第6章集合代数
集合代数
1/11/2020 1:46 AM
Discrete Math. , Yanxiu Sheng
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集合的表示方法
集合的表示方法 列元素法 A={a,b,c,d},B={1,2,3,4},
D={桌子,灯泡,自然数,老虎}, C={2,4,6,…,2m},S={a,a2, a3, …, an} 仅适用于有限集合。 谓词表示法 B={ x | P(x) } B 由使得 P(x) 为真的 x 构成 如, P(x) 表示x是正奇数,则B是所有正奇数的集合.
{1,2,4}={1,4,2} 集合中的元素不一定同类。
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Discrete Math. , Yanxiu Sheng
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幂集
定义 (A) = { x | xA },或记为(A),2A 实例 () = {}, ({}) = {,{}} ({1,{2,3}})={,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}} 计数:如果 |A| = n,则 | (A)| = 2n
xA和 xA 两者成立其一,且仅成立其一.
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隶属关系的层次结构
例1 A={ a, {b,c}, d, {{d}} } {b,c}A bA {{d}}A {d}A dA
注意:集合的元素也可以是集合.
证明 设A={a1,a2,…,an},把a1a2…an与一个n位二进制数b对应, ai对应于b的第i位。定义二进制数b所对应A的子集B :与b 中的1对应的A中元素组成的集合。这样B与该二进制一一 对应,有多少个不同n位二进制就有多少个不同的子集。
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高等代数第六章 6第六节 子空间的交与和 太原理工大学
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = 0 , ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a s1 x1 + a s 2 x 2 + ⋯ + a sn x n = 0 , b11 x1 + b12 x 2 + ⋯ + b1n x n = 0 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ bt 1 x1 + bt 2 x 2 + ⋯ + btn x n = 0
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证毕. 证毕
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由集合的交的定义有,子空间的交 由集合的交的定义有,子空间的交适合下列 运算规律: 运算规律: V1∩V2=V2∩V1 (交换律 , 交换律), 交换律 (V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3)(结合律 结合律). 结合律 由结合律,可以定义多个子空间的交 由结合律,可以定义多个子空间的交: 多个子空间的 s
V1 + V2 + ⋯ + Vs = ∑ Vi
i =1 s
它是由所有表示成 它是由所有表示成
α 1 + α 2 + ⋯ + α s , α i ∈ Vi ( i = 1 , 2 , ⋯ , s )
的向量组成 的子空间. 的向量组成V的子空间 组成
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关于子空间的 有以下结论 结论: 关于子空间的交与和有以下结论: 子空间 1. 都是子空间 设V1, V2, W都是子空间,那么由 p V1与 都是子空间,那么由Wp Wp V2可推出 p V1∩V2 ;而由 V1p W与V2p W 可 p 可推出Wp 与 推出V 推出 1+V2p W 2. 对于子空间 1与V2 ,以下三个论断是等价的: 对于子空间 子空间V 以下三个论断是等价的: 1) V1 V2; 2) V1∩V2=V1; 3) V1+V2=V2 . (这些结论的证明较容易,留给大家作练习.) 这些结论的证明较容易,留给大家作练习 )
《离散数学》第六章 集合代数
例3: 4个x ,3个y,2个z的全排列中,求不出现xxxx,yyy ,zz图象的排列。
设x不具有性质P1,P2,…,Pm ,那么x∉Ai,i= 1,2,…m。则它对等式左边计数的贡献为1,对 等式右边的计数的贡献也是1。
根据牛顿二项式定理不难得到上面式子的结果是0.而 由于x具有n个性质,它对等式左边的贡献也为0。
4.3 几个例子
例1:求1-1000之间(包括1和1000)不能被5,也不能被6, 还不能被8整除的整数有多少个?
总体上还是多采用命题逻辑中的等值式,但在叙述
上采用半形式化的方法。
例6.6 证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C).
证明: 对于∀x
x ∈ A-(B∪C) Ù x ∈ A ∧ x ∉(B∪C) Ù x ∈ A ∧ ⎤ (x∈B ∨ x∈C) Ù x ∈ A ∧ (⎤x∈B ∧ ⎤x∈C) Ù x ∈ A ∧ (x ∉ B ∧ x ∉ C) Ù x∈A∧x∉B∧x∉C Ù (x ∈ A ∧ x ∉ B) ∧ (x ∈ A ∧ x ∉ C) Ù x ∈ A- B ∧ x ∈ A- C Ù x ∈( A- B) ∩(A- C)
全排列的个数为:9!/(4!3!2!)=1260; 所以要求的排列数为
1260-(60+105+280)+(12+20+30)-6 =871.
4.4 三个练习
练习1:求由a,b,c,d构成的n位符号串中,a,b,c,d都至 少出现一次的符号串的数目。
高等代数第六章
数域P上的线性空间.
例5 全体正实数R+,
1) 加法与数量乘法定义为: a, b R , k R
a b log
b a
k a ak
a , b R , k R 2) 加法与数量乘法定义为:
a b ab
k aa
k
判断 R+是否构成实数域 R上的线性空间 .
