线性变换的矩阵表示
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线性变换的矩阵
上节例10中, 关系式 T ( x ) Ax
n
( x Rn )
简单明了地表示出 R 中的一个线性变换 .我们自然希望 R n中任何一个线性变换都 能用这样的关系式来表 示.
为此, 考虑到a1 Ae1 , a 2 Ae2 , , a n Aen (e1 , e2 , , en为单位坐标向量 ), 即 a i T (ei ) T (ei )为列向量.
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由关系式(6)可见与T ( )在基 1 , 2 , , n下的坐 标分别为: x1 x1 x2 x2 , T ( ) A , x x n n 即按坐标表示 ,有 T ( ) A .
x1 x1 x2 x2 T ( 1 ), T ( 2 ), , T ( n ) 1 , 2 , , n A x x n n 上页 下页 返回
x1 x1 x2 x2 即T 1 , 2 , , n 1 , 2 , , n A , x x n n
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例11 在P[ x ]3中, 取基 p1 x 3 , p2 x 2 , p3 x , p4 1, 求微分运算D的矩阵.
Dp1 3 x 2 0 p1 3 p2 0 p3 0 p4 , Dp2 2 x 0 p1 0 p2 2 p3 0 p4 , Dp3 1 0 p1 0 p2 0 p3 1 p4 , Dp 0 0 p 0 p 0 p 0 p , 1 2 3 4 4
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a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n 其中 A , a a a n2 nn n1 那么, A就称为线性变换 T在基 1 , 2 , , n下的 矩阵.
显然, 矩阵A由基的象T ( 1 ), T ( 2 ), , T ( n ) 唯一决定.
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如果给出一个矩阵 A作为线性变换 T在基 1 , 2 , , n下的矩阵, 也就给出了这个基在变 换T下的象.下 面根据变换T保持线性关系的特性来 推导变换T必须 满足的关系式:
Vn中的任意元素记为 x i i , 有
i 1 n n T x i i x iT ( i ) i 1 i 1 n
解
Ti i , (1) Tj j , Tk 0,
1 0 0 即 T (i , j , k ) (i , j , k ) 0 1 0 . 0 0 0
( 6)
这个关系式唯一地确定一个变换 T ，可以验证所确定 的变换 T 是以 A 为矩阵的线性变换，总之，以 A 为
矩阵的线性变换 T 由关系式(6) 唯一确定。
定义7及以上讨论表明，在Vn 中取定一个基以后， 由线性变换T可唯一地确定一个矩阵A，由一个矩阵A 也可以唯一地决定一个线性变换T。 这样，在线性变换与矩阵之间就有一一对应的关 系。
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பைடு நூலகம்
( i 1,2, , n)
可见如果线性变换 T有关系T ( x ) Ax , 那么矩阵A应以
反之, 如果一个线性变换 T使T (ei ) a i ( i 1, 2, , n), 那么T必满足关系式 T ( x ) T [( e1 , , en ) x ] T ( x1e1 x n en ) x1T (e1 ) x nT (en ) (T (e1 ), , x nT (en )) x (a1 , , a n ) x Ax.
总之, R n中任何线性变换 T , 都能用关系式 T ( x ) Ax( x R n ) 表示, 其中A (T (e1 ), , T (en )).
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定义7 设T是线性空间Vn 中的线性变换 ,在 Vn中取定一个基 1 , 2 , , n , 如果这个基在变换 T下的象(用这个基线性表示 )为 T ( 1 ) a11 1 a 21 2 a n1 n , T ( 2 ) a12 1 a 22 2 a n 2 n , T ( n ) a1n 1 a 2 n 2 a nn n , 记T ( 1 , 2 , , n ) (T ( 1 ), T ( 2 ), , T ( n )), 上 式可表示为 T ( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) A, ( 5)
解
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所以D在这组基下的矩阵为 0 3 A 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0
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例12 在R 3中, T表示 将向量投影到 xOy平面的线
性变换, 即 T ( xi yj zk ) xi yj , (1)取基为i , j , k , 求T的矩阵; ( 2)取基为 i , j , i j k , 求T的矩阵.
