工程力学——第3章(力系的平衡)
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3第3章力系的平衡方程及其应用
1、分析思路及解题步骤：
2、注意要点：
（二）物体系统的平衡问题 1、静定和静不定（超静定）的概念
2、分析思路及解题步骤：
3、注意要点：
3
工程力学 Ｃ 学习要求及提纲
专业班级 学号 姓名 花名册序号
4
工程力学 Ｃ 学习要求及提纲
专业班级 学号 姓名 花名册序号
第 ３ 章 力系的平衡方程及其应用
本章学习要求： 推导任意力系的平衡条件和平衡方程；利用平面力系平衡方程解决单个物体
2、平面平行力系 一矩式：
二矩式：（附加条件）Leabharlann （三）力偶系 1、空间力偶系
2、平面力偶系
（四）平面任意力系 1、一矩式：
2、二矩式及附加条件：
3、三矩式及附加条件：
三、平面力系平衡方程的应用 （一）单个物体的平衡问题
2
工程力学 Ｃ 学习要求及提纲
专业班级 学号 姓名 花名册序号
及物体系统的平衡问题；理解静定和静不定问题的概念。 主要知识点： 一、空间任意力系的平衡条件和平衡方程
1、平衡条件：
2、平衡方程：
二、平衡方程的几种特殊形式 （一）汇交力系 1、空间汇交力系
2、平面汇交力系
（二）平行力系 1、空间平行力系
1
工程力学 Ｃ 学习要求及提纲
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2、注意要点：
（二）物体系统的平衡问题 1、静定和静不定（超静定）的概念
2、分析思路及解题步骤：
3、注意要点：
3
工程力学 Ｃ 学习要求及提纲
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4
工程力学 Ｃ 学习要求及提纲
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第 ３ 章 力系的平衡方程及其应用
本章学习要求： 推导任意力系的平衡条件和平衡方程；利用平面力系平衡方程解决单个物体
2、平面平行力系 一矩式：
二矩式：（附加条件）Leabharlann （三）力偶系 1、空间力偶系
2、平面力偶系
（四）平面任意力系 1、一矩式：
2、二矩式及附加条件：
3、三矩式及附加条件：
三、平面力系平衡方程的应用 （一）单个物体的平衡问题
2
工程力学 Ｃ 学习要求及提纲
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及物体系统的平衡问题；理解静定和静不定问题的概念。 主要知识点： 一、空间任意力系的平衡条件和平衡方程
1、平衡条件：
2、平衡方程：
二、平衡方程的几种特殊形式 （一）汇交力系 1、空间汇交力系
2、平面汇交力系
（二）平行力系 1、空间平行力系
1
工程力学 Ｃ 学习要求及提纲
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第三章力系的平衡介绍
工 程 力 学
§3-2
平面力系的平衡条件
F1 Fn F3
1、平面任意力系的平衡方程 F2 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。
0 FR
第 三 章 力 系 的 平 衡
Mo 0
平面任意力系
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
M O M O (F )
2
0
F
x
0,
F
y
0,
F
z
0
即:汇交力系的平衡条件是力系中所有各力在各个坐
标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。
工 程 力 学
三、空间平行力系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
F
z
0,
M (F ) 0, M (F ) 0
x
y
工 程 力 学
四、空间力偶系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：如图所示为一种起吊装置的结构简图。图中尺寸d , 载荷F， <FAD =60均为已知。若不计各杆自重，试求杆AF与杆AD在各 自的约束处所受的约束力。
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：滑轮支架系统如图所示。已知G，a,r,θ ,其余物体重 量不计,试求A和B的约束力。
工 程 力 学
3、平面汇交力系的平衡方程
F
x
0,
F
y
0
4、平面力偶系的平衡条件
第 三 章 力 系 的 平 衡
M 0
即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零。
工 程 力 学
工程力学力系平衡
D
FC
l
A B
l
FP
D
第 三 种 情 形
l
C FA A l FCy l B l FP D
FCx
C
FA A
l
B
l
FP
D
第 三 种 情 形
FCy
FCx C
E
MA ( F ) = 0 : FCx l -FP 2l = 0 MC ( F ) = 0 : -FA l - FP 2l = 0 ME ( F ) = 0 : -FCy 2l -FA l = 0
A
F ＝0
x
l －FQ －FW x FTB lsin＝0 2 l FP x＋FQ 2 ＝ 2 FW x F FTB＝ Q lsin l
F ＝0
y
FAx FTB cos＝0 FQ 2 FW x FQl FW FAx＝ x cos30 ＝ 3 l 2 l FAy－FQ－FP＋FTB sin＝0
例题
均质方板由六根杆支 撑于水平位臵，直杆 两端各用球铰链与扳 和地面连接。板重为 P，在A 处作用一水 平 力 F ， 且 F=2P ， 不计杆重。求各杆的 内力。
简单的刚体系统平衡问题
前面实际上已经遇到过一些简单刚体系统 的问题，只不过由于其约束与受力都比较简单， 比较容易分析和处理。 分析刚体系统平衡问题的基本原则与处理 单个刚体的平衡问题是一致的，但有其特点， 其中很重要的是要正确判断刚体系统的静定性 质，并选择合适的研究对象
平衡方程
根据平衡的充要条件
F1 M1 O
z
F2
M2
y Mn
FR ＝0 ， MO＝0
工程力学-平面任意力系平衡方程
大小与简化中心的选择无关。
4）FR=0 Ｍ0=0 力系处于平衡状态。
例3-1 图示物体平面A、B、C三点构成一等边三角形，三点分别作
用F力，试简化该力系。
解：1.求力系的主矢
F x F F cos60o F cos60o 0
Fy 0 F sin 60o F sin 60o 0
y
C
F M0 F
上作用F力，集中力偶M0=Fa，=45°，试求杆件AB的约束力。
A
M0=Fa
C
B
