大物 功和能
合集下载
大学物理第四章--功和能
a
a
l
xdx
2l
前已得出：
Af
mg(l a)2
2l
mg(l 2 a2 ) mg(l a)2 1 mv2
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a 2 ) (l a)2 2
§3 保守力的功与势能 一、 保守力
rB
B
两个质点之间的引力
B
第四章 功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 保守力功与势能 §4.4 功能原理机械能守恒定律
§1 功和功率
一、恒力做功 直线运动
A=Fcos S
记作A F S F r
F
F
M
M
S
位移无限小时：
dA
F
dr
dA称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积(标积)
例１一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小球，求小
球的位置由A到B的过程中弹力对它所做的功。（在O处弹簧无 形变）
解：根据胡克定律 F F kx
W F dr
xB Fdx
xA
xB xA
kxdx
O
1 2
A
k xB2
B
xA2
1 2
k xA2
作用在质点
上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R)位
置过程中，力
F
对它所作的功为多少？
y
b
b
A a F.dr a (Fxdx Fydy)
R
x O
例4 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩 擦系数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功
a
l
xdx
2l
前已得出：
Af
mg(l a)2
2l
mg(l 2 a2 ) mg(l a)2 1 mv2
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a 2 ) (l a)2 2
§3 保守力的功与势能 一、 保守力
rB
B
两个质点之间的引力
B
第四章 功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 保守力功与势能 §4.4 功能原理机械能守恒定律
§1 功和功率
一、恒力做功 直线运动
A=Fcos S
记作A F S F r
F
F
M
M
S
位移无限小时：
dA
F
dr
dA称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积(标积)
例１一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小球，求小
球的位置由A到B的过程中弹力对它所做的功。（在O处弹簧无 形变）
解：根据胡克定律 F F kx
W F dr
xB Fdx
xA
xB xA
kxdx
O
1 2
A
k xB2
B
xA2
1 2
k xA2
作用在质点
上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R)位
置过程中，力
F
对它所作的功为多少？
y
b
b
A a F.dr a (Fxdx Fydy)
R
x O
例4 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩 擦系数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功
大学物理-功和能
f
Gm1m2 r2
r0
r0 为单位矢量
dr
B
AAB
B
f dr
A(L)
rB rA ( L)
Gm1m2 r2
r0
d
r
rB Gm1m2 d r Gm1m2 Gm1m2
rA ( L)
r2
rB
rA
dr
r d r m2 rB
r
L
m1 万有引力做功与始末位置有关，与路径无关。
rA
A
r0 d r r0 | d r | cos d r
[思考]
B
B
B
A F1 d r A F2 d r A FN d r
B
A Fi d ri A1AB A2 AB
i
ANAB
对于质点系，各个力做功之和等于合力做功吗？
4. 功率
P d A Fdr Fv
dt
dt
大学物理教程
F2 dr
B
F1
A
F4
F3
哈尔滨工业大学(威海)
4.2
哈尔滨工业大学(威海)
动能定理 Harbin Institute of Technology at Weihai
大学物理教程
例5. 如图所示，一木块M静止在光滑水平面上。一子弹m沿水平方向以速度v0 射入木块内一段距离s而停在木块内。 （1）估算子弹和木块间的摩擦力。 （2）子弹和木块间摩擦力分别对子弹和木块各做了功多少？
L1
L2
B
A
f d r f d r
f dr 0
(L)பைடு நூலகம்
A( L1 )
B(L2 )
B
保守力：沿任意回路做功为零的力或做功与具体路径无 关的力都称为保守力。
大学物理功和能2
x
2
EP
1 2
kx2
初态
末态
O
fx
x
x
EP
1 2
kx2
EP
0
x
弹力势能曲线
4. 由势能求保守力
– dEp= Wab F dl F cosqdl Fldl
Fl
dEp dl
F
保守力沿某一给定方向的分量 等于与此保守力相应的势能函 数沿 l 方向空间变化率的负值。
q
a
dl
b
Fl
l
例：万有引力势能
GMm R
1 2
mv2
1 2
mv
2
R
GMm R
vR
2GM R
2Rg ＝ 11.2 km/s
例： 某惯性系中有两个质点A、B， 质量分别为 m1、 m2 ，它 们之间只受万有引力作用。开始时两质点相距 l0，质点A静止， 质点B 沿连线方向的初速度为 v0 。为使质点 B 维持速度v0不变， 可对质点 B 沿连线方向施一变力 F，试求：（1）两质点的最
conservative force is shown in the
figure. For what values of x is the force (a) zero; (b)
directed leftward; (c) directed rightward;(d) what values
of x are equilibrium positions?
