圆有关的证明题(附答案)

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圆有关的证明题(附答案)

圆有关的证明题1．如图，已知直线MN 与以AB 为直径的半圆相切于点C ，∠A=28°．（1）求∠ACM 的度数．（2）在MN 上是否存在一点D ，使AB ·CD=AC ·BC ，说明理由．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3．（1）若圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？（2）若点O 沿CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？3．（苏州市）已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，过点B 作⊙O 的切线，交CA 的延长线于点E ，∠EBC ＝2∠C ． ①求证：AB ＝AC ；②若tan ∠ABE ＝21，（ⅰ）求BCAB 的值；（ⅱ）求当AC ＝2时，AE 的长．4．（广州市）如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，⊙O 的割线PBC 过点O 与⊙O 分别交于B 、C ，PA ＝8cm ，PB ＝4cm ，求⊙O 的半径．5．（河北省）已知：如图，BC 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 交⊙O 于点D ，若AD ︰DB ＝2︰3，AC ＝10，求sin B 的值．6．（北京市海淀区）如图，PC 为⊙O 的切线，C 为切点，PAB 是过O 的割线，CD ⊥AB 于点D ，若tan B ＝21，PC ＝10cm ，求三角形BCD 的面积．7．（宁夏回族自治区）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN 与小圆相切，D 为切点，且MN ∥AB ，MN ＝a ，ON 、CD 分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．8．（四川省）已知，如图，以△ABC 的边AB 作直径的⊙O ，分别并AC 、BC 于点D 、E ，弦FG ∥AB ，S △CDE ︰S △ABC ＝1︰4，DE ＝5cm ，FG ＝8cm ，求梯形AFGB 的面积．9．（贵阳市）如图所示：PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10，PB ＝5，求：（1）⊙O 的面积（注：用含π的式子表示）；（2）cos ∠BAP 的值．1．解：（1）连结BC ，9028AB ACB A ⇒∠=︒⎫⎬∠=︒⎭是直径⇒∠B=62°． MN 是切线⇒∠ACM=∠B=62°．（2）过点B 作BD ⊥MN ，则190BDC ACB MN BCN A ∠=︒=∠⎫⎬⇒∠=∠⎭是切线⇒△ACB ∽△CNB ⇒1AC AB CD BC =⇒AB ·CD 1=AC ·BC ．过点A 作AD 2⊥MN ，则190AD C ACB MN MCA CBA ∠=︒=∠⎫⎬⇒∠=∠⎭是切线⇒△ABC ∽△ACD 2 ⇒2CD AC AB CB=⇒CD 2·AB=AC ·CB 2．解：（1）过点C 作CH ⊥AB 于H ，由三角形的面积公式得AB ·CH=AC ·BC ，∴CH=AC BC AB =6013，即圆心到直线的距离d=6013． ∵d=6013>3，∴⊙O 与AB 相离．（2）过点O 作OE ⊥AB 于E ，则OE=3．∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A ，∴△AOE ∽△ABC ，∵OA=OE AB BC =31313124⨯= ∴OC=AC-OA=5-134=74． ∴当OC=74时，⊙O 与AB 相切． 3．（1）∵ BE 切⊙O 于点B ，∴ ∠ABE ＝∠C ．∵ ∠EBC ＝2∠C ，即 ∠ABE ＋∠ABC ＝2∠C ，∴ ∠C ＋∠ABC ＝2∠C ，∴ ∠ABC ＝∠C ，∴ AB ＝AC ．（2）①连结AO ，交BC 于点F ，∵ AB ＝AC ，∴ ＝，∴ AO ⊥BC 且BF ＝FC ．在Rt △ABF 中，AF ＝tan ∠ABF ，∴ AF ＝21BF ． ∴ AB ＝22BF AF +＝2221BF BF +⎪⎭⎫ ⎝⎛＝25BF ． ∴ 452==BF AB BC AB ． ②在△EBA 与△ECB 中，∵ ∠E ＝∠E ，∠EBA ＝∠ECB ，∴ △EBA ∽△ECB ．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧⋅==EC EA BE BC AB EB EA 2，解之，得516EA 2＝EA ·（EA ＋AC ），又EA ≠0， ∴ 511EA ＝AC ，EA ＝115×2＝1110． 4．设⊙的半径为r ，由切割线定理，得PA 2＝PB ·PC ， ∴ 82＝4（4＋2r ），解得r ＝6（cm ）．即⊙O 的半径为6cm ．5．由已知AD ︰DB ＝2︰3，可设AD ＝2k ，DB ＝3k （k ＞0）． ∵ AC 切⊙O 于点C ，线段ADB 为⊙O 的割线，∴ AC 2＝AD ·AB ， ∵ AB ＝AD ＋DB ＝2k ＋3k ＝5k ，∴ 102＝2k ×5k ，∴ k 2＝10， ∵ k ＞0，∴ k ＝10．∴ AB ＝5k ＝510．∵ AC 切⊙O 于C ，BC 为⊙O 的直径，∴ AC ⊥BC ．在Rt △ACB 中，sin B ＝51010510==AB AC ． 6．解法一：连结AC ．∵ AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD ⊥AB 于点D ，∴ ∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∠2＝90°－∠BAC ＝∠B ． ∵ tan B ＝21， ∴ tan ∠2＝21．∴ CB ACDB CD CD AD ===21．设AD ＝x （x ＞0），CD ＝2x ，DB ＝4x ，AB ＝5x ．∵ PC 切⊙O 于点C ，点B 在⊙O 上，∴ ∠1＝∠B ． ∵ ∠P ＝∠P ，∴ △PAC ∽△PCB ，∴ 21==CB ACPC PA．∵ PC ＝10，∴ PA ＝5，∵ PC 切⊙O 于点C ，PAB 是⊙O 的割线，∵ PC 2＝PA ·PB ，∴ 102＝5（5＋5 x ）．解得x ＝3．∴ AD ＝3，CD ＝6，DB ＝12．∴ S △BCD ＝21CD ·DB ＝21×6×12＝36．即三角形BCD 的面积36cm 2．解法二：同解法一，由△PAC ∽△PCB ，得21==CB AC PC PA ．∵ PA ＝10，∴ PB ＝20．由切割线定理，得PC 2＝PA ·PB ．∴ PA ＝201022-PB PC ＝5，∴ AB ＝PB －PA ＝15，∵ AD ＋DB ＝x ＋4x ＝15，解得x ＝3，∴ CD ＝2x ＝6，DB ＝4x ＝12．∴ S △BCD ＝21CD ·DB ＝21×6×12＝36．即三角形BCD 的面积36cm 2．7．解：如图取MN 的中点E ，连结OE ，∴ OE ⊥MN ，EN ＝21MN ＝21a ．在四边形EOCD 中，∵ CO ⊥DE ，OE ⊥DE ，DE ∥CO ，∴ 四边形EOCD 为矩形．∴ OE ＝CD ，在Rt △NOE 中，NO 2－OE 2＝EN 2＝22⎪⎭⎫ ⎝⎛a ．∴ S 阴影＝21π（NO 2－OE 2）＝21π·22⎪⎭⎫ ⎝⎛a ＝28πa ．8．解：∵ ∠CDE ＝∠CBA ，∠DCE ＝∠BCA ，∴ △CDE ∽△ABC ．∴ 2⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆AB DE S S ABC CDE∴ AB DE ＝ABC CDES S ∆∆＝41＝21，即215=AB ，解得 AB ＝10（cm ），作OM ⊥FG ，垂足为M ，则FM ＝21FG ＝21×8＝4（cm ），连结OF ，∵ OA ＝21AB ＝21×10＝5（cm ）．∴ OF ＝OA ＝5（cm ）．在Rt △OMF 中，由勾股定理，得OM ＝22FM OF -＝2245-＝3（cm ）．∴ 梯形AFGB 的面积＝2FG AB +·OM ＝2810⨯×3＝27（cm 2）．9．⎭⎬⎫的割线⊙是的切线⊙是O PBC O PA )1(⇒PA 2＝PB ·PC ⇒PC ＝20⇒半径为7.5⇒圆面积为π4225（或56.25π）（平方单位）．⎭⎬⎫∠=∠∠=∠P P BAP C )2(⇒△ACP ∽△BAP ⇒PB PA AB AC =⇒12=AB AC．∵ ∠BAP ＝∠C ，∴ cos ∠BAP ＝cos ∠C ＝55252==x x BC AC 解法二：设AB ＝x ，在Rt △ABC 中，AC 2＋AB 2＝BC 2，即 x 2＋（2x ）2＝152，解之得 x ＝35，∴ AC ＝65， ∵ ∠BAP ＝∠C ，∴ ∴ cos ∠BAP ＝cos ∠C ＝5521556==BC AC。

专题25 圆的有关计算与证明(共20道)(解析版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

专题25圆的有关计算与证明（20道）一、填空题1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在O 中，直径AB 与弦CD 交于点 ,2E AC BD=．连接AD ，过点B 的切线与AD 的延长线交于点F ．若68AFB ∠=︒，则DEB ∠=°．【答案】66【分析】连接BD ，则有90ADB ∠=︒，然后可得22,68A ABD ∠=︒∠=︒，则44ADE =︒∠，进而问题可求解．【详解】解：连接BD ，如图所示：∵AB 是O 的直径，且BF 是O 的切线，∴90ADB ABF ∠=∠=︒，∵68AFB ∠=︒，∴22A ∠=︒，∴68ABD ∠=︒，∵ 2AC BD=，∴244ADC A ∠=∠=︒，【答案】0.1【分析】由已知求得AB 与而即可得解．【详解】∵2OA OB AOB ==∠，∴22AB =，∵C 是弦AB 的中点，D 在∴延长DC 可得O 在DC 上，∴22CD OD OC =-=-，∴()22222322CD s AB OA-=+=+=，9022360l ππ⨯⨯==，∴30.1l s π-=-≈．故答案为：0.1．【点睛】本题考查扇形的弧长，掌握垂径定理。

弧长公式是关键．二、解答题3．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，延长AC 到点G ，使得CG CB =，连接GB ，过点C 作CD GB ∥，交AB 于点F ，交点O 于点D ，过点D 作DE AB ∥．交GB 的延长线于点E ．(1)求证：DE 与O 相切．(2)若4AC =，2BC =，求BE 的长．【答案】(1)见详解(2)523【分析】（1）连接OD ，结合圆周角定理，根据CG CB =，可得45CGB CBG ∠=∠=︒，再根据平行的性质45ACD CGB ∠=∠=︒，即有290AOD ACD ∠=∠=︒，进而可得90ODE AOD ∠=∠=︒，问题随之得证；（2）过C 点作CK AB ⊥于点K ，先证明四边形BEDF 是平行四边形，即有BE DF =，求出2225AB AC BC =+=，即有152OD AO OB AB ====，利用三角形函数有2sin 5AC ABC AB ∠==，同理1cos 5ABC ∠=，即可得4sin 5KC BC ABC =⨯∠=，2cos 5KB BC ABC =⨯∠=，进而有35OK OB KB =-=，再证明CKF DOF ∽，可得55445OF OD FK CK ===，即可得55359935OF OK ==⨯=，在Rt ODF △中，有∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90GCB ∠=︒，∵CG CB =，∴45CGB CBG ∠=∠=︒，∵CD GB ∥，∴45ACD CGB ∠=∠=︒，∴290AOD ACD ∠=∠=︒，即∵DE AB ∥，∴90ODE AOD ∠=∠=︒，∴半径OD DE ⊥，∴DE 与O 相切；（2）过C 点作CK AB ⊥∵CD GB ∥，DE AB ∥，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴BE DF =，∵4AC =，2BC =，∴222AB AC BC =+=∴152OD AO OB AB ====，∵CK AB ⊥，∴90CKB ACB ∠=︒=∠，∴在Rt ACB △，2sin 5AC ABC AB ∠==，同理1cos 5ABC ∠=，∵在Rt KCB 中，2CB =，∴4sin 5KC BC ABC =⨯∠=，2cos 5KB BC ABC =⨯∠=，∴35OK OB KB =-=，∵CK AB ⊥，OD AB ⊥，∴OD CK ∥，∴CKF DOF ∽，∴55445OF OD FK CK ===，∴59OF OF FK OF OK ==+，∴55359935OF OK ==⨯=，∴在Rt ODF △中，22523DF OD OF =+=，∴523BE DF ==．【点睛】本题是一道综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角函数以及勾股定理等知识，掌握切线的判定以及相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键．4．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，等腰三角形OAB 的顶角120AOB ∠=︒，O 和底边AB 相切于点C ，并与两腰OA ，OB 分别相交于D ，E 两点，连接CD ，CE ．(1)求证：四边形ODCE 是菱形；(2)若O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)4233S π=-阴影【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质可得60AOC BOC ∠=∠=︒，从而可得ODC 和△OD CD CE OE ===，即可解答；（2）连接DE 交OC 于点F ，利用菱形的性质可得利用勾股定理求出DF 的长，从而求出DE ODCE 的面积，进行计算即可解答．【详解】（1）证明：连接OC ，O 和底边AB 相切于点C ，OC AB ∴⊥，OA OB = ，120AOB ∠=︒，1602AOC BOC AOB ∴∠=∠=∠=︒，OD OC = ，OC OE =，ODC ∴ 和OCE △都是等边三角形，OD OC DC \==，OC OE CE ==，OD CD CE OE ∴===，∴四边形ODCE 是菱形；（2）解：连接DE 交OC 于点F ，四边形ODCE 是菱形，112OF OC ∴==，2DE DF =，90OFD ∠=︒，在Rt ODF 中，2OD =，2222213DF OD OF ∴=-=-=，223DE DF ∴==，∴图中阴影部分的面积=扇形ODE 的面积-菱形ODCE 的面积2120213602OC DE π⨯=-⋅4122332π=-⨯⨯4233π=-，∴图中阴影部分的面积为4233π-．【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，过点D 作DF BC ⊥，交BC 的延长线于点F ，交BA 的延长线于点E ，连接BD ．若180EAD BDF ∠+∠=︒．(1)求证：EF 为O 的切线．∵EAD BDF ∠+∠=∴BDF BAD ∠=∠，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒，BFD ∠∴BDF DBF ∠+∠=∴DBF ABD ∠=∠，∵OB OD =，∴DBF ABD ∠=∠=∴OD BF ∥，∴90ODE F ∠=∠=又OD 为O 的半径，∴EF 为O 的切线；（2）连接AC ，则：∵AB 为O 的直径，∴90ACB F ∠=︒=∠，∴AC EF ，∴E BAC BDC ∠=∠=∠，在Rt BFE △中，10BE =，2sin sin 3E BDC =∠=，∴220sin 1033BF BE E =⋅=⨯=，设O 的半径为r ，则：,10OD OB r OE BE OB r ===-=-，∵OD BF ∥，∴ODE BFE ∽，∴OD OE BF BE =，即：1020103r r -=，∴4r =；∴O 的半径为4．【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．题目的综合性较强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．6．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 是O 上AB 异侧的两点，DE CB ⊥，交CB 的延长线于点E ，且BD 平分ABE ∠．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)若60ABC ∠=︒，4AB =，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)233π-【分析】（1）连接OD ，根据OB OD =，得出OBD ODB ∠=∠．根据BD 平分ABE ∠，得出OBD EBD ∠=∠，则EBD ODB ∠=∠．根据DE CB ⊥得出90EBD EDB ∠+∠=︒，进而得出90ODB EDB ∠+∠=︒，即可求证；（3）连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于点F ，通过证明OBC △为等边三角形，得出60BOC ∠=︒，【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求扇形面积，解题的关键是掌握经过半径外端切垂直于半径的直线是圆的切线；扇形面积公式7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，N 为 AC 的中点，连接ON 交AC 于点H ．(1)如图①，求证2BC OH =；(2)如图②，点D 在O 上，连接DB ，DO ，DC ，DC 交OH 于点E ，若DB DC =，求证OD AC ∥；(3)如图③，在（2）的条件下，点F 在BD 上，过点F 作FG DO ⊥，交DO 于点G ．DG CH =，过点F 作FR DE ⊥，垂足为R ，连接EF ，EA ，32EF DF =::，点T 在BC 的延长线上，连接AT ，过点T 作TM DC ⊥，交DC 的延长线于点M ，若42FR CM AT ==，，求AB 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)213【分析】（1）连接OC ，根据N 为 AC 的中点，易证AH HC =，再根据中位线定理得出结论；（2）连接OC ，先证DOB DOC ≌V V 得BDO CDO ∠=∠，再根据OB OD =得DBO BDO ∠=∠，根据ACD ABD ∠=∠即可得出结论；（3）连接AD ，先证DOB DOC ≌V V ，再证四边形ADFE 是矩形，过A 作AS DE ⊥垂足为S ，先证出FR AS =，再能够证出CAS TCM ≌V V 从而CT AC =，得到等腰直角ACT ，利用三角函数求出AC ，再根据EDF BAC ∠=∠求出BC ，最后用勾股定理求出答案即可．【详解】（1）证明：如图，连接OC ，设2BDC α∠=，BD DC = ，DO DO =DOB DOC \≌V V ，12BDO CDO \Ð=Ð=OB OD = ，DBO \ÐACD ABD a Ð=Ð=Q DO AC \∥；（3）解：连接AD ，FG OD ^Q ，90DGF ∴∠=︒，90CHE ∠=︒ ，DGF CHE \Ð=Ð，FDG ECH Ð=ÐQ ，DG CH =，DGF CHE \≌V V ，DF CE ∴=，AH CH = ，OH AC \^，CE AE DF \==，EAC ECA a Ð=Ð=Q ，2AED EAC ECA a Ð=Ð+Ð=，BDC AED ∴∠=∠，DF AE ∴∥，∴四边形ADFE 是平行四边形，AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，∴四边形ADFE 是矩形，90EFD ∴∠=︒，3tan 2EF EDF FD \Ð==，过点A 作AS DE ⊥垂足为S ，sin AS AES AE\Ð=，FR DC ^Q ，sin FR FDR FD\Ð=，FD AE ∥ ，FDR AES \Ð=Ð，sin sin FDR AES \Ð=Ð，FR AS \=，AB 是O 的直径，(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．【答案】(1)32:27(2)①符合，图见详解；②图见详解【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图．【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为()22318ππ⨯-=；环的“肉”的面积为()223 1.5 6.75ππ⨯-=，∴它们的面积之比为8:6.7532:27ππ=；故答案为32:27；（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A 、B 、C ，则分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC 的垂直平分线，线段,AB AC 的垂直平分线的交点即为圆心O ，过圆心O 画一条直径，以O 为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可由作图可知满足比例关系为1:2:1的关系；②按照①中作出圆的圆心O ，过圆心画一条直径AB ，过点A 作一条射线，然后以A 为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C 、D 、E ，连接BE ，然后分别过点C 、D 作BE 的平行线，交AB 于点F 、【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键．9．（2023·辽宁·统考中考真题）的延长线上，且AFE ABC ∠=∠(1)求证：EF 与O (2)若1sin BF AFE =∠，【答案】(1)见解析(2)245BC =∵ =BEBE ，∴EOB ∠∵2CAB EAB ∠=∠，∴CAB EOB ∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90C ∠=︒，∵AFE ABC ∠=∠，∴OFE ABC ∽△△，∴90OEF C ∠=∠=︒，∵OE 为O 半径，∴EF 与O 相切；（2）解：设O 半径为x ，则1=+OF x ，∵AFE ABC ∠=∠，4sin 5AFE ∠=，∴4sin 5ABC ∠=，在Rt OEF △中，90OEF ∠=︒，4sin 5AFE ∠=，∴45OE OF =，即415x x =+，解得4x =，经检验，4x =是所列方程的解，∴O 半径为4，则8AB =，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4sin 5ABC ∠=，8AB =，∴32sin 5A AB C AB C ∠==⋅，∴22245BC AB AC =-=．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．10．（2023·贵州·统考中考真题）如图，已知O 是等边三角形ABC 的外接圆，连接CO 并延长交AB 于点D ，交O 于点E ，连接EA ，EB ．(1)写出图中一个度数为30︒的角：_______，图中与ACD 全等的三角形是_______；(2)求证：AED CEB ∽△△；(3)连接OA ，OB ，判断四边形OAEB 的形状，并说明理由．【答案】(1)1∠、2∠、3∠、4∠；BCD△(2)证明见详解(3)四边形OAEB 是菱形【分析】（1）根据外接圆得到CO 是ACB ∠的角平分线，即可得到30︒的角，根据垂径定理得到90ADC BDC ∠=∠=︒，即可得到答案；（2）根据（1）得到3=2∠∠，根据垂径定理得到5660∠=∠=︒，即可得到证明；（3）连接OA ，OB ，结合5660∠=∠=︒得到OAE △，OBE △是等边三角形，从而得到OA OB AE EB r ====，即可得到证明；【详解】（1）解：∵O 是等边三角形ABC 的外接圆，∴CO 是ACB ∠的角平分线，60ACB ABC CAB ∠=∠=∠=︒，∴1230∠=∠=︒，∵CE 是O 的直径，∴90CAE CBE ∠=∠=︒，∴3430∠=∠=︒，∴30︒的角有：1∠、2∠、3∠、4∠，∵CO 是ACB ∠的角平分线，∴90ADC BDC ∠=∠=︒，56903060∠=∠=︒-︒=︒，在ACD 与BCD △中，∵1290CD CD ADC BDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴ACD BCD ≌，故答案为：1∠、2∠、3∠、4∠，BCD △；（2）证明：∵56∠=∠，3=230∠∠=︒，∴AED CEB ∽△△；（3）解：连接OA ，OB ，∵OA OE OB r ===，5660∠=∠=︒，∴OAE △，OBE △是等边三角形，∴OA OB AE EB r ====，∴四边形OAEB 是菱形．【点睛】本题考查垂径定理，菱形判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，从而得到相应角的等量关系．11．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，AB 为O 的直径，E 为O 上一点，点C 为»EB 的中点，过点C 作CD AE ⊥，交AE 的延长线于点D ，延长DC 交AB 的延长线于点F ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若1DE =，2DC =，求O 的半径长．【答案】(1)证明见解析(2)52【分析】（1）连接OC ，根据弦、弧、圆周角的关系可证DAC CAF ∠=∠，根据圆的性质得OAC OCA ∠=∠，∵点C 为»EB的中点，∴ ECCB =，∴DAC CAF ∠=∠，∵OA OC =，∴OAC OCA∠=∠∵CD AD ⊥，∴90D Ð=°，∵1DE =，2DC =，∴2222215CE CD DE =+=+=，∵D 是 BC的中点，∴ ECCB =，∴EC CB ==5，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵180DEC AEC ∠+∠=︒，180ABC AEC ∠+∠=︒，∴DEC ABC ∠=∠，∴DEC CBA ∽ ，∴DE CE BC AB=，∴155AB =，∴5AB =，1522AO AB ==∴O 的半径长为52．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．12．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A 、B 、P 均在O 上，90AOB ∠=︒，则锐角APB ∠的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在 AC 上（点P 不与点A 、C 重合），连结PA 、PB 、PC ．求证：PB PA PC =+．小明发现，延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明PBC EBA ≌△△，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．BA BC ∴=，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，60EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等边三角形，PB PE ∴=，PB PE PA AE PA PC ∴==+=+，即PB PA PC =+；应用：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒ ，BCP BAE ∴∠=∠．AB CB = ，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，90EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等腰直角三角形，222PB BE PE ∴+=，222PB PE ∴=，即2PE PB =，PE PA AE PA PC =+=+ ，2PA PC PB ∴+=，22PB PA = ，2224PA PC PA PA ∴+=⨯=，3PC PA ∴=，222233PB PA PC PA ∴==，故答案为：223．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造PBC EBA ≌，进行转换求解．13．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径， BCBD =，DE AC ⊥于点E ，DE 交BF 于点F ，交AB 于点G ，2BOD F ∠=∠，连接BD ．(1)求证：BF 是O 的切线；(2)判断DGB 的形状，并说明理由；(3)当2BD =时，求FG 的长．【答案】(1)见解析(2)DGB 是等腰三角形，理由见解析(3)4FG =【分析】（1）连接CO ，根据圆周角定理得出2BOD BOC BAC ∠=∠=∠，根据已知得出F BAC ∠=∠，根据DE AC ⊥得出90AEG ∠=︒，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得90FBG AEG ∠=∠=︒，即可得证；（2）根据题意得出 AD AC=，则ABD ABC ∠=∠，证明EF BC ∥，得出AGE ABC ∠=∠，等量代换得出FGB ABD ∠=∠，即可得出结论；（3）根据FGB ABD ∠=∠，AB BF ⊥，设FGB ABD α∠=∠=，则90DBF F α∠=∠=︒-，等边对等角得出DB DF =，则224FG DG DB ===．【详解】（1）证明：如图所示，连接CO ，∵ BCBD =，∴2BOD BOC BAC ∠=∠=∠，∵2BOD F ∠=∠，∴F BAC ∠=∠，∵DE AC ⊥，∴90AEG ∠=︒，∵AGE FGB∠=∠∴90FBG AEG ∠=∠=︒，即AB BF ⊥，又AB 是O 的直径，∴BF 是O 的切线；（2）∵ BCBD =，AB 是O 的直径，∴ AD AC =，BC AC ⊥，∴ABD ABC ∠=∠，∵DE AC ⊥，BC AC ⊥，∵EF BC ∥，∴AGE ABC ∠=∠，又AGE FGB ∠=∠，∴FGB ABD ∠=∠，∴DGB 是等腰三角形，（3）∵FGB ABD ∠=∠，AB BF ⊥，设FGB ABD α∠=∠=，则90DBF F α∠=∠=︒-，(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30C ∠=︒，23CD =，求 BD的长．【答案】(1)见解析(2)43π∵OB OD =，∴B ODB ∠=∠,∵AB AC =，∴B C ∠=∠,∴OD AC ∥,∴ODE DEC ∠=∠。

2023年中考数学专题训练——圆的计算和证明(附答案)