为数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体,再添上 零多项式作成的集合,按多项式的加法和数量乘法
构成数域 P上的一个线性空间。
例3 线性空间 P mn
数域 P上 m n矩阵的全体作成的集合,按矩阵的乘法 和数量乘法,构成数域 P上的一个线性空间。
例4 任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个
3)如果 σ 、τ都是双射,那么 g 也是双射,并且
g 1 ( ) 1 1 1
§2.线性空间的定义和简单性质
线性空间的定义 线性空间的简单性质
引例1 对于数域P上的n维向量空间Pn,定义了两个向 量的加法和数量乘法: (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) (a1 b1 , a2 b2 , , an bn )
定义:集合是一些事物汇集到一起组成的一个整
体;组成集合的这些事物称为集合的元素。
集合用大写字母A、B、C 等表示; 集合的元素用小写字母a、b、c 等表示.
Note “集合”概念没有一个严谨的数学定义,只是有一个 描述性的说明. 集合论的创始人--19世纪中期德国数学家康托尔 (Cantor)把集合描述为:所谓集合是指我们直觉 中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些事物作为 一个整体来考虑的结果. 集合中的元素具有:确定性、互异性、无序性.
第6章代数
第六章 代 数 例3 (a) 考虑具有〈N, +, 0〉形式的构成成分和下述公理的代数类。 (1) a+b=b+a (2) (a+b)+c=a+(b+c) (3) a+0=a
那么〈I, ·, 1〉, 〈ρ(S), ∪, 和〈R, min, +∞〉(这里R是
包含+∞的非负实数)等, 都是这一种类的成员。
而每一非0元素 x 的逆元是(k - x) 。
第六章 代 数
(g) 设Nk是前k个自然数的集, 这里k≥2, 定义模k乘法×k如下:
x×ky = z
这里z∈Nk, 且对某一n, xy – z = nk。
即 xy/k = n …… z (余 )
( --------用于计算)
结论:
① 1是幺元 。
② 有逆元仅当x和k互质。
第六章 代 数
③ (G除去幺元b,剩下a与c ) 经考察发现:
运算表中a所在行与c 所在列的交叉元素,
以及c所在行与a所在列 的交叉元素都是幺元b。
故a与c互 逆 。
*a b c aa a b ba b c cbc c
第六章 代 数
(e) 考虑在函数的合成运算下,集合A上的所有函数的集合F。
那么恒等函数IA 是幺元,每一双射函数有一逆元。 (f) 设 Nk 是前k 个自然数的集合, 这里 k ﹥ 0 ,
在运算表中, x0所在行与列的元素,分别与表头的行与
列的元素一一对应相同 。 结论2: 在运算表中,某元素 y0 ∈ A是运算*的零元
在运算表中, y0所在行与列的元素都是y0
结论3: 运算*满足交换律
运算表中的元素 关于主对角线对称
离散数学_第06章代数结构概念及性质
【例】(1)以实数集 R 为基集,加法运算" +"为二元,运算组成一代数系统,记为〈R, +〉。 (2)以全体n×n实数矩阵组成的集合 M为基集,矩阵加"+"为二元运算,组成一代 数系统,记为〈M,+〉。 (3)设 S A { | 是集合A上的关系}, “ ” 是求复合关系的运算。它们构成代数 系统S A , 。
有了集合上运算的概念后,便可定义代数结
构了。
定义6.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的 ni元运算,其中i=1,2,…,m。由S及f1, f2,…,fm组成的结构,称为代数结构,记 作<S,f1,f2,…,fm>。
此外,集合S的基数即|S|定义代数结构 的基数。如果S是有限集合,则说代数结构 是有限代数结构;否则便说是无穷代数结构。
分配律,或者⊙对于○是可左分配的,即
(x)(y)(z)
(x,y,z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z))。
运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可 右分配的,即(x)(y)(z) (x,y,z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x)) 类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。 若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律, 则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可 定义○对于⊙满足分配律。
x为关于⊙的右逆元:=(y)(y∈S∧y⊙x=e);
x为关于⊙可逆的:=(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)
给定<S,⊙>及幺元e;x,y∈S,则 y为x的左逆元:=y⊙x=e
y为x的右逆元:=x⊙y=e
y为x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e