1. 万有引力势能：
W AB
Gm1m2 rB
Gm1m2 rA
= EPA－EPB
以无限远处为势能零点
Ep
r
令 EPB= 0，如果 rB → ∞
最新大学物理第4章功和能课件ppt
F
F0
F0
x L
A
x
( F0
0
F0 L
x)dx
1 mv2 2
0
动能定理
F0 x
F0 2L
x2
mv2 2
题目要求L/3处的速度大小
v 2 F0 (2 x 1 x 2 )
m
L
v 5F0 L 9m
第一篇 力 学
二、质点系的动能定理
设一系统有n个质点，作用于各个质点的力所作的功分别为：A1,A2,…, An,使各个质点由初动能Ek10,Ek20,…,Ekn0,变成末动能，Ek1,Ek2,…, Ekn
(3)确定积分限进行积分，求出总功。
3 功的几何图示 从几何的角度来看，F(x)曲线下方的面积正好等于所做的功。
第一篇 力 学
二、合力的功
A ＝ F 合 d S ＝ ( F i ) d S ( F i d S ) A i
合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。
一对力做的总功就是上式的积分：
b A dA aF21dr21
一对力的功等于其中一个力对相对位移的积分，与参照系的选择无关。
第一篇 力 学
§4.2 动能定理
问题：一质量为m的物体在合外力F的作用下，由A点运动到B点，其速
度的大小由v1变成v2。求合外力对物体所作的功与特指两个物体之间的作用力和反作用力。一对力的功指某 一个过程中一对内力的总功，即代数和。
dr1
F12 r1
dr2 r2
O
一对力做的元功之和为
F21 dA d 1Ad2 A
F12 dr1 F21 dr2
F21 (dr2 dr1)
F21
d(r2
大学物理ch3 功和能
= mg tanθ cosθ ds
= mgL tan θ cos θdθ
0 θ0
= mgL(1 − cos θ0 )
2
2016/3/3
书中例题3.2 (p.98)（重点） 一条长L，质量M的均匀柔绳，A端挂在天花板上，自然下垂，将 B端沿铅直方向提高到与A端同高处。 求：该过程中重力所作的功。 解：提升高度y时，提的链长y/2 提起部分的质量
力与位移的夹角在变的例子
求 θ = θ0 时，F 作的功。
解
例 已知用力 F 缓慢拉质量为m 的小球，F 保持方向不变
3.2 几种常见力的功
一.重力的功
重力mg 在曲线路径 M1M2 上的功为
z
Z2
M1
②
F − T sin θ = 0
T cosθ − mg = 0
F = mg tanθ A = F ⋅ dr = F cosθ ds
m1
Ai = Ai外 + Ai内
i i i
讨论 (1) 内力和为零,内力功的和 是否为零？ 不一定为零
v m2 2 v4 m3 v3
f1
B A S
v1 m4
∵功是标量，其和为代数和。 内力总是成对出现的，按照牛顿第三定律，这一对力 的矢量和为0，但这一对力所作的功的和不一定为0。
f2
b0 =
μ0 l 1 + μ0
1 1 1 ρg (l 2 − b 2 ) − μρg (l − b) 2 = ρlv 2 − 0 2 2 2
v=
当 y >b0 ，拉力大于最大静摩擦力时，链条将开始滑动。
g 2 2 μg (l − b ) − (l − b) 2 l l
大学物理《功和能》课件
A
L A L B
L
L
B
L
B
A
B f dr f dr 0
L
A
§4.3 保守力与势能
2.势能
A引 Gm 1 m 2 rB Gm 1 m 2 rA
A弹 1 2 ks
2 A
1 2
ks B
2
A引
Gm 1 m 2 r B r rA
B f dr k (r
A
r k ( r r0 ) A r 1 1 2 2 k ( r A r0 ) k ( rB r0 ) 2 2
O rA r r0 ) d r r r d r k ( r r0 ) d r r
第4章 功 和 能
Work and Energy
第4章
功和能
质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会 改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的累积（功） 会使质点的能量（动能和势能）发生变化。对功和能的研究， 是经典力学中重要的组成部分。 与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定律）， 是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。
一般引力势能的零点取质点相距无穷远，E
r
一般弹性势能的零点取弹簧无伸缩状态，Ep
0 ， 0 C
s 0
A点势能可表为 E p ( A )
Ep 0 A
f保 dr
§4.4 引力势能与弹性势能
2.势能曲线
Ep
Ep
Gm1m2 r
Gm1m2 r0
引力势能曲线
引力势能是空间变量
动量动量角动量角动量能量能量守恒量对称性时空性质空间平移空间平移空间转动空间转动时间平移时间平移空间均匀性空间均匀性空间各向同性空间各向同性时间均匀性时间均匀性守称守恒守恒空间反演对称性空间反演对称性安保是指为了达到安全的目的而进行的对人或物的保护活动安保工作是指为集体或个人的安全而进行保卫的各种活动
L A L B
L
L
B
L
B
A
B f dr f dr 0
L
A
§4.3 保守力与势能
2.势能
A引 Gm 1 m 2 rB Gm 1 m 2 rA
A弹 1 2 ks
2 A
1 2
ks B
2
A引
Gm 1 m 2 r B r rA
B f dr k (r
A
r k ( r r0 ) A r 1 1 2 2 k ( r A r0 ) k ( rB r0 ) 2 2
O rA r r0 ) d r r r d r k ( r r0 ) d r r
第4章 功 和 能
Work and Energy
第4章
功和能
