利用复化梯形公式复化simpson 公式计算积分
分别用复化梯形求积公式和复化辛普森求积公式计算积分
1习题 三1. 用辛普森求积公式计算积分dx e x ∫−10，并估计误差。
2. 给定数据表x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6)(x f 3.12014 4.042569 6.04241 8.03014 10.46675分别用复化梯形求积公式和复化辛普森求积公式计算积分.)(6.28.1dx x f ∫3. 分别用变步长求积方法和龙贝格求积方法计算下列积分，并估计误差：（1）;sin 40dx xx ∫π（2）;1)1ln(102dx x x ∫++ （3）;)1ln(110dx x x ∫+ （4）.110∫+xdx 4. 确定下列求积公式的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度的准确次数：（1）);()0()()(210h f A f A h f A dx x f hh ++−≈∫− （2）);()0()()(21022h f A f A h f A dx x f hh ++−≈∫−（3）).0()1()0()(21010f A f A f A dx x f ′++≈∫ 5. 证明求积公式 )]()([12)]()([2)(0121010x f x f h x f x f h dx x f x x ′−′++≈∫ 具有3次代数精度，其中01x x h −=.6. 利用高斯-勒让德公式计算积分)(14102π=+∫dx x 的近似值. 7. 利用高斯-切比雪夫求积公式计算积分dx x x ∫−−−112211 的近似值。
8. 已知函数)(x f y =的如下数据：x 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.4)(x f 0.8365 0.9095 1 1.1105 1.2446 1.6017利用李查逊外推法计算)1(y ′.。
复化梯形公式和复化辛普生公式
}
void simpson::integration()//实现积分
{
cout<<"输入上限和下限";
cin>>b>>a;
cout<<"输入你要使用simposn法则的数目(即等分数)";
cin>>n;
h=(b-a)/n;
sum_even_terms=0.0;
sum_odd_terms=0.0;
for(k=1;k<n;k++)
{
sum_even_terms+=sine(k*h);
}
for(k=0;k<n;k++)
{
sum_odd_terms+=sine((2*k+1)*h/2);
}
integral=(2.0*sum_even_terms+4.0*sum_odd_terms+sine(b)+1)*h/6.0;
《数值分析》实验报告
姓名
学号
日期
2012．11.20
实验室
设备编号
实验题目
用复化梯形公式和复化辛普生公式求I=∫01sinx/xdx
一实验目的
1．了解复化梯形公式和复化辛普生公式。
2.用复化梯形公式和复化辛普生公式求I=∫01sinx/xdx。
二实验内容
算法：复化梯形公式是Tn=∑h/2[f(xi)+ f(xi+1)]=(b-a)/2n[f(a)+2∑f(xi)+f(b)]记子段[xi,xi+1]的中点为xi+1/2,则复化Simpson公式为Sn=∑h/6[f(xi)+4f(xi+1/2)+ f(xi+1)]=b-a/6n[f(a)+4∑f(xi+1/2)+2f(xi)+f(b)]
用复合梯形公式和复合辛普森公式求函数积分
《数值分析》实验报告（模板）
学号********班级信科121姓名张凯茜
【实验课题】用复合梯形公式和复合辛普森公式求函数积分
【实验目标】
1.掌握复合梯形公式与复合辛普森公式的基本思想。掌握常用的数值积分方法(特别是梯形法、Simpson方法、Cotes公式、Romberg算法以及Gauss求积公式)的原理。
【附程序】
复合梯形公式
functionT=comptra(a,b,tol)
h=b-a;
k=0;
T=((f(a)+f(b))*h)/2;
P=T+1;
whileabs(P-T)>tol
P=T;
m=0; h=h/2;
fori=1:2^k
m=m+f(a+(2*i-1)*h);
end
T=0.5*P+m*h; k=k+1;
2.学会用matlab编程实现用复合梯形公式与复合辛普森公式求积分。
3.熟悉matlab软件的使用,通过实验体会常用数值积分方法的逐步精致化过程。
【理论概述与算法描述】
1.根据梯形公式 ，将区间【a,b】划分为n等份，分点x(k)=a+kh,h=(b-a)/n,k=0,1,2,3,……，在每个区间【x(k),x(k+1)】(k=0,1,2……n-1)上采用梯形公式，得
end
复合辛普森公式
functionS=comsinp(a,b,tol)
h=b-a;
k=1;
S=((f(a)+f(b)+4*f((a+b)/2))*h)/6;
P=S;
whileabs(P-S)>tol
P=S;
选用复合梯形公式,复合Simpson公式,计算
数值分析实验 三班级：10信计2班 学号：59 姓名：王志桃 分数一·问题提出：选用复合梯形公式，复合Simpson 公式，计算（1） I =dx x ⎰-4102sin 4 ()5343916.1≈I（2） I = dx x x⎰1sin ()9460831.0,1)0(≈=I f（3） I = dx xe x⎰+1024（4） I = ()dx x x ⎰++10211ln二·实验要求：1.编制数值积分算法的程序2.分别用两种算法计算同一个积分，并比较计算结果3.分别取不同步长()/ a b h -=n ，试比较计算结果（如n = 10, 20等）4.