向量空间的同构
801《高等代数》考试大纲
801 《高等代数》考试大纲一、考试要求1．掌握基本的代数运算方法，包括：行列式的计算，矩阵运算（乘法、求秩、判别方阵的可逆性及求逆、求方阵的特征值及特征向量），线性方程组解的判定及求解，多项式运算（带余除法，辗转相除法，综合除法）等.2．掌握基本的代数分析技巧，包括：向量的线性相关和线性无关性，向量空间的基与维数，线性方程组解的结构, 线性变换和矩阵的关系，方阵可相似对角化的判定,对称矩阵与二次型，一元多项式的整除性及因式分解.3．掌握代数的基本几何背景，理解代数与几何的关系，包括：欧氏空间和酉空间，正交变换与正交矩阵, 对称变换与对称矩阵, 主轴定理, 利用二次型理论化简二次曲面方程.二、考试内容第一部分多项式1.一元多项式的定义和基本运算；2.多项式的带余除法与综合除法，多项式整除性的常用性质；3.多项式的最大公因式概念及性质，辗转相除法；4.不可约多项式的概念及性质，多项式的唯一因式分解定理，多项式的重因式；5.多项式函数与多项式的根的概念及性质；6.代数基本定理，复数域和实数域上多项式的因式分解定理，Vieta定理；7.整系数多项式的有理根，Eisenstein判别法；8.多元多项式概念及字典排列法，对称多项式.第二部分行列式1. 线性方程组和行列式的关系，排列、n阶行列式及其子式和代数余子式；2. 行列式的性质及行列式的基本计算方法；3. 克拉默法则.第三部分线性方程组1.线性方程组求解的消元法；2.矩阵的秩的概念，用矩阵的初等变换求秩；3.线性方程组可解的判别法；4.两个多项式的结式和多项式的判别式.第四部分矩阵1. 矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算法则；2.逆矩阵概念，矩阵可逆的判定条件及可逆矩阵的性质，求可逆矩阵的逆矩阵的方法；3.矩阵的分块法，分块矩阵的运算法则.第五部分向量空间1. 向量空间及子空间的定义；2.向量组线性相关、线性无关的定义，向量组线性相关性的判定条件和性质，向量组的极大无关组；3.向量空间的基与维数，过渡矩阵及坐标变换式；4.向量空间的同构及其性质；5.齐次线性方程组的解空间与基础解系；线性方程组的结构式通解.第六部分线性变换1. 向量空间线性映射概念及其相关性质；2.线性变换的运算和矩阵的相似关系；3.不变子空间及其性质；4.方阵的特征值和特征向量；5.可以对角化的矩阵.第七部分欧氏空间和酉空间1. 向量空间中向量的内积、长度、夹角的定义及性质,规范正交基,Schmidt正交化方法；2. 正交变换与正交矩阵的定义和性质；3. 对称变换与实对称矩阵，实对称矩阵的正交相似对角化；4.酉空间的定义及其基本性质，酉变换和酉矩阵.第八部分二次型1. 二次型与对称矩阵，矩阵的合同关系；2.复数域和实数域上的二次型，用正交变换化实二次型为标准形的方法；3.正定二次型与正定矩阵，实对称矩阵正定的判定条件和性质；4.主轴定理, 利用二次型理论化简二次曲面方程.参考文献1.张禾瑞，郝鈵新《高等代数》（第四版）高等教育出版社 19992.北京大学数学系《高等代数》（第三版）高等教育出版社 20033.丘维声《高等代数》（第二版）高等教育出版社 2003。
线性代数电子教案
线性代数电子教案一、引言1.1 课程介绍线性代数的定义和意义课程目标和学习内容1.2 电子教案的特点互动性和趣味性自主学习和协作学习1.3 软件使用说明软件安装和运行功能介绍和操作指南二、行列式2.1 行列式的定义和性质行列式的概念行列式的计算规则2.2 行列式的计算方法按行(列)展开拉普拉斯展开2.3 克莱姆法则克莱姆法则的原理克莱姆法则的应用三、矩阵3.1 矩阵的定义和运算矩阵的概念和表示矩阵的加法和数乘3.2 矩阵的逆矩阵的逆的定义和性质矩阵的逆的计算方法3.3 矩阵的特殊类型单位矩阵对角矩阵零矩阵四、向量空间4.1 向量空间的概念向量空间的基本性质向量空间的子空间4.2 向量的线性相关性线性相关的定义和判定线性无关的性质和应用4.3 基底和坐标基底的概念和选择向量的坐标表示和转换五、线性方程组5.1 线性方程组的解法高斯消元法克莱姆法则5.2 齐次线性方程组齐次线性方程组的解集自由变量和特解5.3 非齐次线性方程组非齐次线性方程组的解法常数变易法和待定系数法六、特征值和特征向量6.1 特征值和特征向量的定义矩阵的特征值和特征向量的概念特征多项式的定义和求解6.2 特征值和特征向量的计算特征值和特征向量的求解方法矩阵的对角化6.3 特征值和特征向量的应用矩阵的相似对角化实对称矩阵和正交矩阵七、二次型7.1 二次型的定义和标准形二次型的概念二次型的标准形7.2 配方法和正定性配方法的应用二次型的正定性判定7.3 惯性定理和二次型的几何意义惯性定理的表述和证明二次型在几何上的意义八、向量空间的同构8.1 向量空间的同构概念同构的定义和性质同构的判定条件8.2 线性变换和矩阵线性变换的概念和性质线性变换与矩阵的关系8.3 线性变换的图像和核线性变换的图像线性变换的核（值域）九、特征空间和最小二乘法9.1 特征空间的概念特征空间的定义和性质特征空间的维数9.2 最小二乘法原理最小二乘法的定义和目标最小二乘法的应用9.3 最小二乘法在线性回归中的应用线性回归问题的最小二乘解回归直线的性质和分析十、线性代数在实际应用中的案例分析10.1 线性代数在工程中的应用结构力学中的矩阵方法电路分析中的节点电压和回路电流10.2 线性代数在计算机科学中的应用计算机图形学中的矩阵变换机器学习中的线性模型10.3 线性代数在其他学科中的应用物理学中的旋转和变换经济学中的线性规划十一、矩阵分解11.1 矩阵分解的概念矩阵分解的意义和目的矩阵分解的类型11.2 LU分解LU分解的定义和算法LU分解的应用和优点11.3 QR分解QR分解的定义和算法QR分解的应用和优点十二、稀疏矩阵12.1 稀疏矩阵的定义和性质稀疏矩阵的概念稀疏矩阵的存储和运算12.2 稀疏矩阵的应用稀疏矩阵在科学计算中的应用稀疏矩阵在数据挖掘中的应用12.3 稀疏矩阵的优化算法稀疏矩阵的压缩技术稀疏矩阵的快速运算算法十三、线性代数在图像处理中的应用13.1 图像处理中的线性代数概念图像的矩阵表示图像变换和滤波13.2 图像增强和复原图像增强的线性方法图像复原的线性模型13.3 图像压缩和特征提取图像压缩的线性算法图像特征提取的线性方法十四、线性代数在信号处理中的应用14.1 信号处理中的线性代数概念信号的矩阵表示和运算信号处理的基本算法14.2 信号滤波和降噪信号滤波的线性方法信号降噪的线性模型14.3 信号的时频分析信号的傅里叶变换信号的小波变换十五、线性代数的现代观点15.1 向量空间和线性变换的公理化向量空间和线性变换的公理体系向量空间和线性变换的分类15.2 内积空间和谱理论内积空间的概念和性质谱理论的基本原理15.3 线性代数在数学物理中的作用线性代数在微分方程中的应用线性代数在量子力学中的应用重点和难点解析本文档详细地介绍了线性代数的主要知识点，旨在帮助学生更好地理解和掌握线性代数的基础理论知识和应用能力。
线性空间的同构与同态
线性空间的同构与同态线性空间是很多高阶数学领域所需要用到的基本概念，因此在线性代数的学习中，我们不得不对线性空间基本的性质、定义、等价性、基础定理等有一个深刻的理解。
当然，线性空间的同构与同态作为线性变换的代名词，也是我们学习线性空间理论时，需要重点关注的。
一、线性空间同构同构，是数学中一个十分重要的概念。
它指的是两个结构相同、具有相同性质的数学对象。
更准确地说，如果两个集合之间存在一一对应，且它们之间的映射不仅是单射还是满射，那么这两个集合就是同构的。
对于线性空间，它满足向量的加法和数量的乘法这两个运算规则，因此，我们可以要求用以下方式定义两个线性空间的同构：定义：若存在双射映射$f:V\to W$，并满足：1. $\forall u,v\in V$，有$f(u+v)=f(u)+f(v)$。
2. $\forall u\in V$和$c\in F$，有$f(cu)=cf(u)$。
则称线性空间$V$和$W$之间存在同构，称$f$为同构映射。
其中，$F$是一个数域，它是一个固定的标量（标量乘法满足分配律、结合律、单位元和逆元等基本性质）。
同构可以理解为两个向量空间“外形”相同，尽管它们之间的标量乘法、向量加法的具体运算方式可能不同。
关于线性空间同构，我们有如下三个重要结论：（1）同构是一种双射关系，即两个线性空间同构当且仅当它们的维度相等。
（2）两个线性空间同构，则它们必须同构于数域$F$上的$n$维线性空间$F^n$。
（3）两个线性空间同构，当且仅当它们的基底个数相等。
通过上述结论，我们可以发现，实际上同构所关注的是两个线性空间的向量基。
只有当两个线性空间的维度相等、同构映射满足条件时，它们才是同构的。
因此，为了构造同构映射，我们通常需要找到两个向量空间之间的一个映射，满足一一对应、线性、满射的性质，这样才能实现同构。
二、线性空间同态同态是另一个重要的概念。
它们也是线性代数中常用的术语，他们主要与线性空间中的变换相关。
高等代数课件北大三版 第六章 向量空间
惠州学院数学系
9
(a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) ],
任给f(x),g(x),h(x) ? F[x].
(a3) 0向量就是零多项式. (a4) f(x)的负向量为（- f(x)）. (m1) (ab) f(x)= a(bf(x)).
(m2) a [f(x)+g(x)]= a f(x)+ a g(x). (m3) (a ? b) f(x)= a f(x)+ b f(x).
加法和数乘两种，并且满足(教材P183)：
1. A+B=B+A 2. (A+B)+C= A+( B+C) 3. O＋A=A 4. A+(-A)=O
5. a(A+B)= aA+Ab 6. (a+b)B=a B +Bb 7. (ab)A=a(b)A 还有一个显而易见的： 8. 1A ＝A
惠州学院数学系
5
(m4) 1 ? f(x)= f(x).
注1：刚开始，步骤要完整.