质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会 改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的累积（功） 会使质点的能量（动能和势能）发生变化。对功和能的研究， 是经典力学中重要的组成部分。 与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定律）， 是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。
一般引力势能的零点取质点相距无穷远，E
r
一般弹性势能的零点取弹簧无伸缩状态，Ep
0 ， 0 C
s 0
A点势能可表为 E p ( A )
Ep 0 A
f保 dr
§4.4 引力势能与弹性势能
2.势能曲线
Ep
Ep
Gm1m2 r
Gm1m2 r0
引力势能曲线
引力势能是空间变量
动量动量角动量角动量能量能量守恒量对称性时空性质空间平移空间平移空间转动空间转动时间平移时间平移空间均匀性空间均匀性空间各向同性空间各向同性时间均匀性时间均匀性守称守恒守恒空间反演对称性空间反演对称性安保是指为了达到安全的目的而进行的对人或物的保护活动安保工作是指为集体或个人的安全而进行保卫的各种活动
大学物理课件 功和能
第三章
重点:
功和能
变力做功(重点掌握ppt第3、7、21、 23页中的题型) 保守力既保守力做功
动能定理 功能原理 机械能守恒
3.1 功
1 恒力的功
设F表示作用于某一物体上的恒力,s表示物体的位移,θ 为力与位移之间的夹角。则恒力对物体的功为
W=F s cosθ
或
F θ
s
W FS
外力功 内力功
m1
m2
i Fi
e Fi
mi
对质点系，有
i
Wie
i
Wii
E E
ki i i
ki 0
Ek Ek 0
质点系动能定理 注意
W e W i Ek Ek 0
内力可以改变质点系的动能
3、质点系的功能原理
质点系动能定理
W e W i Ek Ek 0
2
变力做功
ds
P
dr
F
微元分析法：
B
取微元过程
r
A
r
o
以直代曲
以恒代变
再求和
元功：
dW F dr F dr cos
F cosds
直角坐标系：
dr dxi dyj dzk dW F dr Fx dx Fy dy Fz dz
m' m F G 2 r
3） 万有引力作功
m 由 A 点移动到 B点时 F 作功为 W F dr F dr cos
A m r (t) dr m' r (t dt )
O
B
F dr F dr cos F dr ( cos( ))
重点:
功和能
变力做功(重点掌握ppt第3、7、21、 23页中的题型) 保守力既保守力做功
动能定理 功能原理 机械能守恒
3.1 功
1 恒力的功
设F表示作用于某一物体上的恒力,s表示物体的位移,θ 为力与位移之间的夹角。则恒力对物体的功为
W=F s cosθ
或
F θ
s
W FS
外力功 内力功
m1
m2
i Fi
e Fi
mi
对质点系，有
i
Wie
i
Wii
E E
ki i i
ki 0
Ek Ek 0
质点系动能定理 注意
W e W i Ek Ek 0
内力可以改变质点系的动能
3、质点系的功能原理
质点系动能定理
W e W i Ek Ek 0
2
变力做功
ds
P
dr
F
微元分析法：
B
取微元过程
r
A
r
o
以直代曲
以恒代变
再求和
元功：
dW F dr F dr cos
F cosds
直角坐标系：
dr dxi dyj dzk dW F dr Fx dx Fy dy Fz dz
m' m F G 2 r
3） 万有引力作功
m 由 A 点移动到 B点时 F 作功为 W F dr F dr cos
A m r (t) dr m' r (t dt )
O
B
F dr F dr cos F dr ( cos( ))
大学物理课件功和能
mv02
解得: v
g l
(l 2
a2)
(l
a)2
l-a a
或由质点系的功能原理
Af
mg
l
1
mv
2
a
mg
2 2 l
a
2
解得: v
g l
(l 2
a2
)
(l
a)2
谢谢观赏 ！
0
y
在路径ob上的功 y / x 2 / 3
c
b(3,2)
b
Aob o Fxdx Fydy
b
b
o 2 ydx o 3xdy
o
ax
2 2 y 3 dy
32 3x dx
15J
02
03
在路径ocbo上的功
Aocbo
c
F dr
o
c
F dr
b
o
F dr
3J
b
例4.用力F将物体匀速率拉上山坡,沿途各处力F
____________
功能原理、动能定理、机械能守恒律举例
例1、一劲度为k的弹簧,一端与质量为M 的水平 板相连，另一端与地面上质量为m0 的物体相连， 质量为m的泥球自板上高H 处自由下落到板上。 要使弹簧在压缩后反弹时，恰能将地面上的物 体提起来。求：泥球下落的高度 H ？
m
M
k
m0
解：泥球自由下落到板上 v 2gH
m
泥球与板动量守恒 mv (m M )u
O x0
k
x
H
M
m0
取弹簧原长位置为零势能点,泥球、
板与弹簧组成的系统机械能守恒。
初状态时，弹簧被压缩
x0
大学物理1.5-功与能共48页
v2 mvdv v1
1 2
m
v2 2
1 2
m
v2 1
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
讨 论
AAB
1 2
mv
2 2
1 2
mv12
1. 动能定理给出了力的空间积累效应，即功可以改
变质点的动能。
2. 其优点是当作用力在位移过程中不清楚时，就可 通过始、末状态动能的增量来求得该力的功。
功是过程量，动能是状态量。
a
d
c
0
ka
a d
mga sin c
1 2
ka
2
2 c
例4：已知：地下贮水池横截面 S，池中贮水深度 h1， 水平面与地面间 h0。求：将池中水全部吸到地面需作 功 A= ?