F
解：1.取AB杆为研究对象画受力图
2.列平衡方程求约束力
Da a
FAx
A
M0=Fa
C
FAy FC
B F
aa
M A (F ) 0 : FC sin 45 a F 2a M 0 0
FC
2Fa a
Fa 2/2
MC (F) 0:
FAx
2
3a 3
F
a
M0
0
FAy 0 FAx 3F
C aa
一 矩
MA(F) 0: Fx 0 :
二 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
三 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
2 3a
式 Fy 0 :
式 Fx 0 :
式 M C (F8) 0 :
3
本课节小结
A F
B x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
2.选A点为简化中心，求力系的主矩
M0
M A (F)
F
sin 60
AB
F
AB 2
简化结果表明该力系是一平面力偶系。
4
二、平面任意力系的平衡方程
4）FR=0 Ｍ0=0 力系处于平衡状态。
例3-1 图示物体平面A、B、C三点构成一等边三角形，三点分别作
用F力，试简化该力系。
解：1.求力系的主矢
F x F F cos60o F cos60o 0
Fy 0 F sin 60o F sin 60o 0
y
C
F M0 F
上作用F力，集中力偶M0=Fa，=45°，试求杆件AB的约束力。
A
M0=Fa
C
B
F
解：1.取AB杆为研究对象画受力图
2.列平衡方程求约束力
Da a
FAx
A
M0=Fa
C
FAy FC
B F
aa
M A (F ) 0 : FC sin 45 a F 2a M 0 0
FC
2Fa a
Fa 2/2
MC (F) 0:
FAx
2
3a 3
F
a
M0
0
FAy 0 FAx 3F
C aa
一 矩
MA(F) 0: Fx 0 :
二 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
三 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
2 3a
式 Fy 0 :
式 Fx 0 :
式 M C (F8) 0 :
3
本课节小结
A F
B x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
2.选A点为简化中心，求力系的主矩
M0
M A (F)
F
sin 60
AB
F
AB 2
简化结果表明该力系是一平面力偶系。
4
二、平面任意力系的平衡方程
工程力学第三章-力系的平衡
将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
F F F
可以求解3个未知量。
x y
z
0 0 0
• 2.平面汇交力系
力系的平衡
• 力偶系的平衡方程 • 1.空间力偶系
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
FR 0
MO 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
FAB = 45 kN
600
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
C
D
150
B
300
TBD=G E
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。
《工程力学第三章》PPT课件
F A y － F Q － F W ＋ F T B sin＝ 0
FA＝ y － l－ l xFW＋F2Q
h
15
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题 1
FTB＝FWlxs＋ iF nQ2l＝2FlWxFQ
解： 3．讨论 由结果可以看出，当x＝l，即电动机移动到吊车大梁 右端B点处时，钢索所受拉力最大。钢索拉力最大值为
因此，力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢和对任意一 点的主矩同时等于零。这一条件简称为平衡条件
满足平衡条件的力系称为平衡力系。 本章主要介绍构件在平面力系作用下的平衡问题。
h
8
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
对于平面力系，根据第2章中所得到的主矢和主矩 的表达式，力系的平衡条件可以写成
吊 车 大 梁 AB 上 既 有 未 知 的 A 处 约 束力和钢索的拉力，又作用有已知的 电动机和重物的重力以及大梁的重力。 所以选择吊车大梁AB作为研究对象。 将吊车大梁从吊车中隔离出来。
h
12
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题 1
解： 1．分析受力
建立Oxy坐标系。 A处约束力分量为FAx和FAy ；钢 索的拉力为FTB。
平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题 1
解： 2．建立平衡方程
Fx＝0
MAF＝ 0
－ F Q2 l－ F W xF T Blsi＝ n0
FTB＝FWlxs＋ inFQ2l＝2FlWxFQ
FAxFTBco＝ s0
Fy＝0
F A＝ x 2F W x lF Q l co＝ s3 3 0 F lW xF 2 Q
FA＝ y － l－ l xFW＋F2Q
h
15
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题 1
FTB＝FWlxs＋ iF nQ2l＝2FlWxFQ
解： 3．讨论 由结果可以看出，当x＝l，即电动机移动到吊车大梁 右端B点处时，钢索所受拉力最大。钢索拉力最大值为
因此，力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢和对任意一 点的主矩同时等于零。这一条件简称为平衡条件
满足平衡条件的力系称为平衡力系。 本章主要介绍构件在平面力系作用下的平衡问题。
h
8
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
对于平面力系，根据第2章中所得到的主矢和主矩 的表达式，力系的平衡条件可以写成
吊 车 大 梁 AB 上 既 有 未 知 的 A 处 约 束力和钢索的拉力，又作用有已知的 电动机和重物的重力以及大梁的重力。 所以选择吊车大梁AB作为研究对象。 将吊车大梁从吊车中隔离出来。
h