显然,若y是x的逆元,则x也是y的逆元,
因此称x与y互为逆元。通常x的逆元表为x-1。
集合代数
集合代数对事物进行分类是科学研究的一项基本工作。
在数学上通常把分类的结果称为集合。
因此,“集合”是数学中最常用的概念。
事实上,现代数学中所有对象都可以视为集合,所有数学概念都可以用集合进行定义。
数理逻辑学家们正努力用集合及其若干公理重新构造整个数学体系。
我们学习集合论的意义有两点:(1)集合论是数学的基础,学习集合论有助于理解现代数学的公理化方法。
(2)集合论为应用领域提供建模和分析工具。
本讲学习集合论的基础知识,包括如下4个部分:1.集合代数:若干基本概念和集合运算及其运算定律。
2.二元关系:用集合定义二元关系,二元关系的分类和性质。
3.函数:用二元关系定义函数,函数的分类和性质。
4.ZFC公理系统:学习由Zermelo和Frankel等人所设计的10组集合论公理,并用以证明某些对象的分类是集合。
1.集合的概念和表达式我们所能感知的客观事物和思想中产生的观念,是我们的认知对象(object,entity)。
我们根据对象的各种共同性质把对象划分为不同的类(class)。
在数学中,我们通常把一个类称为集合(set),其中的对象称为该集合的成员(member)或者元素(element)。
通常用大写字母表示某集合,小写字母表示该集合中的元表示x是A的成员,读作“x属于A”。
这个素。
对于任何集合A,我们用x A成员隶属关系是集合论中的一个基本关系,可以定义其它的关系,包括两个集合相等、包含,等等。
在现代数学中,“集合”被选作为一个基础性概念,用以定义其它数学概念。
作为整个数学体系的第一概念,它自身是没有定义的,也是不可能被定义的。
尽管集合概念没有通用的定义,每个集合实例都是有严格定义的。
我们有两种定义集合实例的方法,即枚举法和概括法。
ZFC公理系统严格地描述了这两种定义集合的方法。
这里我们先对两种定义方法做直观的描述。
枚举法:也称列举法,明确地将一个集合的所有元素(的名字)排列在花括号内,元素之间用逗号分隔。
6_1_运算与代数系统[10页]
例=> 实数集上的乘法对加法、n阶多项式和矩阵上的乘法对加法都是可分配 的;一个集合的幂集上的∪和∩是互相可分配的。
思考:原则上,可以将一个映射 f:An→B作为n元运算的定义,但总需要考虑 运算结果对A的封闭性,即应有B⊆A,否则没有什么实际意义。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
6.1.1 n元运算
Discrete mathematics
[例6-1] 设A={x|x=2n,nN},问算数乘法和加法是否为A上的二元运算? 解: 问题等同于衡量运算是否对A封闭。对A的任意两个元素x=2p 和y=2q,因为
6.1 运算及其性质
6.1.1 n元运算
Discrete mathematics
在一个集合上构造映射之后,可以利用映射得到集合元素的像,从而形成了运 算。
[定义6-1:n元运算] 设A是一个非空集合,一个映射 f:An→A 称为A上的n元代 数运算,简称 n 元运算(n-ary operation)。其中,n ≥ 1为自然数,称为运算的 元、阶或目。
第6章 运算与代数系统
Discrete mathematics
运算是指对集合元素的加工、处理和变换,集合与其上定义的运算构成了各种 代数系统,也称为代数结构,它们是近世代数(也称为抽象代数)研究的中心 内容,在现代数学、计算机科学和编码理论等领域具有很多重要的应用。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
xy = 2p +q
但p=1且q=2时,有 21+22=6A
第6章 格与布尔代数
借助于子代数给子格下的定义: Def 设(L, +, ∙)是格, M L, 若(M, +, ∙)是 格, 则称(M, +, ∙)为(L, +, ∙)的子格(sunlattice).
显然, (M, +, ∙)为(L, +, ∙)的子格 M关于+和 ∙封闭.
Remark 设(L, +, ∙)是格, M L, (M, )是 格与(M, )是子格存在差异. 正因为这样, 才 借助于子代数对子格定义.
(L, )与(L, )? Def 对于任意关于格(L, )的命题, 将命题前 提和结论中的(1) 改为; (2)+ 改为; (3) 改 为+;(4)0改为1;(5)1改为0所得到的命题称 为原命题的对偶命题. Theorem 6-2 对于任意关于格(L, )的真命题, 其对偶命题亦为真.
Chapter 6 格与布尔代数
格论(1935)是一种重要的代数结构, 它是计算机语 言的指称语义的理论基础,在计算机应用逻辑研 究中有着重要作用. 布尔代数是英国数学家George Boole在1847年左右 在对逻辑思维法则进行研究时提出的,后来很多 数学家特别是E. V. Hungtington和E. H. Stone对布 尔代数的进行了一般化研究,在1938年C. E. Shannon发表的A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits 论文,为布尔代数在工艺技术
2.格的两种定义的等价性 格的这两种定义是否是一回事? Theorem 6-7 偏序格(L, )与代数格(L, +, ∙)是 等价的. Proof () () x, y L : x y x y x. (1) 是偏序.
