正弦交流电路的相量(图)法求解.
正弦稳态分析--相量法
第6章正弦稳态分析--相量法 (186)学习重点 (186)6.1 正弦量 (186)6.2 复数 (188)6.3正弦交流电的相量表示 (190)6.3.1问题的引入 (190)6.3.2正弦量的相量式表示 (190)6.3.3正弦量的相量图表示 (192)6.3.正弦量的相量表示的应用 (192)6.4 KCL、KVL相量形式 (194)6.5 电阻、电感和电容元件VCR的相量形式 (195)6.6正弦交流电路的阻抗、导纳及等效 (198)6.6.1阻抗的概念 (198)6.6.2 导纳的概念 (200)6.7 正弦稳态电路的一般分析方法 (201)6.7.1 相量法的原理 (201)6.7.2 相量法的一般分析过程 (202)6.7.3 相量图法 (205)6.8 有功功率、无功功率、视在功率和复功率 (206)6.9 正弦稳态电路的功率守恒 (208)6.10 正弦稳态电路的最大功率传输 (212)6.11 仿真实验 (214)习题六 (216)185186第6章 正弦稳态分析--相量法学习要点（1）正弦量的三要素及相量表示；（2）复阻抗；（3）KCL 、KVL 的相量形式；（4）有功功率、无功功率、视在功率和复功率。
电路的正弦稳态分析是重要的基础性问题，相量法是分析正弦稳态电路的简便有效的方法，重点理解为什么要引入相量法？相量法与正弦量的关系？引入相量法后，还是利用电路的两大约束，应用电路的基本分析方法，求解电路的相量响应，然后进行相量反变换求出时域响应。
本章涉及到的主要概念：三要素、有效值、相量、阻抗、有功功率、无功功率、视在功率、功率因数、复功率和最大功率传输等问题。
6.1 正 弦 量在经典电路理论中，一般把方向和大小均呈现周期性变化（交变）的电压、电流等周期函数（信号）作为基本的分析对象。
其中最重要的周期函数就是按正弦规律变化的正弦量。
可以采用sine 或cos 函数描述正弦量，本书采用cos 函数描述正弦量。
大学物理学第2章正弦交流电路_02
解法2: 利用相量图分析求解
设 U AB为参考相量,
I1 10A
I2 100 5 5
2 2
j10Ω
I
I1
A
A
I 1 超前 U AB 90
10 2A,
I2
C1
B
5Ω j5Ω
V
画相量图如下：
I 2滞后UAB 45°
由相量图可求得： I =10 A
UL= I XL =100V U L超前I 90°
I1 Z2 j400 I 0.5 33 A Z1 Z 2 100 j200 j400
0.89 - 59.6 A
同理：
I
I2
Z1 I Z1 Z 2
100 j200 0.5 33 A 100 j200 j400 0.5 93.8 A
UL
I1 100 10
U
由相量图可求得： V =141V
45° I 45°
I2
U AB
10 2
2.5 正弦稳态电路的功率
2.5.1 功率
一、瞬时功率
I +
i = Im sinωt U u = Umsin (ωt + ) － p = u i = UmImsin(ωt + ) sinωt = U I cos + U I cos ( 2ωt + )
S =√P2 + Q2 = 190 V· A
例2 如图所示是测量电感线圈参数R和L的实验电路，已知电 压表的读数为50V，电流表的读数为1A，功率表的读数为30W， 电源的频率f=50Hz。试求R和L的值。 ﹡ I 解：根据图中3个仪表的读数, A W ﹡ + 可先求得线圈的阻抗 电 R 感 Z | Z | R jL V U 线 圈 L U | Z | 50 I 功率表读数表示线圈吸收的有功功率，故有 P UI cos 30W 30 arctan( ) 53.130 UI 从而求得
10.正弦交流电路的相量表示法
I 2＝ 1590 0 j15(V )
＝100 20 100 2 (V ) U
指数表示法：
复数形式：
I cos jI sin I i i
I (cos j sin ) I i i
j
欧拉公式：
e
cos j sin
j i I Ie
课前提问
1、什么是旋转矢量？为什么提出旋转矢量？ 2、什么是相量和相量图？ 3、复数的四种表示方法是什么？
正弦量的相量表示法
教学任务： • 会画相量图
• 能够用复数的三种形式表示正弦量
回顾正弦交流电路的描述方法：
1. 瞬时值（三角函数法）： i I m sin t i
Im
2. 波形图法：
6
旋转矢量的加法
化简：一个电路中只有一种频 率。 要素。 三要素退化为两个 固定位置
B A
C
i
i
正弦量
t
对应
相量图
I m
i
初始相量
相量：电工学中用来表示正弦量大小和相位的矢量。记作 I
相量图表示法：
314t 48)V ， 例： 已知： u1 (t ) 100sin(
求：
有理数
复数：
a bj I
极坐标表示法：