惠州学院数学系
10
例5 C[a,b] 表示区间[a,b] 上连续实函数按照通常的加法 与数乘构成实数域 R的向量空间，称为函数空间 . 证明： 比照例3，给出完整步骤. 例6 （1）数域F是F上的向量空间. （2）R是Q上的向量
空间，R是否为C上的向量空间？
惠州学数学系
12
例8 在 R2 上定义加法和数乘：
(a, b) ? (c, d) ? (a ? c, b ? d ? ac) k (a,b) ? (ka, kb? k(k ? 1) a 2 )
2
证明 R2 关于给定运算构成R上的向量空间.
线性代数第-章向量空间PPT课件
3
子空间在映射下的变化
线性映射可以导致子空间中的向量发生旋转、平 移或拉伸等变化。
子空间与线性映射的相互影响
子空间对线性映射的限制
子空间的性质可以影响线性映射的作用范围和结果。
线性映射对子空间的构造
通过选择特定的线性映射，可以构造出具有特定性质的子空间。
子空间与线性映射的关系
子空间和线性映射之间存在密切的关系，它们在许多数学问题中都 扮演着重要的角色。
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，这个子集中的向量之间同样可以进行加法运算和数乘运算，并且这些运算也 满足封闭性、结合性和交换性等性质。子空间的定义是为了研究向量空间的一个特定部分，以便更好地理解和应 用向量空间。
向量空间的基与维数
总结词
基是向量空间中线性无关的向量组，它能够生成整个向量空间；维数则是向量空间的基 所包含的向量个数。
向量空间的推广到矩阵空 间
将向量空间中的元素推广到矩阵，形成矩阵 空间，使得线性变换和矩阵运算的结合更加 紧密，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的推广到函数空 间
将向量空间的元素推广到函数，形成函数空 间，使得函数的线性组合、内积等运算成为 可能，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的应用前景
判定条件二
如果存在一个线性映射f：V→W，使得V和W的基底之间存在一一对应关系，并且 这种对应关系保持向量加法和标量乘法的运算关系，则称V和W同构。
同构的应用场景
线性变换
几何变换
同构映射可以应用于线性变换中，将 一个向量空间中的线性变换转移到另 一个向量空间中。
同构映射可以应用于几何变换中，如 旋转、平移等，将一个向量空间中的 几何变换转移到另一个向量空间中。
同构
a1
a2
an
任取 , V , 设
a11 a2 2 an n , b11 b2 2
a1 b1
则 ,
的坐标分别为
a2
，
b2
，
an bn
1() 1( ) ( 1()) ( 1( )) ( 1() 1( ))
再由 是单射，有 1( ) 1() 1( )
同理，有 1(k) k 1(), V ,k P
线性相关（线性无关）.
V
V
1 2
（1） （2）
r
相
（r）
相
关
关
4） dimV dimV .
5）：V V 的逆映射 1 为 V 到V 的同构映射.
V
V
-1
V
V
V
是V到V 的同构映射。
6） 若W是V的子空间，则W在 下的象集
bn n
又 + (a1 b1 )1 (a2 b2 ) 2 (an bn ) n ,
k ka11 ka2 2 kan n ,
又 + (a1 b1 )1 (a2 b2 ) 2 (an bn ) n , k ka11 ka2 2 kan n ,
若 ( ) ( ), 即 aiei biei , 则 ai bi ,
i 1
i 1
i 1,2, ,n, 从而， . 所以 是单射.
向量空间的同构知识点总结
向量空间的同构知识点总结一、引言向量空间是线性代数中的一个重要概念，它是一个具有加法和数乘运算的集合，同时满足一定的性质。
同构是一个重要的概念，它指的是两个向量空间之间存在一个双射线性变换，使得它们具有相同的结构。
在本文中，我们将对向量空间的同构进行详细的介绍和总结。
二、向量空间的定义和性质向量空间是一个非空集合V，集合中的元素被称为向量，同时满足以下性质：1.加法封闭性：对于任意的向量u，v∈V，u+v∈V。
2.数乘封闭性：对于任意的向量u∈V和标量α，αu∈V。
3.加法结合律：对于任意的向量u，v，w∈V，有(u+v)+w=u+(v+w)。
4.加法交换律：对于任意的向量u，v∈V，有u+v=v+u。
5.加法单位元：存在一个向量0∈V，对于任意的向量u∈V，有u+0=u。
6.加法逆元：对于任意的向量u∈V，存在一个向量-v∈V，使得u+(-v)=0。
7.数乘结合律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有(αβ)u=α(βu)。
8.数乘分配律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有(α+β)u=αu+βu。
9.数乘分配律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有α(u+v)=αu+αv。
在向量空间中，我们可以定义向量的长度和夹角，从而引出内积和范数的概念。
内积和范数是向量空间的重要性质，它们在向量的运算和分析中起着重要的作用。
三、同构的概念同构是指两个向量空间之间存在一个一一对应的线性变换，使得它们具有相同的结构。
具体定义如下：设V和W是两个向量空间，如果存在一个线性变换T:V→W是一个一一对应，同时满足T(u+v)=T(u)+T(v)和T(αu)=αT(u)，则称V与W同构。
此时，我们将T称为从V到W的同构映射。
同构的概念是非常重要的，在许多情况下，我们需要将一个向量空间映射到另一个向量空间，通过同构，我们可以保持向量空间的结构不变，从而方便我们进行运算和分析。
四、同构的性质同构具有一些重要的性质，这些性质在研究向量空间的同构时起着重要的作用：1.同构是一一对应的：同构映射T是一个双射。
向量空间的同构与直和分解
向量空间的同构与直和分解向量空间是线性代数的重要概念之一，它是由一组向量所张成的集合。
这组向量的线性组合可以表示该空间中的任意向量。
对于一个向量空间，我们可以通过同构和直和分解两种方式来进一步研究其结构。
一、向量空间的同构同构是指两个向量空间在结构上完全一致。
具体地说，如果存在一个双射线性变换将一个向量空间映射成另一个向量空间，并且这个映射保持原来向量空间的所有结构，那么这两个向量空间就是同构的。
同构可以帮助我们揭示向量空间之间的一些重要性质，例如维数、基等等。
对于同构的向量空间来说，它们的维数相等，因为同构意味着它们具有完全相同的结构。
同时，同构的向量空间也具有相同的基。
因此，我们可以使用同构来方便地研究向量空间。
二、向量空间的直和分解直和分解是指将一个向量空间分解成若干个子空间的直和。
具体地说，如果一个向量空间V可以写成两个子空间W和U的直和，即V=W⊕U，那么我们称V是由W和U直和分解而来的。
直和分解可以帮助我们更好地理解向量空间中的子空间之间的关系。
对于直和分解的向量空间来说，它们可以通过组合子空间中的向量来表示其它任意向量。
同时，直和分解使我们得以对子空间进行独立地研究，从而更深入地理解向量空间中的结构。
三、同构与直和分解的联系同构和直和分解在研究向量空间时经常使用。
它们之间的联系在于，同构的向量空间可以用相应的基进行直和分解。
具体地说，如果V和U是同构的向量空间，那么它们的基可以一一对应。
我们可以使用这些基将V和U分别表示成它们的子空间的直和，然后通过同构将它们重新映射成同一个向量空间。
同构与直和分解的联系有助于我们更加深入地理解向量空间结构之间的联系。
它们相互依存，可以互相印证，帮助我们更全面地研究向量空间的性质。
结语向量空间的同构与直和分解是线性代数中重要的概念。
同构可以帮助我们揭示向量空间的性质，直和分解可以帮助我们理解向量空间中的子空间之间的关系。
它们之间有着密切的联系，相互印证，共同构成了向量空间的完整结构。
第六章向量空间
第六章 向量空间一 综述向量空间是高等代数最基本的概念之一,它用公理化方法首次引进了一个代数系,而这种公理化方法在高等代数以后各章以及在近世代数中将屡次遇到,它是近代数学研究的一个重要方法.本书以后各章如线性变换、欧几里德空间等概念都是直接建立在向量空间定义的基础上的.因此本章内容又是以后各章学习的基础. 二 教学目的使学生在集合、映射概念的基础上,理解并掌握向量空间的定义、性质和构造,并培养学生用公理化方法研究代数系的能力. 三 重点、难点教材重点：向量空间的定义、性质 教学难点：向量空间的定义6.1 定义和例子一 教学思考向量空间的定义是本章的重点和难点,是学生首次接触的一个用公理化方法引进的代数系.这一节的教学目的,不仅使学生正确理解和掌握向量空间的概念,而且应该使学生初步了解以集合论为基础运用公理化方法从具体的代数系抽象出一般的代数系的方法和意义,对此要心中有数,以便在教学中把传授知识与培养能力结合起来. 二 内容和要求1．内容：定义、例子及简单性质2．要求：掌握向量空间的概念及其简单性质,初步了解公理化的思想方法. 三 教学过程1． 引例 三维几何空间的实质及更多的类似结构的代数对象（略）. 2． 定义及例子定义 1 令F 是一个数域,F 中的元素用小写拉丁字母 ,,b a 表示；令V 是一个非空集合,V 中元素用小写希腊字母 ,,,γβα表示.我们把V 中的元素叫做向量,F 中的元素叫做纯量.若下列条件满足,就称V 是F 上的一个向量空间.1）在V 中定义了一个叫加法,对V 中任意两个向量βα,都有V 中唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做α与β的和,记为βα+.2）有一个纯量乘法,对于F 中的每一个数a 和V 中每一个向量α,有V 中唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做a 与α的积,记为αa .3）向量的加法和纯量乘法满足下列算律：F b a V ∈∈∀,;,,γβα有 （1）αββα+=+； （2）)()(γβαγβα++=++；（3）在V 中存在一个向量叫零向量,积作ο；它满足对V ∈∀α 有ααο=+； （4）对V ∈∀α,V ∈'∃α使得οαα=+'；这样的α'叫做α的负向量；（负向量的定义） （5）βαβαa a a +=+)(； （6）αααb a b a +=+)(； （7）)()(ααb a ab =； （8）αα=1. 3． 向量空间的简单性质1）由于向量的加法满足结合律,所以任意n 个向量相加有唯一确定的含义且可写为不加括号的和的形式；再者由于加法满足结合律和交换律,所以在求任意n 个向量的和时可以任意交换被加项的次序.2）命题6.1.1（零向量、负向量的唯一性）在一个向量空间V 中,零向量是唯一的；对V ∈∀α,α的负向量是由α唯一确定的.（同一法,略） 3）命题6.1.2 对V ∈∀α,F a ∈∀有οα=0,οο=a ； αααa a a -=-=-)()(； 0=⇒=a a οα或οα=.4． 介绍一种写法-——（向量矩阵的记法）设V n ∈ααα,,,21 ,把它们排成一行写成一个以向量为元素的n ⨯1矩阵（n ααα,,,21 ）,设)()(F M a A m n m n ij ⨯⨯∈=；定义（n ααα,,,21 ）),,,(21m A βββ =,其中)1(,1m j a ni i ij j ≤≤=∑=αβ.即按照数域F 上矩阵的乘法定义（n ααα,,,21 ）右乘以A （这里约定对V ∈∀α,F a ∈∀有a a αα=）.并且设)(F M A m n ⨯∈,)(F M B P m ⨯∈,由向量与纯量乘法所满足的算律有：（n ααα,,,21 ）B A AB n )),,,(()(21ααα = ,即结合律成立.6.2 子空间一 教学思考1．向量空间一章主要讨论向量空间的运算、性质和结构,一般是通过向量空间自身（基、维数等）或其子结构（子空间）来讨论的,这正是代数学的基本方法.因而本节的概念（子空间）和结论在理论上与方法上是重要的.2．由于本章与以后内容的（抽象）特点,需重点培养学生逻辑论证能力,除了在教学中经常结合问题讲解分析解决问题的一般思想方法外,还需对以后教学有重要影响的几类具体问题的论证思路作出明确的交代.本章主要是“子空间的判定”.3．内容作如下调整,即先定义子空间,再介绍为何称为子空间,然后介绍子空间的判定和运算. 二 内容要求1．内容：子空间的定义、子空间的交与和.2．要求：理解和掌握向量空间的子空间的概念和判定方法、子空间的交与和的概念.三 教学过程1．子空间的概念及判定 （1）定义定义1 设V 是数域F 上的向量空间,W 是V 的非空子集,若对V ∈∀βα,都有W ∈+βα,则称W 对V 的加法封闭.若对F a V ∈∀∈∀,α都有W a ∈α,则称W 对纯量乘法封闭.