模糊集合论基础

定理2-1 设U为论域，A, B, C为U中的任意模糊子集， 则有下式成立：
1）幂等律 A∪A=A A∩A=A
2）结合律
A∪(B∪C)=(A∪B)∪C A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
3）交换律 4）分配律 5) 同一律
A∪B= B∪A A∩B= B∩A
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
例 设论域X={x1,x2,x3,x4}及模糊集合
A { 1 0.8 0.4 0.5} B {0.9 0.4 0.7}
x1 x2 x3 x4
x1 x2 x4
求A B A B A
模糊集合运算
解
A B = 1 0.9 0.8 0.4 0.4 0 0.5 0.7
x1
x2
x3
x4
例 模糊集F的表示方式
设论域U={0,1,2, ….., 10}, 模糊集F接近于0的整数”..
1)隶属度函数表示法
F= 1.0 0.9 0.75 0.5 0.2 0.1( 0 .... 0 )
0 1 2 3 4 56
10
2)序偶表示法 F={ (0,1), (1,0.9), (2,0.75), (3,0.5),
对于任一 u∈U,若μA =0,则称A为空集
若μA =1,则A=U称为全集
模糊集合运算 定义2-3 模糊子集
设A, B∈F(U),即它们是U的模糊集.对任一 的u∈U都有μB(u)≤μA(u),则称B包含于A.
或者说B是A的一个子集,记为B A.
如果μB (u)=μA (u),则称B=A.
模糊集合运算
因此,我们可以用一个在0-1之间取值的函数来表 示一件事属于我们所考虑的事件的程度,这个函数就 叫隶属度函数.
模糊集合的定义及表示方法
论域：所讨论的对象的全体所构成的一个集合，又 称为全集。用U表示，其中的元素用u表示。
定义2－1 模糊集合： 论域U中的模糊集F用一个在区间[0,1]上取值的隶属 函数μF来表示, μF: U→[0,1] μF(u)=1, 表示u完全属于F μF(u)=0, 表示u完全不属于F 0<μF(u)<1, 表示u部分属于F
例如，对于一个炉温控制系统，人的控制规则是， 若温度高于某一设定值，操作者就减小给定量，使 之降温。反之，若温度低于设定值，则加大给量， 使之升温。一个熟练的操作人员,凭借自己的经验和 观察，经过大脑的思维判断．给出控制量，可以手 动操作达到较好的控制效果。
以上过程包含了大量的模糊概念．如“高于”、 “低于”
模糊集合论基础
本次课程主要讲一下几部分内容 1）模糊集的概念 2）模糊集合的运算 3）隶属度函数的建立 4）模糊关系与合成运算
模糊集的概念及定义
所谓“模糊”，其意思是指客观事物彼此间的差 异 在中间过渡时，界限不分明。比如．我们说“天气 热”．但气温到底多少度才算“热”，显然没有明 确的 界限。这种概念称之为模糊概念。 在生产实验中，存在着大量的模糊现象，对于那 些无法获得数学模型或模型粗糙复杂的、非线性的、 时变的或是偶合十分严重的系统，无论用经 典控制，还是现代控制理论的各种算法、都很难实 现控制。
定义2-4 模糊并集 若有三个模糊集合A、B和C，对于所有的 u∈U，均有
C(u)＝A(u)∨B(u)＝max( A(u) ,B(u) )
则称C为A与B的并集. 记为C＝A B。
C(u) 也可记为 A(u) B(u)
模糊集合运算
定义2-5 模糊交集
若有三个模糊集合A、B和C，对于所有的u∈U， 均有
= 1 0.8 0.4 0.7
x1 x2 x3 x4
A B = 1 0.9 0.8 0.4 0.4 0 0.5 0.7
x1
x2
x3
x4
=
0.9 0.4 0.5 x1 x2 x4
A = 11 1 0.8 1 0.4 1 0.5 x1 x2 x3 x4 = 0.2 0.6 0.5 x1 x2 x4
模糊集F就可以用元素和它的隶属函数来表 示
1）查德表示法
F F (u) Uu
或
F n F (ui)
u i1
i
2）序偶表示法
F {(u1, F(u1)), (u2, F(u2)),....(un, F(un))}
3)向量表示法
F {F(u1), F(u2), F(u3),..........F(un)}
隶属度函数
这里的温度比设定值高多少,低多少,降温或升温 速度的快慢等都是模糊的,没有一个明确的分界线.比 如我们设定温度为20度,那么,我们可能认为当炉温 是21度时,认为它属于温度高的程度为0.2, 而当炉温 为23度时,它属于温度高的程度为0,7.而当炉温为30 度时,它属于温度高的程度为1.
A∩U=A, A∪ =A
源自文库
6) 零一律 A∩= , A∪U=U
7) 吸收律 A∪(A∩B)=A, A∩(A∪B)=A 8) 摩根定律 (A B)=A B (A B)=A B
9) 双重否定律 A A
10) 互补律不成立 A A A A U
C(u)＝A(u) ∧ B(u)
＝ min( A(u), B(u) )
则称C为A与B的交集. 记为C＝A B。
C(u) 也可记为 A(u) B(u)
模糊集合运算 定义2-6 模糊补集 若有两个模糊集合A与B，对于所有的u∈U，均有
B(u) = 1 - A(u)
则称B为A的补集，记为B＝ A 。
模糊集合运算
等等。而且操作者在观察温度的偏差时，偏差越 大，给定的变化也越大,设法使之变温越快。这里的 “越高”、“越快”也是模糊概念。因此，操作者
的观察 与思维判断过程，实际上是一个模糊化及模糊计算 的过程。我们把人的操作经验归纳成一系列的规 则，存放在计算机中，利用模糊集理论将它定量 化，使控制器模仿人的操作策略，这就是模糊控制 器，用模糊控制器组成的系统就是模糊控制系统。
(4,0.2), (5,0.1) }
3)向量表示法 F={ 1, 0.9, 0.75, 0.5, 0.2, 0.2, 0, 0, 0, 0, 0 }
模糊集合运算
定义2-2 模糊幂集, 空集, 全集 论域U中模糊子集的全体,称为U中的模糊幂 集,记为 F(U),即
F(U)={A|μA: U→[0,1]}