复系数与实系数多项式的因式分解
实系数多项式因式分解定理

实系数多项式因式分解定理实系数多项式因式分解定理是高中数学中的基础知识点之一,也是数学学习的重要环节。
它是指给定一个实系数多项式,可以通过分解成若干个单项式之积的形式来表示。
本文将通过分步骤阐述,来简单介绍实系数多项式因式分解定理。
一、根据多项式的次数选择合适的方法在进行实系数多项式因式分解时,首先需要确定多项式的次数。
如果是1次多项式,则可以直接进行一次式的分解;如果是2次多项式,则考虑二次方程求根的方法来分解;如果是3次或3次以上的多项式,则可应用求有理根和非有理根的方法来进行分解。
二、确定多项式的所有根求出多项式的所有根是进行因式分解的前提。
对于n次多项式,根据代数学基本定理可知,其最多有n个根。
可以利用有理根定理、因式定理、综合除法等方法,求出多项式的所有根。
三、利用多项式各个根的特点进行分解将多项式的根全部求出后,就需要利用这些根的特点,进行分解。
比如一次多项式可以表示为(x-a),二次多项式可以分解为(x-a)(x-b),三次多项式则可分解为(x-a)(x-b)(x-c)等等。
对于没有有理根的多项式,可以进行辗转相除法,将这个多项式化为一个低一次多项式与一个高一次的多项式之积的形式,再进行分解。
四、检验分解是否正确分解完多项式后,需要检查分解是否正确。
可以通过将每个单项式展开相加,来比较与原多项式的系数是否一致。
如果展开后得到的式子,与原多项式相同,则说明该分解是正确的。
综上所述,通过利用以上的步骤,我们就可以较为简便地进行实系数多项式因式分解了。
多项式的因式分解是数学学习的重要环节,对于熟练掌握多项式的因式分解方法的人来说,不仅可以简化计算,而且可以在考试中快速地得出正确答案。
因此,我们要认真学习多项式的因式分解这一知识点,提高自己的数学水平。
高等代数课程教学大纲.总结
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精品文档高等代数( 1)课程教学大纲第一部分前言一、课程基本信息1.课程类别:专业基础课2.开课单位:数学与财经系3.适用专业:数学与应用数学专业4. 备选教材:《高等代数(第三版)》,北京大学数学系几何与代数教研室前代数组编.高等教育出版社,2003.二、课程性质和目标高等代数是数学与应用数学专业的一门重要基础课程。
本课程的主要内容是多项式理论和线性代数理论。
通过本课程的教学,使学生掌握代数基本理论和基本方法,培养学生代数方面的科学的思维、抽象的思维,逻辑推理、提高运算以及解决实际应用的能力,为进一步学习专业后续课程奠定坚实的代数基础。
本课程的教学目的是使学生获得一元多项式,行列式,线性方程组,矩阵等方面的系统知识 , 为进一步学习近世代数,复变函数、等后续课程打下坚实的基础,也为深入理解初等数学、指导中学数学教学提供了高等的专业知识与重要的方法论。
通过本门课程系统的学习与严格的训练,全面掌握高等代数的基本理论知识;培养抽象的逻辑思维能力与推理论证能力;具备熟练的运算能力与技巧;提高建立数学模型,并应用代数学的理论知识解决实际应用问题的能力。
三、课程学时与学分教学时数:96 学时,其中理论教学81 学时,实践教学15 学时学分数: 6 学分教学时数具体分配:教学内容理论教学实践教学合计(学时)(学时)(学时)第一章多项式26632第二章行列式16319第三章线性方程组22325第四章矩阵17320合计811596第二部分教学内容及其要求第一章多项式1.教学目标:要求学生理解数域的概念;掌握一元多项式的概念、运算及基本性质;掌握带余除法与整除性的关系,会进行相关运算;会求多项式的最大公因式;理解不可约多项式的概念,掌握求重因式的方法;理解多项式在不同的数域的因式分解形式;掌握Eisenstein判别法,会求有理系数多项式的根。
2.教学重点:整除概念,带余除法及整除的性质,最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质,k 重因式与 k 重根的关系。
复数域与实数域上多项式的因式分解
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设 f ( x) C[x], 并且( f ( x)) 1, 则存在 C, 使得f ( x) ( x ) f1( x),其中( f1( x)) 0.
2
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推论1 设 p( x) C[x], 则p( x)是C上的不可约多 项式 ( p( x)) 1.
即:在复数域C上所有次数大于1的多项式全是 可约的.
an n
a n1 n1
a1 a0 0
即 f ( ) 0, 所以也是 f ( x)的根.
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因此 f ( x)能被
g( x) ( x )( x ) x2 -( )x
整除.
因 和 都是实数,所以g( x)是实系数多
项式, 故有
f ( x) g( x)h(x),
证 对f ( x)的次数用数学归纳法. 因一次多项式本身不可约,定理成立. 假设定理对次数 n的多项式来说成立.
设f ( x)是n次多项式,由代数基本定理, f ( x)有一复根.
如果是实数, 那么
f ( x) ( x ) f1( x)
其中f1 ( x)是n 1次实系数多项式.
如果不是实数, 那么也是f ( x)的根,于是
次式与二次不可约多项式的乘积. 故f ( x)也可以分解成实系数的一次式与二次不
可约多项式的乘积.
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实系数多项式
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第一章 多项式
若 不为实数,则 也是 f ( x) 的复根,于是
f ( x) ( x )( x ) f2( x) x2 ( )x f2( x)
设 a bi ,则 a bi, 2a R , a2 b2 R 即在R上 x2 ( )x 是 一个二次不可约多项式.
从而 ( f2 ) n 2. 由归纳假设 f1( x) 、f2( x)可分解成一次因式与二次
不可约多项式的乘积. 由归纳原理,定理得证.
§8 复系数与实系数多项式的因式分解 © 2009, Henan Polytechnic University
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推论1
第一章 多项式
f ( x) R[ x], f ( x) 在R上具有标准分解式 f ( x) an( x c1)k1 ( x c2 )k2 ( x cs )ks ( x2 p1x q1)l1
一、复系数多项式
第一章 多项式
1. 代数基本定理
f ( x) C[x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则 f ( x) 在复数域 C上必有一根.