高等代数教案 北大版 第六章
,V 中加法的定构成K 上的线性空向量组的线性相关与线性无关向量组的线性等价;极大线性无关组.,s α,又给定数域,s k ,称s s k k α+为向量组12,,,s ααα的一个4(线性表出内一个向量组,s α,设β是V 内的一个向如果存在K 内s ,s k ,使得122s s k k ααα+++,,,s α线性表出.向量组的线性相关与线性无关) 内一个向量组12,,αα,s k ,使得s s k α+=,s α线性相关;若由方程s s k α+=0s k ===则称向量组,s α线性无关.命题3 设12,,s V ααα∈,则下述两条等价:12,,s ααα线性相关;某个i α可被其余向量线性表示证明同向量空间.线性等价) 给定,r α (,s β (Ⅰ)中任一向量都能被线性表示,则称两向量组(极大线性无关部分组,s α,如果它有一个部分组,,,r i ααα满足如下条件,r i α线性无关;、原向量组中任一向量都能被,r i α线性表示,则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组.由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没于是那些命题在线性空间中依然成立一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同,,n ε和1,,n ηη是两组基2121212122221122,,.n n n nn n n nn n t t t t t t t εεεεηεεε++++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 11121212221212,)(,,,)n n n n n n nn t t t t t t tt t ηεεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 我们称矩阵111212122212n n n n nn t t t t t t T tt t ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪⎭,,n ε到1,,n ηη的过渡矩阵.6 设在n 维线性空间V/K 中给定一组基12,,,n εεε.T 是212,,,)(,,,).n n T ηηεεε=,n η是V/K 若12,,,n ηηη是线性空间,n η线性无关考察同构映射nK V ασ,:→,构造方程122)()(n k k ησηση+++1,2,,)n ,22)n n k k ηη++0n n k η+=,0n k ==⇒,()n σση线性无关.,()n ση构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵可逆;若过渡矩阵可逆,则构造方程122n n k k ηηη+++=,(1,2,,)K i n =,作用,得到112()((n k k k σησηση++,120n k k k ⇒====.证毕向量的坐标变换公式;nK 中的两组基的过渡矩阵,n ε和12,,,n ηηη,又设,n ε下的),n a ,即1212(,,,)n n a a a εεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,,,n η下的坐标为,,)n b ,即1212,,,)n n b b b ηη⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.现在设两组基之间的过渡矩阵为T,即1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=2n a ⎪⎪⎪⎪⎭,2n Y b ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,12[(,,)]n Y T Y εεε=.122122212,),,,),(,,,).n n n n n nn a a a a a ε= 和122122212,),,,),(,,,).n n n n n nn b b b b b η=1212(,,,)(,,,).n n T ηηηεεε=的第i 个列向量分别是i η在基12,,,n εεε下的坐标.,n ε和1,,,n ηηη看作列向量分别排成矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A aa a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;111212122212n n n n nn b b b b b b B b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, AT =,将A 和B 拼成2n n ⨯分块矩阵()|A B ,利用初等行变换将左边矩化为单位矩阵E,则右边出来的就是过渡矩阵T,示意如下:)|()|(T E B A −−−→−行初等变换.ε为W ,r1,,r r εε+的一个子空间假设即可.二、子空间的交与和定义13 设,t V α∈}22|,1,2,,t t i k k k K i t αα+++∈=称为由12,,,t ααα生成的子空间,记为12(,,,)t L ααα生成的子空间的维数等于12,,,t ααα的秩.) 设12,V V 为线性空间V/K 的子空间,定义2{V v =∈称为子空间的交; 21{V v +=+称为子空间的命题9 12V V 和1V +证明:由命题4.7,只需要证明2V 和1V +12,V V αβ∈,则1,V αβ∈,,αβ12,V V αβ+∈,于是12V V αβ+∈,12V V 关于加法封闭;2V ,k ∈12,kv V kv V ∈∈,于是12kv V V ∈,12V V 关于数乘封1,V V β∈+111222,,,V V αβαβ∃∈∈,21,αββ=2V ,则,,m V 是2m V V 和m V +均为的子空间.维数公式.1 设V 为有限维线性空间,2dim()V .,12dim()V V r =,2V 的一组基,r ε(若2V V =0,则基为空集),将此基分别扩充为12,V V 的基1212,,,,,,,r s r εεεααα-, 1212,,,,,,,r t r εεεβββ-,1212,,,,,,,,,r s r t r εαααβββ--是12V V +见12V V +中的任一向量都可1212,,,,,,,,,r s r t r εαααβββ--线性表出.事实上,V γ∀∈12γ+,其中1122,V V γγ∈∈,而111221122,r r r r s s r k k k k k k γεεεααα++-=+++++++ 211221122.r r r r t t r l l l l l l γεεεααα++-=+++++++,i j k l K ∈被121212,,,,,,,,,,,r l r t r εεεαααβββ--线性表21212,,,,,,,,,,r l r t r εεαααβββ--线性无关即2211220s r s r t r t r a a b b b ααβββ----++++++=,11221r r s r s r k a a a V εααα--+++++∈,11222t r t r b b b V βββ------∈,112212r r s r s r a a a V V εααα--++++∈,记为,r ε线性表示,设22r r h h αεε++,12211220r r t r t r h h b b b εεβββ--+++++++=,12,,,,,r t r εβββ-是2V 的一组基,所以线性无关,则12120r t r h h h b b b -========,12120r s r k k a a a -========,21212,,,,,,,,,,r s r t r εεαααβββ--线性无关12,,,t V V 都是有限为线性空间V 的子空间,则:1212)dim dim dim t t V V V V V V +++≤+++.