给定精度要求ε，试用变步长算法，确定最佳步长三·实验流程图：复化梯形公式：输入 端点 a , b 正整数 n直接计算TN=h/2*[f(a)+2∑f(x k )+f(b)] k=1,2…,n-1输出 定积分近似值TN复化Simpson 公式输入 端点 a , b 正整数 n输出 定积分近似值SN（1） 置h=(b-a)/(2n)（2） F0=f(a)+f(b) ， F1=0 ， F2=0（3） 对j=1,2,…,2n-1循环执行步4到步5（4） 置x=a+jh（5） 如果j 是偶数，则F2=F2+f(x)，否则F1=F1+f(x)（6） 置SN=h(F0+4F1+2F2)/3（7） 输出SN,停机四·源程序：#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;#define n 20//此为步长double f1(double x){double y;y=sqrt(4-sin(x)*sin(x));return y;}double f2(double x){if(x==0)return 1;double y;y=sin(x)/x;return y;}double f3(double x){double y;y=exp(x)/(4+x*x);return y;}double f4(double x){double y;y=log(1+x)/(1+x*x);return y;}int main(){int j;double e=0.000001,h,F0,F1,F2,a,b,x,S;cout<<"利用复化Simpson公式求积分"<<endl;//1a=0;b=0.25*3.141592;h=(b-a)/(2*n);F0=f1(a)+f1(b);F1=F2=0;for(j=1;j<2*n;j++){x=a+j*h;if(j%2==0)F2=F2+f1(x);elseF1=F1+f1(x);}S=((F0+F1*4+F2*2)*h)/3;cout<<"第一个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl;//2a=0;b=1;h=(b-a)/(2*n);F0=f2(a)+f2(b);F1=F2=0;for(j=1;j<2*n;j++){x=a+j*h;if(j%2==0)F2=F2+f2(x);elseF1=F1+f2(x);}S=(F0+F1*4+F2*2)*h/3;cout<<"第二个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl;//3a=0;b=1;h=(b-a)/(2*n);F0=f3(a)+f3(b);F1=F2=0;for(j=1;j<2*n;j++){x=a+j*h;if(j%2==0)F2=F2+f3(x);elseF1=F1+f3(x);}S=(F0+F1*4+F2*2)*h/3;cout<<"第三个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl;//4a=0;b=1;h=(b-a)/(2*n);F0=f4(a)+f4(b);F1=F2=0;for(j=1;j<2*n;j++){x=a+j*h;if(j%2==0)F2=F2+f4(x);elseF1=F1+f4(x);}S=(F0+F1*4+F2*2)*h/3;cout<<"第四个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl<<endl;cout<<"利用复化梯形公式求积分"<<endl;//1a=0;b=0.25*3.141592;h=(b-a)/n;F0=f1(a)+f1(b);F1=0;for(j=1;j<n;j++){x=a+j*h;F1=F1+f1(x);}S=((F0+F1*2)*h)/2;cout<<"第一个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl;//2a=0;b=1;h=(b-a)/n;F0=f2(a)+f2(b);F1=0;for(j=1;j<n;j++){x=a+j*h;F1=F1+f2(x);}S=((F0+F1*2)*h)/2;cout<<"第二个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl;//3a=0;b=1;h=(b-a)/n;F0=f3(a)+f3(b);F1=0;for(j=1;j<n;j++){x=a+j*h;F1=F1+f3(x);}S=((F0+F1*2)*h)/2;cout<<"第三个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl;//4a=0;b=1;h=(b-a)/n;F0=f4(a)+f4(b);F1=0;for(j=1;j<n;j++){x=a+j*h;F1=F1+f4(x);}S=((F0+F1*2)*h)/2;cout<<"第四个积分公式:端点a为"<<a<<"、b为"<<b<<",n为"<<n<<endl<<"结果为"<<S<<endl;return 0;}五．实验结果六．实验心得：通过本次实验，我掌握了求数值积分的各种方法。
数值计算考题五——复合梯形求积公式与复合辛普森求积公式求积分
数值计算考题五1. 分别用复合梯形求积公式与复合辛普森求积公式求积分I=⎰102x e sinx dx 的近似值，要求误差不超过ε=0.5⨯10-5.解：方法一： 复合梯形求积公式复合梯形求积公式是将积分区间划分为n 个很小的区间，然后将各个小区间的面积相加而得到在整个积分区间上的积分，当分成的小区间数n →∞时，求得的面积就等于积分的精确值。
由复合梯形求积公式的余项R n T 可得满足精度要求≤ε0.5⨯10-5时区间()b a ,被分成的区间数n 的最小值为700，所以在编程时循环次数应大于等于这个值，方可满足精度要求。
以下是编写的C 语言程序：#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){int n=700,i;double x,f=0.0,t,h,T=0.0,c=2.0,a=0.0,b=1.0;h=(b-a)/n;for(i=0;i<n;i++){x=a+i*h;f=f+exp(pow(x,c))*sin(x);}t=(h/2)*(2*f+sin(1)*exp(1));printf("T=%f\n",t);}输出结果为T=0.778746.方法二：复合辛普森求积公式：复合辛普森求积法是将积分区间分割之后，在每个小区间[x i ,x i+1]上运用辛普森求积公式。