2023年中考专题训练——圆的计算和证明1．AB为⊙O直径，BC为⊙O切线，切点为B，CO平行于弦AD，作直线DC．(1)求证：DC为⊙O切线；(2) 若AD·OC=8，求⊙O半径．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD =90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED =∠BAC．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）BA与CD的延长线交于点F，若DE∥AC，AB=4，AD =2，求AF的长．3．如图，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC＝8，BC＝6．（1）求⊙O的面积；（2）若D为⊙O上一点，且△ABD为等腰三角形，直接写出CD的长为．4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°，且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．（1）求OE的长；（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积．（结果精确到0．01）5．如图，△AB ．C 内接于⊙0，点D 在半径OB 的延长线上，∠BCD=∠A=30°．（1）判断直线CD 与⊙0的位置关系，并说明理由（2）若⊙0的半径为1，求阴影部分面积．6．如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，E 为AB 上一点，以AE 为直径作O 与BC 相切于点D ，连接ED 并延长交AC 的延长线于点F ．（1）求证：AE AF =；（2）若5,4AE AC ==，求BE 的长．7．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC =BD ，连结AC 交⊙O 于点F ．（1）AB 与AC 的大小有什么关系？请说明理由；（2）若AB =8，∠BAC =45°，求：图中阴影部分的面积．8．如图，在△ABC 中，BA ＝BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，BC 的延长线于⊙O 的切线AF 交于点F ．（1）求证：∠ABC ＝2∠CAF ；（2）若AC ＝10，CE ：EB ＝1：4，求CE 的长．9．如图，在⊙O 中，半径OA 与弦BD 垂直，点C 在⊙O 上，∠AOB ＝80°(1) 若点C 在优弧BD 上，求∠ACD 的大小(2) 若点C 在劣弧BD 上，直接写出∠ACD 的大小10．如图，在等腰ABC 中，120BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，且6AD =，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧EF ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，（1）求由弧EF 及线段FC 、CB 、BE 围成图形（图中阴影部分）的面积；（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF ，将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与AF 正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h ．11．如图，四边形是平行四边形，以AB 为直径的O 经过点D, E 是O 上一点,且45AED ∠=︒．(1)判断CD与O的位置关系，并说明理由;(2) 若BC=2 .求阴影部分的面积.(结果保留π 的形式)．12．如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O外一点，AB＝AD，BD交⊙O于点C，AD交⊙O于点E，点P是AC的延长线上一点，连接PB、PD，且PD⊥AD(1)判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)连接CE，若CE＝3，AE＝7，求⊙O的半径．13．如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE与AB交于点F．（1）求证：PC＝PF；（2）连接OB，BC，若OB∥PC，BC＝tan P＝34，求FB的长．14．已知，P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，AC是⊙O的直径．（1）如图1，若∠BAC＝25°，求∠P的度数；（2）如图2，延长PB、AC相交于点D．若AP＝AC，求cos D的值．15．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为3，BC＝4，求CE的长．16．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A＝28°．(1)求∠ACM的度数；(2)在MN上是否存在一点D，使AB•CD＝AC•BC，为什么？17．如图，在⊙O上依次有A、B、C三点，BO的延长线交⊙O于E，AE CE，过点C作CD∥AB 交BE的延长线于D，AD交⊙O于点F．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）连接OA、OF，若∠AOF＝3∠FOE且AF＝3，求CF的长．18．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，D是AC上一点，AD与BC交于E，AF⊥DB，垂足为F．（1）求证：∠ADB＝∠CDE；（2）若AF＝DC＝6，AB＝10，求△DBC的面积．19．如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BAD＝∠BDC；（2）若sin∠BDC，BC＝2，求⊙O的半径．20．同学们都学习过《几何》课本第三册第199页的第11题，它是这样的：如图，A为⊙O 的直径EF上的一点，OB是和这条直径垂直的半径，BA和⊙O相交于另一点C，过点C的切线和EF的延长线相交于点D，求证：DA＝DC．（1）现将图1中的直径EF所在直线进行平行移动到图2所示的位置，此时OB与EF垂直相交于H，其它条件不变．①求证：DA＝DC；②当DF：EF＝1：8，且DF AB•AC的值．（2）将图2中的EF所在直线继续向上平行移动到图3所示的位置，使EF与OB的延长线垂直相交于H，A为EF上异于H的一点，且AH小于⊙O的切线交EF于D，试猜想：DA＝DC是否仍然成立？证明你的结论．参考答案：1．（1证明见解析；（2）2.【分析】（1）连接OD ，要证明DC 是 O 的切线，只要证明∠ODC=90°即可．根据题意，可证△OCD ≌△OCB ，即可得∠CDO=∠CBO=90°，由此可证DC 是 O 的切线；（2）连接BD ，OD ．先根据两角对应相等的两三角形相似证明△ADB ∽△ODC ，再根据相似三角形对应边成比例即可得到r 的值．【解析】解：（1）证明：连接OD.∵OA=OD ，∴∠A=∠ADO.∵AD ∥OC ，∴∠A=∠BOC ，∠ADO=∠COD ，∴∠BOC=∠COD.∵在△OBC 与△ODC 中，{OB ODBOC DOC OC OC=∠=∠=，∴△OBC ≌△ODC(SAS)，∴∠OBC=∠ODC ，又∵BC 是O 的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴DC 是O 的切线；（2）连接BD.∵在△ADB 与△ODC 中,{90A COD ADB ODC ∠=∠∠=∠=︒∴△ADB ∽△ODC ，∴AD:OD=AB:OC ，∴AD ⋅OC=OD ⋅AB=r ⋅2r=2r²,即2r²=8，故r=2．2．（1）DE与⊙O相切，证明见解析；（2）83 AF .【分析】（1）连接BD，先根据圆周角定理证明BD是⊙O的直径，证明∠BDC+∠CDE=90°，即BD⊥DE，即可得出DE与⊙O相切；（2）先根据平行线的性质得∠BHC=∠BDE=90°，由垂径定理得AH=CH，由垂直平分线的性质得BC=AB=4，CD=AD=2，证明△FAD∽△FCB，列比例式得CF=2AF，设 AF=x，则DF=CF-CD=2x-2，根据勾股定理列方程可解答．【解析】解：（1）DE与⊙O相切，理由是：连接BD，如下图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，∴BD是⊙O的直径，即点O在BD上，∴∠BCD=90°，∴∠CED+∠CDE=90°．∵∠CED=∠BAC，又∵∠BAC=∠BDC，∴∠CED=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，即∠BDE=90°，∴DE⊥BD于点D，∴DE与⊙O相切．（2）如下图，BD与AC交于点H，∵DE ∥AC ，∴∠BHC=∠BDE=90°．∴BD ⊥AC ．∴AH=CH ．∴BC=AB=4，CD=AD=2．∵∠FAD=∠FCB=90°，∠F=∠F ，∴△FAD ∽△FCB ，2=4AF AD CF CB ∴=， ∴CF=2AF ，设 AF=x ，则DF=CF-CD=2x-2．在Rt △ADF 中，DF 2=AD 2+AF 2，∴（2x-2）2=22+x 2．解得： 128,03x x ==（舍去）， 83AF ∴=．【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，垂直平分线的性质定理，相似三角形的性质和判定，切线的判定，勾股定理．（1）证明切线最常用的办法，即如果直线与圆有交点，则连接交点与圆心的半径，只有证明这条半径与该直线垂直即可，此问中能依据90°圆周角所对的弦是直径证明BD 是⊙O 的直径是解题关键；（2）中能通过证明△FAD ∽△FCB ，得出CF=2AF 是解题关键．3．（1）25π；（2272【分析】（1）先利用圆周角定理得到90ACB ∠=︒．再利用勾股定理计算出AB ，然后利用圆的面积公式计算；（2）作直径DD AB '⊥，BH CD ⊥于H ，如图，利用垂径定理得到AD BD =，再证明ADB ∆为等腰直角三角形得到252DB AB =，利用BCH ∆为等腰直角三角形得到232CH BH ==42DH =72CD =股定理计算CD '即可．【解析】解：（1）AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒．8AC ∴=，6BC =，10AB ∴=．O ∴的面积2525ππ=⨯=；（2）作直径DD AB '⊥，BH CD ⊥于H ，如图，则AD BD =，AD BD ∴=，45ACD BCD ∠=∠=︒， AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，ADB ∴∆为等腰直角三角形，DB AB ∴== 又∵45BCD BAD ∠=∠=︒，∴BCH ∆为等腰直角三角形，CH BH ∴===在Rt BDH ∆中，DHCD CH DH ∴=+=DD '是O 的直径，90DCD ∴∠'=︒，CD ∴'=综上所述，CD【点评】本题考查了与圆有关的计算，涉及了圆周角定理、垂径定理和勾股定理．解题关键是正确画出图形得出ADB ∆为等腰直角三角形，并用勾股定理求解．4．（1）OE=32；（2）32π．【分析】（1）根据∠D=60°，可得出∠B=60°，继而求出BC ，判断出OE 是△ABC 的中位线，就可得出OE 的长；（2）连接OC ，将阴影部分的面积转化为扇形FOC 的面积．【解析】解：（1）∵∠D=60°，∴∠B=60°（圆周角定理），又∵AB=6，∴BC=3，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∵OE ⊥AC ，∴OE ∥BC ，又∵点O 是AB 中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴OE=1232BC =；（2）连接OC ，则易得△COE ≌△AFE ，故阴影部分的面积=扇形FOC 的面积，S 扇形FOC =260333260π⨯=π．即可得阴影部分的面积为32π．【点评】此题考查扇形的面积，含30°角的直角三角形的计算及圆周角定理等，解题关键在于将不规则图形转化为规则图形进行求解．5．（1）相切，理由见解析；（236π 【分析】（1）根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”求出∠O 的度数，再根据半径相等求出△OCB 为等边三角形，即可得出答案；（2）根据∠O 的度数和半径求出CD 的长度，进而求出△COD 的面积，利用扇形面积公式求出扇形OCB 的面积，三角形的面积减去扇形的面积即可得出答案.【解析】解：（1）∵∠A=30°∴∠O=2∠A=60°又OB=OC∴△OBC 为等边三角形，∠OCB=60°又∠BCD=30°∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°∴CD 与⊙O 相切（2）由（1）可知△OCD 为直角三角形，∠O=60°又半径为1，即OC=1∴CD OC tan O ∠==∴12OCD S CO CD =⨯⨯=2OCB 601S 3606ππ⨯⨯==扇形∴OCB S S 6OCD S π=-=阴影扇形【点评】本题考查的是圆的综合，难度适中，牢记圆中的相关定理和性质是解决本题的关键. 6．（1）见解析；（2）53BE =. 【分析】（1）连接OD ，根据切线的性质得到OD ⊥BC ，根据平行线的判定定理得到OD ∥AC ，求得∠ODE=∠F ，根据等腰三角形的性质得到∠OED=∠ODE ，等量代换得到∠OED=∠F ，于是得到结论；（2）根据平行得出BOD BAC ∆∆∽，再由BO OD AB AC=可得到关于BE 的方程，从而得出结论．【解析】（1）证明：连接OD ，∵BC 切O 于点D ，∴OD BC ⊥．∴90ODC ︒∠=．又90ACB ︒∠=，∴//OD AC ，∴ODE F ∠=∠．∵OE OD ，∴OED ODE ∠=∠，∴OED F ∠=∠．∴AE AF =．（2）解：∵//OD AC ，∴BOD BAC ∆∆∽，∴BO OD AB AC=． ∵5,4AE AC ==，∴ 2.5OE OD ==， ∴ 2.5 2.554BE BE +=+， ∴53BE =．【点评】本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．7．（1）AB =AC ；（2）242π-【分析】（1）连接AD ，根据圆周角定理可以证得AD 垂直且平分BC ，然后根据垂直平分线的性质证得AB ＝AC ；（2）连接OD 、过D 作DH ⊥AB ，根据扇形的面积公式解答即可．【解析】（1）AB =AC ．理由是：连接AD ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，即AD ⊥BC ，又∵DC =BD ，∴AB =AC ；（2）连接OD 、过D 作DH ⊥AB ．∵AB =8，∠BAC =45°，∴∠BOD =45°，OB =OD =4，∴DH 2∴△OBD 的面积=1422422⨯⨯扇形OBD 的面积=24542360ππ⋅⋅=，阴影部分面积=242π-【点评】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质定理，理解弧的度数和对应圆心角的度数的关系是关键．8．（1）见解析；（2）CE ＝2．【分析】（1）首先连接BD ，由AB 为直径，可得∠ADB=90°，又由AF 是⊙O 的切线，易证得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，证得：∠ABC=2∠CAF；（2）首先连接AE，设CE=x，由勾股定理可得方程：（）2=x2+（3x）2求得答案．【解析】（1）证明：如图，连接BD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°．∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，即∠DAB+∠CAF＝90°．∴∠CAF＝∠ABD．∵BA＝BC，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝2∠ABD．∴∠ABC＝2∠CAF．（2）解：如图，连接AE，∴∠AEB＝90°，设CE＝x，∵CE：EB＝1：4，∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x，在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，即（2＝x2+（3x）2，∴x＝2．∴CE＝2．【点评】此题考查了切线的性质，三角函数以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解题关键．9．（1）∠ACD=40°；（2）∠ACD=40°或140°．【分析】（1）由AO⊥BD，根据垂径定理可得AD AB，再利用等弧对等角，以及圆周角定理即可求出结果；（2）如图所示，点C 有两个位置，分别利用圆周角定理的推论和圆周角定理求出即可.【解析】解：（1）∵AO ⊥BD ，∴AD AB =，∴∠AOB =2∠ACD ，∵∠AOB =80°，∴∠ACD =40°；（2）如图，①当点C 1在AB 上时，∠AC 1D =∠ACD =40°；②当点C 2在AD 上时，∵∠AC 2D +∠ACD =180°，∴∠AC 2D =140°. 综上所述，∠ACD =40°或140°．【点评】本题考查了圆周角定理及其推论和垂径定理等知识，熟练掌握上述知识、正确分类是解本题的关键.10．（1）312π；（2）42h =【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到AD BC ⊥，BD CD =，则可计算出BD 63=后利用扇形的面积公式，利用由弧EF 及线段FC 、CB 、BE 围成图形（图中阴影部分）的面积ABC EAF =S S -扇形进行计算；（2）设圆锥的底面圆的半径为r ，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到120π62πr 180⋅⋅=，解得r 2=，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h ．【解析】∵在等腰ABC 中，BAC 120∠=︒，∴B 30∠=︒，∵AD 是BAC ∠的角平分线，∴AD BC ⊥，BD CD =， ∴BD 3AD 63== ∴BC 2BD 3==∴由弧EF 及线段FC 、CB 、BE 围成图形（图中阴影部分）的面积2ABC EAF 1120π6=S S 6123312π2360⋅⋅-=⨯⨯=扇形. （2）设圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意得120π62πr180⋅⋅=，解得r2=，这个圆锥的高h【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰三角形的性质和扇形的面积公式．11．（1）相切，证明见解析（2）3-23π.【分析】(1)连接BD，OD求出∠ABD=∠AED=45°，根据DC∥AB推出∠CDB=45°求出∠ODC=90°根据切线的判定推出即可(2)求出∠AOD=∠BOD=90°，求出AO，OD分别求出△AOD扇形DOB，平行四边形ABCD 的面积相减即可求出答案【解析】(1)解CD与⊙O的位置关系是相切理由是连接BD，OD∵∠AED=45°∴∠ABD=∠AED=45°∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB,∴∠CDB=45°∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD=45°∴∠ODC=45°+45°=90°∵OD为半径,∴CD与⊙O的位置关系是相切;(2)解AB∥CD,∠ODC=90°∴∠DOB=90°=∠DOA,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=2,在△AOD中由勾股定理得:2AO2=222∴S △AOD=12 OA×OD=12×2×2S 扇形BOD=26022=3603⨯ππ S 平行四边形ABCD=AB×2×2∴阴影部分的面积是:4-1-23π=3-23π.【点评】此题考查切线的判定，勾股定理，扇形面积，平行四边形的性质，解题关键在于作辅助线12．(1)PB 与⊙O 相切，理由见解析；(2)⊙O 的半径为4.5．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得PB =PD ，通过证明△ABP 与△ADP 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABP =∠ADP =90°，再根据切线的判定定理即可得证；（2）根据全等三角形的性质得∠BAC =∠DAC ，得到BC =CE =3，然后证明△DCE 与△DAB 相似，然后根据相似三角形的对应边成比可推导得出DC •DB ＝DE •DA ，代入相关数据即可求得答案．【解析】(1)PB 与⊙O 相切，理由如下：∵AB 是⊙O 的直径，∴AC ⊥BD ，又AB ＝AD ，∴AP 是线段BD 的垂直平分线，∴PB ＝PD ，在△ABP 和△ADP 中， AB AD PB PD AP AP =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABP ≌△ADP (SSS)，∴∠ABP ＝∠ADP ＝90°，∴PB 与⊙O 相切；(2)连接CE ，∵△ABP≌△ADP，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC CE=，∴BC＝CE＝3，∵AB＝AD，AC⊥BD，∴BC＝CD＝3，∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴∠DBA+∠CEA=180°，∵∠DEC+∠CEA=180°，∴∠DBA=∠DEC，又∵∠CDE=∠ADB，∴△DCE∽△DAB，∴DC：DA=DE：DB，∴DC•DB＝DE•DA，即3×6＝DE×(DE+7)，解得，DE＝2，∴DA＝2+7＝9，∴AB＝AD＝9，∴⊙O的半径为4.5．【点评】本题考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质定理与判定定理是解题的关键．13．（1）证明见解析；（2）FB＝2【分析】（1）连接OC，根据切线的性质以及OE⊥AB，可知∠E+∠EF A＝∠OCE+∠FCP＝90°，从而可得∠EF A＝∠FCP，继而可推得∠CFP＝∠FCP，再根据等角对等边即可证得；（2）过点B作BG⊥PC于点G，由OB∥PC，OB＝OC，BC＝，从而求得OB＝3，继而证得四边形OBGC是正方形，从而有OB＝CG＝BG＝3，从而有34BGPG=，求得PG＝4，再利用勾股定理可求得PB长，继而可求出FB长．【解析】解：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE，∵OE⊥AB，∴∠E+∠EF A＝∠OCE+∠FCP＝90°，∴∠EF A＝∠FCP，∵∠EF A＝∠CFP，∴∠CFP＝∠FCP，∴PC＝PF；（2）过点B作BG⊥PC于点G，∵OB∥PC，∴∠COB＝90°，∵OB＝OC，BC＝2∴OB＝3，∵BG⊥PC，∴四边形OBGC是正方形，∴OB＝CG＝BG＝3，∵tan P＝34，∴34 BGPG，∴PG＝4，∴由勾股定理可知：PB＝5，∵PF＝PC＝7，∴FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，正方形的判定，锐角三角函数的定义等，解题的关键是正确添加辅助线，灵活运用相关知识求解．14．（1）50°；（2）cosD＝45．【分析】（1）连接OB．根据平行的想得到PA⊥AO，PB⊥OB，根据四边形的内角和即可得到结论；（2）连结OP交AB于点E，再连OB、BC，根据切线的性质得到∠PAC=∠PBO=90°，推出OP是AB的垂直平分线，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：如图1，连接OB．∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，∴PA⊥AO，PB⊥OB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°．∵∠BAC＝25°，OB＝OA，∴∠BOA＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°；（2）解：如图2，连结OP交AB于点E，再连OB、BC，∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠PAC＝∠PBO＝90°，∵AP＝AC，AC是⊙O的直径，∴12OAPA=，∵PB＝PA，OB＝OA，∴OP是AB的垂直平分线，∵∠OAP＝90°，AE⊥OP，∴△OEA∽△AEP∽△OAP，∴OA OE OP OA=，设OE＝a，可得AE＝BE＝BC＝2a，PE＝4a，∴OP＝5a，∴OA，PA＝PB＝，∵∠ABC＝∠AEO＝90°，∴OP∥BC，∴△DBC∽△DPO，∴CDOD＝BDOD＝BCOP＝25．∴BD 45，OD＝535，∴cos D＝BDOD＝45．【点评】本题考查了切线的性质，四边形的内角和，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．15．（1）DE与⊙O相切，证明详见解析；（2）EC＝1.【分析】（1）连接OD，由题意可得∠CBD=∠ODB=∠DBO，可得OD∥BE，可证DE⊥OD，即可证DE与⊙O相切；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接DC，由题意可证Rt△DF A≌Rt△DEC，Rt△DBF≌Rt△DBE，可得AF=EC，BF=BE，即可求EC的长．【解析】解：（1）DE与⊙O相切理由如下：连接OD∵OB＝OD∴∠OBD＝∠ODB∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，∴∠ABD＝∠CBD∴∠CBD＝∠ODB∴OD∥BE∵DE⊥BC于点E．∴DE⊥OD∴DE与⊙O相切（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接DC，∵∠ABD＝∠CBD，DE⊥BE，DF⊥AB∴DF＝DE，AD DC=∴AD＝CD∵AD＝CD，DF＝DE∴Rt△DF A≌Rt△DEC（HL）∴AF＝EC∵DF＝DE，DB＝DB∴Rt△DBF≌Rt△DBE（HL）∴BF＝BE∵BA＝BF+AF＝BE+AF＝BC+EC+CE＝6∴4+2CE＝6∴EC＝1【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，全等三角形判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．16．(1)∠ACM＝62°；(2)存在符合条件的点D，使AB•CD＝AC•BC，理由见解析.【分析】(1)求∠ACM的度数,需求出∠B的度数;在Rt ABC∆中,已知∠A的度数,即可求出∠B、∠ACM的度数;(2)乘积的形式通常可以转化为比例的形式:①AB BCAC CD=,此时需证Rt ABC Rt CBD∆~∆,那么过B作MN的垂线,那么垂足即为符合条件的D点;②AB ACBC CD=,此时需证Rt ABC Rt ACD∆~∆,则过A作MN的垂线,垂足也符合D点的条件.两者的证明过程一致,都是通过弦切角得出一组对应角相等,再加上一组直角得出三角形相似.【解析】(1)∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝62°，∵直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∴∠ACM＝∠B＝62°；(2)存在符合条件的点D，使AB•CD＝AC•BC，①过A作AD⊥MN于D，则AB•CD＝AC•BC，证明：∵MN是半圆的切线，且切点为C，∴∠ACD＝∠B，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ABC∽△ACD，∴AB AC BC CD=，即AB•CD＝AC•BC；②过B作BD⊥MN于D，则AB•CD＝AC•BC，证明过程同①，因此MN上存在至少一点D，使AB•CD＝AC•B C．【点评】本题考查了弦切角定理及相似三角形的判定和性质,要求学生能够熟练掌握相似的判断和性质并应用.17．（1）证明见解析；（2）53π【分析】（1）先根据圆的性质得：∠CBD=∠ABD，由平行线的性质得：∠ABD=∠CDB，根据直径和等式的性质得：，AB BC=，由一组对边平行且相等可得四边形ABCD是平行四边形，由AB=BC可得结论；（2）先设∠FOE=x，则∠AOF=3x，根据∠ABC+∠BAD=180°，列方程得：4x+2x+12（180-3x）=180，求出x的值，接着求CF所对的圆心角和半径的长，根据弧长公式可得结论．【解析】（1）证明：∵AE CE=，∴∠CBD＝∠ABD，∵CD∥AB，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD，∵BE是⊙O的直径，∴AB BC=，∴AB＝BC＝CD，∵CD∥AB，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵∠AOF＝3∠FOE，设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OF A＝12（180﹣3x）°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝2x，∴∠ABC＝4x，∵BC∥AD，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴4x+2x+12（180﹣3x）＝180，x＝20°，∴∠AOF＝3x＝60°，∠AOE＝80°，∴∠COF＝80°×2﹣60°＝100°，∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴OF＝AF＝3，∴CF的长＝1003180π⨯＝53π．【点评】本题考查平行四边形和菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、弧长公式，平行线的性质等知识，解题的关键是学会设未知数，列方程求角的度数，证明三角形是等边三角形是解题的突破点，属于中考常考题型．18．（1）证明见解析（2）18【分析】（1）根据AB=AC，可得出∠ABC=∠BCA，再根据圆内接四边形的性质可得出∠CDE=∠ABC，从而得出答案；（2）作AM⊥CD于点M，根据题意可得出BF，还可证明△ACM≌△ABF，从而可得出△DBC 的面积．【解析】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCA＝∠ADB，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠CDE＝∠ABC，∴∠ADB＝∠CDE；（2）解：作AM⊥CD于点M，∵AB＝10，AF＝6，∴BF＝8，∵AD平分∠BDM，AM＝AF＝6，∴△ACM≌△ABF，∴CM＝BF＝8，∴DF＝DM＝CM﹣CD＝2．∴BD＝BF+DF＝10＝AB．∴∠BAD＝∠ADB＝∠ADM，∴AB∥CD，∴S△DBC＝S△ADC＝12CD×AM＝18．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及圆周角定理，熟练掌握这些性质是解题的关键.19．（1）证明见解析（2）3【分析】（1）连接OD，如图，先由切线的性质得∠ODB+∠BDC=90°，再由圆周角定理得到∠ODB+∠ODA=90°，则∠BDC=∠ODA，加上∠ODA=∠BAD，然后等量代换即可得到结论；（2）利用正弦定义得sin∠A=sin∠BDC=5BDAB设5，AB=5x，则5，然后证明△CBD∽△CDA，则利用相似比可计算出CD和AB，从而得到圆的半径．【解析】（1）证明：连接OD，如图，∵CD与半圆O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠ODC＝90°，即∠ODB+∠BDC＝90°，∵AB是半圆O的直径，∴∠BDA＝90°，即∠ODB+∠ODA＝90°，∴∠BDC＝∠ODA，∵OD ＝OA ，∴∠ODA ＝∠BAD ，∴∠BAD ＝∠BDC ；（2）解：∵sin ∠A ＝sin ∠BDC∴BD AB =设BD ，AB ＝5x ，则AD ，∵∠BAD ＝∠BDC ，∠BCD ＝∠DCA ，∴△CBD ∽△CDA ，∴12BC CD BD CD AC AD ====，而BC ＝2，∴CD ＝4，AC ＝8，∴AB ＝AC ﹣BC ＝6，∴⊙O 的半径位3．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决（2）小题的关键是构建△CBD 与△CDA 相似．20．（1）①见解析②24（2）结论DA ＝DC 仍然成立【分析】（1）①连接OC ，利用切线的性质则可得到OC ⊥DC ，然后得到∠DCA=90°-∠ACO=90°-∠B=∠DAC ，利用等角对等边得到DA=DC 即可；②利用DF ：EF=1：8，然后利用切线长定理求得DC 的长，进而得到DC 、AD 的长，然后利用切线长定理得：AB•AC=AE•AF=24；（2）结论仍然成立，延长BO 交⊙O 于K ，连CK ，利用切线的性质可以得到∠DCA=∠CKB=90°-∠CBK ，从而得到∠DCA=∠BAH ，问题得证.【解析】（1）①证明：连OC ，则OC ⊥DC ，∴∠DCA＝90°﹣∠ACO＝90°﹣∠B，又∠DAC＝∠BAE＝90°﹣∠B，∴∠DAC＝∠DCA∴DA＝DC，②∵DF：EF＝1：8，DF2∴EF＝8DF＝2，又DC为切线，∴DC2＝DF•DE22＝18，∴DC＝2∴AD＝DC＝2∴AF＝AD﹣DF＝2∴AE＝EF﹣AF＝2，∴AB•AC＝AE•AF＝24；（2）结论DA＝DC仍然成立，理由如下：延长BO交⊙O于K，连CK，则∠KCB＝90°，又DC为⊙O的切线，∴∠DCA＝∠CKB＝90°﹣∠CBK，又∠BAH＝90°﹣∠HBA，而∠CBK＝∠HBA，∴∠DCA＝∠BAH，∴DA＝DC．【点评】本题考查了切线的性质、垂径定理及切割线定理的内容，是一道比较复杂的切线的性质的综合题，难度较大．。

圆的有关证明题

圆的有关证明题1、如图，BC 为⊙O 的直径，BC AD ，垂足为D ，AB=AF ， BF 和AD 交于E ，求证：AE=BE2、如图5，AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上的点，AD 与过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，求证：AC 平分∠DAB3、⊿ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ，D E ⊥AC 于E.求证：DE 为⊙O 的切线4、如图8，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，作D E ⊥BC 于E 。

（1）求证：DE 为⊙O 的切线（2）作DG ⊥AB 交⊙O 于G ，垂足为F ，∠A=30°.AB=8，求DG 的长C5、如图9，直线n切⊙O于A，点P为直线n上的一点，直线PO交⊙O于C、B，D在线段AP上，连接DB，且AD=DB。

（1）判断DB与⊙O的位置关系,并说明理由。

（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长6、如图11，等腰⊿ABC中，AB=AC，点O是底边BC中点，以O为圆心的⊙O与AB边相切于点D。

求证：AC与⊙O 相切7如图所示，在△ABC中，∠BAC与∠ABC的平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于D点，连接BD、CD、CE，且∠BDA=60°（1）求证△BDE是等边三角形；（2）若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想。