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平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题 1
解： 1．分析受力
建立Oxy坐标系。 A处约束力分量为FAx和FAy ；钢 索的拉力为FTB。
平面一般力系的平衡条件与平衡方程－例题 1
解： 2．建立平衡方程
Fx＝0
MAF＝ 0
－ F Q2 l－ F W xF T Blsi＝ n0
FTB＝FWlxs＋ inFQ2l＝2FlWxFQ
FAxFTBco＝ s0
Fy＝0
F A＝ x 2F W x lF Q l co＝ s3 3 0 F lW xF 2 Q
工程力学 第3章 力系的平衡
6
解 ：1. 受力分析, 确定平衡对象 圆弧杆两端 A 、 B 均为铰链，中间无外力作用，因此圆弧杆为二力杆。 A 、 B 二处的 约束力 FA 和 FB 大小相等、 方向相反并且作用线与 AB 连线重合。 其受力图如图 3－6b 所示。 若 以圆弧杆作为平衡对象，不能确定未知力的数值。所以，只能以折杆 BCD 作为平衡对象。 ' 折杆 BCD ， 在 B 处的约束力 FB 与圆弧杆上 B 处的约束力 FB 互为作用与反作用力， 故 二者方向相反； C 处为固定铰支座，本有一个方向待定的约束力，但由于作用在折杆上的 ' 只有一个外加力偶，因此，为保持折杆平衡，约束力 FC 和 FB 必须组成一力偶，与外加力 偶平衡。于是折杆的受力如图 3－6c 所示。 2．应用平衡方程确定约束力 根据平面力偶系平衡方程（3－10） ，对于折杆有 M + M BC = 0 （a） 其中 M BC 为力偶（ FB , FC ）的力偶矩代数值
图 3－8 例 3－3 图
解 ：1. 选择平衡对象 本例中只有平面刚架 ABCD 一个刚体（折杆） ，因而是唯一的平衡对象。 2 受力分析 刚架 A 处为固定端约束， 又因为是平面受力， 故有 3 个同处于刚架平面内的约束力 FAx、 FAy 和 MA 。 刚架的隔离体受力图如图 3－8b 所示。 其中作用在 CD 部分的均布荷载已简化为一集中 力 ql 作用在 CD 杆的中点。 3. 建立平衡方程求解未
习 题
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2
第 3 章 力系的平衡
§３－１ 平衡与平衡条件
３－１－１ 平衡的概念
物体静止或作等速直线运动，这种状态称为平衡。平衡是运动的一种特殊情形。
平衡是相对于确定的参考系而言的。例如，地球上平衡的物体是相对于地球上固定参 考系的， 相对于太阳系的参考系则是不平衡的。 本章所讨论的平衡问题都是以地球作为固定 参考系的。 工程静力学所讨论的平衡问题，可以是单个刚体，也可能是由若干个刚体组成的系统， 这种系统称为刚体系统。 刚体或刚体系统的平衡与否，取决于作用在其上的力系。
工程力学第3章
1第三章力系的平衡§3–1 平面力系的平衡方程§3–2 空间力系的平衡方程§3–3 物体系统的平衡方程§3–4 静定与静不定的基本概念§3-1 平面力系的平衡方程由于=0 为力平衡M O =0 为力偶也平衡所以平面任意力系平衡的充要条件为：力系的主矢F R 和主矩M O 都等于零，即：)()(22=+=∑∑Y X F R 0)(==∑i O O F m M 1、平面任意力系的平衡方程R F=∑X 0)(=∑i A F m 0)(=∑i B F m ②二矩式条件：x 轴不AB连线⊥0)(=∑i A F m 0)(=∑i B F m 0)(=∑i C F m ③三矩式条件：A ,B ,C 不在同一直线上上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
=∑X 0=∑Y 0)(=∑i O F m ①一矩式①平面汇交力系=∑xF 0=∑yF2、平面特殊力系的平衡方程②平面力偶系=∑M ③平面平行力系=∑y F 0)(=∑F M O 0)(=∑F MB0)(=∑F M A AB 不x 轴⊥[例] 已知：P , a , 求：A 、B 两点的支座反力？解：①选AB 梁研究②画受力图（以后注明解除约束，可把支反力直接画在整体结构的原图上）)(=∑i A F m 由32 ,032PN a N a P B B =∴=⋅+⋅-0=∑X 0=A X 0=∑Y 3,0PY P N Y A B B =∴=-+解除约束,0==∑A X X 由022;0)(=⋅-+⋅⋅+⋅=∑a P m aa q a R F m B A 0=∑Y 0=--+∴P qa R Y B A )kN (122028.01628.02022=⨯+-⨯-=+--=P a m qa R B )kN (24128.02020=-⨯+=-+=B A R qa P Y [例] 已知：P =20kN, m =16kN·m, q =20kN/m, a =0.8m求：A 、B 的支反力。
工程力学3—力系的平衡条件和平衡方程
∑ Fx = 0 B ∑ M A ( F ) = 0 A x ∑ M ( F ) = 0 B 其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。
′ FR
由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化 为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件， 若AB连线不垂直于x 轴 (或y 轴），则力系必平衡。
∴N B =
60 =300N 0.2
[例4] 图示结构，已知M=800N.m，求A、C两点的约束反力。 例 图示结构，已知Байду номын сангаас， 、 两点的约束反力。 两点的约束反力
M AC = R C ⋅ d = 0.255 R C ( N .m )
∑M
i
=0
M AC − M = 0
RC = 3137 N
3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
M =m1 +m2 +m3 +m4 =4×(−15)=−60N⋅m
由力偶只能与力偶平衡的性质， 由力偶只能与力偶平衡的性质， 与力N 组成一力偶。 力NA与力 B组成一力偶。 根据平面力偶系平衡方程有: 根据平面力偶系平衡方程有
NB ×0.2 − m1 − m2 − m3 − m4 = 0
∴N A = N B =300 N
1,3,4；
有效的方程组合是：1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,4,5; 2,4,5 ；2,3,5; 3,4,5
第3章 力系的平衡条件与平衡方程 章
1 平面汇交力系的平衡条件与平衡方程 2 平面力偶系的平衡条件与平衡方程 3 平面任意力系的平衡条件与平衡方程 4 简单的刚体系统平衡问题 5 考虑摩擦时的平衡问题 6 结论与讨论