以下是编写的c 语言程序：#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){int n=700,i;double x1,x2,f1=0.0,f2=0.0,t,h,T=0.0,c=2.0,a=0.0,b=1.0;h=(b-a)/n;for(i=0;i<n;i++){x1=a+i*h;x2=a+(i+0.5)*h;f1=f1+exp(pow(x1,c))*sin(x1);f2=f2+exp(pow(x2,c))*sin(x2); }t=(h/6)*(2*f1+sin(1)*exp(1)+4*f2); printf("T=%f\n",t);}程序输出结果为0.778745.2. 用高斯求积法求上述积分的近似值。
数值分析复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序
数值分析第五次程序作业PB09001057 孙琪【问题】分别编写用复化Simpson 积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序；用如上程序计算积分： I (f )=∫sin (x )dx 40取节点x i ， i =0,…,N,N 为2k ,k =0,1,…,12，并分析误差；简单分析你得到的数据。
【复化Simpson 积分公式】Simpson 法则：∫f (x )dx ≈b −a 6[f (a )+4f (a +b 2)+f (b )]b a 使用偶数个子区间上的复合Simpson 法则：设n 是偶数，x i =a +ih , h =b−a n ,(0≤i ≤n) 则有∫f (x )dx =∫f (x )dx +∫f (x )dx +⋯+∫f (x )dx =∑∫f (x )dx x 2i x 2i−2n 2i=1x n x n−2x 4x 2x 2x 0b a 将Simpson 法则应用于每一个区间，得到复合Simpson 法则：∫f (x )dx ≈h 3b a [f (x 0)+2∑f (x 2i−2)n 2i=2+4∑f (x 2i−1)n 2i=1+f (x n )] 公式的误差项为：−1180(b −a )h 4f (4)(δ) 其中δ∈(a,b)【复化梯形积分公式】梯形法则：对两个节点相应的积分法则称为梯形法则：∫f (x )dx ≈b −a 2b a [f (a )+f (b )] 如果划分区间[a,b]为：a =x 0<x 1<⋯<x n =b那么在每个区间上可应用梯形法则，此时节点未必是等距的，由此得到复合梯形法则：∫f (x )dx =∑∫f (x )dx x i x i−1n i=1b a ≈12∑(x i −x i−1)[f (x i−1)+f (x i )]ni=1 对等间距h=(b-a)/n 及节点x i =a +ih ，复合梯形法则具有形式：∫f (x )dx ≈h 2[f (a )+2∑f (a +ih )n−1i=1+f (b )]b a 误差项为：−112(b −a )h 2f ′′(δ)【算法分析】复合Simpson 法则和复合梯形法则的算法上述描述中都已介绍了，在此不多做叙述。
利用数值积分公式求解积分方程 分别用复化求积公式和高斯型求积公式
利用数值积分公式求解积分方程分别用复化求积公式和高斯
型求积公式
数值积分方法通常用于求解无法解析求解的定积分问题，其中复化求积公式和高斯型求积公式是两种常见的数值积分方法。
1. 复化求积公式：
复化求积公式是通过将积分区间等分成多个小区间，并在每个小区间上采用简单的数值积分公式来逼近原积分问题。
常见的复化求积公式包括梯形法则和Simpson法则。
梯形法则：将积分区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间
用梯形面积的方法求解，然后将各个小区间的积分结果相加得到最终的积分近似值。
Simpson法则：将积分区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区
间用Simpson公式求解，然后将各个小区间的积分结果相加得到最终的积分近似值。
2. 高斯型求积公式：
高斯型求积公式是通过将积分区间映射为[-1, 1]上的积分问题，然后通过选取合适的节点和权重，将原积分问题转化为有限个加权节点的求和问题。
常见的高斯型求积公式包括Gauss-Legendre公式和Gauss-Hermite公式。
Gauss-Legendre公式：适用于求解定义在[-1, 1]区间上的定积
分问题，根据节点个数的不同，可以得到不同阶数的Gauss-Legendre公式。
Gauss-Hermite公式：适用于求解定义在整个实数轴上的定积分问题，通过选取合适的节点和权重，将原积分问题转化为有限个加权节点的求和问题。
总结：复化求积公式适用于一般的定积分问题，可以通过合理选择划分区间和数值积分公式来提高数值积分的精度。
而高斯型求积公式通常适用于具有特殊形式或定义域的定积分问题，可以通过选取合适的节点和权重来获得较高的数值积分精度。
利用复化梯形公式、复化simpson 公式计算积分
1、运用复化梯形公式、复化simpson公式计算积分
2、比较计算误差与实际误差
实验原理(算法流程图或者含注释旳源代码）
取ｎ=2,3,…,10分别运用复化梯形公式、复化sｉｍpｓon公式计算积分 ,并与真值进行比较，并画出计算误差与实际误差之间旳曲线。
运用复化梯形公式旳程序代码如下:
fｕnction f=ｆx(x)
fｕnctｉonf=ｆｘ1（x)
f=x.^４;
a=0;%积分下线
b＝1;%积分上线
T＝[];％用来装不同n值所计算出旳成果
forn=2：10
h=（ｂ-a)／（2*n）；％步长
x=zeros(1,2*n+1)；%给节点定初值
foｒ ｉ=1:2*n＋1
x（ｉ）＝a+(i－1)＊h；％给节点赋值