定义2 令W 是数域F 上的向量空间V 的一个非空子集,若W 对V 的加法和纯量乘法封闭,则称W 是V 的一个子空间.TH6.2.1设W 是数域F 上的向量空间V 的一个非空子集,若W 对V 的加法和纯量乘法封闭,则W 本身也作成F 上一个向量空间.（2）子空间的判定TH6.2.2向量空间V 的一个非空子集W 是V 的一个子空间的充要条件是对W F b a ∈∀∈∀βα,,,都有W b a ∈+βα.2．子空间的交与和定义3 设21,W W 都是V 的子空间,则21W W 称为两个子空间的交. 命题 21W W 也是V 的子空间.定义 4 设21,W W 都是V 的子空间,由所有能表示为),(221121W W ∈∈+αααα的向量组成的集合成为1W 与2W 的和,记为21W W +；即21W W +={}221121,|W W ∈∈+αααα. 命题 21W W +也是V 的子空间.6.3 向量的线性相关性一 教学思考1．向量的线性相关性在研究向量空间的结构时极为重要,并且学生在学习时感到困难的多是由于逻辑思维混乱以及推理不严谨造成的.2．本节重要的在于讲清诸概念,理清它们之间的关系,介绍一般方法和特殊方法,补充一些容易混淆的问题及一些错误做法或判断. 二 内容要求内容：向量的线性相关性定义、性质；替换定理；极大无关组.要求：正确理解和掌握向量组的线性相关性的概念及性质,掌握判断向量组线性关系的一般方法和特殊方法. 三．教学过程1．线性相关与线性无关（1）线性组合、线性表示及其性质定义 1 设r ααα,,,21 是向量空间V 的r 个向量,r a a a ,,,21 是数域F 中任意r 个数,我们把和r r a a a ααα ++2211叫做向量r ααα,,,21 的一个线性组合.定义 2 若V 中向量α可以表示成r ααα,,,21 的线性组合,即∃F a a a r ∈,,,21 使得r r a a a αααα ++=2211,则称α可以由r ααα,,,21 线性表示.（例略）性质 命题6.3.1向量组r ααα,,,21 中每一向量都可以由这一组向量线性表示.命题6.3.2若向量γ可以由r βββ,,,21 线性表示,而每个i β可由s ααα,,,21 线性表示,则γ可以由s ααα,,,21 线性表示.（2）线性相关、线性无关及有关性质定义3 设r ααα,,,21 是向量空间V 的r 个向量,若存在数域F 中r 个不全为0的数ra a a ,,,21 使得οααα=++r r a a a 2211,则称r ααα,,,21 线性相关,否则称r ααα,,,21 线性无关. 例1 若r ααα,,,21 中有一个零向量,则r ααα,,,21 一定线性相关. 例2 判断3F 中向量)9,7,1(),0,1,2(),3,2,1(321-==-=ααα是否线性相关 例3 在][x F 中对任意非负整数n ,证明nx x x ,,,,12线性无关.（解略）性质命题 6.3.3 若向量组{r ααα,,,21 }线性无关,则它的任一部分向量组也线性无关；等价地：若{r ααα,,,21 }有一部分组线性相关,则整个向量组{r ααα,,,21 }也线性相关.（证略）命题 6.3.4 设{r ααα,,,21 }线性无关,而{βααα,,,,21r }线性相关,则β一定可以由r ααα,,,21 线性表示,且表示法唯一.命题6.3.5 向量r ααα,,,21 （2≥r ）线性相关的充要条件是其中某个向量是其余向量的线性组合.（证略）2．向量组的等价、替换定理定义 4 设{}r ααα,,,21 和{}s βββ,,,21 是V 中的两个向量组,若每个),2,1(r i i =α都可以由s βββ,,,21 线性表示,而每个),2,1(s j j =β也可以由r ααα,,,21 线性表示,则称这两个向量组等价.定理6.3.6（替换定理）设向量组{}r ααα,,,21 （1）线性无关,且每个),2,1(r i i =α都可以由{}s βββ,,,21 （2）线性表示.则A ）s r ≤；B ）必要时对（2）中向量重新编号,使得用r ααα,,,21 替换r βββ,,,21 后得向量组{}s r r ββααα,,,,,,121 +（3）与（2）等价.推论6.3.7两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量. 3．极大无关组（讨论一个非零向量组的一种部分组）定义 5 向量组{r i i i ααα,,,21 }是向量组{}n ααα,,,21 的一个部分组（n r ≤）,若满足：1）ri i i ααα,,,21线性无关；2）每个),,1(n j j =α都可由ri i i ααα,,,21线性表示.则称rii i ααα,,,21是向量组{}n ααα,,,21 的一个极大线性无关部分组（简称极大无关组）. 极大无关组的求法：1）一般方法——设给定{}n ααα,,,21 ,求其一个极大无关组.先从1α考虑,若οα≠1,保留；考虑21,αα看其是否线性无关.无关,保留；相关舍去2α,考虑31,αα看其是否线性无关.依次类推直至n α,便得.（由于考虑次序不同可得不同的极大无关组）例4 求向量组{}32,2,,12+++x x x x 的一个极大无关组.（解略）2）特殊方法——对n F 中向量组{}n ααα,,,21 ,求极大无关组. 首先：可以证明“命题”：“设)(F M m n ⨯的矩阵A 经过行的初等变换得到)(F M m n ⨯的矩阵B ,则A 与B 的列向量有相同的线性关系.”（证略）这样可得：A ）求nm F ∈ααα,,,21 的线性关系,可以以m ααα,,,21 列作矩阵A ,通过对A 作行初等变换化为标准形B ,由B 的列向量的线性关系可得A 的列向量的线性关系.进而B ）用上述方法可求n F 中向量组{}n ααα,,,21 的极大无关组. 例5 求3R 中向量组)6,1,5(),4,0,3(),3,1,2(),1,2,1(4321====αααα的一个极大无关组. 解：以4321,,,αααα为列作矩阵B A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210010101001643110125321.设B 的列向量为4321,,,ββββ,这样4321,,,αααα与4321,,,ββββ有相同的线性关系.容易看出321,,βββ线性无关,且=4β3212βββ+-；因此321,,ααα线性无关且=4α3212ααα+-.于是321,,ααα是4321,,,αααα的一个极大无关组.6.4 基与维数一 教学思考1．向量空间的结构中基起着重要作用,那么基概念的引入及作用为重点.2．从内容上本节在于给出了基与维数的概念后,解决基的存在性、个数及求法,要注意方法的总结归纳,特别是生成子空间.3．从定义上维数依赖于基,即要求一个向量空间的维数须求一个基；但反过来从结果上看,若已知维数n 求基的话,即求一组n 个线性无关的向量.4．本节及以后主要讨论有限维向量空间,有所谓的维数公式,其反映有限维向量空间的两个子空间与它们的和与交空间的维数之间的关系.在证明中,从“最小”的子空间的基出发逐步扩充为所出现的子空间的基的方法是重要的.5．基的存在性、个数、求法（生成子空间的基的求法）、余子空间等方法,注意总结归纳. 二 内容要求内容：向量空间的基与维数,有限维向量空间的维数公式,余子空间要求：正确理解和掌握向量空间的基与维数的概念,余子空间的定义,了解基在向量空间的结构中的重要作用,掌握求基、余子空间的一般方法和特殊方法. 三 教学过程1．引言我们知道当{}ο≠V 时,V 有无穷多向量,那么它们之间的结构如何？具体地,我们能否用V 中有限个向量表示所有向量.下面讨论这个问题.2．一类特殊子空间——由一组向量生成的子空间定义1设V r ∈ααα,,,21 ,那么由r ααα,,,21 的线性组合组成的集合{}F a a a a W i r r ∈+++=|2211ααα 称为由这一组向量r ααα,,,21 生成的子空间.记为L （r ααα,,,21 ）,其中r ααα,,,21 叫做生成元.例1 n F 中)1,,0,0(,),0,,,0,1(1 ==n εε,则nn F L =),,(1εε . 例2 ][x F 中n n x x ===+121,,,1ααα ,则][),,,1(x F x x L n n= .关于生成子空间有：定理 6.4.1设V n ∈ααα,,,21 ,且不全为零向量,r i i i ααα,,,21 为其一个极大无关组,则L （n ααα,,,21 ）=L （r i i i ααα,,,21 ）.3．基与维数1）定义2 设V n ∈ααα,,,21 ,若1）n ααα,,,21 线性无关；2）V ∈∀α都可由n ααα,,,21 线性表示.则称n ααα,,,21 为V 的一个基.定义 3 一个向量空间V 的一个基所含向量的个数叫做V 的维数；记为V dim .规定零空间的维数为0.2）定理定理6.4.2（基的作用）设n ααα,,,21 为V 的一个基,则V ∈∀α都可唯一地由n ααα,,,21 线性表示.定理6.4.3n 维向量空间V 任意多于n 个向量的向量组一定线性相关.定理 6.4.4设n V =dim ,V r ∈ααα,,,21 线性无关（易知n r ≤）,则总可以添加r n -个向量n r r ααα,,,21 ++,使得n ααα,,,21 作为V 的一个基.特别V 的任意n 个线性无关向量都可以取作基.例3 将)1,2,3,1(),1,0,2,1(21-==αα扩充为4R 的一个基.解：（法一）思想方法：由定理的证明过程,取4R 的一个基（如标准基4321,,,εεεε）,然后用21,αα代替其中某两个如21,εε,使得21,αα,43,εε线性无关；而代替哪两个,可用逐步添加法使添在21,αα上后线性无关.（法二）思想方法：可以从21,αα出发,利用21,αα为列再添上两个作成一个4阶方阵A ,使得0≠A ,如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1011012000320011,取)1,0,0,0(),0,1,0,0(23==αα,则4321,,,αααα为4R 的一个基. 定理6.4.5设21,W W 是F 上向量空间V 的两个有限维子空间,则21W W +也是V 的一个有限维子空间,且：)dim (dim dim )dim (212121W W W W W W ⋂-+=+.推论 对n 维向量空间V 的子空间21,W W 有：}{dim dim dim 2121ο=⋂⇔=+W W V W W .4．余子空间（1） 定义：设W 是V 的子空间,若存在V 的子空间W '满足：1）V W W ='+,2）){ο='⋂W W ；则称W '是W 的一个余子空间,且称V 是W 与W '的直和,记为W W V '⊕=. （2）定理定理 6.4.6设W W V '⊕=,则对V ∈∀α有α可以唯一地表示成ββα'+=,其中W W '∈'∈ββ,.定理 6.4.7n 维向量空间V 的任一子空间W 都有余子空间.若W '是W 的一个余子空间,则V W W dim dim dim ='+.（3）上述概念及结论可扩充至有限设t W W W ,,,21 是V 的子空间,若1）t W W V ++= 1；2）{}),,2,1(,)(111t i W W W W W t i i i ==+++++⋂+-ο,则称V 是t W W W ,,,21 的直和,记为t W W V ⊕⊕= 1.且有类似于定理6、7的结论.6.5 坐标一 教学思考1．对n 维向量空间V 取定基后,任意向量引入了坐标的概念后,可将抽象的对象用具体的形式（nF中的向量）表示出来,为我们研究抽象的向量空间提供了方便,如由此可建立n V 与nF 的同构,所以本节概念及结论在空间的讨论中有重要的作用.2．注意坐标的概念依赖于基的选择,坐标变换依赖于相应的基变换；注意过渡矩阵的概念与性质以及结论,其是下节建立n V 与nF 的同构的基础.3．具体方法有：1）坐标的求法（定义法、坐标变换法）；2）过渡矩阵的求法；3）过渡矩阵的性质及由此反映的矩阵的运算的意义. 二 内容要求1． 内容：坐标、基变换、坐标变换、过渡矩阵；2． 要求：掌握坐标的概念及其意义,基变换与坐标变换公式,过渡矩阵的概念和性质. 三 教学过程（一） 坐标的概念1．定义 设{}n n V αα,,,dim 1 =是V 的一个基,对V ∈∀ξ有n n a a ααξ++= 11,则称n 元有序数组),,(1n a a 为向量ξ关于基{}n αα,,1 的坐标；其中i a 叫做向量ξ关于基{}n αα,,1 的第i 个坐标.2．定理6.5.1设{}n n V αα,,,dim 1 =是V 的一个基,V ∈ηξ,关于此基的坐标分别为),,(1n x x 和),,(1n y y ,则ξηξk ,+关于此基的坐标分别为: ),,(11n n y x y x ++ ,),,(1n ax ax .（二）坐标变换 1．