D8已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF。

（1）如图24—A—15，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）：①；②；③。

（2）如图24—A—16，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线。

图24—A—15 图24—A—169.BC 为⊙O 的直径,AD ⊥BC 于点D,P 是弧AC 上的一动点,连结PB 分别交AD 、AC 于点E ，F 。

（1）当弧PA=弧AB 时，求证：AE=BE ；（2）当点P 在什么位置时，AF=EF ？证明你的结论。

人教版九年级数学上册《圆》期末证明题练习-附有答案

人教版年九年级数学上册《圆》期末证明题练习-附有答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，AB是半圆O的直径，AE为弦，C为弧AE的中点，CD AB⊥于点D，交AE于点F，BC交AE于点G.求证：AF FC=.2．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x 轴于点A，点D在FA上，且DO平行⊙O的弦MB，连DM并延长交x轴于点C．（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明；（2）设点D的坐标为（﹣2，4），试求MC的长及直线DC的解析式．3．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝120°，延长BO交⊙O于点D．(1)试求∠BAD的度数；(2)求证：△ABC为等边三角形．4．已知：如图，O过正方形ABCD的顶点,A B，且与CD边相切于点E．点F是BC与O的交点，连接OB，OF，AF，点G是AB延长线上一点，连接FG，且1902G BOF ∠+∠=︒．(1)求证：FG 是O 的切线； (2)如果正方形边长为8，求O 的半径．5．已知：如图，在O 中，弦AB CD ∥．求证：AD BC =．6．如图，已知在⊙O 中，M 、N 分别是半径OA 、OB 的中点，且CM⊥OA，DN⊥OB．求证：AC BD =.7．如图，AB 是⊙O 直径，点C 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线CG ，过点B 作CG 的垂线，垂足为点D ，交⊙O 于点E ，连接CB ．(1)求证：CB 平分∠ABD ； (2)若BC =5，BD =3，求AB 长．8．如图，在ABC 中AB BC =，以AB 为直径的O 与AC 交于点D ，过点D 作O 的切线DE ，分别交BC AB 、的延长线于点F E 、．（1）求证：DE BC ⊥；（2）若2BE =，30A ∠=︒求图中阴影部分面积．9．已知ABC 内接于O ，过点A 作直线EF ．（1）如图1所示，若AB 为O 的直径，要使EF 成为O 的切线，还需要添加的一个条件是________________．（2）如图2所示，如果AB 是不过圆心O 的弦，且CAE B ∠=∠，那么EF 是O 的切线吗？试证明你的判断．10．如图，在ABC 中，以边AB 为直径作O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，点D 是BC 中点，连接OE ，OD ．(1)求证：ABC 是等腰三角形．(2)若6AB =，40A ∠=︒求AE 的长和扇形EOD 的面积．11．如图，AB 是O 的直径，C ，D 都是O 上的点，且AD 平分CAB ∠，过点D 作AC 的垂线交AC 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ．(1)求证：EF 是O 的切线； (2)若13AB = 5AC = 求CE 的长．12．如图在ABC 中 BO 平分ABC ∠ 以点O 为圆心 OA 的长为半径的O 与AB 相切于点A ．(1)求证：BC 是O 的切线； (2)若6AB = 10BC = 求OA 的长．13．如图1 半圆O 的直径为AB 点M 为半圆上一动点（不与点A B 重合）点N 为弧AM 的中点 ND AB ⊥于点D 过点M 的切线交DN 的延长线于点C 连结OM ．（1）若//MC AB （如图2所示）①求证：AD CN =； ②填空：四边形OMCD 是哪种特殊的四边形？（直接写出结论）__________．（2）填空：当ANM ∠=______°时四边形ANMO 为菱形．（直接写出结论）答案：1．解∵C 为弧AE 的中点∴∠B=∠CAF∵AB 是半圆O 的直径∴90ACB ∠=︒∴90ACD DCB ∠+∠=︒.∵CD AB ⊥∴90CDB ∠=︒∴90B DCB ∠+∠=︒.∴B ACD ∠=∠.∵C 是AE 的中点∴B CAE ∠=∠.∴ACD CAE ∠=∠∴AF FC =.2．解：（1）答：直线DC 与⊙O 相切于点M ．证明如下：连OM ∵DO∥MB∴∠1=∠2 ∠3=∠4．∵OB=OM∴∠1=∠3．∴∠2=∠4．在△DAO 与△DMO 中 {24AO OMDO DO=∠=∠=．∴△DAO≌△DMO．∴∠OMD=∠OAD．由于FA⊥x 轴于点A∴∠OAD=90°．∴∠OMD=90°．即OM⊥DC．∴DC 切⊙O 于M ．（2）由D （-2 4）知OA=2（即⊙O 的半径） AD=4．由（1）知DM=AD=4 由△OMC∽△DAC 知2142MC OM AC AD ===． ∴AC=2MC在Rt△ACD 中 CD=MC+4．由勾股定理有（2MC ）2+42=（MC+4）2 解得MC=83或MC=0（不合题意舍去）．∴MC 的长为83．∴点C （1030）．设直线DC 的解析式为y=kx+b ．则有100{342k b k b=+=-+．解得3452k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴直线DC 的解析式为y=-34x+52．3 (1)解：∵BD 是⊙O 的直径∴∠BAD＝90°.(2)证明：∵∠BOC＝120°∴∠BAC＝12∠BOC＝60°. 又∵AB＝AC∴△ABC 是等边三角形．4．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴90ABF ∠=︒∴AF 是O 的直径∵12BAF BOF ∠=∠ 1902G BOF ∠+∠=︒∴90BAF G ∠+∠=︒∴90AFG ∠=︒ 即AF FG ⊥∴FG 是O 的切线．（2）解：如图所示连接OE∵O 与CD 相切于点E 即CD 是O 的切线∴OE CD ⊥ 且OB OF =（圆的半径相等）过O 作OH BC ⊥于H 则四边形OECH 是矩形 BH FH = ∴,OH CE CH OE ==∵,8AO OF AB == 即,O H 分别是,AF BF 的中点∴142OH AB ==设OB OE CH r ===∴8BH BC OE r =-=-在Rt BOH 中∵222OB BH OH =+∴222(8)4r r =-+∴=5r ．5．证明：过点O 作OE AB ⊥于点E 交CD 于点F 交CD 于点M 连接OA OBOC OD 如图：∵OE AB ⊥ //AB CD∴OF CD ⊥∴在OAB 中 OA OB =；在OCD 中 OC OD = ∴AOE BOE ∠=∠ COF DOF ∠=∠∴AOE DOF BOE COF ∠+∠=∠+∠∴AOD BOC ∠=∠∴AD BC =6．解：连接OC OD 则OC ＝OD=OA=OB. ∵M N 分别是半径OA OB 的中点 ∴OM＝ON. ∵CM⊥OA DN⊥OB∴∠OMC＝∠OND＝90°.在Rt△OMC和Rt△OND中OM=ON OC=OD ∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)．∴∠MOC＝∠NOD.∴AC=BC.7．（1）证明：如图1 连接OC则OC=OB∴∠OCB=∠OBC∵CG是⊙O的切线BD⊥CG∴∠OCD=∠BDC=90°∴OC∥BD∴∠OCB=∠DBC∴∠OBC=∠DBC∴BC平分∠OBD；（2）解：∵BD=3 BC=5 ∠BDC=90°∴CD=4过点B作BH⊥OC于点H则四边形BDCH为矩形∴CH=BD=3 BH=CD=4设OC=OB=r则OH=OC-CH=r-3 在Rt△OHB中OH2+BH2=OB2∴（r-3）2+42=r2解得：r=256∴AB=2r=2×256=253．8．（1）证明：连接OD如图所示：∵AB BC=OA OD=∴A C∠=∠A ODA∠=∠∴C ODA∠=∠∴BC OD∥又∵DE是O的切线∴DE OD∴DE BC⊥；（2）解：由（1）得：60DOE A ODA∠=∠+∠=︒∵BC OD∥∴60EBF DOE∠=∠=︒∵DE BC ⊥ ∴30E ∠=︒∴2OE OD =∵OD OB =∴2OB BE OD ===∴23DE =∴ODE 的面积112232322OD DE =⋅=⨯⨯= 扇形OBD 的面积260223603ππ=⨯= ∴阴影部分的面积2233π=-．9．解1）90BAE ∠=︒或EAC ABC ∠=∠ 或AE AB ⊥等(其他填法正确也可)（2）是；作直径AM 连MC则90ACM ∠=︒ M B ∠=∠ M CAM ∴∠+∠=90B CAM ∠+∠=︒ CAE B ∠=∠90CAM CAE ∴∠+∠=︒AE AM ∴⊥AM 为直径EF ∴是O 的切线．10．（1）连接AD∵AB 为O 直径∴90ADB ∠=︒ 即AD BC⊥又∵D 是BC 中点∴AD 是线段BC 的中垂线∴AB AC =∴ABC 是等腰三角形；（2）∵40,A OA OE =︒=∠∴40A AEO ∠=∠=︒∴100AOE ∠=︒∵6AB =∴3OA OE ==∴100π35π1803AE l ⨯==∵,AB AC OB OD ==∴70ABC ODB ∠=︒=∠∴140AOD ∠=︒∴40EOD ∠=︒∴240π3π360EOD S ⨯==扇形． 11．（1）证明：如图1 连接ODAD 平分CAB ∠OAD EAD ∴∠=∠OD OA =ODA OAD ∴∠=∠ODA EAD ∴∠=∠∴OD AE ∥90ODF AEF ∠=∠=︒且D 在O 上 EF ∴是O 的切线；（2）连接BC 交OD 于HAB 是O 的直径90ACB ∴∠=︒13AB = 5AC =BC ∴=22AB AC -=22135-12= 90E ACB ∠=∠=︒∴BC EF ∥90OHB ODF ∴∠=∠=︒OD BC ∴⊥CH ∴=126BC =CH BH = OA OB =OH ∴=12 2.5AC =6.5 2.54DH ∴=-=90E HCE EDH ∠=∠=∠=︒∴四边形ECHD 是矩形6ED CH ∴== 4CE DH ==．12．（1）解：过点O 作OE BC ⊥于点E 如图所示∵AB 是O 的切线∴OA AB ⊥∴90A ∠=︒∵BO 平分ABC ∠∴ABO EBO ∠=∠∵OE BC ⊥∴90BEO ∠=︒∵OB OB =∴()AAS BAO BEO ≌∴OA OE =∴OE 是O 的半径 OE BC ⊥ ∴BC 是O 的切线；（2）解：∵在Rt ABC △中 6AB = 10BC = ∴22221068AC BC AB =-=-=在Rt BAO 和Rt BEO △中 BO BO OA OE=⎧⎨=⎩ ∴()Rt Rt HL BAO BEO ≌△△ ∴6BE BA ==∴1064CE BC BE =-=-=设OA x = 则OE x = 8CO AC AO x =-=- 在Rt CEO △中由勾股定理得222=+CO CE OE ∴()22284x x -=+．解得：3x = ∴3OA =．13．解：（1）①如图2 连结ON∵点N 为弧AM 的中点切O于点M CM．AB ND CD切O于点M CM+∠CMNAB ND∴90NCM ADN ∠=∠=︒∴90DAN AND ∠+∠=︒∴AND NMC ∠=∠又AN NM = 90NCM ADN ∠=∠=︒ ∴ADN NCM △≌△∴AD CN =；②∵CM 切O 于点M∴OM CM ⊥∵//MC AB ND AB ⊥∴CM CD ⊥∴∠CDO=∠CMO=∠DOM =90︒ ∴四边形CDOM 是矩形故答案为：矩形；（2）当120ANM ∠=︒时四边形ANMO 为菱形．证明：连接ON∵点N 为弧AM 的中点∴AN NM =∵OA=OM ON=ON∴△AON ≌△MON∴ANO MNO∠=∠∵120∠=︒ANM∴60∠=∠=︒ANO MNO∵OA=OA=OM∴△AON和△MON都是等边三角形∴AN=AO=MO=MN∴四边形ANMO为菱形．故答案为：120．。

与圆有关的证明问题(含答案)(K12教育文档)

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与圆有关的证明问题（时间：100分钟总分：100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分,共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（）A．等腰梯形B．正方形C．菱形D．矩形2．如图1，DE是⊙O的直径，弦AB⊥ED于C，连结AE、BE、AO、BO，则图中全等三角形有（）A．3对B．2对C．1对D．0对(1） (2) (3) (4)3．垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中,假命题是（）A．①②⇒③④B．①③⇒②④C．①④⇒②③D．②③⇒①④4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm,给出下列三个结论：①以点C为圆心，•2。

3cm 长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心,2。

4cm长为半径的圆与AB相切；•③以点C为圆心，2。

5cm长为半径的圆与AB相交，则上述结论正确的有（ )A．0个B．1个C．2个D．3个5．在⊙O中，C是AB的中点，D是AC上的任意一点(与A、C不重合），则（）A．AC+CB=AD+DB B．AC+CB〈AD+DBC．AC+CB>AD+DB D．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定6．如图2,梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC，EF切⊙O于点C，则图中与∠ACB相等的角(不包括∠ACB)共有( ）．A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图3，在△ABC中,AD是高,AE是直径,AE交BC于G，有下列四个结论：•①AD2=BD·CD;②BE2=EG·AE；③AE·AD=AB·AC；④AG·EG=BG·CG．其中正确结论的有（ ) A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图4,AB是⊙O的直径,CD为弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F，交⊙O于G．•下面的结论：①EC=DF；②AE+BF=AB；③AE=GF；④FG·FB=EC·ED．其中正确的有( )A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④9．如图5，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点,DP⊥AC,•垂足是P,DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH=CP；②AD BD=;③AP=BH;④DH为圆的切线，其中一定成立的是( ）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③(5) （6) (7） (8）10．如图6，在⊙O中,AB=2CD，那么（）A．2>B．2AB CD<AB CDC．2AB CD=D．AD与2CD的大小关系可能不确定二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．在⊙O中，若AB⊥MN于C，AB为直径，MN•为弦，•试写出一个你认为正确的结论：_________．12．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为10cm，6cm，OO的长为3cm,则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________．13．如图7，C是⊙O的直径AB延长线上一点,过点C作⊙O的切线CD，D为切点，连结AD、OD、BD，请你根据图中所给的条件（不再标字母或添辅助线）,写出一个你认为正确的结论____________．14．已知⊙O的直径为10，P为直线L上一点,OP=5，那么直线L与⊙O•的位置关系是_______．15．在△ABC中,∠C=90°，AC=3,BC=4，点O是△ABC的外心，现以O为圆心,•分别以2,2．5,3为半径作⊙O，则点C与⊙O的位置关系分别是________．16．以等腰△ABC的一腰AB为直径作圆，交底边BC于D，则∠BAD与∠CAD•的大小关系是∠BAD________∠CAD．17．在△ABC中,AB=5，AC=4,BC=3，以C为圆心，以23为半径的圆与直线AB•的位置关系是____________．18．如图8所示，A、B、C是⊙O上的三点，当BC平分∠ABO时得结论_________．三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．如图,AB是⊙O的弦（非直径),C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证:AC=BD．20．已知：如图，在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．21．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C,交AB•的延长线于D,求证：AC=CD．22．如图20—12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB AF,BF和AD交于E,求证：AE=BE．23．如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D,DE⊥OC，垂足为E．（1）求证:AD=DC．（2)求证:DE是⊙O1的切线．24．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°．(1)求∠ACM的度数．（2）在MN上是否存在一点D，使AB·CD=AC·BC，说明理由．25．如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5，BC=12,⊙O的半径为3．(1）若圆心O与C重合时，⊙O与AB有怎样的位置关系?(2）若点O沿CA移动，当OC等于多少时,⊙O与AB相切？答案：一、选择题1．D 2．A 3．B 4．D 5．C 6．D 7．B 8．B 9．D 10．A 二、填空题11．BM=BN 等 12．内含 13．∠ADO=∠BDC 等 14．相交或相切 15．在圆外、•在圆上、在圆内 16．= 17．相交 18．OC ∥AB 等三、解答题19．证明:过点O 作OE ∥AB 于E,则AE=BE ．在△OCD 中，OE ⊥CD ，OC=OD ，∴CE=•DE ．•∴AC=BD ．20．证明：∵四边形ABDE 是圆内接四边形，∴∠DEC=∠B ．又∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴∠DEC=∠C ，∴DE=CD ． ∴△DEC 为等腰三角形．21．证明：连结BC,由AB 是直径可知,9030ACB A ∠=︒⎫⎬∠=︒⎭⇒∠ABC=60°．CD 是切线⇒∠BCD=∠A=30°⇒∠D=30°=∠A ⇒AC=CD ．22．证明：连结AB,AC,90909090BC BAC ABC ACB AD BC ADB ABC BAD ⇒∠=︒⇒∠+∠=︒⎫⎬⊥⇒∠=︒⇒∠+∠=︒⎭是直径ACB BADAB AF ACB ABF ⇒∠=∠⎫⎪⎬=⇒∠=∠⎪⎭⇒∠BAD=∠ABF ⇒AE=BE ．23．证明:（1)连结OD ，AO 是直径90ADO AO CO ⇒∠=︒⎫⇒⎬=⎭AD=DC ．（2）连结O 1D,111O D O A A ADO OA OC A C =⇒∠=∠⎫⎬=⇒∠=∠⎭190C ADO DE CE C CDE ⇒∠=∠⎫⎬⊥⇒∠+∠=︒⎭1119090ADO CDE O DE D O ⇒∠+∠=︒⇒∠=︒⎫⎬⎭在上⇒DE 是切线．24．解：（1）连结BC ，9028AB ACB A ⇒∠=︒⎫⎬∠=︒⎭是直径⇒∠B=62°．MN 是切线⇒∠ACM=∠B=62°．（2)过点B 作BD ⊥MN ，则 190BDC ACBMN BCN A ∠=︒=∠⎫⎬⇒∠=∠⎭是切线⇒△ACB ∽△CNB⇒1AC ABCD BC=⇒AB ·CD 1=AC ·BC ．过点A 作AD 2⊥MN ，则 190AD C ACBMN MCA CBA ∠=︒=∠⎫⎬⇒∠=∠⎭是切线⇒△ABC ∽△ACD 2⇒2CD AC AB CB=⇒CD 2·AB=AC ·CB 25．解：（1）过点C 作CH ⊥AB 于H ，由三角形的面积公式得AB ·CH=AC ·BC,∴CH=AC BCAB=6013,即圆心到直线的距离d=6013．∵d=6013>3，∴⊙O与AB相离．（2）过点O作OE⊥AB于E，则OE=3．∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，∴△AOE∽△ABC,∵OA=OE ABBC=31313124⨯=∴OC=AC—OA=5-134=74．∴当OC=74时，⊙O与AB相切．。