eｎｄ
y=x．^4;%给相应节点处旳函数值赋值
实
验
结
果
分
析
及
心
得
体
会
上图是运用复化梯形公式所画出旳误差。其中：红线是计算误差,‘＊’号是实际误差。-0．０017是计算误差。0．041７、０.0185、0．01０4、0.00670.０046、0.0034、0.0０26、0.0021、0.0０1７是n值分别为2到10旳实际误差。
上图是运用复化sｉmpson公式所画出旳误差。其中:红线是计算误差,‘＊’号是实际误差。
t＝０;
ｆor i=1:ｎ
ｔ=ｔ+h／３*（ｙ（２*i－1）+4*ｙ（2*i)+y(2*i＋１));%运用复化sｉmpｓoｎ公式求值
end
T=[T,t];％把不同n值所计算出旳成果装入T中
end
复化梯形公式和复化辛普森公式
复化梯形公式和复化辛普森公式1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊数学里那些看似高深莫测的公式，尤其是复化梯形公式和复化辛普森公式。
这些名字听起来就像是从某部科幻片里蹦出来的角色，但其实它们是我们在数值积分中不可或缺的好帮手。
你知道吗？它们就像是数学世界里的“超能英雄”，让我们轻松搞定积分，简直是妙不可言。
2. 复化梯形公式2.1 你知道什么是梯形吗？首先，咱们得聊聊复化梯形公式。
说白了，就是把一个复杂的积分任务，分解成几个小的梯形来求解。
想象一下，你在河边钓鱼，河水流得可欢了。
为了找一个合适的钓鱼点，你可能得把河分成几段，然后每一段的宽度就是你的小梯形。
你看，这就是复化梯形的魅力所在！2.2 如何运用复化梯形公式？用这个公式的时候，你只需把整个区间分成N个小区间，每个区间的宽度都是一样的。
然后，把每个小区间的函数值拿来加一加，再乘上宽度的一半，最后再把头尾的函数值加上。
这听起来是不是很简单？比如，你想算从0到1的某个函数的积分，只要把这个区间分成若干段，像切蛋糕一样，每一片都求个函数值，然后把结果合起来就行了。
简单得就像吃个冰淇淋，大家都喜欢。
3. 复化辛普森公式3.1 辛普森是谁？接下来，让我们来看看复化辛普森公式。
辛普森这个名字，大家可能都听过，或者说过“这是辛普森家的事儿”。
其实，他是一位牛逼的数学家，专门研究如何让积分变得更加简单。
辛普森公式就像是对梯形公式的一次升级，像换了个新款手机，功能更强大，效果更好。
3.2 如何运用复化辛普森公式？用复化辛普森公式的时候，我们也是把整个区间分成N个小区间，不过这里的N必须是偶数哦！每个小区间的宽度仍然是一样的。
然后，用函数值的加权平均法来计算。
换句话说，你把每个小区间的头尾和中间的函数值都考虑进来，像是为你的冰淇淋加上各种口味的配料。
最后，你的结果就会比单纯用梯形公式得来的要精准多了，仿佛一口下去，味蕾都在舞蹈。
4. 比较与应用4.1 谁更强？说到这儿，很多人就会问，复化梯形公式和复化辛普森公式，谁更厉害呢？其实，这就像问“苹果和橘子，哪个更好吃”。
复化梯形公式和复化Simpson公式
数值计算方法上机题目3一、计算定积分的近似值：221x e xe dx =⎰ 要求：（1）若用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算，要求误差限71021-⨯=ε，分别利用他们的余项估计对每种算法做出步长的事前估计；（2）分别利用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算定积分；（3）将计算结果与精确解比较，并比较两种算法的计算量。
1.复化梯形公式程序：程序1（求f （x ）的n 阶导数：syms xf=x*exp(x) %定义函数f （x ）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n 阶导数结果1输入n=2f2 =2*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(2*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的二阶导数,输入程序1里求出的f2即可。
f3='-(2*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，以便求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的二阶导数的最小值点，也就是求二阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/12*((b-a)/n)^2*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hTn1=0for k=1:n-1 %求连加和xk=a+k*hTn1=Tn1+f(xk)endTn=h/2*((f(a)+2*Tn1+f(b)))z=exp(2)R=Tn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用复化梯形算法计算的结果 Tn=')disp(Tn)fprintf('等分数 n=')disp(n) %输出等分数fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用复化梯形算法计算的结果Tn= 7.3891等分数n=7019已知值与计算值的误差R= 2.8300e-0082. Simpson公式程序：程序1：（求f（x）的n阶导数）：syms xf=x*exp(x) %定义函数f（x）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n阶导数结果1输入n=4f2 =4*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(4*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的四阶导数，输入程序1里求出的f2即可f3='-(4*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，一边求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的四阶导数的最小值点，也就是求四阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/180*((b-a)/(2*n))^4*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hSn1=0Sn2=0for k=0:n-1 %求两组连加和xk=a+k*hxk1=xk+h/2Sn1=Sn1+f(xk1)Sn2=Sn2+f(xk)endSn=h/6*(f(a)+4*Sn1+2*(Sn2-f(a))+f(b)) %因Sn2多加了k=0时的值，故减去f(a)z=exp(2)R=Sn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用Simpson公式计算的结果 Sn=')disp(Sn)fprintf('等分数 n=')disp(n)fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用Simpson公式计算的结果Sn= 7.3891等分数n=24已知值与计算值的误差R= 2.7284e-008用复化梯形公式计算的结果为：7.3891，与精确解的误差为：2.8300e-008。
复化梯形公式和复化Simpson公式
数值计算方法上机题目3一、计算定积分的近似值：221x e xe dx =⎰ 要求：（1）若用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算，要求误差限71021-⨯=ε，分别利用他们的余项估计对每种算法做出步长的事前估计；（2）分别利用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算定积分；（3）将计算结果与精确解比较，并比较两种算法的计算量。
1.复化梯形公式程序：程序1（求f （x ）的n 阶导数：syms xf=x*exp(x) %定义函数f （x ）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n 阶导数结果1输入n=2f2 =2*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(2*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的二阶导数,输入程序1里求出的f2即可。
f3='-(2*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，以便求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的二阶导数的最小值点，也就是求二阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/12*((b-a)/n)^2*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hTn1=0for k=1:n-1 %求连加和xk=a+k*hTn1=Tn1+f(xk)endTn=h/2*((f(a)+2*Tn1+f(b)))z=exp(2)R=Tn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用复化梯形算法计算的结果 Tn=')disp(Tn)fprintf('等分数 n=')disp(n) %输出等分数fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用复化梯形算法计算的结果Tn= 7.3891等分数n=7019已知值与计算值的误差R= 2.8300e-0082. Simpson公式程序：程序1：（求f（x）的n阶导数）：syms xf=x*exp(x) %定义函数f（x）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n阶导数结果1输入n=4f2 =4*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(4*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的四阶导数，输入程序1里求出的f2即可f3='-(4*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，一边求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的四阶导数的最小值点，也就是求四阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/180*((b-a)/(2*n))^4*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hSn1=0Sn2=0for k=0:n-1 %求两组连加和xk=a+k*hxk1=xk+h/2Sn1=Sn1+f(xk1)Sn2=Sn2+f(xk)endSn=h/6*(f(a)+4*Sn1+2*(Sn2-f(a))+f(b)) %因Sn2多加了k=0时的值，故减去f(a)z=exp(2)R=Sn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用Simpson公式计算的结果 Sn=')disp(Sn)fprintf('等分数 n=')disp(n)fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用Simpson公式计算的结果Sn= 7.3891等分数n=24已知值与计算值的误差R= 2.7284e-008用复化梯形公式计算的结果为：7.3891，与精确解的误差为：2.8300e-008。