推论1(代数基本定理的等价叙述) f ( x) C[x] , 若 ( f ( x)) 1 , 则存在 x a C[x] ,
f ( x) a( x 1)r1 ( x 2 )r2 ( x s )rs
其中1,2 , ,s是不同的复数,r1,r2, ,rs Z+
推论2 f ( x) C[x],若 ( f ( x)) n ,则 f ( x) 有n个 复根(重根按重数计算).
§8 复系数与实系数多项式的因式分解 © 2009, Henan Polytechnic Un多项式
11. 因式分解技巧-实数集与复数集内的分解 -单墫
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11.实数集与复数集内的分解.因式分解应当分解到“底”,也就是应当把多项式分解为既约(不可约)多项式的乘积.什么是既约多项式呢?这要看在什么数集内分解.例如,2x 3-没有有理根,因而不能分解为两个有理系数的一次因式的乘积.换句话说,在有理数集内32-x 是既约多项式,但是在实数集内,因为),3)(3(32-+=-x x x 所以32-x 不是实数集内的既约多项式,到目前为止,我们的讨论都是在有理数集内进行的,本单元介绍一元多项式在实数集与复数集内的分解.11.1 求 根 公 式一次多项式永远是既约的.x 的二次三项式c bx ax ++2在复数集内的因式分解非常简单,可以用求根公式求得,242aac b b x -±-= )1( 从而 C bx ax ++2 ⋅-----+--=)24)(24(22aac b b x a ac b b x a )2( 在实数集内,当042≥-ac b 时,c bx ax ++2也可以用(2)式分解.如果,042<-ac b 那么 c bx ax ++2是实数集内的既约多项式.如果ac b 42-不是有理数的平方,那么C bx ax ++2就是有理数集内的既约多项式.如果ac b 42-是有理数的平方,那么c bx ax ++2可以用(2)分解,其实,用十字相乘更为方便:例1 分解因式:.7322--x x解 由于 ,7,3,2-=-==c b a ,065)7(24)3(422>=-⨯⨯--=-ac b65不是有理数的平方,所以在有理数集内7322--x x 是既约多项式.在实数集与复数集内可得 7322--x x⋅--+-=)4653)(4653(2x x 例2 分解因式:.7322+-x x解 由于 ,7,3,2=-==c b a,047724)3(422<-=⨯⨯--=-ac b所以在实数集内7322+-x x 是既约多项式(当然也是有理数集内的既约多项式).在复数集内可得7322--x x),4473)(4473(2i x i x --+-= 其中i 称为虚数单位,满足等式 .12-=i例3 分解因式:⋅+-89322x x 解 由于 ,89,3,2=-==c b a ,08924)3(422=⨯⨯--=-ac b 所以在有理数集内可得.)43(2893222-=+-x x x 这也是89322+-x x 在实数集与复数集内的分解式, 例4 分解因式:.2322--x x解 由于 ,2,3,2-=-==c b a,525)2(24)3(4222==-⨯⨯--=-ac b所以2322--x x 在有理数集内可以分解.事实上,由十字相乘可得 ).2)(12(2322-+=--x x x x当然,这式子也可以用(2)来分解.11.2 代 数 基 本 定 理在复数集内,每一个x 的(不是常数的)多项式至少有一个根.即对于多项式0111)(a x a x a x a x f n n n ++++=-- (n 是正整数).一定有复数c 使得.0)(=c f这个结论称为代数基本定理.根据代数基本定理,每个x 的次数大于1的多项式f (x)都有一次因式x-c ,因此在复数集内,只有一次多项式是既约多项式.由代数基本定理容易推出:n 次多项式f(x)恰好有n 个根,如果n x x x ,,,21 是0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 的n 个根,那么)3).(())(()(21n n x x x x x x a x f ---=每一个复数都可以写成a+bi 的形式,其中a 、b 为实数,i 是上面已经说过的虚数单位,在b≠0时,a+bi 称为虚数.虚数a+bi 与a- bi 称为共轭复数,它们的和为,2)()(a bi a bi a =-++它们的积为22222))((b a i b a bi a bi a +=-=-+(因为)12-=i即共轭复数的和与积都是实数.如果bi a x +=1与bi a x -=2是一对共轭复数,那么两个共轭的一次因式1x x -与2x x -的积为))((21x x x x --)]()][([bi a x bi a x --+-=),(2222b a ax x ++-=是实系数的多项式,对于实系数多项式f(x),我们可以用(3)式把它分解为复数集内的一次因式的积.有一条定理告诉我们:实系数多项式的虚数根是两两共轭的.于是,对每一对共轭的复数根(例如上面所说的21x x 、),我们把相应的两个共轭的一次因式(例如 1x x -与2x x -)乘起来,产生一个实系数的二次因式,这样就得到了f(x)在实数集内的分解.因此,在实数集内,每个多项式可以分解为一次因式与二次因式的积.换句话说,在实数集内,既约多项式一定是一次多项式或二次多项式.从理论上说,在实数集或复数集内,只要求出f(x)的根,就可以把f(x)分解,三次多项式与四次多项式虽然有求根公式,但是,公式的形状比二次多项式复杂得多.次数大于4的多项式没有求根公式,往往只能求出根的近似值.因此,对于具体问题,仍然需要用一些特殊的方法来分解.例5 分解因式:.124+-x x解 由第9单元例3,我们知道124+-x x 不能分解为两个有理系数的二次因式的积,它没有有理根(易验证±1都不是它的根),因而也没有有理系数的一次因式,所以,在有理数集内,124+-x x 是既约多项式.在实数集内,可以用拆项后配方的方法,得到 124+-x x2243)12(x x x -++=2223)1(x x -+=).13)(13(22+-++=x x x x在复数集内,还可以利用求根公式,进一步得到124+-x x)13)(13(22+-++=x x x x⋅--+--+++=)23)(23)(23)(23(i x i x i x i x 11.3 单 位 根.多项式1-n x 的根称为n 次单位根.一次单位根只有1.二次单位根有两个,即±1.由于 14-x )1)(1(22+-=x x),)()(1)(1(i x i x x x -+-+=所以四次单位根有4个,即±1,±i,前两个是实数,后两个是虚数,例6 分解因式:.13-x 解 在有理数集内,熟知),1)(1(123++-=-x x x x这也是13-x 在实数集内的分解式. 