参数方程的概念(课件)
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跟踪练习
y
t M • A O
B
H C
x
如图所示，已知点A(1，2)，B(5，6)， 点M是线段AB上的一个动点，试求 点M(x,y)轨迹的参数方程
方案二：解：设|MB|=t,易知 BMH
4
,
2 xM 5 t cos 5 t 4 2 2 yM 6 t sin 6 t 4 2
y=sin θ
x
y 1
2
限
代
化
►试一试：能不能找出一个 x cos 变量，“连接”圆上点的 参数方程： 横坐标x和纵坐标y,进而 y sin 得出圆的参数方程? ►还能不能找出类似的变量？ 弧长、面积、周长
三、巩固概念.理解应用
例1.如图，设圆O的圆心在 坐标原点，半径为1
故A、B、C三个角速度之间的关系可以表示为
x t y t
一、创设情境.探求新知
B A A
思考： 若齿轮A、B、C的半径分别为4、1、2，他们转动时的角速度分别是x、y、t，方向 忽略不计 y 4x ； (1) 第一组图中，它们角速度之间的关系是_________________
2 4 8
3 6 12
4 8 16
5 10 20
1 x t 2 y 2t
2.满足方程的点(x,y) 所形成的图形是什么呢？ 方程表示的是一条直线
二、建构概念.突破难点
例1.如图，设圆的圆心在坐 标原点，半径为1 ►求出该圆的标准方程 -1
建 设 步骤： 标准方程： x
M 点的轨迹方程是
x 5 y 6 2 t 2 （0 t 4 2) 2 t 2
三、巩固概念.理解应用
例1.如图，设圆的圆心在坐 标原点，半径为1 ►求出该圆的普通方程 -1
建 设 步骤： 普通方程： x
2
y
1 •M
• θ HM • O x=cosθ 0 -1
高二年级第二学段人教版数学选修4-4
参数方程的概念
大冶一中 孙雷
一、创设情境探求新知
A
B
A
B C
一、创设情境.探求新知
B
A A
B
xt y t
C
思考： 若齿轮A、B、C的半径相等，他们转动时的角速度分别是x、y、t，方向忽略不计 x=y ________； (1) 第一组图中，A与B角速度之间的关系是_______ (2) 第二组图中，A与C角速度之间的关系是________________； B与C角速度之间的关系是________________；
1 x t 2 y 2t
三、巩固概念.理解应用
x 3t 例2.已知曲线C的参数方程是 y 2t 2 1 (t为参数) (1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系 (2)已知点M3(6,a)在曲线C上，求a的值
解：解： (1)把点 (2) M 因为点 M3(0,1) (6,a)代入方程组，解得 在曲线C上，所以 t=0， 1的坐标 因此M1在曲线C上 6 3t 把点 M2的坐标(5,4) 代入方程组，得到 ，解得 t=2,a=9
x f (t ) (t D ) y g (t )
概括归纳： 一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的 坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值， 由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方 程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫 做参变数，简称参数.
参数方程： 1
y
•M
y=sin θ
x cos ( R) y sin x cos ( [0， ]) 2 y sin
-1
• θ HM • O x=cosθ 0 -1
x
思考：这两个参数方程都表示圆C吗？
四、课堂小结.提升能力
1、知识内容： 知道圆的参数方程以及曲线参数方程的概念； 能选取适当的参数建立参数方程； 通过对圆和直线的参数方程的研究，理解其中参 数的意义。 2、思想与方法：参数思想。
解：设|MA|=t,易知 BAC
4
,
2 xM t cos 1 t 1 4 2 2 yM t sin 2 t2 4 2
M 点的轨迹方程是
x y 2 t 1 2 （0 t 4 2) 2 t2 2
三、巩固概念.理解应用
B
C
1 x t 2 y 2t (2) 第二组图中，它们角速度之间的关系是_________________ ；
二、建构概念.突ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ难点
1.填写下列两个表格，思考方程和方程的区别与联系
y 4x
方程
x y x t y
1 4
2 8
3 12
4 16
5 20
方程
1 2 4
二、建构概念.突破难点
概括归纳： 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方 程叫做普通方程. 参数是联系变数x,y的桥梁，可以是一个有物理意义或 几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.
二、建构概念.突破难点
思考: 下列两个方程，是参数方程吗？
x 4y 1 y x 4
五、课后作业
课后习题A组练习1、2、3
谢谢！
x sin 2.方程 ( y cos
[0,2 ) )所表示的曲线上一
点是( D ) A.(2,7)
1 2 B.( , 3 3
)
1 1 C.( , 2 2
) D.(1,0)
三、巩固概念.理解应用
跟踪练习
y
B
M t • A O C
x
如图所示，已知点A(1，2)，B(5，6)， 点M是线段AB上的一个动点，试求 点M(x,y)轨迹的参数方程
a 2 t 1 5 3 t ，这个方程组无解，因此点M2不在 2 因此， a=9 4 2 t 1
2
曲线 C上
三、巩固概念.理解应用
x 1 t 2 1.曲线 y 4t 3 (t为参数)与x轴的焦点坐标是(B) 25 25 A.(1,4) B.( ,0) C.(1,-3) D.( ,0) 16 16
2
y
1 •M
• θ HM • O x=cosθ 0 -1 方程：
y=sin θ
x
y 1
2
限
代
化
►试一试：能不能找出一个 变量，“连接”圆上点的 横坐标x和纵坐标y,进而 得出圆的方程的不同表现 形式?
