圆有关的证明题(附答案)

圆有关的证明题

1．如图，已知直线MN 与以AB 为直径的半圆相切于点C ，∠A=28°．

（1）求∠ACM 的度数．（2）在MN 上是否存在一点D ，使AB ·CD=AC ·BC ，说明理由．

2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3．

（1）若圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？

（2）若点O 沿CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？

3．（苏州市）已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，过点B 作⊙O 的切线，交CA 的延长线于点E ，∠EBC ＝2∠C ． ①求证：AB ＝AC ；

②若tan ∠ABE ＝

21，（ⅰ）求BC

AB 的值；（ⅱ）求当AC ＝2时，AE 的长．

4．（广州市）如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，⊙O 的割线PBC 过点O 与⊙O 分别交于B 、C ，PA ＝8cm ，PB ＝4cm ，求⊙O 的半径．

5．（河北省）已知：如图，BC 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 交⊙O 于点D ，若AD ︰

DB ＝2︰3，AC ＝10，求sin B 的值．

6．（北京市海淀区）如图，PC 为⊙O 的切线，C 为切点，PAB 是过O 的割线，CD ⊥AB 于

点D ，若tan B ＝2

1，PC ＝10cm ，求三角形BCD 的面积．

7．（宁夏回族自治区）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN 与小圆相切，D 为切点，且MN ∥AB ，MN ＝a ，ON 、CD 分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．

8．（四川省）已知，如图，以△ABC 的边AB 作直径的⊙O ，分别并AC 、BC 于点D 、E ，弦FG ∥AB ，S △CDE ︰S △ABC ＝1︰4，DE ＝5cm ，FG ＝8cm ，求梯形AFGB 的面积．

9．（贵阳市）如图所示：PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，

PA ＝10，PB ＝5，求：

（1）⊙O 的面积（注：用含π的式子表示）；

（2）cos ∠BAP 的值．

1．解：（1）连结BC ，

9028AB ACB A ⇒∠=︒⎫⎬∠=︒⎭

是直径⇒∠B=62°． MN 是切线⇒∠ACM=∠B=62°．

（2）过点B 作BD ⊥MN ，则

190BDC ACB MN BCN A ∠=︒=∠⎫⎬⇒∠=∠⎭

是切线⇒△ACB ∽△CNB ⇒

1AC AB CD BC =⇒AB ·CD 1=AC ·BC ． 过点A 作AD 2⊥MN ，则

190AD C ACB MN MCA CBA ∠=︒=∠⎫⎬⇒∠=∠⎭

是切线⇒△ABC ∽△ACD 2 ⇒

2CD AC AB CB =⇒CD 2·AB=AC ·CB 2．解：（1）过点C 作CH ⊥AB 于H ，由三角形的面积公式得AB ·CH=AC ·BC ，

∴CH=

AC BC AB =6013，即圆心到直线的距离d=6013

． ∵d=6013>3，∴⊙O 与AB 相离． （2）过点O 作OE ⊥AB 于E ，则OE=3．

∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A ，∴△AOE ∽△ABC ，

∵OA=

OE AB BC =31313124

⨯= ∴OC=AC-OA=5-134=74

． ∴当OC=74时，⊙O 与AB 相切． 3．（1）∵ BE 切⊙O 于点B ，∴ ∠ABE ＝∠C ．

∵ ∠EBC ＝2∠C ，即 ∠ABE ＋∠ABC ＝2∠C ，

∴ ∠C ＋∠ABC ＝2∠C ，

∴ ∠ABC ＝∠C ，∴ AB ＝AC ．

（2）①连结AO ，交BC 于点F ，

∵ AB ＝AC ，∴

＝，

∴ AO ⊥BC 且BF ＝FC ．

在Rt △ABF 中，

BF

AF ＝tan ∠ABF ， 又 tan ∠ABF ＝tan C ＝tan ∠ABE ＝21，∴ BF AF ＝2

1， ∴ AF ＝21BF ． ∴ AB ＝22BF AF +＝22

21BF BF +⎪⎭⎫ ⎝⎛＝25BF ．

∴ 4

52==BF AB BC AB ． ②在△EBA 与△ECB 中，

∵ ∠E ＝∠E ，∠EBA ＝∠ECB ，∴ △EBA ∽△ECB ．

∴ ⎪⎩

⎪⎨⎧⋅==EC EA BE BC AB EB EA 2，解之，得516EA 2＝EA ·（EA ＋AC ），又EA ≠0， ∴ 511EA ＝AC ，EA ＝115×2＝11

10． 4．设⊙的半径为r ，由切割线定理，得PA 2＝PB ·PC ，

∴ 82＝4（4＋2r ），解得r ＝6（cm ）．

即⊙O 的半径为6cm ．

5．由已知AD ︰DB ＝2︰3，可设AD ＝2k ，DB ＝3k （k ＞0）． ∵ AC 切⊙O 于点C ，线段ADB 为⊙O 的割线，

∴ AC 2＝AD ·AB ，

∵ AB ＝AD ＋DB ＝2k ＋3k ＝5k ，

∴ 102＝2k ×5k ，∴ k 2＝10，

∵ k ＞0，∴ k ＝10．

∴ AB ＝5k ＝510．

∵ AC 切⊙O 于C ，BC 为⊙O 的直径，

∴ AC ⊥BC ．

在Rt △ACB 中，sin B ＝

5

1010510==AB AC ． 6．解法一：连结AC ．

∵ AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，

∴ ∠ACB ＝90°．

CD ⊥AB 于点D ，

∴ ∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∠2＝90°－∠BAC ＝∠B ． ∵ tan B ＝

2

1， ∴ tan ∠2＝21．