基变换设,dim n V ={}n αα,,1 和{}n ββ,,1 是V 的两个基,则每个j β),,2,1(n j =可由{}n αα,,1 线性表示,设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=nn n n nn nn a a a a a a ααβααβααβ1112112211111 （1）,以j β关于基{}n αα,,1 的坐标为列构成的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a T212222111211称为由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵. （1）式可以写成矩阵等式),,(1n ββ =T n ),,(1αα （2）；称（1）或（2）为（由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的）基变换. 设V ∈ξ关于基{}n αα,,1 的坐标为),,(1n x x ,关于基{}n ββ,,1 的坐标为),,(1n y y ,则一方面=ξ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x 11),,(αα （3）；另一方面=ξ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n y y 11),,(ββ （4）；（2）代入（4）得=ξ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y T 11)),,((αα=))(,,(11⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n y y T αα （5）,比较（3）和（5）由坐标的唯一性得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x 1=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n y y T 1 （6）；于是得 定理 6.5.2设,dim n V =T 由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵,则V ∈ξ关于基{}n αα,,1 的坐标与关于基{}n ββ,,1 的坐标为),,(1n y y 由等式（6）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x 1=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n y y T 1联系着.3．过渡矩阵的性质 （1）基变换的传递性设,dim n V ={}n αα,,1 、{}n ββ,,1 、{}n γγ,,1 都是V 的基,且由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵为A ,基{}n ββ,,1 到基{}n γγ,,1 的过渡矩阵为B ,即),,(1n ββ =A n ),,(1αα 、),,(1n γγ =),,(1n ββ B ,则),,(1n γγ =A n ),,(1αα B ,即由基{}n αα,,1 到基{}n γγ,,1 的过渡矩阵为AB .（2）定理6.5.3设,dim n V =由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵为A ,那么A 是一个可逆矩阵.反过来,任意一个n 阶可逆矩阵A 都可以作为n 维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵.且若由基{}n αα,,1 到基{}n ββ,,1 的过渡矩阵为A ,则由基{}n ββ,,1 到基{}n αα,,1 的过渡矩阵为1-A .6.6 向量空间的同构一 教学思考1．向量空间的本质是一个带有加法和数乘的代数系,我们研究向量空间着眼点主要在于运算,至于元素是什么无关紧要.把具有某种关系的向量空间作为本质上没有区别的加以研究,从而取出其代表加以研究讨论以达到目的,本节正是解决这样一个问题.2．“同构”是这种关系的体现,在此关系下,同构的向量空间可以不加区别,因而维数就成了数域F 上有限维向量空间的唯一本质特征.3．注意“同构”映射的概念,向量空间同构的概念及各自的性质,以及有限维向量空间同构的判定. 二 内容要求1、内容：同构映射、向量空间同构的概念及各自的性质,有限维向量空间同构的判定.2、要求：理解向量空间同构的概念及性质,有限维向量空间同构的判定. 三 教学过程1．同构的概念和性质 （1）概念1）同构映射 设V 和W 是数域F 上两个向量空间,V 到W 的一个映射f 叫做一个同构映射； 若A ）f 是V 到W 的一个双射；B ）对)()()(,ηξηξηξf f f V +=+⇒∈∀；C ）对)()(,,ξξξaf a f V F a =∈∀∈∀.（2）定理6.6.1数域F 上任一n 维向量空间V 都与nF 同构. （3）性质 1）同构映射的性质定理6.6.2设V 和W 是数域F 上两个向量空间, f 是V 到W 的一个同构映射,则: A);)(οο=f B)对ααα-=-∈∀)(,f V ;C))()()(1111n n n n f a f a a a f αααα++=++ ,其中V F a i i ∈∈α,; D))(,,1V n ∈αα 线性相关))((,),(1W f f n ∈⇔αα 线性相关; E) f 的逆映射1-f是W 到V 的一个同构映射.2）同构关系的性质（等价关系）A ） 反身性：V V ≅；B ） B ）对称性：若W V ≅,则V W ≅；C) 传递性：若W V ≅,U W ≅,则U V ≅.（由双射性质及定义易证） 2．有限维向量空间同构的充要条件定理6.6.3数域F 上两个有限维维向量空间V 和W 有：W V ≅W V dim dim =⇔.6.7 矩阵的秩,齐次线性方程组的解空间一 教学思考1．矩阵的秩与线性方程组解的理论在前面已经有过讨论,本节运用向量空间的有关理论重新认识矩阵的秩的几何意义,讨论线性方程组解的结构.2．注意：齐次线性方程组（含n 个未知量）的解的集合构成nF 的子空间,而非齐次线性方程组的解的集合非也.3．注意具体方法：1）证矩阵的行空间与列空间的维数相等；2）求齐次线性方程组的基础解系. 二 内容要求1、内容：矩阵的秩的几何意义,齐次线性方程组的解空间.2、要求：理解掌握矩阵的秩的几何意义,齐次线性方程组的基础解系的求法. 三 教学过程1．矩阵的秩的几何意义几个术语：设)(F M A n m ⨯∈,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m n a a a a A 1111,A 的每一行看作nF 的一个元素,叫做A 的行向量,用),2,1(m i i =α表示；由),2,1(m i i =α生成的nF 的子空间),,(1m L αα 叫做矩阵A 的行空间.类似地,A 的每一列看作mF 的一个元素,叫做A 的列向量；由A 的n 个列向量生成的mF 的子空间叫做矩阵A 的列空间.引理6.7.1设)(F M A n m ⨯∈,1）若PA B =,P 是一个m 阶可逆矩阵,则B 与A 有相同的行空间；2）若AQ C =,Q 是一个n 阶可逆矩阵,则C 与A 有相同的列空间.定理6.7.2矩阵)(F M A n m ⨯∈的行空间的维数等于列空间的维数,等于这个矩阵的秩.定义 矩阵A 的行（列）向量组的极大无关组所含（行（列）空间的维数）向量的个数,叫做矩阵A 的秩.2．线性方程组的解的结构1）再证线性方程组有解的判定定理：“数域F 上线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相同.”2）齐次线性方程组的解空间设⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00111111n mn m n n x a x a x a x a（3）是数域F 上一个齐次线性方程组,令A 为其系数矩阵,则（3）可写为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 n x x A （4）或ο=AX ；（3）的每一个解都可以看作n F 的一个向量,叫做（3）的一个解向量.令S 表示（3）的全体解向量构成的集合；首先：因S ∈ο,所以Φ≠S ；其次：F b a S ∈∀∈∀,,,ηξ,有οηξηξ=+=+bA aA b a A )(,即S b a ∈+ηξ.因此S 作成nF 的一个子空间,这个子空间叫做齐次线性方程组（3）的解空间.重新回顾解线性方程组的过程：设（3）的系数矩阵A 的秩为)(n r <,则A 可经过一系列（行）初等变换化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r n r m r r m r n r r C I ,,,οο,与此相应的齐次线性方程组为：（5）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++=+++++++0000001111111 n rn r rr r n n r r y c y c y y c y c y ,这里n y y ,,1 是n x x ,,1 的重新编号.（5）有r n -个自由未知量n r y y ,,1 +,依次让它们取)1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1( ,可得（5）的r n -个解向量：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++++++100,,010,001122121111 rn n n rr r r rr r r c c c c c c ηηη.下面证其是（5）的解空间的一个基. 首先：n r ηη,,1 +线性无关.事实上设οηη=++++n n r r k k 11,由下面r n -个分量易得01===+n r k k .其次：设),,,(21n k k k 是（5）的任一解,代入（5）得：n rn r rr r nn r r nn r r k c k c k k c k c k k c k c k ---=---=---=++++++112112211111又有恒等式：nn r r k k k k ==++ 11此n 个等式即为n n r r n k k k k ηη++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 111,即（5）的每个解向量都可以由n r ηη,,1 +线性表示,故{n r ηη,,1 +}为（5）的解空间的一个基.注意到（5）与（4）在未知量重新编号后同解,所以重新编排n r ηη,,1 +的次序可得（4）的解空间的一个基,从而解决了齐次线性方程组的解的构造问题.并且上述讨论也给出了求解空间的具体方法：即通过解方程组的允许变换得到等价组,在等价组中自由未知量是清楚的,给其一组线性无关值,便得等价组的一组解向量,其构成等价组的解空间的一个基,再调整解向量的次序便得.上述讨论得：定理 6.7.3数域F 上一个n 元齐次线性方程组的一切解作成nF 的一个子空间,称之为这个线性方程组的解空间.若所给方程组的系数矩阵的秩为r ,则解空间的维数为r n -.定义 一个齐次线性方程组的解空间的一个基,叫做这个方程组的一个基础解系.3）非齐次线性方程组的解的结构 设))((,11F M A b b x x A n m m n ⨯∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （6）是数域F 上一个n 元线性方程组.问题当（6）有无穷解时,解的结构如何？为此先引入：把（6）的常数项都换成0,便得一个齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001 n x x A （7）,齐次线性方程组（7）叫做方程组（6）的导出齐次线性方程组.定理6.7.4若（6）有解,则（6）的任一解都可以表示为（6）的一个固定解与（7）的一个解的和.。
高等代数讲义
2) [f (x)+g(x)]+h(x)＝f (x)+[g(x)+h(x)]；
3) 0+f (x)＝f (x), 0是Fn [x]中的零多项式；
4) 对任意f (x) Fn [x]，存在g(x),使f (x)+g(x)＝0；
(1, 2,…, n)A=(1, 2,…, m)
其中:
n
n
j jaij aij j a1 j1 a2 j2 anjn ,
i1
i1
可以证明: (1, 2,…, n)(AB)=((1, 2,…, n)A)B.