解：对象：一层水（坐标如图）
dm dV (Sdh) 重力：dmg gSdh
0
h h0
dh
h1
一层水被吸到地面需要克服重力做功： h
1.5.2 动能定理
一、动能
质量为m，速率为v的质点的动能定义为：
Ek
1 mv2 2
二、质点的动能定理
b b
单位：焦耳（J）（SI）
dr
m
b
A f dr f cos ds ft ds
a
据牛二定律
a
ft
ma t
m
dv a dt
且
a ds vdt
b
F
A
b
a
ft
ds
b m a
dvvdt dt
dA (dmg )h hgdm
h0 h1
A dA
gShdh
1 2
Sg[h12
大学物理课程功和能描述
F1
1
f31
f21
f12
fn1 f32
F2
2
fn2
f13
f23
3 fn3
F3
f1n f3n
f2n
n
Fn
第3章 功和能
Manufacture :Zhu Qiao Zhong
23
Q n P
Fi
dr
Q P
n
n1
(
fij
)
dr
n
( EkQn EkPn )
i 1
j1 i 1
i 1
质点系动能定理
第3章 功和能
Manufacture :Zhu Qiao Zhong
24
二.机械能守恒定律
如果A外 A非保内 0， 则(EKQ EPQ ) (EKP EPP ) 系统的机械能守恒
推而广之，机械能守恒定律可以推广为能量守恒定律。 能量守恒定律是自然界的基本定律之一。
α
A dA F cosθRdθ mgR(1 cosα)
0
Manufacture :Zhu Qiao Zhong
F mg
9
§3.2 动能和动能定理
1、质点的动能定理
P
A
F
dr
F
cos
θ
dr
F dr F ds
考虑到
F
m dv dt
得 A v2 mv dv v1
v1
dr
θ
Fτ： 切向分力
力的空间累积效应
第3章 功和能
Manufacture :Zhu Qiao Zhong
2
（2） 变力的功
元路程
在极微小的时间 dt 内，可以将 变 力视为恒力，此间的位移为 dr，则F 所作的功也很微小，称为元功dA。
大学物理-力学中的功和能1
1.5 功和能（Work and Energy)
§1 功 Work
一、功的概念
功的两要素
力 在力的方向上的位移
二、恒力的功
v
W W
= F ∆rv cosθ
= Fv ⋅ ∆rv
=
Fr
∆rv
讨论： 功是标量，但有正负
Fn
F
θ
∆rv
Fr
0≤θ
<
π 2
,W
>0
π 2
<
θ
≤
π,
W
<0
θ
=
π 2
,W
=0
三、变力的功
元功
dW
=
v F
⋅ drv
b
质点从 a → b 的功 A
W=
b
∫
Fv
⋅
drv
=
b
∫
F
drv
cosθ
b
= ∫ F cosθ ds
a( L)
a( L)
a( L)
drv θ
v F
a (L)
直角坐标系中
v F
=
v Fxi
+
F
y
v j
+
v Fz k
drv = dxiv + dyvj + dzkv
∫ ( ) ∫ W =
Fydy)
=
2 x2 ydx +
x1
y24dy
y1
∫ ∫ =
3 −2
1 2
(
x
+
6)d
x
+
9 4 4dy
1
＝ 21.25 J
§1 功 Work
一、功的概念
功的两要素
力 在力的方向上的位移
二、恒力的功
v
W W
= F ∆rv cosθ
= Fv ⋅ ∆rv
=
Fr
∆rv
讨论： 功是标量，但有正负
Fn
F
θ
∆rv
Fr
0≤θ
<
π 2
,W
>0
π 2
<
θ
≤
π,
W
<0
θ
=
π 2
,W
=0
三、变力的功
元功
dW
=
v F
⋅ drv
b
质点从 a → b 的功 A
W=
b
∫
Fv
⋅
drv
=
b
∫
F
drv
cosθ
b
= ∫ F cosθ ds
a( L)
a( L)
a( L)
drv θ
v F
a (L)
直角坐标系中
v F
=
v Fxi
+
F
y
v j
+
v Fz k
drv = dxiv + dyvj + dzkv
∫ ( ) ∫ W =
Fydy)
=
2 x2 ydx +
x1
y24dy
y1
∫ ∫ =
3 −2
1 2
(
x
+
6)d
x
+
9 4 4dy
1
＝ 21.25 J
大学物理上功与能pptx
1
单摆运动
单摆运动过程中，重力势能转化为动能，动能又 转化为重力势能，但总的机械能保持不变。
2 3
弹簧振子
弹簧振子在振动过程中，弹性势能转化为动能， 动能又转化为弹性势能，但总的机械能保持不变 。
自由落体运动
自由落体运动中，物体只受重力作用，重力势能 转化为动能，但总的机械能保持不变。
2024/1/25
2024/1/25
11
机械能守恒定律表述及条件
01
机械能守恒定律的表述：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能 与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
02
机械能守恒的条件
03