最大值： 有效值：
I I m m i
o
i
I m
i(t ) 2 I sin( t i ) I I i
有效值相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
优点：方便乘除运算。
【例题讲解】
u(t ) 2U sin(t θ )
正弦稳态交流电路相量的研究（单相交流电路实验）[详细讲解]
![正弦稳态交流电路相量的研究（单相交流电路实验）[详细讲解]](https://img.taocdn.com/s3/m/c427b8dbdb38376baf1ffc4ffe4733687e21fc0e.png)
正弦稳态交流电路相量的研究（单相交流电路实验）一、实验目的1.研究正弦稳态交流电路中电压、电流相量之间的关系2.掌握日光灯线路的接线。
3.理解改善电路功率因数的意义并掌握其方法。
二、原理说明1.在单相正弦交流电路中,用交流电流表则得各支中的电流值,用交流电压表测得回路各元件两端的电压值,它们之间的关系满足相量形式的基尔霍夫定律,即i =∑0 和U =∑2.如图13-1 所示的RC 串联电路,在正弦稳态信号 U 的激励下,R U 与 U C 保持有90°的相位差,即当阻值Ｒ改变时, U R 的相量轨迹是一个半圆, U 、 U C 与 U R三者形成一个直角形的电压三角形。
Ｒ值改变时,可改变φ角的大小,从而达到移相的目的。
图 13-13.日光灯线路如图13-2 所示,图中Ａ是日光灯管,Ｌ是镇流器,Ｓ是启辉器,Ｃ是补偿电容器,用以改善电路的功率因数（cos φ值）。
图 13-2有关日光灯的工作原理请自行翻阅有关资料。
三、实验设备四、实验内容(1)用两只15W /220V的白炽灯泡和4.7µf/450V电容器组成加图13-1所示的实验电路,经指导老师检查后，接通市电220V电源，将自藕调压器输出调至220V。
记录U、U R、U C 值,验证电压三角形关系。
(2)日光灯线路接线与测量图13-3按图13-3组成线路,经指导教师检查后按下闭合按钮开关,调节自耦调压器的输出,使其输出电压缓慢增大,直到日光灯刚启辉点亮为止,记下三表的指示值。
然后将电压调至220Ｖ,,,等值,验证电压、电流相量关系。
测量功率Ｐ,电流Ｉ,电压U UUL A(3)并联电路——电路功率因数的改善按图13-4组成实验线路图13-4经指导老师检查后,按下绿色按钮开关调节自耦调压器的输出调至220V,记录功率表,电压表读数,通过一只电流表和三个电流取样插座分别测得三条支路的电流,改变电容值,进行三次重复测量。
五、实验注意事项1.本实验用交流市电220V，务必注意用电和人身安全。
正弦交流电路的相量图求解
U
U
2 R
U C2
82 112 13.60V
电压表读数为 13.60V ．
此题的相量图也可按比例画出，用尺子量 U 得
的长度即为电压表读数．
（b）此电路图为ＲＬ并联电路，设电压 U U0V，
考虑到 IR 和 U 同相，IL 滞后 U 90 且由ＫＣＬ得
I IR IL
4-37(a)所示． 解: (a)设： I I0A ．根据Ｒ、Ｌ、Ｃ各元件的电
压电流的相量关系以及电路的ＫＶＬ方程
U U R U L UC
可定性画出相量图如图4－36，当 U LU时C 为图
4－36（a）所示，这时 ，0即 U 超前 的相位为 的电路为感性电路；当 U LU C 时 I 0 ，为电阻性电路如图4－36（b）所示；
IR仍与U同相， I仍为
IR 、IL 、IC的和，即正确
体现电路的基本定律是画 相量图的基本要求．
例4-15 电路相量模型如图4-39所示。已知 I1 10A ，
，I 2 20A ，U 220V ，R2 5 ，I 与U 同相。
求：I R X 2 及XC 。
分析：由题中给出的条件 I 与U 同相，设 U 2200 为参考相量画相量图。
画出相量图如图4－35(b)所示．由直角三角形
ＯＡＢ可得
IL
I2
I
2 R
52 32 4A
电流表读数为４Ａ．
此题也可按比例用几何方法画出相量图，然后用量尺
测出 IL 的长度值即为电流表读数．
例 4-14 定性画出ＲＬＣ串联电路和ＲＬＣ并联电路的 相量图，它们的电路相量图模型如图4-36(a)和图
根据题意可知 I UR 与 U 同相，且UC U UR 由相量图
正弦量的相量表现法[会要]
![正弦量的相量表现法[会要]](https://img.taocdn.com/s3/m/d3d82d06f08583d049649b6648d7c1c709a10b56.png)
4－１ 正弦交流电路的分析方法一、用向量表示正弦量表示正弦量的方法：三角函数式、波形图、相量图（式）。
一、正弦量的旋转矢量表示1、相量：在一平面直角坐标系上画一矢量，它的长度等于正弦量的最大值，它与横轴正方向之间的夹角为正弦量的初相，而角速度因是固定的也可不必再标明，这种仅反映正弦量的最大值和初相的“静止的”矢量，称为相量。
