k <0B ．k <1C ．0<k <1D ．k >1 解析：选D.分别画出y ＝|x |x ＋2与y ＝kx 2的图象如图所示，当k <0时，y ＝kx 2的开口向下，此时与y ＝|x |x ＋2只有一个交点，显然不符合题意；当k ＝0时，此时与y ＝|x |x ＋2只有一个交点，显然不符合题意，当k >0，x ≥0时，令f (x )＝|x |x ＋2－kx 2＝0，即kx 3＋2kx 2－x ＝0，即x (kx 2＋2kx －1)＝0，即x ＝0或kx 2＋2kx －1＝0，因为Δ＝4k 2＋4k >0，且－1k<0，所以方程有一正根，一负根，所以当x >0时，方程有唯一解．即当x ≥0时，方程有两个解．当k >0，x <0时，f (x )＝|x |x ＋2－kx 2＝0，即kx 3＋2kx 2＋x ＝0，kx 2＋2kx ＋1＝0，此时必须有两个解才满足题意，所以Δ＝4k 2－4k >0，解得k >1，综上所述k >1.7．(2020·金丽衢十二校高三联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan[π2（x －1）]，0<x ≤1ln x ，x >1，则f (f (e))＝________，函数y ＝f (x )－1的零点为________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan[π2（x －1）]，0<x ≤1ln x ，x >1，所以f (e)＝ln e ＝1，f (f (e))＝f (1)＝tan 0＝0，若0<x ≤1，f (x )＝1⇒tan[π2(x －1)]＝1，方程无解；若x >1，f (x )＝1⇒ln x ＝1⇒x ＝e. 答案：0 e 8．已知函数f (x )＝23x＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________．解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12. 答案：－129．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为________．解析：令g (x )＝0，得f (x )＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2x ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，|log 2x |＝12，解得x ＝－1或x ＝22或x ＝2，故函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2 10．(2020·某某学军中学模拟)已知函数f (x )＝|x 3－4x |＋ax －2恰有2个零点，则实数a 的取值X 围为________．解析：函数f (x )＝|x 3－4x |＋ax －2恰有2个零点即函数y ＝|x 3－4x |与y ＝2－ax 的图象有2个不同的交点．作出函数y ＝|x3－4x |的图象如图，当直线y ＝2－ax 与曲线y ＝－x 3＋4x ，x ∈[0，2]相切时，设切点坐标为(x 0，－x 30＋4x 0)，则切线方程为y －(－x 30＋4x 0)＝(－3x 20＋4)(x －x 0)，且经过点(0，2)，代入解得x 0＝1，此时a ＝－1，由函数图象的对称性可得实数a 的取值X 围为a <－1或a >1.答案：a <－1或a >111．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，某某数a 的取值X 围．解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值X 围是(0，1)．[综合题组练]1．(2020·某某市富阳二中高三质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－2（x ≤0）ln x （x >0），则下列关于函数y ＝f [f (kx )＋1]＋1(k ≠0)的零点个数的判断正确的是( )A ．当k >0时，有3个零点；当k <0时，有4个零点B ．当k >0时，有4个零点；当k <0时，有3个零点C ．无论k 为何值，均有3个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点解析：选C.令f [f (kx )＋1]＋1＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧f （kx ）＋1≤0，e f （kx ）＋1－2＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧f （kx ）＋1>0ln[f （kx ）＋1]＋1＝0，解得f (kx )＋1＝0或f (kx )＋1＝1e ；由f (kx )＋1＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧kx ≤0，e kx －2＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧kx >0ln （kx ）＝－1；即x ＝0或kx ＝1e ；由f (kx )＋1＝1e得，⎩⎪⎨⎪⎧kx ≤0，e kx －2＋1＝1e 或⎩⎪⎨⎪⎧kx >0ln （kx ）＋1＝1e ；即e kx＝1＋1e(无解)或kx ＝e 1e －1；综上所述，x ＝0或kx ＝1e 或kx ＝e 1e －1；故无论k 为何值，均有3个解，故选C.2．(2020·某某市高三教学评估)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R 且a >0)，则“f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0”是“f (x )与f (f (x ))都恰有两个零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由已知a >0，函数f (x )开口向上，f (x )有两个零点，最小值必然小于0，当取得最小值时，x ＝－b2a ，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，令f (x )＝－b2a ，则f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，所以f (f (x ))<0，所以f (f (x ))必有两个零点．同理f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a <0⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0⇒x ＝－b2a ，因为x ＝－b2a 是对称轴，a >0，开口向上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，必有两个零点所以C 选项正确．3．(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)若关于x 的不等式x 2＋|x －a |<2至少有一个正数解，则实数a 的取值X 围是________．解析：不等式为2－x 2>|x －a |，则0<2－x 2.在同一坐标系画出y ＝2－x 2(y ≥0，x ≥0)和y ＝|x |两个函数图象，将绝对值函数y ＝|x |向左移动，当右支经过(0，2)点时，a ＝－2；将绝对值函数y ＝|x |向右移动让左支与抛物线y ＝2－x 2(y ≥0，x ≥0)相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y －0＝－（x －a ）y ＝2－x2，可得x 2－x ＋a －2＝0，再由Δ＝0解得a ＝94.数形结合可得，实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，94. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－2，944．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ），f （x ）≤g （x ），f （x ），f （x ）>g （x ），则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________．解析：由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.答案：5。

浙江专用2022高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第2讲函数的单调性与最值学案(含答案)

高考数学一轮复习学案：第2讲函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 (1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值 M 为最小值常用结论1．函数单调性的两个等价结论设∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，则 (1)f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0)⇔f (x )在D 上单调递增．(2)f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0)⇔f (x )在D 上单调递减．2．函数最值存在的两个结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．常见误区1．求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，脱离定义域研究函数的单调性是常见的错误．2．有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．[思考辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)．( )(3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(4)所有的单调函数都有最值．( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [诊断自测]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1x－xB ．y ＝x 2－x C ．y ＝ln x －xD ．y ＝e x解析：选A ．对于A ，y 1＝1x在区间(0，＋∞)上是减函数，y 2＝x 在区间(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x－x 在区间(0，＋∞)上是减函数；B ，C 选项中的函数在区间(0，＋∞)上均不单调；选项D 中，y ＝e x在区间(0，＋∞)上是增函数．2．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B ．设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在区间(－∞，－1]上单调递减，在区间[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．3．已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为__________．解析：可判断函数f (x )＝2x －1在区间[2，6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min＝f (6)＝25.答案：2 254．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－12.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12确定函数的单调性(区间)(多维探究) 角度一判断或证明函数的单调性试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性．【解】方法一：设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，因为－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．方法二：f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．利用定义法证明或判断函数单调性的步骤[注意] 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等．角度二求函数的单调区间求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．【解】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，单调递减区间为(－1，0]和(1，＋∞)．【迁移探究】 (变条件)若本例函数变为f (x )＝|－x 2＋2x ＋1|，如何求解？解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为[1－2，1]和[1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2]和[1，1＋2]．确定函数的单调区间的方法1．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 可能是( ) A ．(－∞，0)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12C ．[0，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选B ．y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x ≥0－x (1－x )，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0x 2－x ，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，x <0. 画出函数的草图，如图．由图易知原函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上单调递增． 2．下列函数中，不满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0”的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝xC ．y ＝x 2D ．y ＝|x －1|解析：选D ．由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0可知，f (x )在 (0，＋∞)上是增函数．对于A 项，y ＝－1x在(0，＋∞)上单调递增，所以A 项符合题意；对于B 项，y ＝x 在(0，＋∞)上单调递增，所以B 项符合题意；对于C 项，y ＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，所以C 项符合题意；对于D 项，y ＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调，故选D ．3．判断函数f (x )＝2x 2－3x的单调性．解：因为函数f (x )＝2x 2－3x ＝2x －3x，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而函数y ＝2x 和y ＝－3x 在区间(－∞，0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得f (x )＝2x －3x在区间(－∞，0)上为增函数．同理，可得f (x )＝2x －3x在区间(0，＋∞)上也是增函数．故函数f (x )＝2x 2－3x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数．函数的最值(值域)(师生共研)(1)函数y ＝1－x21＋x 2的值域是________．(2)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________．(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，log 2(x －a )，x ≥0.若f (－1)＝f (1)，则实数a ＝________；若y＝f (x )存在最小值，则实数a 的取值范围为________．【解析】 (1)(分离常数法)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，又因为1＋x 2≥1，所以0<21＋x 2≤2，所以－1<－1＋2x 2＋1≤1，所以函数y 的值域为(－1，1]． (2)方法一(换元法)：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1，所以原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0.配方得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34，又因为t ≥0，所以y ≥14＋34＝1，故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.方法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)上为增函数，所以y min ＝1.(3)由f (－1)＝f (1)，得12＝log 2(1－a )，解得a ＝1－ 2.由题意知，函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上也单调递增，且函数f (x )在(－∞，0)上无最小值，所以要使y ＝f (x )存在最小值，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＞0，log 2(－a )≤0，解得－1≤a ＜0，即a 的取值范围为[－1，0)．【答案】 (1)(－1，1] (2)1 (3)1－ 2 [－1，0)求函数最值的五种常用方法[注意] 导数法求最值下章讲解，数形结合求最值见本节方法素养．1．已知1≤x ≤5，则下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝4x ＋1xB ．y ＝x ＋4x ＋1C ．y ＝－x 2＋2x ＋3D ．y ＝5－1x解析：选D ．易知函数y ＝4x ＋1x 在[1，5]上单调递增，所以4x ＋1x≥5，A 不符合题意；因为x ≥1，所以y ＝x ＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1－1≥4－1＝3(当且仅当x ＝1时取等号)，故其最小值不为4，B 不符合题意；y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，其最大值为4(当x ＝1时取得)，最小值是f (5)＝－12，C 不符合题意；因为函数y ＝5－1x在(0，＋∞)上单调递增，所以在区间[1，5]上也是增函数，其最小值为f (1)＝5－11＝4，符合题意．故选D ．2．函数y ＝x 2＋4x 2＋5的最大值为________．解析：令 x 2＋4＝t ，则t ≥2，所以x 2＝t 2－4，所以y ＝t t 2＋1＝1t ＋1t，设h (t )＝t ＋1t，则h (t )在[2，＋∞)上为增函数，所以h (t )min ＝h (2)＝52，所以y ≤152＝25(x ＝0时取等号)．即y 最大值为25.答案：25函数单调性的应用(多维探究) 角度一比较函数值的大小已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c【解析】因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (e)，所以b >a >c . 【答案】 D利用函数的单调性比较函数值大小的方法比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解．角度二解函数不等式已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是________．【解析】因为函数f (x )＝ln x ＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)<2得，f (x 2－4)<f (1)，所以0<x 2－4<1，解得－5<x <－2或2<x < 5.【答案】 (－5，－2)∪(2，5)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．角度三求参数的值(范围)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 【解析】由f (x )是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，0<a <1.(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，所以17≤a <13，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13.【答案】 C利用单调性求参数的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． [注意]分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．1．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析：选D ．因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.故选D ．2．函数y ＝|2x －a |在[－1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，－2] C ．(－∞，1]D ．(－∞，2]解析：选B ．因为函数y ＝|2x －a |的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫a2，＋∞，且函数y ＝|2x －a |在[－1，＋∞)上单调递增，所以[－1，＋∞)⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2，＋∞，所以a2≤－1，解得a ≤－2.故选B ．思想方法系列2 数形结合法求函数的值域或最值(1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <1，－log 2x ，x ≥1，则函数f (x )的值域是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．[0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，2)(2)已知函数f (x )是定义在R 上的增函数，函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，若对任意的x ，y ∈R ，不等式f (x 2－6x ＋21)＋f (y 2－8y )<0恒成立，则当x >3时，x 2＋y 2的取值范围是( )A．(3，7) B．(9，25)C．(13，49) D．(9，49)【解析】(1)分别画出y＝2x(x<1)和y＝－log2x(x≥1)的图象，如图．由图象可知，函数的值域为(－∞，2)．(2)由函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，可知函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，即函数y＝f(x)为奇函数，由f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0，得f(x2－6x＋21)<f(－y2＋8y)，所以x2－6x＋21<－y2＋8y，整理得(x－3)2＋(y－4)2<4，当x>3时，(x－3)2＋(y－4)2<4表示以M(3，4)为圆心，2为半径的右半圆内部，x2＋y2可看作半圆内部上的点到原点的距离的平方，可知当延长OM交半圆于点B时，x2＋y2的值最大，即(32＋42＋2)2＝49，当在点A时x2＋y2的值最小，最小值为32＋22＝13，故x2＋y2的取值范围是(13，49)．【答案】(1)A (2)C(1)数形结合求函数的值域就是将函数与其图象有机地结合起来，利用图形的直观性求函数的值域，其题型特点就是这些函数的解析式具有某种几何意义，如两点的距离公式或直线的斜率等．(2)数形结合求函数值域的原则是先确定函数的定义域，再根据函数的具体形式及运算确定其值域．求函数y＝x2＋4x＋8＋x2－4x＋5的值域．解：y＝(x＋2)2＋4＋(x－2)2＋1＝(x＋2)2＋(0＋2)2＋(x－2)2＋(0－1)2，把函数看成坐标系内的点与点间的距离和，P(x，0)，A(－2，－2)，B(2，1)，即y＝|PA|＋|PB|.通过观察图象，当点P在线段AB上时，y＝|PA|＋|PB|取到最小值，y＝|AB|＝5.所以|PA|＋|PB|≥5，即函数y的值域为[5，＋∞)．11。