系统只受重力或弹力作用；
2024/1/25
04
物体间只有动能和势能的相互转化，无其他形式的能量转化。
12
机械能守恒定律在简单系统中的应用
VS
内能变化原因
在绝热过程中，如果气体膨胀对外做功， 则内能减小；如果气体被压缩外界对气体 做功，则内能增加。
2024/1/25
18
05 热力学第二定律 与熵增加原理
2024/1/25
19
热力学第二定律表述及意义
克劳修斯表述
热量不能自发地从低温物体传到高温物体。
开尔文表述
不可能从单一热源吸热，使之完全变为有用 功而不产生其他影响。
22
卡诺循环与热机效率分析
2024/1/25
01 02 03 04
热机效率分析
热机效率定义为输出的有用功与输入的热量的比值。
对于卡诺热机，其效率只与高温热源和低温热源的温度有关，而与工 作物质无关。
提高热机效率的途径包括提高高温热源的温度和降低低温热源的温度 。
大学物理力学总结
大学物理力学总结功是力沿着位移方向所做的功，表示为W=F•Δr2.功率：功率是功对时间的导数，表示为P=dW/dt=F•v3.动能定理：物体的动能增量等于合外力所做的功，即ΔK=W4.势能：势能是物体由于位置而具有的能量，表示为Ep=mgh或Ep=1/2kx^25.机械能守恒定律：在只有重力和弹性力的情况下，系统的总机械能守恒，即E=K+Ep=常量6.非完整约束系统：非完整约束系统中，不能定义广义势能，机械能不守恒，只能使用能量方法求解问题。
7.功和能的应用：可以用功和能的概念解决各种物理问题，如弹簧振子、自由落体、圆周运动等。
的一端为转轴细杆绕中心垂线转动细杆绕端点转动圆环圆盘球体转动惯量J=ml2/12J=ml2/3J=mr2/2J=2mr2/5J=2/5mr2J=1/2mr2J=2/3mr2J=2/5mR2J=2/3mR2J=2/5m(R1^2+R2^2)J=1/2m(R1^2+R2^2)J=2/5m(R^2+d^2/4)J=2/5mR^22相对论中，物体的质量不是固定不变的，而是取决于它的速度。
当物体的速度接近光速时，它的质量会增加，这被称为相对论质量。
相对论质量的计算公式为m = m0/√1–u2/c2，其中m0是物体的静质量，u是物体的速度，c是光速。
这个公式告诉我们，当物体的速度接近光速时，它的质量会无限趋近于无穷大。
在相对论中，能量也不再是一个固定不变的量，而是取决于物体的质量和速度。
相对论能量的计算公式为E = mc2，其中m是物体的质量，c是光速。
这个公式告诉我们，当物体的速度接近光速时，它的能量也会无限趋近于无穷大。
相对论动能是相对论中另一个重要的概念。
它是物体由于速度而具有的能量。
相对论动能的计算公式为Ek = E – E0 = mc2 – m0c2，其中E是物体的总能量，E0是物体的静能量。
这个公式告诉我们，当物体的速度接近光速时，它的动能也会无限趋近于无穷大。
以上三个公式是相对论中最基本的公式。
大学物理力学第四章功与能
（1）一对力的功与相对移动的路径无关，而只决 定于相互作用物体的始末相对位置，这样的一对 力称为保守力 （如：万有引力、弹力、重力）
（2）保守力B的环流 为零A。
y
A
F dr l1
F
A B
dr
l2
B
B
F dr
l1
l1
A F dr l2
F dr
A
l2
B
0
o
x
非保守力——▲ 摩擦力（耗散力):作功为负，
1 2
m2v2 B 2
1 2
m2v2
2 A
B1
B2
B1
B2
F1 • d r1 F 2 • d r2 f 1 • d r1 f 2 • d r2
A1
A2
A1
A2
1 2
m1v1B 2
1 2
m2v2B 2
1 2
m1v1A2
1 2
m2v2 A2
Aext Aint EkB EkA
外力与内力对质点系做的功之和等于质 点系总动能的增量。-----质点系的动能定理
A
rAB
B
A F r cos
F r
恒力的功与物体的具体路径无关，
只和起点和终点位置有关.
2. 变力做功
A
F1
r1
F2
r2
F3
r3
...
Fi
ri
...
ri i
定义: element work元功
Fi
dA F dr 视为恒力,直线
r3
F3
r2 r1
F2
F1
A
B
AAB L
E。
n
n
（2）保守力B的环流 为零A。
y
A
F dr l1
F
A B
dr
l2
B
B
F dr
l1
l1
A F dr l2
F dr
A
l2
B
0
o
x
非保守力——▲ 摩擦力（耗散力):作功为负，
1 2
m2v2 B 2
1 2
m2v2
2 A
B1
B2
B1
B2
F1 • d r1 F 2 • d r2 f 1 • d r1 f 2 • d r2
A1
A2
A1
A2
1 2
m1v1B 2
1 2
m2v2B 2
1 2
m1v1A2
1 2
m2v2 A2
Aext Aint EkB EkA
外力与内力对质点系做的功之和等于质 点系总动能的增量。-----质点系的动能定理
A
rAB
B
A F r cos
F r
恒力的功与物体的具体路径无关，
只和起点和终点位置有关.