如：∙m I 、∙m U 、∙m E 。
有效值相量：表示出正弦量的有效值和初相位的相量。
如：∙I 、∙U 、∙E 。
2、注意：⑴相同单位的量应按相同的的比例尺来画，不同单位的量可以用不同的比例尺来画；⑵只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上，否则无法进行比较和运算。
二、同频率正弦量的加、减确定m I 和ψ可用曲线相加法，也可用相量作图法。
１、 相量作图法的步骤：先用出相量1∙I 和2∙I ，而后以1∙I 和2∙I 为邻边作一平行四边形，其对角线即为合成电流i 的相量∙I 。
∙I的长度为有效值，∙I 与横轴正方向的夹角即为初相ψ。
２、应用相量作图法对正弦量进行减法时，实质与加法相同。
例如： ∙∙∙∙∙-+=-=)(2121I I I I I ３、三角形法求矢量加、减两矢量求和：两相量“头尾相连”，第三条边即是它们的和。
两矢量求差：两相量“尾尾相连，指向最减数的第三边即为它们的差。
多个相量相加时：各相量“头尾相连”，由第一个相量的箭尾和最后一个相量的箭头作一相量，即为求和的相量。
三、相量的复数表示式把一个表示正弦量的相量画在复平面上，相量便可以用复数来表示，从而正弦量也就可以用复数表示。
jb a I +=∙其中，a----实部，b----虚部ψψsin ,cos I b I a ==则： ()ψψψψsin cos sin cos j I jI I jb a I +=+=+=∙，式中，Ｉ----复数的模，ψ----复数的幅角ab tg b a I =+=ψ,22复数的三角函数形式变换为指数形式再简写为极坐标形式为：ψψ∠==∙I Ie I j复数和正弦量之间也是一一对应的关系，表示正弦量的复数称为相量表示式，也简称相量，以后述及相量，若进行运算指复数运算，若作图指位置在初始时间的相量图。
正弦交流电的相量表示法(2)
正弦量的表示法：
解析式： i(t ) I m sin(t ) A
i
Im
最大值相量： I m I m
有效值相量： I I
最大值： I m
I
Im
I
有效值： I
平均值：
I
I
电工基础
例：写出下列正弦量的相量形式：
i1 (t ) 5 2 sin(t 53.1) A
2
虚数
用 j 代替
虚部 实部
i
B a jb
j
复数 A a jb 代数式
0
D
b
A
C a jb
D a jb
复数的模
r
0
1
r a 2 b2
复数矢量与实轴正方向的夹角
a
C
0
取值在正180度到负180度之间
a r cos
0
电工基础
三、正弦量的相量表示法： re j r cos jr sin
Im
t
正弦交流电
I me j (t ) I m cos(t ) jI m sin(t )
用 I me
I me
j (t )
代
jt
替
I m sin(t ) I mt
加减用代 数式运算
A B a1 jb1 a2 jb2 (a1 a2 ) j (b1 b2 ) A B a1 jb1 (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j (b1 b2 )
A B
A
A B
A
B B
1
1
正弦电路的相量分析法
jX
一般地，无源线性支路既有电阻元件，又有电抗元件。
X
例题 电路工作在正弦稳态下，求R、L、C串联电路 的阻抗。
解： U U R UC U L
U RI jLI 1 I
U I
R
j(
L
1
C
)
j C
U I
u
i
U I
ui
U
I
R U R
C
L
U
C
U L
所以电路的等效阻抗为
Z
U I
R2 (L 1 C
+j
ICm
U Cm
90 u
O
+1
相量图
X
电容 单容位抗元：：欧X件C姆伏(1C安) 关系的相量 UU模CCm型j1jC1CICICm
容抗表现电容的阻抗特性，体现了电容对其引线 上通过的正弦交流电流有阻碍作用。 容抗具有频率特性，即容抗大小与电容元件的工
作频率 有关：
, XC ; , XC ; 0 直流信号，电容开路；“隔直流通交流” 电容相当于一条短路线。
导纳表示的模型。
U abm
j1 U sm 0.5 j0.5
j1
uS
I1m j1 (U sm U abm )
i1 (t ) 2F 2
I1m
i(t)
1F ri1(t) u(t)
I1m a
U OCm I1m U abm 2120V
j(U sm U abm ) jU sm (1 j)
UjUabsmm 0.5 j1.5
b
X
解（续）
Im
U sm Z
400 2.536.9
Im 1.5 a 1
ILm
正弦交流电的相量图法与相量法之比较
特点 ，尤其适合对 问题进行定性分 析。
１ 图 电路 中 ，端 电 压ｕ １ ］ 如 ＝０ 电流的解析式 。 ［ 析 】 要 写 电 流 的 解 析 式 ， 就 需 要 求 出 其 有 分 因 ｓｎ１ Ｖ 电 ｉ ‘ｔ ， ）