x cos y sin
二、建构概念.突破难点
1 x t x cos 2 （t是中间量） (θ是中间量， [0， 2 )) y 2t y sin
y
t M • A O
B
H C
x
如图所示，已知点A(1，2)，B(5，6)， 点M是线段AB上的一个动点，试求 点M(x,y)轨迹的参数方程
方案二：解：设|MB|=t,易知 BMH
4
,
2 xM 5 t cos 5 t 4 2 2 yM 6 t sin 6 t 4 2
y=sin θ
x
y 1
2
限
代
化
►试一试：能不能找出一个 x cos 变量，“连接”圆上点的 参数方程： 横坐标x和纵坐标y,进而 y sin 得出圆的参数方程? ►还能不能找出类似的变量？ 弧长、面积、周长
三、巩固概念.理解应用
例1.如图，设圆O的圆心在 坐标原点，半径为1
故A、B、C三个角速度之间的关系可以表示为
x t y t
一、创设情境.探求新知
B A A
思考： 若齿轮A、B、C的半径分别为4、1、2，他们转动时的角速度分别是x、y、t，方向 忽略不计 y 4x ； (1) 第一组图中，它们角速度之间的关系是_________________
2 4 8
3 6 12
4 8 16
5 10 20
1 x t 2 y 2t
2.满足方程的点(x,y) 所形成的图形是什么呢？ 方程表示的是一条直线
二、建构概念.突破难点
例1.如图，设圆的圆心在坐 标原点，半径为1 ►求出该圆的标准方程 -1
建 设 步骤： 标准方程： x
M 点的轨迹方程是
x 5 y 6 2 t 2 （0 t 4 2) 2 t 2
三、巩固概念.理解应用
例1.如图，设圆的圆心在坐 标原点，半径为1 ►求出该圆的普通方程 -1
建 设 步骤： 普通方程： x
2
y
1 •M
• θ HM • O x=cosθ 0 -1
高二年级第二学段人教版数学选修4-4
参数方程的概念
大冶一中 孙雷
一、创设情境探求新知
A
B
A
B C
一、创设情境.探求新知
B
A A
B
xt y t
C
思考： 若齿轮A、B、C的半径相等，他们转动时的角速度分别是x、y、t，方向忽略不计 x=y ________； (1) 第一组图中，A与B角速度之间的关系是_______ (2) 第二组图中，A与C角速度之间的关系是________________； B与C角速度之间的关系是________________；
1 x t 2 y 2t
三、巩固概念.理解应用
x 3t 例2.已知曲线C的参数方程是 y 2t 2 1 (t为参数) (1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系 (2)已知点M3(6,a)在曲线C上，求a的值
解：解： (1)把点 (2) M 因为点 M3(0,1) (6,a)代入方程组，解得 在曲线C上，所以 t=0， 1的坐标 因此M1在曲线C上 6 3t 把点 M2的坐标(5,4) 代入方程组，得到 ，解得 t=2,a=9
x f (t ) (t D ) y g (t )
概括归纳： 一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的 坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值， 由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方 程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫 做参变数，简称参数.
参数方程： 1
y
•M
y=sin θ
x cos ( R) y sin x cos ( [0， ]) 2 y sin
-1
• θ HM • O x=cosθ 0 -1
x
思考：这两个参数方程都表示圆C吗？
四、课堂小结.提升能力
1、知识内容： 知道圆的参数方程以及曲线参数方程的概念； 能选取适当的参数建立参数方程； 通过对圆和直线的参数方程的研究，理解其中参 数的意义。 2、思想与方法：参数思想。
解：设|MA|=t,易知 BAC
4
,
2 xM t cos 1 t 1 4 2 2 yM t sin 2 t2 4 2
M 点的轨迹方程是
x y 2 t 1 2 （0 t 4 2) 2 t2 2
三、巩固概念.理解应用
B
C
1 x t 2 y 2t (2) 第二组图中，它们角速度之间的关系是_________________ ；
二、建构概念.突ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ难点
1.填写下列两个表格，思考方程和方程的区别与联系
y 4x
方程
x y x t y
1 4
2 8
3 12
4 16
5 20
方程
1 2 4
二、建构概念.突破难点
概括归纳： 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方 程叫做普通方程. 参数是联系变数x,y的桥梁，可以是一个有物理意义或 几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.
二、建构概念.突破难点
思考: 下列两个方程，是参数方程吗？
x 4y 1 y x 4
五、课后作业
课后习题A组练习1、2、3
谢谢！
x sin 2.方程 ( y cos
[0,2 ) )所表示的曲线上一
点是( D ) A.(2,7)
1 2 B.( , 3 3
)
1 1 C.( , 2 2
) D.(1,0)
三、巩固概念.理解应用
跟踪练习
y
B
M t • A O C
x
如图所示，已知点A(1，2)，B(5，6)， 点M是线段AB上的一个动点，试求 点M(x,y)轨迹的参数方程
a 2 t 1 5 3 t ，这个方程组无解，因此点M2不在 2 因此， a=9 4 2 t 1
2
曲线 C上
三、巩固概念.理解应用
x 1 t 2 1.曲线 y 4t 3 (t为参数)与x轴的焦点坐标是(B) 25 25 A.(1,4) B.( ,0) C.(1,-3) D.( ,0) 16 16
2
y
1 •M
• θ HM • O x=cosθ 0 -1 方程：
y=sin θ
x
y 1
2
限
代
化
►试一试：能不能找出一个 变量，“连接”圆上点的 横坐标x和纵坐标y,进而 得出圆的方程的不同表现 形式?
x cos y sin
二、建构概念.突破难点
1 x t x cos 2 （t是中间量） (θ是中间量， [0， 2 )) y 2t y sin