(浙江专用)2020版高考数学一轮复习专题2函数概念与基本初等函数Ⅰ第11练对数与对数函数练习(含解析)

第11练对数与对数函数[基础保分练]1.(2019·绍兴一中模拟)函数f (x )＝ln a ＋bxa －bx(a ，b ∈R ，且ab ≠0)的奇偶性( ) A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 有关，但与b 无关 C.与a 无关，但与b 有关D.与a 无关，且与b 无关2.设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A.c >b >a B.b >c >a C.a >c >bD.a >b >c3.(2019·宁波“十校”联考)若a －2>a 2(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝log a (x －1)的图象大致是( )4.(2019·杭州高级中学模拟)已知实数x ，y 满足ln x >ln|y |，则下列关系式中恒成立的是( ) A.1x <1yB.2x >2yC.sin x >sin yD.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 5.若函数f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )6.若函数y ＝a －a x(a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485等于( )A.1B.2C.3D.47.已知函数f (x )＝e x -a＋e -x +a，若3a＝log 3b ＝c ，则( )A.f (a )<f (b )<f (c )B.f (b )<f (c )<f (a )C.f (a )<f (c )<f (b )D.f (c )<f (b )<f (a )8.已知函数f (x )＝2x＋log 2x ，g (x )＝2－x－12log x ，h (x )＝2xlog 2x －1的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a 0，且a ≠1)的图象过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝2x＋b 的图象上，则f (log 23)＝________.10.如图，已知A ，B 是函数f (x )＝log 2(16x )图象上的两点，C 是函数g (x )＝log 2x 图象上的一点，且直线BC 垂直于x 轴，若△ABC 是等腰直角三角形(其中A 为直角顶点)，则点A 的横坐标为________.[能力提升练]1.(2019·衢州二中模拟)已知a >0，b >0，则下列等式不正确的是( ) A.a lg b·b lg a＝1 B.a lg b ＋b lg a ＝2a lg bC.a lg b·b lg a＝(a lg b )2D.a lg b·b lg a＝2lg a b2.已知奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈(0,1)时，函数f (x )＝2x，则f (log 1223)等于( )A.－1623B.1623C.－2316D.23163.已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a 0，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A.(－∞，0]B.(－∞，1]C.[－2,1]D.[－2,0]5.(2019·嘉兴模拟)已知函数f (x )＝log 4(4－|x |)，则f (x )的单调递增区间是________；f (0)＋4f (2)＝________.6.已知不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫20n－m ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫m n ≥0对任意正整数n 恒成立，则实数m 取值范围是________.答案精析基础保分练1.D2.D3.C4.B5.C6.C7.C8.A9.－1 10.23能力提升练 1.A [由log log c c ba ab ＝，则a lg b b lg a ＝(a lg b )2，a lg b ＋b lg a ＝a lg b ＋a lg b ＝2a lg b ，a lg b b lg a ＝(b lg a )2＝b2lg a＝2lg a b ，故选A.]2.C [奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )和f (－x )＝－f (x )，则f (12log 23)＝f (－log 223)＝－f (log 223)＝－f (log 223－4) ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 22316. ∵log 22316∈(0,1)，∴－f ⎝⎛⎭⎪⎫log 22316＝223log 162－＝－2316，故选C.]3.B [由于函数f (x )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当0<a 1，故f (a )＝|lg a |＝－lg a ，f (b )＝|lg b |＝lg b .由f (a )＝f (b )，得－lg a ＝lg b ，即lg(ab )＝0，故ab ＝1，因此2a ＋b ≥22ab ＝22，当且仅当2a ＝b ，即a ＝22，b ＝2时取等号.] 4.D [∵|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，ln x ＋1，x >0，∴由|f (x )|≥ax ，分两种情况：①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ≥ax 恒成立，可得a ≥x －2恒成立，则a ≥(x －2)max ，即a ≥－2，排除选项A ，B.②⎩⎪⎨⎪⎧x >0，ln x ＋1≥ax恒成立，根据函数图象(图略)可知a ≤0.综合①②得－2≤a ≤0.] 5.(－4,0] 3解析因为y ＝log 4u 为单调递增函数，所以当f (x )单调递增时有4－|x |>0，且x <0，所以－4<x <0，所以f (x )的单调递增区间是(－4,0]；f (0)＋4f (2)＝log 44＋4log 24＝1＋2＝3.6.[4,5]解析由题意，20n－m ≥0且ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫m n ≥0，或20n－m ≤0且ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫m n ≤0，∴m ≤20n 且m n ≥1，或m ≥20n且0<mn≤1，∴n ≤m ≤20n ，或20n≤m ≤n ，当n ≤20n 时，要使不等式对任意正整数n 恒成立，需4≤m ≤5，当20n<n 时，要使不等式对任意正整数n 恒成立，需4≤m ≤5，综上，4≤m ≤5.。