化 简 得Ｃ Ｓｐ －ｊｉ ＝ｃｓ￣Ｒ ｊ１ ｓｎ Ｌ Ｏ（ ｓ ｎ ｏ ｑ Ｌ （－ ｉ６Ｒ ＋ ）
量 图 法 或 相 量 法 来 求 解 。 因此 ，这 两 种 方 法 是 学 习
’ ． ．
（Ｉ＝（Ｕ 一 ＝０ 一（ ０ ） ０ ｐｏ Ｐ 。 。 一３ 。 ＝３ 。 Ｉ ：
．
又 。 电路消耗 的功率Ｐ： ６ Ｗ，而Ｐ ｌｏ ． ’ ８６ ＝Ｕ ｃ ｓ
・
．
＝而 ６ ８６
Ａ
正 弦交流 电必须掌握 的重点 知识 。同时 ，由于要应
用 到 较 深 的 数 学 知 识 ，它 又 是 学 习 的 难 点 ，下 面 就
则 ｉ ０√ ｉ ：１ ｓｎ（‘ｔ ３ 。 ）Ａ Ｉ＋０ ）
但 若采用 相量法 求解 时 ，则需要 进行 较为繁琐 的复数 运算 。
２用 相 量 法 求 解 。 ．
・ ‘ ．
它们 的实际运用进行 分析 比较 。
复杂 的运算 ，故 其 更侧 重 于对 问题 进 行 定量 的计
・ ．
・ ＝ ０ ｓｎｏ Ｕ １０ ｉｔｔ Ｖ，则 电 压 Ｕ为 参 考 相 量 。
算。
产 学 荟 萃
。
；一 …
～ …
…
『 ２￣ 图 电 路 中 ， 已 知 电 阻 Ｒ ３ Ｏ ， 电 流 例 ］Ｉ １ ＝ Ｋ ＩＩ ２ ， ，若 要 使 电压 的 相 位 超 前 电压 （ ４。，试 ／＝ ， ５
电路的相量法
法
θ2
F1 |F2|F1
F2
乘法的几何意义 如图所示
θ1 θ2
+1
8-2:
二：复数的运算
正 设两个复数: 弦 F1=a1+jb1=|F1|cosθ1+ j|F1|sinθ1= |F1|e jθ1
量 F2=a2+jb2=|F2|cosθ2+ j|F2|sinθ2= |F2|e jθ2
的 则:
相 (2) F=F1F2 =|F1|e jθ1|F2|e jθ2 =|F1||F2|e j(θ1+θ2)
弦 i1(t) Im1 cos(t i1) i1的相位
量 的
i2 (t) Im2 cos(t i2 ) i2的相位
基 i1和i2的相位差定义为:
本 概
(t i1) (t i2 ) i1 i2
念 可见：两个同频率正弦量的相位差就等于它
们的初相位之差。并且：
(2)、交流电气设备的额定电压、额定电流都
是有效值；交流电压表、电流表上标出的数
字也是有效值。
8-2:
一：复数
虚部:Im[F]=b +j
b
F
正 F=a+jb (代数形式)
θ
+1
弦 =|F|cosθ+ j|F|sinθ (三角形式)
a
量 的
其中: |F|=
a2 b2 (模)
实部:Re[F]=a
相 量 表
念 就是说正弦电流的有效值定义为：
I
1 T
T
0
i(t)2
dt
8-1:
对正弦电流 i(t) Im cos(t i )其有效值
正 弦 量
第三章：正弦交流电路
& =U & = − jI & X = − j 2 × 50∠45 o = 50 2∠ − 45 o V U ao C C C & =U & = jI & X = j 2 × 50∠ − 45o = 50 2∠45o V U bo L L L & & & U = U − U = 50 2∠ − 45o − 50 2∠45o =
2
& 与U & 之间的相位差 I R
ϕ = arctan
XC 1 = arctan R Rω C
第三章
正弦交流电路
31
& 与U & 之间的相位差 U θ = 2ϕ ab 由上式可知，当改变电阻 R 时，输出电压 Uab 是一个不变恒定的值，即有 U U ab = 2 20 本题中 U ab = = 10V 2 当电阻 R 由零变到无穷大时， ϕ 角由 90o 变到零， θ 角由 180o 变到零。当电阻 R & 的相位从 180o 减小到： 由零变到 1.5kΩ 时， U
& = jI &X = j4.4 × 40∠73o = 176∠163o V U L L & & U C = − jIX C = − j4.4 × 80∠73o = 352∠ − 17 o V 【例题 3.2】 图 3.2(a)为 RC 移相电路。已知电阻 R = 100 Ω ，输入电压 u1 的频率为
Z = R + j( X L − X C ) = 30 + j(40 − 80) = 30 − j40 = 50∠ − 53o Ω
28
电工学试题精选与答题技巧
o & & = U = 220∠20 = 4.4∠73o Α I Z 50∠ − 53o & =I &R = 4.4 × 30∠73o = 132∠73o V U R
电路原理 正弦稳态电路的计算
j10Ω I
A
A
I1
I2 C1
B
5Ω j5Ω V
分析：已知电容支路的电流、电压和部分参数
求总电流和电压 解题方法有两种： (1) 用相量(复数)计算
(2) 利用相量图分析求解
15
j10Ω I