1 j m.
ir
表示.
推论5.2.8 两个等价的向量组极大无关组含有相同个数的向量. 特别地, 一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量.
5.2 向量的线性相关性
定义1 设1, 2,…, r是向量空间V中的r个向量, 对于数域F中的 任意r个数a1, a2,…, ar, 我们把a11+a22+…+ arr称为1, 2,…, r的 一个线性组合. 如果向量等于向量1, 2,…, r的某个线性组合, 则 称可以由1, 2,…, r线性表示.
例8 任意数域F总可以看成它自身上的向量空间.
例9 实数域中所有收敛于0的无穷序列构成实数域上 的一个向量空间. 二. 性质
命题5.1.1 在一个向量空间V中, 零向量是唯一的; 对 于V中的每一向量, 的负向量是由唯一确定的. 的负 向量记作 .
命题5.1.2 对于任意向量和任意数a都有: 0=0, a0=0.
向量空间——精选推荐
5． 证明向量组α1 = (1,2,−1),α2 = (0,−1,3),α3 = (1,−1,0) 与 向量组 β1 = (2,1,5), β2 = (− 2,3,1), β3 = (1,3,2) 都是 R3 的基，并且求由基α1,α2,α3 到基
β1, β2, β3 的过渡矩阵.
6． 已知α1 = (2,1,−1,1),α2 = (0,3,1,0),α3 = (5,3,2,1),α4 = (6,6,1,3) ，证明α1,α2,α3,α4 作成
3． 设 n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 r ，试证方程组的任意 n − r 个线性无关的解
都是它的一个基础解系.
4． 在线性方程组有解的条件下，证明解惟一的充要条件是导出方程组只有零解.
5． 如果α1,α2 , ,αr 都是某线性方程组的解，且有一组数 k1, k2 , , kr 满足： k1 + k2 + + kr = 1，证明： k1α1 + k2α2 + + krαr 也是这个方程组的解.
4．下列论断对的予以证明，错的举出反例：
(1) 若 β 不能由α1,α2, ,αs 线性表示，则α1,α2, ,αs , β 线性无关； (2) 若α1,α2, ,αs 线性无关，而αs+1 不能由α1,α2, ,αs 线性表示，则α1,α2, ,αs ,αs+1
线性无关；
(3) 若α1,α2, ,αs 线性相关，那么其中每一向量都是其余向量的线性组合； (4) 如 果 有 一 组 不 全 为 0 的 数 k1, k2, , ks ， 使 得 k1α1 + k2α2 + + ksαs ≠ 0 ， 则 α1,α2, ,αs 线性无关. 5．证明 F 3 中任意四个向量都线性相关.
第6章课后题
第六章 向量空间 §6.1 定义和例子1．令F 是一个数域，在3F 里计算 （i ）()()();1,1,0212,1,11,0,231-+--+-（ii ）()().1,3,12,31,131,1,05-+⎪⎭⎫⎝⎛--2．证明：如果()()()()0,0,04,1,12,1,03,1,2=-++c b a ，那么a = b = c = 0．3．找出不全为零的三个有理数a ，b ，c （即a ，b ，c 中至少有一个不是0），使得()()()().0,0,06,2,54,0,32,2,1=-++c b a4．令ε1 =()0,0,1，ε2 =()0,1,0，ε3 =()1,0,0.证明，3R 中每一个向量α 可以唯一地表示为332211εεεαa a a ++=形式，这里R a a a ∈321,,.5．证明，在数域F 上向量空间V 里，以下算律成立： （i ）a (βα-) = a α- a β；(ii) (a- b) α= a α- b α, 这里a ，b ∈ F ，α,β∈V ．6．证明：数域F 上一个向量空间如果含有一个非零向量，那么它一定含有无限多个向量．7．证明，对于任意正整数n 和任意向量α，都有n α=α+…+α．8．证明，向量空间定义中条件3º，8）不能由其余条件推出． 9．验证本节最后的等式：（α1，…，αn ）(AB ) =（（α1，…，αn ）A ）B ．§6.2 子空间1．判断R n 中下列子集哪些是子空间： (i){（a 1，0，…，0，a n ）| a 1，a n ∈R }； (ii){（a 1 ，a 2 ，…，a n ）|∑=ni 1a i =0}；(iii){（a 1 ，a 2 ，…，a n ）|∑=ni 1a i =1}；(iv){（a 1 ，a 2 ，…，a n ）| a i Z ∈，i = 1，…，n }.2．()F M n 表示数域F 上一切n 阶矩阵所组成的向量空间（参看6.1，例2）令S={ A ∈()F M n |A A =' }， T ={ A ∈()F M n |A A -=' }．证明，S 和T 都是 ()F M n 的子空间，并且M n (F) = S + T ，S ⋂ T={0}．3．设1W ，2W 是向量空间V 的子空间，证明：如果V 的一个子空间既包含1W 又包含2W ，那么它一定包1W +2W ．在这个意义下，1W +2W 是V 的既含1W 又含2W 的最小子空间．4．设V 是一个向量空间，且V ≠{0}．证明：V 不可能表成它的两个真子空间的并集．5．设W ，1W ，2W 都是向量空间V 的子空间，其中1W ⊆2W 且W ⋂1W =W ⋂2W ，W +1W =W +2W .证明：=1W 2W ．6．设1W ，2W 是数域F 上向量空间V 的两个子空间，α,β是V 的两个向量，其中α∈W 2，但α∉ 1W ，又β∉ 2W 证明：(i)对于任意k ∈F, β+k α∉2W ； (ii)至多有一个k ∈F ，使得β+k α∈1W ．7．设1W ，2W ，…，W r 是向量空间V 的子空间，且V W i ≠,r i ,2,1=. 证明：存在一个向量ξ∈V ，使得ξ∉i W , r i ,2,1=.[提示：对r 作数学归纳法并且利用第6题的结果．] §6.3 向量的线性相关性1.下列向量组是否线性相关:(i)（3，1，4），（2，5，-1），（4，-3，7）； (ii)（2，0，1），（0，1，-2），（1，-1，1）；(iii)（2，-1，3，2），（-1，2，2，3），（3，-1，2，2），（2，-1，3，2）． 2．证明，在一个向量组{r ααα,,,21 }里，如果有两个向量i α与j α成比例，即i α=k j α，F k ∈，那么{r ααα,,,21 }线性相关．3．令i αn i F a a a n in i i ,,2,1,),,,(21 =∈=。
一般向量空间与线性变换知识点总结
下的坐标。 例2、求 P[ x ]3 的元 f ( x ) 1 x x 在基 1, x 1, ( x 1)( x 2) 下的坐标。
2
（2）利用坐标变换公式
, 2 , ( 1
) ( 1 , 2 , , n
, n ) A, V ( F )
(1) F [ x ] a0 a1 x
an x n ai F , n N
(2) Fn [ x ] a0 a1 x
a n 1 x n 1 a i F
f ( x ) P[ x ] f ( x ) 0 or f ( x ) n
其系数行列式
1 1 1 1
②
2 ( 1)( 2 1)( 2 ) 0 1 2
∴方程组②只有零解： k1 k2 k3 0
故 E , A, A 线性无关. 又由①知，任意均可表成 E , A, A 的线性组合， 所以V为三维线性空间， E , A, A 就是V的一组基.
到基
G1 0 1 , G2 1 0 , G3 1 1 , G4 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0
的过渡矩阵。
练习：已知 P 22 的两组基：
E11 1 0 , E12 0 1 , E21 0 0 , E22 0 0 ; 0 0 0 0 1 0 0 1 F11
2、向量空间的简单性质
1)、零元素是唯一的.