浙江省2021届高考数学一轮复习第三章函数概念及基本初等函数Ⅰ加强练三函数性质的综合应用含解析

加强练(三) 函数性质的综合应用一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2020·北京平谷区监控)下列函数中在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y ＝1xB.y ＝ln xC.y ＝sin xD.y ＝2－x解析对于A ，y ＝1x在(0，＋∞)上为减函数，不符合题意；对于B ，y ＝ln x 在区间(0，＋∞)上为增函数，符合题意；对于C ，y ＝sin x 在(0，＋∞)上不是单调函数，不符合题意；对于D ，y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上为减函数，不符合题意.答案 B2.(2020·北京朝阳区一模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜1，－log 2x ，x ≥1，则函数f (x )的值域是( )A.(－∞，2)B.(－∞，2]C.[0，＋∞)D.(－∞，0)∪(0，2)解析画出函数的图像如图所示，由图可知函数的值域为(－∞，2)，故选A.答案 A3.(2019·台州期末评估)设不为1的实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞c ＞0，则( ) A.log c b ＞log a b B.log a b ＞log a c C.b a＞b cD.a b＞c b解析对于A ：当c ＝12，a ＝4，b ＝2时，不等式不成立；对于B ：当0＜a ＜1时，不等式不成立；对于C ：当0＜b ＜1时，不等式不成立；对于D ，不等式两边取自然对数易得D 正确，故选D. 答案 D4.(2019·北京东城区期末)地震里氏震级是地震强度大小的一种度量，地震释放的能量E (单位：焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg E ＝4.8＋1.5M .已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E 1和E 2，则E 1E 2的值所在的区间为( ) A.(1，2) B.(5，6) C.(7，8)D.(15，16)解析 lg E ＝4.8＋1.5M ， ∴lg E 1＝4.8＋1.5×8＝16.8， lg E 2＝4.8＋1.5×7.5＝16.05， ∴E 1＝1016.8，E 2＝1016.05，∴E 1E 2＝100.75，∵100.75＞90.75＝31.5＝3×3＞5，(100.75)4＝1 000，64＝1 296，∴100.75＜6，∴E 1E 2的值所在的区间为(5，6). 答案 B5.(2019·嘉、丽、衢模拟)函数y ＝ln(x ＋x 2＋1)·cos 2x 的图象可能是( )解析设f (x )＝y ＝ln(x ＋x 2＋1)·cos 2x ，则易得函数的定义域为R ，且f (－x )＝ln(－x ＋（－x ）2＋1)·cos 2(－x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋（－x ）2＋1·cos 2x ＝－ln(x ＋x 2＋1)·cos 2x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)·cos 2x 为奇函数，则函数图象关于原点中心对称，排除A ，B ；f ′(x )＝1＋x x 2＋1x ＋x 2＋1·cos 2x －2ln(x ＋x 2＋1)·sin 2x ＝1x 2＋1·cos 2x－2ln(x ＋x 2＋1)·sin 2x ，f ′(0)＝1，即函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)·cos 2x 在原点处的切线的斜率为1，不为0，排除C ，故选D. 答案 D6.(2020·浙江名师预测卷一)已知函数f (x )＝kx ＋b (k ，b ∈R 且k ＞0)与g (x )＝－1|x ＋2|的图象恒有三个不同的交点，则有( ) A.b ＜k ＋2k B.b ＜k －2k C.b ＜2k ＋2kD.b ＜2k －2k解析由题意知方程f (x )＝g (x )有三个相异实根，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－2，kx 2＋（b ＋2k ）x ＋2b ＋1＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－2，kx 2＋（b ＋2k ）x ＋2b －1＝0，令p (x )＝kx 2＋(b ＋2k )x ＋2b ＋1(x ＞－2)，h (x )＝kx 2＋(b＋2k )x ＋2b －1(x ＜－2)，因为h (－2)＜0且k ＞0，所以h (x )在(－∞，－2)上有唯一零点，故p (x )在(－2，＋∞)上有两个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧p （－2）＞0，－b ＋2k2k ＞－2，（b ＋2k ）2－4k （2b ＋1）＞0，则b ＜2k －2k ，故选D. 答案 D7.(2019·全国Ⅲ卷)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－32)>f (2－23) B.f ⎝⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－23)>f (2－32)C.f (2－32)>f (2－23)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314D.f (2－23)>f (2－32)>f ⎝⎛⎭⎪⎫log 314 解析因为f (x )是定义域为R 的偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34). 又因为log 34>1>2－23>2－32>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (log 34)<f (2－23)<f (2－32).故选C.答案 C8.(2018·上海卷)设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数.若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中f (1)的可能取值只能是( )A. 3B.32C.33D.0解析点(1，f (1))在直线x ＝1上，把直线进行旋转可得旋转后的直线，这样进行下去直到回到(1，f (1))点可知f (1)＝32. 答案 B9.(2020·杭州质检)设a ＜0，不等式(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为( ) A.1 B.12 C.13D.14解析当b ＞0时，易得存在x ∈(0，b )，使得3x 2＋a ＜0，而在x ∈(0，b )上，2x ＋b ＞0恒成立，所以此时(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上不可能恒成立；当b ≤0时，令(3x 2＋a )·(2x ＋b )＝0，得x ＝±－a 3或x ＝－b2，在平面直角坐标系内画出函数f (x )＝(3x 2＋a )(2x ＋b )的大致图象，如图所示，由图易得要使(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－－a 3，b ≤0，结合a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－13≤a ＜0，b ≤0，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝0时，b －a 取得最大值(b －a )max ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13，故选C.答案 C10.(2019·全国Ⅱ卷)设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0，1]时，f (x )＝x (x －1).若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，94 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，73C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，83解析当－1<x ≤0时，0<x ＋1≤1，则f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ；当1<x ≤2时，0<x －1≤1，则f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)；当2<x ≤3时，0<x －2≤1，则f (x )＝2f (x －1)＝22f (x －2)＝22(x －2)(x －3)，……由此可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12（x ＋1）x ，－1<x ≤0，x （x －1），0<x ≤1，2（x －1）（x －2），1<x ≤2，22（x －2）（x －3），2<x ≤3，由此作出函数f (x )的图象，如图所示.由图可知当2<x ≤3时，令22(x －2)(x －3)＝－89，整理得(3x －7)(3x －8)＝0，解得x ＝73或x＝83，将这两个值标注在图中.要使对任意x ∈(－∞，m ]都有f (x )≥－89，必有m ≤73，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，73，故选B.答案 B二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11.(2019·北京顺义区二模)“当c ＞1时，能使不等式log a c ＞log b c ”成立的一组正数a ，b 的值依次为________和________.解析当c ＞1时，若a ＞1，则log a c ＞0；若0＜b ＜1，则log b c ＜0，因此可任取a ∈(1，＋∞)，b ∈(0，1)均能使得不等式成立，可取a ＝2，b ＝12.答案 2 12(答案不唯一)12.(2020·浙江名师预测卷一)已知a ＝lg 2，b ＝lg 5，则a ＋b ＝________，10a＋10b＝________.解析 a ＋b ＝lg 2＋lg 5＝1，10a＋10b＝2＋5＝7. 答案 1 713.(2020·金华一中月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝________；若f (x )＝1，则x ＝________.解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln 1e ＝－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f (－1)＝e －1＝1e .若x ≤0，则e x＝1，解得x ＝0；若x ＞0，则ln x ＝1，解得x ＝e.所以使得f (x )＝1成立的x 为0或e. 答案 1e0或e14.(2019·北京丰台区期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋3x ，x ≥a ，2x ，x ＜a .(1)若a ＝0，则函数f (x )的零点有________个；(2)若存在实数m ，使得函数y ＝f (x )＋m 总有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋3x ＝0，x ≥0得x ＝0或x ＝3，因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，2x ＝0无解，所以函数f (x )的零点有2个.(2)设y ＝－x 3＋3x ，则y ′＝－3x 2＋3，由－3x 2＋3＞0，可得y ＝－x 3＋3x 在(－1，1)递增，由－3x 2＋3＜0，可得在(－∞，－1)(1，＋∞)上递减，函数y ＝－x 3＋3x 在x ＝－1有极小值－2，在x ＝1有极大值2，若a ＜－1，画出函数y ＝f (x )的图象，如图，由图可知存在m ，使得y ＝f (x )的图象与y ＝－m 的图象有三个交点，此时f (x )有三个零点；若－1＜a ＜0，画出函数y ＝f (x )的图象，如图，由图可知存在m ，使得y ＝f (x )的图象与y ＝－m 的图象有三个交点，此时f (x )有三个零点；若a ＞0，画出函数y ＝f (x )的图象，如图，由图可知y ＝f (x )的图象与y ＝－m 的图象最多有两个交点，不合题意；若a ＝－1，y ＝f (x )在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，y ＝f (x )的图象与y ＝－m 的图象最多有两个交点，不合题意，综上可得，实数的取值范围是a ＜0且a ≠－1. 答案 (1)2 (2)(－∞，－1)∪(－1，0)15.若关于x 的不等式x 2＋mx －2＞0在区间[1，2]上有解，则实数m 的取值范围为________. 解析关于x 的不等式x 2＋mx －2＞0在区间[1，2]上有解，∴mx ＞2－x 2在x ∈[1，2]上有解，即m ＞2x －x 在x ∈[1，2]上有解，设函数f (x )＝2x－x ，x ∈[1，2]，∴f ′(x )＝－2x2－1＜0恒成立，∴f (x )在x ∈[1，2]上是单调减函数，且f (x )的值域为[－1，1]，要使m ＞2x－x 在x ∈[1，2]上有解，则m ＞－1，即实数m 的取值范围是(－1，＋∞). 答案 (－1，＋∞)16.(2019·浙江新高考仿真卷四)已知函数f (x )＝2x ＋t 2，g (x )＝x ＋t －1，对任意的实数t ，关于x 的不等式|f (x )|＋|g (x )|＋||f (x )|－|g (x )||≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为________.解析设F (x )＝|f (x )|＋|g (x )|＋||f (x )|－|g (x )||＝⎩⎪⎨⎪⎧2|f （x ）|，|f （x ）|≥|g （x ）|，2|g （x ）|，|f （x ）|＜|g （x ）|，则|f (x )|＋|g (x )|＋||f (x )|－|g (x )||≥m 恒成立等价于m 小于等于函数F (x )的最小值，在平面直角坐标系内画出函数y ＝|f (x )|＝|2x ＋t 2|和函数y ＝|g (x )|＝|x ＋t －1|的图象，由图易得当2x ＋t 2＝－(x ＋t －1)，即x ＝－13(t 2＋t －1)时，F (x )取得最小值为2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13（t 2＋t －1）×2＋t 2＝23[(t －1)2＋1]，所以当t ＝1时，F (x )取得最小值23，则实数m的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，23.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，2317.(2019·北京顺义区期末)设函数f (x )的定义域为A ，如果对于任意的x 1∈A 都存在唯一的x 2∈A ，使得f (x 1)＋f (x 2)＝2m ，其中m 为常数成立，则称函数f (x )在A 上“与常数m 相关联”，给定函数①y ＝1x ；②y ＝x 3；③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；④y ＝ln x ；⑤y ＝cos x ，则在其定义域上与常数1相关联的所有函数是________(只填序号).解析若在其定义域上与常数1相关联，则满足f (x 1)＋f (x 2)＝2， ①y ＝1x 的定义域为{x |x ≠0}，由f (x 1)＋f (x 2)＝2得1x 1＋1x 2＝2，即1x 2＝2－1x 1，当x 1＝12时，2－1x 1＝2－2＝0，此时1x 2＝0无解，不满足条件； ②y ＝x 3的定义域为R ，由f (x 1)＋f (x 2)＝2得(x 1)3＋(x 2)3＝2，即x 32＝2－x 31，故存在唯一的x 2满足条件；③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的定义域为R ，由f (x 1)＋f (x 2)＝2得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2＝2；即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1，当x 1＝－2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x1＝2－4＝－2无解，不满足条件. ④y ＝ln x 定义域为{x |x ＞0}，由f (x 1)＋f (x 2)＝2得ln x 1＋ln x 2＝2得ln x 1x 2＝2，即x 1x 2＝e 2；x 2＝e2x 1，故存在唯一的x 2满足条件；⑤y ＝cos x 的定义域为R ，由f (x 1)＋f (x 2)＝2得cos x 1＋cos x 2＝2，得cos x 2＝2－cos x 1，当x 1＝π2时，cos x 2＝2－cos x 1＝2－0＝2，无解，不满足条件.故满足条件的函数是②④. 答案 ②④。