A
I1
A I2 C1
B
5Ω j5Ω V
已知：I1= 10A、 UAB =100V，
求：A、V 的读数
解法1: 用相量计算
•
US 1
+
•
U s1 -
j
X
L
I2
I3
R
•
US
2
- I1 I2 I3 0
- j2I1 5I3 100
j5I2 5I3 j100
R
•
I3
②
3.6.2图(b)
•
I2 +
•
U s2 -
8
(2)回路电流法
•
I
1
jX C
jX L
+
•
•
U s1
Ia
-
•
Ib
R
•
I3
R - j X C
Ia
RIb
IC2 UC1
IR2 UR1 1
U2C 2 I1 C 1
U2 R2
I1 R1
•
I1
R1
C1
•
IC2
U + +
•
U1
•
-
3
R2
C2
•
+ •
U2
-
I R2
-
3.6.4例5图(a)
•
正弦交流电路_单一参数的正弦交流电路
iL
+
uL
L
−
u 波 形 图0
i
U•
相
t
量 图
I• 0°
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（2）大小关系
uL L Im sin( t 90 ) U m sin( t 90 )
最大值： U m L I m 有效值： U ω L I
定义： X L L ——感抗
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（3）相量关系 I I 0 U U 9 0 X L I 90 0 X L 90 I 0 jX L I
U jX L I j L I
u
i
0
t
第二章 正弦交流电路
2.功率 （1）瞬时功率
p ui
U m I m s in t s in t 90
（能量的吞吐）。
0
t
p
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（3）无功功率 为了同电感的无功功率相
p u i UI sin 2t
比较，设电流 i I m s in t
u
i
为参考量，则： u U m sin( t 90 )
p uHale Waihona Puke U I sin 2 t0
t
储放 储放储放 能能 能能能能
p
0
t
u
i
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
2. 功率
平均功率（有功功率） P 1 T pdt U I I 2 R U 2
T0
R
平均功率衡量电路 中所消耗的电能， 也称有功功率。
(完整版)第八章相量图和相量法求解电路
第八章相量图和相量法求解电路一、教学基本要求1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。
2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、无功功率、功率因数、复功率的概念及表达形式。
3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法。
4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应用情况。
5、掌握最大功率传输的概念，及在不同情况下的最大传输条件。
二、教学重点与难点1. 教学重点： (1).正弦量和相量之间的关系；(2). 正弦量的相量差和有效值的概念(3). R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式(4). 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式。
2．教学难点：1. 正弦量与相量之间的联系和区别；2. 元件电压相量和电流相量的关系。
三、本章与其它章节的联系：本章是学习第 9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。
§8.1 复数相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表示形式及运算规则。
1. 复数的四种表示形式代数形式A = a +j b复数的实部和虚部分别表示为： Re[A]=a Im[A]=b 。
图 8.1 为复数在复平面的表示。
图 8.1根据图 8.1 得复数的三角形式：两种表示法的关系：或根据欧拉公式可将复数的三角形式转换为指数表示形式：指数形式有时改写为极坐标形式：注意：要熟练掌握复数的四种表示形式及相互转换关系，这对复数的运算非常重要。
2. 复数的运算(1) 加减运算——采用代数形式比较方便。
若则即复数的加、减运算满足实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