作归纳.,m V 是V ,,1,2,,m i i V i m αα+∈=.记为2m V V ⊕⊕⊕或1mi i V =⊕.,,m V 为数域K 上的线性空间V 上的有限为子空间,则下述四m V +是直和;零向量表示法唯一;1ˆ(){0},1,2,,im V V V i m ++++=∀=;1212dim()dim dim dim m m V V V V V V +++=+++.: 1)2)⇒显然.1)⇒设1212,m m ααααβββ=+++=+++则(m α+-1,2,,m ,21m V V V +++是直和个,1i i ≤≤1ˆ(){0}im V V V ++++≠存在向1ˆ()i im V V V V ∈++++,于是存在j V ,使得1ˆi m αααα=++++.由线性空间的定义,1ˆ()iim V V V V α-∈++++,()()0m αααα+-++=+-=,与零向量的表示法唯一矛盾1ˆ(){0},1,2,,i im V V V V i m ++++=∀=.2)⇒若2)不真,则有10i m ααα=++++,1,2,,)m 且0i α∃≠.于是1ˆˆ()i m i im V V V V αα+++∈++++,成立.作归纳.由维数公式得到121212dim dim dim()dim dim V V V V V V =+-=+.11)dim(),m m m V V ---+111垐()(){0}i m i i m V V V V V V V -++++⊆++++=由归纳假设,可以得到1212dim()dim dim dim m V V V V V +++=+++3)⇒,1i i m ∀≤≤,都有1112垐())dim()dim()dim(i m i i m V V V V V V V V V ++++=+++++-++1ˆ(){0},1,2,,im V V V i m ++++=∀=.证毕.推论 设12,V V 为V 的有限维子空间,则下述四条等价: 12V V +是直和; ii)零向量的表示法唯一; iii)2{0}V V =;12dim()V V +=二、直和因子的基与直和的基设1m V V V V =⊕⊕,则,m V 的基的并集为,r ii ε是i V 的组基,则V 121{,,,}r im i i i i εεε=线性表出.又1dim dim i m V r r =+,由命题4.5,它们线性无关,于是它们是V 的一组基. 证毕. 三、补空间的定义及存在性定义 设1V 为V 则称为1V 的补空间.命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间证明: 设V ,r ε,将,,)n ε,则有12V V =+,且,即2V 是1V.s n AX ⨯的线性映射.上连续函数的全体,它是R 上的线性空间,sin 2,,sin ),x nx,cos).nx,AX.单线性映射(monomorphism)满线性映射(endmorphism)fα().α∈U'/kerγ.于是=,fα)('),t V α∈22()(t k k ϕαϕα+++,1122()t t k k k ϕααα+++t t k α+=则120t k k k ====,ii)成立;iii)若取组基12,,,n εεε,则,()n ϕε而im ϕ中任意向,()n ϕε线性表出12(),(),,()n εϕεϕε构成成立;⇒i)由/ker im U ϕ≅dimker dimim ϕ=即有ker ϕ=。
集合论完整
2. 笛卡儿积的性质 (1)不适合交换律 AB BA (AB, A, B) (2)不适合结合律 (AB)C A(BC) (A, B, C) (3)对于并或交运算满足分配律 A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA) A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA) (4)若 A 或 B 中有一个为空集,则 AB 就是空集. A = B = (5)若 |A| = m, |B| = n, 则 |AB| = mn
性质的证明方法 证明 A(BC) = (AB)(AC)
证 任取<x,y> <x,y>∈A×(B∪C)
x∈A∧y∈B∪C x∈A∧(y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C) 所以有 A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
|
A i
Aj
பைடு நூலகம்
Ak
|
...
(1)n
|
A1
A2
...
An
|
1i jk n
2.计数实例 例 求 1 到 1000 之间(包含 1 和 1000 在内)既不能被 5 和 6 整除,也不能被 8 整除的数有多少个? 解 方法一
33
图3
方法二 令 S = {x | xZ1x1000}, A = {x | xSx0(mod 5)} B = {x | xSx0(mod 6)}, C = {x | xSx0(mod 8)} 则 |S| = 1000 |A| = 1000/5 = 200, |B| = 1000/6 = 166, |C| = 1000/8 = 125 |AB| = 1000/lcm(5,6) = 1000/33 = 33 |AC| = 1000/lcm(5,8) = 1000/40 = 25 |BC| = 1000/lcm(6,8) = 1000/24 = 41 |ABC| = 1000/lcm(5,6,8) = 1000/120 = 8
第6章 集合代数
运算的优先权规定
1 类运算:初级运算, , , , 优先顺序由括号确定 2 类运算:广义运算和运算, 运算由右向左进行 混合运算:2 类运算优先于1 类运算
例1 A={{a},{a,b}},计算A(AA). 解: A(AA) = {a,b}({a,b}{a}) = (ab)((ab)a) = (ab)(ba) = b
25
基本要求
熟练掌握集合的两种表示法 能够判别元素是否属于给定的集合 能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关 系 熟练掌握集合的基本运算(普通运算和广义运算) 掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法
26
练习1
1.判断下列命题是否为真 (1) (2) (3) {} (4) {} (5) { a, b } { a, b, c, {a, b, c}} (6) { a, b } { a, b, c, {a, b}} (7) { a, b} { a, b, {{a, b}}} (8) { a, b} { a, b, {{a,b}}}
| A B C |
= 1000(200+166+125)+(33+25+41)8 = 600
14
6.3 集合恒等式
集合算律 1.只涉及一个运算的算律: 交换律、结合律、幂等律
交换 结合 幂等 AB=BA (AB)C =A(BC) AA=A AB=BA (AB)C= A(BC) AA=A AB=BA (AB)C =A(BC)
解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真,其余为假.