圆的有关计算与证明(共50题)(解析版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

圆的有关计算与证明(50题)一、单选题1.(2023·新疆·统考中考真题)如图，在⊙O 中，若∠ACB =30°，OA =6，则扇形OAB (阴影部分)的面积是()A.12πB.6πC.4πD.2π【答案】B【分析】根据圆周角定理求得∠AOB =60°，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．【详解】解：∵AB=AB，∠ACB =30°，∴∠AOB =60°，∴S =60360π×62=6π．故选：B .【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键．2.(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图，矩形ABCD 内接于⊙O ，分别以AB 、BC 、CD 、AD 为直径向外作半圆．若AB =4,BC =5，则阴影部分的面积是()A.414π-20 B.412π-20 C.20πD.20【答案】D【分析】根据阴影部分面积为2个直径分别为AB ,BC 的半圆的面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角线长的圆的面积即可求解．【详解】解：如图所示，连接AC ，∵矩形ABCD 内接于⊙O ，AB =4,BC =5∴AC 2=AB 2+BC 2∴阴影部分的面积是S 矩形ABCD +π×AB 2 2+π×BC22-πAC22S 矩形ABCD +π×14AB 2+BC 2-AC 2=S 矩形ABCD=4×5=20，故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3.(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AC)，点O 是这段弧所在圆的圆心，B 为AC上一点，OB ⊥AC 于D ．若AC =3003m ，BD =150m ，则AC 的长为()A.300πmB.200πmC.150πmD.1003πm【答案】B【分析】根据垂径定理求出AD 长度，再根据勾股定理求出半径长度，最后利用弧长公式即可求出答案.【详解】解：∵OB ⊥AC ，点O 是这段弧所在圆的圆心，∴AD =CD ，，∵OD =OD ，OA =OC ，∴△ADO ≌△CDO ，∴∠AOD =∠COD .∵AC =3003m ，AD =CD ，∴AD =CD =1503m .设OA =OC =OB =x ，则DO =x -150，在Rt △ADO 中，x 2=x -150 2+1503 2，∴x =300m ，∴sin ∠AOD =AD AO=1503300=32.∴∠AOD =60°，∴∠AOC =120°，∴AC =n πR 180=120×π×300180=200πm .故选：B .【点睛】本题考查了圆的垂径定理，弧长公式，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度，从而求出所求弧长所对应的圆心角度数.4.(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm 的三个等圆构成，且三个等圆⊙O 1,⊙O 2,⊙O 3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为()A.14πcm 2 B.13πcm 2 C.12πcm 2 D.πcm 2【答案】C 【分析】根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等，只要计算出一个阴影部分的面积即可，如图，连接AO 1,AO 2,O 1O 2，阴影AO 1O 2的面积=扇形AO 1O 2的面积，据此即可解答.【详解】解：根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等；如图，连接AO 1,AO 2,O 1O 2，则AO 1=AO 2=O 1O 2，△AO 1O 2是等边三角形，∴∠AO 1O 2=60°，弓形AO 1,AO 2,O 1O 2的面积相等，∴阴影AO 1O 2的面积=扇形AO 1O 2的面积=60π×12360=16πcm 2，∴图中三个阴影部分的面积之和=3×16π=12πcm 2；故选：C .【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、掌握求解的方法是解题关键.5.(2023·四川达州·统考中考真题)如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2⋯是由多段90°的圆心角的圆心为C ，半径为CB 1；C 1D 1 的圆心为D ，半径为DC 1⋯,DA 1 、A 1B 1 、B 1C 1、C 1D 1⋯的圆心依次为A 、B 、C 、D 循环，则A 2023B 2023�的长是()A.4045π2B.2023πC.2023π4D.2022π【答案】A【分析】曲线DA 1B 1C 1D 1A 2⋯是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+12，得到AD n -1=AA n =4×12(n -1)+12，BA n =BB n =4×12(n -1)+1，得出半径，再计算弧长即可．【详解】解：由图可知，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2⋯是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+12，∴AD =AA 1=12，BA 1=BB 1=1，CB 1=CC 1=32，DC 1=DD 1=2，AD 1=AA 2=2+12，BA 2=BB 2=2+1，CB 2=CC 2=2+32，DC 2=DD 2=2+2，⋯⋯，AD n -1=AA n =4×12(n -1)+12，BA n =BB n =4×12(n -1)+1，故A 2023B 2023 的半径为BA 2023=BB 2023=4×12×2023-1 +1=4045，∴A 2023B 2023 的弧长=90180×4045π=40452π．故选：A .【点睛】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：l =n πr180，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．6.(2023·四川广安·统考中考真题)如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB =90°,AC =BC =22，以点A 为圆心，AC 为半径画弧，交AB 于点E ，以点B 为圆心，BC 为半径画弧，交AB 于点F ，则图中阴影部分的面积是()A.π-2B.2π-2C.2π-4D.4π-4【答案】C【分析】先利用扇形的面积公式求出扇形ACE 和扇形BCF 的面积，再减去△ABC 的面积即可得．【详解】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A =∠B =45°，∵AC =BC =22，∴图中阴影部分的面积是S 扇形ACE +S 扇形BCF -S Rt △ABC =45π×22 2360+45π×22 2360-12×22 ×22=2π-4，故选：C ．【点睛】本题考查了扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．7.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，AB 是半圆O 的直径，点C ,D 在半圆上，CD=DB，连接OC ,CA ,OD ，过点B 作EB ⊥AB ，交OD 的延长线于点E ．设△OAC 的面积为S 1,△OBE 的面积为S 2，若S 1S 2=23，则tan ∠ACO 的值为()A.2B.223C.75D.32【答案】A【分析】如图，过C 作CH ⊥AO 于H ，证明∠COD =∠BOE =∠CAO ，由S 1S 2=23，即12OA ∙CH 12OB ∙BE =23，可得CH BE =23，证明tan ∠A =tan ∠BOE ，可得CH BE =AH OB =23，设AH =2m ，则BO =3m =AO =CO ，可得OH =3m -2m =m ，CH =9m 2-m 2=22m ，再利用正切的定义可得答案．【详解】解：如图，过C 作CH ⊥AO 于H ，∵CD=BD，∴∠COD =∠BOE =∠CAO ，∵S 1S 2=23，即12OA ∙CH 12OB ∙BE =23，∴CH BE=23，∵∠A =∠BOE ，∴tan ∠A =tan ∠BOE ，∴CH AH=BE OB ，即CH BE =AH OB =23，设AH =2m ，则BO =3m =AO =CO ，∴OH =3m -2m =m ，∴CH =9m 2-m 2=22m ，∴tan ∠A =CH AH=22m2m =2，∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO ，∴tan ∠ACO =2；故选：A .【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．二、填空题8.(2023·重庆·统考中考真题)如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，E 为BC 的中点，连接AE ，DE ，以E 为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE ，DE 交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积为．(结果保留π)【答案】4-π【分析】利用矩形的性质求得AB =CD =2,BE =CE =2，进而可得∠BAE =∠AEB =∠DEC =∠CDE =45°，然后根据S 阴影=2S △ABE -S 扇形BEM 解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB =2，BC =4，E 为BC 的中点，∴AB =CD =2,BE =CE =12BC =2，∠ABC =∠DCB =90°，∴∠BAE =∠AEB =∠DEC =∠CDE =45°，∴S 阴影=2S △ABE -S 扇形BEM =2×12×2×2-45π×22360 =2×2-12π=4-π；故答案为：4-π．【点睛】本题考查了矩形的性质和不规则面积的计算，熟练掌握矩形的性质、明确阴影面积为两个全等的等腰直角三角形的面积减去两个圆心角为45°的扇形面积是解题关键．9.(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，⊙O 的半径为2cm ，AB 为⊙O 的弦，点C 为AB上的一点，将AB沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则阴影部分的面积为．(结果保留π与根号)【答案】23π-3cm 2【分析】根据折叠的性质得出△AOC 是等边三角形，则∠AOC =60°，OD =CD =1，根据阴影部分面积=S 扇形AOC -S △AOC 即可求解．【详解】解：如图所示，连接OA ,OC ，设AB ,CO 交于点D∵将AB沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，∴AC =AO ，OC ⊥AB 又OA =OC ∴OA =OC =AC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠AOC =60°，OD =CD =1，∴AD =AO 2-CD 2=3,∴阴影部分面积=S 扇形AOC -S △AOC =60360π×22-12×2×3=23π-3cm 2 故答案为：23π-3cm 2．10.(2023·重庆·统考中考真题)如图，⊙O 是矩形ABCD 的外接圆，若AB =4,AD =3，则图中阴影部分的面积为．(结果保留π)【答案】254π-12【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到BD =5，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答．【详解】解：连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD 是⊙O 的直径，∵AB =4,AD =3，∴BD =AB 2+AD 2=5，∴⊙O 的半径为52，∴⊙O 的面积为254π，矩形的面积为3×4=12，∴阴影部分的面积为254π-12；故答案为：254π-12.【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．11.(2023·江苏扬州·统考中考真题)用半径为24cm ，面积为120πcm 2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为cm ．【答案】5【分析】应为圆锥侧面母线的长就是侧面展开扇形的半径，利用圆锥侧面面积公式：S =π⋅r ⋅l ，就可以求出圆锥的底面圆的半径．【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r ，l =24，由扇形的面积：S =π⋅r ⋅l =120π，得：r =5故答案为：5.【点睛】本题考查了圆锥侧面面积的相关计算，熟练掌握圆锥侧面面积的计算公式是解题的关键，注意用扇形围成的圆锥，扇形的半径就是圆锥的母线．12.(2023·浙江温州·统考中考真题)若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为．【答案】4π【分析】根据弧长公式l =n πr180即可求解．【详解】解：扇形的圆心角为40°，半径为18，∴它的弧长为40180×18π=4π，故答案为：4π．【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．13.(2023·浙江宁波·统考中考真题)如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为cm2．(结果保留π)【答案】1500π【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式S=12lr代值求解即可得到答案．【详解】解：∵圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，∴烟囱帽的侧面积S=12lr=12×2π×30×50=1500π(cm2)，故答案为：1500π．【点睛】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式S=12lr，熟记扇形面积公式是解决问题的关键．14.(2023·天津·统考中考真题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．(1)线段AB的长为；(2)若点D在圆上，AB与CD相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的(不要求证明)．【答案】(1)29(2)画图见解析；如图，取AC,AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求【分析】(1)在网格中用勾股定理求解即可；(2)取AC,AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点M，连接MB；连接DB与网格线相交于点G，连接GF并延长与网格线相交于点H，连接AH并延长与圆相交于点I，连接CI并延长与MB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求，连接PQ，AD,BK，过点E作ET⊥网格线，过点G作GS ⊥网格线，由图可得Rt △AJF ≌Rt △BLF AAS ，根据全等三角形的性质可得Rt △IMF ≌Rt △HNF ASA 和△AIF ≌△BHF SAS ，根据同弧所对圆周角相等可得AD=BK，进而得到∠1=∠2和∠PCQ =60°，再通过证明△CAP ≌△CBQ ASA 即可得到结论．【详解】(1)解：AB =22+52=29；故答案为：29．(2)解：如图，取AC ,AB 与网格线的交点E ，F ，连接EF 并延长与网格线相交于点G ；连接DB 与网格线相交于点H ，连接HF 并延长与网格线相交于点I ，连接AI 并延长与圆相交于点K ，连接CK 并延长与GB 的延长线相交于点Q ，则点Q 即为所求；连接PQ ，AD ,BK ，过点E 作ET ⊥网格线，过点G 作GS ⊥网格线，由图可得：∵∠AJF =∠BLF ，∠AFJ =∠BFL ，AJ =BL ，∴Rt △AJF ≌Rt △BLF AAS ，∴FJ =FL ，AF =BF ，∵MJ =NL ，∴FJ -MJ =FL -NL ，即FM =FN ，∵∠IMF =∠HNF ，∠IFM =∠HFN ，∴Rt △IMF ≌Rt △HNF ASA ，∴FI =FH ，∵∠AFI =∠BFH ，AF =BF ，∴△AIF ≌△BHF SAS ，∴∠FAI =∠FBH ，∴AD=BK，∴∠1=∠2，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，即∠1+∠PCB =60°，∴∠2+∠PCB =60°，即∠PCQ =60°，∵ET =GS ，∠ETF =∠GSF ，∠EFT =∠GFS ，∴Rt △ETF ≌Rt △GSF AAS ，∴EF =GF ，∵AF =BF ，∠AFE =∠BFG ，∴△AFE ≌△BFG SAS ，∴∠EAF =∠GBF ，∴∠GBF =∠EAF =∠CBA =60°，∴∠CBQ =180°-∠CBA -∠GBF =60°，∴∠CBQ =∠CAB ，∵CA =CB ，∴△CAP ≌△CBQ ASA ，∴CQ =CP ，∵∠PCQ =60°，∴△PCQ 是等边三角形，此时点Q 即为所求；故答案为：如图，取AC ,AB 与网格线的交点E ，F ，连接EF 并延长与网格线相交于点G ；连接DB 与网格线相交于点H ，连接HF 并延长与网格线相交于点I ，连接AI 并延长与圆相交于点K ，连接CK 并延长与GB 的延长线相交于点Q ，则点Q 即为所求．【点睛】本题考查作图-复杂作图，勾股定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键．15.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，AB =3+1,BC =2,AH ⊥CD ，垂足为H ,AH =3．以点A 为圆心，AH 长为半径画弧，与AB ,AC ,AD 分别交于点E ,F ,G ．若用扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r 1；用扇形AHG 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r 2，则r 1-r 2=．(结果保留根号)【答案】324【分析】由▱ABCD ，AB =3+1,BC =2,AH ⊥CD ，AH =3，AD =BC =2，DH =22-3 2=1，cos DAH =AH AD=32，AB =CD =3+1，AB ∥CD ，求解∠DAH =30°，CH =3=AH ，证明∠ACH =∠CAH =45°，可得∠BAC =45°，再分别计算圆锥的底面半径即可．【详解】解：∵在▱ABCD 中，AB =3+1,BC =2,AH ⊥CD ，AH =3，∴AD =BC =2，DH =22-3 2=1，∵cos ∠DAH =AHAD=32，AB =CD =3+1，∴∠DAH =30°，CH =3=AH ，∴∠ACH =∠CAH =45°，∵AB ∥CD ，∴∠BAC =45°，∴45π×3180=2πr 1，30π×3180=2πr 2，解得：r 1=38，r 2=312，∴r 1-r 2=3324-2324=324；故答案为：324【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，扇形的弧长的计算，圆锥的底面半径的计算，熟记圆锥的侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长是解本题的关键．16.(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，小珍同学用半径为8cm ，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是cm 2．【答案】169π【分析】由题意知，底面半径为2cm 的圆锥的底面周长为4πcm ，扇形弧长为100π×8180=409πcm ，则扇形中未组成圆锥底面的弧长l =409π-4π=49πcm ，根据圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积可得圆锥上粘贴部分的面积为12lr =12×49π×8，计算求解即可．【详解】解：由题意知，底面半径为2cm 的圆锥的底面周长为4πcm ，扇形弧长为100π×8180=409πcm ，∴扇形中未组成圆锥底面的弧长l =409π-4π=49πcm ，∵圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积，∴圆锥上粘贴部分的面积为12lr =12×49π×8=169πcm 2，故答案为：169π．【点睛】本题考查了扇形的弧长、面积公式．解题的关键在于熟练掌握S 扇形=12lr ，l 扇形=n πr180，其中n 为扇形的圆心角，r 为扇形的半径．三、解答题17.(2023·四川南充·统考中考真题)如图，AB 与⊙O 相切于点A ，半径OC ∥AB ，BC 与⊙O 相交于点D ，连接AD ．(1)求证：∠OCA =∠ADC ；(2)若AD =2,tan B =13，求OC 的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)连接OA ，根据切线的性质得出∠OAB =90°，再由平行线的性质得出∠AOC =90°，利用圆周角定理及等腰直角三角形的性质即可证明；(2)过点A 作AH ⊥BC ，过点C 作CF ⊥BA 的延长线于点F ，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质得出AH =DH =2，再由正切函数确定BH =32，AB =25，再由正方形的判定和性质及相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】(1)证明：连接OA ，如图所示：∵AB 与⊙O 相切于点A ，∴∠OAB =90°，∵OC ∥AB ，∴∠AOC =90°，∴∠ADC =45°，∵OC =OA ，∴∠OCA =45°，∴∠OCA =∠ADC ；(2)过点A 作AH ⊥BC ，过点C 作CF ⊥BA 交BA 的延长线于点F ，如图所示：由(1)得∠OCA =∠ADC =45°，∴ΔAHD 为等腰直角三角形，∵AD =2，∴AH =DH =2，∵tan B =13，∴BH =32，AB =AH 2+BH 2=25，由(1)得∠AOC =∠OAF =90°，∵CF ⊥BA ，∴四边形OCFA 为矩形，∵OA =OC ，∴四边形OCFA 为正方形，∴CF =FA =OC =r ，∵∠B =∠B ,∠AHB =∠CFB =90°，∴△ABH ∽△CBF ,∴BH BF =AH CF 即3225+r=2r ，解得：r =5，∴OC =5．【点睛】题目主要考查圆周角定理，解直角三角形及正方形与相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．18.(2023·四川成都·统考中考真题)如图，以△ABC 的边AC 为直径作⊙O ，交BC 边于点D ，过点C 作CE ∥AB 交⊙O 于点E ，连接AD ，DE ，∠B =∠ADE ．(1)求证：AC=BC；(2)若tan B=2，CD=3，求AB和DE的长．【答案】(1)见解析(2)AB=25，DE=25【分析】(1)根据CE∥AB，得到∠ACE=∠BAC，再根据同弧所对的圆周角相等，得到∠ACE=∠ADE=∠B，可证明△ABC是等腰三角形，即可解答；(2)根据直径所对的圆周角为直角，得到tan B=2=ADBD，设BD=x，根据勾股定理列方程，解得x 的值，即可求出AB；解法一：过点E作DC的垂线段，交DC的延长线于点F，证明∠B=∠ECF，求出EF,DF的长，根据勾股定理即可解出DE的长；解法二：连接AE,得到角相等，进而证得△ABC∽△ADE，根据对应边成比例即可解出DE的长．【详解】(1)证明：∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE，∴∠BAC=∠ACE=∠ADE，∵∠B=∠ADE，∴∠B=∠BAC，∴AC=BC；(2)解：设BD=x，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵tan B=2，=2，即AD=2x，∴ADBD根据(1)中的结论，可得AC=BC=BD+DC=x+3，根据勾股定理，可得AD2+DC2=AC2，即2x2，2+32=x+3解得x1=2，x2=0(舍去)，∴BD=2，AD=4,根据勾股定理，可得AB=AD2+BD2=25；解法一：如图，过点E作DC的垂线段，交DC的延长线于点F，∵CE∥AB，∴∠ECF=∠B，∵EF⊥CF，∴tan∠ECF=tan∠B=2，即EF=2，CF∵∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDF=90°，∠B=∠ADE，∴∠BAD=∠EDF，∴∠DEF =90°-∠EDF =90°-∠BAD =∠B ，∴DF EF=2，设CF =a ，则DF =DC +CF =a +3，∴EF =2a ，可得方程a +32a=2，解得a =1，∴EF =2，DF =4，根据勾股定理，可得DE =DF 2+EF 2=25．解法二：如图，连接AE ,∵∠B =∠ADE ，∠ACB =∠AED ，∴△ABC ∽△ADE ，∴AB AD=BC DE ，又∵BC =5，AD =4，AB =25，∴254=5DE ，∴DE =25．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，勾股定理，正切，利用等量代换证明相关角相等是解题的关键．19.(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，D 是AC上一点，P 是AB 延长线上一点，连接AD ,DC ,CP ．(1)求证：∠ADC -∠BAC =90°；(请用两种证法解答)(2)若∠ACP =∠ADC ，⊙O 的半径为3，CP =4，求AP 的长．【答案】(1)证明见解析(2)8【分析】(1)证法一：连接BD ，得到∠ADB =90°，因为∠BAC =∠BDC ，所以∠ADC -∠BAC =90°；证法二：连接BC ，可得∠ADC +∠ABC =180°，则∠ABC =180°-∠ADC ，根据∠ACB =90°，可得∠BAC +∠ABC =90°，即可得到结果；(2)连接OC ，根据角度间的关系可以证得△OCP 为直角三角形，根据勾股定理可得边OP 的长，进而求得结果．【详解】(1)证法一：如图，连接BD ，∵BC=BC，∴∠BDC=∠BAC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC∵∠BAC=∠BDC，∴∠ADC=90°+∠BAC，∴∠ADC-∠BAC=90°，证法二：如图，连接BC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ABC=180°-∠ADC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴∠BAC+180°-∠ADC=90°，∴∠ADC-∠BAC=90°，(2)解：如图，连接OC，∵∠ACP=∠ADC，∠ADC-∠BAC=90°，∴∠ACP-∠BAC=90°，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∴∠ACP-∠ACO=90°，∴∠OCP=90°．∵⊙O的半径为3，∴AO=OC=3，在Rt△OCP中，OP2=OC2+CP2，∵CP=4，∴OP2=32+42=25，∴OP=5，∴AP=AO+OP=8，【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，找到角度之间的关系是解题的关键．20.(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD为∠CAB的平分线交⊙O于点D，连接OD交BC于点E．(1)求∠BED 的度数；(2)如图2，过点A 作⊙O 的切线交BC 延长线于点F ，过点D 作DG ∥AF 交AB 于点G ．若AD =235,DE =4，求DG 的长．【答案】(1)90°(2)210【分析】(1)根据圆周角定理证明两直线平行，再利用平行线的性质证明角度相等即可；(2)由勾股定理找到边的关系，求出线段长，再利用等面积法求解即可．【详解】(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵AD 平分∠CAB ，∴∠BAD =12∠BAC ，即∠BAC =2∠BAD ，∵OA =OD ，∴∠BAD =∠ODA ，∴∠BOD =∠BAD +∠ODA =2∠BAD ，∴∠BOD =∠BAC ，∴OD ∥AC ，∴∠OEB =∠ACB =90°，∴∠BED =90°，(2)如图，连接BD ，设OA =OB =OD =r ，则OE =r -4，AC =2OE =2r -8，AB =2r ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，在Rt △ADB 中，有勾股定理得：BD 2=AB 2-AD 2由(1)得：∠BED =90°，∴∠BED =∠BEO =90°，由勾股定理得：BE 2=OB 2-OE 2，BE 2=BD 2-DE 2，∴BD 2=AB 2-AD 2=BE 2+DE 2=OB 2-OE 2+DE 2，∴2r 2-235 2=r 2-r -4 2+42，整理得：r 2-2r -35=0，解得：r =7或r =-5(舍去)，∴AB =2r =14，∴BD =AB 2-AD 2=142-235 2=214，∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥AB，∵DG∥AF，∴DG⊥AB，∴S△ABD=12AD·BD=12AB·DG，∴DG=AD·BDAB =235×21414=210．【点睛】此题考查了圆周角定理和勾股定理，三角形中位线定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．21.(2023·浙江杭州·统考中考真题)在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，D重合)，射线BE与射线CD交于点F．(1)若ED=13，求DF的长．(2)求证：AE⋅CF=1．(3)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G．若EG=ED，求ED的长．【答案】(1)1 2(2)见解析(3)14【分析】(1)证明△AEB∽△DEF，利用相似三角形的对应边成比例求解；(2)证明△AEB∽△CBF，利用相似三角形的对应边成比例证明；(3)设EG=ED=x，则AE=1-x，BE=1+x，在Rt△ABE中，利用勾股定理求解．【详解】(1)解：由题知，AB=BC=CD=DA=1，若ED=13，则AE=AD-ED=23．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠FDE=90°，又∵∠AEB=∠FED，∴△AEB∽△DEF，∴AB DF =AE ED，即1DF=2313，∴DF=12．(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠C=90°，AB∥CD，∴∠ABE=∠F，∴△ABE∽△CFB，∴AB CF =AE BC，∴AE⋅CF=AB⋅BC=1×1=1．(3)解：设EG=ED=x，则AE=AD-AE=1-x，BE=BG+GE=BC+GE=1+x．在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即12+(1-x)2=(1+x)2，解得x=1 4．∴ED=14．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，正方形的性质等，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．22.(2023·河北·统考中考真题)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN=48cm，作OC⊥MN于点C．(1)求OC的长．操作：将图1中的水面沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM=30°时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．探究：在图2中(2)操作后水面高度下降了多少？(3)连接OQ 并延长交GH 于点F ，求线段EF 与EQ的长度，并比较大小．【答案】(1)7cm (2)112cm(3)EF =2533cm ，EQ =25π6cm ，EF >EQ ．【分析】(1)连接OM ，利用垂径定理计算即可；(2)由切线的性质证明OE ⊥GH 进而得到OE ⊥MN ，利用锐角三角函数求OD ，再与(1)中OC 相减即可；(3)由半圆的中点为Q 得到∠QOB =90°，得到∠QOE =30°分别求出线段EF 与EQ的长度，再相减比较即可．【详解】解：(1)连接OM ，∵O 为圆心，OC ⊥MN 于点C ，MN =48cm ，∴MC =12MN =24cm ，∵AB =50cm ，∴OM =12AB =25cm ，∴在Rt △OMC 中，OC =OM 2-MC 2=252-242=7cm ．(2)∵GH 与半圆的切点为E ，∴OE ⊥GH ∵MN ∥GH∴OE ⊥MN 于点D ，∵∠ANM =30°，ON =25cm ，∴OD =12ON =252cm ，∴操作后水面高度下降高度为：252-7=112cm ．(3)∵OE ⊥MN 于点D ，∠ANM =30°∴∠DOB =60°，∵半圆的中点为Q ，∴AQ=QB，∴∠QOB =90°，∴∠QOE =30°，∴EF =tan ∠QOE ⋅OE =2533cm ，EQ =30×π×25180=25π6cm ，∵2533-25π6=503-25π6=2523-π 6>0，∴EF >EQ．【点睛】本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、求弧长和解直角三角形的知识，解答过程中根据相关性质构造直角三角形是解题关键．23.(2023·湖北武汉·统考中考真题)如图，OA ,OB ,OC 都是⊙O 的半径，∠ACB =2∠BAC ．(1)求证：∠AOB =2∠BOC ；(2)若AB =4,BC =5，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)52【分析】(1)由圆周角定理得出，∠ACB =12∠AOB ,∠BAC =12∠BOC ，再根据∠ACB =2∠BAC ，即可得出结论；(2)过点O 作半径OD ⊥AB 于点E ，根据垂径定理得出∠DOB =12∠AOB ,AE =BE ，证明∠DOB =∠BOC ，得出BD =BC ，在Rt △BDE 中根据勾股定理得出DE =BD 2-BE 2=1，在Rt △BOE 中，根据勾股定理得出OB 2=(OB -1)2+22，求出OB 即可．【详解】(1)证明：∵AB=AB，∴∠ACB =12∠AOB ，∵BC =BC ，∴∠BAC =12∠BOC ，∵∠ACB =2∠BAC ，∴∠AOB =2∠BOC ．(2)解：过点O 作半径OD ⊥AB 于点E ，则∠DOB =12∠AOB ,AE =BE ，∵∠AOB =2∠BOC ，∴∠DOB =∠BOC ，∴BD =BC ，∵AB =4,BC =5，∴BE =2,DB =5，在Rt △BDE 中，∵∠DEB =90°∴DE =BD 2-BE 2=1，在Rt △BOE 中，∵∠OEB =90°，∴OB 2=(OB -1)2+22，∴OB =52，即⊙O 的半径是52．【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理．24.(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，四边形ABCD 是半径为R 的⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，∠ABD =45°，直线l 与三条线段CD 、CA 、DA 的延长线分别交于点E 、F 、G ．且满足∠CFE =45°．(1)求证：直线l ⊥直线CE ；(2)若AB =DG ；①求证：△ABC ≌△GDE ；②若R =1，CE =32，求四边形ABCD 的周长．【答案】(1)见解析(2)①见解析，②72+2【分析】(1)在⊙O 中，根据同弧所对的圆周角相等可得∠ACD =∠ABD =45°，结合已知在△CFE 中根据三角形内角和定理可求得∠FEC =90°；(2)①根据圆内接四边形的性质和邻补角可得∠ABC =∠GDE ，由直径所对的圆周角是直角和(1)可得∠ACB =∠GED ，结合已知即可证得△ABC ≌△GDE AAS ；②在⊙O 中由R =1，可得AB =2，结合题意易证DA =DB ，在Rt △ABC 中由勾股定理可求得DA =2，由①可知易得BC +CD =DE +CD =CE ，最后代入计算即可求得周长．【详解】(1)证明：在⊙O 中，∵AD =AD，∴∠ACD =∠ABD =45°，即∠FCE =45°，在△CFE 中，∵∠CFE =45°，∴∠FEC =180°-∠FCD +∠CFE =90°，即直线l ⊥直线CE ；(2)①四边形ABCD 是半径为R 的⊙O 的内接四边形，∴∠ADC +∠ABC =180°，∵∠ADC +∠GDE =180°，∴∠ABC =∠GDE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，由(1)可知∠GED =90°，∴∠ACB=∠GED，在△ABC与△GDE中，∠ABC=∠GDE ∠ACB=∠GED AB=DG，∴△ABC≌△GDE AAS，②在⊙O中，R=1，∴AB=2R=2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=45°，∴∠BAD=90°-∠ABD=45°，∴DA=DB，在Rt△ABC中，∴DA2+DB2=AB2，即2DA2=22，解得：DA=2，由①可知△ABC≌△GDE，∴BC=DE，∴BC+CD=DE+CD=CE=32，∴四边形ABCD的周长为：DA+AB+BC+CD=DA+AB+CE=2+2+32=72+2．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、垂直的定义、圆内接四边形的性质、邻补角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形以及周长的计算；解题的关键是灵活运用以上知识，综合求解．25.(2023·天津·统考中考真题)在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC=60°，E为弦AB所对的优弧上一点．(1)如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；(2)如图②，CE与AB相交于点F，EF=EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA=3，求EG的长．【答案】(1)∠AOB=120°，∠CEB=30°(2)3【分析】(1)根据半径OC 垂直于弦AB ，可以得到AC =BC，从而得到∠AOC =∠BOC ，结合已知条件∠AOC =60°即可得到∠AOB =2∠AOC =120°，根据∠CEB =12∠AOC 即可求出∠CEB =30°；(2)根据∠CEB =30°，结合EF =EB ，推算出∠EBF =∠EFB =75°，进一步推算出∠GOE =∠AOE-∠AOG =30°，在Rt △OEG 中，tan ∠GOE =EG OE,OE =OA =3，再根据EG =3×tan30°即可得到答案．【详解】(1)解：在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，∴AC =BC ，得∠AOC =∠BOC ．∵∠AOC =60°，∴∠AOB =2∠AOC =120°．∵∠CEB =12∠BOC =12∠AOC ，∴∠CEB =30°．(2)解：如图，连接OE ．同(1)得∠CEB =30°．∵在△BEF 中，EF =EB ，∴∠EBF =∠EFB =75°．∴∠AOE =2∠EBA =150°．又∠AOG =180°-∠AOC =120°，∴∠GOE =∠AOE -∠AOG =30°．∵GE 与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥GE ，即∠OEG =90°．在Rt △OEG 中，tan ∠GOE =EG OE,OE =OA =3，∴EG =3×tan30°=3．【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质和直角三角函数，解题的关键是灵活运用相关知识．26.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，AC =5,BC =25，点F 在AB 上，连接CF 并延长，交⊙O 于点D ，连接BD ，作BE ⊥CD ，垂足为E ．(1)求证：△DBE ∽△ABC ；(2)若AF =2，求ED 的长．【答案】(1)证明见解析(2)355【分析】(1)分别证明∠ACB=90°=∠BED，∠CAB=∠CDB，从而可得结论；(2)求解AB=AC2+BC2=5，tan∠ABC=ACBC =12，可得BF=3，证明tan∠ABC=tan∠DBE=DE BE =12，设DE=x，则BE=2x，BD=5x，证明△ACF∽△DBF，可得ACBD=AFDF=CFBF，可得DF=2x，EF=x=DE，BD=BF=3，从而可得答案．【详解】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，BE⊥CD，∴∠ACB=90°=∠BED，∵∠CAB=∠CDB，∴△DBE∽△ABC．(2)∵AC=5,BC=25，∠ACB=90°，∴AB=AC2+BC2=5，tan∠ABC=ACBC =12，∵AF=2，∴BF=3，∵△DBE∽△ABC，∴∠ABC=∠DBE，∴tan∠ABC=tan∠DBE=DEBE =12，设DE=x，则BE=2x，BD=5x，∵∠AFC=∠BFD，∠CAB=∠CDB，∴△ACF∽△DBF，∴AC BD =AFDF=CFBF，∴55x =2DF，则DF=2x，∴EF=x=DE，∴BD=BF=3，∴DE=355．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记圆的基本性质与重要定理是解本题的关键．27.(2023·四川达州·统考中考真题)如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB=BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB=∠ACB，AC、BD相交于点E．(1)求证：AP 是⊙O 的切线；(2)若BE =2，DE =4，∠P =30°，求AP 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】(1)由AB =BC ，OB 为半径，可知OB ⊥AC ，∠CAB =∠ACB ，则∠CAB +∠ABO =90°，∠ACB +∠ABO =90°，∠PAB +∠ABO =90°，如图1，连接OA ，由OA =OB ，可得∠OAB =∠ABO ，则∠PAB +∠OAB =90°，即∠OAP =90°，进而结论得证；(2)如图2，记OB 与AC 交点为M ，连接OD ，过O 作ON ⊥DB 于N ，证明△ABO 是等边三角形，则AB =OB =OA ，∠ABM =60°，设⊙O 半径为r ，则BM =AB ⋅cos ∠ABM =12r ，由OB =OD ，ON ⊥DB ，可得BN =12BD =3，证明△BME ∽△BNO ，则BM BN =BE BO ，即12r 3=2r ，解得r =23或r =-23(舍去)，根据AP =OA tan ∠P，计算求解即可．【详解】(1)解：如图，连接OA ,OC ，∵AB =BC ，∴AB �=BC �，∴∠AOB =∠COB ，∴OB ⊥AC ，由等边对等角可得∠CAB =∠ACB ，∴∠CAB +∠ABO =90°，∴∠ACB +∠ABO =90°，∵∠PAB =∠ACB ，∴∠PAB +∠ABO =90°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠ABO ，∴∠PAB +∠OAB =90°，即∠OAP =90°，又∵OA 是半径，∴AP 是⊙O 的切线；(2)解：如图2，记OB 与AC 交点为M ，连接OD ，过O 作ON ⊥DB 于N ，∵∠P =30°，∴∠AOP =60°，∴△ABO 是等边三角形，∴AB =OB =OA ，∠ABM =60°，设⊙O 半径为r ，∵AM ⊥BM ，∴BM =AB ⋅cos ∠ABM =12r ，∵OB =OD ，∴△BOD 是等腰三角形，又∵ON ⊥DB ，∴BN =12BD =BE +DE 2=3，∵∠BME =∠BNO =90°，∠EBM =∠OBN ，∴△BME ∽△BNO ，∴BM BN =BE BO ，即12r 3=2r ，解得r =23或r =-23(舍去)，∴AP =OA tan ∠P =r 33=6，∴AP 的长为6．【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦、正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．28.(2023·湖南·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是一条弦，D 是AC的中点，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，交⊙O 于点H ，DB 交AC 于点G ．(1)求证：AF =DF ．(2)若AF =52,sin ∠ABD =55，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)根据D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，得到CD =DA =AH ,得到∠ADH =∠DAC 即可得证．(2)根据sin ∠ABD =55=AD AB，设AD =5x ,AB =5x ，运用勾股定理，得到BD =5x 2-5x 2=25x ，结合sin ∠ABD =55=DE BD ，得到DE =2x ，运用勾股定理，得到BE =25x 2-2x 2=4x ，从而得到AE =x ,EF =ED -DF =DE -AF =2x -52，在Rt △AEF 中，利用勾股定理计算x 即可．【详解】(1)∵D 是AC 的中点，∴CD =DA ，∵DE ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴DA =AH ，∴CD =DA =AH，∴∠ADH =∠DAC ，∴AF =DF ．(2)∵DE ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，。

人教版九年级数学上册《圆》期末证明题练习-附答案

人教版年九年级数学上册《圆》期末证明题练习-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，在ABC中90C∠=︒，点D是AB边上一点，以BD为直径的O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH AB⊥于点H，连接BE(1)求证：EH EC=；(2)若4AB=，2A=求AD的长．sin32．如图，以AB为直径的O经过ABC的顶点C，AE，BE分别平分BAC∠，AE的延∠和ABC长线交O于点D，连接BD．(1)判断BDE△的形状，并证明你的结论；(2)若10AB=，210BE=求BC的长．3．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆O上一点，D是AC的中点，过点D作直线l AC∥，AF⊥直线l，垂足为F，BC的延长线交直线l于点E．(1)求证：直线l是O的切线．(2)若O的半径为1，求AF BE+的值．4．如图，将含30︒角的直角三角板ABC放入半圆O中90∠=︒，A，B，C三点恰好在半圆OACB上，延长AB到点E，作直线CE，使得30∠=∠=︒·BCE BAC(1)求证：EC是半圆O的切线.(2)若8AB=，求阴影部分的面积.5．如图，以ABC的边AB为直径作O，交边AC于点D，BC为O的切线，弦DE AB⊥于点F，连接BE．(1)求证：ABE C∠∠=．(2)若点F为OB中点，且1OF=，求线段ED的长．6．如图，ABC内接于O，CD与AB的延长线相交于点D，且BCD BAC∠=∠．求证：CD是O 的切线．7．如图，在ABC中AB BC=，以AB为直径的O与AC交于点D，过D作O的切线交AB的延长线于E，交BC于F．(1)求证：DF BC⊥；(2)已知6BE=求O的半径．DE=，38．如图，O是ABC的外接圆，BD是O的直径AB AC=，AE//BC，E为BD的延长线与AE 的交点．(1)求证：AE是O的切线；(2)若75∠=︒，BC=2，求CD和AE长．ABC9．如图，在ABC中90∠=︒，AD是ABC的角平分线，以AD为弦，圆心O在边AB上作OC交AC于E．(1)判断BC 与O 的位置关系并说明理由；(2)若30B ∠=︒，AE=2，求DE 的长．10．如图1，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，连接AC ，半径OD ∥弦AC(1)求证：弧BD =弧CD 的长．(2)在如图1上，连接BC 、AD 相交于点F ，BC 与OD 相交于点E ，连接CD ，若O 的半径为5，6AC =求CD 的长．(3)如图2，在OD 的延长线上取一点P ，使12CAP BAP ∠=∠，AP 交弧BC 于点.G 若10AB =，61CP =求AG 的长．11．如图，O 的直径AB 垂直弦CD 于点F ，点P 在AB 的延长线上，CP 与O 相切于点C ．(1)求证：PCB PAD ∠=∠；(2)若O 的直径为4，弦DC 平分半径，求图中阴影部分的面积．12．如图，在ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，延长BO交O于点D，连接CD，AB CD且CAB CBD∠=∠．(1)求证：AB是O的切线；(2)若6BC=，求图中阴影部分的面积．13．如图，已知四边形ABCD是O的内接四边形，连接AB，CD，且DA平分EDC∠．求证：(1)ABC是等腰三角形．(2)若45∠=︒，O的半径为6cm，求点O到BC的距离．BDC14．如图O是ABC的外接圆=45∥，AB交OC于∠︒，延长BC于D，连接AD，使得AD OCABCE．(1)求证：AD 与O 相切；(2)若25AE =，CE=2．①求O 的半径；②求AB 的长度．15．如图，在O 中，AB 是直径，点C 是圆上一点，在AB 的延长线上取一点D ，连接CD ，使BCD A ∠=∠．求：(1)求证：直线CD 是O 的切线；(2)若120,9ACD AD ∠=︒=，求扇形OAC 的面积16．如图，AB 为O 的直径，点C 、D 都在O 上，且BD 平分ABC ∠，过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于点E ．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)延长ED 交BA 的延长线于点F ．若30F ∠=︒，AB=8，则BE 的长为______．答案： 1．解、（1）如图，连接OEAC 与O 相切∴OE AC ⊥，且BC AC ⊥∴OE BC ∥∴CBE OEB ∠=∠EO OB =∴EBO OEB ∠=∠∴CBE EBO ∠=∠，且CE BC ⊥ EH AB ⊥ ∴CE EH =；（2）2sin3OE A OA== ∴设2OE a = ()30AO a a =≠∴2OB OE a ==324AB AO OB a a =+=+=∴45a =44AD AB BD a =-=-∴45AD =． 2．（1）解：BDE 为等腰直角三角形，证明如下：证明：∵AE 平分BAC ∠ BE 平分ABC ∠ ∴BAE CAD CBD ∠=∠=∠ ABE EBC ∠=∠．∵BED BAE ABE ∠=∠+∠ DBE DBC CBE ∠=∠+∠ ∴BED DBE ∠=∠．∴BD ED =．∵AB 为直径∴90ADB ∠=︒．∴BDE 是等腰直角三角形．（2）解：如图：连接OC CD OD OD 交BC 于点F ．∵DBC CAD BAD BCD ∠=∠=∠=∠ ∴BD DC =．∵OB OC =∴OD 垂直平分BC ．∵BDE 是等腰直角三角形 210BE = ∴25BD =．∵10AB =∴5OB OD ==．设OF t = 则5DF t =-．在Rt BOF △和Rt BDF △中 22225(25)(5)t t -=--．解得 3t =． ∴4BF =．∴8BC=．3．解、（1）证明：如图所示连接OD CD OC，，．∵D是AC的中点∴AD CD=∴AD CD=又∵OA OC=∴点O和点D都在线段AC的垂直平分线上即OD垂直平分线AC ∴OD AC⊥．又∵直线l AC∥∴直线l OD⊥∵OD是O的半径∴直线l是O的切线．（2）解：如图过点D作DM AB⊥垂足为M由（1）得90ODF∠=︒∵AB为半圆O的直径∴90∠=∠=︒ADB ACB∴90∠=∠=︒FDO ADB∴FDO ADO ADB ADO∠=∠∠∠即FDA ODB∠-=∠-∵OD OB=∴FDA ODB OBD ∠=∠=∠．又∵DM AB ⊥∴90OBD BDM ∠+∠=︒． ∵90ADM BDM ∠+∠=︒ ∴ADM OBD ∠=∠∴ADF ADM ∠=∠又∵AF EF ⊥∴AF AM =．同理可得BDE BDM ∠=∠ ∵D 是AC 的中点∴AD CD =∴DBM DBE ∠=∠又∵BD BD =∴()ASA BDM BDE ≌ ∴MB BE =∴AF BE AM MB AB +=+= 即2AF BE +=．4．解、（1）证明：如图连接OC∵90ACB ∠=︒∴AB 是O 的直径即O 在AB 上 ∵,OA OC =30BAC ∠=︒,∴30,OCA OAC ∠∠==︒∴903060OCB ∠=︒-︒=︒∵30BCE ∠=︒,∴306090,OCE ∠=︒+︒=︒∴OC CE ⊥∴EC 是半圆O 的切线；（2）解：∵30,90,BAC ACB ∠∠=︒=︒ ∴903060,ABC ∠=︒-︒=︒∵OB OC =∴BOC 是等边三角形∵8AB =∴4OB =∴2260483603603OAC n r S πππ⨯===扇形 13444322BOC S =⨯⨯⨯= ∴8433BOC OBC S S S π=-=-阴影扇形． 5解、（1）证明：∵BC 为O 的切线 ∴BC AB ⊥∵DE AB⊥∴BC DE∥∴C ADE∠=∠∵ABE ADE∠=∠∴ABE C∠=∠；（2）解：连接OE∵点F为OB中点且1OF=∴22==OB OF∴2==OE OB根据勾股定理可得：223=-=EF OE OF∵DE AB⊥∴223==．DE EF6．解、证明：如图过点C作O的直径CE连接BE 则90∠=︒CBE∴∠+∠=︒BEC BCE90∠=∠∠=∠,BEC BAC BAC BCDBCD BEC∴∠=∠BCD BCE∴∠+∠=︒90∴⊥CD CEOC是O的半径∴CD是O的切线．7．解、（1）证明：如图连接OD∵DE是O的切线⊥∴90∠=︒即OD DEODE∵AB BC=∴A C∠=∠∵OA OD=∴A ADO∠=∠∴C ADO∠=∠∴∥OD BC∴DF BC⊥；（2）设O的半径为r则OB OD r==∵3BE=∴3=+OE r在Rt DOE△中222DE=+=6OD DE OE∴()22263r r +=+ 解得： 4.5r =即O 的半径为4.5．8．（1）证明：连接并延长AO 交BC 于点F 连接OC 则OA OB OC ==∴1802AOB OAB OBA -∠∠=∠=1802AOC OAC OCA -∠∠=∠= ∵AB AC =∴ACB ABC ∵2AOB ACB ∠=∠ 2AOC ABC =∠∠ ∴AOB AOC ∠=∠∴18018022AOB AOC -∠-∠= ∴OAB OAC ∠=∠∴AF BC ⊥∵AE BC ∥∴90OAE AFB ∠=∠=︒∴OA 是O 的半径且AE OA ⊥ ∴AE 是O 的切线；（2）∵75ACB ABC ∠=∠=︒ ∴18030BAC ACB ABC ∠=︒-∠-∠=︒∴223060BOC BAC ∠=∠=⨯︒=︒ ∴BOC 是等边三角形 180120COD BOC ∠=︒-∠=︒ ∴2OC OA BC ===∴CD 的长为120π24π1803⨯= ∵AE 是O 的切线∴90OAE ∠=︒在Rt OAE △中 1302AOE BOF BOC ∠==∠=∠= ∴2OE AE =由勾股定理得：233AE =． 9．（1）解（1）BC 与O 相切理由如下：连接OD∵OA OD =∴OAD ODA ∠∠= 又∵AD 是ABC 的角平分线 ∴OAD CAD ∠∠=∴ODA CAD ∠∠=∴OD AC∴90ODB C ∠∠==︒∴OD BC ⊥∵OD 是O 的半径∴BC 与O 相切；（2）连接OE∵90ODB C ∠∠==︒ 30B ∠=︒ ∴60BOD BAC ∠∠==︒ ∵OA OE =∴OAE 是等边三角形 2AE = ∴2OA OE == 60AOE ∠=︒ ∴60EOD ∠=︒∴DE 的长为：6022=1803ππ⨯10．（1）解：连接BC ．OD ∥AC 90ACB ∠=︒ OD BC ∴⊥∴弧BD =弧CD 的长．（2）90ACB ∠=︒2222(25)68BC AB AC ∴=-=⨯-=．由（1）可知 OD BC ⊥ 118422CE BE BC ∴===⨯=．又OA BO =∴点E 和O 分别是BC 和AB 的中点 116322OE AC ∴==⨯=532DE OD OE ∴=-=-=． 90CED ∠=︒22224225CD CE DE ∴=+=+=．（3）连接OG 、BG 、BP ．设CAP α∠= 则2BAP α∠=． OA OG =2AGO BAP α∴∠=∠=． OD //ACAPO CAP α∴∠=∠=2GOP AGO APO ααα∴∠=∠-∠=-= 1110522GP GO AB ∴===⨯=．OP 垂直平分BC61BP CP ∴==．90BGP ∠=︒222612536BG BP GP ∴=-=-=22100368AG AB BG ∴=-=-=．11．解、（1）连接OC∵CP 与O 相切∴OC PC ⊥∴90PCB OCB ∠+∠=︒ ∵AB DC ⊥∴90∠+∠=︒PAD ADF ∵OB OC =∴OBC OCB ∠=∠由圆周角定理得：ADF OBC ∠=∠ ∴PCB PAD ∠=∠；（2）连接OD DB ，∵,,OB CD OF BF ⊥=∴,DO DB =∵OB OD =∴,OB OD DB ==∴ODB △是等边三角形 ∴60DOB ∠=︒∵AB DC ⊥∴DF FC =∵BF OF AB DC =⊥， ∴CFB DFO S S =△△∴260223603BOD S S ππ⨯===阴影部分扇形．12．（1）解：过点O 作OF AB ⊥∵BC 与O 相切∴OC BC ⊥∴90OCB OFB ∠=∠=︒ ∵AB CD∴CAB ACD ∠=∠ CDB ABD ∠=∠ ∵OC OD =∴OCD ODC ∠=∠∴CAB ABD ∠=∠∵CAB CBD ∠=∠∴CBD ABD ∠=∠∵OB OB =∴OCB OFB ≌∴OF OC =为O 的半径AB是O 的切线；）由（1）知：ABD +∠+∠30=︒OCB S S -解、（1）解：四边形是O 的内接四边形ACB +∠又ADB ∠+∠ADE ∴∠=∠DA 平分∠ADC ∴∠=∠ADC ∠=∠ADE ∴∠=即ABC ∠ABC ∴是等腰三角形；（2）解：连接6cm OB OC ∴==45BDC ∠=︒90BOC ∴∠=︒在Rt BOC 中由勾股定理得： 22226662cm BC BO CO =+=+= 设点O 到BC 的距离为h 1122BOC S BO CO BC h =⨯⨯=⨯⨯ 即11666222h ⨯⨯=⨯⨯解得：32h =∴点O 到BC 的距离为32cm ． 14．（1）证明：连接OA ∵=45ABC ∠︒∴290AOC ABC ∠=∠=︒ ∵AD OC ∥∴180AOC OAD ∠+∠=︒ ∴90OAD ∠=︒ 即OA AD ⊥ ∴AD 与O 相切；（2）解：①设O 的半径为r 则OA OC r == ∵2CE =∴2OE r =-∵=90AOC ︒∠∴222OE OA AE +=即()()222225r r -+= 解得：4r =或2r =-（舍去） ∴O 的半径4；②过点O 作OF AB ⊥于点F∵=90AOC ︒∠ OF AB ⊥ ∴1122AOE S OE OA AE OF =⋅=⋅ 则2425OF ⨯=解得：455OF = 根据勾股定理可得：22855=-=AF OA OF ∵OF AB ⊥∴16525AB AF ==． 15．（1）证明：连接OC 则：OB OC =∴OBC OCB∠=∠∵AB是直径∴90∠=︒ACB∴90∠+∠=︒A ABC∠=∠∵BCD A∴90DCB OCB∠+∠=︒即：90∠=︒OCD∴OC CD⊥∵OC是O的半径∴直线CD是O的切线；（2）∵120∠=︒90ACD∠=︒OCD∴30∠=︒OCA∵OA OC=∴30∠=∠=︒A OCA∴60∠=︒DOC∴30D∠=︒∴22==OD OC OA∵9=+=AD OA OD∴3OA=∵60∠=︒DOC∴120COA ∠=︒∴扇形OAC 的面积为212033360ππ⨯=．16．（1）证明：连结OD 如图BD 平分ABC ∠OBD EBD ∴∠=∠OB OD =ODB OBD ∴∠=∠ODB EBD ∴∠=∠OD BE ∴∥DE BE ⊥DE OD ∴⊥DE ∴是O 的切线；（2）解：8AB =4OA OB OD ∴===OD EF ⊥90ODF ∴∠=︒在Rt ODF △中30F ∠=︒28OF OD ∴==8412BF OF OB ∴=+=+= BE EF ⊥90E ∴∠=︒在Rt EFB △中 30F ∠=︒ 162BE BF ∴==．故答案为：6．。