复数的加、减运算也可以在复平面上按平行四边形法用向量的相加和相减求得，如图8.2所示。
图 8.2(2) 乘除运算——采用指数形式或极坐标形式比较方便。
若则即复数的乘法运算满足模相乘，辐角相加。
除法运算满足模相除，辐角相减，如图8.3示。
图 8.3 图 8.4(3) 旋转因子：由复数的乘除运算得任意复数A 乘或除复数，相当于A 逆时针或顺时针旋转一个角度θ，而模不变，如图 8.4 所示。
实验六 正弦稳态交流电路相量的研究
实验六正弦稳态交流电路相量的研究一、实验目的1. 了解交流电路中的相量概念。
2. 掌握相量合成、加减、旋转的方法。
3. 学会使用矢量图解法求解交流电路问题。
二、实验原理交流电路所涉及的量大都是随时间而变化的量，如电压、电流等。
在正弦稳态下，这些随时间而变化的量可以用相量来代替，从而方便地进行计算和分析。
对于一般的随时间而变化的量 a(t)，其相量可以表示为：$A=\frac{2}{T}∫^{T/2}_{-T/2} a(t)cosω_0tdt+j \frac{2}{T}∫^{T/2}_{-T/2}a(t)sinω_0tdt$其中 $T=\frac{2π}{ω_0}$ 为一个周期，$ω_0=\frac{2π}{T}$ 为角频率。
这里所求的相量 A 是一个复数，它的实部表示信号在电路中的电压或电流的有效值，虚部表示信号在电路中的相位。
在交流电路中，有时需要将不同的相量合成为一个新的相量，或将一个相量分解为两个相互垂直的相量，或改变一个相量的大小和方向。
下面介绍相量合成、加减、旋转的方法：（1）相量的合成：设有两个相量 $A_1$ 和 $A_2$，其大小和方向分别为 $|A_1|$、$\varphi_1$ 和$|A_2|$、$\varphi_2$，则它们的和为：$A=A_1+A_2=|A_1|cos\varphi_1+j|A_1|sin\varphi_1+|A_2|cos\varphi_2+j|A_2|sin\va rphi_2=|A|cos\varphi+j|A|sin\varphi$其中，$|A|=\sqrt{|A_1|^2+|A_2|^2-2|A_1||A_2|cos(\varphi_1-\varphi_2)}$当需要改变一个相量的大小和方向时，可以进行相量的旋转操作。
设有一个相量 A，大小为 |A|，方向为 $\varphi_A$，现将其旋转一个角度θ，则旋转后的相量 A' 大小为 |A|，方向为 $\varphi_A+\theta$，可利用欧拉公式进行计算：即，$A'=Ae^{j\theta}$其中，e 为自然对数的底数。
第4章 正弦交流电路
b
同频正弦量的乘除法运算与复数运算相同，而 且在线性电路当中，运算后的频率是不会改变的。
§4.3 电阻、电感、电容元件的交流电路
一、电阻元件的交流电路
iR 2I Rsin( t i ) uR R 2I Rsin( t i )
2U Rsin( t u )
时域下的电阻模型
由于直流电在电阻上做功大小为 I2RT ,于是根据定义有：
I RT i Rdt R Im 2 sin 2 tdt
2 2 0 0
T
T
即： I 2 RT RIm 2
T
0
1 cos 2t RTIm 2 dt 2 2
得
Im I 0.707 Im 2
结果说明正弦电流的有效值等于最大值的0.707倍。同理， 正弦电压的有效值为：
U 1 U 1 u1 U 2 U 2 u 2
b
U b U b ub
k 1
则对应于 u1 (t ) u2 (t ) ub (t ) uk (t )
有
U1 U 2 U b U k
k 1
b
同理设 i1 (t ) 2 I 1 sin( t i 1 ) i 2 (t ) 2 I 2 sin( t i 2 ) i b (t ) 2 I b sin( t ib )
复数A的实部a1及虚部a2与模a及辐角θ的关系为：
a1 a cos
其中
a2 a sin
a2 arctg a1
a
2 a1
2 a2
1.复数的表示形式:
根据上式关系式及欧拉公式
+j a2 O
电工基础正弦交流电路的相量分析法5.5 相量分析法
第２ 、３点是如何正确画出相量图的主要依据．
二.用相量图法求解电路
１.参考相量的选择 （１）对于串联电路，选电流为参考相量 （２）对于并联电路，选电压为参考相量 （３）对于混联电路，参考相量选择比较灵活， 可根
据已知条件综合考虑 （４）较复杂的混联电路，常选末端电压或电 流为参考相量．
(b)设： U U0V， 先画出参考相量 U ，依据
Ｒ、Ｌ、Ｃ各元件电压电流相位关系，依次画出
可I分R 别、I定L 性、I画C 出相如量图，4由-36IL(a)I
C,IL
、(b)
IC及IL IC 三种情况 、(c)所示相量
图，最后电路ＫＣＬ方程 I IR IL IC
I IR IL
画出相量图如图4－35(b)所示．由直角三角形
ＯＡＢ可得
IL
I2