27
方法分析
(1) 判断元素a与集合A的隶属关系是否成立基本方法: 把 a 作为整体检查它在A中是否出现,注意这里的 a 可 能是集合表达式. (2) 判断AB的四种方法 若A,B是用枚举方式定义的,依次检查A的每个元素是否 在B中出现. 若A,B是谓词法定义的,且A, B中元素性质分别为P和Q, 那么“若P则Q”意味 AB,“P当且仅当Q”意味A=B. 通过集合运算判断AB,即AB = B, AB = A, AB = 三个等式中有一个为真. 通过文氏图判断集合的包含(注意这里是判断,而不是 证明
06集合代数
引言 集合论
集合论是现代数学的基础,几乎与现代数学的各个 分支都有着密切联系,并且渗透到所有科技领域,是不 可缺少的数学工具和表达语言。
集合论的起源可以追溯到16世纪末期,为了追寻微 积分的坚实基础,开始时,人们仅进行了有关数集的研 究。1976~1983年,康托尔(Georg Cantor)发表了一系 列有关集合论研究的文章,奠定了集合论的深厚基础, 以后策墨罗(Zermelo)在1904~1908年列出了第一个集合 论的公理系统,并逐步形成公理化集合论。
在本书所采用的体系中规定:集合的元素都是集合。
元素和集合之间的关系
元素和集合之间的关系是隶属关系,即属 于或不属于,属于记作∈,不属于记作。
A
例如:A={a,{b,c},d,{{d}}} a∈A,{b,c}∈A,d∈A,{{d}}∈A,
a {b,c} d
bA,{d}A。 b和{d}是A的元素的元素。
A x(x∈ → x∈A) 右边的蕴涵式因前件假而为真命题, 所以 A也为真。
推论 空集是唯一的。 证明:假设存在空集1和2,由定理6.1有
1 2 , 2 1。 根据集合相等的定义,有 1= 2。
有限集和无限集
▪ 集 合 A 中 元 素 的 数 目 称 为 集 合 A 的 基 数 ( base
n元集
含有n个元素的集合简称n元集,它的含有m(m≤n)个元 素的子集叫做它的m元子集。
例6.1 A={1,2,3},将A的子集分类:
0元子集(空集) 1元子集(单元集) 2元子集 3元子集
{1},{2},{3} {1,2},{1,3},{2,3} {1,2,3}
幂集 ( power set )
一般地说,对于n元集A,它的0元子集有 Cn0个,1元子集有 C1n 个,…,m元子集有 Cnm个,…,n元子集有 Cnn个。子集总数为
第六章 代数系统(复习)
二. 域 (Field)
定义: 定义:设<F,+, ·>是个代数系统, >是个代数系统, K[F]≥2,如果F上二元运算+ 满足: K[F]≥2,如果F上二元运算+和 ·满足: 满足 F,+>是交换群 是交换群。 ⑴ <F,+>是交换群。 ⑵ <F-{0}, ·>是交换群。 >是交换群。 可分配。 ⑶ · 对+可分配。 F,+,·>是个域。 称<F,+, >是个域。 定理: 定理:6-9.2 设<F,+, ·>是域,则F中无 > 零因子。 零因子。
定理6 5.1设 是半群,如果S 定理6-5.1设<S, >是半群,如果S是有 限集合,则必存在a∈S,使得 a=a。 使得a 限集合,则必存在a∈S,使得a a=a。 定理6 5.2设 是交换独异点, 定理6-5.2设<M, >是交换独异点,A是M 中所有幂等元构成的集合, 中所有幂等元构成的集合,则<A, > 的子独异点。 是<M, >的子独异点。
同构关系≌ 同构关系≌是等价关系
1.≌有自反性:任何代数系统<X, > , .≌有自反性:任何代数系统< 有自反性 X≌X。 有X≌X。 2.≌有对称性:任何代数系统<X, > <Y, .≌有对称性:任何代数系统< 有对称性 如果有X≌Y 则必有Y≌X。 则必有Y≌X Y≌X。 ⊕>, 如果有X≌Y .≌有传递性 任何代数系统< 有传递性: 3.≌有传递性:任何代数系统<X, > <Y,⊕>,<Z,♦ 如果有X≌Y Y≌Z, <Y,⊕>,<Z,♦> 如果有X≌Y 和 Y≌Z, 则必有 X≌Z 。
高等代数
为可逆映射, 也为可逆映射, ① 若σ为可逆映射,则σ-1也为可逆映射,且 为可逆映射 ② σ : M → M ' 为可逆映射,a ∈ M,若 σ (a ) = a ', 为可逆映射,
则有
σ −1 ( a ′ ) = a .