中考专题复习——圆的相关证明(附答案)

中考复习专题——圆的相关证明题1．在⊙O 中，AB 为直径，C 为⊙O 上一点．（Ⅰ）如图①，过点C 作⊙O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若P ∠︒=42，求∠CAB 的大小；（Ⅱ）如图②，D 为上一点，且OD 经过AC 的中点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若∠CAB ︒=10，求∠P 的大小．2.已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点P ．（Ⅰ）如图①，连接AC ，BC ，若OB BP =，求A ∠和∠P 的大小；（Ⅱ）如图②，过点P 作⊙O 的切线PD ，切点为D ，连接CD ，BD ，若∠BDC ＝32°，求BDP ∠的大小．图①图②O B COB D CPE AC3.已知点A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，︒=∠120AOB . （Ⅰ）如图①，若AC =BC ，求C ∠和CAO ∠的大小；（Ⅱ）如图②，过点C 作⊙O 的切线，交BA 的延长线于点D ，若AC =AD ，求CAO ∠的大小.4.已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ．（Ⅰ）如图①，求证：AC 平分DAB ∠；（Ⅱ）如图②，过B 作BF AD ∥交⊙O 于点F ，连接CF ，若45AC =4DC =，求CF 和⊙O 半径的长． ABCDEO图①ABCDEO图②F5.已知，△DBC内接于⊙O，DB＝DC．（Ⅰ）如图①，过点B作射线BE交⊙O于点A，若∠EAD＝75°，求∠BDC的度数．（Ⅱ）如图②，分别过点B、点D作⊙O的切线相交于点E，若∠E=30°，求∠BDC的度数.①②6.已知P A，PB分别与⊙O相切于点A,B，PO交⊙O于点F，且其延长线交⊙O于点C，∠BCP=28°，E为CF上一点，延长BE交⊙O于点D.（Ⅰ）如图1，求∠CDB与∠APB的大小；（Ⅱ）如图2，当BC=CE时，求∠PBE的大小.7.在ABC △中90B ∠=︒D 为AC 上一点，以CD 为直径的⊙O 与AB 相切于点E ，与BC 相交于点F ，连接CE ．（Ⅰ）如图①，若27ACE ∠=︒，求A ∠和ECB ∠的大小；（Ⅱ）如图②，连接EF ，若//EF AC ，求A ∠的大小．8. 已知：在⊙O 中OA BC ⊥垂足为E ，点D 在⊙O 上．（Ⅰ）如图①若50AOB ∠=︒，求ADC ∠和∠CAO 的大小；（Ⅱ）如图②CD ∥AO ，过点D 作⊙O 的切线，与BC 的延长线相交于点P ，若26∠=︒ABC 求∠P 的大小．图①图②ABCF OED ABCOED F 图①O EDCBA图②POE DCBA9.如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，58ABC ∠=︒. （Ⅰ）如图①若85AEC ∠=︒，求BAD ∠和CDB ∠的大小；（Ⅱ）如图②若CD AB ⊥过点D 作⊙O 的切线DF ，与AB 的延长线相交于点F ，求F ∠的大小．10. 已知AB 是⊙O 的直径，CD 、CB 是⊙O 的弦，且AB CD ∥.（Ⅰ）如图①若25ABC ∠=︒，求BAC ∠和ODC ∠的大小；（Ⅱ）如图②过点C 作⊙O 的切线，与BA 的延长线交于点F 若OD CF ∥求ABC ∠的大小．图①图②EABO DCFE ABO DC图②图①11. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE 切⊙O 于点A ，AE 与直径BD 的延长线相交于点E ．（Ⅰ）如图①，若∠C =71°，求∠E 的大小；（Ⅱ）如图②，当AE =AB ，DE =2时，求∠E 的大小和⊙O 的半径．12. 已知DA 、DC 分别与⊙O 相切于点A 点C ，延长DC 交直径AE 的延长线于点P ．（Ⅰ）如图①若DC =PC ，求∠P 的度数；（Ⅱ）如图②在⊙O 上取一点B ，连接AB 、BC 、BE ，当四边形ABCD 是平行四边形时，求∠P 及∠AEB 的大小． OEEDCBAD O C BA图①图②DECAPOB图① 图②ECAPOD13.如图①，AB 是⊙O 的弦，OE ⊥AB ，垂足为P ，交AB 于点E ，且OP =3PE ，AB =74．（Ⅰ）求⊙O 的半径；（Ⅱ）如图②过点E 作⊙O 的切线CD ，连接OB 并延长与该切线交于点D ，延长OA 交CD 于C ，求OC 的长．图②图①EP A BCODP EOBA参考答案1.解：（Ⅰ）如图，连接OC∵ ⊙O 与PC 相切于点C ∴ OC PC ⊥，即90OCP ∠=︒ ∵ 42P ∠=︒∴ 9048COB P ∠=︒-∠=︒ 在Rt OPC △中，48CAB ACO COP ∠+∠=∠=︒ ∵OA =OC ∴∠CAB =∠ACO ∴ 24CAB ∠=︒（Ⅱ）∵ E 为AC 的中点∴ OD AC ⊥，即90AEO ∠=︒在Rt AOE △中，由10EAO ∠=︒得9080AOE EAO ∠=︒-∠=︒ ∴ 1402ACD AOD ∠=∠=︒∵ ACD ∠是ACP △的一个外角∴ 30P ACD CAP ∠=∠-∠=︒2. 解：（Ⅰ）如图①连接OC ∵PC 是⊙O 的切线∴︒=∠90OCP ∵OB BP =∴OB BC =∵OC OB =∴BOC ∆为等边三角形， ∴∠BOC=60° ∴︒=∠=∠3021BOC A ∠P=90°－∠COB ＝30°（Ⅱ）如图② 连接OC 、OD 设CD 交OP 于点E∵PC ，PD 是⊙O 的切线∴PD PC = ︒=∠=∠90ODP OCP ∵OD OC =∴OP 为CD 的垂直平分线 ∴︒=∠=∠90DEP CEP∵∠BDC ＝32°∴∠OBD ＝90°－∠BDC ＝58° ∵OB OD =∴∠ODB ＝∠OBD ＝58° ∴∠BDP ＝90°－58°＝32°3.解：（Ⅰ）∵︒=∠120AOB ∴∠ACB= 12 ∠AOB=60°如图① 连接OC∵AC =BC ∴∠AOC=∠BOC∵∠AOC+∠BOC +∠AOB=360° ∴∠AOC =12 （360°-120°）=120° ∵OA OC ∴∠CAO=∠ACO=12（180°-120°）=30°O AB PCOAB D CPE（Ⅱ）如图② 连接OC设∠ACD= x ∵ACAD ∴∠ACD =∠ADC= x∴∠CAB=2x ∵∠AOB=120°OAOB ∴∠OAB =∠OBA= 12（180°-120°）=30°∵CD 是⊙O 的切线∴∠OCD=90° ∵OAOC ∴∠OCA =∠OAC∴90°－x=2x －30° 解得x=40° ∴∠CAB=80°∴∠CAO=∠CAB －∠OAB =50°4.（Ⅰ）证明：连接OC ∵CD 为⊙的切线∴OC CD ⊥即90OCM OCD ∠=∠=︒ ∵AD CD ⊥垂足为D ∴90ADC ∠=︒ ∵90ADC OCM ∠=∠=︒∴OC AD ∥ ∴DAC ACO ∠=∠∵OC OA =∴CAO ACO ∠=∠∴DAC CAO ∠=∠∴AC 平分DAB ∠ （Ⅱ）解：连接AF 延长CO 交AF 于G ∵AB 为⊙的直径 ∴=90AFB ∠︒ ∵OC AD BF AD ∥，∥ ∴CO BF ∥∴90AFB AGC ∠=∠=︒ ∴OC AF ⊥由垂径定理可得AC=CF∴45AC CF == ∵90ADC ∠=︒22O O ABC DEOF GABCDEOM∴90ADC DCO AGC ∠=∠=∠=︒ ∴四边形ADCG 是矩形∴8AD CG == 4CD AG == 在Rt AGO 中，得222AG OG AO += 设OC x =则,8OA x OG x ==- 可得方程()22248x x +-=解得5x =． ∴⊙半径的长为545CF =．5.（Ⅰ）解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形∴∠DAB +∠C ＝180° ∵∠EAD +∠DAB ＝180° ∴∠C ＝∠EAD ∵∠EAD ＝75° ∴∠C ＝75° ∵DB ＝DC∴∠DBC ＝∠C ＝75°∴∠BDC ＝180°﹣∠C ﹣∠DBC ＝30°（Ⅱ）解：连结OB OD∵EB ED 与⊙O 相切于点B 点D∴ED OD ⊥⊥，EB OB ∴ ︒=∠︒=∠90ODE 90，OBE∵︒=∠+∠+∠+∠360BOD ODE E OBE ︒=∠30E ∴︒=∠150BOD∴︒=∠=∠7521BOD C ∵DB ＝DC ，∴∠DBC ＝∠C ＝75°，∴∠BDC ＝180°﹣∠C ﹣∠DBC ＝30° O6. （I ）解：连接OB∵P A 、PB 与圆O 相切于点A 点,B∴PO 平分∠APB 且∠PBO ＝90° ∵∠BCP ＝28°∴∠BOP ＝2∠BCP ＝28°×2＝56° ∴∠BPO ＝90°－∠BOP ＝90°－56°＝34° ∴∠APB ＝2∠BPO ＝2×34°＝68°又∠BDC ＝BOC ∠21＝)180(21BOP ∠- ∴∠BDC = 62)56180(21=-∴∠APB =68°∠BDC= 62 （II ）连接OB∵BC ＝CE ∴∠CBE ＝∠CEB∵∠BCP ＝28° ∴∠CBE ＝76228180=-∵OB ＝OC ∴∠OBC ＝∠OCB ＝28° ∴∠EBO ＝∠CBE －∠OBC ＝76°－28°＝48° ∵P A 与圆O 相切于点A∴OB ⊥PB ∴∠PBO ＝90°∴∠PBE ＝90°－ ∠EBO ＝90°－48°＝42°7.解：（Ⅰ）如图连接OE ．∵ AB 与⊙O 相切∴ OE AB ⊥，即90AEO ∠=︒ ∵ 27ACE ∠=︒∴ 254AOE ACE ∠=∠=︒ ∴ 9036A AOE ∠=︒-∠=︒ ∵ OE OC =∴ OEC OCE ∠=∠∵ 90B ∠=︒∴ //OE BC ∴ ECB OEC ∠=∠ ∴ 27ECB ∠=︒ （Ⅱ）如图，连接OE OF∵ //OE BC //EF AC ∴ 四边形OEFC 为平行四边形 ∴ OE CF = ∴ OC OF CF == ∴ 60ACB ∠=︒∴ 9030A ACB ∠=︒-∠=︒ABCOED F ABCF OED8. 解：（Ⅰ）∵OA BC ⊥ ∴AB AC = 90∠=︒AEC∴∠=∠ACB ADC ∵1252∠=∠=︒ACB AOB∴25∠=∠=︒ADC ACB9065∠=︒-∠=︒CAO ACB（Ⅱ）连接BD . 由OA BC ⊥知，90∠=∠=︒AEB BEO∴ 9064∠=︒-∠=︒OAB ABC ∵AO ∥CD ∴90∠=∠=︒BCD BEO ∴BD 是⊙O 的直径又PD 与⊙O 相切∴⊥BD PD . 即90∠=︒BDP∵=OA OB ∴64∠=∠=︒OBA OAB∴642636∠=∠-∠=︒-︒=︒CBD ABO ABC ∴9052∠=︒-∠=︒P CBD9. （Ⅰ）∵∠AEC 是ΔBEC 的一个外角 58ABC ∠=︒85AEC ∠=︒27C AEC ABC ∴∠=∠-∠=︒∵在⊙O 中BAD C ∠=∠27BAD ∴∠=︒ AB 为⊙O 的直径90ADB ∴∠=︒ ∵在⊙O 中58ADC ABC ∠=∠=︒ 又CDB ADB ADC ∠=∠-∠32CDB ∴∠=︒（Ⅱ）连接OD∵CD ⊥AB 90CEB ∴∠=︒．9032E E CB BC =-∴∠=∠︒︒∴264DOB DCB ∠=∠=︒ ∵DF 是⊙O 的切线∴90ODF ∠=︒90906426F DOB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒图②POE DCBA图①O E DCBA10. 解：（Ⅰ）如图连接OC ∵ AB 是⊙O 的直径 ∴ 90ACB ∠=︒∴ 90BAC ABC ∠+∠=︒由25ABC ∠=︒得65BAC ∠=︒又AB CD ∥得25ABC BCD ∠=∠=︒ ∵ OB OC = ∴ 25OCB ABC ∠==∠=︒ 则50OCD OCB BCD ∠=∠+∠=︒ 由OC OD =得50ODC OCD ∠=∠=︒（Ⅱ）如图，连接OC∵CF 切⊙O 于点C ∴OC FC ⊥则90OCF ∠=︒∵ OD CF ∥ ∴ 90DOC OCF ∠=∠=︒ 又OC OD =则45ODC OCD ∠==∠=︒ 由AB CD ∥得45BOD ODC ∠=∠=︒∴135BOC DOC BOD ∠=∠+∠=︒ ∵ OC OB = ∴22.5ABC OCB ∠=∠=︒11. 解：（Ⅰ）连接OA .∵AE 切⊙O 于点A ∴OA ⊥AE ，∴∠OAE =90° ∵∠C =71° ∴∠AOB =2∠C =2×71°=142° 又∵∠AOB +∠AOE =180° ∴∠AOE =38° ∵∠AOE +∠E =90° ∴∠E =90°﹣38°=52° （Ⅱ）连接OA 设∠E = x .∵AB =AE ∴∠ABE =∠E = x ∵OA =OB ∴∠OAB =∠ABO = x ∴∠AOE =∠ABO +∠BAO =2x∵AE 是⊙O 的切线∴OA ⊥AE ，即∠OAE =90°在△OAE 中∠AOE +∠E =90°即2x +x =90°解得30x =︒∴∠E =30° 在Rt △OAE 中OA =21OE∵OA =OD ∴OA =OD =DE∵DE =2∴OA =2即⊙O 的半径为212.解：（Ⅰ）∵DA 、DC 是⊙O 的切线 ∴DA ＝DC OA ⊥DA ∴∠DAO ＝90°∵DC =PC ∴DA ＝DC =PC ∵∠DAP ＝90° ∴sin P=DP AD =21∴∠P=30° （Ⅱ）连接OC 、AC∵DA ，DC 是⊙O 的切线 ∴DA ＝DC∵四边形ABCD 是平行四边形∴□ABCD 是菱形 ∴DA =DC =CB =AB ∠ABC =∠ADC ∵∠AOC =2∠ABC ∴∠AOC =2∠ADC∵DA 、DC 是⊙O 的切线∴OA ⊥AD OC ⊥DC ∴∠DAO ＝∠DCO ＝90°∵∠ADC +∠DCO+∠AOC +∠DAO =360° ∴∠ADC +∠AOC =180°∴3∠ADC ＝180°∴∠ADC ＝60°∴∠P ＝90°－∠ADC ＝30°，∠ABC =60°又AB =BC ∴△ABC 是等边三角形 ∴∠ACB ＝60° ∴∠AEB ＝∠ACB=60°13. 解：（Ⅰ）∵OE ⊥AB∴1272APAB 设PE =x 则OP =3x OA =OE =4x在Rt OAP △中222OA OP AP =+即2216928x x =+ 解得x =2（负舍）∴4x =8 ∴半径OA 为8 （Ⅱ）∵ CD 为⊙O 的切线 ∴OE ⊥CD又∵OE ⊥AB ∴AB //CD ∴34OA OP OCOE∴323OCECAPODB。

圆的证明题

圆的证明题一、已知圆O中，弦AB与弦CD相交于点P，且AP=PB，若∠APD=60°，则∠CPB等于多少？A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°（答案：D）二、在圆O内，弦AB的长度是弦CD长度的两倍，且AB与CD不相交，那么弦AB与弦CD 所对的圆心角的关系是？A. 相等B. 两倍关系C. 互补D. 无法确定（答案：D，因为不知道两弦的具体位置关系）三、圆O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，若AC=3，BC=4，则圆O的半径为？A. 3B. 4C. 5D. 7（答案：C，利用勾股定理）四、已知圆O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则过点P的弦中，最长的弦长为？A. 6B. 8C. 10D. 12（答案：C，过点P的最长弦是直径）五、在圆O中，弦AB与弦CD平行，且AB=2CD，那么弦AB与弦CD所对的弧的关系是？A. 相等B. 两倍关系C. 没有直接关系D. 互补（答案：C，平行弦所对的弧不一定有直接的长度关系）六、圆O中，弦AB与半径OC相交于点D，且OD=1/3OC，若∠ADO=30°，则∠BOC等于？A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°（答案：B，利用垂径定理和圆心角、弧、弦之间的关系）七、已知圆O的两条弦AB和CD相交于点E，且AE=CE，BE=DE，那么四边形ABCD是？A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 无法确定（答案：B，根据相交弦定理和给定条件）八、圆O中，弦AB的长度等于半径，弦CD是圆O的直径，那么弦AB与弦CD之间的夹角是？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°（答案：D，因为弦AB等于半径，所以△AOB是等边三角形，而弦CD是直径，所以∠AOC=90°，进而得出弦AB与弦CD之间的夹角为90°）。

初三中考冲刺——有关圆的证明题

__________________________________________________初三中考冲刺——有关圆的证明题1.如图，半径为25的⊙O 内有互相垂直的两条弦AB 、CD 相交于P 点．（1）求证：PA ·PB =PC ·PD ；（2）设BC 中点为F ，连接FP 并延长交AD 于E ，求证：EF ⊥AD ；（3）若AB =8，CD =6，求OP 的长．2.如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，点P 在O 上，1C ∠=∠．（１）求证：CB ∥PD ；（２）若3BC =，3sin 5P =，求O 的直径．3.已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，⊙O过D B C 、、三点，290DOC ACD ∠=∠=︒．（1）求证：直线AC 是⊙O 的切线；（2）如果75ACB ∠=︒，⊙O 的半径为2，求BD 的长．4.已知：如图，在△ABC 中，∠A =45°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，且AD =DC ，CO 的延长线交⊙O 于点E ，过点E 作弦EF ⊥AB ，垂足为点G . （1）求证：BC 是⊙O 的切线. 图DA CE FO P（第19题）ECO DBA1P5. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．6.如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点.过点D作⊙O的切线交AC边于点E.（1）求证：DE⊥AC；7.如图，△ABC 内接于⊙O ，6=AB ，4=AC ，D 是AB 边上一点，P 是优弧BAC 的中点，连结PA ，PB ，PC ，PD .（1）当BD 的长度为多少时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形？并证明；（2）若55cos =∠PCB ，求PA 的长.8.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AB CD ⊥于D,且AB=8,DB=2. （1）求证：△ABC ∽△CBD;（2）求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1，参考数据73.13,14.3≈≈π）.9. 如图，AB 是O ⊙的直径，D 是圆上一点，AD ＝DC ，连结AC ，过点D 作弦AC 的平行线.MN （1）求证：MN 是O ⊙的切线；（2）已知106AB AD ==，，求弦BC 的长.10.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=°，点E 在斜边AB 上，以AE 为直径的O ⊙与BC 相切于点.D（1）求证：AD 平分.BAC ∠ （2）若3 4.AC AE ==，①求AD 的值；②求图中阴影部分的面积.证明题训练二答案第1题答案.（1）∵∠A 、∠C 所对的圆弧相同，∴∠A ＝∠C ． ∴Rt △APD ∽Rt △CPB ，∴AP PDCP PB=，∴P A ·PB ＝PC ·PD ；（2）∵F 为BC 中点，△BPC 为Rt △，∴FP ＝FC ，∴∠C ＝∠CPF ．又∠C ＝∠A ，∠DPE ＝∠CPF ，∴∠A ＝∠DPE ．∵∠A ＋∠D ＝90°， ∴∠DPE ＋∠D ＝90°．∴EF ⊥AD ．（3）作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N ，由垂径定理： ∴OM 2＝（25）2－42＝4，ON 2＝（25）2－32＝11 又易证四边形MONP 是矩形， ∴OP ＝2215OM ON +=第2题答案.解：（1）证明：∵BD BD =， ∴C P ∠=∠．……2分又∵1C ∠=∠，∴1P ∠=∠． ……4分 ∴CB ∥PD ． ……5分 (2)连接AC . ∵AB 为O 的直径， ∴90ACB ∠=． ……7分又∵CD AB ⊥， ∴BC BD =．∴A P ∠=∠． ∴sin sin A P =． …………9分在Rt △ABC 中,sin BCA AB=，∵3sin 5P =，∴35BC AB = ．∵3BC = ， ∴5AB =．即O 的直径为５. …………11分第3题答案.（1）证明：∵ OD OC =，90DOC ∠=︒，∴ 45ODC OCD ∠=∠=︒． ∵ 290DOC ACD ∠=∠=︒， ∴ 45ACD ∠=︒．∴ 90ACD OCD OCA ∠+∠=∠=︒． ∵ 点C 在⊙O 上，∴ 直线AC 是⊙O 的切线．2分（2）解：∵ 2OD OC ==，90DOC ∠=︒，可求 22CD =．∵ 75ACB ∠=︒，45ACD ∠=︒， ∴ 30BCD ∠=︒．作DE BC ⊥于点E ． ECO DBA1P第19题图∵ 45B ∠=︒， ∴ 2DB =． 5分第4题答案. （1）证法一、连接OD ，则OD =OA ………………………（1分） ∴∠ADO = ∠A =45° ∴∠AOD =180°-45°-45°=90° ∵O 为AB 中点，D 为AC 中点∴OD ∥BC ∴∠ABC =∠AOD =90°∴直径AB ⊥BC∴BC 是⊙O 的切线 ……………………………（5分）证法二、连接BD ……………………………（1分） ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB =90°又∵AD =DC ，∴AB =CB ∴∠ACD =∠CAB =45° ∴∠ABC =180°-∠ACB -∠CAB =90° 又∵AB 为AB 是⊙O 的直径∴BC 是⊙O 的切线 …………………………… （5分）（2）解：在Rt △ABC 中，BC =AB ·tan ∠A =2×tan45°=2在Rt △OBC 中，∴OC =22BC OB +=2221+=5 ……………（7分）∵AB ⊥EF ∴∠EGO =90° ∴∠EGO =∠ABC 又∠EOG =∠COB∴△OEG ∽△OCB …………………………（8分） ∴BC EG =OCOE∴2EG =51EG =525∵直径AB ⊥EF ∴EF =2EG =545 ………………………… （10分）第5题答案.（1）证明：连接OE ，------------------------------1分∵AB =AC 且D 是BC 中点，∴AD ⊥B C ．∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠DAE ．------------------------------3分 ∵OA =OE ， ∴∠OAE =∠OEA ． ∴∠OEA =∠DAE ． ∴OE ∥AD ． ∴OE ⊥BC ．∴BC 是⊙O 的切线．---------------------------6分（2）∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°．----------------------------7分 ∴∠EOB =60°．------------------------------8分 ∴∠EAO =∠EAG =30°．-------------------9分 ∴∠EFG =30°．------------------------------10分第6题答案.（1）证明：连接OD∵DE 为⊙O 的切线，∴OD ⊥DE …………………………2分 ∵O 为AB 中点，D 为BC 中点，∴OD ∥AC ……………………………………………………3分 ∴DE ⊥AC ……………………………………………………4分（2）过O 作OF ⊥BD ，则BF =FD ……………………………………………………………5分在Rt △BFO 中，∠B =30°， ∴OF =21OB ，BF = 23OB …………………………………………………………………7分∵BD =DC ，BF =FD ， ∴FC =3BF =233OB …………………………………………………………………………8分在Rt △OFC 中，tan ∠BCO =OF FC =13293333OBOB == ………………………………………………10分第7题答案. 解：∵P 是优弧BAC 的中点， ∴PC PB =∵4=BD ，4=AC ∴AC BD =又PCA PBD ∠=∠ ∴△PBD ≌△PCA∴PA PD =即△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形………………（4分）（2）由（1）可知：当4=BD 时，PA PD =，2=-=BD AB AD ，过P 作AD PE ⊥，垂足为E ，则121==AD AE ， ………（6分）∵PAC PB 弧弧=， ∴PAD PCB ∠=∠，∴55cos cos ==∠=∠PA AE PAD PCB ， ………………(8分) ∴5=PA . ……………………(9分)第8题答案.（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90,又AB CD ⊥，∴∠CDB=90……………………1分在△ABC 与△CBD 中，∠ACB=∠CDB=90,∠B=∠B, ∴△ABC ∽△CBD ……………………………3分 (2)解：∵△ABC ∽△CBD ∴.CBABDB CB = ∴AB DB CB ⋅=2∵AB=8,DB=2, ∴CB=4. 在Rt △ABC 中，,34166422=-=-=BC AB AC …………4分∴383442121=⨯⨯=⨯=∆AC CB S ABC …………………………5分 ∴3.1128.11)3(84212≈=-=-⨯=∆ππABC S S 阴影部分…………6分第9题答案.（1）证明：连结OD ，交AC 于E ，如图所示，∵AD ＝DC ，∴OD ⊥AC ，…………………………………………………………………2分又∵AC ∥MN ，∴OD ⊥MN ，…………………………………………………………………3分 ∴MN 是⊙O 的切线. ………………………………………………………………………4分（2）解：设OE ＝x ，∵AB ＝10，∴OA =5，ED ＝5－x ，又∵AD =6在Rt OAE △和Rt DAE △中， ∵22222OA OE AE AD ED -==-， ∴52－x 2＝62－（5－x ）2，解得：7.5x =..……………………………………………………………………………7分 ∵AB 是⊙O 的直径，∴90ACB ∠=°，∴.OD BC ∥ ∴OE 是△ABC 的中位线，∴BC ＝2OE ＝2⨯75＝145………………………………………………………10分第10题答案.（1）证明：连接OD ，则OA OD =，DAO ODA ∴∠=∠. 1分BC 是O ⊙的切线， .OD BC ∴⊥AC BC OD AC ∴⊥，∥，2分 .CAD ODA ∴∠=∠DAO CAD AD ∴∠=∠∴，平分.BAC ∠4分（2）①连结ED ，AE 为直径，90ADE C ∴∠=∠=°．又由（1）知DAO CAD ADE ACD ∠=∠∴，△∽△，6分 AD ACAE AD∴=， 7分34AC AE ==，，23412AD AE AC ∴==⨯=·， 1223AD ∴==．8分②在中，233cos AD DAE ∠===，30DAE ∴∠=°．9分120 2.AOD DE ∴∠==°，111222AOD ADE S S AD DE ∴==⨯=△△·10分2120π24π.3603AOD S ⨯=扇形=11分4π3AOD AOD S S S ∴-=-△阴影扇形= 12分。

