2014组合数学试题及答案

一、（10分）用组合意义证明恒等式：
(n +3
k
)=(n k )+3(n k −1)+3(n k −2)+(n k −3)
证明：考虑对集合{a1,a2,…,an,b1,b2,b3}的k -组合计数可以表示为(n +3
k )，同时该K −组合
可以分成如下四类：
第一类：从{ a1,a2,…,an }中取k 个，再从{ b1,b2,b3}中取0个；计数为(n
k )
第二类：从{ a1,a2,…,an }中取k -1个，再从{ b1,b2,b3}中取1个；计数为3(n
k −1)
第三类：从{ a1,a2,…,an }中取k -2个，再从{ b1,b2,b3}中取2个；计数为3(n
k −2)
第四类：从{ a1,a2,…,an }中取k -3个，再从{ b1,b2,b3}中取3个；计数为(n
k −3)
因此，根据加法原则该恒等式成立。

二、（10分）由2n 个人围成一个圆圈，问有多少种围法？若从中抽出n 个人围成一圆圈有多少种围法？
(1) (2n-1)!
(2) 2n!/n ˟ n! 或 2n ˟ (2n-1) ˟…˟ (n+1)/n
三、（10分）设计从格路平面（0,0）走到（10,5）点，只能沿格路走水平或垂直方向，不可回退，且途径道路上会有若干萝卜坑（如图所示），请问恰巧只经过2个坑的格路数是多少？
从左到右依次编号为1,2, 3, 4。

分类考虑如下： 经过1、2的：C(4,2)*(C(7,2)+C(5,2))=186； 经过2、3的：(C(6,2)-C(4,2))*C(6,2)=135； 经过2、4的：(C(6,2)-C(4,2))*C(5,2)=90； 共有：186+135+90=411
四、（10分）有5对父子（共10人）参加“爸爸去哪儿”节目。

一期节目是“交换爸爸”，即每位父亲在节目中的孩子不是自己的孩子。

请问一共有多少种不同的安排方法？ 解：此题为n=5的错排问题，也可看做是n=5的有限制排列问题，棋盘多项式如下： R (C )=(1+x )5=∑(5n
)5n=0x n
所以，排列方法数：
D5=r0∙5!−r1∙4!+r2∙3!−r3∙2!+r4.1!−r5
=5!−5∙4!+10∙3!−10∙2!+5.1!−1
=44
五、（10分）设有两个队Q1和Q2，每队都是30人，其中Q1队有15名男孩和15名女孩组成，Q2队男、女孩的人数不限。

这两队按序号面对面地站好，如图所示，然后，Q1队不动，Q2队迂回往右错动，每次依序错动一个位置。

试证明当Q2错动到某一位置上时，Q1和Q2在对应位置上的两个小孩至少有15对是性别相同的。

证明：Q2队迂回错动一圈再回到初始状态时，每个小孩无论是男孩还是女孩，在对应位置上都与Q1队的15个小孩同性别。

故同性别的总对数为15*30=450。

因此，每个错动位置上同性别的平均对数为450/30=15。

根据鸽巢原理，必存在某一位置，当Q2错动到这个位置上时，则性别相同的小孩至少有15对。

六．（10分）设有N条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。

解：令an为n条封闭曲线把平面分割成的区域个数。

若n-1条封闭曲线把平面分割成的区域个数为an-1,则第n条封闭曲线与这n-1条封闭曲线相交于2（n-1）个点，这2（n-1）个点把第n条封闭曲线截成2（n-1）段弧，这些弧把原来的2（n-1）个区域中的每个区域一分为二，故新增加的区域个数为2（n-1）。

所以，满足如下的递归关系：
a n=a n−1+2(n−1),a1=2, 解该递归关系得：a n=n2−n+2
七．（10分）面包店出售豆沙馅、椰蓉馅，果酱馅三种面包，小红到面包店时刚好有3个豆沙馅，2个椰蓉馅，2个果酱馅面包出炉，小红带的食品袋正好可以装下5个面包，那么小红购买5个面包共有多少种不同的购买方案呢？
解：该组合问题的母函数为G(x)=(1+x+x2+x3).(1+x+x2)2
对上述母函数进行展开合并，得到x5的系数为6
故，共有6种购买方案。

八．（10分）今安排5位女士和17位男士围圆桌而坐（22个座位均已编号），使得任何两位
女士之间至少有3位男士，求有多少种不同的安排座位的方案？ 解：先任选一位女士，记为1w ，则可依如下步骤安排座位：
1> 安排1w 入座，有22种方法； 2> 安排其他4位女士入座，使得任何两位女士之间至少有3个空座位。

设由1w 开始按逆时针顺序，5位女士依次为125,,
,w w w ，且i w 与1i w +(1,2,3,4)
i =之间有i x 个空位(1,2,3,4)i =，5w 与1w 之间有5x 个空位，则3i x ≥(1,2,3,4,5)i = 且 1234517x x x x x ++++=，设N 为该式中满足条件3i x ≥(1,2,3,4,5)i =的整数解
个数，则完成本步骤的方法共有4!
N ⋅种。

因为N 是3
4
5()()G x x x =++
展开式中17x 的系数，而
3
4
5
15
2
5
15
5
15051()()(1)(1)4l
l l G x x x x x x x x x ∞
-+=+-⎛⎫=++=⋅+++=⋅-=⋅ ⎪⎝⎭∑
517151644N +--⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以完成本步骤的方法有：64!4⎛⎫
⋅ ⎪⎝⎭
种。

3> 安排17位男士入座共有17！种方法； 综合上述三个步骤，由乘法法则得：不同的安排座位的方法数共有：
6224!17!4⎛⎫
⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
九．（10分）用红、白、蓝三色珠子穿成一条长度为n 的珠串，要求蓝色珠子的个数为偶数，问满足条件的长度为n 的珠串有多少种穿法？（用母函数法） 解：该排列问题的母函数为：G (x )=(1+x +
x 22!
+
x 33!
+⋯)2
.(1+
x 22!
+
x 44!
+⋯)
=e 2x
∙
e x +e −x
2
=
e 3x +e x 2
=12∑(3n
+1)x n
n!
所以方法数为：a n =(3n
+1)/2
十.（10分）设用三种颜色对一个五角星的五个区域着色，求在允许旋转和翻转的情况下,
有多少种不同的染色方案？
解：该问题可以用波利亚定理求解，共有5种旋转，5种翻转
5种旋转对应的置换形式分别为 （5）1
和（1）5
，其中（5）1
的个数为4个，（1）5
的个数为1个，5种翻转对应的置换形式为（1）1
（2）2
，
因此，应用波利亚定理得： 方案个数=
35+4∙31+5∙33
10
=39。