在复数集内,13++x x 还可用(2)进一步分解为),231)(231(12i x i x x x ---+--=++ 所以 ⋅+--+---=-)231)(231)(1(13i x i x x x 231i +-与231i --是两个三次(虚)单位根(1是实三次单位根),我们把231i +-记为w ,容易看出,2312i --=ω 并且 .1,1,1223ωωωωω-=+-=+= (4)一般地,在复数集内有n 个n 次单位根,它们是),,,2,1(2sin 2cosn k nk i n k =+ππ (5) 其中 .12sin 2cos =+n n i n n ππ例7 分解因式:.15-x 解 在复数集中,15-x 的根为,54sin 54cos ,52sin 52cosππππi i ++ ,1,58sin 58cos ,56sin 56cos ππππi i ++ 由(3),得 15-x ⋅-----=)54sin 54cos )(52sin 52cos)(1(ππππi x i x x ⋅----)58sin 58cos )(56sin 56cos (ππππi x i x 因为 ,52sin 52cos 58sin 58cos ππππi i -=+ 与52sin 52cos ππi +共轭,又 ,54sin 54cos 56sin 56cos ππππi i -=+ 与54sin 54cos ππi +共轭,并且 ,1cos sin 22=+αα 所以 )52sin 52cos )(52sin 52cos (ππππi x i x +--- 22)52(sin )52cos (ππ+-=x ,1)52cos 2(2+-=x x π )54sin 54cos )(54sin 54cos (ππππi x i x +--- .1)54cos 2(2+-=x x π 所以在实数集内,可得15-x⋅+-+--=]1)54cos 2(][1)52cos 2()[1(22x x x x x ππ 在有理数集内,由第2单元例13,得),1)(1(12345++++-=-x x x x x x1234++++x x x x 在有理数集内是既约多项式,这将在第12单元中证明.在(5)中,如果k 与n 互质(最大公约数为1),那么nk i n k ππ2sin 2cos +称为本原单位根.例如,对于n-15,与15互质的是1,2,4,7,8,11,13,14,共有8个,也就是说有8个15次本原单位根,可以证明,与n 饮本原单位根对应的一次因式的积是一个整系数的多项式.它称为分圆多项式,例如34x x +12+++x x 就是一个分圆多项式.11.4 攻 玉 之 石“他山之石,可以攻玉”,三次虚单位根w 可以帮助我们在有理数集内分解因式,例8 分解因式:.2245++++x x x x解 w 是多项式2245++++x x x x 的一个根.事实上,利用(4),可知 2245++++ωωωω222++++=ωωωω)122++=ωω(,0=于是ω-x 是2245++++x x x x 在复数集内的因式,它的共轭因式2ω-x 也是2245++++x x x x 的因式,又 ,1))((22++=--x x x x ωω从而12++x x 是2245++++x x x x 的因式.所以 2245++++x x x x)222()()(223345+++++-++=x x x x x x x x).2)(1(32+-++=x x x x这里,23+-x x 没有有理根,因此是有理数集内的既约多项式.从例1可以知道:如果实系数多项式f(x)有虚根w(即f(w ) =O ),那么f(x)就有因式.12++x x 例9 证明:在m 、n 为自然数时,多项式11323++++n m x x有因式+2x .1+x 证明 因为 11323++++n m ωω12++=ωω,0=所以,12++x x 是11323++++n n x x 的因式.例10 分解因式:.1510++x x解 12++x x 是1510++x x 的因式,所以把1510++x x 分组分解,得1510++x x)()()()(4565677898910x x x x x x x x x x x x ++-+++++-++=-+++)(345x x x)1()(223+++++x x x x x).1)(1(345782+-+-+-++=x x x x x x x x134578+-+-+-x x x x x x 是有理数集内的既约多项式,这一点将在12单元予以证明. 例11 分解因式:.115-x解 115-x1)(35-=x)1)(1(5105++-=x x x+-+-++++++-=45782234)(1)(1)(1x x x x x x x x x x x ().13+-x x )6((最后一步利用了例7及例10).如果沿另一途径分解:115-x1)(53-=x]1)()()())[(1(32333433++++-=x x x x x [根据例7]).1)(1)(1(369122++++++-=x x x x x x x )7(比较(6)、(7),我们知道136912++++x x x x 不是有理数集内的既约多项式,它可分解为136912++++x x x x).1)(1(34578234+-+-+-++++=x x x x x x x x x x例12 分解因式:.)(444y x y x +++ 解 w 是多项式44)1(1++⋅+x x 的根.事实上,利用(4),可得44)1(1+++ωω42)(1ωω++=21ωω++=,0=因此,12++x x 是44)1(1+++x x 的因式,22y xy x ++是x y x (++444)y +的因式(这个判断对解444)(y x y x +++)464(43223444y xy y x y x x y x ++++++=)232(2432234y xy y x y x x ++++=)]()()[(2432232232234y xy y x xy y x y x y x y x x ++++++++=.)(2222y xy x ++=小 结在复数集内,)1(≥n n 次多项式。
高等代数实系数和复系数多项式的因式分解
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−
n−2
(ε 2
+
ε
n+2 2
)x
+
1].
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
例题选讲
例 设 f(x), g(x) 是两多项式,且 f(x3) + xg(x3) 可被 x2 + x + 1 整除, 则 f(1) = g(1) = 0.
两边取共轭数,有
f(α¯) = anα¯n + an−1α¯n−1 + · · · + a0 = 0,
这就是说,f(α¯) = 0,α¯ 也是 f(x) 的根.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
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实系数多项式因式分解定理
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高斯与代数基本定理
代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用. 据说,关于 代数学基本定理的证明,现有 200 多种证法. 迄今为止,该定理 尚无纯代数方法的证明. 大数学家 J.P. 塞尔曾经指出:代数基本 定理的所有证明本质上都是拓扑的. 美国数学家 John Willard Milnor 在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直 观的证明,但是其中用到了和临界点测度有关的 sard 定理. 复变 函数论中,对代数基本定理的证明是相当优美的,其中用到了很 多经典的复变函数的理论结果.
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高斯与代数基本定理
该定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的,但证明不完 整. 接着,欧拉也给出了一个证明,但也有缺陷,拉格朗日于 1772 年又重新证明了该定理,后经高斯分析,证明仍然很不严 格的. 代数基本定理的第一个严格证明通常认为是高斯给出的 (1799 年在哥廷根大学的博士论文),高斯后来又给出了另外三个 证法,其中第四个证法是他 71 岁公布的,并且在这个证明中他 允许多项式的系数是复数.