(浙江专用)新高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数 5 第5讲指数与指数函数高效演练分

第5讲指数与指数函数[基础题组练]1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．化简4a 23·b －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23a －13b 23的结果为( ) A ．－2a 3b B ．－8abC ．－6abD ．－6ab解析：选C.原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a 23－(－13)b －13－23＝－6ab －1＝－6a b ，故选C.3．下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1解析：选B.A 中，因为函数y ＝1.7x在R 上是增函数，2.5<3，所以1.72.5<1.73.B 中，因为y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2，所以0.6－1>0.62.C 中，因为0.8－1＝1.25，所以问题转化为比较 1.250.1与 1.250.2的大小．因为y ＝1.25x在R 上是增函数，0.1<0.2，所以1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.D 中，因为1.70.3>1，0<0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1.4．(2020·某某效实中学高三质检)若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是 ( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B.由f (1)＝19得a 2＝19.又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)． 5．已知函数y ＝f (x )与y ＝F (x )的图象关于y 轴对称，当函数y ＝f (x )和y ＝F (x )在区间[a ，b ]同时递增或同时递减时，把区间[a ，b ]叫作函数y ＝f (x )的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y ＝|2x－t |的“不动区间”，则实数t 的取值X 围是( )A ．(0，2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2∪[)4，＋∞解析：选C.因为函数y ＝f (x )与y ＝F (x )的图象关于y 轴对称，所以F (x )＝f (－x )＝|2－x－t |，因为区间[1，2]为函数f (x )＝|2x－t |的“不动区间”，所以函数f (x )＝|2x －t |和函数F (x )＝|2－x－t |在[1，2]上单调性相同，因为y ＝2x －t 和函数y ＝2－x－t 的单调性相反，所以(2x －t )(2－x－t )≤0在[1，2]上恒成立，即1－t (2x ＋2－x )＋t 2≤0在[1，2]上恒成立，即2－x≤t ≤2x在[1，2]上恒成立，即12≤t ≤2，故答案为C. 6．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(m ，3)，则f (0)＋f (－m )＝________．解析：设f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，所以f (0)＝a 0＝1. 且f (m )＝a m＝3.所以f (0)＋f (－m )＝1＋a －m＝1＋1a m ＝43.答案：437．(2020·某某中学高三月考)已知e x＋x 3＋x ＋1＝0，1e3y －27y 3－3y ＋1＝0，则e x ＋3y的值为________．解析：因为e x ＋x 3＋x ＋1＝0，1e 3y －27y 3－3y ＋1＝0等价于e －3y ＋(－3y )3＋(－3y )＋1＝0，所以x ＝－3y ，即x ＋3y ＝0，所以ex ＋3y ＝e 0＝1.答案：18．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，（2－3a ）x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值X 围是________．解析：依题意，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，2－3a <0，（2－3a ）×1＋1≥a 1，解得23<a ≤34.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤23，349．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值X 围是________．解析：原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.答案：(－1，2) 10．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.11．已知函数f (x )＝a|x ＋b |(a >0，a ≠1，b ∈R )．(1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件．解：(1)因为f (x )为偶函数，所以对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，即a|x ＋b |＝a|－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，所以－b ≤2，b ≥－2.②当0<a <1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，a ，b 应满足的条件为a >1且b ≥－2.[综合题组练]1．已知函数f (x )＝|2x－1|，a f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a<2cD ．2a＋2c<2解析：选D.作出函数f (x )＝|2x－1|的图象，如图，因为a f (c )>f (b )，结合图象知，0<f (a )<1，a <0，c >0，所以0<2a <1.所以f (a )＝|2a－1|＝1－2a<1，所以f (c )<1，所以0<c <1.所以1<2c<2，所以f (c )＝|2c－1|＝2c－1，又因为f (a )>f (c )，所以1－2a>2c－1，所以2a＋2c<2，故选D.2．(2020·某某市高考模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（12）x ，x ＞0－x 2－4x ，x ≤0，则此函数图象上关于原点对称的点有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对解析：选B.作出函数y ＝f (x )图象如图所示：再作出－y ＝f (－x )，即y ＝x 2－4x ，恰好与函数图象位于y 轴左侧部分(对数函数的图象)关于原点对称，记为曲线C ，发现y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与曲线C 有且仅有一个交点，因此满足条件的对称点只有一对，图中的A 、B 就是符合题意的点．故选B. 3．(2020·某某模拟)已知函数y ＝a x＋b (a >0，且a ≠1，b >0)的图象经过点P (1，3)，如图所示，则4a －1＋1b的最小值为________，此时a ，b 的值分别为________．解析：由函数y ＝a x＋b (a >0且a ≠1，b >0)的图象经过点P (1，3)，得a ＋b ＝3，所以a －12＋b 2＝1，又a >1，则4a －1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －1＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋b 2＝2＋12＋2b a －1＋a －12b ≥52＋2 2b a －1·a －12b ＝92，当且仅当2b a －1＝a －12b ，即a ＝73，b ＝23时取等号，所以4a －1＋1b 的最小值为92. 答案：9273，234．(2020·某某一中高三期中)已知函数f (x )＝e |x |，将函数f (x )的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数g (x )的图象，函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e （x －1）＋2，x ≤5，4e 6－x＋2，x >5，若对于任意的x ∈[3，λ](λ>3)，都有h (x )≥g (x )，则实数λ的最大值为________．解析：依题意，g (x )＝f (x －3)＋2＝e|x －3|＋2，在同一坐标系中分别作出g (x )，h (x )的图象如图所示，观察可得，要使得h (x )≥g (x )，则有4e6－x＋2≥e(x －3)＋2，故4≥e2x －9，解得2x －9≤ln 4，故x ≤ln 2＋92，实数λ的最大值为ln 2＋92.答案：ln 2＋925．已知函数f (x )＝2a ·4x－2x－1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3，0]上的值域；(2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值X 围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x－2x－1 ＝2(2x )2－2x－1，令t ＝2x，x ∈[－3，0]，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1.故y ＝2t 2－t －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－98，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－98，0.(2)关于x 的方程2a (2x )2－2x－1＝0有解，设2x＝m >0，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解，记g (m )＝2am 2－m －1，当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立．当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a <0，过点(0，－1)，不成立．当a >0时，开口向上，对称轴m ＝14a>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a >0.6．(2020·某某效实中学模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ∈[－1，1]，函数g (x )＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )；(2)是否存在实数m ，n 同时满足下列条件： ①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为x ∈[－1，1]，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3. 则y ＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2. 当a <13时，y min ＝h (a )＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝289－2a 3；当13≤a ≤3时，y min ＝h (a )＝φ(a )＝3－a 2；当a >3时，y min ＝h (a )＝φ(3)＝12－6a .所以h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a <13，3－a 2，13≤a ≤3，12－6a ，a >3.(2)假设存在m ，n 满足题意．因为m >n >3，h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数，又因为h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2，12－6n ＝m 2，两式相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，即m ＋n ＝6，与m >n >3矛盾，所以满足题意的m ，n 不存在．。

浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测三函数概念与基本初等函数Ⅰ单元检测含解析

单元检测三函数概念与基本初等函数Ⅰ(时间：分钟满分：分)第Ⅰ卷(选择题共分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．设函数()＝＋，则函数的定义域为( )∪(，＋∞)答案解析由得－<<.．已知函数()＝则(())的值为( )．－．－．答案解析∵()＝12＝－，∴(())＝(－)＝－＝.．(·湖州联考)设＝－，＝＋，＝1lg 5210，则，，的大小关系为( )．<<．<<．<<．<<答案解析由题意，得＝－＝，＝＋＝，＝1lg 5210＝.得＝，＝，而>>.所以<<<，即<<<.又＝>，故<<.．函数()＝(其中为自然对数的底数)在[－π，π]上图象的大致形状是( )答案解析因为()＝＝，(－)＝(－)＝(－)＝＝()，所以函数()为偶函数，其图象关于轴对称，排除选项，，由>，可排除选项.故选.．已知函数()＝－＋，当∈[]时，()的值域是[－]，则实数的取值范围是( )．(－∞，－) ．(－]．[－]．[]答案解析()＝－(－)＋，所以当＝时，()＝.由()＝－，解得＝或＝－.所以要使函数()在区间[]上的值域是[－]，则－≤≤.．已知函数()的图象关于轴对称，且()在(－∞，]上单调递减，则满足(＋)<的实数的取值范围是( )答案解析由函数()的图象关于轴对称，且()在(－∞，]上单调递减，得()在(，＋∞)上单调递增．又(＋)<，所以＋<，解得－<<－.．(·绍兴诊断)已知函数()＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数的取值范围是( ) ．()答案解析若函数()＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则可得<≤.．(·杭州学军中学期中)已知()是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有＝，则()的值为( )．．答案解析因为函数()是上的单调函数，且对任意的实数，都有＝，所以()＋＝恒成立，且()＝，即()＝－＋，()＝－＋＝，解得＝，所以()＝－＋，所以()＝，故选.．(·金华一模)已知点()，若点是曲线＝()上的点，且线段的中点在曲线＝()上，则称点是函数＝()关于函数()的一个“关联点”，已知()＝，()＝，则函数()关于函数()的“关联点”的个数是( )．．．．答案解析令点(，)，>，则的中点.由于点在函数()＝的图象上，故有＝1212x⎛⎫ ⎪⎝⎭＋，即＝·，故函数()关于函数()的“关联点”的个数即为函数＝和＝·的图象的交点的个数．在同一个坐标系中画出函数＝和＝·的图象，由图象知交点个数为，则函数()关于函数()的“关联点”的个数是，故选.．已知函数()＝(∈)在区间[]上的最大值为()，则()的最小值为( )．．．．答案解析方法一令()＝＋－，则′()＝－＝(－)(＋＋)，故()在[]上单调递减，在(]上单调递增，所以()＝{{()，()，()}}，即()＝{{－，－，－}}，如图可知，()＝.方法二令＝＋，则′＝－＝(－)(＋＋)，所以＝＋在[]上单调递减，在(]上单调递增，所以∈[]，故＝－在∈[]上的最大值为()＝所以()＝.第Ⅱ卷(非选择题共分)二、填空题(本大题共小题，多空题每题分，单空题每题分，共分．把答案填在题中横线上) ．已知(＋)＝－＋，则()＝，＝的单调递增区间为．答案－＋()解析当＋＝时，＝－，所以()＝－(－)＋＝－＋，即()＝－＋；＝＝，定义域为()，且()对称轴为＝，所以函数在()上单调递增，()上单调递减，根据复合函数“同增异减”，函数＝的单调增区间为()．．(·舟山二模)设函数()是定义在上的奇函数，且()＝则(－)＝.答案－解析当<时，－>，则(－)＝(－)，又(－)＝－()，∴()＝－(－)，即()＝－(－)，<.故(－)＝－[－(－)]＝－＝－.．已知>>.若＋＝，＝，则＝，＝.答案解析设＝，则>，因为＋＝，解得＝，所以＝，①因此＝⇒＝，②解得＝，＝.．(·台州高级中学期中)已知函数()＝则(())＝；若()＝－，则实数＝. 答案－－或解析由题意得(())＝(－)＝－，若()＝－，当≥时，有－＝－，即＝；当<时，有＝－，故＝－或.．已知函数()＝当＝时，(())＝，若函数()的最大值为＋，则实数的值为．答案－解析当＝时，()＝所以(())＝(－)＝－＋×(－)－＝－.易知()＝－－＋(>)的最大值为()＝，若＋≥，则≥.当≥时，()＝－＋－(≤)的最大值为()＝－，所以＋＝，所以＝.．已知函数()是奇函数，且在上是减函数，若实数，满足则(－)＋(－)≤所表示的图形的面积是．答案＋解析由得∵()是奇函数，且在上是减函数，∴作出不等式组表示的平面区域(图略)，∴(－)＋(－)≤所表示的图形为以()为圆心，为半径的半圆和一个三角形，∴其表示的图形的面积是＋.．已知函数()＝－＋－，()＝－，对于任意的∈[－]，存在∈[－]，使()＝()，则实数的取值范围是．答案[－，－]解析()＝－＋－＝(－)－，当∈[－]时，若≤－，则()∈[＋，－]；若－<≤，则()∈[－，－]；若<≤，则()∈[－，＋]．若>，则()∈[－，＋]．而()∈[－－，－]，从而由条件得：①若≤－，则解得－≤≤－；②若－<≤，则不等式组无解；③若<≤，则不等式组无解；④若>，则不等式组无解．综上所述，实数的取值范围是[－，－]．三、解答题(本大题共小题，共分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) ．(分)若定义在[－]上的奇函数()满足当∈(]时，()＝.()求()在[－]上的解析式；()判断()在()上的单调性，并给予证明；()当λ为何值时，关于的方程()＝λ在∈[－]上有实数解．解 ()因为()为奇函数，所以()＝.当∈[－)时，－∈(]．因为()为奇函数，所以()＝－(－)＝－，所以()＝()()在()上是减函数，证明如下，任取<<<，()－()＝11391x x +－22391x x + ＝12121212393393(91)(91)x x x x x x x x +--++ ＝1221121233(33)(33)(91)(91)x x x x x x x x -+-++ ＝211212(33)(331)(91)(91)x x x x x x --++，因为<<<，所以2133x x >，12331x x>，即21330x x >－,1233x x －>，12(91)(91)0x x >＋＋，所以()－()>.因此，()在()上单调递减．()方程()＝λ在∈[－]上有实数解，即λ取函数()的值域内的任意值．由()可知，()在∈(]上是减函数，此时()∈.又因为()是∈[－]上的奇函数，所以当＝时，()＝.当∈[－)时，()∈.因此，函数()的值域为∪{}∪，因此，λ∈∪{}∪.．(分)(·宁波九校联考)已知函数()＝－＋.()当＝，且()是上的增函数时，求实数的取值范围；()当＝－，且对任意∈(－)，关于的方程()＝()总有三个不相等的实数根时，求实数的取值范围．解 ()()＝－＋＝因为()连续，且()在上单调递增，等价于这两段函数分别递增，所以得≥.()()＝－－＝()＝－.当≤<时，<≤，()在上单调递增，在上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，所以极大()＝＝－＋，极小()＝()＝－，所以对≤<恒成立，解得<<.当－<<时，<<，()在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以极大()＝＝－＋，极小()＝＝－－－，所以－－－<－<－＋对－<<恒成立，解得≤≤，综上<<.．(分)(·浙江＋高中联盟开学考)已知函数()＝＋＋(，∈)，()＝－－，且()≤()对∈恒成立．()求，的值；()记()＝－()－，那么当≥时，是否存在[，](<)，使得函数()在[，]上的值域恰好为[，]？若存在，请求出[，]；若不存在，请说明理由．解()由()＝得＝或＝－.于是，当＝或＝－时，有∴∴此时，()≤()⇔－－≤－－，对∈恒成立，满足条件．故＝－，＝－.()∵()＝－(－)＋≤，∴[，]⊆，∴≤，又∵≥，∴≤≤，∴[，]⊆(－∞，]，∴()在[，]上是单调增函数，∴即即∵<，且≥，故当≤<时，[，]＝[－]；当>时，[，]＝[－，]；当＝时，[，]不存在．．(分)(·杭州质检)设函数()＝＋＋(，∈)．若(＋)＝(－)，()的最小值为－.()求()的解析式；()若函数＝()与＝相交于个不同交点，从左到右依次为，，，.是否存在实数，使得线段，，能构成锐角三角形，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．解()因为(＋)＝(－)，所以函数的对称轴为直线＝，即－＝，所以＝－，又因为()的最小值为－，所以＝－，解得＝，所以()＝－.()若函数＝()与＝相交于个不同交点，则<<，易知＝－，＝－，＝＋，＝＋，所以＝＝－，＝，由题意知，线段，，构成的三角形为等腰锐角三角形，所以<，即<(－)，即(＋)<·，解得<<.．(分)(·杭州学军中学模拟)已知函数()＝－－(∈)．()若＝，求()在(，)上零点的个数，其中为自然对数的底数；()若()恰有一个零点，求的取值集合；()若()有两个零点，(<)，求证：<＋<－－.()解＝时，()＝－－，′()＝，故()在(，)上单调递减，所以在(，)上至多只有一个零点．又()()＝×<，故函数()在(，)上只有一个零点．()解′()＝，令′()＝，得＝.当>时，′()<，()在(，＋∞)上单调递减；当<<时，′()>，()在()上单调递增，故[()]＝()＝－.①当[()]＝，即＝时，因最大值点唯一，故符合题意；②当[()]<，即<时，()<恒成立，不合题意；③当[()]>，即>时，一方面，存在>，()＝－<；另一方面，存在－<，(－)＝－≤－<，于是()有两个零点，不合题意．综上，的取值集合为{}．()证明先证＋>.依题意有＝＋＝＋，于是＝.记＝，>，则＝，故＝，于是，＋＝(＋)＝，＋－＝.记函数()＝－，>.因′()＝>，故()在(，＋∞)上单调递增．于是当>时，()>()＝，又>，所以＋>.再证＋<－－.因()＝⇔()＝－－＝，故，也是()的两个零点．由′()＝－－＝得＝－(记＝－)．是()的唯一最大值点，故有作函数()＝－－，则′()＝≥，故()单调递增．当>时，()>()＝；当<<时，()<.于是－＝<＋.整理得(＋－)－(＋－－)＋>，即－(－－)＋－>.同理得－(－－)＋－<.故－(－－)＋－<－(－－)＋－，(＋)(－)<(－－)(－)，于是＋<－－.综上，<＋<－－.。