2. 变力做功
A
F1
r1
F2
r2
F3
r3
...
Fi
ri
...
ri i
定义: element work元功
Fi
dA F dr 视为恒力,直线
r3
F3
r2 r1
F2
F1
A
B
AAB L
E。
n
n
大学物理功和能
解：只有保守力（重力)做功， 机械能守恒.（以桌面为零势能点）
0
E2 E1
l
0
m L
l
g
l 2
1 mv 2 2
m L
x
g
x 2
0
v g ( x2 l2 ) L
x
例3 ： 一轻弹簧, 其一端系 在铅直放置的圆环的顶点P， 另一端系一质量为m 的小球, 小球穿过圆环并在环上运动
(μ=0)．开始球静止于点 A,
Wab (EPb EPa ) 势能定理
末位置的函数
始位置的函数
引力的功
W
(G
m' m )
rB
(G
m'm
rA
)
弹力的功
W
(
1 2
kxb
2
1 2
kxa
2
)
引力势能
Ep
G
m' m r
弹性势能
Ep
1 2
kx2
重力的功
重力势能
W ( mgzb mgza )
W mgz(mgh)
势能定理
Wab (EPb EPa )
力分为内力和外力，内力又分为保守和非保守力
1. 保守力 某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关， 而与路径无关。这种力称为保守力。 典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力
静电力 与保守力相对应的是耗散力
典型的耗散力： 摩擦力
a.重力的功
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.
WG
瞬时功率：P lim W dW
t0 t
dt
例1.作用在质点上的力为 F 2 yi 4 j( N ) 分别计算 质点沿着抛物线 x2 4 y 和 4 y x 6 的直线从
0
E2 E1
l
0
m L
l
g
l 2
1 mv 2 2
m L
x
g
x 2
0
v g ( x2 l2 ) L
x
例3 ： 一轻弹簧, 其一端系 在铅直放置的圆环的顶点P， 另一端系一质量为m 的小球, 小球穿过圆环并在环上运动
(μ=0)．开始球静止于点 A,
Wab (EPb EPa ) 势能定理
末位置的函数
始位置的函数
引力的功
W
(G
m' m )
rB
(G
m'm
rA
)
弹力的功
W
(
1 2
kxb
2
1 2
kxa
2
)
引力势能
Ep
G
m' m r
弹性势能
Ep
1 2
kx2
重力的功
重力势能
W ( mgzb mgza )
W mgz(mgh)
势能定理
Wab (EPb EPa )
力分为内力和外力，内力又分为保守和非保守力
1. 保守力 某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关， 而与路径无关。这种力称为保守力。 典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力
静电力 与保守力相对应的是耗散力
典型的耗散力： 摩擦力
a.重力的功
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.
WG
瞬时功率：P lim W dW
t0 t
dt
例1.作用在质点上的力为 F 2 yi 4 j( N ) 分别计算 质点沿着抛物线 x2 4 y 和 4 y x 6 的直线从
大物上知识点公式总结
大物上知识点公式总结一、运动学。
1. 直线运动。
- 位置：x = x_0+v_0t+(1)/(2)at^2（匀变速直线运动，x_0为初位置，v_0为初速度，a为加速度，t为时间）- 速度：v = v_0 + at- 速度 - 位移关系：v^2 - v_0^2=2a(x - x_0)2. 平抛运动。
- 水平方向：x = v_0t（v_0为初速度，水平方向不受力，做匀速直线运动）- 竖直方向：y=(1)/(2)gt^2，v_y = gt- 合速度大小：v=√(v_0^2 + v_y^2)=√(v_0^2+(gt)^2)- 合速度方向：tanθ=(v_y)/(v_0)=(gt)/(v_0)（θ为合速度与水平方向夹角）3. 圆周运动。
- 线速度：v=ω r（ω为角速度，r为圆周运动半径）- 角速度：ω=(θ)/(t)（θ为角位移，t为时间）- 向心加速度：a = frac{v^2}{r}=ω^2r- 向心力：F = ma=mfrac{v^2}{r}=mω^2r二、牛顿运动定律。
1. 牛顿第二定律。
- ∑ F = ma（∑ F为物体所受合外力，m为物体质量，a为加速度）2. 摩擦力。
- 静摩擦力：0≤ f_s≤ f_smax，f_smax=μ_sN（μ_s为静摩擦因数，N为接触面间的正压力）- 滑动摩擦力：f_k=μ_kN（μ_k为滑动摩擦因数）三、功和能。
1. 功。
- 恒力做功：W = Fscosθ（F为作用力，s为位移，θ为力与位移方向夹角）- 变力做功：W=∫_x_1^x_2F(x)dx（用积分计算，F(x)为变力关于位移的函数）2. 动能定理。
- W=Δ E_k = E_k2-E_k1（W为合外力对物体做的功，E_k1、E_k2分别为物体初、末动能）3. 重力势能。
- E_p = mgh（m为物体质量，g为重力加速度，h为物体相对参考平面的高度）- 重力做功与重力势能变化关系：W_G=-Δ E_p四、动量。
大学物理功和能
大学物理功和能大学物理中的重点知识§3-2 牛顿第二定律的积分形式之二：动能定理一.功和功率 1.功:力在位移方向上的分量与位移大小的乘积为该力所作的功。