《高等代数课后答案》(邱著)
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《高等代数课后答案》(邱著)高等代数之后的答案(秋微写的)《高等代数》的内容由浅入深,循序渐进,符合当前两位学生的教学实践。
可作为高校数学与应用数学、信息与计算科学专业的教材,也可作为相关专业的教师、学生和自学者的参考。
以下是阳光网编著的《高等代数》答案(邱著)阅读地址。
希望你喜欢!点击进入:高等代数课后答案地址(邱执笔)高等代数(秋微著)目录前言(一)第一章决定因素(1)1.1一些预备知识(1)1.2二阶和三阶行列式(3)1.3n n阶行列式(7)1.4行列式的计算(18)1.5克莱姆法则(28)1.6行列式的一些应用(31)练习1(A)(35)练习1(B)(38)第二章矩阵(41)2.1矩阵的概念(41)2.2矩阵运算(44)2.3初等变换和初等矩阵(54)2.4可逆矩阵(67)2.5矩阵的秩(76)2.6分块矩阵及其应用(79)练习2(A)(90)练习2(B)(93)第三章线性空间(95)3.1矢量(96)3.2向量的线性相关性(98)3.3向量组的秩(103)3.4矩阵的行秩和列秩(106)3.5线性空间(111)3.6基础、尺寸和坐标(114)3.7基变换和转移矩阵(118)3.8子空间(122)3.9同构(131)3.10线性方程(135)练习3(A)(147)练习3(B)(150)第四章线性变换(152)4.1线性变换及其运算(152)4.2线性变换矩阵(156)4.3线性变换的范围和核心(165)4.4不变子空间(169)练习4(A)(173)练习4(B)(175)第五章多项式(176)5.1一元多项式(176)5.2多项式可整除(178)5.3倍大公因数(181)5.4因式分解定理(186)5.5重因子(189)5.6多项式函数(191)5.7复系数和实系数多项式的因式分解(195) 5.8有理系数多项式(198)5.9多元多项式(202)5.10对称多项式(206)练习5(A)(211)练习5(B)(213)第六章特征值(216)6.1特征值和特征向量(216)6.2特征多项式(221)6.3对角化(225)练习6(A)(231)练习6(B)(232)第七章-矩阵(234)7.1-矩阵及其初等变换(234)7.2-矩阵的标准型(238)7.3不变因子(242)7.4矩阵相似性的确定(245)7.5基本因素(247)7.6乔丹范式(251)7.7x小多项式(256)练习7(A)(259)第八章二次型(261)8.1二次型及其矩阵表示(261)8.2将二次型转化为标准型(264)8.3惯性定理(271)8.4正定二次型(274)练习8(A)(279)练习8(B)(280)第九章欧几里得空间(282)9.1欧氏空间的定义和基本性质(282) 9.2标准正交基(285)9.3正交子空间(291)9.4正交变换和对称变换(293)9.5实对称方阵的正交相似性(297)练习9(A)(303)练习9(B)(306)练习答案(308)参考文献312。
《高等代数》考研2021年考研考点归纳与典型题
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《高等代数》考研2021年考研考点归纳与典型题第1章多项式1.1 考点归纳一、一元多项式1.数环与数域(1)数环设S是由一些复数组成的一个非空集合,如果对任何a,b∈S,总有a+b,a-b,a·b∈S,则称S是一个数环.整数集Z,有理数集Q,实数集R,复数集C都是数环.(2)数域设P是由一些复数组成的集合,其中包括0与1,如果P中任意两个数(这两个数也可以相同)的和、差、积、商(除数不为零)仍然是P中的数,那么P就称为一个数域.有理数集Q,实数集R,复数集C是最重要的三个数域.2.一元多项式设x是一个符号(或称文字),n是一非负整数,形式表达式…,其中a0,a1,…,a n全属于数域P,称为系数在数域P中的一元多项式,或者简称为数域P上的一元多项式.n称为多项式的系数,f(x)的次数记为.3.一元多项式环所有系数在数域P中的一元多项式的全体,称为数域P上的一元多项式环,记为P[x],P称为P[x]的系数域.二、整除的概念1.带余除法定义对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中g(x)≠0,一定有P[x]中的多项式q(x),r(x)存在,使f(x)=q(x)g(x)+r(x)成立,其中或者r(x)=0,并且这样的q(x),r(x)是惟一决定的.带余除法中所得的q(x)通常称为g(x)除f(x)的商,r(x)称为g(x)除f (x)的余式.2.整除定义如果数域P上的多项式h(x)使等式f(x)=g(x)h(x)成立,就称数域P上的多项式g(x)整除f(x),用“g(x)丨f(x)”表示;用g(x)不能整除f (x)则用“g(x)f(x)”表示.当g(x)丨f(x)时,g(x)就称为f(x)的因式,f(x)称为g(x)的倍式.3.整除性的判别对于数域P上的任意两个多项式f(x),g(x),其中g(x)≠0,g(x)丨f(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零.注意:任一个多项式f(x)一定整除它自身;任一个多项式f(x)都整除零多项式;零次多项式,也就是非零常数,能整除任一个多项式.4.整除性的常用性质(1)如果f(x)丨g(x),g(x)丨f(x),那么f(x)=cg(x),其中c为非零常数;(2)如果f(x)丨g(x),g(x)丨h(x),那么f(x)丨h(x)(整除的传递性);(3)如果f(x)丨g i(x),i=1,2,…,r,那么f(x)丨(u1(x)g l(x)+u2(x)g2(x)+…+u r(x)g r(x)),其中u i(x)是常数域P上任意的多项式.三、最大公因式1.公因式定义如果多项式既是f(x)的因式,又是g(x)的因式,那么就称为f(x)与g(x)的一个公因式.2.最大公因式(1)定义设f(x),g(x)是P[x]中两个多项式,若P[x]中多项式d(x)是f(x),g(x)的公因式且f(x),g(x)的公因式全是d(x)的因式,则称d(x)称为f(x),g(x)的一个最大公因式.两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是惟一确定的.(2)引理如果有等式f(x)=q(x)g(x)+r(x),成立,那么f(x),g(x)和g(x),r(x)有相同的公因式.