1 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是： 该力系的合力等于零。用矢量式表示为：
工程力学 第2版 第3章 平面力系的平衡方程及其应用
3.2 物系的平衡问题
物体系统:由若干个物体通过约束联系所组成的系统，简称为 物系。
系统平衡：当整个系统平衡时，组成该系统的每个物体也都 平衡。因此研究这类问题时，既可以取系统中的某一个物体为 分离体，也可以取几个物体的组合或者取整个系统为分离体。
1 静定和超静定问题
独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
注意：不能漏画固定端的约束反力偶MA，力偶只参与力矩方程，将力偶矩的大小直接代入方程， 而不参与投影方程。
在需同的样不求建要的平的一的立指矩衡，样结平定心方求，果矩位程解但是衡心置是过最一方，列不程终样程不出一也所，时，的在们的不正结这 要 选 同 确果个 意 择 ， 的就过 识 所 但 道是程 到 经 只 路正中 ， 历 要 ，确同 不 的 选 最的学 同 就 择 后。
Fx 0
Fy
0
➢ 平面平行力系的平衡方程
Fx 0( Fy 0)
M0(F) 方程组，皆可解与其平衡方程数对 应的未知数。应用力系平衡方程可以确定工程中构件在平衡时 的未知力。
2 平面力系平衡方程的应用
步骤
1）确定研究对象，画受力图 2）建立直角坐标系，确定各力与坐标轴的夹角 3）确定该平面力系的种类，列出相应的平衡方程求解未知力。
第3章 平面力系的平衡方程及其应用
平面力系的平衡方程及其应用
单个物体的平衡问题 物系的平衡问题
考虑摩擦时物体的 平衡问题
3.1 单个物体的平衡问题 1 平面力系的平衡条件
平面力系平衡的充要条件是：合力为零
➢ 平面一般力系的平衡方程 ➢ 平面汇交力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0
M O (F ) 0
工程力学03章静力学平衡问题
FP
l
l
FP
l
l
M
q
M
q
2l l
2l l
A
FAx A MA
解：1.选择研究对象。
FAy
2 受力分析,画出受力图如图所示。
8
2l l
FP
l
l
M
FAx
A MA
FAy
3. 建立平衡方程求解未知力 应用平衡方程
Fx = 0, FAx ql 0
q Fy = 0, FAy FP 0
MA= 0，
B
C
M1
A 60o
M2
60o D
20
解: 取杆AB为研究对象画受力图。
杆AB只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束，则A 处约束反力的方位可定。
B
B FA = FC = F,
M1
A 60o
C
C AC = a
FC
Mi = 0
M2 M1
60o D A
FA
a F - M1 = 0
M1 = a F (1)
的各坐标轴上投影的代数和及所有力对
各轴之矩的代数和均等于零
Fx 0 Fy 0 Fz 0
M M
x y
(F ) (F )
0 0
M
z
(F
)
0
26
§3-3 简单的刚体系统平衡问题
一、刚体系统静定与静不定的概念
1、静定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未知量 的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就 能解出全部未知量。
y
4. 联立求解，得
FAB 54.5KN FBC 74.5KN
工程力学第3章空间力系的平衡
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
几何法求解空间力系平衡问题
几何法
通过几何图形来描述物体的运动状态和受力 情况，通过观察和计算几何关系得到物体的 运动轨迹和受力情况。
优点
直观易懂，适用于简单运动和受力情况。
缺点
精度低，容易受到主观因素的影响。
代数法求解空间力系平衡问题
1 2
代数法
通过代数方程来描述物体的运动状态和受力情况， 通过解代数方程得到物体的运动轨迹和受力情况。
平衡方程形式
空间力系的平衡方程为三个平衡方程，分别表示力在x、y、z轴上 的平衡。
空间力系的平衡方程应用
解决实际问题
利用空间力系的平衡方程，可以 解决实际工程中的受力分析问题， 如梁的受力分析、结构的稳定性 分析等。
简化问题
通过将复杂的问题简化为简单的 空间力系问题，可以更方便地求 解问题。
验证实验结果
优点
适用范围广，可以用于解决各种复杂问题。
3
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
04
空间力系平衡问题的实例分 析
平面力系的平衡问题实例分析
总结词
平面力系平衡问题实例分析主要涉及二维空间中的受力分析，通过力的合成与分解，确定物体在平面内的平衡状 态。
详细描述
在平面力系中，物体受到的力可以分解为水平和垂直方向的分力。通过分析这些分力的合成与平衡，可以确定物 体在平面内的稳定状态。例如，在桥梁设计中，需要分析桥墩受到的水平风力和垂直压力，以确保桥墩的稳定性。
平衡条件
物体在空间力系作用下，满足力矩平衡、力矢平衡和 力平衡三个条件。
空间力系的简化
01
02
03
力矩
描述力对物体转动效应的 量，由力的大小、与力臂 的乘积决定。
计算量大，需要较高的数学水平。
几何法求解空间力系平衡问题
几何法
通过几何图形来描述物体的运动状态和受力 情况，通过观察和计算几何关系得到物体的 运动轨迹和受力情况。
优点
直观易懂，适用于简单运动和受力情况。
缺点
精度低，容易受到主观因素的影响。
代数法求解空间力系平衡问题
1 2
代数法
通过代数方程来描述物体的运动状态和受力情况， 通过解代数方程得到物体的运动轨迹和受力情况。
平衡方程形式
空间力系的平衡方程为三个平衡方程，分别表示力在x、y、z轴上 的平衡。
空间力系的平衡方程应用
解决实际问题
利用空间力系的平衡方程，可以 解决实际工程中的受力分析问题， 如梁的受力分析、结构的稳定性 分析等。
简化问题
通过将复杂的问题简化为简单的 空间力系问题，可以更方便地求 解问题。
验证实验结果
优点
适用范围广，可以用于解决各种复杂问题。
3
缺点
计算量大，需要较高的数学水平。
04
空间力系平衡问题的实例分 析
平面力系的平衡问题实例分析
总结词
平面力系平衡问题实例分析主要涉及二维空间中的受力分析，通过力的合成与分解，确定物体在平面内的平衡状 态。
详细描述
在平面力系中，物体受到的力可以分解为水平和垂直方向的分力。通过分析这些分力的合成与平衡，可以确定物 体在平面内的稳定状态。例如，在桥梁设计中，需要分析桥墩受到的水平风力和垂直压力，以确保桥墩的稳定性。
平衡条件
物体在空间力系作用下，满足力矩平衡、力矢平衡和 力平衡三个条件。