2)、 V ，的负元素是唯一的，记为- ．
0 0, k 0 0, ( 1) , 3)、 k ( ) k k
高等代数的几点心得
高等代数教学的几点心得高等代数是大学数学专业最主要的基础课(数学分析、几何学、高等代数）之一，是进一步学习数学必备的内容。
高等代数也是训练抽象思维能力的最好的入门课程。
在教学中我的指导思想是：通过这门课的学习，不仅要使学生掌握高等代数的基本知识，基本方法，基本思路，同时还要传授学生代数学的基本思想，如分解结构的思想，特别是同构对应的思想。
其次通过活泼互动的课堂教学，刺激学生的学习兴趣；通过探索讨论课，调动学生的学习主动性，养成思考和探索的精神；通过难题攻关，享受理解和应用数学思想和方法的乐趣，提高创新能力。
此外由于我们培养的是师范生，要借助高等代数观点，深化学生对中学教学教材的认识。
为他们在将来的教学之路做好准备。
最后引导学生逐步树立和发展积极高尚的人生观，价值观。
但是高等代数其教学内容具有高度的抽象性，逻辑性，概况性。
学生往往感到学起来比较困难，为了达到上述的目的针对这些情况我做了如下的安排：一、高等代数与初等数学相联系（一）、用初等数学的知识作基础，加强对高等代数的理解。
学习大学数学课程，有很多与中学数学有联系的地方。
在高等代数课程的教学过程中，当讲解一个新的抽象概念或知识点时，应该充分利用学生已有的数学知识利用对比、联想的方法引导和启发学生进行概念发现和创造。
从而培养学生的抽象思维能力和理解概念分清实质的能力。
比如和初等数学联系比较紧密的多项式、行列式、线性方程组，二次型。
在教学中充分发挥初等数学的源头作用，让高度抽象的高等代数概念找到初始的原形，在对比中辨别高等代数与初等数学在处理问题思维方式上的异同。
以此，提高对高等代数内容的理解。
例如：在多项式概念的教学中，先复习初等数学中多项式的概念，然后引入高等代数的多项式概念，利用类比的方法，让学生知道高等代数中多项式所含X只是一个形式上的文字符号，不一定必须是数，而初等数学中多项式所含X只能表示一个数。
高等代数中的多项式在一般情况下，是一个形式的表达式，而初等数学中只表示一个函数，它们是特例与一般的关系。
56向量空间的同构
5.6向量空间的同构一、线性空间同构的定义定义1：设 ()V, F 、()W, F是两个向量空间。
V 到W 的一个映射 f 叫做一个同构映射，如果（i ）f 是V 到W 的双射；（ii ）()()(), V f f f αβαβαβ∀∈⇒+=+；（iii ） ()()F, V a f a af ααα∀∈∈⇒=如果V 到'V 的同构映射存在，则称V 与'V 同构，记为'.V V ≅二、 同构映射的性质1. 设f 是V 到W 的同构映射，则1f-是W 到V 的同构映射。
2. 设 f 是V 到W 的同构映射，则（i ）()00f =（ii ）()()V f f ααα∀∈⇒-=-（iii ）()()(), F, , V a b f a b af bf αβαβαβ∀∈∈⇒+=+（iv ）12, ,, n ααα 线性相关12(),( ),, ()n f f f ααα⇔ 线性相关.证明: (i) 由定义的条件(3), 取0α=, 那么(0)(0)0()0f f f αα===.(i i) 由定义的条件(2), ()()(())(0)0f f f f αααα+-=+-==.所以有()()f f αα-=-.(i i i) 利用条件(2)和(3)可直接得到.(iv) 如果12,,,n ααα 线性相关, 那么存在不全为零的数12,,,n a a a F ∈ , 使得11220n n a a a ααα+++= .由(i)和(iii)得到112()()()n n a f a f a f ααα+++ 1122()(0)0n n f a a a fααα=+++== . 于是12(),(),,()n f f f ααα 线性相关. 反之, 如果12(),(),,()n f f f ααα 线性相关, 那么存在不全为零的数12,,,n a a a F ∈ ,使得1122()()()0n n a f a f a f ααα+++=3. 设 ()V , F 、()W, F 是两个向量空间，12, ,, n ααα 是V 的基，f 是V 到W 的同构映射，则 12(),( ),, ()n f f f ααα 是W 的基.证明思路: 1、12(),(),,()n f f f ααα 线性无关.2、每个都能由12(),(),,()n f f f ααα 线性表出.三、 线性空间的同构如果两个线性空间 ()V, F 与 ()W, F 之间可以建立一个同构映射,那么就说 ()V , F 与()W, F 同构,记作()()V, F W, F ≅定理5.6.1设 ()V , F , d i m V n =，则 V F n≅. 证明: 由V 是数域F 上的一个n 维线性空间, 取定V 的一个基12{,,,}n ααα , 对任意关于基12{,,,}n ααα 的坐标为12(,,,)n a a a .令12:(,,,).n f a a a α→显然f 是V 到n F 的一个双射.如果对于任意,,V αβ∈ 并且12()(,,,)n f a a a α= , 12()(,,,)n f b b b β= . 由定理5.5.1得11221122()(,,,)(,,,)n n n n f f a b a b a b a b a b a b αβ+=+++=+++1122(,,,)n n a b a b a b =+++1212(,,,)(,,,)n n a a a b b b =+()()f f αβ=+对于12,(,,)()n a F f a a a af αααα∈= , 从而f 是V 到n F 的同构映射, 故n V F ≅. 定理5.6.2向量空间的同构是一个等价关系.证明: 反身性和传递性显然, 下面主要证明对称性.设V W ≅, f 是线性空间V 到W 的同构映射, 由于f 是V 到W 的双射, 所以是1f -是W 到V 的双射, 且1ff -是W 到W 的恒等映射,是1f f -是V 到V 的恒等映射. 设,W αβ∈, 由于f 是V 到W 的同构映射111(())(())(())f f f f f f αβαβαβ---+=+=+ 11(()())f f f αβ--=+.因为f 是单射, 所以111()()()f f f αβαβ---+=+.同理可证, 对任意,,a F W α∈∈11()()fa af αα--=, 故有1f -是W 到V 的同构映射.定理5.6.3 ()()V, F, dimV W, F, dimW n m n m =≅=⇔= 证明: ""⇒如果V W ≅, 设f 是V 到W 的同构映射, 12{,,,}n ααα 是V 的基, 则由定理有12(),(),,()n f f f ααα 是W 的一个基, 因而m n =. ""⇐设m n =, 则,n n V F W F ≅≅, 于是V W ≅.定理表明: 数域F 上具有相同维数的线性空间本质上是一致的.例：设n ααα,,,21 是n 维空间的V 的一个基，A 是n ⨯s 矩阵 A n s ),,,(),,,(2121αααβββ = 证明：),,,(21s L βββ 的维数等于A 的秩。
线性空间的同构
§8.线性空间的同构一、 同构映射的定义 引入我们知道，在数域P 上的n 维线性空间V 中取定一组基后，V 中每一个向量 有唯一确定的坐标 ，向量的坐标是P 上的n 元数组，因此属于. 这样一来，取定了V 的一组基对于V 中每一个向量 ，令 在这组基下的坐标 与对应，就得到V 到np 的一个单射反过来，对于中的任一元素 是V 中唯一确定的元素，并且 即 也是满射.因此， 是V 到np 的一一对应.这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上任取 设则 从而这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以归结为它们的坐标的,,V αβ∈12:,(,,,)n n V P a a a σα→12(,,,)n a a a 1122n na a a αεεε=+++12()(,,,),n a a aσα=12(,,,)n a a a 12,,,nεεε12(,,,)n a a a 1122,n n a a a αεεε=+++1122n nb b b βεεε=+++12()(,,),n a a a σα=12()(,,,)n b b b σβ=1122()(,,)n n a b a b a b σαβ+=+++1212(,,)(,,,)()()n n a a a b b b σασβ=+=+12()(,,)n k ka ka ka k Pσα=∀∈12(,,)(),n k a a a k σα==αααασσ运算.一、同构映射的定义设 都是数域P 上的线性空间，如果映射 具有以下性质： i) 为双射 ii) iii)则称 的一个同构映射，并称线性空间 同构，记作 例1、V 为数域P 上的n 维线性空间， 为V 的一组基，则前面V 到np 的一一对应这里 为在 基下的坐标，就是一个V 到Pn 的同构映射，所以 二、 同构的有关结论1、数域P 上任一n 维线性空间都与np 同构.2、设 是数域P 上的线性空间，的同构映射，则有1） 2）3）V 中向量组线性相关（线性无关）的充要条件是它,V V 'V V σ'→：()()(),,Vσαβσασβαβ+=+∀∈()(),,k k k P Vσασαα=∀∈∀∈12,,,n εεε:,n V P σ→Vα∀∈12(,,,)n a a a 12,,,n εεε.n V P ≅,V V 'V V σ'是到()()()00,.σσασα=-=-1122()r r k k k σααα+++1122()()(),r r k k k σασασα=+++,,1,2,,.i i V k P i r α∈∈=12,,,r ααασV V σ'是到V V '与.V V '≅12(,,,)n a a a α们的象 线性相关（线性无关）.4） 5） 的逆映射 为 的同构映射. 6） 若W 是V 的子空间，则W 在下的象 是的 子空间 证： 1）在同构映射定义的条件iii) 中分别取即得 2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果. 3）因为 可得反过来，由可得 而 是一一对应，只有 所以可得 因此，线性相关（线性无关） 线性相关（线性无关）.4）设 为V 中任意一组基.由2）3）知， 为的一组基. 所以 5）首先是1－1对应，并且 I 为恒等变换任取 由于 是同构映射，有dim dim .V V '=V V σ'→：(){()}W W σσαα=∈dim dim ().W W σ=()()k k σασα=01,k k ==-与()()()00,σσασα=-=-11220r r k k k ααα+++=1122()0.r r k k k σααα+++=(0)0.σ=11220.r r k k k ααα+++=12,,,r ααα12(),(),,()r σασασα⇔12,d ,,im ,n V n εεε=12(),(),,()n σεσεσεdim dim .V n V '==11,,V V I I σσσσ--'==,,V αβ'''∈11(())()σσαβσσαβαβ--''''''+=+=+1111()()(())(())σσασσβσσασσβ----''''=+=+12(),(),,()r σασασα1σ-V V '到σV '1122()()()0r r k k k σασασα+++=1122()()()0r r k k k σασασα+++=σ1:V V σ-'→σ11(()())σσασβ--''=+再由 是单射，有 同理，有所以， 为的同构映射.6）首先， 其次，对 有W 中的向量 使 于是有由于W 为子空间，所以 从而有 所以 是的 子空间. 