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单元检测三函数概念与基本初等函数Ⅰ(时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设函数f (x )＝1－3x＋1log 12(2x ＋1)，则函数的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 答案 A解析由⎩⎪⎨⎪⎧1－3x≥0，2x ＋1>0，2x ＋1≠1，得－12<x <0.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12log x ，x >0，3x ，x ≤0，则f (f (4))的值为( )A ．－19B ．－9C.19D ．9答案 C解析 ∵f (4)＝log 124＝－2，∴f (f (4))＝f (－2)＝3－2＝19.3．(2018·湖州联考)设a ＝log 54－log 52，b ＝ln 23＋ln3，c ＝1lg 5210，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a log 2e>1. 所以0<1log 25<1log 2e <1，即0<a 1，故a <b <c .4．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－21＋e x sin x (其中e 为自然对数的底数)在[－2π，2π]上图象的大致形状是( )答案 A解析因为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－21＋e x sin x ＝e x－1e x＋1sin x ， f (－x )＝e －x－1e －x ＋1sin(－x )＝1－e x 1＋e x (－sin x )＝e x－1e x＋1sin x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项C ，D ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>0，可排除选项B.故选A.5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，当x ∈[m,5]时，f (x )的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,2] C ．[－1,2] D ．[2,5]答案 C解析 f (x )＝－(x －2)2＋4，所以当x ＝2时，f (2)＝4.由f (x )＝－5，解得x ＝5或x ＝－1.所以要使函数f (x )在区间[m,5]上的值域是[－5,4]，则－1≤m ≤2.6．已知函数f (x )的图象关于y 轴对称，且f (x )在(－∞，0]上单调递减，则满足f (3x ＋1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，－16B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－16C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，－16D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－16答案 B解析由函数f (x )的图象关于y 轴对称，且f (x )在(－∞，0]上单调递减，得f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又f (3x ＋1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以|3x ＋1|<12，解得－12<x <－16.7．(2017·绍兴诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，a x，x <0是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 答案 B解析若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，a x，x <0是(－∞，＋∞)上的减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 0≥3a ，可得0<a ≤13.8．(2018·杭州学军中学期中)已知f (x )是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x ，都有f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )＋22x＋1＝13，则f (log 23)的值为( ) A.12 B.45 C ．1D ．0答案 A解析因为函数f (x )是R 上的单调函数，且对任意的实数x ，都有f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )＋22x ＋1＝13，所以f (x )＋22x ＋1＝a 恒成立，且f (a )＝13，即f (x )＝－22x ＋1＋a ，f (a )＝－22a ＋1＋a ＝13，解得a ＝1，所以f (x )＝－22x ＋1＋1，所以f (log 23)＝12，故选A.9．(2018·金华一模)已知点A (1,0)，若点B 是曲线y ＝f (x )上的点，且线段AB 的中点在曲线y ＝g (x )上，则称点B 是函数y ＝f (x )关于函数g (x )的一个“关联点”，已知f (x )＝|log 2x |，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则函数f (x )关于函数g (x )的“关联点”的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析令点B (x ，|log 2x |)，x >0，则AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x 2，12|log 2x |.由于点C 在函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象上，故有12|log 2x |＝1212x⎛⎫ ⎪⎝⎭＋，即|log 2x |＝2·⎝⎛⎭⎪⎫22x，故函数f (x )关于函数g (x )的“关联点”的个数即为函数y ＝|log 2x |和y ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫22x的图象的交点的个数．在同一个坐标系中画出函数y ＝|log 2x |和y ＝2·⎝⎛⎭⎪⎫22x的图象，由图象知交点个数为2，则函数f (x )关于函数g (x )的“关联点”的个数是2，故选B.10．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋16x－a (a ∈R )在区间[1,4]上的最大值为g (a )，则g (a )的最小值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 A解析方法一令H (x )＝x 2＋16x－a ，则H ′(x )＝2x －16x 2＝2x2(x －2)(x 2＋2x ＋4)，故H (x )在[1,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增，所以g (a )min ＝min{max{|H (1)|，|H (2)|，|H (4)|}}，即g (a )min ＝min{max{|17－a |，|12－a |，|20－a |}}，如图可知，g (a )min ＝4.方法二令t ＝x 2＋16x，则t ′＝2x －16x 2＝2x2(x －2)(x 2＋2x ＋4)，所以t ＝x 2＋16x在[1,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增，所以t ∈[12,20]，故y ＝|t －a |在t ∈[12,20]上的最大值为g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧20－a ，a ≤16，a －12，a >16，所以g (a )min ＝4.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．已知f (x ＋1)＝－x 2＋1，则f (x )＝________，y ＝1f (x )的单调递增区间为________．答案－x 2＋2x (1,2)解析当x ＋1＝t 时，x ＝t －1，所以f (t )＝－(t －1)2＋1＝－t 2＋2t ，即f (x )＝－x 2＋2x ；y ＝1f (x )＝1－x 2＋2x，定义域为(0,2)，且f (x )对称轴为x ＝1，所以函数f (x )在(0,1)上单调递增，(1,2)上单调递减，根据复合函数“同增异减”，函数y ＝1－x 2＋2x的单调增区间为(1,2)．⎩⎪g (x )，x <0，则g (－8)＝________. 答案－2解析当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 3(1－x )，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－log 3(1－x )，即g (x )＝－log 3(1－x )，x <0.故g (－8)＝－log 3[1－(－8)]＝－log 39＝－2.13．已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝____，b ＝____.答案 4 2解析设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，解得t ＝2，所以a ＝b 2，①因此a b＝b a⇒b 2b＝bb 2，②解得b ＝2，a ＝4.14．(2018·台州高级中学期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x ，x <0，则f (f (2))＝________；若f (a )＝－9，则实数a ＝________. 答案－4 －9或3解析由题意得f (f (2))＝f (－4)＝－4，若f (a )＝－9，当a ≥0时，有－a 2＝－9，即a ＝3；当a <0时，有a ＝－9，故a ＝－9或3.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－|2x －4|＋1，x >0，－x 2＋2ax －2，x ≤0.当a ＝2时，f (f (4))＝________，若函数f (x )的最大值为a ＋1，则实数a 的值为________．答案－23 0解析当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－|2x －4|＋1，x >0，－x 2＋4x －2，x ≤0，所以f (f (4))＝f (－3)＝－9＋4×(－3)－2＝－23. 易知f (x )＝－|2x －4|＋1(x >0)的最大值为f (2)＝1，若a ＋1≥1，则a ≥0.当a ≥0时，f (x )＝－x 2＋2ax －2(x ≤0)的最大值为f (0)＝－2，所以a ＋1＝1，所以a ＝0.⎩⎪f (a －b －1)≥0，(a －1)2＋(b －1)2≤1所表示的图形的面积是________．答案π2＋1 解析由⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＋f (b －1)≤0，f (a －b －1)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧f (a )≤－f (b －1)，f (a －b －1)≥0，∵f (x )是奇函数，且在R 上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1≥0，a －b －1≤0，作出不等式组表示的平面区域(图略)，∴(a －1)2＋(b －1)2≤1所表示的图形为以(1,1)为圆心，1为半径的半圆和一个三角形， ∴其表示的图形的面积是π2＋1.17．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1，g (x )＝2x －a ，对于任意的x 1∈[－1,1]，存在x 2∈[－1,1]，使f (x 2)＝g (x 1)，则实数a 的取值范围是____________．答案 [－2，－1]解析 f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1＝(x －a )2－1，当x ∈[－1,1]时，若a ≤－1，则f (x )∈[a 2＋2a ，a 2－2a ]；若－1<a ≤0，则f (x )∈[－1，a 2－2a ]；若0<a ≤1，则f (x )∈[－1，a 2＋2a ]．若a >1，则f (x )∈[a 2－2a ，a 2＋2a ]．而g (x )∈[－2－a ，2－a ]，从而由条件得：①若a ≤－1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ≤－2－a ，2－a ≤a 2－2a ，解得－2≤a ≤－1；②若－1<a ≤0，则⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤－2－a ，2－a ≤a 2－2a ，不等式组无解；③若0<a ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤－a －2，2－a ≤a 2＋2a ，不等式组无解；④若a >1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ≤－2－a ，2－a ≤a 2＋2a ，不等式组无解．综上所述，实数a 的取值范围是[－2，－1]．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18．(14分)若定义在[－2,2]上的奇函数f (x )满足当x ∈(0,2]时，f (x )＝3x9x ＋1.(1)求f (x )在[－2,2]上的解析式；(2)判断f (x )在(0,2)上的单调性，并给予证明；(3)当λ为何值时，关于x 的方程f (x )＝λ在x ∈[－2,2]上有实数解．解 (1)因为f (x )为奇函数，所以f (0)＝0. 当x ∈[－2,0)时，－x ∈(0,2]．因为f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－3－x9－x ＋1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3－x9－x＋1，－2≤x <0，0，x ＝0，3x9x＋1，0<x ≤2.(2)f (x )在(0,2)上是减函数，证明如下，任取0<x 1<x 2<2，f (x 1)－f (x 2)＝11391x x +－22391x x +＝12121212393393(91)(91)x x x x x x x x +--++ ＝1221121233(33)(33)(91)(91)x x x x x x x x -+-++ ＝211212(33)(331)(91)(91)x x x x x x --++，因为0<x 1<x 2<2，所以2133xx>，12331xx>，即21330x x >－,1233x x－1>0，12(91)(91)0x x>＋＋，所以f (x 1)－f (x 2)>0.因此，f (x )在(0,2)上单调递减．(3)方程f (x )＝λ在x ∈[－2,2]上有实数解，即λ取函数f (x )的值域内的任意值．由(2)可知，f (x )在x ∈(0,2]上是减函数，此时f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫982，12.又因为f (x )是x ∈[－2,2]上的奇函数，所以当x ＝0时，f (x )＝0.当x ∈[－2,0)时，f (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，－982.因此，函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，－982∪{0}∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫982，12，因此，λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，－982∪{0}∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫982，12.19．(15分)(2018·宁波九校联考)已知函数f (x )＝x |x －a |＋bx . (1)当a ＝2，且f (x )是R 上的增函数时，求实数 b 的取值范围；(2)当b ＝－2，且对任意a ∈(－2,4)，关于x 的方程f (x )＝tf (a )总有三个不相等的实数根时，求实数t 的取值范围．解 (1)f (x )＝x |x －2|＋bx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(b －2)x ，x ≥2，－x 2＋(b ＋2)x ，x <2.因为f (x )连续，且f (x )在R 上单调递增，等价于这两段函数分别递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b2≤2，2＋b2≥2，得b ≥2.(2)f (x )＝x |x －a |－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－(a ＋2)x ，x ≥a ，－x 2＋(a －2)x ，x <a ，tf (a )＝－2ta .当2≤a <4时，a －22<a ＋22≤a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －22上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫a －22，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以f 极大(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22＝a 24－a ＋1， f 极小(x )＝f (a )＝－2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a <－2ta ，a24－a ＋1>－2ta 对2≤a <4恒成立，解得0<t <1. 当－2<a <2时，a －22<a <a ＋22，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －22上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫a －22，a ＋22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22，＋∞上单调递增，所以f 极大(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22＝a 24－a ＋1，f 极小(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22＝－a 24－a －1，所以－a 24－a －1<－2ta <a 24－a ＋1对－2<a <2恒成立，解得0≤t ≤1，综上0<t <1.20．(15分)(2018·浙江9＋1高中联盟开学考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，g (x )＝2x 2－4x －16，且|f (x )|≤|g (x )|对x ∈R 恒成立． (1)求a ，b 的值；(2)记h (x )＝－12f (x )－4，那么当k ≥12时，是否存在[m ，n ](m <n )，使得函数h (x )在[m ，n ]上的值域恰好为[km ，kn ]？若存在，请求出[m ，n ]；若不存在，请说明理由．解 (1)由g (x )＝0得x ＝4或x ＝－2.于是，当x ＝4或x ＝－2时，有⎩⎪⎨⎪⎧|16＋4a ＋b |≤0，|4－2a ＋b |≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧16＋4a ＋b ＝0，4－2a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－8.此时，|f (x )|≤|g (x )|⇔|x 2－2x －8|≤2|x 2－2x －8|，对x ∈R 恒成立，满足条件．故a ＝－2，b ＝－8.(2)∵h (x )＝－12(x －1)2＋12≤12，∴[km ，kn ]⊆⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12，∴kn ≤12，又∵k ≥12，∴n ≤12k ≤1，∴[m ，n ]⊆(－∞，1]，∴h (x )在[m ，n ]上是单调增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧h (m )＝km ，h (n )＝kn ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋m ＝km ，－12n 2＋n ＝kn ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝2－2k ，n ＝0或n ＝2－2k .∵m <n ，且k ≥12，故当12≤k <1时，[m ，n ]＝[0,2－2k ]；当k >1时，[m ，n ]＝[2－2k ，0]；当k ＝1时，[m ，n ]不存在．21．(15分)(2018·杭州质检)设函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )．若f (1＋x )＝f (1－x )，f (x )的最小值为－1.(1)求f (x )的解析式；(2)若函数y ＝|f (x )|与y ＝t 相交于4个不同交点，从左到右依次为A ，B ，C ，D .是否存在实数t ，使得线段|AB |，|BC |，|CD |能构成锐角三角形，如果存在，求出t 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数的对称轴为直线x ＝1，即－b 2＝1，所以b ＝－2，又因为f (x )的最小值为－1，所以4c －b 24＝－1，解得c ＝0，所以f (x )＝x 2－2x .(2)若函数y ＝|f (x )|与y ＝t 相交于4个不同交点，则0<t <1，易知x A ＝1－1＋t ，x B ＝1－1－t ， x C ＝1＋1－t ，x D ＝1＋1＋t ，所以|AB |＝|CD |＝1＋t －1－t ，|CB |＝21－t ，由题意知，线段|AB |，|BC |，|CD |构成的三角形为等腰锐角三角形，所以|BC |<2|AB |，即21－t <2(1＋t －1－t )，即(2＋2)1－t <2·1＋t ，解得22<t <1. 22．(15分)(2019·杭州学军中学模拟)已知函数f (x )＝a －1x－ln x (a ∈R )． (1)若a ＝2，求f (x )在(1，e 2)上零点的个数，其中e 为自然对数的底数；(2)若f (x )恰有一个零点，求a 的取值集合；(3)若f (x )有两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，求证：2<x 1＋x 2<3ea －1－1. (1)解 a ＝2时，f (x )＝2－1x－ln x ，f ′(x )＝1－x x 2，故f (x )在(1，e 2)上单调递减，所以在(1，e 2)上至多只有一个零点．又f (1)f (e 2)＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2<0，故函数f (x )在(1，e 2)上只有一个零点．(2)解 f ′(x )＝1－x x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1. 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减；当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上单调递增，故[f (x )]max ＝f (1)＝a －1.①当[f (x )]max ＝0，即a ＝1时，因最大值点唯一，故符合题意；②当[f (x )]max <0，即a <1时，f (x )<0恒成立，不合题意；③当[f (x )]max >0，即a >1时，一方面，存在e a >1，f (e a )＝－1e a <0；另一方面，存在e －a <1，f (e －a )＝2a －e a ≤2a －e a <0，于是f (x )有两个零点，不合题意．综上，a 的取值集合为{1}．(3)证明先证x 1＋x 2>2.依题意有a ＝1x 1＋ln x 1＝1x 2＋ln x 2，于是x 2－x 1x 1x 2＝ln x 2x 1. 记x 2x 1＝t ，t >1，则ln t ＝t －1tx 1，故x 1＝t －1t ln t ，于是，x 1＋x 2＝x 1(t ＋1)＝t 2－1t ln t， x 1＋x 2－2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－12t －ln t ln t .记函数g (x )＝x 2－12x－ln x ，x >1. 因g ′(x )＝(x －1)22x 2>0，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增．于是当t >1时，g (t )>g (1)＝0，又ln t >0，所以x 1＋x 2>2.再证x 1＋x 2<3e a －1－1.因f (x )＝0⇔h (x )＝ax －1－x ln x ＝0，故x 1，x 2也是h (x )的两个零点．由h ′(x )＝a －1－ln x ＝0得x ＝e a －1(记p ＝e a －1)．p 是h (x )的唯一最大值点，故有⎩⎪⎨⎪⎧ h (p )>0，x 1p 时，t (x )>t (p )＝0；当0<x 0，即x 21－(3ea －1－1)x 1＋e a －1>0. 同理得x 22－(3ea －1－1)x 2＋e a －1<0. 故x 22－(3e a －1－1)x 2＋e a －1<x 21－(3e a －1－1)x 1＋e a －1，(x 2＋x 1)(x 2－x 1)<(3ea －1－1)(x 2－x 1)，于是x 1＋x 2<3e a －1－1.综上，2<x 1＋x 2<3e a －1－1.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