I
2 R
52 32 4A
电流表读数为４Ａ．
此题也可按比例用几何方法画出相量图，然后用量尺
测出 IL 的长度值即为电流表读数．
例 4-14 定性画出ＲＬＣ串联电路和ＲＬＣ并联电路的 相量图，它们的电路相量图模型如图4-36(a)和图
根据题意可知 I UR 与 U 同相，且UC U UR 由相量图
可求得 UC 。在电容元件上 I1 超前UC90，且 I2 I I1 ，
从而画出 I1 及 I2 。在 R2 上UR2与 I2 相同，
又 UX 2 UC UR2 ，可画出 UR2 和 UX 2 。
cos 2 I I 2 17.32 20
UX 2
U
2 C
U
2 R2
相量法
I a b
2 2
I
jb a
29
b arctg a
3. 两相量积的代数表示 设 ju
U Ue
*
Ie ji I
I Ie * ~ j u j i S U I Ue Ie
j i
UIe
6
例如：
f 50Hz 50kHz 50MHz T 20ms 20us 0.02us 6000km 6km 6m
工频 低频 甚高频
7
第1节、复数
• F=a+bi • 复数的相量表示 • 复数的基本运算
8
第2节、正弦量（正弦交流信号）
• F(t) = F0Cos(t+) • i(t) = ImCos(t+i) • u(t) = UmCos(t+u)
U bc 8 30V 2
相量 时域 相量图
47
uac 5.03Cos(t 67.4)V
5.03 67.4V U ac 2
相量法求解正弦稳态解的过程回顾
时域模型 相量模型
时域方程 相量方程
解微分方程
时域解
相量解
48
(t)
t
A(t )
t=0
21
旋转矢量
A(t )
模
旋转角速
A
振幅 ACos(t ) A
正弦量
角频率
初相
t = 0时与实轴夹角
22
设
i1 2 I1Cos(t 1 )
i 2 2I 2Cos(t 2 )
i1 i 2 Re[ A1 (t )] Re[ A2 (t )] Re[ A1 (t ) A2 (t )]
第18讲 相量法
iC C
+
uC _
iC
C duC dt
C d[ dt
2uC cos( t u )]
2CUC sin( t u )
2CUC cos( t u 90o )
IC i CUC( u 90o )
.
.
I C jC U C
幅值关系 IC CUC
I
1 T
T 0
I
2 m
cos 2 (
t
i
)d
t
1 T
T 0
I
2 m
1
cos[2(
2
t
i
)]
d
t
1
T
I
2 m
dt
T0 2
1 2
I
2 m
Im 2
0.707Im
上式表明，正弦量的最大值与其有效值之间有 2 倍的 关系。常写成如下形式：
i 2I cos( t i )
uk 0
U k 0
KVL方程的相量形式
二、Z元件
所谓Z元件，即在关联参考方向下，二端元件两端的 电压相量与通过的电流相量之比可用一定常量Z来表示， 即：
Z U /I
又称为阻抗元件，单位是欧姆。 在正弦稳态电路中，R、L、C三种基本元件均为Z元件。
1.电阻元件
令 iR 2IR cos( t i ) IR I R i uR 2UR cos( t u ) U R U R u
设 F1 a1 jb1 ， F2 a2 jb2 ， 则
F1 F2 (a1 jb1) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
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•
IR
•
U•
U R2
UR3
U
2 R1
U
2 AB
252 302 39.05V
•
IL U R3 / R3 39.05 / 65 0.6A
•
U R1
•
U AB
UL
•
URL
(U R1
U R1 )2
U
2 L
UR3
24.99V
•
U R3
•
U RL
IL
L UL / 2fI L 76.8 /(2 50 0.6) 0.407 H RL URL / IL 24.99 / 0.6 41.65
二、相量图法求解电路
1. 参考相量的选择 参考相量的选择方法为： 1）对于串联电路，选择电流为参考相量。 2）对于并联电路，选择电压为参考相量。 3）对于混联电路，根据已知条件综合考虑。 4）对于复杂混联电路，选择末端电压或电流为参考
相量。 2. 相量图求解电路的方法
例题4-14：用相量图法求各电表读数。
3A
•
URቤተ መጻሕፍቲ ባይዱL
_
•
IR
O
I
•
U
A
•
IL
B
•
•
•
I IL IR
由直角三角形OBA得：
IL
I2
I
2 R
52 32 4A
电流表读数为4A。
例题4-15：定性画出RLC串联电路的相量图。
I
+ U–+R
U U+–L
– U–+C
R jXL – jXC
相量模型
•
Uc
•
UL
•