(2)定理对于P[x]中任意两个多项式f(x),g(x),在P[x]中存在一个最大公因式d(x),且d(x)可以表成f(x),g(x)的一个组合,即有P[x]中多项式u(x),υ(x)使d(x)=u(x)f(x)+υ(x)g(x)可用辗转相除法来求最大公因式.3.多项式互素(1)定义P[x]中两个多项式f(x),g(x)满足(f(x),g(x))=1,则称f(x)和g (x)互素(也称互质).(2)性质①P[x]中两个多项式f(x),g(x)互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u(x),v(x)使u(x)f(x)+υ(x)g(x)=1;②如果(f(x),g(x))=1,且f(x)丨g(x)h(x),那么f(x)丨h(x);③如果f1(x)丨g(x),f2(x)丨g(x),且(f1(x),f2(x))=1,那么f1(x)f2(x)丨g(x);④如果(f(x),g(x))=(f(x),h(x))=1,则(f(x)g(x),h(x))=1.四、因式分解定理1.不可约多项式(1)定义数域P上次数≥l的多项式p(x)如果不能表成该数域上的两个次数比p(x)的次数低的多项式的乘积,则称p(x)为域P上的不可约多项式.按照定义,一次多项式总是不可约多项式.(2)性质①如果p(x)是不可约多项式,那么对于任意的两个多项式f(x),g(x),由p (x)丨f(x)g(x)一定推出p(x)丨f(x)或者p(x)丨g(x).②如果不可约多项式p(x)整除一些多项式f1(x),f2(x),…,f s(x)的乘积f1(x),f2(x),…,f s(x),那么p(x)一定整除这些多项式之中的一个.2.因式分解及惟一性定理(1)惟一性定理数域P上每一个次数≥1的多项式f(x)都可以惟一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.惟一性是指,如果有两个分解式f(x)=p1(x)p2(x)…p s(x)=q1(x)q2(x)…q t(x),那么必有s=t,并且适当排列因式的次序后有p i(x)=c i q i(x),i=1,2,…,s,其中c(i=1,2,…,s)是一些非零常数.(2)因式分解在多项式f(x)的分解式中,可以把每一个不可约因式的首项系数提出来,使它们成为首项系数为1的多项式,再把相同的不可约因式合并,于是f(x)的分解式成为其中c是f(x)的首项系数,p1(x),p2(x),…,p s(x)是不同的首项系数为1的不可约多项式,而r1,r2,…,r s是正整数,这种分解式称为多项式的标准分解式.五、重因式与多项式的根1.重因式定义如果不可约多项式p(x)满足(k≠0),而,则称p(x)为f(x)的k重因式,其中,若k=1,那么p(x)称为f(x)的单因式.如果k =0,那么p(x)根本不是f(x)的因式.2.重因式的判别(1)如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k≥1),那么它是微商f'(x)的k-1重因式,也是f(x),f'(x),…,f(k-1)(x)的因式,但不是f(k)(x)的因式.(2)不可约多项式p(x)是f(x)的重因式的充分必要条件为p(x)是f(x)与f'(x)的公因式.(3)多项式f(x)没有重因式的充分必要条件是f(x)与f'(x)互素.3.余数定理用一次多项式x-α去除多项式f(x),所得的余式是一个常数,这个常数等于函数值f(α).4.多项式的根α是f(x)的根的充分必要条件是(x-α)丨f(x).若(x-α)是f(x)的k重因式,称α为f(x)的k重根,当k=1时,α是单根;当k>1是,α称为重根.六、复系数与实系数多项式的因式分解1.代数基本定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域中有一根,等价于:每个次数≥1的复系数多项式,在复数域上一定有一个一次因式.由此可以推出,P[x]中n次多项式(n≥0)在数域P中的根不可能多于n个,重根按重数计算.2.复系数多项式因式分解定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以惟一地分解成一次因式的乘积.复系数多项式具有标准分解式其中α1,α2,…,αs是不同的复数,l1,l2,…,l s是正整数.标准分解式说明了每个n次复系数多项式恰有n个复根(重根按重数计算).3.实系数多项式因式分解定理每个次数≥l的实系数多项式在实数域上都可以惟一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.。
多项式理论
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注:
①
f1 ( x ), f 2 ( x ), , f s ( x ) 的最大公因式一定存在.
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其中 a0 , a1 , an P , 称为数域P上的一元多项式.
常用 f ( x ), g( x ), h( x ) 等表示.
注: 多项式 f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 中,
ai x i 称为i次项,a i 称为i次项系数. ① an x n 为 f ( x )的首项, n 为首项 a ② 若 an 0, 则称
f ( x ) g( x ) m n, ai bi , i 0,1,2, , n .
3.多项式运算性质
1) f ( x ) g( x ) 为数域 P上任意两个多项式,则
f ( x ) g( x ), f ( x ) g( x ) 仍为数域 P上的多项式.
2) f ( x ), g( x ) P[ x ]
二、整除
1.定义
设 f ( x ), g( x ) P[ x ], 若存在 h( x ) P[ x ] 使
f ( x ) g( x )h( x )
则称 g( x ) 整除 f ( x ), 记作 g( x ) | f ( x ). ① g( x ) | f ( x ) 时, 称 g( x )为 f ( x )的因式, f ( x ) 为 g( x ) 的倍式.
② g( x ) 不能整除 f ( x ) 时记作: g( x ) | f ( x ).
③ 允许 g( x ) 0,此时有 0 0h( x ), h( x ) P[ x ]
即 0 0.