显然， 也为W 到 的同构映射，即 注由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.3、两个同构映射的乘积还是同构映射.证：设 为线性空间的同构映射，则乘积 是 的1－1对应. 任取111()()()σαβσασβ---''''+=+11()(),,k k V k P σασαα--''''=∀∈∀∈()()W V V σσ'⊆=()()(),W W σσσ∈∴≠∅且0=0(),,W αβσ''∀∈,αβ()(),.σαασββ''==,.W k W αβα+∈∈()(),.W k W αβσασ'''+∈∈()W W σ≅,:V V V V στ''''→→：,,V k P αβ∈∈，()()()()τσαβτσασβ+=+()()()()()k k k τσατσατσα==σ1σ-V V '到()()()αβσασβσαβ''+=+=+()(),k k k k Pασασα'==∀∈()W σV '()W σσdim dim ().W W σ=故τσV V ''到()()()()()()τσατσβτσατσβ=+=+()()()k k τσατσα==所以，乘积 是 的同构映射. 注同构关系具有： 反身性：对称性： 传递性： 4、数域P 上的两个有限维线性空间 同构 证 若 由性质2之4）即得 ""⇐ （法一）若 由性质1 ，有""⇐ （法二：构造同构映射）设 分别为V1, V2的一组基. 定义使则 就是V1到V2的一个映射.又任取 设 若 即 则从而，所以 是单射. 任取 设 则有 使 所以 是满射.再由 的定义，有 VI V V≅,VV V V V V σττσ''''''≅≅⇒≅12,V V 12dim dim .V V ⇔=""⇒12,V V ≅12dim dim .V V =12dim dim ,V V =1221,,;,,n n e e e εεε12:,V V σ→11221,n n a a a V αεεε∀=+++∈1122()n na e a e a e σα=+++1,,V αβ∈11,,nni i i i i i a b αεβε====∑∑()(),σασβ=11,nni i i i i i a e b e ===∑∑1,2,,,i n =.αβ=2,V α'∈1,ni i i a e α='=∑11,ni i i a V αε==∈∑(),1,2,,i i e i nσε==τσV V ''到1V V V V σσ-''≅⇒≅12,n nV P V P ≅≅12.V V ∴≅σσσ易证，对 有所以 是V1到V2的一个同构映射，故 例2、把复数域看成实数域R 上的线性空间， 证明： 证法一：证维数相等首先， 可表成 其次，若 则 所以，1，i 为C 的一组基， 又， 所以， 故， 证法二：构造同构映射作对应 则 为C 到2R 的一个同构映射.例3、全体正实数R+ 关于加法⊕与数量乘法 ： 作成实数域R 上的线性空间. 把实数域R 看成是自身上的线性空间. 证明： 并写出一个同构映射.证：作对应 易证 为 的1－1对应. 且对 有1,,k P V αβ∀∀∈∈()()(),σαβσασβ+=+()(),k k σασα=1,,x a bi a b R =+∈dim 2.C =2dim dim .C R =12.V V ≅()()2:,,.C R a bi ab σσ→+=,k a b ab k a a ⊕==,R R +≅():,ln ,R R a a a R σσ++→=∀∈σ12.V V ≅2C R ≅,x C x ∀∈0.a bi a b =1+=0,=2dim 2R =σR R +到,,,a b R k R +∀∈∀∈()()()()ln ln ln a b ab ab a b a b σσσσ⊕===+=+()()()ln ln k k k a a a k a k a σσσ====所以， 为 的同构映射. 故 方法二：作对应 易证： 为 的1－1对应，而且也为同构映射. 事实上， 为 的逆同构映射.():,,x R R x e x Rττ+→=∀∈σR R+到.R R +≅τR R +到τσ。
第七章-线性变换-综合练习
第七章 线性变换综合练习一．判断题1.数域上的向量空间的线性变换的集合对线性变换的加法与数乘运算构成一个向量空间（ F ）2．在向量空间中, , 则是的一个线性变换. ( )).3R 1231223(,,)(2,,)x x x x x x x σ=-σ3R 3．在向量空间中, , 则是的一个线性变换. ( )[]n R x 2(())()f x f x σ=σ[]n R x 4．两个向量空间之间的同构映射的逆映射还是同构映射. ( )σ1-σ5．取定, 对任意的阶矩阵, 定义,n n A F ⨯∈n n n X F ⨯∈()X AX XA σ=-则是的一个线性变换.σn n F ⨯6．向量空间的可逆线性变换的核是空集.( )V σ)(σKer 7．在向量空间中, 已知线性变换 3R 1231223312313(,,)(,,),(,,)(,0,).x x x x x x x x x x x x x στ=++=则. ( )12321233(2)(,,)(,,)x x x x x x x x στ-=-+-8．设为维向量空间上的线性变换，则．（ ）σn V Im()ker()V σσ+=9．向量空间的两个线性变换,为；2R στ12121(,)(,)x x x x x σ=-12122(,)(,)x x x x x τ=-则（ ）212212()(,)(,).x x x x x στσ-=-+10．在取定基后, 的每个可逆线性变换对应于可逆矩阵, 但逆变换未必对应于逆矩阵. （）V 11．数域上的向量空间及其零子空间, 对的每个线性变换来说, 都是不变子空间. （） F V V 12．若都是数域上的方阵的属于特征根的特征向量，那么任取 21,ααF A 0λ也是的属于的特征向量．（ ）221121,,ααk k F k k +∈A 0λ13． 线性变换的本征向量之和, 仍为的本征向量. （ ）σσ14．属于线性变换同一本征值的本征向量的线性组合仍是的本征向量. （ ）σ0λσ15．线性变换在一个基下可以对角化, 则在任何基下可以对角化. （ ）.σσ16．复数域看作实数域上的向量空间是1维的. ( )17．是向量空间的线性变换, 向量组线性无关,σV 12,,,m αααL 那么也线性无关． ( )12(),(),,()m σασασαL 18．向量空间的线性变换的值域与的核都是的不变子空间． ( )V σIm()σσker()σσ19．若矩阵与具有相同的特征多项式，则与相似． ( )A B A B 20．向量空间中子集构成的一维子空间. ( )n P (){}P a a a a ∈,,,L n P 21．若向量是线性变换的属于本征值的本征向量，则由生成的子空间为的不变子空ξσλξσ间.（ ）22. 是向量空间的线性变换, 向量组线性相关,σV m ααα,,,21L 那么也线性相关. （ ）)(,),(),(21m ασασασL 23. 为V 上线性变换，为V 的基，则线性无关．σn ααα,,,21L )(,),(),(21n ασασασL 24. 在中，定义变换：，则是的线性变换．（ ）][x P σ)1())((+=x f x f σσ][x P 25. 向量空间中任意两个子空间的并集一定不是的子空间. （ ）V V 26. 向量空间的每一个线性变换都有本征值. （ ）27. 是向量空间的一个变换，,若 ，有，则是的线性变换. （ σV V ∈αV ∈∀ξa +=ξσξσV ）28. 如果阶矩阵可逆，则矩阵与一定相似．（ ）．n A AB BA 29. 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是．n 0||=A 30. 为V 上的非零向量，为V 上的线性变换，则是V 的子空间．ασ})(|{)(1αησηασ==-二、单选题1．维向量空间的线性变换有个不同的特征值，是与对角矩阵相似的（ ）．n V σn σ A ．充分而非必要条件； B ．必要而非充分条件；C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．2．矩阵相似，则下列描述中不正确的是（ ）B A 与A ．； B ． 是数域上的多项式，则；B A =)(x f P ()()B f A f ~C ．；D ．一定相似于对角形矩阵.()()R A R B =B A 与3. 阶矩阵有个不同的特征根是与对角矩阵相似的 ( ).n A n A A ．充分而非必要条件； B 必要而非充分条件；C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．4. 令是R 3的任意向量，则映射（ ）是R 3的线性变换。
【精选】线性空间的同构
【精选】线性空间的同构线性空间同构是线性代数中的重要概念之一，它是指两个线性空间在保持线性运算和结构不变的情况下，存在一一映射互为逆映射的关系。
同构可以用来研究两个线性空间的相似性和等价性，对于线性映射与矩阵之间的关系也有着重要的作用。
一、同构的定义设$V$和$W$是两个线性空间，$f:V \rightarrow W$是一一线性映射，如果存在一个一一线性映射$g:W \rightarrow V$，使得$$g(f(x))=x, \forall x \in V$$则称$f$和$g$互为同构映射，$V$和$W$互为同构空间。
简单来说，同构意味着两个线性空间结构和元素一一对应，可以互相转化。
二、同构的性质1.同构映射保持线性结构，即对于$V$中任意两个元素$x,y$和任意标量$k$，有$f(x+y)=f(x)+f(y)$和$f(kx)=kf(x)$。
2.同构映射是单射和满射，即其一一映射和满射性质都满足。
3.同构映射的逆映射也是线性映射，因此同构映射是可逆的。
4.同构映射保持基的关系，即如果$V$有一组基$B=\{v_1,v_2,...,v_n\}$，则$f(B)=\{f(v_1),f(v_2),...,f(v_n)\}$是$W$的一组基，且$\dim V=\dim W$。
三、同构的应用1.矩阵的同构两个矩阵$A,B$同构，当且仅当它们代表的线性映射相同。
设$A$是线性映射$f$在基$B=\{v_1,v_2,...,v_n\}$下的矩阵，$B$是在基$C=\{w_1,w_2,...,w_n\}$下的矩阵，则$A$和$B$同构当且仅当$V$和$W$同构，即存在一一线性变换$T:V \rightarrow W$，使得$f=T^{-1}BT$。
2.线性代数的基本定理同构在线性代数的基本定理中也有着重要的应用。
对于$n$阶方阵$A$，它是可逆矩阵当且仅当它的列向量线性无关。
同样的，$A$与$n$维列向量空间$V$同构，而$V$中的一组基是由$A$的列向量组成的。
线性映射与向量空间的同构