(1)恒力直线功A FScos F SFs大学物理中的重点知识(2)变力曲线运动dA F dr cosdrb FF drar r1 20----元功或dA F cos ds大学物理中的重点知识由a移动到b在直角坐标系中A dA ab abF drA 2.功率bab F dr ( Fx dx Fy dy Fz dz )a单位时间内力所作的功：A dA F dr N lim F v t 0 t dt dt大学物理中的重点知识3.成对力的功作用力和反作用力：yf12、f 21r1 dr1 r2Om1f 12f 21 m2 dr2m2相对于m1的位移dr ' dr2 dr1 dA1 f12 d r1 dA2 f 21 dr2 zdr2dr 'dr1x大学物理中的重点知识作用力和反作用力的元功之和：dA dA1 dA2 f 21 (dr2 dr1 ) f 21 d r '成对力的总功只与相互作用力及相对位移有关。
----与参考系的选择无关大学物理中的重点知识[例1]如下图所示，在井中提水，桶漏，漏水率k 0.24kg m ,井深20m,设桶离开水面时m0 10kg ,桶匀速上升到井口。
问拉力作功多少？解：建立如图所示的坐标系yfdy yo大学物理中的重点知识桶提到y处时取一元过程。
位移为dyj dA m0 ky gdy 元功：整个过程：dA A20 0mky gdy31.49 10 J大学物理中的重点知识[补例]有一倾角为θ的斜面，固定在地面上，在光滑斜面上放一质量为m的物体。
物体由A点静止滑到B点，垂直高度为h。
求：物体在B点的瞬时功率。
A m B m h大学物理中的重点知识2, [补例]一地下蓄水池，面积为50m蓄水深度为1.5m;如果水池的水面在地面下5m处，问要把这池水全部吸到地面，需做多少功？大学物理中的重点知识二.动能定理1.质点动能定理an F dr ma dr a ma cos dr dv ma dr m dr mvdvdtdr b a a F大学物理中的重点知识vb A F dr mvdv va a 1 2 1 2 mvb mva 2 2 1 2 定义：Ek mv ----动能2 A Ekb Ekab即合外力对物体所做的功等于物体动能的增量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
⑴质点系的内能 内动能和质点间势能之和
Ein Ek ,in E p
⑵质心参考系中的机械能变化定理
相对于质心参考系，外力做功和非保守内力做 功的和，等于质点系内能的增量：
Fx dx Fy dy
2R 0
0
kydy
5
2kR
Attention:
2
计算变力的功，必须用积分
2.功率 (power)
A 平均功率：P t dA 瞬时功率：P F v dt dr dA F d r 来历： F F v dt dt dt
21
a1
一对力做功，等于其中一个物体所受的力 沿两个物体相对移动的路径所做的功。
例：有一面为1/4凹圆柱面的物体放置在光滑 水平面，一小球从静止开始沿圆面从顶端无 摩擦下落，求内力所作的功.
m M R
17
3.保守力
——作功只决定于始末相对位置，而与相对 路径无关的一对力，称为保守力． 另一种表述： 沿任意闭合的相对路径所做的 功为零的一对力. 等价性：
对于元位移 dr , F 的功: dA F dr cos F dr
2
(2)一般情形：变力、曲线运动．
dr
F
L
对于整个路径L：
(3)常用计算式：
L
A F dr
L
A Fx dx Fy dy Fz dz
(4)合力的功：
A
1.定义： 保守力的功 可由质点相对位置的函数来 表征 势能(函数).
——保守力的功等于系统势能的减少： Aab=EpaEpb= Ep
19
选择势能零点 各点势能值． 选择 E =0 pc e.g. c 则有 Epa=Epa-Epc=Aac F dr
即：某点的势能=保守力从该点到势能零点 处所做的功. 势能值依赖于势能零点的选择 改令 Epd=0 d c c E pa F dr F dr F dr a
L
( Fi ) dr Fi dr Ai
i i L
i
3
例4−1 质点在力 F = 3 x 2 i (SI) 作用下沿X轴正
方向运动，则从 x =1m运动到 x =2m 的 过程中，力 F 做的功A=。
解： A
x2
x1
一、保守力 (Conservative Force)
1.几种力的功
(1)弹性力的功 （Work done by elastic force） xaxb , O xa
xb
xb
X
1 2 2 a 1 2 2 b
A
F dx kxdx kx kx x L
xa
13
特点：A由物体始、末位置决定．
Fx ( x)dx
2
3x dx
1
2
7 J
[思考] 质点动能的增量？
4
例4-2
Ａ
Y
R
Ｏ X
如图，质点沿圆周运动， 作用力 F k ( xi yj ) (k 为常量)，则在从O到 A(0,2R)的过程中，力 F 作的功为 ．
解： A
kxdx
L 0
L2 L1
dr F dr LF L2 1 F dr F dr 0 L1 L2 F dr 0
L
18
常见保守力：弹性力,重力,万有引力,库仑力. 常见非保守力(耗散力)：摩擦力． 二、 势能 (Potential Energy)
6
3.质点的动能定理
va
dr
vb
L
a
1 2
F
2 b
b
1 2 2 a
Aab mv mv
合力的功
Note:
质点动能的增量
若质点速度接近光速，则动能定理 的叙述不变，但动能表达式改变!
