2013年湖南卷数学试题及答案(文)

2013·湖南卷(文科数学)

1． 复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 1．B [解析] z ＝i·(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，在复平面上对应点坐标为(－1，1)，位于第二象限，选B.

2． “1

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

2．A [解析] 1

3． 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差别，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝( )

A ．9

B ．10

C ．12

D ．13

3．D [解析] 根据抽样比例可得360＝n

120＋80＋60，解得n ＝13，选D.

4． 已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

4．B [解析] 由函数的奇偶性质可得f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)．根据f (－1)＋g (1)＝－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝f (1)＋g (1)＝4，可得2g (1)＝6，即g (1)＝3，选B.

5． 在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π3 B.π4 C.π6 D.π12

5．A [解析] 由正弦定理可得2sin A sin B ＝3sin B ．又sin B ≠0，所以sin A ＝3

2

.因为A 为锐角，故A ＝π

3

，选A.

6．， 函数f (x )＝ln x 的图像与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图像的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

6．A [解析] 方法一：作出函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋4的图像如图所示

可知，其交点个数为2，选C. 方法二(数值法)

7． 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( ) A.3

2

B ．1 C.

2＋1

2

D. 2 7．D [解析] 由题可知，其俯视图恰好是正方形，而侧视图和正视图则应该都是正方体的对角面，故面积为2，选D.

8． 已知，是单位向量，＝0.若向量满足|－－|＝1，则||的最大值为( )

A.2－1

B. 2

C.2＋1

D.2＋2

8．C [解析] 由题可知·＝0，则⊥，又||＝||＝1，且|－－|＝1，不妨令＝(x ，y )，＝(1，0)，＝(0，1)，则(x －1)2＋(y －1)2＝1.又||＝x 2＋y 2，故根据几何关系可知||max ＝12＋12＋1＝1＋2，选C.

9． 已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则AD

AB

＝( )

A.12

B.14

C.

32 D.74

9．D [解析] 依题可知，E ，F 是CD 上的四等分点，P 只能在线段EF 上，则BF ＝AB ，

不妨设CD ＝AB ＝a ，BC ＝b ，则有b 2

＋⎝⎛⎭⎫3a 42＝a 2，即b 2＝716a 2，故b a ＝74

，选D.

10． 已知集合U ＝{2，3，6，8}，A ＝{2，3}，B ＝{2，6，8}，则(∁U A )∩B ＝________．

10．{6，8} [解析] 由已知得∁U A ＝{6，8}，又B ＝{2，6，8}，所以(∁U A )∩B ＝{6，8}． 11． 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s

(s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨

⎪

⎧x ＝at ，y ＝2t －1

(t 为参数)平行，则常数a 的值为________．

11．4 [解析] l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s ，即x －2y －1＝0，l 2：⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝at ，

y ＝2t －1，即2x －ay －a ＝0.由两直线平行，得21＝－a －2≠－a

－1

，解得a ＝4.

12． 执行如图1－1所示的程序框图，如果输入a ＝1，b ＝2，则输出的a 的值为________．

图1－1

12．9 [解析] 根据程序框图所给流程依次可得，a ＝1，b ＝2→a ＝3→a ＝5→a ＝7→a

＝9，满足条件，输出a ＝9.

13． 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则x ＋y 的最大值为________．

13．6 [解析] 根据题意，画出x ，y 满足的可行域，如图，

可知在点B (4，2)处x ＋y 取最大值为6.

14． 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，

使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．

14.3＋1 [解析] 如图，因PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，故|PF 2|＝1

2|F 1F 2|＝c ，则|PF 1|

＝3c ，又由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即3c －c ＝2a ，故c a ＝2

3－1＝3＋1.

15．， 对于E ＝{a 1，a 2，…，a 100}的子集X ＝{ai 1，ai 2，…，ai k }，定义X 的“特征数

列”为x 1，x 2，…，x 100，其中xi 1＝xi 2＝…＝xi k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a 2，a 3}的“特