复化梯形公式和复化Simpson公式
数值计算方法上机题目3一、计算定积分的近似值：221x e xe dx =⎰ 要求：（1）若用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算，要求误差限71021-⨯=ε，分别利用他们的余项估计对每种算法做出步长的事前估计；（2）分别利用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算定积分；（3）将计算结果与精确解比较，并比较两种算法的计算量。
1.复化梯形公式程序：程序1（求f （x ）的n 阶导数：syms xf=x*exp(x) %定义函数f （x ）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n 阶导数结果1输入n=2f2 =2*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(2*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的二阶导数,输入程序1里求出的f2即可。
f3='-(2*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，以便求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的二阶导数的最小值点，也就是求二阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/12*((b-a)/n)^2*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hTn1=0for k=1:n-1 %求连加和xk=a+k*hTn1=Tn1+f(xk)endTn=h/2*((f(a)+2*Tn1+f(b)))z=exp(2)R=Tn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用复化梯形算法计算的结果 Tn=')disp(Tn)fprintf('等分数 n=')disp(n) %输出等分数fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用复化梯形算法计算的结果 Tn= 7.3891等分数 n=7019已知值与计算值的误差 R= 2.8300e-0082. Simpson公式程序：程序1：（求f（x）的n阶导数）：syms xf=x*exp(x) %定义函数f（x）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n阶导数结果1输入n=4f2 =4*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(4*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的四阶导数，输入程序1里求出的f2即可f3='-(4*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，一边求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的四阶导数的最小值点，也就是求四阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/180*((b-a)/(2*n))^4*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hSn1=0Sn2=0for k=0:n-1 %求两组连加和xk=a+k*hxk1=xk+h/2Sn1=Sn1+f(xk1)Sn2=Sn2+f(xk)endSn=h/6*(f(a)+4*Sn1+2*(Sn2-f(a))+f(b)) %因Sn2多加了k=0时的值，故减去f(a)z=exp(2)R=Sn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用Simpson公式计算的结果 Sn=')disp(Sn)fprintf('等分数 n=')disp(n)fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用Simpson公式计算的结果 Sn= 7.3891等分数 n=24已知值与计算值的误差 R= 2.7284e-008用复化梯形公式计算的结果为：7.3891，与精确解的误差为：2.8300e-008。
常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化辛普森公式。
0x
解:首先计算出所需各节点的函数值,n=8时，
h 1 0.125 8
由复化梯形公式可得如下计算公式：
T8
1 16
f
(0)
2
f
(0.125)
2
f
(0.25)
2
f
(0.375)
2
f
(0.5)
2 f (0.625) 2 f (0.75) 2 f (0.875) f (1)
4.3 复合求积公式
问题1：由梯形、辛普森和柯特斯求积公式余项，分析随着求 积节点数的增加，对应公式的精度是怎样变化？
问题2：当n≥8时N—C求积公式还具有数值稳定性吗？可用增 加求积节点数的方法来提高计算精度吗？
在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间， 在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上 的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复 化求积公式的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形 公式和复化辛普森公式。
由于Tn 的求积系数为正，由定理2知复合梯形公式是稳定的.
