工程力学——第3章(力系的平衡)

FC
C
y x
30 B
q=0.5kN/m
FAx 3.46kN
FAy FAx
A
1.5m
FAy FC sin 30 F ql 0
L=2m
F=2KN
FAy 1kN
FAx 3.46kN FAy 1kN FC 4kN
验算：再写一个不独立平衡方程，看是否满足。如 MB(F)=0.5F+ql· 1-2FAy=1+1-2=0 结果正确。
另外可利用
3 M B qa 2 a FAy a m F a 3 20 0.82 24 0.8 16 20 0.8 2 0
6
来校核解题的正确性。
[例3-3] 直角平面刚架结构的尺寸及荷载如图所示。 若l,q,M,Fp 均已知，试求A端的约束力。 解：⑴选平面刚架为研究对象。 画受力图如图所示。固定端A的约束力的方向是假 F 设的。 l M l
将 FA 0 代入，得满载时平衡重物W2 的条件
1 W2 ( W e W1 l ) ab
综合以上两种情况，平衡物应满足不等式
1 W(e b) ( W e W1 l ) W 2 ab a
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[例3-8] 求图示结构中铰链A、B处的约束力。
解：⑴画整体为研究对象，画
证明： ①必要性：如果一平面任意力系平衡，则力 系的主矢和对任一点的主矩均等于零，于是上式 必然成立。
11
M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 （A、B、C三点不共线） M C ( F ) 0
②充分性：因为 所以该力系不可能简化为一力偶，只能简化为合 力 FR 0 （合力线必通过A、B、C 三点）或力系 平衡 。由于A、B、C三点不共线，所以力系平衡 不可能简化为合力。故力系平衡。 • 平面一般力系只有三个独立的平衡方程。
9
Fx 0 • 二力矩式 （A、B连线不垂直于Ox轴 ） M A ( F ) 0 M B ( F ) 0
或合力或力系平衡，由于 M A ( F ) 0 , M B ( F ) 0 ， 所 以不可能简化为力偶，只能简化为合力 FR 0 (合力作用线
FAC
F2
FBC 1.7 N
FBC
F1
15
F AC
FAC 323.3 N FBC 1.7 N
杆AC和BC 所受的力与它们 FBC 互 对销钉的作用力 FAC ，
为作用力和反作用力。
FAC
FAC
F2
为正值，表明杆AC受拉； 为负值，表明杆BC受压。
FBC
FBC
F1
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[例3-5] 如图所示压路机碾子重为20kN，半 径R=40cm。如用一通过中心O的水平力F将碾子 拉过高h=8cm的石坎，试求此水平力的大小。不 计摩擦。请问当F方向如何，才能最省力？
FR
MO MO ( F ) 0
Fx F y
2
2
0
2
于是得平面任意力系的平衡方程 解题技巧：一个 Fx 0 方程含一个未知 F y 0 数，列一个解一 个。 M O ( F ) 0
一力矩式
平面力系平衡的充分与必要条件：各力在直角坐 标系Oxy中各坐标轴上投影的代数和分别等于零，各 力对任一点之矩的代数和等于零。
3
[例3-1] 已知如图所示，求A、B两处的约束力。 解：⑴选AB梁为研究对象 ⑵画受力图 ⑶列平衡方程求解
F Ay
F Ax
F A
C 2a
a
B
FNB
F
M
A
x
0 , FAx 0
2 F 3
0 , FNB 3a F 2a 0 , FNB
F
y
0 , FNB
1 FAy F 0 , FAy F 3
R
F
B

O
h
A
17
解：⑴取碾子为研究对象，画出其受 力图如图所示。 要将碾子拉过石坎，则 列平衡方程
FNA 0
R
M
B
0
F
B

F ( R h ) G R cos 0
G R cos F Rh
G
A
O
h
FNB
FNA
18
G R cos F Rh 把G=20kN，R=40cm，h=8cm，cosα=0.6，代入上式， 解得
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§3-2
空间力系的平衡方程
一、空间任意力系的平衡方程 由力系的简化理论可知，若空间力系为平衡 力系，则必有 0, M O 0 FR 充分必要条件。 解析表达式为
0 , M O 0 为空间任意力系平衡的 即 FR
F 0, F 0, F 0 M 0, M 0, M 0
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[例3-2] 已知: F 20kN , m 16kN m , q 20kN / m , a 0.8m 求：A、B两处的约束力。 解：⑴取AB梁为研究对象，画 受力图如图所示。
q
F Ax a
F Ay
A
m
B
F
a
a
FNB
⑵列平衡方程，求 FAx , FAy , FNB 1 M A 0 , qa 2 a m FNB a F 2a 0
W2
a
C W
e l
W1
A
b
B
24
解：以起重机为研究对象，画 出受力图如图所示。
C
起重机在平面平行力系作用 下平衡。 ⑴空载时 此时W1=0，若要翻倒，将会 绕着A点转动，右轨B将不受压力 作用。所以起重机空载时不翻倒 的条件是
W2 a
e
W
l
W1
A
b
B
FA
FB
FB 0
25
列出平衡方程
MA( F ) 0
M A ( F ) 0, M B ( F ) 0, M C ( F ) 0
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二、平面特殊力系的平衡方程
⒈平面汇交力系（
M ( F O )0 ）
F x 0 F y 0
⒉平面力偶系（ Fx 0, F y 0 ） ⒊平面平行系（ Fx 0 ）
x y z x y z

