数学与哲学

数学的信仰、内在统一性与哲学思量

记得当年刚接触高等数学时，赵育林教授曾在班里问过：你们觉得数学是科学吗？显然当时我并没能领会这个问题的深刻含义，即使时至今日，我仍然没有能力来充分论述这个问题。现代研究手段主要有：论证、实验与科学计算。研究手段决定了任何一门学科，只要有明确的可具体界定的可实证的研究对象，能够建立起完整严密的逻辑体系，都可以成为科学。虽然探索过程中的不够完整缜密会成为某些异见人士攻击的借口（数学三次危机即是明佐），但无数前辈同仁们在曲折中不断进取、去伪存真的过程中，还是逐渐建立了现代科学大厦。现在把眼光放回至数学，现代数学所研究的对象自然是明确而众多的，我们的公理化系统建立在定义、公理和未定义项上，而后繁衍。而公理可谓是上帝禁区，没人染指。莱布尼茨（Leibniz）曾说：“对于那些试图证明一切，甚至连最初的原则也想加以证明的人们的努力，我给予很同的评价，而且我自己也常常参与其事。但是我不赞同因过分的细密而阻碍了创造的技巧，或者在这种借口下抛弃了最好的创造而剥夺其结果。”由此我们可见数学研究的某些特征，这些特征导致了GH 哈代（Hardy）所言的“证明只不过是指指点点”的客观性。因此，我更倾向于认为数学是一种信仰，信仰其体系的公正性，信仰其研究的有效性和必要性，信仰其核心价值－－剥离抽象以保其强大的生命力与通用价值。对数学的热爱与追求，源于对其操作手法及其带来的思想冲击的认同与维护。

在上述的说明下，我们来讨论一下数学的统一性，首先必须阐明的是，颇具影响力的数学统一性研究可能需要查看Hilbert在上世纪三十年代左右所从事的数学大统一的探索，作为二十世纪数学进展的执牛耳者，正如物理学巨擘爱因斯坦（Einstein）也追求大统一一样，希尔伯特（Hilbert)亦想在若干简练的公理体系下建立起现代枝繁叶茂的数学大厦。当然，凡是高瞻远瞩者，有此构想，理属自然。而结果也是大家所明了的：爱因斯坦的助手、奥地利年轻的逻辑学家和数学家哥德尔（Godel）关于不完备性的证明着实将希尔伯特的梦想打得粉碎。

即使如此，我们仍然追求数学众多分支内在的和谐性与统一性，和谐性内蕴于统一性之间。自然我们所说的统一性，并不能再意指可以在一两个公理体系下通过如《几何原本》式的模式来论述整个数学，而是指在现存的众多的数学分支，包括将来可能出现的新领域里，都能看到或嗅到其他领域的味道。说得更确切点，没有完全独立于其他分支的数学学科，数学各支所研究的对象可能不甚相关，但每个领域的众多数学方法、思想却是相通的，包括一些常用的学习手段和研究方法。一个分支只有与其他分支相融时，才能爆发出强大的生命力，于数学问题亦是如此，这也是为什么庞加莱猜想远比孤家寡人的数学王冠哥德巴赫猜想更有价值的原因所在。形式逻辑体系下的数学，虽然用布尔巴基（Bourbaki）学派的结构化数学来囊括不尽科学，但至少在某种程度上这也反映了数学的内在规律。

或许我们可以看一下阿蒂亚（Atiyah）的观点：“数学存在的主要原因是它具有抽象过程，将一个领域的思想转移到另一个领域的能力。”数学的内在统一性的主要工具是发展更精致、更抽象的概念－－使大量特殊事实成为某种基本原理的不同表现。此举亦使数学保持了形式上的完整，至少在今天我们所关注的几个少数的关键学科体现了这一点：群论体现了对称性的研究，拓扑学体现了连续性的研究，概率体现了随机事件的研究。而这几个分支亦是处于统治地位。

这种统一性保证了数学的生命力，规范了数学的前进发展和手法，促进了数学分支之间的相互交流与共同发展，均衡而致、相辅相成的哲学之道于此彰显无遗。此举实质已然上升至metamathematics层次，说白了，就是数学哲学层次。