创新设计高考数学文理通用浙江专用一轮复习练习第二章函数概念与基本初等函数I 第4讲含答案

基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·郑州外国语学校期中)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为()A.1，3B.－1，1C.－1，3D.－1，1，3解析因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y＝x－1的值域为{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1，3.答案 A2.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则()A.a>0，4a＋b＝0B.a<0，4a＋b＝0C.a>0，2a＋b＝0D.a<0，2a＋b＝0解析因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为x＝2，即－b2a＝2，所以4a＋b＝0.答案 A3.在同一坐标系内，函数y＝x a(a≠0)和y＝ax＋1a的图象可能是()解析若a<0，由y＝x a的图象知排除C，D选项，由y＝ax＋1a的图象知应选B；若a>0，y＝x a的图象知排除A，B选项，但y＝ax＋1a的图象均不适合，综上选B.答案 B4.若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，则实数a 等于( )A.－1B.1C.2D.－2解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得，∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 答案 B5.若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)B.(－2，＋∞)C.(－6，＋∞)D.(－∞，－6)解析不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)，所以f (x )<f (4)＝－2，所以a <－2.答案 A二、填空题6.已知P ＝2－32，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________. 解析 P ＝2－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数，且22>12>25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223>⎝ ⎛⎭⎪⎫123>⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P >R >Q . 答案 P >R >Q7.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是________. 解析由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1，2]上是减函数可得[1，2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数， ∴由g (x )＝a x ＋1在[1，2]上是减函数可得a >0，故0<a ≤1.答案 (0，1]8.(2017·湖州调研)已知f (x ＋1)＝x 2－5x ＋4.(1)f (x )的解析式为________；(2)当x ∈[0，5]时，f (x )的最大值和最小值分别是________.解析 (1)f (x ＋1)＝x 2－5x ＋4，令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，∴f (t )＝(t －1)2－5(t －1)＋4＝t 2－7t ＋10，∴f (x )＝x 2－7x ＋10.(2)∵f (x )＝x 2－7x ＋10，其图象开口向上，对称轴x ＝72，∵x ∈[0，5]，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72min＝－94，又f (0)＝10， f (5)＝0.∴f (x )的最大值为10，最小值为－94.答案 (1)x 2－7x ＋10 (2)10，－94三、解答题9.已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围.解幂函数f (x )的图象经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1. ∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2.又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数. 由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎨⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 10.已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2，3]，对称轴x ＝－32∈[－2，3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意.综上可知，a ＝－13或－1.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.(2016·浙江卷)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 ∵f (x )＝x 2＋bx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b 24，当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b 24. 又f (f (x ))＝(f (x ))2＋bf (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）＋b 22－b 24，当f (x )＝－b 2时，f (f (x ))min ＝－b 24，当－b 2≥－b 24时，f (f (x ))可以取到最小值－b 24，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件.答案 A12.(2017·长沙一中期中测试)函数f (x )＝(m 2－m －1)·x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值( )A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断解析依题意，幂函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，4m 9－m 5－1>0，解得m ＝2，则f (x )＝x 2 015.∴函数f (x )＝x 2 015在R 上是奇函数，且为增函数.由a ＋b >0，得a >－b ，∴f (a )>f (－b )，则f (a )＋f (b )>0.答案 A13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是______.解析作出函数y ＝f (x )的图象如图.则当0<k <1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根.答案 (0，1)14.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R ).(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围.解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x >0，－（x ＋1）2，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，从而|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0，1]上恒成立.又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2.∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0].15.(2016·嘉兴模拟)已知m ∈R ，函数f (x )＝－x 2＋(3－2m )x ＋2＋m .(1)若0<m ≤12，求|f (x )|在[－1，1]上的最大值g (m )；(2)对任意的m ∈(0，1]，若f (x )在[0，m ]上的最大值为h (m )，求h (m )的最大值.解 (1)f (x )＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －3－2m 22＋4m 2－8m ＋174，则对称轴为x ＝3－2m 2，由0<m ≤12，得0<2m ≤1，则1≤3－2m 2<32，故函数f (x )在[－1，1]上为增函数，则当x ＝1时，函数f (x )取得最大值，f (1)＝4－m ；当x ＝－1时，函数f (x )取得最小值f (－1)＝3m －2.又∵0<m ≤12，∴0<3m ≤32，－2<3m －2≤－12，则|f (－1)|＝|3m －2|∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2， |f (1)|＝|4－m |＝4－m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，4，则|f (1)|>|f (－1)|，即|f (x )|在[－1，1]上的最大值g (m )＝f (1)＝4－m .(2)由(1)知函数的对称轴为x ＝3－2m 2，且函数开口向下，由0<m ≤1，则0<2m ≤2，所以12≤3－2m 2<32，若m ≤3－2m 2，即0<m ≤34时，函数f (x )在[0，m ]上单调递增，则最大值h (m )＝f (m )＝－3m 2＋4m ＋2.若m >3－2m 2，即34<m ≤1时，函数f (x )在[0，m ]上不单调，此时当x ＝3－2m 2时，函数f (x )取得最大值h (m )＝m 2－2m ＋174，即h (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＋174，34<m ≤1，－3m 2＋4m ＋2，0<m ≤34，当0<m ≤34时，h (m )＝－3m 2＋4m ＋2的对称轴为m ＝－42×（－3）＝23，即当m ＝23时，函数h (m )取得最大值h ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋4×23＋2＝103. 当34<m ≤1时，h (m )＝m 2－2m ＋174的对称轴为m ＝1，此时函数h (m )在⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1上为减函数，则函数h (m )<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342－2×34＋174＝5316<103. 所以h (m )的最大值为103.。