上节例10中, 关系式 T ( x ) Ax
n
( x Rn )
简单明了地表示出 R 中的一个线性变换 .我们自然希望 R n中任何一个线性变换都 能用这样的关系式来表 示.
为此, 考虑到a1 Ae1 , a 2 Ae2 , , a n Aen (e1 , e2 , , en为单位坐标向量 ), 即 a i T (ei ) T (ei )为列向量.
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由关系式(6)可见与T ( )在基 1 , 2 , , n下的坐 标分别为: x1 x1 x2 x2 , T ( ) A , x x n n 即按坐标表示 ,有 T ( ) A .
x1 x1 x2 x2 T ( 1 ), T ( 2 ), , T ( n ) 1 , 2 , , n A x x n n 上页 下页 返回
x1 x1 x2 x2 即T 1 , 2 , , n 1 , 2 , , n A , x x n n
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例11 在P[ x ]3中, 取基 p1 x 3 , p2 x 2 , p3 x , p4 1, 求微分运算D的矩阵.
Dp1 3 x 2 0 p1 3 p2 0 p3 0 p4 , Dp2 2 x 0 p1 0 p2 2 p3 0 p4 , Dp3 1 0 p1 0 p2 0 p3 1 p4 , Dp 0 0 p 0 p 0 p 0 p , 1 2 3 4 4
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a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n 其中 A , a a a n2 nn n1 那么, A就称为线性变换 T在基 1 , 2 , , n下的 矩阵.
显然, 矩阵A由基的象T ( 1 ), T ( 2 ), , T ( n ) 唯一决定.
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如果给出一个矩阵 A作为线性变换 T在基 1 , 2 , , n下的矩阵, 也就给出了这个基在变 换T下的象.下 面根据变换T保持线性关系的特性来 推导变换T必须 满足的关系式:
Vn中的任意元素记为 x i i , 有
i 1 n n T x i i x iT ( i ) i 1 i 1 n
解
Ti i , (1) Tj j , Tk 0,
1 0 0 即 T (i , j , k ) (i , j , k ) 0 1 0 . 0 0 0
( 6)
这个关系式唯一地确定一个变换 T ，可以验证所确定 的变换 T 是以 A 为矩阵的线性变换，总之，以 A 为
矩阵的线性变换 T 由关系式(6) 唯一确定。
定义7及以上讨论表明，在Vn 中取定一个基以后， 由线性变换T可唯一地确定一个矩阵A，由一个矩阵A 也可以唯一地决定一个线性变换T。 这样，在线性变换与矩阵之间就有一一对应的关 系。
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பைடு நூலகம்
( i 1,2, , n)
可见如果线性变换 T有关系T ( x ) Ax , 那么矩阵A应以
反之, 如果一个线性变换 T使T (ei ) a i ( i 1, 2, , n), 那么T必满足关系式 T ( x ) T [( e1 , , en ) x ] T ( x1e1 x n en ) x1T (e1 ) x nT (en ) (T (e1 ), , x nT (en )) x (a1 , , a n ) x Ax.
总之, R n中任何线性变换 T , 都能用关系式 T ( x ) Ax( x R n ) 表示, 其中A (T (e1 ), , T (en )).
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定义7 设T是线性空间Vn 中的线性变换 ,在 Vn中取定一个基 1 , 2 , , n , 如果这个基在变换 T下的象(用这个基线性表示 )为 T ( 1 ) a11 1 a 21 2 a n1 n , T ( 2 ) a12 1 a 22 2 a n 2 n , T ( n ) a1n 1 a 2 n 2 a nn n , 记T ( 1 , 2 , , n ) (T ( 1 ), T ( 2 ), , T ( n )), 上 式可表示为 T ( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) A, ( 5)
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所以D在这组基下的矩阵为 0 3 A 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0
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例12 在R 3中, T表示 将向量投影到 xOy平面的线
性变换, 即 T ( xi yj zk ) xi yj , (1)取基为i , j , k , 求T的矩阵; ( 2)取基为 i , j , i j k , 求T的矩阵.