4.3.2 复化辛普森公式及其误差
将积分区间[a,b]划分为n等分,记子区间 xk , xk1 的中点
为
1
xk
1 2
xk
复化梯形公式和复化Simpson公式
数值计算方法上机题目3一、计算定积分的近似值：221x e xe dx =⎰ 要求：（1）若用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算，要求误差限71021-⨯=ε，分别利用他们的余项估计对每种算法做出步长的事前估计；（2）分别利用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算定积分；（3）将计算结果与精确解比较，并比较两种算法的计算量。
1.复化梯形公式程序：程序1（求f （x ）的n 阶导数：syms xf=x*exp(x) %定义函数f （x ）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n 阶导数结果1输入n=2f2 =2*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(2*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的二阶导数,输入程序1里求出的f2即可。
f3='-(2*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，以便求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的二阶导数的最小值点，也就是求二阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/12*((b-a)/n)^2*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hTn1=0for k=1:n-1 %求连加和xk=a+k*hTn1=Tn1+f(xk)endTn=h/2*((f(a)+2*Tn1+f(b)))z=exp(2)R=Tn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用复化梯形算法计算的结果 Tn=')disp(Tn)fprintf('等分数 n=')disp(n) %输出等分数fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用复化梯形算法计算的结果Tn= 7.3891等分数n=7019已知值与计算值的误差R= 2.8300e-0082. Simpson公式程序：程序1：（求f（x）的n阶导数）：syms xf=x*exp(x) %定义函数f（x）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n阶导数结果1输入n=4f2 =4*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(4*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的四阶导数，输入程序1里求出的f2即可f3='-(4*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，一边求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的四阶导数的最小值点，也就是求四阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/180*((b-a)/(2*n))^4*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hSn1=0Sn2=0for k=0:n-1 %求两组连加和xk=a+k*hxk1=xk+h/2Sn1=Sn1+f(xk1)Sn2=Sn2+f(xk)endSn=h/6*(f(a)+4*Sn1+2*(Sn2-f(a))+f(b)) %因Sn2多加了k=0时的值，故减去f(a)z=exp(2)R=Sn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用Simpson公式计算的结果 Sn=')disp(Sn)fprintf('等分数 n=')disp(n)fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用Simpson公式计算的结果Sn= 7.3891等分数n=24已知值与计算值的误差R= 2.7284e-008用复化梯形公式计算的结果为：7.3891，与精确解的误差为：2.8300e-008。
编程MATLAB程序实现复化梯形和辛普森数值积分
编程MATLAB程序实现复化梯形和辛普森数值积分MATLAB是一种高级编程语言和计算环境，适用于各种科学和工程应用。
在MATLAB中，可以使用数值积分的方法来近似计算函数的定积分。
本文将介绍如何使用MATLAB编程实现复化梯形和辛普森数值积分。
首先，我们来介绍复化梯形法。
复化梯形法是一种基本的积分数值方法，它将定积分区间等分为若干个小的子区间，然后在每个子区间上应用梯形公式进行近似计算。
下面是复化梯形法的MATLAB代码：``` matlabh=(b-a)/N;x=a:h:b;y=f(x);I = h * (sum(y) - (y(1) + y(end)) / 2);end```在上述代码中，`f`是积分的函数，`a`和`b`是积分的上下限，`N`是子区间的数量。
首先，我们计算出每个子区间的步长`h`，然后生成一个数组`x`，其中包含了每个子区间的起始点和终止点。
接下来，根据积分函数`f`计算出在每个子区间上的函数值，并将这些函数值存储在数组`y`中。
最后，使用梯形公式计算出近似积分结果`I`。
下面是使用复化梯形法进行数值积分的示例：``` matlaba=0;b = pi;N=100;disp(I);```接下来，我们来介绍辛普森法。
辛普森法是一种更精确的数值积分方法，它将定积分区间等分为若干个小的子区间，然后在每个子区间上应用辛普森公式进行近似计算。
下面是辛普森法的MATLAB代码：``` matlabh=(b-a)/(2*N);x=a:h:b;y=f(x);I = h / 3 * (y(1) + y(end) + 4 * sum(y(2:2:end-1)) + 2 * sum(y(3:2:end-2)));end```在上述代码中，`f`是积分的函数，`a`和`b`是积分的上下限，`N`是子区间的数量。
首先，我们计算出每个子区间的步长`h`，然后生成一个数组`x`，其中包含了每个子区间的起始点和终止点。
数值分析复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序培训讲学