空间力系的简化
01
02
03
力矩
描述力对物体转动效应的 量，由力的大小、与力臂 的乘积决定。
工程力学3-力系的平衡条件和平衡方程
平衡方程的推导
根据力的平衡条件，可以列出平衡方程。对于一个物体，在X轴和Y轴上的力可以表示为F1、F2、F3、F4等，根 据平衡条件，可以列出两个平衡方程：F1X+F2X+F3X+F4X=0和F1Y+F2Y+F3Y+F4Y=0。
平衡方程的分类
平面力系的平衡方程
对于平面力系，可以列出三个平衡方程，分别表示X轴、Y轴 和Z轴上的力的平衡。
• 总结词：平面力系的平衡方程是用来求解未知力的数学工具，一般形式为 ∑X=0和∑Y=0。
• 详细描述：平面力系的平衡方程是根据平衡条件建立的数学方程，一般形式为 ∑X=0和∑Y=0，其中X和Y表示力在两个相互垂直的方向上的投影。通过解平衡 方程，可以求出未知力的值。
空间力系的平衡条件和平衡方程
• 总结词：空间力系中，力的合成与分解遵循平行六面体法则，平衡条件是力系 中所有力在三个相互垂直的方向上的投影之和为零。
• 详细描述：在空间力系中，力的合成与分解遵循平行六面体法则，即一个力可 以分解为三个相互垂直的分力。平衡条件是指力系中所有力在三个相互垂直的 方向上的投影之和为零，即合力矩为零。满足平衡条件的力系不会产生相对运 动或相对运动趋势。
• 总结词：空间力系的平衡方程是用来求解未知力的数学工具，一般形式为 ∑X=0、∑Y=0和∑Z=0。
跨学科融合
力系的平衡条件和平衡方程将与其它学科进行更紧密的融合，如计算机科学、人工智能 等，为解决复杂问题提供更高效的方法。
实际应用
力系的平衡条件和平衡方程在实际应用中将更加注重与工程实践的结合，提高解决实际 问题的效率。
力系平衡条件和平衡方程的实际应用
工程设计
在工程设计中，力系的平衡条件和平衡方程被广泛应用于结构分析 和优化设计，以确保结构的稳定性和安全性。
根据力的平衡条件，可以列出平衡方程。对于一个物体，在X轴和Y轴上的力可以表示为F1、F2、F3、F4等，根 据平衡条件，可以列出两个平衡方程：F1X+F2X+F3X+F4X=0和F1Y+F2Y+F3Y+F4Y=0。
平衡方程的分类
平面力系的平衡方程
对于平面力系，可以列出三个平衡方程，分别表示X轴、Y轴 和Z轴上的力的平衡。
• 总结词：平面力系的平衡方程是用来求解未知力的数学工具，一般形式为 ∑X=0和∑Y=0。
• 详细描述：平面力系的平衡方程是根据平衡条件建立的数学方程，一般形式为 ∑X=0和∑Y=0，其中X和Y表示力在两个相互垂直的方向上的投影。通过解平衡 方程，可以求出未知力的值。
空间力系的平衡条件和平衡方程
• 总结词：空间力系中，力的合成与分解遵循平行六面体法则，平衡条件是力系 中所有力在三个相互垂直的方向上的投影之和为零。
• 详细描述：在空间力系中，力的合成与分解遵循平行六面体法则，即一个力可 以分解为三个相互垂直的分力。平衡条件是指力系中所有力在三个相互垂直的 方向上的投影之和为零，即合力矩为零。满足平衡条件的力系不会产生相对运 动或相对运动趋势。
• 总结词：空间力系的平衡方程是用来求解未知力的数学工具，一般形式为 ∑X=0、∑Y=0和∑Z=0。
跨学科融合
力系的平衡条件和平衡方程将与其它学科进行更紧密的融合，如计算机科学、人工智能 等，为解决复杂问题提供更高效的方法。
实际应用
力系的平衡条件和平衡方程在实际应用中将更加注重与工程实践的结合，提高解决实际 问题的效率。
力系平衡条件和平衡方程的实际应用
工程设计
在工程设计中，力系的平衡条件和平衡方程被广泛应用于结构分析 和优化设计，以确保结构的稳定性和安全性。
工程力学教程篇(第二版)习题第3章答案
第3章 力系的平衡（一）（平面汇交力系的平衡）3-1 各种支架如题3-1图（a ）、（b ）、（c ）和（d ）所示，由杆AB 与AC 组成，A 、B 与C 均为铰链，在销钉A 上悬挂重量为W 的重物。
试求图示4种情况下，杆AB 与AC 所受的力。
题3-1解：情况如题3-1图（a ）所示，取铰A 为研究对象，作受力图如题3-1图（a1）所示.由平衡方程 0X=∑，cos 600AB AC S S -+=0Y=∑，sin 600A C S W --=得 1.155sin 30A C WS W==(压力)cos 60 1.155cos 600.577AB AC S S W W===（拉力）情况（b ）如题3-1图（b ）所示，取铰A 为研究对象，作受力图如题3-1图（b 1）所示.由平衡方程 0X =∑，cos 700AC AB S S -=0Y=∑，sin 700AB S W -=得 1.064sin 30A B WS W==(拉力)cos 70 1.064cos 700.364AC AB S S W W===（压力）情况（c ）如题3-1图（c ）所示，取铰A 为研究对象，作受力图如题3-1图（c 1）所示.由平衡方程 0X=∑，cos 300AC S W -=0Y=∑，sin 300AB S W -=得 cos 300.866AC S W W == (拉力)sin 300.5AB S W W==（压力）情况（d ）如题3-1图（d ）所示，取铰A 为研究对象，作受力图如题3-1图（d 1）所示.由平衡方程 0X =∑，sin 30sin 300AC AB S S -+=0Y=∑，cos 30cos 300AC AB S S W +-=得 0.5772cos 30A C AB W S S W===(拉力)3-2 题3-2图（a ）所示的电动机重5W kN =，放在水平梁AC 的中间，A 和B 为固定铰链，C 为中间铰链。
清华出版社工程力学答案-第3章 力系的平衡条件与平衡方程
ln
=
l n
3－11 厂房构架为三铰拱架，由两片拱架在 C 处铰接而成。桥式吊车沿着垂直于纸面
方向的轨道行驶，吊车梁的重量 W1＝20 kN，其重心在梁的中点。梁上的小车和起吊重物的
重量 W2＝60 kN。两个拱架的重量均为 W3＝60 kN，二者的重心分别在 D、E 二点，正好与
吊车梁的轨道在同一铅垂线上。风的合力为 10 kN，方向水平。试求：当小车位于离左边轨
ΣFy = 0， FAy = FB′y = qd （↑）； （c） 题解：
图（c1）：
ΣFx = 0， FBx = 0
ΣMB
=
0，
−
qd
⋅
d 2
+ FRC
⋅ 2d
= 0 ， FRC
=
qd 4
（↑）
ΣFy = 0， FBy + FRC − qd = 0 ，
FBy
=
3 4
qd
（↑）
图（c2）：
ΣFx = 0，FAx = 0
ΣFy
=
0，
FAy
=
qd
+
FB′y
=
7 4
qd
（↑）
ΣMA
=
0， M A
−
FB′y
⋅ 2d
− qd
⋅
3d 2
=0
（d） 题解：
∴ MA = 3qd 2（逆时针）；
图（d1）：
ΣMB
=
0， FRC
=