§7.5线性映射和向量空间地同构本节内容需分两次课上完1. 线性映射地定义和基本性质如何建立两个集合之间地联系呢？映射.当然向量空间之间也可以通过映射相互联系,但映射只是给出元素之间地对应,在向量空间中,向量之间还有线性关系,我们自然希望映射和线性关系之间能“和谐”相处.由此有了线性映射地概念.定义1设是域上地两个向量空间, 如果存在映射使得(1> 保持加法运算: 即对任意, 有(2> 保持纯量乘积: 即对任意和, 有则称是从到地线性映射.注1定义地第(1>条中,中地“+”是向量空间中地加法,而中地“+”是向量空间中地加法. 同理, 定义中地第(2>条,中地纯量乘积是域与向量空间地纯量乘积,而中地纯量乘积是域与向量空间地纯量乘积.注2保持加法和纯量乘积合称为保持线性运算, 可以统一起来, 用(3>来取代:(3>对任意和,有线性映射有下面基本性质. 以下均设是域上向量空间到地线性映射.性质1证明：因为故性质2证明：性质3地情形即为上面注2,一般地可以采用归纳法得到<略）.性质4按映射合成法则, 线性映射合成还是线性映射, 而且满足结合律.证明：设都是线性映射, 则使得作为映射合成有结合律, 所以作为线性映射合成仍然有结合律.□例1设,分别是数域上地2维和3维向量空间. 令则是从到地线性映射.证明：因为中每一个向量在对应法则下唯一地对应到中地一个向量,所以是映射.对于,,有所以是线性映射.□课堂练习：课后习题1.观察上面地例子.中有标准基标准基在线性映射下地象为：. 考察中地任意向量在下地象为：因此是由和唯一确定.从上可看出,性质 5 如果是有限维地,则完全由它作用于基上地像所决定. 即若,设为地一个基,则完全由确定.证明：对于中任意向量,可唯一地表示为,于是,反过来,如果指定基向量地像,是否一定存在一个线性映射,恰好将基向量对应到这些像上？回答是肯定地.性质6设和是域上地两个向量空间,,为地一个基,任意给定地<可以重复）,则一定存在唯一地线性映射,使得,.证明：因为为地一个基,故对任意,都存在唯一一组使得,于是令则可验证,是线性映射<是映射,且保持线性性质）,且使得,.因为线性映射完全由它作用在基上地像所决定,从而唯一性是自然地.□注3：实际上,性质5和性质6对于是无限维地情形也是成立地,课本将性质5和性质6合写为定理1. <自行看看,实在不理解可暂放一边,这里是改造过地定理1）定理1设和是域上地两个向量空间. 如果是地基,是地任意一个非空子集,则对到地任意一个映射都能唯一地扩充成为到地线性映射,即存在到地线性映射使得. 反之, 若是到地线性映射,是地基,则由它作用在上地象完全确定,即只需知道作用在上地象就能知道作用在每个向量上地象.那么线性映射是否能保持线性相关性呢？性质7设是域上向量空间到地线性映射, 中向量组线性相关,则它们地象<在中）也线性相关. 反之不然.举反例说明反之不然. 比如高维空间到低维空间地投射. 当然,一定条件下,反之也成立. 这个条件就是为单射,而且是充分必要条件.2. 线性映射地核与象一个线性映射, 如果又是单射, 称之为单线性映射. 如果又是满射, 称之为满线性映射. 特别地, 如果线性映射是单射又是满射, 称之为同构(映射>, 并称两个向量空间是同构地,记为,需要强调线性映射时, 可记或.设是线性映射, 记, 称之为地核；, 称之为地象, 有时也记.注意,,.关于线性映射地核与象,有如下两个结论：命题1设是线性映射,则是地子空间. 如果是地一个基,则. 特别地, 如果是地基, 则.此外,为满射.证明：因为, 所以. 又,,所以是地子空间. 任意, 存在有限个以及使得, 所以.□命题2 设是线性映射,则是地子空间. 且以下等价：1°.2°为单射.3°将地任意线性无关向量组对应到线性无关向量组.4°将地基对应为W中地线性无关集. (这一点是对无限维空间说地,因为有限维地情形包含在3°中>证明：是地子空间这一结论易证<直接按定义证明）.1°2°：(>设,则,于是,即,亦即. (>设,即,由为单射可得,,故.1°3°：(>设是地任意线性无关向量组,则为W中地向量组. 设,则,因为,有,而线性无关,故,因此,线性无关. (>设,则,若,则是中线性无关向量组<只有单个向量）,则是W中地线性无关组,这与矛盾,故,因此,.1°4°：(>设是地一个基. 任取有限个向量,其中,类似上面做法,可得线性无关,因此,是W中地线性无关集. (>设,因为是地一个基,故存在,以及使得,于是有但是是W中地线性无关集,为中有限个向量,必线性无关,从而,于是,,因此,.□定理1设是线性映射,,则.证明：因为核空间,故设是地基,于是可扩充为地一个基<若,则设为地一个基）. 于是,由命题1,下证线性无关：设,则即,于是,,即而是地基,是线性无关地,故. 因此,线性无关. 故是地基,即. 所以,.□注4：这是一个有趣地结论,是地子空间,是地子空间,但是它们地维数之和等于地维数. 这就是课后习题第8题,也是课本地定理3,课本用了另一种证明方法.今后常称为线性映射地零度,为线性映射地秩.由定理1可直接得到以下推论.推论1设和是域上两个有限维向量空间, 是线性映射,则以下等价：1°是同构映射.2°是单线性映射.3°是满线性映射.3. 有限维向量空间同构定理定理2设和是域上两个有限维向量空间, 则当且仅当.证明：(> 设是同构映射.如果是地基, 由为单射和命题2得,是中地线性无关集,而由为满射和命题1得,,所以是地基. 因此,. (> 设是地基, 是地基, 由性质6,存在唯一地线性映射,使得,.将地基对应为地基,由命题1,为单射；而,由命题2,为满射. 所以,为同构映射.□注5：设和是域上两个无限维向量空间, 虽然, 但和未必同构. (证明要用到集合论更多地知识, 略.>另外, 有限维向量空间与无限维向量空间不可能同构.推论2域上任意维向量空间.那么,此推论中和之间地同构映射可以怎么找出呢？设是地一个基,对于任意,可以唯一地表示为地线性组合,即存在唯一地,使得,称是在基下地坐标或关于基地坐标,并记为.这样,在取定了地基后,令则可验证,此就是从到地同构映射.需要注意地是,坐标与基地关系是不可分割地,同一个向量在不同基下地坐标是不同地,基就如同坐标系.4. 线性映射与矩阵设是域上向量空间到地线性映射,,. 在向量空间中取基,在向量空间中取基. 这样,在基下地坐标分别为,以这些坐标为列向量地矩阵为,这样,若记则借助矩阵乘法地规则,有(●1>矩阵称为线性映射关于地基和地基地矩阵. 于是线性映射和矩阵建立起了联系. (●1>式地记法符合矩阵乘法地规则.上面这种记法实际上我们之前用过,也有结论：在中,地线性关系与地列向量组<即在基下地坐标）地线性关系<中）完全一致. P.147,例1,P.148,1,2,3,都运用了这一思想.命题3设是向量空间地基,是向量空间地基.线性映射满足, 其中,则(1>当且仅当在基下地坐标为齐次线性方程组地解,即。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5.6向量空间的同构
授课题目： 向量空间的同构 教学目标
1.理解向量空间同构的概念、性质及重要意义.
2.掌握有限维向量空间同构的充要条件. 授课时数：2学时
教学重点：向量空间同构的概念. 教学难点：同构的判别. 教学过程：
一、线性空间同构的定义 定义1：
设()V, F 、()W, F
是两个向量空间。
V 到W 的一个映射f 叫做一个同构映射，如果 （i ）f 是V 到W 的双射； （ii ）()()(), V f
f f αβαβαβ∀∈⇒+=+；
（iii ） ()()F, V a f a af ααα∀∈∈⇒=
如果V 到'
V 的同构映射存在，则称V 与'
V 同构，记为'
.V V ≅ 二、 同构映射的性质
1. 设f 是V 到W 的同构映射，则1
f -是W 到V 的同构映射。
2. 设f 是V 到W 的同构映射，则 （i ）()00f =
（ii ）()()V f f
ααα∀∈⇒-=-
（iii ）()()(), F, , V a b f a b af bf αβαβαβ∀∈∈⇒+=+
（iv ）12, ,
, n ααα 线性相关12(),( ),
, ()n f f f ααα⇔ 线性相关.
证明: (i) 由定义的条件(3), 取0α=, 那么(0)(0)0()0f f f αα===. (i i) 由定义的条件(2), ()()(())(0)0f f f f αααα+-=+-==. 所以有()()f f αα-=-.
(i i i) 利用条件(2)和(3)可直接得到. (iv) 如果12,,
,n ααα线性相关, 那么存在不全为零的数12,,
,n a a a F ∈, 使得
11220
n n a a a ααα+++=.由(i)和(iii)得到
1122()()()n n a f a f a f ααα++
+1122()(0)0n n f a a a f ααα=+++==.
于是12(),(),
,()n f f f ααα线性相关.
反之, 如果12(),(),,()n f f f ααα线性相关, 那么存在不全为零的数
12,,,n a a a F ∈,使得1122()()()0n n a f a f a f ααα++
+=
3. 设()V, F 、()W, F 是两个向量空间，12, ,, n ααα是V 的基，f 是V 到W 的同构
映射，则12(),( ),
, ()n f f f ααα是W 的基.
证明思路: 1、12(),(),,()n f f f ααα线性无关.
2、每个都能由12(),(),
,()n f f f ααα线性表出.
三、 线性空间的同构
如果两个线性空间 ()V, F 与 ()W, F 之间可以建立一个同构映射,那么就说 ()V , F 与()W, F 同构,记作()()V, F W, F ≅ 定理5.6.1
设 ()V , F , d i m V n =，则 V F n
≅.
证明: 由V 是数域F 上的一个n 维线性空间, 取定V 的一个基12{,,,}n ααα, 对任意关于
基12{,,
,}n ααα的坐标为12(,,
,)n a a a .
令12:(,,
,).n f a a a α→
显然f 是V 到n
F 的一个双射.
如果对于任意,,V αβ∈ 并且12()(,,,)n f a a a α=, 12()(,,,)n f b b b β=. 由定理5.5.1
得11221122()(,,
,)(,,,)n n n n f f a b a b a b a b a b a b αβ+=+++=+++
1122(,,,)n n a b a b a b =+++
1212(,,
,)(,,
,)n n a a a b b b =+
()()f f αβ=+
对于12,(,,)()n a F f a a a af αααα∈=, 从而f 是V 到n F 的同构映射, 故n V F ≅.
定理5.6.2
向量空间的同构是一个等价关系.
证明: 反身性和传递性显然, 下面主要证明对称性.
设V W ≅, f 是线性空间V 到W 的同构映射, 由于f 是V 到W 的双射, 所以是1
f
-是W 到V 的双射, 且1ff -是W 到W 的恒等映射,是1f f -是V 到V 的恒等映射. 设
,W αβ∈, 由于f 是V 到W 的同构映射
111(())(())(())f f f f f f αβαβαβ---+=+=+ 11(()())f f f αβ--=+.
因为f 是单射, 所以1
11()()()f
f f αβαβ---+=+.
同理可证, 对任意,,a F W α∈∈1
1()()f a af αα--=, 故有1f -是W 到V 的同构映射.
定理5.6.3
()()V, F, dimV W, F, dimW n m n m =≅=⇔=
证明: ""⇒如果V W ≅, 设f 是V 到W 的同构映射, 12{,,,}n ααα是V 的基, 则由定理
有12(),(),
,()n f f f ααα是W 的一个基, 因而m n =.
""⇐设m n =, 则,n n V F W F ≅≅, 于是V W ≅.
定理表明: 数域F 上具有相同维数的线性空间本质上是一致的.
例：设n ααα,,,21 是n 维空间的V 的一个基，A 是n ⨯s 矩阵
A n s ),,,(),,,(2121αααβββ = 证明：),,,(21s L βββ 的维数等于A 的秩。
证明: 设k A 为A 的第k 列，则k n k A ),,,(21αααβ =，设jt j j βββ,,,21 是s βββ,,,21 中的任意t 个向量，则
),,,(),,,(1
1
211
211
=⇔=⇔=⇔=∑∑∑∑====t
i ji ji t
i ji ji n t i ji n ji t
i ji ji A x A x A x x
αααθαααθβ
于是知，jt j j βββ,,,21 与其所对应的t 个列向量jt j j A A A ,,,21 有完全相同的线性关系，
故s βββ,,,21 与r A A A ,,,21 有相同的秩，即),,,(21s L βββ 的维数等于A 的秩。