U
•
例题4-27：已知 US 8000V ，f=50Hz， 当 ZL 改变时，IL 有效值不变，为10A，试确定参数
L和C的值。
解：相量法求解
1
jC
IL
jX L Z L
+
U_S jL
ZL
IL
Z jX C
L jX L jX L
第五节 正弦交流电路的相量(图)法求解
一. 用相量图分析电路的主要依据
（1）在任一线性电路中，各同频率的正弦量可以 用相量图表示，并且可以用相量图进行运算。
（2）R、L、C元件的电压和电流相量关系既有大小 关系，又有相位关系，这些关系可以表示在 相量图中。
（3）KCL、KVL的相量形式 两个定律反映在相量图上，应为闭合多边形。
R3
•
R1 U_R1
U • U R2
•
U
A
RL
+• V U_ RL
R2
B+ • U_ R2
•
•
UL
jL +
_
•
IL
•
U_ L
U R1
•
U AB
•
•
U R3
•
U RL
IL
依据是：
•
U R3
R3
•
IL
•
•
U RL RL I L
•
•
U L jL I L
•
•
•
•
U U R3 U RL U L
•
I
R
UR
•
I
+
•
+ 8V _ +
UV
_
C 1_1V
O
•
U
A
•
UC
B
解：(a)设参考相量为
•
I
I0o A
•
•
•
U UC UR
由直角三角形OBA得：
U
U
2 R
UC2
82 112 13.6V
电压表读数为13.6V。
•
(b)设参考相量为 U U0o A
5A +
IL A
数RL和L.
•
解：设 IL IL0，0 画出电路的相量图.
•
•
IR
IR
•
+
+
•
U_R3
R3
+
•
R1 U_R1
U • U R2
•
U
_
A
RL
+• V U_ RL
R2
jL +
•
IL
•
U_ L
B+ • U_ R2
•
U R1
•
UL
•
U AB
•
U R3
•
U RL
•
IL
•
•
IR
IR
+
+
•
+
•
U_R3
XC UC / I1 115.47 /10 11.55 I1
X2 UX 2 / I2 57.74 / 20 2.89
UR U UC 220 115 .47 104 .53V
2
I
I2 U• C U
•
2
U R UR2
•
U X2
R UR / I 104.53/17.32 6.04
例题4-18： 已知I1=10A，I2=20A，
U=220V，I•
与
•
U
同相，求I
，R，X2，
XC
•
I 1 -jXC
•
•
+ UC
_
I 2 R2
jX2
R
_
•
+
•
U
R
2
_
+
•
U
X2
_
UR
•
I
+ +
•
U
_
I1
2 I
I2 U• C
•
2
U R UR2
U
•
U X2
解：设
•
U 22000V
，则
•
UL
Uc
•
UR
I•
•
U
•
UR
I•
UL UC
0
UL UC
0
相量图
练习：画出RLC并联电路的相量图。
•
Uc
•
UL
•
UR
I•
•
U
UL UC
0
例题4-17:电路如图所示,可以测定线圈的阻值和电感，
当电压表滑动端滑动时，电压表读数随之改变，测得
最小值为30V；电源电压u=100V，f=50Hz，求线圈参
I
(I
2 2
I12 )
202 102 17.32A
UR2 R2I2 5 20 100V
UC U R2 / cos2 U R2 /(I / I2 ) 100 /(17.32 / 20) 115 .47V
UX2
U
2 C
U
2 R
2
115.472 1002 57.74V
•
•
U R1 R1 I R
•
•
•
U U R1U R2
•
•
U (R1 R2 ) IR
•
•
U R2 R2 I R
•
•
•
U AB U R1 U R3
当电压表滑动端改变时，相量图中
•
U AB
的B点沿
•
U
的
的正方向移
•
U AB
与
•
U
垂直时，电压表读数最小，由
电路可知
•
IR
•
IR U /(R1 R2 ) 100 /(5 15) 5A
U • U R2
UR1 R1IR 5 5 25V UR2 R2IR 15 5 75V
•
•
U R1
•
U AB
UL
•
•
U R3
•
U RL
IL
若 U AB =30V，则
arctanU AB /U R1) arctan(30 / 25) 50.20 U L (U R1 U R2 ) sin (25 75) sin 50.20 76.8V
三、正弦交流电路的相量法求解
在电阻电路中分析计算方法的基本定律为
u 0 i 0 u Ri
在正弦交流电路中，三个基本定律的向量形式为
U 0 I 0
U ZI
将正弦电路中的 UI Z Y
与电阻电路中的U，I，R，G 相对应。
电阻电路的整套分析计算方法，可直接用于正
弦交流电路中，不同的是电阻电路求解方程为实数 计算，正弦交流电路求解方程为复数运算。