有人指，数学即是哲学。对此，我表示部分赞同，但反之显然不合适。

说数学是哲学，并不是指数学的研究内容是哲学，确切地讲，是源于对数学的深层次思想理念和研究方法的一种觉悟。为了表述问题的方便与清晰，我们先简单讨论一下哲学（philosophy）。原则上，我认为哲学理应超越任何自然科学之上，是研究世界观、方法论的体系，是关于世界的本质、发展的根本规律、人的思维和存在的根本关系的理论体系。哲学的科学化程度同哲学的世界观和方法论的地位成正比。哲学之下才是自然科学，而数学又是自然科学的基础。这里其实并没有讲清数学与哲学的关系，因为无论我们从何角度剖析，都不能很好地定位此二者的关系，根本原因源自我们对数学和哲学本身都缺乏足够的了解，勿逞把握与理解。许多哲学家把哲学的核心思想放在了研究宇宙万物统一的，最普遍最一般的本质或共相上，认为它是万物存在的根本根据。这个问题自然够所有哲学家绞尽脑汁而进展缓慢，另一方面，这个问题或许或多或少让你感觉到了某种“似曾相识”，不错，数学模式亦是如此，最本质的东西才是最值得研究、最难追求也最有生命力。从这个角度来看，我们说数学透露了一种哲学之道，是不过份的。我不清楚其他学科，但私窥《费曼物理学讲义》，窃以为物理学的内核或许也是如此。当年，亚里士多德在写完《physics》后，写了另一卷《metaphysics》，后者即是今天人们所称的形而上学……讲到这里，或许很多人明白过来了。

既然已经引出形而上学，我们不妨再多费一些口舌，很多受马列影响多年的同学对形而上学很是排斥，认为这是一种孤立、静止、片面看待问题的方法。形而上学在年轻的理科生中声名狼藉，更有甚者将之与玄学、神鬼之学打入一类。当然，更多的国内理科生并不关心这些，纠结在知识层次是他们最大的快感与痛苦。考虑到当前敏感词盛行，因言获罪者比比皆是，这里我并不打算对此类患者作过多解释，只是提醒他们一句：行而上学在哲学史上意指哲学中探究宇宙根本原理的部分，对行而上学的攻讦，源自科学史上的错误与曲折，国内的话更多的是因为其与马克思那一套体系相悖。而我之所以特别提之，自然是因为其有助于我们更

好地把握形式逻辑与数学哲学，亦有助于我们在更高的层次上高屋建瓴式地对数学加以理解。

国内的很多高校已经很多年不开设数理逻辑这门课程，教点离散数学就了事，而方法论及与之相关的教材基本上已经绝迹（当然大家可以在平时学习时深入挖掘并零散吸收，我这里指的是系统学习），取而代之的是四本思想教育方面的书，有人称为政治，有人称为@@，此处不语。这类课程不开设有什么影响呢？打个不恰当的比喻，这就像邓@@在胡@@和赵@@后，选择了他们的经济改革而抛弃了政治改革一样，导致今天的天朝@@@@。好吧，提政治有风险，我们举另外一个大家感兴趣的比喻－－剑宗与气宗。不错，我们现在干的这些勾当就是完全抛弃气宗那一套来练剑。结果就是大家都学得像那么回事，但就是提不上劲，没什么威力。

这关哲学和数学什么事？这里讲的就是缺乏哲学的修养来学习数学的结果。如果只是一般的数学工作者，当然影响不大，反正知识点都还没怎么弄明白，真正的影响是高层次的创作与研究。其实数学史上众多璀璨的明星，多是有深厚哲学修养者，如Leibniz,Fermat,Hilbert 等，虽然他们并没有专门的哲学著作，但他们的哲学理念已经深深地烙入了他们的数学成果和工作中。哲学的修为可以有助于他们更好地把握理解数学，而反过来，理解数学的过程其实也可以深化哲学学习，只是我们没有这方面的基础，所以效果不大。

国人不喜欢哲学，更谈不上什么信仰，如果一定要说中国人有什么普适信仰，那可能是信仰因过度务实而导致的肌浅与投机倒把。黑格尔的入职演讲或许可以为大家表心迹：时代的艰苦使人们对于日常生活中平凡的琐屑兴趣予以大的重视，现实中很高的利益和为了这些利益而作的斗争，大大地占据了人们的精神上一切的能力和力量以及外在的手段。我们已经没有自由而炽热的心，去探索较高的内心生活和较纯洁的精神活动。这也是当今数学和哲学领域所遇到的人才凋谢尴尬。

同属基础学科，还可能被冠以无用的学科，数学与哲学的处境让人担忧，因为并不像其他重赏之下必有勇夫或有现实经济诱惑的学科，基础学科的特点决定了我们需要舍弃该舍弃的，以一颗真挚而纯洁的心，去追求、体会并欣赏她们的美丽，去感叹她们的神奇。也就是说，除非是真正狂热的追随者，以追求非数学本身为目的来学习数学只会被数学玩得很惨，于数学本身亦毫无益处。除此之外，由于这个群体在现实社会中多是脆弱不成熟的，需要良好的社会制度来保障，所以，尊重并崇尚知识的社会才能允许他们生根发芽。哲学亦是如此。