M 2d
（↑）
ΣFy
=
0，
FBy
=
M 2d
（↓）
8
(c)
A
q
B
工程力学(李卓球) 第3章 力系的简化和平衡
∑X =0 ∑Y = 0 ∑M = 0
O
3.2
力系的平衡条件和平衡方程 ∑X =0
∑Y = 0 ∑F = 0
z
y
F1 F2
4 5 3
F3
∑M
x
=0
y
O
x
∑M ∑M
平面汇交力系
=0
=0
z
∑ ∑
X = 0
Y = 0
Y = 0
M
O
平面平行力系
∑ ∑
( Fi ) = 0
3.2
力系的平衡条件和平衡方程
四、平面任意力系平衡方程的其他形式 (1)二力矩式 二力矩式
3.2
力系的平衡条件和平衡方程
平面平行力系的平衡方程
∑ ∑ ∑
Fx = 0
∑ M ∑ M
A B
(F i ) = 0 (Fi ) = 0
Fy = 0
M
O
(Fi ) = 0
∑
Fx = 0
A
B
∑Y ∑M
= 0
O
∑ M
(F i ) = 0
(Fi ) = 0
∑
M
(Fi ) = 0
AB连线与力不平行 连线与力不平行 只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。 只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。
h h
γy (1 × dy )
dy
= γy
1 2 γh 2
由合力矩定理， 由合力矩定理，有
1 Qd = ∫ yqdy = ∫ γy dy = γh 3 0 0 3
h h 2
d=
2 h 3
3.1
力系向一点简化
y A
2m
在长方形平板的O 例题 3-2 在长方形平板的 、A、 B、C 点上分别作用着有四个力： 点上分别作用着有四个力： F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN ， ， 如图）， ），试求以上四个力构成 （如图），试求以上四个力构成 的力系对点O 的简化结果， 的力系对点 的简化结果，以及 该力系的最后的合成结果。 该力系的最后的合成结果。 取坐标系Oxy。 解：取坐标系 。 1、求向 点简化结果： 点简化结果： 、求向O点简化结果 求主矢R′ ①求主矢 ′：
工程力学__第3章力系的平衡习题解
sin ( ) 3 cos )
即 3 sin cos sin cos cos sin
习题 3－4 图
即 2 tan tan
1
O
2
注：在学完本书第 3 章后，可用下法求解： Fx 0 ， FRAG sin 0
Fy 0 ， FRBG cos 0
M A (F ) 0
，G
l s3in(
)
FRB
l
解：（a），CD 为二力杆； 图（c）— 力偶系
ΣMi = 0
FRA FRC M 2 M
2
d
d
2
习题 3－11 图
— 11 —
（b）AB 为二力杆
图（d）：ΣMi = 0， FRC FD M ，
d
FRA FD M d
FD
D
A
45
D BM
M
FRA
FRC
C
FRC
FRA
A
FD' B
D
(d)
(e)
(c)
F
q
5 (6 2l) 340l 0
3
l = 1m 即 lmax = 1m
C 6 l (a)
D FR D
l
3－18 木支架结构的尺寸如图所示，各杆在 A、D、E、
F 处均以螺栓连接，C、D 处用铰链与地面连接，在水平杆 AB
的 B 端挂一重物，其重 W = 5kN。若不计各杆的重，试求 C、
G、A、E 各点的约束力。
3－10 试求图示结构中杆 1、2、3 所受的力。 解：杆 3 为二力杆 图（a）：
ΣMi = 0
F3 dM 0 M
F3 d
F = F3 （压） 图（b）：
河海大学工程力学,第三章—汇交力系的平衡
§3-3 y
汇交力系的平衡
F1 F2
O
x'
已知FP，可以求出F1、 F2 、 F3吗？
F3 FP
x
∑Fix =0 ∑ Fiy =0 ∑ Fix'=0
3个方程中总有一个不独立，是另两个方程的线性组合。 讨论：两坐标轴可任选（即可不正交），但不能共线。
FR
O
y x
∑Fix =0
FR⊥x轴
∑Fiy =0
例 图示结构中，ABC、DEG平面垂直与地面，而AB、 AC、DE、DG与铅垂线夹角均为450。试求各杆所受之力。
F1
B O1
F2
A D
E O2 C G 300 H
600
§3-3 解 1.以A铰为研究对象，受力如图
汇交力系的平衡
F1 FAB
B
O1
F2
A
F F
FAD
D
0 0 F cos 45 F cos 45 0 ix AB AC
汇交力系的简化
2. 解析法 FR=F1+F2+… Fi +… + Fn =FRxi+FRyj+FRzk Fn
F1
O
F2
FR
y
Fi
x
FR= (F1xi+F1yj+F1zk )+ (F2xi+F2yj+F2zk )+… +(Fnxi+Fnyj+Fnzk) =（∑Fix）i+ （∑ Fiy ） j+ （ ∑ Fiz ） k
iy
FAD F1 0 FAB sin450 FAC sin450 F2 0
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FAC
F2
FBC
F1
14
⑵销钉C受平面汇交力系作用。 列平衡方程
F
y
0 , FAC
3 sin 60 F2 F1 0 5
把 F1 400 N , F2 200 N ,
代入上式得
FAC 323.3 N
F 0 , F cos 60 FBC x AC
4 F2 0 5
W2
a
C W
e l
W1
A
b
B
24
解：以起重机为研究对象，画 出受力图如图所示。
C
起重机在平面平行力系作用 下平衡。 ⑴空载时 此时W1=0，若要翻倒，将会 绕着A点转动，右轨B将不受压力 作用。所以起重机空载时不翻倒 的条件是
W2 a
e
W
l
W1
A
b
B
FA
FB
FB 0
25
列出平衡方程
MA( F ) 0
FR
MO MO ( F ) 0
Fx F y
2
2
0
2
于是得平面任意力系的平衡方程 解题技巧：一个 Fx 0 方程含一个未知 F y 0 数，列一个解一 个。 M O ( F ) 0
一力矩式
平面力系平衡的充分与必要条件：各力在直角坐 标系Oxy中各坐标轴上投影的代数和分别等于零，各 力对任一点之矩的代数和等于零。
30
§3-2
空间力系的平衡方程
一、空间任意力系的平衡方程 由力系的简化理论可知，若空间力系为平衡 力系，则必有 0, M O 0 FR 充分必要条件。 解析表达式为
0 , M O 0 为空间任意力系平衡的 即 FR
F 0, F 0, F 0 M 0, M 0, M 0
§3–1 平面力系的平衡方程 §3–2 空间力系的平衡方程 §3–3 物体系统的平衡方程
§3–4 静定与超静定的基本概念
1
§3-1
平面力系的平衡方程