区别:
复系数和实系数多项式的因式分解
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§8 复系数与实系数多项式的因式分解一、 复系数多项式因式分解定理1.代数基本定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一个根. 利用根与一次因式的关系,代数基本定理可以等价地叙述为:每个次数1≥的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式. 由此可知,在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的,不可约多项式只有一次多项式. 于是,因式分解定理在复数域上可以叙述成:2.复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.因此,复系数多项式具有标准分解式其中s ααα,,,21 是不同的复数,s l l l ,,,21 是正整数.标准分解式说明:每个n 次复系数多项式恰有n 个复根(重根按重数计算). 3结论 :设(),()f x g x 是复数域上的两个多项式,如果 ()f x 的根都是()g x 的根, 则 ()|()f x g x例:若)(|1n x f x -,则 )(|1n n x f x - 4、n 次多项式的根与系数的关系.令.)(11n n n a x a x x f +++=- (1)是一个n (>0)次多项式,那么在复数域C 中)(x f 有n 个根,,,,21n ααα 因而在][x C 中)(x f 完全分解为一次因式的乘积: 展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.其中第),,2,1(n k k =个等式的右端是一切可能的k 个根的乘积之与,乘以k )1(-.若多项式的首项系数,10≠a 那么应用根与系数的关系时须先用0a 除所有的系数,这样做多项式的根并无改变.这时根与系数的关系取以下形式:利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.例1. 求出有单根5与-2,有二重根3的四次多项式.二、实系数多项式因式分解定理对于实系数多项式有:如果α是实系数多项式)(x f 的复根,那么α的共轭数α也是)(x f 的根,即实系数多项式的非实的复数根两两成对出现。
一复系数多项式
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求 x n 1 在 C 上与在 R 上的标准分解式. 在复数范围内 x n 1 有n个复根,
解: 1)
1, , ,
2
,
n1
这里
k
2 2 cos i sin , n 1 n n k 1,2, , n
2 n1
2k 2k cos i sin , n n
k1 , , ks , l1 , , l s Z ,
且 p 4q 0, i 1,2 r ,即 x pi x qi 为
2
2
R上的不可约多项式.
推论2
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式,所有次数≥3的多项式皆可约.
例1
x n 1 ( x 1)[ x 2 ( n1 ) x n1 ]
[ x 2 (
2
)x
]
2 n1 2 ( x 1)( x 2 x cos 1) [ x 2 x cos 1] n n
当n为偶数时
x 1 ( x 1)( x 1)[ x (
n 2 n1
) x
]
n1
]
[ x 2 (
n 2 2
2
n 2 2
)x
n 2 2
n 2 2
2 n2 2 ( x 1)( x 1)( x 2 x cos 1) [ x 2 x cos 1] n n
∴ 2)
∵
x 1 ( x 1)( x )( x ) ( x
n
)
在实数域范围内
k
§8复系数与实系数多项式的因式分解
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解: 1)
1, ε , ε 2 , L , ε n−1
这里
2π 2π ε = cos , εn =1 + i sin n n 2kπ 2kπ k ε = cos , k = 1,2, ⋅ ⋅ ⋅, n + i sin n n
x n − 1 = ( x − 1)( x − ε )( x − ε 2 )L ( x − ε n−1 )
若 α 不为实数,则 α 也是 f ( x ) 的复根,于是 不为实数, 的复根,
f ( x ) = ( x − α )( x − α ) f 2 ( x ) = ( x 2 − (α − α ) x + αα ) f 2 ( x )
设 α = a + bi ,则
α = a − bi ,
α + α = 2a ∈ R , αα = a 2 + b 2 ∈ R
x 2 − (α + α ) x + αα 是 一个二次不可约多项式. 即在R上 一个二次不可约多项式. 即在 上
从而 ∂ ( f 2 ) = n − 2. 由归纳假设 f1 ( x ) 、 f 2 ( x )可分解成一次因式与二次 不可约多项式的乘积. 由归纳原理,定理得证. 不可约多项式的乘积. 由归纳原理,定理得证.
在实数域范围内
∴ 2)
∵
ε =ε
k
n− k
2kπ , , ε + ε = 2cos n
k k
ε ε =1
k k
k = 1, 2, ⋅ ⋅⋅, n
∴
当n为奇数时 为奇数时
n −1 2 n+1 2 n −1 2 n +1 2
x n − 1 = ( x − 1)[ x 2 − (ε + ε n−1 ) x + εε n−1 ]LL
复系数多项式.
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R上的不可约多项式.
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
推论2
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式,所有次数 3的多项式皆可约.
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
附:单位根、单位原根
定义1 多项式 x n 1 在复数域上的任一根都称为
n 次单位根.
n x 1 的n个复根为 事实上,在复数范围内
复根(重根按重数计算).
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
二、实系数多项式
命题:若 是实系数多项式 f ( x ) 的复根,则 的共轭复数 也是 f ( x ) 的复根.
n n1 f ( x ) a x a x a0 , ai R 证:设 n n1
1, , , ,
2
n1
这里
2 2 cos i sin , n 1 n n 2k 2k k cos i sin , k 0,1, , n 1. n n
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
定义2 若1, , , ,
若 为根,则
f ( ) an n an1 n1 a0 0
两边取共轭有
f ( ) an an1
n
n1
a0 0
∴ 也是为 f ( x ) 复根.
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
实系数多项式因式分解定理
f ( x ) R[ x ],若 ( f ( x )) 1, 则 f ( x ) 可唯一
5 2 3 4
x 1 ( x 1)( x )( x )( x )( x )( x )
高等代数§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
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地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.
推论5 设f ( x ) [ x ], 则 f ( x ) 在 上具有标准分解式
f ( x ) an ( x c1 )k1 ( x c2 )k2 ( x c s )ks ( x 2 p1 x q1 )k1
( x 2 pr x qr )kr
若 ( p( x )) 1, 下证 ( p( x )) 2 即可. 由代数基本定理, p( x )存在复根
则 也是 p( x )的根,即 x | p( x ), x | p( x ).
注意到( x , x ) 1 (否则, ,则 p( x )在 上 存在一次因式,这与 p( x )实不可约相矛盾.) 所以, ( x )( x ) | p( x ).
推论2 复数域上不可约多项式只有一次多项式. 即 f ( x ) [ x ], 若 ( f ( x )) 1, 则 f ( x ) 可约.
2、复系数多项式因式分解定理
定理2 f ( x ) [ x ], 若 ( f ( x )) 1, 则 f ( x ) 在 复数域上可唯一分解成一次因式的乘积.
[ x 2 (
n 2 2 n 2 2 n 2 2 n 2 2
)x
]
2 n2 2 ( x 1)( x 1)( x 2 x cos 1) [ x 2 x cos 1] n n
2
不可约多项式.
例
求 x n 1 在 上与在 上的标准分解式.
在复数范围内 x n 1 有n个复根,
2 n 1
解: 1)
1, , , , 2 2 i sin , 这里 cos n n 2k 2k k cos i sin , n n
高等代数第1章.