③ σ为可逆映射的充要条件是 为1—1对应. 为可逆映射的充要条件是σ为 对应. 为可逆映射的充要条件是 对应 对应, 证:若映射 σ : M → M ' 为1—1对应,则对 ∀y ∈ M ' 对应 均存在唯一的 x ∈ M ,使σ(x)=y,作对应 = ,
空集:不含任何元素的集合,记为φ. ☆ 空集:不含任何元素的集合,记为 .
注意:{ }≠φ,空集是任意集合的子集 :{φ}
2、集合间的关系
如果B中的每一个元素都是 中的元素,则称B是 中的每一个元素都是A中的元素 ☆ 如果 中的每一个元素都是 中的元素,则称 是 A的子集,记作 B ⊆ A ,(读作 包含于 ) ,(读作 包含于A) 读作B包含于 的子集,
但是 A ⊆ B ,
因此无论哪一种情况, 因此无论哪一种情况,都有 x ∈ B . 此即, 此即,
A U B ⊆ B. 又因 B ⊆ A U B,∴ A U B = B .
二、映射
1、定义
设M、M´是给定的两个非空集合,如果有 一个对 、 ´是给定的两个非空集合, 应法则σ,通过这个法则 对于 中的每一个元素a, 对于M中的每一个元素 应法则 ,通过这个法则σ对于 中的每一个元素 , 都有M´中一个唯一确定的元素a´与它对应 则称 σ为 都有 ´中一个唯一确定的元素 ´与它对应, 为
τ:τ(a)=aE, ∀a ∈ (E为n级单位矩阵) (是) : 级单位矩阵) = , P 为 级单位矩阵 5)M、M´为任意两个非空集合,a0是M´中的一个 ) 、 ´为任意两个非空集合, ´ 固定元素. 固定元素 σ:σ(a)=a0, ∀a ∈ M : 6)M=M´=P[x](P为数域) ) = ´ 为数域) ( 为数域 σ:σ(f (x))=f ´(x), ∀f ( x ) ∈ P[ x ] : = , (是) (是)
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例:方程x2-1=0的所有实数解的集合B: 谓词表示法: B={x|x∈R ∧x2-1=0}
列元素法: B={-1,1}。
2004-11-23
集合与图论 6.10 哈工大计算机学院 李东 教授
例:小于5的非负整数组成的集合A: A={x | x ∈ N ∧ x < 5 }. ={ 0,1,2,3,4 }
2004-11-23
集合与图论 6.32 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(26)
全集E(定义6.6): 对于一个具体问题,如果涉及的所 有集合都是某个集合的子集,则称此集合 为全集,记为E.
2004-11-23
集合与图论 6.33 哈工大计算机学院 李东 教授
注
意
全集E的定义是相对的,是针对一个 具体问题而言。不同的具体问题会有不同 的全集. 对于某一个具体问题而言。应选取 最小的全集作为讨论对象.
A U B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B}, A I B = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B}, A − B = { x | x ∈ A ∧ x ∉ B}
2004-11-23
集合与图论 6.20 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(15)
定义6.3 设A、B为集合,如果 B ⊆ A 且 A ≠ B , 则称B是A的真子集。记做 B ⊂ A 如果B不是A的真子集,则记做 B ⊄ A 真子集的含义可以用符号化来表示:
B ⊂ A⇔ B ⊆ A∧ B ≠ A
2004-11-23
集合与图论 6.3 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(1)
n 将具有某种共同特征的事物汇集到一起组成
一个整体,这个整体就称为集合(Set)。
H 组成集合的事物叫做该集合的元素
(element)。 例如:26个英文字母可以组成一个集合。 一个家庭的成员可以组成一个集合。
2004-11-23
集合与图论 6.19 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(14)
定义6.2 设A、B为集合,如果 A ⊆ B且 B ⊆ A , 则称A与B相等。记做 A = B 如果A与B不相等,则记做 A ≠ B 相等的定义可以用符号化来表示:
A= B ⇔ A⊆ B∧B⊆ A
例如:小写英文字母集L
L={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z}.
太长了,太多了, 太烦了。 全体中国人的集合CP如何表示?
2004-11-23
集合与图论 6.7 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(5)
2.谓词表示法
集合与图论 6.27 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(21)
例:求集合B={1,2,3,4}的所有子集?
解:B的0元子集,只有一个:φ ; B的1元子集,即单元集,有四:{1}、 {2}、{3} 、{4}; B的2元子集有六:{1,2}、{1,3}、 {1,4} 、{2,3}、{2,4}、{3,4} ; B的3元子集有四:{1,2,3}、 {1,2,4}、 {2,3,4}、 {1,3,4}。 B的4元子集就是它本身{1,2,3,4} 。
集合论与图论
李 东 教授 哈尔滨工业大学 计算机科学与技术学院
2004-11-23
集合与图论 6.1 哈工大计算机学院 李东 教授
第一篇 集合论
第6章 集合代数 第7章 二元关系 第8章 函 数 第9章 集合的基数
2004-11-23
集合与图论 6.2 哈工大计算机学院 李东 教授
Chapter 6: 集合代数 n 6.1 集合的基本概念 n 6.2 集合的运算 n 6.3 集合恒等式
φ = { x | x ≠ x}
2004-11-23
集合与图论 6.23 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(17)
定理6.1 空集是一切集合的子集。 证明:给定任意的集合A,由子集的定义可得:
φ ⊆ A ⇔ ∀x ( x ∈ φ → x ∈ A}
上式中右边的蕴涵式由于前件为假而为真命题, 所以 φ ⊆ A 为真。(可参考本书P9,表1.1)
例:所有奇数组成的集合B: B={x| x∈Z ∧ x mod 2 =1}. 例:10的整倍数组成的集合A: A={x| x∈Z ∧x mod 10 =0}.