2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算（含答案解析）类型一基本性质有关的1.(2022·湖南省郴州市)如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．(1)求证：直线PE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为6，∠P=30°，求CE的长．【答案】(1)连接OD，根据AB=AC，OB=OD，得∠ACB=∠ODB，从而OD//AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切线；(2)连接AD，连接OD，由DE⊥AC，∠P=30°，得∠PAE=60°，又AB=AC，可得△ABC 是等边三角形，即可得BC=AB=12，∠C=60°，而AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，可得BD=CD=12BC=6，在Rt△CDE中，即得CE的长是3．本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定△ABC是等边三角形．2.(2022·辽宁省盘锦市)如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE//AD与BA的延长线交于点E．(1)求证：CE与⊙O相切；(2)若AD=4，∠D=60°，求线段AB，BC的长．【答案】(1)连接OC，根据圆周角定理得∠AOC=90°，再根据AD//EC，可得∠OCE=90°，从而证明结论；(2)过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD=90°，又AD=4，60°，即得AB=3BD=23，根据∠ABC=45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF=BF=2AB= 6，又△AOC是等腰直角三角形，OA=OC=2，得AC=22，故CF=AC2−AF2=2，从而BC=BF+CF=6+2．本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．3.（2021·山东临沂市·中考真题）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点AB BC CDE．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD ，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD ，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF ≌△BCF ，得到DE=BC ，证明四边形BCDE 为平行四边形，再根据 BCCD =得到BC=CD ，从而证明菱形．【详解】解：（1）连接BD ，∵ AB BCCD ==，∴∠ADB=∠CBD ，∴AD ∥BC ；（2）连接CD ，∵AD ∥BC ，∴∠EDF=∠CBF ，∵ BCCD =，∴BC=CD ，∴BF=DF ，又∠DFE=∠BFC ，∴△DEF ≌△BCF （ASA ），∴DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，又BC=CD ，∴四边形BCDE 是菱形．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF ．4.（2021·四川南充市·中考真题）如图，A ，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C ，使BC OB =，连接AC ．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D ，E 分别是AC ，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F ，G ，4OA =，求GF 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先证得△AOB 为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论；（2）过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N ，利用勾股定理得出AC=30°的直角三角形的性质得出DN ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF 的长．【详解】（1）证明：∵AB=OA ，OA=OB∴AB=OA=OB∴△AOB 为等边三角形∴∠OAB=60°，∠OBA=60°∵BC=OB∴BC=AB∴∠C=∠CAB又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB∴∠C=∠CAB=30°∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°∴AC 是⊙O 的切线；（2）∵OA=4∴OB=AB=BC=4∴OC=8∴AC=∵D 、E 分别为AC 、OA 的中点，∴OE//BC ，DC=过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N则四边形OMDN 为矩形∴DN=OM在Rt △CDN 中，∠C=30°，∴DN=12DC=∴OM=3连接OG ，∵OM ⊥GF∴GF=2MG=222OG OM -=()22243-=213【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．5.（2021·安徽中考真题）如图，圆O 中两条互相垂直的弦AB ，CD 交于点E ．（1）M 是CD 的中点，OM ＝3，CD ＝12，求圆O 的半径长；（2）点F 在CD 上，且CE ＝EF ，求证：AF BD ⊥．【答案】（1）35；（2）见解析．【分析】（1）根据M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线可得OM CD ⊥，OM 平分CD ，则有6MC =，利用勾股定理可求得半径的长；（2）连接AC ，延长AF 交BD 于G ，根据CE EF =，AE FC ⊥，可得AF AC =，12∠=∠，利用圆周角定理可得2D ∠=∠，可得1D ∠=∠，利用直角三角形的两锐角互余，可证得90AGB ∠=︒，即有AF BD ⊥．【详解】（1）解：连接OC ，∵M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线∴OM CD ⊥，OM 平分CD ，90OMC ∴∠=︒12CD = 6MC ∴=．在Rt OMC △中．OC ===∴圆O 的半径为（2）证明：连接AC ，延长AF 交BD 于G ．CE EF = ，AE FC⊥AF AC∴=又CE EF= 12∠∠∴= BCBC = 2D∴∠=∠1D∴∠=∠中在Rt BED∠+∠=︒90D B∴∠+∠=︒B190AGB∴∠=︒90∴⊥AF BD【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键．∠是 AD所对的圆周角，6.（2021·浙江中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，ACD∠=︒．30ACD∠的度数；（1）求DABAB=，求DF的（2）过点D作DE AB⊥，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若4长．【答案】（1）60︒；（2）23【分析】（1）连结BD ，根据圆周角性质，得B ACD ∠=∠；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；（2）根据含30°角的直角三角形性质，得12AD AB =；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）连结BD ，30ACD ∠=︒30B ACD \Ð=Ð=°AB Q 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，9060DAB B ∴∠=︒-∠=︒（2）90ADB ∠=︒ ，30B ∠=︒，4AB =∴122AD AB ==60DAB ∠=︒ ，DE AB ⊥，且AB 是直径sin 60EF DE AD︒∴===2DF DE =∴=．【点睛】本题考查了圆、含30°角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含30°角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．7.（2021·湖南中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）5CE =．【分析】（1）连接OD ，由点D 是 BC的中点得OD ⊥BC ，由DE//BC 得OD ⊥DE ，由OD 是半径可得DE 是切线；（2）证明△ODE 是等腰直角三角形，可求出OE 的长，从而可求得结论．【详解】解：（1）连接OD 交BC 于点F ，如图，∵点D 是 BC的中点，∴OD ⊥BC ，∵DE//BC∴OD ⊥DE∵OD 是O 的半径∴直线DE 与O 相切；（2）∵AC 是O 的直径，且AB=10,∴∠ABC=90°，152OC OA AB ===∵OD ⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB 45BAC ∠=︒∴45DOE ∠=︒∵90ODE ∠=︒∴45OED ∠=∴5DE OD OC ===由勾股定理得，OE =∴5CE OE OC =-=．【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键．8.（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，在Rt AOB 中，90∠=︒ABO ，30OAB ∠=︒，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交BO 的延长线于点C ，过点C 作OA 的平行线，交O 于点D ，连接AD ．（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若2OB =，求弧CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）23π【分析】（1）连接OB ，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可得60AOD ∠=︒，再证明AOB AOD △≌△可得90ADO ABO ∠=∠=︒即可；（2）先求出∠COD ，然后再运用弧长公式计算即可．【详解】（1）证明：连接OD∵30OAB ∠=︒，90B ∠=︒∴60AOB ∠=︒又∵//CD AO∴60C AOB ∠=∠=︒∴2120BOD C ∠=∠=︒∴60AOD ∠=︒又∵,OB OD AO AO==∴()AOB AOD SAS ≌∴90ADO ABO ∠=∠=︒又∵点D 在O 上∴AD 是O 的切线；（2）∵120BOD ∠=︒∴60COD ∠=︒∴602223603l ππ=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键．9.（2020•齐齐哈尔）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两个点，AC=CD =DB ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若直径AB ＝6，求AD 的长．【分析】（1）连接OD ，根据已知条件得到∠BOD =13×180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OD，=CD =DB ，∵AC∴∠BOD=13×180°＝60°，=DB ，∵CD∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD=12AB＝3，∴AD=62−32=33．10.（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．【分析】（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长．【解析】（1）证明：连接AC、OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC=102−62=8，∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵12CD•AE=12AC•CE，∴CD=6×810=245．11.（2020•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝83，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解．【解析】证明：（1）连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB=AB AD==83，∴AD=∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF=EF AF=3，∴EF=3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43．类型二与三角形全等、相似有关的12.(2022·辽宁省营口市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．(1)求证：∠D=∠EBC；(2)若CD=2BC，AE=3，求⊙O的半径．【答案】(1)根据切线的性质可得∠DAO=90°，从而可得∠D+∠ABD=90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC=90°，从而可得∠ACB+∠EBC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；(2)根据已知可得BD=3BC，然后利用(1)的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB=3EC，然后根据AB=AC，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．13.（2022·北部湾）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若AE DE=23，AF=10，求⊙O的半径.【答案】（1）证明：连接OD；∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线（2）解：连接CF，由（1）知OD⊥DE，∵DE⊥AB，∴OD∥AB，∵OA=OC，∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线，∵AC是⊙O的直径，∴∠CFA=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠CFA=∠BED=90°，∴DE∥CF，∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线，∴CF=2DE，∵AE DE=23，∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，∵AF=10，∴BE=EF=AE+AF=2k+10，∴AC=BA=EF+AE=4k+10，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，∴AC=4k+10=4×4+10=26，∴OA=13，即⊙O的半径为13.【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ODC ，∠B=∠C ，则∠B=∠ODC ，推出OD ∥AB ，由平行线的性质可得∠ODE=∠DEB=90°，即DE ⊥OD ，据此证明；（2）连接CF ，由（1）知OD ⊥DE ，则OD ∥AB ，易得OD 是△ABC 的中位线，根据圆周角定理可得∠CFA=90°，根据垂直的概念可得∠BED=90°，则DE ∥CF ，推出DE 是△FBC的中位线，得CF=2DE ，设AE=2x ，DE=3k ，CF=6k ，则BE=EF=2k+10，AC=BA=4k+10，根据勾股定理可得k 的值，然后求出AC 、OA ，据此可得半径.14.（2021·江苏无锡市·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 是O 的直径，AC 与BD 交于点E ，PB 切O 于点B ．（1）求证：PBA OBC ∠=∠；（2）若20PBA Ð=°，40ACD ∠=︒，求证：OAB CDE V V ∽．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知∠ABC=90°，由切线的性质可知∠OBP=90°，进而即可得到结论；（2）先推出20OCB OBC ∠=∠=︒，从而得∠AOB=40°，继而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，进而即可得到结论．【详解】证明：（1）∵AC 是O 的直径，∴∠ABC=90°，∵PB 切O 于点B ，∴∠OBP=90°，∴90PBA ABO OBC ABO ∠+∠=∠+∠=︒，∴PBA OBC ∠=∠；（2）∵20PBA Ð=°，PBA OBC ∠=∠，∴20OBC ∠=︒，∵OB=OC ，∴20OCB OBC ∠=∠=︒，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA ，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=12∠AOB=20°，∵AC 是O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB ，∵40ACD ∠=︒，∴40ACD AOB ∠=∠=︒，∴OAB CDE V V ∽．【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质定理，是解题的关键．15.（2020•衢州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，AC ＝6，连结OC ，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出CE AC=AC AB，求出EC即可解决问题．【解析】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，=CD ，∴AC∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CE AC=AC AB，∴CE6=610，∴CE＝3.6，∵OC=12AB＝5，∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．16.（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D 是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA=BC AC=tan∠BCE=BE CE=12，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BC AC=CD AD=12，∵AD＝8，∴CD＝4．17.（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC=325，根据勾股定理得到CD=AD2−AC2==根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴AE AD=AD AC，108=8AC，∴AC=325，∴CD=AD2−AC2==245，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴OD AC=BD BC，∴5325=BD BD+245，∴BD=1207．18.（2020•遵义）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC 于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【解析】（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BA=BF BD，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝23．19.（2019•陕西）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO，∴DC∥AP；（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴延长AO交DC于点E，则AE⊥DC，OE=12BC，CE=12CD，在Rt△AOP中，OP=62+82=10，由（1）知，△AOP∽△CBD，∴DB OP=BC OA=DC AP，即1210=BC6=DC8，∴BC=365，DC=485，∴OE=185，CE=245，在Rt△AEC中，AC=AE2+CE2==20（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC 是O 的切线：（2）若2,33OA BE OD ==，求DA 的长．【答案】（1）见解析；（2）910【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC 是圆O 的切线；（2）根据已知得到OA=2DA ，证明△DCO ∽△DEB ，得到DO CO DB EB =，可得DA=310EB ，即可求出DA 的长．【详解】解：（1）如图，连接OC ，由题意可知：∠ACB 是直径AB 所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC ，OB 是圆O 的半径，∴OC=OB ，∴∠OCB=∠ABC ，又∵∠DCA=∠ABC ，∴∠DCA=∠OCB ，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC ⊥DC ，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB+===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．21.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =，60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）π-【分析】（1）过点B 作BF ⊥CD ，证明△ABD ≌△FBD ，得到BF=BA ，即可证明CD 与圆B 相切；（2）先证明△BCD 是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD ，再利用S △ABD -S 扇形ABE 求出阴影部分面积．【详解】解：（1）过点B 作BF ⊥CD ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ，∴∠ADB=∠CDB ，又BD=BD ，∠BAD=∠BFD=90°，∴△ABD ≌△FBD （AAS ），∴BF=BA ，则点F 在圆B 上，∴CD 与圆B 相切；（2）∵∠BCD=60°，CB=CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD=60°∵BF ⊥CD ，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=，∴AD=DF=tan30AB ⋅︒=2，∴阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形ABE=(230122360π⨯⨯⨯-=π-．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．22.（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC 于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AE BC=AD DC=23，推出AO OH=AE BH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．【解析】（1）证明：连接OA．A∵AB＝AC，=AC ，∴AB∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C ＝4∠ABD ，∵∠DBC+∠C+∠CDB ＝180°，∴10∠ABD ＝180°，∴∠BCD ＝4∠ABD ＝72°．③若DB ＝DC ，则D 与A 重合，这种情形不存在．综上所述，∠C 的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE ∥BC 交BD 的延长线于E ．则AE BC =AD DC =23，∴AO OH =AE BH =43，设OB ＝OA ＝4a ，OH ＝3a ，∵BH 2＝AB 2﹣AH 2＝OB 2﹣OH 2，∴25﹣49a 2＝16a 2﹣9a 2，∴a 2=2556，∴BH =∴BC ＝2BH =23.（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC是O的切线：（2）若2,33OA BEOD==，求DA的长．【答案】（1）见解析；（2）9 10【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线；（2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到DO CODB EB=，可得DA=310EB，即可求出DA的长．【详解】解：（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC，OB是圆O的半径，∴OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，又∵∠DCA=∠ABC，∴∠DCA=∠OCB，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC⊥DC，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB +===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．类型三与锐角三角函数有关24.(2022·辽宁省铁岭市)如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．(1)求证：BF与⊙O相切；(2)若AP=OP，cosA=45，AP=4，求BF的长．【答案】(1)连接OB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°，从而可得∠ABD=90°，进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得BF=EF=12AD，然后利用等腰三角形的性质可得∠FEB=∠FBE，从而可得∠FBE=∠AEP，最后根据垂直定义可得∠EPA=90°，从而可得∠A+∠AEP=90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA，从而可得∠OBA+∠FBE= 90°，进而可得∠OBF=90°，即可解答；(2)在Rt△AEP中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出PE的长，然后利用同角的余角相等可得∠AEP=∠C，从而可证△APE∽△DPC，进而利用相似三角形的性质可求出DP的长，最后求出DE的长，即可解答．本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键．25.(2022·四川省广安市)如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD ，∠BDC =∠BAD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线．(2)若tan∠BED =23，AC =9，求⊙O 的半径．【答案】（1）连接OD ，由圆周角定理得出∠ADB =90°，证出OD ⊥CD ，由切线的判定可得出结论；(2)证明△BDC∽△DAC ，由相似三角形的性质得出CD AC =BC CD =BD DA =23，由比例线段求出CD 和BC 的长，可求出AB 的长，则可得出答案．本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．26.（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）=2BG 【分析】（1）连接OE ，证明OE ⊥EF 即可；（2）由3sin 5F =证得4sin 5G =，运用正弦的概念可得结论．【详解】解：（1）证明：连接OE ，如图，∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA ．∵EF=PF ，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF ，∴∠APH=∠EPF ，∴∠AEF=∠APH ．∵CD ⊥AB ，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE ⊥EF ．∵OE 是O 的半径∴EF 是圆的切线，（2）∵CD ⊥AB∴FHG ∆是直角三角形∵3sin 5F =∴35GH FG =设3GH x =，则5FG x=由勾股定理得，4FH x=由（1）得，OEG ∆是直角三角形∴4sin 5OE FH x G OG FG x===∴45OE OG =，即45OE OE BG =+∵8OE =∴8485BG =+解得，2BG =【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键．27.（2022·黔东南）（1）请在图中作出△ABC 的外接圆⊙O （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；的中点，过点B的（2）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是CE切线与AC的延长线交于点D.①求证：BD⊥AD；②若AC=6，tan∠ABC=34，求⊙O的半径.【答案】（1）解：如下图所示（2）解：①如下图所示，连接OC、OB∵BD是⊙O的切线∴OB⊥BD对应的圆周角，∠COE是CE 对应的圆心角∵∠CAE是CE∴∠COE=2∠CAE的中点∵点B是CE∴∠COE=2∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴AD//OB∴BD⊥AD②如下图所示，连接CE对应的圆周角∵∠ABC与∠AEC是AC∴∠ABC=∠AEC∵AE是⊙O的直径∴∠ACE=90°∴tan∠AEC=AC CE=34∴CE=8∵AE2=CE2+AC2∴AE=10∴⊙O的半径为5.【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质；解直角三角形；作图-线段垂直平分线【解析】【解答】（1）∵△ABC的外接圆⊙O的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到△ABC 的外接圆；【分析】（1）利用尺规作图分别作出AC，AB的垂直平分线，两垂直平分线交于点O，然后以点O为圆心，OB的长为半径画圆即可.（2）①连接OC，OB，利用切线的性质可证得OB⊥BD，利用圆周角定理可证得∠COE=2∠CAE，由点B是弧CE的中点，可推出∠CAE=∠BOE，利用平行线的判定定理可证得AD∥OB，由此可证得结论；②连接CE，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ABC=∠AEC，利用直径所对的圆周角是直角，可推出∠ACE=90°；再利用解直角三角形求出CE的长，利用勾股定理求出AE的长.28.（2022·鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D.（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝4，tanA＝12，求△OCD的面积.【答案】（1）解：PC与⊙O相切，理由如下：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCB+∠OCA=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠PCB=∠OAC，∴∠PCB=∠OCA，∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，∴PC与⊙O相切（2）解：∵∠ACB=90°，tanA=12，∴BC AC=12，∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC PA=PB PC=BC CA=12，∴PA=8，PB=2，∴AB=6，∴OC=OB=3，∴OP=5，∵BC∥OD，∴△PBC∽△POD，∴PB OP=PC PD，即25=4PD，∴PD=10，∴CD=6，∴S△OCD=12OC⋅CD=9【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）由圆周角定理得∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，结合∠PCB=∠OAC得PCB=∠OCA，结合∠OCB+∠OCA=90°可得∠PCO=90°，据此证明；（2）根据三角函数的概念可得BC AC=12，易证△PBC∽△PCA，根据相似三角形的性质可得PA、PB，然后求出AB、OP，证明△PBC∽△POD，根据相似三角形的性质可得PD，由PD-PC=CD可得CD，然后根据三角形的面积公式进行计算.29.（2022·毕节）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F.（1）求证：BF=BD；（2）若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O直径.【答案】（1）证明：连接OE，如下图所示：∵AC为圆O的切线，∴∠AEO=90°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴OE∥BC，∴∠F=∠DEO，又∵OD=OE，∴∠ODE=∠DEO，∴∠F=∠ODE，∴BD=BF.（2）解：连接BE，如下图所示：由(1)中证明过程可知：∠EDB=∠F，。

中考数学总复习《圆的切线证明》专题训练(附带答案)