一、平面任意力系的平衡方程 ⒈平面任意力系平衡方程的基本形式 平面任意力系平衡的充分与必要条件：力系的主 矢 FR 0 和力系对任一点的主矩 M O 0 。即作用 在Oxy平面的任意力系，主矢和主矩可表达为
22
对于杆O1B ：
M 0
FA
A
B
O1 A 0 M 2 FA
O1 A M 2 FA
M1 O1 A 0 sin 30 OA
O1
M2
Fo1
OA sin 30 O1 A
M 2 4M 1
23
[例3-7] 塔式起重机结构简图如图。设起重机架自重为W， 作用线距右B为e，载重W1离右轨B为l，平衡物重为W2，距左 轨 A为a，两轨距为b。要使起重机在空载、满载且载重为W1 在最远时均不翻倒，试求平衡物重W2。
P
e
B
C
q
ql
2l
D
FAx
A
MA FAy ( a )
7
⑵平面刚架受平面任意力系的 作用。列平衡方程，有
Me
l
FP
l C
B
q
ql
F
x
0 , FAx ql 0 FAx ql
2l
D
FAx
A
F
y
0 , FAy F p 0 FAy F p
3 M A M e ql l FP l 0 2 3 2 M A M e F p l ql 2
FNB 1 m 20 0.8 16 qa 2F 2 20 12kN 2 a 2 0.8
x
F
0 , x 0
5
m
F Ax a
A B
F
a
a
F Ay
FNB
F
y
0 , FNB FAy F qa 0
FAy F qa FNB 20 20 0.8 12 24kN
②充分性证明：平面任意力系简化的最后结果是力偶
必过AB 的连线)或力系平衡。由于 Fx 0，即 Fx FR cos 0 ，而AB 的连线不能与Ox 轴垂直，即 cosα ≠ 0 ，所以 FR 0。故力系不可能简化为合力，力系 平衡。
10
• 三力矩式
M A ( F ) 0 （A、B、C三点不共线） M B ( F ) 0 M C ( F ) 0
证明： ①必要性：如果一平面任意力系平衡，则力 系的主矢和对任一点的主矩均等于零，于是上式 必然成立。
11
M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 （A、B、C三点不共线） M C ( F ) 0
②充分性：因为 所以该力系不可能简化为一力偶，只能简化为合 力 FR 0 （合力线必通过A、B、C 三点）或力系 平衡 。由于A、B、C三点不共线，所以力系平衡 不可能简化为合力。故力系平衡。 • 平面一般力系只有三个独立的平衡方程。
W2
W1
FB b W ( e b ) W2 a 0
1 FB W ( e b ) W 2 a b
将
FB 0 代入，得空载时平衡物重量 W2 的条件
W(e b) W2 a
26
⑵满载且载重物在最远端时 此时起重机有绕着B点转动的趋 势，左轨A将不受压力作用。所以 起重机满载时不翻倒的条件是
20
解：分别以杆OA连 套筒、摆杆为研究对象。画出它们 的隔离体和受力图。两构件的受力均为平面力偶系。
FA
A
B
FO
M1
A
M2
O
FA
21
O1
Fo1
由平面力偶系，列平衡方程： 对于杆OA：
FO
M1
A
d
M 0
M1 FA sin 30 OA 0
O
FA
M1 FA OA sin 30
W2
W1
FA 0
列出平衡方程
MB( F ) 0
FA b W2 ( a b ) W e W1 l 0
1 FA W e W1 l W 2 ( a b ) b
27
1 FA W e W1 l W 2 ( a b ) b
R
F
B
O
h
A
17
解：⑴取碾子为研究对象，画出其受 力图如图所示。 要将碾子拉过石坎，则 列平衡方程
FNA 0
R
M
B
0
F
B
F ( R h ) G R cos 0
G R cos F Rh
G
A
O
h
FNB
FNA
18
G R cos F Rh 把G=20kN，R=40cm，h=8cm，cosα=0.6，代入上式， 解得
x y z x y z
6个独立平衡方程， 只可求解6个未知量。
31
上式平衡方程中有三个力矩方程，称为三力矩 式。除此之外，还可以有四力矩式、五力矩式、 六力矩式。不论哪种形式，空间任意力系都只能 有6个独立平衡方程。
3
[例3-1] 已知如图所示，求A、B两处的约束力。 解：⑴选AB梁为研究对象 ⑵画受力图 ⑶列平衡方程求解
F Ay
F Ax
F A
C 2a
a
B
FNB
F
M
A
x
0 , FAx 0
2 F 3
0 , FNB 3a F 2a 0 , FNB
F
y
0 , FNB
1 FAy F 0 , FAy F 3
另外可利用
3 M B qa 2 a FAy a m F a 3 20 0.82 24 0.8 16 20 0.8 2 0
6
来校核解题的正确性。
[例3-3] 直角平面刚架结构的尺寸及荷载如图所示。 若l,q,M,Fp 均已知，试求A端的约束力。 解：⑴选平面刚架为研究对象。 画受力图如图所示。固定端A的约束力的方向是假 F 设的。 l M l
9
Fx 0 • 二力矩式 （A、B连线不垂直于Ox轴 ） M A ( F ) 0 M B ( F ) 0
或合力或力系平衡，由于 M A ( F ) 0 , M B ( F ) 0 ， 所 以不可能简化为力偶，只能简化为合力 FR 0 (合力作用线
F 15kN
⑵当F与OB垂直时，最省力。
R
MB ( F ) 0
F
B
G
A
O
F R G R cos
h
FNB
F G cos 12kN
FNA
19
[例3-6] 如图所示机构，套筒A穿过摆杆O1B，用
销钉连接在杆OA上，其上作用有力偶矩M1，β=30°, 机构维持平衡。试求在摆杆O1B上作用的力偶矩M2 。 不计各杆自重。
受力图。 注意：BC为二力杆。 ⑵取坐标，列平衡方程。
FC
C
y x
30 B
q=0.5kN/m
FAy FAx
A
1.5m
M
A
0
l l FC 1.5 F ql 0 2 2
L=2m
F=2KN
FC 4kN
29
Fx 0 Fy 0
FAx FC cos 30 0
F2
FBC
F1
14
⑵销钉C受平面汇交力系作用。 列平衡方程
F
y
0 , FAC
3 sin 60 F2 F1 0 5
把 F1 400 N , F2 200 N ,
代入上式得
FAC 323.3 N
F 0 , F cos 60 FBC x AC
4 F2 0 5
W2
a
C W
e l
W1
A
b
B
24
解：以起重机为研究对象，画 出受力图如图所示。
C
起重机在平面平行力系作用 下平衡。 ⑴空载时 此时W1=0，若要翻倒，将会 绕着A点转动，右轨B将不受压力 作用。所以起重机空载时不翻倒 的条件是
W2 a
e
W
l
W1
A
b
B
FA
FB
FB 0
25
列出平衡方程
MA( F ) 0
FR
MO MO ( F ) 0
Fx F y
2
2
0
2
于是得平面任意力系的平衡方程 解题技巧：一个 Fx 0 方程含一个未知 F y 0 数，列一个解一 个。 M O ( F ) 0