例1 求方程2x4-x3+2x-3=0的有理根。 解: 由定理12,方程的有理根为r/s 则必有s⎪an=2,r⎪a0=-3 从而方程的可能有理根为±1,±3,±1/2,±3/2 用综合除法可知,只有1为方程的根。 例2 证明:f(x)=x3-5x+1在Q上不可约。 证明: 若f(x)可约 则f(x)至少有一个一次因式,即有一个有理根 但f(x)的有理根只可能是±1 而f(1)=-3,f(-1)=5 矛盾! 所以f(x)不可约
§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
代数基本定理:对于任意的f(x)∈C[x],若 ∂(f(x))≥1,则f(x)在复数域C上必有一根。 利用根与一次因式的关系,代数基本定理 可以等价地叙述为: 推论1 对于任意的f(x)∈C[x],若∂(f(x))≥1, 则存在x-a∈C[x],使得(x-a)⎪f(x),即f(x)在 复数域上必有一个一次因式。 推论2 复数域上的不可约多项式只有一次多项 式,即对于任意的f(x)∈C[x],若∂(f(x))>1, 则f(x)可约。
+ε
n+1 2
)x + ε
n −1 2
ε
n +1 2
]
当n为偶数时 x n − 1 = ( x − 1)( x + 1)[ x 2 − (ε + ε n+1 ) x + εε n+1 ] ⋅ ⋅ ⋅
n− 2 2 n+ 2 2 n− 2 2
[ x 2 − (ε + ε )x + ε ε ] 2π n−2 2 2 = ( x − 1)( x + 1)( x − 2 x cos + 1) ⋅ ⋅ ⋅ [ x − 2 x cos π + 1] n n
数分高代定理大全
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数分高代定理大全《高等代数》第一章带余除法 对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ,其中()0g x ≠,一定有[]P x 中的多项式(),()q x r x 存在,使()()()()f x q x g x r x =+成立,其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =,并且这样的(),()q x r x 是唯一决定的.定理 1 对于数域P 上的任意两个多项式(),()f x g x ,其中()0,()|()g x g x f x ≠的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零.定理 2 对于[]P x 中任意两个多项式()f x ,()g x ,在[]P x 中存在一个最大公因式()d x ,且()d x 可以表示成()f x ,()g x 的一个组合,即有[]P x 中多项式(),()u x v x 使()()()()()d x u x f x v x g x =+.定理 3 []P x 中两个多项式()f x ,()g x 互素的充分必要条件是有[]P x 中的多项式(),()u x v x 使()()()()1u x f x v x g x +=.定理 4 如果((),())1f x g x =,且()|()()f x g x h x ,那么()|()f x h x .定理 5 如果()p x 是不可约多项式,那么对于任意的两个多项式(),()f x g x ,由()|()()p x f x g x 一定推出()|()p x f x 或者()|()p x g x .因式分解及唯一性定理 数域P 上每一个次数1≥的多项式()f x 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式1212()()()()()()(),s t f x p x p x p x q x q x q x ==那么必有s t =,并且适当排列因式的次序后有()(),1,2,,,i i i p x c q x i s ==其中(1,2,,)i c i s =是一些非零常数.定理 6 如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥,那么它是微商()f x '的1k -重因式.定理 7(余数定理) 用一次多项式x α-去除多项式()f x ,所得的余式是一个常数,这个常数等于函数值()f α.定理 8 []P x 中n 次多项式(0)n ≥在数域P 中的根不可能多于n 个,重根按重数计算. 定理 9 如果多项式()f x ,()g x 的次数都不超过n ,而它们对1n +个不同的数121,,n ααα+有相同的值,即()(),1,2,1,i i f g i n αα==+那么()()f x g x =.代数基本定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一根.复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.实系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.定理 10(高斯(Gauss )引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理 11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积,那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积. 定理 12 设110()n n n n f x a x a x a --=+++是一个整系数多项式,而rs是它的有理根,其中,r s 互素,那么必有0|,|n s a r a .特别地,如果()f x 的首项系数1n a =,那么()f x 的有理根是整根,而且是0a 的因子.定理 13 (艾森斯坦(Eisenstein )判别法) 设110()n n n n f x a x a x a --=+++是一个整系数多项式,如果有一个素数p ,使得 1.|n p a /; 2.120|,,,n n p a a a --;3.20|p a /那么()f x 在有理数域上是不可约的.第二章 定理 1 对换改变排列的奇偶性. 定理 2 任意一个n 级排列与排列12n 都可以经过一系列对换互变,并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.定理 3 设111212122212n n n n nna a a a a a d a a a =,ij A 表示元素ij a 的代数余子式,则下列公式成立:1122,,0,.k i k i kn in d k i a A a A a A k i =⎧+++=⎨≠⎩当当 1122,,0,.l j l j nl nj d j a A a A a A j =⎧+++=⎨≠⎩当l 当l 定理 4 (克拉默法则) 如果线性方程组11112211211222221122,,n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数矩阵111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的行列式0d A =≠,那么该线性方程组有解,并且解是唯一的,解可以通过系数表为1212,,,,nn d d d x x x d dd===其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成方程组的常数项12,,,nb b b 所成的行列式,即1,11,111112,12,12122,1,11,1,2,,.j j n j j n j n j n j n n nna a ab a a a a b a d j n a a a b a -+-+-+==定理 5 如果齐次线性方程组1111221211222211220,0,0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数矩阵的行列式0A ≠,那么它只有零解.换句话说,如果该方程组有非零解,那么必有0A =.定理 6 (拉普拉斯定理) 设在行列式D 中任意取定了(11)k k n ≤≤-个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .定理 7 两个n 级行列式1112121222112n n n n nna a a a a a D a a a =和1112121222212n n n n nnb b b b b b D b b b =的乘积等于一个n 级行列式111212122212n n n n nnc c c c c c C c c c =,其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与2D 的第j 列的对应元素乘积之和:1122ij i j i j in nj c a b a b a b =+++.第三章定理 1 在齐次线性方程组1111221211222211220,0,0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩中,如果s n ,那么它必有非零解.定理 2 设12,,r 与1,,,r 2是两个向量组,如果1)向量组12,,r 可以经1,,,r 2线性表出,2)rs ,那么向量组12,,r 必线性相关.定理 3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量 定理 4 矩阵的行秩与列秩相等. 定理 5 n n 矩阵111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的行列式为零的充分必要条件是A 的秩小于n .定理 6 一矩阵的秩是r的充分必要条件为矩阵中有一个r级子式不为零,同时所有1r 级子式全为零.定理 7 (线性方程组有解判别定理) 线性方程组11112211211222221122,,n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解的充分必要条件为它的系数矩阵111212122212n n s s sn a a a aa a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与增广矩阵11121121222212n n s s sn s a a a b a a a b A a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有相同的秩。
1.8 C,R上多项式的因式分解
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实系数多项式的标准分解式:
f ( x) a( x c1 )l1 ( x c2 )l2 ( x 2 p1 x q1 ) k1 ( x 2 pr x qr ) kr
c1 , , cs , p1 , , pr , q1 , , qr R; l1 , , ls , k1 , , kr N . pi2 4qi < 0, i 1, 2, , r.