中考数学总复习《圆的切线证明》专题训练（附带答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________⊥于点D，E是AC上一点，以BE为直径的O交1．如图，在ABC中，AB=AC，AD BC∠=︒．BC于点F，连接DE，DO，且90DOB(1)求证：AC是O的切线；(2)若1DF=，DC=3，求BE的长．、2．如图，在O中，BC为非直径弦，点D是BC的中点，CD是ABC的角平分线．∠=∠；(1)求证：ACD ABC(2)求证：AC是O的切线；(3)若1BD=，3BC=时，求弦BD与BD围城的弓形面积．是O的切线；=，且AC BD已知等腰ABC，AB=AC为直径作O交BC于点延长线于点F．是O的切线；CD=2，求O的半径．与O相离，，交O于点A是O上一点，连于点C，且PB(1)求证：PB是O的切线；(2)若25AC=，OP=5，求O的半径．6．如图，点O是ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作O，与BC相切于点E，连接OB，OE，O交OB于点D，连接AD并延长交CB的延长线于点F，且AOD EOD．∠=∠(1)求证：AB是O的切线；BC=，AC=8，求O的半径．(2)若107．如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的弦．(1)尺规作图：过点C 作O 的切线，交AB 的延长线于点D （保留作图痕迹，不写作法）；(2)若2BD OB ==，求AC 的长．8．如图，ABCD 的顶点,,A B C 在O 上，AC 为对角线，DC 的延长线交O 于点E ，连接,,OC OE AE ．(1)求证：AE BC =；(2)若AD 是O 的切线6,40OC D =∠=︒，求CE 的长．9．如图，Rt ABC △中90C ∠=︒，点E 为AB 上一点，以AE 为直径的O 上一点D 在BC 上，且AD 平分BAC ∠．(1)证明：BC 是O 的切线；(2)若42BD BE ==，，求AB 的长．10．如图，已知O 的弦AB 等于半径，连接OA 、OB ，并延长OB 到点C ，使得BC OB =，连接AC ，过点A 作AE OB ⊥于点E ，延长AE 交O 于点D ．(1)求证：AC 是O 的切线；(2)若6BC =，求AD 的长．11．如图，线段AB 经过O 的圆心.O 交O 于A ，C 两点，AD 为O 的弦，连接BD ，30A ABD ∠=∠=︒连接DO 并延长交O 于点E ，连接BE 交O 于点F ．(1)求证：BD 是O 的切线；(2)若1BC =，求BF 的长．12．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点,CD BD ABC CBD ⊥∠=∠．(1)求证：CD 为O 的切线．(2)当1,4BD AB ==时，求CD 的长．13．如图已知AB 是O 的直径 BC AB ⊥于B E 是OA 上的一点ED BC ∥交O 于D OC AD ∥ 连接AC 交ED 于F ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若8AB = 1AE = 求ED EF 的长．14．如图 AB 是O 的直径 AC BC ，是弦点D 在AB 的延长线上且DCB DAC ∠=∠ O 的切线AE 与DC 的延长线交于点E ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若O 的半径为2 30D ∠=︒ 求AE 的长．15．如图已知AB 是O 的直径点P 在BA 的延长线上弦BC 平分PBD ∠且BD PD ⊥于点D ．(1)求证：PD 是O 的切线．(2)若8cm 6cm AB BD ，求弧AC 的长．为O的直径在O上连接的延长线交于E．是O的切线；∠tan BDF为O的直径的平分线交O于点E BC的延长线于点(1)求证：DE 为O 切线；(2)若10AB = 6BC = 求DE 的长．18．如图 O 是ABC 的外接圆点D 在BC 延长线上且满足CAD B ∠=∠．(1)求证：AD 是O 的切线；(2)若AC 是BAD ∠的平分线 3sin 5B =4BC = 求O 的半径．参考答案：1．【分析】此题重点考查圆周角定理切线的判定定理勾股定理三角形的中位线定理等腰三角形的“三线合一” 线段的垂直平分线的性质等知识正确地作出辅助线是解题的关键．是O的切线；+=314是O的直径90︒则22BE=+4(22)⊥AD BC是O的半径是O的切线．）连接EFDC=DF33+=+BD DF∠OE DOBDE=．3是O的直径90︒．中EF=中BE=(3)23312π- 【分析】此题考查了解直角三角形切线的判定以及扇形的面积．注意掌握辅助线的作法．（1）点D 是BC 的中点可以得到BD CD = 即可得到DBC DCB ∠∠= 再根据角平分线的定义得到ACD BCD ∠∠= 进而得到结论；（2）连接OC OD OB 则可得到OD BC ⊥ 然后根据等边对等角可以得到90OCD ACD ∠∠+=︒ 即可得到结论（3）先求出60ODB ∠=︒ 继而利用OBD OBD S S S=-阴影部分扇形求得答案．【详解】（1）解：如图 ∵点D 是BC 的中点∵BD CD =∵DBC DCB ∠∠=又∵CD 是ABC 的角平分线∵ACD BCD ∠∠=∵ACD ABC ∠∠=；（2）证明：如图连接OC OD OB∵点D 是BC 的中点∵OD BC ⊥∵90ODC BCD ∠∠+=︒∵OD OC =∵ODC OCD ∠∠=又∵ACD BCD ∠∠=∵90OCD ACD ∠∠+=︒即OC AC ⊥∵OC 是O 的半径∵AC 是O 的切线；Rt BDE 中 ODB ∠=60ODB =︒OB OD =∵OBD 是等边三角形BOD ∠=OBD S S==阴影部分．(1)见解析(2)23进而得出BFG 是等边三角形是O 的切线；）解：如图所示∵OD AC ⊥∵AD CD =∵BD AC =∵BD AC =∵AD BC =∵AD CD BC ==；∵AB 为半圆O 的直径∵90CAB CBA ∠+∠=︒∵30DAC CAB ABD ∠=∠=∠=︒∵60GBF G ∠=∠=︒ 12GB AG =∵BFG 是等边三角形 223AB AG BG BG =-=∵3233BF BG AB ===．【点睛】本题考查了切线的判定弧与弦的关系直径所对的圆周角是直角勾股定理等边三角形的性质与判定垂径定理熟练掌握以上知识是解题的关键．4．(1)证明(2)233【分析】本题主要考查切线的性质和判定及特殊角的三角函数的应用掌握切线问题中的辅助线的作法是解题的关键．（1）连接OD 证明ODB C ∠=∠ 推出AC OD ∥ 即可证明结论成立；（2）连接AD 在Rt CED 中求得利用三角形函数的定义求得30C ∠=︒ 60AOD ∠=︒ 在Rt ADB 中利用勾股定理列式计算求得圆的半径即可．【详解】（1）证明：连接OD又OB OD=B ODB∴∠=∠ODB∴∠=∠AC OD∥DF AC⊥OD DF∴⊥DF∴是O的切线；（2）连接AD设O半径为Rt CED中3,CE CD=22ED CD∴=-又cosCE CCD ∠=30C∴∠=︒30B∴∠=︒60AOD=∠AB是O的直径．90ADB∴∠=︒12AD AB r ∴== ∵AB AC =∵2CD BD ==又222AD BD AB +=2222(2)r r ∴+=233r ∴=(负值已舍)． 5．(1)证明见解析(2)3【分析】本题考查的是勾股定理的应用等腰三角形的性质切线的判定熟练的证明圆的切线是解本题的关键；（1）连接OB 证明PCB PBC ∠=∠ OAB OBA ∠=∠ 再证明90PBC OBA ∠+∠=︒即可；（2）设O 的半径为r 表示()()22222255PC AC AP r =-=-- 222225PB OP OB r =-=- 再利用PB PC =建立方程求解即可．【详解】（1）解：连接OB∵PB PC = OA OB =∵PCB PBC ∠=∠ OAB OBA ∠=∠∵OP l ⊥ OAB PAC ∠=∠∵90BCP CAP BCP OAB ∠+∠=︒=∠+∠∵90PBC OBA ∠+∠=︒∵90OBP ∠=︒∵OB PB ⊥是O 的切线；）设O 的半径为l 2AC =2AC AP =-PB BP 2OP OB =-∵O 的半径为【点睛】．(1)见解析(2)3【分析】本题主要考查切线的判定和性质证AOB EOB ≌ 得出的半径为r 则OE OA =根据AOB EOB ≌得求得4CE = 在Rt OCE 中运用勾股定理列式求出r 的值即可．）证明：在AOB 和EOB 中∵()SAS AOB EOB ≌OAF OEF ∠=∠BC 与O 相切OE BC ⊥90OAB OEB ∠=∠=︒AF是O 的半径是O 的切线；（2）解：在Rt CAB △中 90108CAB BC AC ∠=︒==，，∵22221086AB BC AC =-=-=设圆O 的半径为r 则,OE OA r ==∵8OC r =-∵,AOB EOB ≌∵6BE AB ==∵10,BC =∵1064,CE BC BE =-=-=在Rt OCE 中 222OE CE OC +=∵()22248r r +=-解得3r =．∵O 的半径为3．7．(1)作图见解析(2)4π3【分析】本题考查了作图复杂作图切线的性质等边三角形的判定与性质弧长的计算熟练掌握切线的性质弧长公式是解答本题的关键．（1）根据题意连接OC 作OC CD ⊥ 交AB 的延长线于点D 由此得到答案．（2）根据题意得到OBC △是等边三角形求出120AOC ∠=︒ 再利用弧长公式得到答案．【详解】（1）解：如图所示 CD 即为所求．（2）如图所示连接BCBD）证明：在ABCD中AE AD ∴=∵AE BC =．（2）解：连接OA 过点O 作OF CE ⊥于点F 如图所示：AD 是O 的切线OA AD ∴⊥OA BC ∴⊥AB AC ∴=40AEC B D ︒∠=∠=∠=40ACB B ∴∠=∠=︒在ABCD 中 AD BC ∥40DAC ACB ∴∠=∠=︒又180100DAE D AEC ∠=︒-∠-∠=︒60CAE DAE CAD ∴∠=∠-∠=︒2120COE CAE ∴∠=∠=︒OC OE =30OCE ∴∠=︒OF CE ⊥22cos3063CE CF OC ∴==⋅︒=．【点睛】本题主要考查了切线的性质解直角三角形圆周角定理平行四边形的性质垂径定理等腰三角形的判定解题的关键是作出辅助线熟练掌握相关的判定和性质．9．(1)证明详见解析；(2)8．【分析】本题考查了切线的判定勾股定理等知识熟练掌握切线的判定定理勾股定理是解题的关键．（1）连接OD 根据平行线判定推出OD AC ∥ 推出OD BC ⊥ 根据切线的判定推出即可；（2）根据勾股定理求出3OD OA OE === 再根据线段的和差求解即可．【详解】（1）证明：连接OD∵OA OD =∵OAD ODA ∠=∠∵AD 平分BAC ∠∵BAD CAD ∠=∠∵ODA CAD ∠=∠∵OD AC ∥∵180C ODC ∠+∠=︒∵90C ∠=︒∵90ODC ∠=︒∵OD BC ⊥∵OD 为半径∵BC 是O 的切线；（2）解：设OD OE r ==在Rt ODB △中 42BD BE ==，∵2OB r =+由勾股定理得：()22242r r +=+ 解得：3r =∵3OD OA OE ===∵628AB =+=．10．(1)证明见解析；(2)63．【分析】（1）先证明OAB 是等边三角形再由性质得出60AOB OAB OBA ∠=∠=∠=︒ 再由BC AB =和角度和差即可求解；（2）先根据等边三角形性质求出132OE OA == 再根据勾股定理求得33AE = 最后由垂径定理即可求解；此题考查了等边三角形的判定与性质勾股定理和垂径定理解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．【详解】（1）证明：∵AB OA OB ==∵OAB 是等边三角形∵60AOB OAB OBA ∠=∠=∠=︒∵BC OB =∵BC AB =∵1302BAC BCA OBA ∠=∠=∠=︒ ∵90OAC OAB BAC ∠=∠+∠=︒又∵OA 为O 的半径∵AC 是O 的切线；（2）解：∵6BC =∵6AB OA OB ===∵AD OB ⊥于点E∵30OAE ∠=︒∵132OE OA == ∵2233AE OA OE =-=∵AE OB ⊥∵263AD AE ==．11．(1)见解析∠=）证明：BAD60︒6090︒-︒=OD是O的半径∴直线BD是O的切线；==（2）解：设OD OC△中sin30在Rt BDO解得：1r==+OB OCDE是O的直径∴∠=︒DFE90∠=∠即DFB BDE∠=∠DBF DBE∴△∵BDEBFD△BF BD∴=BD BE337BF ∴= 解得：377BF =．【点睛】本题考查了切线的判定和性质相似三角形的性质和判定圆周角定理勾股定理等知识点作出辅助线构造出相似三角形是解题关键．12．(1)见详解(2)3【分析】（1）连接OC 由∠=∠OCB ABC ABC CBD ∠=∠ 得OCB CBD ∠=∠ 则OC BD ∥ 所以18090OCD D ∠=︒-∠=︒ 即可证明CD 为O 的切线；（2）由AB 为的直径得90ACB ∠=︒ 则ACB D ∠=∠ 而ABC CBD ∠=∠ 所以C ABC BD ∽△△ 则AB CB CB BD = 可求得CB BD AB =⋅ 由勾股定理得22CD CB BD =-．【详解】（1）证明：连接OC 则OC OB =OCB ABC ∴∠=∠ABC CBD ∠=∠OCB CBD ∴∠=∠OC BD ∴∥CD BD ⊥90D ∴∠=︒18090OCD D ∴∠=︒-∠=︒OC 是O 的半径且CD OC ⊥CD ∴为O 的切线．（2）解：AB 为的直径ABC∠=ABC CBD ∴∽∴AB CBCB BD=1,4BD AB==1 CB BD AB∴=⋅=22CD CB BD∴=-=CD∴的长是【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质AD OC∥ADO∴∠OA OD=ADO DAO ∴∠=∠DOC BOC ∴∠=∠OD OB OC OC ==，ODC OBC ∴≌△△∴OBC ODC ∠=∠BC AB ⊥∴90OBC ODC ∠=∠=︒OD 为经过圆心的半径∴CD 是O 的切线；（2）如图所示：作DM BC ⊥交BC 于点M8AB = 1AE =1432OA OB OD AB OE OA AE ∴=====-=， 227DE BM OD OE ==-=令=7CM x CB CD x ==+， 7BE DM ==∴在222Rt DMC CM DM CD +=△，222(7)7x x ∴+=+解得：37x =47BC ∴=DE BC ∥ADE ABC ∴△△∽是O的切线．2）在Rt△是O的切线得出Rt EAD中【详解】（1）证明：连接．是O的直径+∠OCA OCBDCB OCB+∠OCD=︒．90是半径经过O的半径外端∵CD 是O 的切线．（2）解：在Rt OCD △中∵90OCD ∠=︒ 30D ∠=︒ 2OC =∵4OD =．∵6AD AO OD =+=．∵AE 是O 的切线切点为A∵OA AE ⊥．在Rt EAD 中∵90EAD ∠=︒ 30D ∠=︒ 6AD =∵3tan 306233AE AD =⋅︒=⨯=． 15．(1)见解析(2)4π3【分析】本题考查圆与三角形的综合问题掌握与圆有关的性质正确作出辅助线是关键．（1）连接OC 根据条件证明OC BD ∥ 即可证明；（2）根据PCO PDB ∽可得PA 利用余弦值可求出COP ∠ 通过弧长公式求解即可．【详解】（1）证明：连接OC 如图∵OC OB =∵OCB OBC ∠=∠∵弦BC 平分PBD ∠∵DBC OBC ∠=∠∵OCB DBC ∠=∠．∵OC BD ∥∵BD PD ⊥∵OC PD ⊥．为O 的半径是O 的切线；）解：连接OC∵PCO PDB ∽OC PO BD PB= 8cm AB = BD =14cm 2OC AB ==4468PA PA +=+ Rt OCP 中cos COP ∠=60COP =︒AC 的长=(1)证明见解析；是O 的切线；证明FBD FDA ∽ 得到1tan tan 4BD A BDF AD ∠=∠== 进而得到164DF = 即可求解；本题考查了切线的判定相似三角形的判定与性质等腰三角形的性质余角性质根据题意正确作出辅助线是解题的关键．【详解】（1）证明：连结OD∵CO AB ⊥∵90E C ∠+∠=︒∵FE FD = OD OC =∵E FDE ∠=∠ ∠=∠C ODC∵90FDE ODC ∠+∠=︒∵90ODF ∠=︒∵OD DF ⊥∵FD 是O 的切线；（2）解：连结AD ,OD BD 如图∵AB 为O 的直径∵90ADB ∠=︒∵90∠+∠=︒A ABD∵OB OD =∵OBD ODB ∠=∠∵90A ODB ∠+∠=︒∵FBD FDA ∽DF BD AF AD= 在Rt △ABD 中 tan ∠164DF = 3DF =的平分线交O 于点E∵ED OE ⊥∵DE 为O 切线．（2）过点O 作OM BC ⊥于点M 10AB = 6BC =则132MC MB BC ===,152OB OE AB === 四边形OEDM 时矩形∵DE OM =根据勾股定理得224DE OM OB BM ==-=．18．(1)见解析(2)103【分析】（1）连接OA OC 与AB 相交于点E 如图由OA OC = 可得OAC OCA ∠=∠ 根据圆周角定理可得12B AOC ∠=∠ 由已知CAD B ∠=∠ 可得2AOC CAD ∠=∠ 根据三角形内角和定理可得180OCA CAO AOC ∠+∠+∠=︒ 等量代换可得90CAO CAD ∠+∠=︒ 即可得出答案；（2）根据角平分线的定义可得BAC DAC ∠=∠ 由已知可得BAC B =∠∠ 根据垂径定理可得 OC AB ⊥ BE AE = 在Rt BEC △中根据正弦定理可得3sin 45CE CE B BC === 即可算出CE 的长度根据勾股定理可算出22BE BC CE =-的长度设O 的半径为r 则125OE OC CE r =-=- 在Rt AOE △中 222OA OE AE =+ 代入计算即可得出答案．【详解】（1）证明：连接OA OC 与AB 相交于点E 如图OA OC =OAC ∴∠AC AC =∴12B ∠=CAD ∠=AOC ∴∠=OCA ∠+2CAO ∴∠+CAO ∴∠+OAD ∴∠OA 是O 的半径AD ∴是O 的切线；（2）解：AC 是∠BAC DAC ∴∠=∠CAD B ∠=∠BAC B ∴∠=∠OC AB ∴⊥ BE =在Rt BEC △中4BC =sin CE B BC ∴=125CE ∴=BE BC ∴=设O 的半径为r ，则125OE OC CE r =-=-在Rt AOE △中222OA OE AE =+ 222121655r r ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得：103r =．【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理，勾股定理及解直角三角形，熟练掌握切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．。

中考数学考点《圆的切线的证明》专项练习题-附答案

中考数学考点《圆的切线的证明》专项练习题-附答案学校:班级:姓名:考号:1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC与⊙D相切.2．已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD交于E，CE=DE，过B作BF∥CD，交AC的延长线于点F，求证：BF是⊙O的切线．3．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，弧AC＝1弧BC，经过点C与⊙O相切的直线CE交BA的延长线2于点D，连接BC，过点D作DF∥BC．求证：DF是⊙O的切线．4．如图，Rt△ABC中∠C=90°，点O是AB边上一点，以OA为半径作⊙O，与边AC交于点D，连接BD，若∠DBC=∠A，求证：BD是⊙O的切线．5．如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DG⊥AB，垂足为点F，交⊙O于点G，∠A=35°，⊙O半径为5，求劣弧DG的长．（结果保留π）6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点G在弧BD上，连接AG，交CD于点K，过点G的直线交CD延长线于点E，交AB延长线于点F，且EG=EK．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为13，CH=12，AC∥EF，求OH和FG的长．7．如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠B＝∠CAD＝30°.（1）AD是⊙O的切线吗？为什么？（2）若OD⊥AB，BC=5，求⊙O的半径.8．如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC的中点，且∠A＋∠CDB＝90°，过点A、D作⊙O，使圆心O 在AB上，⊙O与AB交于点E.(1)求证：直线BD与⊙O相切；(2)若AD：AE＝4：5，BC＝6，求⊙O的直径．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．10．如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长11．如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径长为1，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积．（结果保留π和根号）12．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为√5，OP=1，求BC的长．13．如图，点B、C、D都在半径为4的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求弦BD的长．14．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．15．如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，D为BC的中点，过点D作DE⊥AC于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=13，BC=10，求CE的长．16．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若AB=6，AD=4 √2，求EF的长．17．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．（1）求证：CT为⊙O的切线；（2）连接BT，若⊙O半径为1，AT= √3，求BT的长．18．如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求△ABC的面积．19．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC，交⊙O于点D，交AC于点E，连接BD，BD 交AC于点F，延长AC到点P，连接PB．（1）若PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；（2）如果AB=10，BC=6，求CE的长度．答案解析1．证明：过点D作DF⊥AC于F，如图所示：∵AB为⊙D的切线∴∠B=90°∴AB⊥BC∵AD平分∠BAC，DF⊥AC∴BD=DF∴AC与⊙D相切．2．【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD交于E，CE=DE ∴AB⊥CD∵BF∥CD∴BF⊥AB∴BF是⊙O的切线．3．解：连接OC，过点O作OG⊥DF，垂足为G弧BC∵弧AC =12∴∠AOC=13∠AOB=60°∴∠ABC=12∠AOC=30°∵CE切⊙O于点C∴OC⊥CE，即∠DCO=90°∴在ΔDOC中∵DF//CB∴∠ABC=∠GDO=30°∴∠CDO=∠GDO，即DO平分∠CDG∵OC⊥CE,OG⊥DF ∴OC=OG（角平分线性质）∴OG是⊙O的半径∴DF是⊙O的切线（垂径定理）.4．证明：如图，连接OD．∵OA=OD∴∠A=∠ADO．∵∠C=90°∴∠CBD+∠CDB=90°又∵∠CBD=∠A∴∠ADO+∠CDB=90°∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°．∴直线BD与⊙O相切．5．（1）证明：如图1，连接BD、OD∵AB是⊙O直径∴BD ⊥AC∵AB=BC∴AD=DC∵AO=OB∴OD 是△ABC 的中位线∴DO ∥BC∵DE ⊥BC∴DE ⊥OD∵OD 为半径∴DE 是⊙O 切线；（2）解：如图2所示，连接OG ，OD∵DG ⊥AB ，OB 过圆心O∴弧BG=弧BD∵∠A=35°∴∠BOD=2∠A=70°∴∠BOG=∠BOD=70°∴∠GOD=140°∴劣弧DG 的长是140π×5180=359π．6．解：（1）证明：连接OG∵弦CD ⊥AB 于点H∴∠HKA+∠KAH=90°∵EG=EK∴∠EGK=∠EKG∵∠HKA=∠GKE∴∠HAK+∠KGE=90°∵AO=GO∴∠OAG=∠OGA∴∠OGA+∠KGE=90°∴GO⊥EF∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接CO，在Rt△OHC中∵CO=13，CH=12∴HO=5∴AH=8∵AC∥EF∴∠CAH=∠F∴tan∠CAH=tan∠F=128=32在Rt△OGF中，∵GO=13∴FG=13tan∠E =263．7．解：（1）AD是⊙O的切线，理由如下：连接OA∵∠B=30°∴∠O=60°∵OA=OC∴∠OAC=60°∵∠CAD=30°∴∠OAD=90°又∴点A在⊙O 上∴AD是⊙O的切线；（2）∵∠OAC=∠O=60°∴∠OCA=60°∴△AOC是等边三角形∵OD⊥AB∴OD垂直平分AB∴AC=BC=5∴OA=5即⊙O的半径为5．8．(1)证明：连接OD，在△AOD中，OA＝OD∴∠A＝∠ODA又∵∠A＋∠CDB＝90°∴∠ODA＋∠CDB＝90°∴∠BDO＝180°－90°＝90°，即OD⊥BD ∴BD与⊙O相切．(2)解：连接DE，∵AE是⊙O的直径∴∠ADE＝90°∴DE∥BC.又∵D是AC的中点，∴AE＝BE.∴△AED∽△ABC.∴AC∶AB＝AD∶AE.∵AC∶AB＝4∶5令AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x.∵BC＝6，∴AB＝10∴AE＝5，∴⊙O的直径为5.9．（1）连接OA∵DA平分∠BDE∴∠BDA=∠EDA．∵OA=OD∴∠ODA=∠OAD∴∠OAD=∠EDA∴OA∥CE．∵AE⊥DE∴∠AED=90°．∴∠OAE=∠DEA=90°．∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线；（2）∵BD是直径∴∠BCD=∠BAD=90°．∵∠DBC=30°，∠BDC=60°∴∠BDE=120°．∵DA平分∠BDE∴∠BDA=∠EDA=60°．∴∠ABD=∠EAD=30°．∵在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°∴AD=2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°∴BD=2AD=4DE．∵DE的长是1cm∴BD的长是4cm．10．（1）证明：如图(1)连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2.又∵OA="OD" ，∴∠1=∠3.∴∠2="∠3."∴OD∥AE.∵DE⊥AE∴DE⊥OD.而D在⊙O上∴DE是⊙O的切线.(2)过D作DG⊥AB 于G.∵DE⊥AE ，∠1=∠2.∴DG="DE=3" ，半径OD=5.在Rt△ODG中，根据勾股定理： OG＝＝＝4 ∴AG=AO+OG=5+4=9.∵FB是⊙O的切线， AB是直径∴FB⊥AB.而DG⊥AB∴DG∥FB. △ADG∽△AFB∴∴.∴BF=.11．（1）解：直线CD与⊙O相切∵在⊙O中，∠COB=2∠CAB=2×30°=60°又∵OB=OC∴△OBC是正三角形∴∠OCB=60°又∵∠BCD=30°∴∠OCD=60°+30°=90°∴OC ⊥CD又∵OC 是半径∴直线CD 与⊙O 相切．（2）解：由（1）得△OCD 是Rt △，∠COB=60° ∵OC=1∴CD= √3∴S △COD = 12 OC •CD= √32又∵S 扇形OCB = π6∴S 阴影=S △COD ﹣S 扇形OCB = √32−π6=3√3−π6 ．12．（1）证明：连接OB ，如图∵OP ⊥OA∴∠AOP=90°∴∠A+∠APO=90°∵CP=CB∴∠CBP=∠CPB而∠CPB=∠APO∴∠APO=∠CBP∵OA=OB∴∠A=∠OBA∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90° ∴OB ⊥BC∴BC 是⊙O 的切线；（2）解：设BC=x ，则PC=x在Rt △OBC 中，OB= √5 ，OC=CP+OP=x+1 ∵OB 2+BC 2=OC 2∴（ √5 ）2+x 2=（x+1）2解得x=2即BC 的长为2．13．（1）证明：连接OC，OC交BD于E∵∠CDB=30°∴∠COB=2∠CDB=60°∵∠CDB=∠OBD∴CD∥AB又∵AC∥BD∴四边形ABDC为平行四边形∴∠A=∠D=30°∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC 又∵OC是⊙O的半径∴AC是⊙O的切线（2）解：由（1）知，OC⊥AC．∵AC∥BD∴OC⊥BD∴BE=DE∵在直角△BEO中，∠OBD=30°，OB=4∴BE=OBcos30°=2 √3∴BD=2BE=4 √314．（1）解：∵AB是⊙O直径，C在⊙O上∴∠ACB=90°又∵BC=3，AB=5∴由勾股定理得AC=4（2）解：证明：连接OC∵AC是∠DAB的角平分线∴∠DAC=∠BAC又∵AD⊥DC∴∠ADC=∠ACB=90°∴△ADC∽△ACB∴∠DCA=∠CBA又∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵∠OAC+∠OBC=90°∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°∴DC是⊙O的切线．15．（1）证明：连接OD∵D为BC的中点，O为AB的中点∴OD∥AC；∵DE⊥AC∴DE⊥OD∴DE是圆O的切线（2）解：连接 AD∵AB是直径∴AD⊥BC；∵D为BC的中点∴AD 是BC 的垂直平分线∴AC=AB=13；∵∠C=∠C ，∠DEC=∠ADC=90°∴△CDE ∽△CAD∴EC CD = DC AD ，而AC=AB=13，CD= 12 BC=5 ∴CE= 2513 ．16．（1）证明：连接OD∵AD 平分∠CAB∴∠OAD=∠EAD ．∵OD=OA∴∠ODA=∠OAD ．∴∠ODA=∠EAD ．∴OD ∥AE ．∵∠ODF=∠AEF=90°且D 在⊙O 上 ∴EF 与⊙O 相切．（2）证明：连接BD ，作DG ⊥AB 于G∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°∵AB=6，AD=4 √2∴BD= √AB 2−AD 2 =2∵OD=OB=3设OG=x ，则BG=3﹣x∵OD 2﹣OG 2=BD 2﹣BG 2，即32﹣x 2=22﹣（3﹣x ）2 解得x= 73∴OG= 73∴DG= √OD2−OG2 = 43√2∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB∴DE=DG= 43√2∴AE= √AD2−DE2 = 163∵OD∥AE∴△ODF∽△AEF∴DFEF =ODAE，即EF−EDEF=ODAE∴EF−43√2EF=3163∴EF= 6421√2．17．（1）证明：连接OT，如图1所示：∵OA=OT∴∠OAT=∠OTA又∵AT平分∠BAD∴∠DAT=∠OAT∴∠DAT=∠OTA∴OT∥AC又∵CT⊥AC∴CT⊥OT∴CT为⊙O的切线（2）解：连接BT，如图2所示：∵AB是⊙O直径∴AB=2，∠ATB=90°∴BT= √AB2−AT2 = √22+(√3)2 =1．18．（1）解：连接OC ．∵AC=BC ，AD=CD ，OB=OC∴∠A=∠B=∠1=∠2．∵∠ACO=∠DCO+∠2∴∠ACO=∠DCO+∠1=∠BCD又∵BD 是直径∴∠BCD=90°∴∠ACO=90°又C 在⊙O 上∴AC 是⊙O 的切线（2）解：由题意可得△DCO 是等腰三角形 ∵∠CDO=∠A+∠2，∠DOC=∠B+∠1∴∠CDO=∠DOC ，即△DCO 是等边三角形． ∴∠A=∠B=∠1=∠2=30°，CD=AD=2 在直角△BCD 中BC= √BD 2−CD 2 = √42−22 =2 √3 ．又AC=BC∴AC=2 √3 ．作CE ⊥AB 于点E ．在直角△BEC 中，∠B=30°∴CE= 12 BC= √3∴S △ABC = 12 AB •CE= 12 ×6× √3 =3 √3 ．19．（1）证明：∵PF=PB∴∠PFB=∠PBF又∵∠DFE=∠PFB∴∠DFE=∠PBF∵AB 是圆的直径∴∠ACB=90°，即AC ⊥BC ．又∵OD ∥BC∴OD ⊥AC ．∴在直角△DEF 中，∠D+∠DFE=90° 又∵OD=OB∴∠D=∠DBO∴∠DBO+∠PBE=90°，即PB ⊥AB ∴PB 是⊙O 的切线；（2）解：∵OD ∥BC ，OA=OB ∴OE= 12 BC= 12 ×6=3．∵OD ⊥AB∴EC=AE ．∵在直角△OAE 中，OA= 12 AB= 12 ×10=5∴AE= √OA 2−OE 2 = √52−32 =4． ∴EC=4。

圆的解答题(题目及答案)

《圆》解答题荟萃1、已知：如图，在△ABC 中，AB=BC ，D 是AC 中点，BE 平分∠ABD 交AC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过B 、E 两点，交BD 于点G ，交AB 于点F ．（1）求证：AC 与⊙O 相切；（2）当BD=6，sinC=53时，求⊙O 的半径．（1）证明：连接OE ，∵AB=BC 且D 是AC 中点，∴BD ⊥AC ，∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABE=∠DBE ， ∵OB=OE ∴∠OBE=∠OEB ，∴∠OEB=∠DBE ，∴OE ∥BD ，∵BD ⊥AC ，∴OE ⊥AC ，∵OE 为⊙O 半径，∴AC 与⊙O 相切．（2）解：∵BD=6，sinC=53，BD ⊥AC ，∴BC=10，∴AB=BC=10，设⊙O 的半径为r ，则AO=10﹣r ，∵AB=BC ，∴∠C=∠A ，∴sinA=sinC=53， ∵AC 与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥AC ，∴sinA=r r OA OE -=10=53，∴r =415，答：⊙O 的半径是415．2、如图，点C 是以AB 为直径的⊙O 上的一点，AD 与过点C 的切线互相垂直，垂足为点D ．（1）求证：AC 平分∠BAD ；（2）若CD=1，AC=10，求⊙O 的半径长．（1）证明：连接OC ．∵OA=OC ，∴∠ACO=∠CAO ．∵CD 切⊙O 于C ，∴OC ⊥CD ，又∵AD ⊥CD ，∴AD ∥CO ，∴∠DAC=∠ACO ，∴∠DAC=∠CAO ，即AC 平分∠BAD ；（2）解法一：如图2①，过点O 作OE ⊥AC 于E ．在Rt △ADC 中，AD=31-)10(2222==-DC AC ，∵OE ⊥AC ，∴AE=21，AC=210． ∵∠CAO=∠DAC ，∠AEO=∠ADC=90°，∴△AEO ∽△ADC ，∴，即，∴AO=35，即⊙O 的半径为35．解法二：如图2②，连接BC ．在Rt △ADC 中，AD===3． ∵AB 是⊙O 直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=∠DAC ，∠ACB=∠ADC=90°，∴△ABC ∽△ACD ，∴，即，∴AB=，∴=，即⊙O 的半径为35．3、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠ACD=∠AOC，AD⊥CD于点D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=10，AD=2，求AC的长．【解】（1）∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠AOC+∠OCA+∠OAC=180°，∴∠AOC+2∠OCA=180°，∴∠AOC+∠OCA=90°，∵∠ACD=∠AOC，∴∠ACD+∠OCA=90°，即∠DCO=90°，又∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）过点A作AE⊥OC，垂足为E，可得∠AEC=90°，由（1）得∠DCO=90°，∵AD⊥CD，∴∠D=90°，∴四边形DCEA是矩形，又AD=2，∴CE=AD=2∵AB是直径，且AB=10，∴OA=OC=5，∴OE=OC﹣CE=5﹣2=3，∴在Rt△AEO中，OA=5，OE=3，根据勾股定理得：AE==4，∴在Rt△ACE中，CE=2，AE=4，根据勾股定理得：AC==2．4、如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB=AC ，AD 的延长线与BC 的延长线交于点E 。

2023年中考专题训练——圆的计算和证明(含答案)