数值分析复化S i m p s o n积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序数值分析第五次程序作业PB09001057 孙琪【问题】分别编写用复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序；用如上程序计算积分：取节点并分析误差；简单分析你得到的数据。
【复化Simpson积分公式】Simpson法则：使用偶数个子区间上的复合Simpson法则：设n是偶数，则有将Simpson法则应用于每一个区间，得到复合Simpson法则：公式的误差项为：其中δ【复化梯形积分公式】梯形法则：对两个节点相应的积分法则称为梯形法则：如果划分区间[a,b]为：那么在每个区间上可应用梯形法则，此时节点未必是等距的，由此得到复合梯形法则：对等间距h=(b-a)/n及节点，复合梯形法则具有形式：误差项为：【算法分析】复合Simpson法则和复合梯形法则的算法上述描述中都已介绍了，在此不多做叙述。
【实验】通过Mathematica编写程序得到如下结果：1.利用复化Simpson积分公式得：可以看出，当节点数选取越来越多时，误差项越来越小，这从复合的Simpson公式很好看出来，因为在每一段小区间内，都是用Simpson法则去逼近，而每一段的误差都是由函数在该区间内4阶导数值和区间长度的4次方乘积决定的，当每一段小区间越来越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼近效果就会越来越好。
2.利用复化梯形积分公式得：可以看出，当节点数选取越来越多时，误差项越来越小，这从复合的梯形公式很好看出来，因为在每一段小区间内，都是用梯形法则去逼近，而每一段的误差都是由函数在该区间内2阶导数值和区间长度的2次方乘积决定的，当每一段小区间越来越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼近效果就会越来越好。
【分析】通过对上述两种法则的效果来看，复合Simpson法则的误差要比复合梯形法则收敛到0更快，说明复合Simpson法则逼近到原来的解更快，这主要是因为在每一段小区间内，复合Simpson法则利用得是Simpson法则，复合梯形法则利用得是梯形法则，前者的误差项要比后者的误差项小很多，因此造成了逼近速度的不一样。
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实验
目
的
或
要
求1、利用复化梯形公式、复化simpson 公式计算积分 2、比较计算误差与实际误差
实
验
原
理
（
算
法
流
程
图
或
者
含
注
释
的
源
代
码
）
取n=2,3,…,10分别利用复化梯形公式、复化simpson 公式计算积分1
20I x dx =⎰，并与真值进行比较，并画出计算误差与实际误差之间的曲线。
利用复化梯形公式的程序代码如下： function f=fx(x) f=x.^2; ％首先建立被积函数，以便于计算真实值。
a=0; ％积分下线 b=1; ％积分上线 T=[]; ％用来装不同n 值所计算出的结果 for n=2:10; h=(b-a)/n; ％步长 x=zeros(1,n+1); ％给节点定初值 for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; ％给节点赋值 end y=x.^2; ％给相应节点处的函数值赋值 t=0; for i=1:n t=t+h/2*(y(i)+y(i+1)); ％利用复化梯形公式求值 end T=[T,t]; ％把不同n 值所计算出的结果装入 T 中 end R=ones(1,9)*(-(b-a)/12*h.^ 2*2); ％积分余项（计算误差）
true=quad(@fx,0,1); ％积分的真实值
A=T-true; ％计算的值与真实值之差（实际误差）
x=linspace(0,1,9);
plot(x,A,'r',x,R,'*') ％将计算误差与实际误差用图像画出来
注：由于被积函数是x.^2，它的二阶倒数为2，所以积分余项为：(-(b-a)/12*h.^ 2*2)
实
验
原
理
（
算
法
流
程
图
或
者
含
注
释
的
源
代
码）利用复化simpson 公式的程序代码如下：
同样首先建立被积函数的函数文件：
function f=fx1(x)
f=x.^4;
a=0; ％积分下线
b=1; ％积分上线
T=[]; ％用来装不同n值所计算出的结果
for n=2:10
h=(b-a)/(2*n); ％步长
x=zeros(1,2*n+1); ％给节点定初值
for i=1:2*n+1
x(i)=a+(i-1)*h; ％给节点赋值
end
y=x.^4; ％给相应节点处的函数值赋值
t=0;
for i=1:n
t=t+h/3*(y(2*i-1)+4*y(2*i)+y(2*i+1)); ％利用复化simpson公式求值end
T=[T,t] ; ％把不同n值所计算出的结果装入T中
end
R=ones(1,9)*(-(b-a)/180*((b-a)/2).^4*24) ; ％积分余项（计算误差）
true=quad(@fx1,0,1); ％积分的真实值
A=T-true; ％计算的值与真实值之差（实际误差）
x=linspace(0,1,9);
plot(x,A,'r',x,R,'*')
法二：
a=0;
b=1;
T=[];
for n=2:10
h=(b-a)/(2*n);
x=zeros(1,2*n+1);
for i=1:2*n+1
x(i)=a+(i-1)*h;
end
y=x.^4;
t=y(1)+y(2*n+1);
for i=1:n
t=t+4*y(2*i)+2*y(2*i-1);
end
T=[T,h/3*t];
end
true=quad(@fx1,0,1);
A=T-true;
x=linspace(0,1,9);
plot(x,A)
此法与第一种一样，只是所用的表达式不同。
注：由于被积函数是x.^4，它的四阶倒数是24，所以它的积分余项是：(-(b-a)/180*((b-a)/2).^4*24)
实
验结果分析及心得体会上图是利用复化梯形公式所画出的误差。
其中：红线是计算误差，‘＊’号是实际误差。
-0.0017是计算误差。
0.0417、0.0185、0.0104、0.0067 0.0046、0.0034、0.0026、0.0021、0.0017是n值分别为2到10的实际误差。
上图是利用复化simpson公式所画出的误差。
其中：红线是计算误差，‘＊’号是实际误差。
注：纵轴是0.0001。
0.5208、0.1029、0.0326、0.0133、0.0064、0.0035、0.0020、0.0013、0.0008是n值分别为2到10的实际误差，-0.0083是计算误差。
成
绩
评
定
教师签名：
年月日。