6个独立平衡方程， 只可求解6个未知量。
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上式平衡方程中有三个力矩方程，称为三力矩 式。除此之外，还可以有四力矩式、五力矩式、 六力矩式。不论哪种形式，空间任意力系都只能 有6个独立平衡方程。
§3–1 平面力系的平衡方程 §3–2 空间力系的平衡方程 §3–3 物体系统的平衡方程
§3–4 静定与超静定的基本概念
1
§3-1
平面力系的平衡方程
一、平面任意力系的平衡方程 ⒈平面任意力系平衡方程的基本形式 平面任意力系平衡的充分与必要条件：力系的主 矢 FR 0 和力系对任一点的主矩 M O 0 。即作用 在Oxy平面的任意力系，主矢和主矩可表达为
W2
W1
FA 0
列出平衡方程
MB( F ) 0
FA b W2 ( a b ) W e W1 l 0
1 FA W e W1 l W 2 ( a b ) b
27
1 FA W e W1 l W 2 ( a b ) b
F 15kN
⑵当F与OB垂直时，最省力。
R
MB ( F ) 0
F
B

G
A
Oห้องสมุดไป่ตู้
F R G R cos
h
FNB
F G cos 12kN
FNA
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[例3-6] 如图所示机构，套筒A穿过摆杆O1B，用
销钉连接在杆OA上，其上作用有力偶矩M1，β=30°, 机构维持平衡。试求在摆杆O1B上作用的力偶矩M2 。 不计各杆自重。
22
对于杆O1B ：
M 0
FA
A
B
O1 A 0 M 2 FA
O1 A M 2 FA
M1 O1 A 0 sin 30 OA
O1
M2
Fo1
OA sin 30 O1 A
M 2 4M 1
23
[例3-7] 塔式起重机结构简图如图。设起重机架自重为W， 作用线距右B为e，载重W1离右轨B为l，平衡物重为W2，距左 轨 A为a，两轨距为b。要使起重机在空载、满载且载重为W1 在最远时均不翻倒，试求平衡物重W2。
P
e
B
C
q
ql
2l
D
FAx
A
MA FAy ( a )
7
⑵平面刚架受平面任意力系的 作用。列平衡方程，有
Me
l
FP
l C
B
q
ql
F
x
0 , FAx ql 0 FAx ql
2l
D
FAx
A
F
y
0 , FAy F p 0 FAy F p
3 M A M e ql l FP l 0 2 3 2 M A M e F p l ql 2
②充分性证明：平面任意力系简化的最后结果是力偶
必过AB 的连线)或力系平衡。由于 Fx 0，即 Fx FR cos 0 ，而AB 的连线不能与Ox 轴垂直，即 cosα ≠ 0 ，所以 FR 0。故力系不可能简化为合力，力系 平衡。
10
• 三力矩式
M A ( F ) 0 （A、B、C三点不共线） M B ( F ) 0 M C ( F ) 0
MA FAy ( a )
M A ( F ) 0,
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⒉平面任意力系平衡方程的其他形式
Fx 0 • 二力矩式 M A ( F ) 0 M B ( F ) 0
证明：
（A、B连线不垂直于Ox轴 ）
①必要性：如果一平面任意力系平衡，则力系 的主矢和对任一点的主矩均等于零，于是上式 必然 成立。
M 0
Fy 0 M O ( F ) 0
或 M A ( F ) 0 （A、B连线不垂直于x轴） M B ( F ) 0
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[例3-4] 图a示结构由AC、BC两杆铰接而成，力F1
和F2 作用于销钉 C并位于结构所在平面内。已知 F1 400 N , F2 200 N 不计杆重，求杆 AC和BC 所受的力。 解：⑴选取销钉C为研究对象。 设两杆均受拉，作销钉C的受力 图及选取坐标系如图b所示。
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解：分别以杆OA连 套筒、摆杆为研究对象。画出它们 的隔离体和受力图。两构件的受力均为平面力偶系。
FA
A
B
FO
M1
A
M2
O
FA
21
O1
Fo1
由平面力偶系，列平衡方程： 对于杆OA：
FO
M1
A
d
M 0
M1 FA sin 30 OA 0

O
FA
M1 FA OA sin 30
W2
W1
FB b W ( e b ) W2 a 0
1 FB W ( e b ) W 2 a b
将
FB 0 代入，得空载时平衡物重量 W2 的条件
W(e b) W2 a
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⑵满载且载重物在最远端时 此时起重机有绕着B点转动的趋 势，左轨A将不受压力作用。所以 起重机满载时不翻倒的条件是
FAC
F2
FBC
F1
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⑵销钉C受平面汇交力系作用。 列平衡方程
F
y
0 , FAC
3 sin 60 F2 F1 0 5

把 F1 400 N , F2 200 N ,
代入上式得
FAC 323.3 N
F 0 , F cos 60 FBC x AC
4 F2 0 5
受力图。 注意：BC为二力杆。 ⑵取坐标，列平衡方程。
FC
C
y x
30 B
q=0.5kN/m
FAy FAx
A
1.5m
M
A
0
l l FC 1.5 F ql 0 2 2
L=2m
F=2KN
FC 4kN
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Fx 0 Fy 0
FAx FC cos 30 0
FNB 1 m 20 0.8 16 qa 2F 2 20 12kN 2 a 2 0.8
x
F
0 , FAx 0
5
m
F Ax a
A B
F
a
a
F Ay
FNB
F
y
0 , FNB FAy F qa 0
FAy F qa FNB 20 20 0.8 12 24kN