评论: 代数基本定理是本节讨论的理论基础,在此 基础上肯定了n次方程有n个复根. 但这里并没有给出 求根的具体方法,高次方程求根问题还远远没有解决, 其内容构成数学的其它分支,已不是高等代数所要讨 论的问题.
作业: P48 补充题9.10.11.
一 复数域上多项式的因式分解
1. (代数基本定理) 对任意的f(x)(∈C[x],∂f≥1)在C 上至少有一个根(或:至少有一个一次因式). 由该定理可以推出: C上次数大于1的多项式全是可约多项式 事实上,据该定理, 当∂f >1时, 应有根α 1, 使得 f(x) = (x- α 1) f1(x), 若∂f1 >1 , 又据该定理有根 α 1,使 f(x) = (x- α 1) (x- α 2) f2(x), ·· ·,如此讨论下 去, 至多 ∂fn = 1,即fn(x) = x- α n, 故重根按重数计, 有 下 式成立: f(x) = a(x- α 1) (x- α 2) … (x- α n )
二 实数域上多项式的因式分解
1 复习共轭复数性质: 设 a bi, a bi ,则
1) ; 3) R ; 5) R. 2) ; 4) R;
2
也是 f ( x) 的根 R 上 f ( x) 有一非实复根 与 有相同重数
实系数多项式因式分解定理
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实系数多项式因式分解定理
实系数多项式因式分解定理是一种重要的数学工具,用于将实系数多项式分解为一组实系数多项式的乘积。
该定理基于实系数多项式的特征根和特征向量的概念,通过找到多项式的特征根和特征向量,可以将其分解为一组实系数多项式的乘积。
实系数多项式因式分解定理的应用非常广泛,涉及到很多领域,如数学、物理、工程等。
在数学领域,该定理被广泛应用于代数学、微积分学等方面,能够帮助研究者更好地理解和解决复杂的数学问题。
在物理和工程领域,该定理被用于建立数学模型、分析和解决实际问题。
总之,实系数多项式因式分解定理是一种非常重要的数学工具,对于解决各种数学问题和实际问题都具有重要的作用。
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§1.8 复系数与实系数多项式的因式分解
一.复系数多项式
1.代数基本定理:()[]f x C x ∀∈,若(())1f x ∂≥, 则 ()f x 在复数域C 上必有一根.
(在复变函数中有证明)
注:
1) ()[]f x C x ∀∈,若(())1f x ∂≥,则存在[]x a C x -∈,使)|()x a f x -(, 即()f x 在复数域上必有一个一次因式.
2)复数域上的不可约多项式只有一次多项式,即()[]f x C x ∀∈,若(())1f x ∂>,则()f x 可约的.
2.复系数多项式因式分解
定理:条件 1)()[]f x C x ∀∈,2)若(())1f x ∂≥,
结论 1)()f x 在C 上可分解成一次因式的乘积.2)分解式唯一
推论1. ()[]f x C x ∀∈,若(())1f x ∂≥,则()f x 在C 上具有标准分解式
1212()()()()s r r r s f x c x x x ααα=--⋅⋅⋅-
其中1)12,,,s ααα⋅⋅⋅是不同的复数,2)12s r r r ⋅⋅⋅∈+,z 3) 12(())s f x r r r ∂=++
推论2. ()[]f x C x ∀∈,若(())f x n ∂=,则()f x 有n 个复根(重根按重数计算).
二、实系数多项式
1.命题:若α是实系数多项式()f x 的复根,则α的共轭复数α也是()f x 的复根.
证:设110(),n n n n i f x a x a x a a R --=++⋅⋅⋅+∈,若α为根,则
110()0n n n n f a a a ααα--=++⋅⋅⋅+=
两边取共轭有 110()0n n n n f a a a ααα
--=++⋅⋅⋅+= ∴α也是()f x 为复根.
2.实系数多项式因式分解 定理:()[]f x C x ∀∈,若(())1f x ∂≥, 则()f x 可唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.
证:对()f x 的次数作数学归纳
① 若(())1f x ∂=,()f x 就是一次因式,结论成立
② 假设对次数<n 的多项式结论成立,设(())f x n ∂=,由代数基本定理, ()f x 有一复根α.
若α为实数 则1()()()f x x f x α=-,其中1()1f n ∂=-.
若α不为实数,则α也是()f x 的复根,于是
222()()()()(())()f x x x f x x x f x αααααα=--=--+
设a bi α=+,则22,2a bi a R a b R ααααα=-+=∈=+∈ , 即在R 上2()x x αααα-++是一个二次实系数不可约多项式,从而2()2f n ∂=-
由归纳假设1()f x 、2()f x 可分解成一次因式与二次不可约多项式的乘积.
由归纳原理,定理得证.
推论1. ()[]f x R x ∀∈,()f x 在R 上具有标准分解式
121112212()()()()()()k
s r
k k k k n s r r x p x q f x a x c x c x c x p x q ++=--⋅⋅⋅-++其中121111,,,,s r r s s c c c p p q q R k k l l z +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈ , 且240,1,2i i p q i r -<=⋅⋅⋅,即2i i x p x q ++为R 上的不可约多项式
推论2.在实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二次不可约多项式,所有次数>3的多项式皆可约.
例1 求1n x -在C 上的标准分解式
解:在复数范围内1n x -有n 个复根211,,,n εεε-,这里
22cos
sin ,1n i n n
ππεε=+= 22cos sin ,1,2,k k k i k n n n ππε=+=⋅⋅⋅ ∴ 211(1)()()()n n x x x x x εεε--=----
在实数域范围内课下练习
小结:代数基本定理,复系数多项式因式分解与标准分解式,实系数多项式因式分解与标准分解式.。