2023年中考专题训练——圆的计算和证明1．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点D．(1)判断△CBD的形状，并说明理由；(2)若CD＝3OD，AD＝8，求⊙O的半径．2．如图，Rt ABC中，90∠=︒，点O为AB上一点，以点O为圆心，以OA为半径，作OACB交AB于点E，边BC与O相切于点D．过点C作CF//AB交AD延长线于点F．(1)求证：AC CF=；(2)若4AC=，求O的半径．AE BE=，103．如图，AB是O的直径，弦CD AB⊥于点G．点F是CG的中点，连接AF并延长交O于点E，连接AD，DE．(1)求证：2=⋅；AD AE AF(2)若2AF=，求DEF的面积．CF=，34．如图，⊙O是ABC的外接圆，AB是O的直径，过点A作O的切线，交BC的延长线与点D，点E是劣弧BC上的一点，连接AE，CE．(1)求证：DAC AEC ∠=∠；(2)若4sin 5AEC ∠=，10AD =，求O 的半径． 5．如图，以ABC 的边AB 为直径作O ，交边AC 于点D ，BC 为O 的切线，弦DE AB ⊥于点F ，连结BE ．(1)求证：ABE C ∠=∠．(2)若点F 为OB 中点，且1OF =，求线段BC 的长．6．如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，过点C 作O 切线CD 交BA 的延长线于点D ，过点O 作OE AC ∥交切线DC 于点E ，交BC 于点F ．(1)求证：B E ∠=∠；(2)若10AB =，4cos 5B =，求EF 的长．7．如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），作CE ⊥OB ，交⊙O 于点C ，垂足为点E ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，作AF ⊥PC 于点F ，连接CB ．(1)求证：△CBE∽△CPB；(2)当3AB=34CFCP=时，求扇形COB的面积．8．如图，ABC内接于⊙O，10AB AC==，12BC=，点E为AC上一点，点F为CE的中点，连结BF并延长与AE交于点G，连结AF，CF．(1)求证：AFC AFG∠=∠．(2)当BG经过圆心O时，求FG的长．9．如图，已知AB为⊙O的直径，E是AB延长线上一点，点C是⊙O上的一点，连接EC、BC、AC，且EC是⊙O的切线，C为切点．(1)求证：∠BCE＝∠A；(2)过点A作AD垂直于直线EC于D，若AD＝3，DE＝4，求⊙O的半径．10．如图，点C是以O为圆心，AB为直径的半圆上一动点（不与A，B重合），8AB=，连接AC 并延长至点D，使CD AC=，过点D作AB的垂线DH，分别交ACB，CB，AB于点E，F，H，连接OC．记ABCθ∠=，θ随点C的移动而变化．(1)当45θ︒⋅=⋅；<时，求证：BH AH DH FH(2)连接OD，当2ADOθ=∠时，求OH的长．11．如图，AB是O的直径，BC是O的弦，直线MN与O相切于点C，过点B作BD MN⊥于点D．(1)求证：ABC CBD∠=∠；(2)若BC=4CD=，求O的半径．12．如图，O的直径18AB=，点E是AB上的动点，CD是经过点E的弦，过点B作O的切线交AC的延长线于点F，且CD//BF．(1)若AC=BC，分别求AE，CD的长；(2)当点E位于OB的什么位置时，以,,,O C B D为顶点的四边形是菱形？请说明理由．13．如图，AB是O的直径，过点B作AB的垂线BC，连接AC，交O于点D，O的切线DE 交BC于E．(1)求证：点E 为BC 的中点；(2)若O 的直径为3，2DE =，求AD 的长．14．如图，□OABC 的对角线相交于点D ，O 经过A 、D 两点，与BO 的延长线相交于点E ，点F 为AE 上一点，且=AF AD ．连接AE 、DF 相交于点G ，若3AG =，6EG =．(1)求□OABC 对角线AC 的长；(2)求证：□OABC 为矩形．15．读下面材料，并完成相应的任务切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．下面是不完整的证明过程，请补充完整．已知：P 为O 外一点，P A 与O 交于A ，B 两点，PM 与O 相切于点M ．求证：2PM PB PA =⋅．证明：如图，连接AM ，BM ，连接MO 并延长交O 于点C ，连接BC ．∵PM 为O 的切线，∴_______90=︒，∴90CMB BMP ∠+∠=︒，∵CM 为O 的直径，∴_______90=︒，∴90CMB MCB ∠+∠=︒，∴MCB ∠=_______，∵MAB MCB ∠=∠，∴BMP MAB ∠=∠．∵P P ∠=∠，∴PBM ∽△_______．∴PM PB PA PM =，∴2PM PB PA =⋅．学习任务：如图，若线段AB 与O 相交于C ，D 两点，且AC BD =，射线AB ，BF 为O 的两条切线，切点分别为E ，F ，连接CF ．(1)求证：AE BF =；(2)若6BF =，2CD BD =，60FBC ∠=︒，求BCF △的面积．16．如图，在O 中，B ，C 是AD 的三等分点，弦AC ，BD 相交于点E ．(1)求证：AC BD =；(2)连接CD ，若25BDC ∠=︒，求BEC ∠的度数．17．已知点C 是△ABD 的边AB 上一点，且12BC AC =，AC 为O 的直径，BD 切O 于点D ，连接DO 并延长交O 于点E ，连接BE 交O 于点M ．(1)求证：BAD ABD ∠=∠；(2)若O 的半径为1，求线段EM 的长．18．如图，在AOB 中，AO BO =，AB 与O 相切于点C ，延长BO 交O 于点P 、Q ．连接CP ，CQ ．(1)若30A ∠=︒，求CPQ ∠的大小．(2)若1tan 2CPQ ∠=，O 的半径为35AB 的长度．19．如图，AC 是⊙O 的直径，OD AB ⊥，点E 是射线DO 上一点且OE BC =，过点E 作FE DE ⊥交射线AC 于点F ．(1)求证：2OE OD =；(2)求证：ABC FEO ≌△△；(3)当EF 与⊙O 相切时，若⊙O 的半径为2，求弧BC 的长．20．如图，P A 和PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，点D 在AB 上，点E 和点F 分别在PB 和P A 上，且AD BE =．(1)求证：PA PB=(2)若40∠=︒，当EDFP∠是多少度时，BD AF=？请说明理由．(3)若APBα∠=，当α=__________时，四边形DEPF为菱形．参考答案：1．(1)△CBD 是等腰三角形，理由见解析 (2)14【分析】（1）由点C 在过点B 的切线上，且OC ⊥OA ，根据等角的余角相等，易证得∠CBD =∠CDB ，即可证得△CBD 是等腰三角形；（2）设OD =x ，则BC =DC =3x ，由勾股定理求出7OB x =，在Rt AOD ∆中，由勾股定理得222(7)8x x +=，求出x 的值即可得解．【解析】（1）△CBD 是等腰三角形，∵OC ⊥OA ，∴∠AOC =90°，∴∠A +∠ADO =90°，∵BC 切⊙O 于点B ，∴∠OBC =90°，∴∠OBA +∠CBD =90°，∵OA =OB ，∴∠A =∠OBA ，∴∠ADO =∠CBD ，∵∠ADO =∠CDB ，∴∠CDB =∠CBD ，∴CD =CB ；∴△CBD 是等腰三角形；（2）∵CD ＝3OD ，AD ＝8，∴设OD x =，则34CD x OC x ==，，∴BC =3x ，在Rt OBC △中，227OB OC BC x -， ∴7OA x =，在Rt AOD △中，222AD AO DO =+， ∴222(7)8x x +=，解得，2x =22x =-， ∴2714AO ==【点评】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理，正确识图是解答本题的关键．2．(1)见解析；(2)⊙O 的半径为6【分析】（1）连结OD ，BC 与⊙O 相切于点D ，90ODB ∠=︒，由90ACB ∠=︒，得到OD AC ，13∠=∠，由OD OA =，进一步得23∠∠=，由CF AB ∥得2F ∠=∠，则3F ∠=∠，得到结论；（2）设⊙O 的半径为r ，则2AE r =．由4AE BE =可以得到32OB r =，52AB r =，由OD AC 得到BOD BAC ∽，得到OB OD AB AC=，进一步即可得解．（1）证明：连结OD ，∵BC 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥BC ，∴90ODB ∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴90ODB ACB ∠=∠=︒，∴OD AC ，∴13∠=∠，又∵OD OA =，∴12∠=∠，∴23∠∠=，又∵CF AB ∥，∴2F ∠=∠，∴3F ∠=∠，∴△ACF 是等腰三角形，∴AC CF =．（2）解：设⊙O 的半径为r ，则2AE r =．∵4AE BE =， ∴12BE r =， ∴32OB r =，52AB r =，由（1）知：OD AC ，∴∠BOD ＝∠BAC ，∵∠B ＝∠B ，∴BOD BAC ∽， ∴OB OD AB AC=， ∵10AC =， ∴325102r r r =， ∴6r =，即⊙O 的半径为6．【点评】此题考查了切线的性质定理，相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，证明BOD BAC ∽是求O 的半径的关键．3．(1)见解析 (2)5【分析】（1）证明ADF AED △△∽即可；（2）先求出ADF S △，再利用相似求出AED S，最后根据DEF AED ADF S S S =-计算即可．(1)∵AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，∴AD AC =，DG CG =，∴ADF AED ∠=∠，∵FAD DAE ∠=∠（公共角），∴ADF AED △△∽，∴AD AF AE AD=， ∴2AD AE AF =⋅；(2)∵点F 是CG 的中点，2CF =，∴2FG =，AG∵CD AB ⊥于点G ，∴4CG DG ==，∴6FD =，AD =∴11622ADF S DF AG =⨯⋅=⨯△ ∵ADF AED △△∽， ∴2ADF AED S AF SAD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，37AED =，∴AED S=， ∴45DEF AED ADF S S S =-=【点评】本题主要考查垂径定理、相似三角形的判定和性质，由垂径定理得到G 是CD 的中点是解题的关键．本题所考查知识点较多，综合性较强，解题时注意知识的灵活运用．4．(1)见解析(2)154【分析】（1）AD 与⊙O 相切于点E ，90DAC BAC ∠+∠=︒，AB 是O 的直径，则∠ABC ＋∠BAC ＝90°，DAC ABC ∠=∠，又ABC AEC ∠=∠，结论得证；（2）在ABD △，90BAD ∠=︒，10AD =，4sin sin 5ABD AEC ∠=∠=，求得BD ，由勾股定理得到AB ，即得O 的半径．(1)证明：∵AD 与⊙O 相切于点E ，∴AB ⊥AD ，∴∠BAD ＝90°，∴90DAC BAC ∠+∠=︒∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90ABC BAC ∠+∠=︒，∴DAC ABC ∠=∠∵ABC AEC ∠=∠，∴DAC AEC ∠=∠．(2)解：在ABD △，90BAD ∠=︒，10AD =，4sin sin 5ABD AEC ∠=∠=， ∴52510sin 42AD BD ABD ==⨯=∠，由勾股定理得，222225151022AB BD AD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ∴O 的半径为154．【点评】此题考查了切线的性质定理、圆周角定理及其推论、锐角三角函数、勾股定理等知识，熟练掌握定理的应用是解题的关键．5．(1)见解析； 43【分析】（1）根据切线的性质以及DE AB ⊥，可得BC DE ∥，可得ADE C ∠=∠，根据同弧所对的圆周角相等，可得ADE ABE ∠=∠，进而即可得证；（2）连接OE ，垂径定理求得EF ，进而证明AFD ∆∽ABC ∆，根据相似三角形的性质，列出比例式，代入数值即可求解．（1）证明 ∵AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE //BC ，∴ADE C ∠=∠，∵弧AE 所对圆周角是ABE ∠和ADE ∠，∴ABE ADE ∠=∠，∴ABE C ∠=∠；（2）连接OE ，∵点F 为OB 中点，AB ⊥BC ，∴OF =12OE ， 1OF =，∴2OE =，∴EF =FD∴ AF =AO OF OE OF +=+=3，ED FD ∥ ，∴AFD ∆∽ABC ∆，∴AF FD AB BC =，即34=，得，BC =．【点评】本题考查了切线的性质、等弧所对的圆周角相等、垂径定理、相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．6．(1)见解析 (2)163【分析】（1）证明：连接OC ，利用圆周角定理及切线的性质定理求出OCB ACD ∠=∠，由圆的半径相等求出B OCB ∠=∠，利用平行线的性质求出ACD E ∠=∠，即可得到结论B E ∠=∠；（2）由4cos 5BC B AB ==求出8BC =，AC =6，证明ACB OCE ∽△△求出OE ，根据三角形中位线的性质求出OF ，即可得到EF ．（1）证明：连接OC ，如图所示：∵AB 为⊙O 的直径，∴90ACB ACO OCB ∠=∠+∠=︒．∵DE 是⊙O 的切线，∴90OCD ACO ACD ∠=∠+∠=︒，∴OCB ACD ∠=∠，∵OB ，OC 是⊙O 的半径，∴OB OC =，∴B OCB ∠=∠，∵OE AC ∥，∴ACD E ∠=∠，∴B E ∠=∠；（2）解：在Rt ACB 中，4cos 5BC B AB ==，10AB =， ∴8BC =，∵OC OA OB ==， ∴1110522OC AB ==⨯=， ∴22221086AC AB BC --，∵90ACB OCE ∠=∠=︒，B E ∠=∠，∴ACB OCE ∽△△， ∴AC AB OC OE=，即6105OE =， ∴253OE =， ∵OF AC ∥，O 为AB 中点， ∴132OF AC ==， ∴2516333EF OE OF =-=-=．【点评】此题考查了圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定及性质、勾股定理、三角函数，熟练掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键．7．(1)见解析(2)2π【分析】（1）先证明∠CEB=∠CBP＝90°，再由∠D+∠P=90°，∠CAB＋∠CBE＝90°，∠CAB=∠D，推出∠CBE=∠P，即可证明结论；（2）设CF=3k，CP=4k，先证明∠F AC=∠CAB，得到CE=CF=3k，再由相似三角形的性质得到BC2＝CE•CP；从而求出sin∠CBE=∠CBE=60°，即可证明△OBC是等边三角形，得到∠COB=60°，据此求解即可．（1）解：∵CE⊥OB，CD为圆O的直径，∴∠CEB=∠DBC＝90°，∴∠CEB=∠CBP＝90°，∵PF是切线，∴∠DCP=90°，∴∠D+∠P=90°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°∴∠CAB＋∠CBE＝90°，∵∠CAB=∠D，∴∠CBE=∠P，∴△CBE∽△CPB；（2）解：∵34 CFCP=，∴设CF=3k，CP=4k，∵PF是切线，∴OC ⊥PF ，∵AF ⊥PF ，∴AF ∥OC ．∴∠F AC =∠ACO ，∵OA =OC ，∴∠OAC =∠ACO ，∴∠F AC =∠CAB ，∴CE =CF =3k ，∵△CBE ∽△CPB ， ∴CB CE CP CB=， ∴BC 2＝CE •CP ；∴BC =23k∴sin ∠CBE 323k= ∴∠CBE =60°，∵OB =OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴∠COB =60°， ∵43AB =∴扇形COB 的面积260232360ππ⨯=（）【点评】本题主要考查了圆切线的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，角平分线的性质，解直角三角形，扇形面积，等边三角形的性质与判定等等，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．8．(1)见解析； (2)72【分析】(1)根据等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，补角的性质证明即可；(2) 利用勾股定理，三角形中位线定理，三角形全等性质计算即可．（1）证明：∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∵ACB AFB ∠=∠，∴ABC AFB ∠=∠，∵180ABC AFC ∠+∠=︒，180AFG AFB ∠+∠=︒，∴AFC AFG ∠=∠；（2）连结AO 并延长AO 交于点H ，∵AB AC =，∴AH BC ⊥，6BH CH ==，∴8AH =，连结OC ，设OH x =，则8OA OC x ==-，在Rt OCH 中，()22268x x +=-，解得74x =， ∵OH 是Rt BCF 的中位线， ∴722CF OH ==，∵点F 为CE 的中点，∴EAF CAF ∠=∠，∵AFC AFG ∠=∠，AF AF =，∴()ACF AGF ASA ≌△△， ∴72FG CF ==．【点评】本题考查了圆的内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握圆的性质和勾股定理是解题的关键．9．(1)见解析(2)⊙O 的半径为158【分析】（1）连结OC ，根据圆周角定理由AB 是⊙O 的直径得∠1+∠2=90°，根据切线的性质即可得到∠BCE +∠2=90°，所以∠BCE =∠1，而∠1=∠A ，即∠A =∠BCE（2）设⊙O 的半径为r ，在Rt △ADE 中利用勾股定理计算出AE =5，则OE =5-r ，OC =r ，证明△EOC ∽△EAD ，利用相似比得到EO OC EA AD =，即553r r -=，然后解方程即可得到圆的半径．（1）如图，连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，即∠1＋∠2＝90°又∵EC 是⊙O 的切线∴OC ⊥EC即∠BCE ＋∠2＝90°∴∠BCE ＝∠1∵OC ＝OA∴∠1＝∠A∴∠A ＝∠BCE（2）∵OC ⊥EC又AD ⊥EC∴OC ∥AD∴EOC EAD ∠=∠，ECO EDA=∠∠∴△EOC ∽△EAD ∴EOOCEA AD =设⊙O 的半径为r在Rt △ADE 中AD ＝3，ED ＝4则AE 22AD DE +∴OE ＝5－r ；OC ＝r ∴553r r -= ∴158r =即⊙O 的半径为158【点评】本题考察了圆的切线性质及相似三角形的判定与性质，利用圆的切线性质是解决本题的关键点．10．(1)见解析(2)3【分析】（1）证△BHF ∽△DHA ，根据线段比例关系即可证；（2）过点O 作OG AD ⊥于点G ，可得OH OG =，设OH OG x ==，AG y =，由正弦定义，4sin 4x yθ+=，sin 4y θ=，则444x y y +=，即2120x x +-=，由勾股定理，得2224x y +=，解得OH 的长为3．（1） AB 是直径，90ACB DCB ︒∴∠=∠=．DH AB ⊥，CFD BFH ∠=∠，CDH ABC θ∴∠=∠=．90DCB DHB ACB ︒∠=∠=∠=，BHF DHA ∴∆∆∽．::BH DH FH AH ∴=．BH AH DH FH ∴⋅=⋅．（2）解：如图，过点O 作OG AD ⊥于点G ．由（2）知，CDH ABC θ∠=∠=．2ADO θ=∠，OD ∴平分CDH ∠．OH OG ∴=．设OH OG x ==，AG y =，则4AH x =+，2AC y =，24AD AC y ==．在Rt AGO ∆中，由勾股定理，得2224x y +=．①在Rt AHD ∆中，sin AH ADH AD ∠=，即4sin 4x y θ+=．② 在Rt ABC ∆中，sin AC ABC AB∠=，即sin 4y θ=．③ 由②③，得444x y y +=， 24y x ∴=+．代入①中，得2120x x +-=，解得3x =或4x =-（舍去）．故OH 的长为3．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，运用相似三角形的判定和性质解题是关键．11．(1)证明见解析(2)5【分析】（1）连接OC ，由切线的性质可得OC MN ⊥，即可证得OC BD ⊥，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得CBD BCO ABC ∠=∠=∠，即可证得结论；（2）连接AC ，由勾股定理求得BD ，然后通过证得C ABC BD ∽△△，求得直径AB ，从而求得半径．（1）证明：连接OC ，∵MN 为O 的切线，∴OC MN ⊥，∵BD MN ⊥，∴//OC BD ，∴CBD BCO ∠=∠，又∵OC OB =，∴BCO ABC ∠=∠，∴CBD ABC ∠=∠．（2）解：连接AC ，∵BD MN ⊥，∴BCD △是直角三角形，∵BC =4CD =，∴8BD ，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90ACB CDB ∠=∠=︒，∵ABC CBD ∠=∠，∴C ABC BD ∽△△，∴AB CBBC BD == ∴10AB =，∴O 的半径是5．【点评】本题考查了切线的性质和圆的基本性质、三角形相似的判定和性质以及解直角三角形.通过作辅助线构建等腰三角形、直角三角形是解题的关键．12．(1)16AE =；CD =(2)当点E 位于OB 的中点位置时，以,,,O C B D 为顶点的四边形为菱形，理由见解析【分析】（1）利用勾股定理得出BC 的长，再证明AEC ACB △△得出AE 的长，由勾股定理得CE 的长，再由垂径定理即可得出答案；（2）利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形求出即可．(1)解：∵O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵O 的直径12218,AB AC == ∴226BC AB AC -∵过点B 的O 的切线交AC 的延长线于点F ，且CD FB ∥.∴90AEC ABF ∠=∠=︒，∴AEC ACB ∠=∠∵A A ∠=∠，∴AEC ACB △△， ∴AC AE AB AC =， ∴12218122∴16AE = ∴2242CE AC AE =-=∵OE CD ⊥，∴CE DE = ∴282CD CE ==(2)解：当点E 位于OB 的中点位置时，以,,,O C B D 为顶点的四边形为菱形．如图，理由：由（1）得CE DE =，当EO BE =时，四边形OCBD 为平行四边形，又∵OB CD ⊥，∴以点,,,O C B D 为顶点的四边形为菱形. 【点评】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理以、菱形的的判定、勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．13．(1)见解析 (2)95【分析】（1）连接OD ，BD ，分别证明BE DE =和DE EC =，从而可得结论；（2）根据勾股定理求出5AC =，再证明Rt ADB Rt ABC ∆∆∽，根据相似三角形的性质可得结论．（1）连接OD ，BD ，∵DE 是圆的切线，∴90ODE ∠=︒，∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒又90ABC ∠=︒∴90ABC ODE ADB ︒∠=∠=∠=，∵OA OD =，OB OD =∴A ODA ∠=∠，ODB OBD ∠=∠，∵90A ABD ABD DBE ADO ODB ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒，DBE A ODA BDE ∴∠=∠=∠=∠，BE DE ∴=，∵90DBC C BDE CDE ∠+∠=∠+∠=︒，又C OBD ODB EDC ∠=∠=∠=∠，DE EC ∴=，12BE BC ∴=， ∴点E 为BC 的中点；（2）2DE =，24BC DE ∴==，在Rt ABC ∆中，5AC ==．BAD CAB ∠=∠，ADB ABC ∠=∠·Rt ADB Rt ABC ∴∆∆∽，AD AB AB AC∴=， 295AB AD AC ∴== 【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．14．(1)63(2)见解析【分析】（1）利用弧相等，由圆周角定理推论推出ADE AGD △∽△，由相似三角形的性质可求AD 的长度，再利用平行四边形的性质可求出AC 的长度；（2）利用对角线相等的平行四边形是矩形可得证．(1)解：∵DE 是直径，3AG =，6EG =，∴90EAD ∠=︒，9AE AG EG =+=，∵=AF AD ，∴ADF AFD AED ∠=∠=∠，又∵90DAE GAD ∠=∠=︒，∴ADE AGD △∽△， ∴AD AG AE AD=， ∴23927AD AG AE =⨯=⨯=， ∴33AD =∵四边形OABC 是平行四边形， ∴263AC AD ==(2)由（1）可知：90EAD ∠=︒，∴AED △是直角三角形， ∴()222293363DE AE AD ++∵四边形OABC 是平行四边形，∴263OB OD DE ===∴AC OB =，∴□OABC 为矩形．【点评】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定及性质、平行四边形的性质、矩形的判定、勾股定理．理解和掌握圆周角定理的推论及相似三角形判定及性质并能进行灵活应用是解决本题的关键．15．(1)∠CMP ；∠CBM ；∠BMP ；△PMA ；见解析(2)27【分析】阅读材料：连接AM ，BM ，连接MO 并延长交O 于点C ，连接BC ，证PBM ∽△△PMA 即可得出结论；（1）由阅读材料得2AE AC AD =⋅，2BF BD BC =⋅，再由AC =BD ，证AD =BC ，即可得出结论；（2）由阅读材料得2BF BD BC =⋅，从而求出BC =F 作FG BC ⊥于点G ，解Rt BFG △求出6FG ==，最后利用12BCF S BC FG =⋅△计算即可求解．（1）阅读材料证明：如图，连接AM ，BM ，连接MO 并延长交O 于点C ，连接BC ．∵PM 为O 的切线，∴∠CMP 90=︒，∴90CMB BMP ∠+∠=︒，∵CM 为O 的直径，∴∠CBM 90=︒，∴90CMB MCB ∠+∠=︒，∴MCB ∠=∠BMP ，∵MAB MCB ∠=∠，∴BMP MAB ∠=∠．∵P P ∠=∠，∴PBM ∽△△PMA ． ∴PM PB PA PM=， ∴2PM PB PA =⋅．故答案为：∠CMP ，∠CBM ，∠BMP ，△PMA ．（1）证明：∵AE ，BF 为O 的两条切线，∴2AE AC AD =⋅，2BF BD BC =⋅．∵AC BD =，∴AC CD BD CD +=+，即AD BC =．∴22AE BF =，∴AE BF =．（2）解：∵2CD BD =，设BD m =，则2CD m =，3BC m =，由由阅读材料得，2BF BD BC =⋅，即2236m =，解得3m = ∴3BC =如图1，过点F 作FG BC ⊥于点G ，在Rt BFG △中，sin FG FB B =，即3633FG == ∴12BCF S BC FG =⋅△16333272=⨯=．【点评】本题考查切线的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，本题属阅读材料题，通过阅读，探究出一个结论，再运用结论解决其他问题，属中考试常用考类型．16．(1)见解析(2)130°【分析】（1）根据B ，C 是AD 的三等分点，求出ABC BCD =，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可；（2）根据圆周角定理得出∠CAD =∠BDA =∠BDC =25°，根据三角形内角和定理求出∠AED ，再求出答案即可．【解析】（1）证明：B ，C 是AD 的三等分点，AB BC CD ∴==AB BC BC CD ∴+=+∴ABC BCD =∴AC =BD ；（2）连接AD ，∵∠BDC =25°，AB BC CD ==∴∠CAD =∠BDA =∠BDC =25°，∵∠AED +∠CAD +∠BDA =180°，∴∠AED =180°-∠CAD -∠BDA =180°-25°-25°=130°，∴∠BEC =∠AED =130°，故答案为：130°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键．17．(1)见解析(2)EM【分析】（1）连接CD ，根据题意可得出BC =OA ，CD =OD ，∠AOD =∠BCD ，利用SAS 证明△AOD ≌△BCD 即可得出结论；（2）由△AOD ≌△BCD 知AD =BD ，运用勾股定理可得出BD AD ==BE =，连接DM ，证明BDM BED ∆∆得BD BM BE BD=，即2BD BM BE =，设EM =x ，BM x =，代入相关数据得方程7(7)3x -=，求出x 的值即可．(1)连接CD ，如图，∵BD 是切线，DE 是圆的直径，∴DE BD ⊥，∴BDO ∆是直角三角形. ∵12BC AC =， ∴=BC OC OA =，∴点C 为OB 的中点，CD 为OB 边上的中线，∴CD OC OD ==，∴DCO DOC ∠=∠，∴DOA DCB ∠=∠，在DOA ∆和BCD ∆中，AO BC AOD BCD CD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DOA DCB ∆≅∆，∴BAD ABD ∠=∠．(2)∵AC 是圆的直径，∴=90ADC ∠︒，∴ADC ∆是直角三角形，∵1AO OC CD ===，∴2AC =，由勾股定理得，2222213AD AC CD --由（1）知DOA DCB ∆≅∆， ∴3BD AD ==在Rt BDE ∆中，2,3DE BD == ∴22222(3)7BE DE BD =++连接DM ，∵DE 是圆的直径，∴90BMD EMD ∠=∠=︒，∵90EDB ∠=︒，∴BMD EDB ∠=∠，又MBD DBE ∠=∠，∴BDM BED ∆∆，∴BD BM BE BD=，即2BD BM BE =，设EM =x ，则BM x =，(7)3x -=，解得，x =∴EM = 【点评】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确证明BDMBED ∆∆是解答本题的关键． 18．(1)30°(2)【分析】（1）根据切线的性质求出60COB ∠=︒，再根据圆周角定理求CPQ ∠的大小即可；（2）证明BQC BCP △∽△结合1tan 2CPQ ∠=即可求出BQ 的长度，再由相似得到的比例即可求出BC 的长度，最后根据AB =2BC 求值即可．（1）如图，连接CO ．∵AB 与O 相切于点C ，∴CO AB ⊥．∵,30AO BO A =∠=︒，∴30,60B A COB ∠=∠=︒∠=︒，∴1302CPQ COB ∠=∠=︒．（2）∵PQ 是O 的直径，∴90PCQ ∠=︒．∵1tan 2CPQ ∠=， ∴12CQ CP =∵90PCQ OCB ∠=∠=︒， OC OP =，∴OPC OCP BCQ ∠=∠=∠．∵B B ∠=∠，∴BQC BCP △∽△， ∴12BQ BC CQ BC BP CO ===， ∴2,2BP BC BC BQ ==， ∴45BP BQ BQ ==+25BQ = ∴45BC = ∴85AB =【点评】本题综合考查切线的性质、圆周角定理、正切、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质，考查的知识点比较多，但是都比较简单，正确的作出辅助线是解题的关键．19．(1)见解析(2)见解析 (3)23π【分析】（1）由垂径定理及三角形中位线定理即可求解；（2）先证明AB EF ∥，再根据平行线的性质得出OAB F ∠=∠，即可证明()ABC FEO AAS ≌△△；（3）连接OB ，先证明OBC △为等边三角形，再利用弧长公式计算即可．(1)证明：∵OD AB ⊥，∴点D 是AB 的中点，∵点O 是AC 的中点，∴2BC OD =，∵OE BC =，∴2OE OD =，(2)证明∵OD AB ⊥，EF DE ⊥，∴90EDB ∠=︒，90DEF ∠=︒，∴180EDB DEF ∠+∠=︒，∴AB EF ∥，∴OAB F ∠=∠，∵AC 是⊙O 的直径，∴90ABC ∠=︒，∴ABC E ∠=∠，∵OE BC =，∴()AAS ABC FEO ≌△△，(3)解：连接OB ，∵EF 与⊙O 相切时，∴2OE =，∴2BC OE ==，∵在OBC △中，OC OB BC ==，∴OBC △为等边三角形，∴60BOC ∠=︒， ∴60221803BC L ππ⨯⨯==．【点评】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理、平行线的性质、切线的性质、全等额三角形的判定、等边三角形的判定与性质及弧长公式，熟练掌握知识点是解题的关键．20．(1)见解析(2)70°，理由见解析(3)60°【分析】（1）连接AO 、BO 、OP ，根据切线的性质及全等三角形的判定证明△APO ≌△BPO ，即可求解；（2）由（1）得到AP =BP ，根据三角形内角和定理得到∠P AB ＝∠PBA ＝70°，证明△AFD ≌△BDE ，根据全等三角形的性质得到∠AFD ＝∠BDE ，根据三角形的内角和，得到答案；（3）根据菱形的性质与直角三角形的性质证明BD =BE =DE ，得到△BDE 是等边三角形，根据三角形内角和即可求解．（1）连接AO 、BO 、OP ，∵P A 和PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴∠OAP =∠OBP =90°，又∵AO =BO ，OP =OP ，∴△APO ≌△BPO （HL ），∴AP =BP ；（2）当EDF ∠是70度时，BD AF =，证明如下：由（1）可得P A ＝PB ，∴∠P AB ＝∠PBA ＝12（180°−40°）＝70°，在△AFD 和△BDE 中， AD BE FAD DBE AF BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFD ≌△BDE （SAS ）∴∠AFD ＝∠BDE ，∴∠EDF ＝180°−∠BDE −∠ADF ＝180°−∠AFD −∠ADF ＝∠F AD ＝70°，故EDF ∠是70度时，BD AF =．（3）如图，当四边形DEPF为菱形时，∠APD=∠BPD，EP=DE=DF=PF，∵AP=BP，DP=DP，∴△APD≌△BPD（SAS），∴AD=BD，∴DP⊥AB，△BDP是直角三角形，∵DE=EP，∴∠DPE=∠PDE，∴∠DPB+∠DBP=∠PDE+∠BDE=90°，∴∠DBP=∠BDE，∴DE=BE，∵AD BE，∴BD=BE=DE，∴△BDE是等边三角形，∴∠DBE=60°=∠P AD，∴∠APB=180°-∠DBE-∠P AD =60°，故答案为：60°．【点评】本题考查的是切线的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.。