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浙江省2013届高三数学一轮复习单元训练：基本初等函数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数)30(42)(2<<++=a ax ax x f ，其图象上两点的横坐标1x ，2x 满足21x x <, 且a x x -=+121,则有( )A ．)()(21x f x f >B ． )()(21x f x f =C ．)()(21x f x f <D ．)(),(21x f x f 的大小不确定【答案】C2．已知函数()x f 的定义域为R ，()10=f ，对任意R x ∈都有()()()()()()()()=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=+1091211101,21f f f f f f x f x f 则（）A ．910 B ．2110 C ．109 D ．2111 【答案】B解析：由()()()()(),2121,10=-++=+=n f n f x f x f f 得且().2110=f所以()()()().1112111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+n f n f n f n f 所以()()()()()()()()211010101211091211101=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++f f f f f f f f . 3．若()2()lg 21f x x ax a =-++在区间]1,(-∞上递减，则a 范围为（）A ．[1,2)B ． [1,2]C ．[)1,+∞D ． [2,)+∞【答案】A4．函数2()log f x x π=+的零点所在区间为( ）A ．10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C5．若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是( )A ．(1a，b ) B ．(10a,1－b )C ．(10a，b ＋1) D ．(a 2,2b )【答案】D6．已知4(7),0,()(9)log (),0.f x x f x f x x -≥⎧=⎨-<⎩则等于（） A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】C7．幂函数()f x x α=的图象过点(2,4)，那么函数()f x 的单调递增区间是（）A ．(2,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．[0,)+∞D ．(,2)-∞-【答案】C8．下列函数中，图象与函数2xy =的图象关于原点对称的是A ．2xy =-B ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．12xy -⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C9．函数y ＝x2－2sin x 的图像大致是( )【答案】C 10．设函数||()x f x x =，对于任意不相等的实数,a b ，代数式()22a b a bf a b +-+⋅-的值等于（） A ．a B ．bC ．a 、b 中较小的数D ．a 、b 中较大的数【答案】D11．设4log , 2 ,3.03.03.02===c b a ，则（）A ． b a c <0)上任意两点22(,),(,)A a a B b b ,线段AB 必在AB 上方，设点C 是线段AB 的中点，则由图中C 在C1的上方可得不等式：222()22a b a b ++>.请分析函数f(x)=lg x(x>0)的图象，类比上述不等式可以得到 .【答案】lg lg lg22a b a b++< 14．幂函数()f x 的图象过点427)（，则()f x 的解析式是_____________ 【答案】34()f x x =15．函数y=log 3(9-x 2)的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B=______.【答案】(-3,2］16．函数y=22x x 1()2-的值域为______. 【答案】[12，+∞)三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．设函数a R,(x |a x 2|x f(x)2∈-+=为实数）. (Ⅰ）若f(x)为偶函数，求实数a 的值； (Ⅱ）设2a >，求函数f(x)的最小值. 【答案】（Ⅰ）函数f(x)是偶函数，∴f(x)x)f(=-，即|a x 2||a x 2|+=-，解得0a =；（Ⅱ）f(x)= a21x a,x 2x a 21x a,x 2x 22<+-≥-+, ①当a x 21≥时，1)(a 1)(x a x 2x f(x)22+-+=-+=，由a 21x 2,a ≥>，得1x >，故f(x)在),21[+∞a 时单调递增，f(x)的最小值为4)2(2a a f =；②当a 21x <，1)(a 1)(x a x 2x f(x)22-+-=+-=，故当2ax 1<<时，f(x)单调递增，当1x <时，f(x)单调递减，则f(x)的最小值为1a f(1)-=；由于042)(a 1)(a 4a 22>-=--，故f(x)的最小值为1a -. 18．化简或求值：(1）4160.2503432162322428200549-⨯+--⨯-2(）（）（）+（）(2）32lg 5lg 8000(lg 2)1lg 600lg 0.362⋅+-。

【答案】（1）原式=14111136332244472(23)(22)42214⨯+⨯-⨯-⨯+=2×22×33+2 — 7— 2+1 =210(2）：分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2=++=++；分母=366(lg 62)lglg 62lg 310010+-=+-=；∴原式=1。

19．定义在[-1,1]上的奇函数)(x f ，已知当]0,1[-∈x 时，).(241)(R a ax f xx ∈-= (Ⅰ）求)(x f 在[0,1]上的最大值；(Ⅱ）若)(x f 是[0，1]上的增函数，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）设1x [0,1],x [1,0],()4242()(),()24,x [0,1].x x x xx x a f x a f x f x f x a --∈-∈--=-=-⋅-=-∴=⋅-∈则 ()24,[0,1].xxf x a x ∴=⋅-∈222t 2,[1,2],()()24x t a a g t a t t t =∈∴=⋅-=--+令max 2max max 2a1,a 2,()(1)1;2a 12,()();2242,()(2)24;a 2,4g t g a a a g t g a g t g a a ≤≤==-<<==≥≥==-≤当即当即2<a<4时，当即a 4时，综上：当时,f(x)最大值为a-1,当2<a<4时,f(x)最大值为当a ≥ 4时，f （x ）的最大值为2a -4. (Ⅱ）因为函数f(x)在[0,1]上是增函数，所以'()ln 22ln 442ln 2(22)0,xxxxf x a a =⋅-⋅=-⋅≥220a 222[1,2],4x xxa a ∴-⋅≥≥⋅∈∴≥恒成立，20．已知y=4x-3·2x+3,当其值域为［1,7］时，求x 的取值范围.【答案】由已知得1≤4x -3·2x+3≤7,即x x x x4323743231⎧-+≤⎪⎨-+≥⎪⎩··,得()()()()x x x x 2124021220⎧+-≤⎪⎨--≥⎪⎩.即0<2x≤1，或2≤2x≤4. ∴x ≤0,或1≤x ≤2.21．已知函数()32f x x bx cx d =+++在(),0-∞上是增函数，在[]0,2上是减函数，且方程()0f x =有三个根，它们分别是,2,αβ. (1）求c 的值；(2）求证： ()12f ≥(3）求αβ-的取值范围.【答案】f ′()()R x x bx c x 232(1）依题意知0x 为函数()f x 的极大值点f ′（0）=0 0c(2）证明：由（1）得f ′()()32x x xb2x 为()0f x 的根820bd①式又()f x 在0，2上为减函数f ′()()222bb ≤0 ②式由知②b ≤-3 由①知48d b ()1114837f bdb b b ，由b ≤-3知()1f ≥2(3）解：∵()0f x 的三个根为,,2αβ()()()()()()3222222f x x αx x βx αβx αβαβx αβ()2202αβbαβαβαβd()224αβb αβb()()22224412216αβαβαβb b bb ≤-3 ()2216b ≥9,即αβ2≥9,αβ≥322．某市出租车的计价标准是：3 km 以内(含3 km)10元；超出3 km 但不超过18 km 的部分1元/km ；超出18 km 的部分2元/km. (1)如果某人乘车行驶了20 km ，他要付多少车费？某人乘车行驶了x km ，他要付多少车费？ (2)如果某人付了22元的车费，他乘车坐了多远？某人付了10＋x (x >0)元的车费，他乘车坐了多远？【答案】(1)乘车行驶了20 km ，付费分三部分，前3 km 付费10(元)，3 km 到18 km 付费(18－3)×1＝15(元)，18 km 到20 km 付费(20－18)×2＝4(元)，故总付费10＋15＋4＝29(元)．设付车费y 元，当0<x ≤3时，车费y ＝10；当3<x ≤18时，车费y ＝10＋(x －3)＝x ＋7；当x >18时，车费y ＝25＋2(x －18)＝2x －11. 故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0<x ≤3，x ＋7，3<x ≤18，2x －11，x >18.(2)付出22元的车费，说明此人乘车行驶的路程大于3 km ，且小于18 km.前3 km 付费10元，余下的12元乘车行驶了12 km ，故此人乘车行驶了15 km. 设乘车行驶了y km ，当0<x ≤15时，y ＝3＋x ；当x >15时，y ＝18＋x －152＝12x ＋212．故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3(0<x ≤15)，12x ＋212(x >15).。