2004-11-23
集合与图论 6.9 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(7) n 有些集合既可以用列元素法表示,
又可以用谓词表示法。但是有些集 合只能用谓词表示法。
2004-11-23
集合与图论 6.28 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(22)
结论: 对于n元集,它的0元子集有 Cn 个,
0
1元子集有 Cn 个,… ,i元子集有 C i 个,n n n 元子集有C 个。
1 n
子集总数为:
C + C + ⋅⋅⋅ + C + ⋅⋅⋅ + C = 2
6.1 集合的基本概念(9)
n集合元素的特性之二:
集合中的元素可以是任何类型的事 物,即集合的元素也可以是集合。 本书中进一步规定: 集合的元素都是集合。
A={孙悟空,猪八戒,沙和尚}。 B={a,b,c,{a,b},{b,c},{a,c}}。
2004-11-23
集合与图论 6.15 哈工大计算机学院 李东 教授
集合与元素的关系: 属于(∈) 或 0 ∈ N, 不属于( ∈ ) –1 ∈ Z
1.5 ∈ R ,
-2 ∈ N, 1.5+2.6i∈R , 2.5 ∈ Z
2004-11-23
集合与图论 6.17 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(12)
n 子集(定义6.1)
设A、B为集合,如B中的每一个元素都是A 中的元素,则称B是A的子集合,简称子集, 记做B A,读作A包含B,或B被A包含。 A 如果B不被A包含,则记作B
2004-11-23
集合与图论 6.21 哈工大计算机学院 李东 教授
举
例
对于任何集合S,都有:
S ⊆ S,S ⊄ S
对于数字而言,存在:
N ⊂ Z ⊂Q ⊂ R ⊂ C
但是:
N ⊄ N
2004-11-23
集合与图论 6.22 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(16)
定义6.4 不含任何元素的集合叫做空集,记做 φ 空集可以用符号化的谓词来定义:
2004-11-23
集合与图论 6.11 哈工大计算机学院 李东 教授
Question 1
A=(1,2,3)。 A={1,2,3}。 Which one is a set?
2004-11-23
集合与图论 6.12 哈工大计算机学院 李东 教授
Question 2
A={1,2,3}。 A={1、2、3}。 Which one is a set?
2004-11-23
集合与图论 6.34 哈工大计算机学院 李东 教授
举
例ห้องสมุดไป่ตู้
考虑学生的年龄时,可选择整数集 作为全集E,也可选择自然数集作为全 集E。一般我们就选择其中较小的集合 作为全集E。 问题: 考虑来上课的学生时,应选取什么作 为全集呢?
2004-11-23
集合与图论 6.35 哈工大计算机学院 李东 教授
哈工大计算机学院
6.1 集合的基本概念(19)
n元集:含有n个元素的集合。 n元集的含有m(m≤n)个元素的子 集叫做它的m元子集。 特别地,对于只含有一个元 素的集合,称之为单元集。 根据定理6.1的推论,可知:0元 子集是唯一的,既空集 φ 。
2004-11-23
集合与图论 6.26 哈工大计算机学院 李东 教授
2004-11-23
集合与图论 6.30 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(24)
例题:写出集合A={1,2,3}的幂集P(A)?
P ( A ) = {φ , { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1 , 2 }, { 1 , 3 }, { 2 , 3 }, { 1 , 2 , 3 }}
6.2 集合的运算(1)
集合的基本运算包括: 并运算:∪ 交运算:∩ 相对补运算: 对称差运算: ⊕
2004-11-23
集合与图论 6.36 哈工大计算机学院 李东 教授
6.2 集合的运算(2)
定义6.7: 设A、B为集合,A与B的并集A∪B, 交集A∩B,B对A的相对补集A-B分别定 义如下:
6.1 集合的基本概念(20)
例6.1:求集合A={1,2,3}的所有子集?
解:A的0元子集,只有一个: φ; A的1元子集,即单元集,有三:{1}、 {2}、{3}; A的2元子集有三:{1,2}、{2,3}、 {1,3}; A的3元子集就是它本身{1,2,3} ,因 为A就是三元集。
2004-11-23
6.1 集合的基本概念(10)
n集合元素的特性之三:
集合中的元素彼此不同,重复出 现的元素被认为是同一个元素,冗 余出现的元素将被自动删除。 {1,2,3,2,4,1,5} ==> {1,2,3,4,5}
2004-11-23
集合与图论 6.16 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(11)
H 集合及其元素都是有名称的。通常用大写
的英文字母来为集合命名,用小写的英文 字母来为集合元素命名。
2004-11-23
集合与图论 6.4 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(2) n 常用的集合有: Ø 自然数集N