一力矩式
平面力系平衡的充分与必要条件：各力在直角坐 标系Oxy中各坐标轴上投影的代数和分别等于零，各 力对任一点之矩的代数和等于零。
30
§3-2
空间力系的平衡方程
一、空间任意力系的平衡方程 由力系的简化理论可知，若空间力系为平衡 力系，则必有 0, M O 0 FR 充分必要条件。 解析表达式为
0 , M O 0 为空间任意力系平衡的 即 FR
F 0, F 0, F 0 M 0, M 0, M 0
§3–1 平面力系的平衡方程 §3–2 空间力系的平衡方程 §3–3 物体系统的平衡方程
§3–4 静定与超静定的基本概念
1
§3-1
平面力系的平衡方程
一、平面任意力系的平衡方程 ⒈平面任意力系平衡方程的基本形式 平面任意力系平衡的充分与必要条件：力系的主 矢 FR 0 和力系对任一点的主矩 M O 0 。即作用 在Oxy平面的任意力系，主矢和主矩可表达为
22
对于杆O1B ：
M 0
FA
A
B
O1 A 0 M 2 FA
O1 A M 2 FA
M1 O1 A 0 sin 30 OA
O1
M2
Fo1
OA sin 30 O1 A
M 2 4M 1
23
[例3-7] 塔式起重机结构简图如图。设起重机架自重为W， 作用线距右B为e，载重W1离右轨B为l，平衡物重为W2，距左 轨 A为a，两轨距为b。要使起重机在空载、满载且载重为W1 在最远时均不翻倒，试求平衡物重W2。
P
e
B
C
q
ql
2l
D
FAx
A
MA FAy ( a )
7
⑵平面刚架受平面任意力系的 作用。列平衡方程，有
Me
l
FP
l C
B
q
ql
F
x
0 , FAx ql 0 FAx ql
2l
D
FAx
A
F
y
0 , FAy F p 0 FAy F p
3 M A M e ql l FP l 0 2 3 2 M A M e F p l ql 2
FNB 1 m 20 0.8 16 qa 2F 2 20 12kN 2 a 2 0.8
x
F
0 , x 0
5
m
F Ax a
A B
F
a
a
F Ay
FNB
F
y
0 , FNB FAy F qa 0
FAy F qa FNB 20 20 0.8 12 24kN
②充分性证明：平面任意力系简化的最后结果是力偶
必过AB 的连线)或力系平衡。由于 Fx 0，即 Fx FR cos 0 ，而AB 的连线不能与Ox 轴垂直，即 cosα ≠ 0 ，所以 FR 0。故力系不可能简化为合力，力系 平衡。
10
• 三力矩式
M A ( F ) 0 （A、B、C三点不共线） M B ( F ) 0 M C ( F ) 0
证明： ①必要性：如果一平面任意力系平衡，则力 系的主矢和对任一点的主矩均等于零，于是上式 必然成立。
11
M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 （A、B、C三点不共线） M C ( F ) 0
②充分性：因为 所以该力系不可能简化为一力偶，只能简化为合 力 FR 0 （合力线必通过A、B、C 三点）或力系 平衡 。由于A、B、C三点不共线，所以力系平衡 不可能简化为合力。故力系平衡。 • 平面一般力系只有三个独立的平衡方程。
W2
W1
FB b W ( e b ) W2 a 0
1 FB W ( e b ) W 2 a b
将
FB 0 代入，得空载时平衡物重量 W2 的条件
W(e b) W2 a
26
⑵满载且载重物在最远端时 此时起重机有绕着B点转动的趋 势，左轨A将不受压力作用。所以 起重机满载时不翻倒的条件是
20
解：分别以杆OA连 套筒、摆杆为研究对象。画出它们 的隔离体和受力图。两构件的受力均为平面力偶系。
FA
A
B
FO
M1
A
M2
O
FA
21
O1
Fo1
由平面力偶系，列平衡方程： 对于杆OA：
FO
M1
A
d
M 0
M1 FA sin 30 OA 0
O
FA
M1 FA OA sin 30
W2
W1
FA 0
列出平衡方程
MB( F ) 0
FA b W2 ( a b ) W e W1 l 0
1 FA W e W1 l W 2 ( a b ) b
27
1 FA W e W1 l W 2 ( a b ) b
R
F
B
O
h
A
17
解：⑴取碾子为研究对象，画出其受 力图如图所示。 要将碾子拉过石坎，则 列平衡方程
FNA 0
R
M
B
0
F
B
F ( R h ) G R cos 0
G R cos F Rh
G
A
O
h
FNB
FNA
18
G R cos F Rh 把G=20kN，R=40cm，h=8cm，cosα=0.6，代入上式， 解得
x y z x y z
6个独立平衡方程， 只可求解6个未知量。
31
上式平衡方程中有三个力矩方程，称为三力矩 式。除此之外，还可以有四力矩式、五力矩式、 六力矩式。不论哪种形式，空间任意力系都只能 有6个独立平衡方程。
3
[例3-1] 已知如图所示，求A、B两处的约束力。 解：⑴选AB梁为研究对象 ⑵画受力图 ⑶列平衡方程求解
F Ay
F Ax
F A
C 2a
a
B
FNB
F
M
A
x
0 , FAx 0
2 F 3
0 , FNB 3a F 2a 0 , FNB
F
y
0 , FNB
1 FAy F 0 , FAy F 3
另外可利用
3 M B qa 2 a FAy a m F a 3 20 0.82 24 0.8 16 20 0.8 2 0
6
来校核解题的正确性。
[例3-3] 直角平面刚架结构的尺寸及荷载如图所示。 若l,q,M,Fp 均已知，试求A端的约束力。 解：⑴选平面刚架为研究对象。 画受力图如图所示。固定端A的约束力的方向是假 F 设的。 l M l
9
Fx 0 • 二力矩式 （A、B连线不垂直于Ox轴 ） M A ( F ) 0 M B ( F ) 0
或合力或力系平衡，由于 M A ( F ) 0 , M B ( F ) 0 ， 所 以不可能简化为力偶，只能简化为合力 FR 0 (合力作用线
F 15kN
⑵当F与OB垂直时，最省力。
R
MB ( F ) 0
F
B
G
A
O
F R G R cos
h
FNB
F G cos 12kN
FNA
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[例3-6] 如图所示机构，套筒A穿过摆杆O1B，用
销钉连接在杆OA上，其上作用有力偶矩M1，β=30°, 机构维持平衡。试求在摆杆O1B上作用的力偶矩M2 。 不计各杆自重。
受力图。 注意：BC为二力杆。 ⑵取坐标，列平衡方程。
FC
C
y x
30 B
q=0.5kN/m
FAy FAx
A
1.5m
M
A
0
l l FC 1.5 F ql 0 2 2
L=2m
F=2KN
FC 4kN
29
Fx 0 Fy 0
FAx FC cos 30 0