7
dv [证] 牛Ⅱ： F m dt dv F dr m dr mdv v dt
[思考] 设 E p
GMm EP r
r r0
0 , 则 Ep ?
r
GMm GMm E p (r ) r r0
23
例4-4 质 量 为 m 的 质 点 在 指 向 圆 心 的 力 F = k/r 2的作用下，作半径为r的圆周 运动，若取 Ep= 0 ，则系统的机械能 E =。
d (a b ) da b a db 1 1 2 dv v 2 d (v v ) 2 d (v ) vdv F dr mvdv
L a
b
vb F dr mvdv
1 2
va 2 b
Aab mv mv
Gm Gm 解： A E E pa pb a b 2 Gm (a b) ab
2 2
[思考] 两者距离为b时的速率？
26
*3. 由势能求保守力
保守力 F 的元功： d ln d A F d l F d l cos dl dEP dln dl cos
解：由牛顿第二定律： 2 k v m 2 r r k Ek 2r k k E p 2 dr r r r
24
k 于是 E Ek E p 2r
[思考] 本题中的力与万有引力和库仑力有何 联系？
25
例4-5 两质点的质量均为 m ，开始时两者静 止，距离为a。在万有引力作用下，两 者距离变为b。在此过程中，万有引力 做的功A=。
Ai:a b m v m v
1 2 1 2
Ai:a b
外力的功Ai外
内力的功Ai外
F
对所有质点：
fi2
mi
fin
fi1
A
i 1
N
i外
＋ Ai内 m v m v
i 1 i 1 1 2 2 i ib i 1 1 2
N
N
N
2 i ia
即系统的动能定理：
（ depends upon ra and rb ）
2、成对力的功
力总是成对的
b1 b2
m dA F1 dr1 F2 dr2 1 r r1 F2 d( r2 r1 ) r2 O F2 dr21
dr1
dr2
m2 a2
2
2 mi (vc 2vc vi ' vi ' ) 2 2 1 1 2 Mv c vc mi vi ' 2 mi vi '
轨道动能 Ekc 0 内动能 Ek,int
12
E k E kc E k ,int (柯尼希定理)
§4.2 势能 (Potential Energy)
第四章 功和能
(Work and Energy)
本章内容： 动能定理
功能原理
机械能守恒定律
1
§4.1 动能定理(Theorem of Kinetic Energy) ——牛Ⅱ对空间的积分． 1.功 (work) (1)特殊情形：恒力、直线运动． L
F
F 的功： A FL cos
E p （称为梯度算符）
x y z
28
应用：通过势能分析受力 例如：分子间作用能服从Lennard-Jones势
A B Ep r r
12 6
Ep
0
分析：
12A12 6 B6 F 13 7 dr r r 2 6 2A 当r 时，F > 0，斥力 | B| 2 6 2A 当r 时，F < 0，引力 | B| dE p
a d
a
简记：Epa(新,d 为零点)=Epa(旧) Epd(旧)
20
势能与保守力做功相关，属于产生 保守力的整个系统． 2.几种势能 (1)弹性势能 设弹簧原长处Ep=0，则有 Note:
EP kx
1 2
2
弹性系数 (倔强系数)
弹簧的伸长量
[思考] 设 E p
x x0
0 , 则 Ep x ?
r
29
例：美国加州大学伯克利分校研究生入学 考试试题
两个质点的相互作用能 V 与它们的相互
a b 作用距离r的关系如下： V 2 ,式中 r r
a和b是正的常数，问两质点处于静力平
衡时，间距r是多少？
2a 答案：r b
30
§4.3 机械能守恒定律 (The Law of Conservation of Mechanical Energy) 1.功能原理
则
Ek E p const .
Aext Anon 0
Notes: ⑴动能定理、功能原理和机械能守 恒定律都只在惯性系中成立． ⑵机械能守恒定律只是能量守恒定 律的一个特例．
能量守恒定律：一个孤立系统经历任何变 化时，该系统的所有能量的总和不变．
32
*3.质心参考系中的机械能变化定理
1 2
2 a
有其他 证法？
8
例4-3 m=1kg的物体,在坐标原点处从静止出 发沿X轴运动,合力 F (3 2 x)i (SI), 则在x=0～3m内,合力作功A= ; x=3m处，物体速率v= . 解： (1) A Fx dx (3 2 x)dx 18 J
Aext Anon ( Ek E p )
所有非保守 系统机械能 内力做的功 的增量 nonconservative [来历]：系统的动能定理： 其中 Aint Anon Acon Anon (E p ) 所有外力 做的功
Ein Ek ,in E p
⑵质心参考系中的机械能变化定理
相对于质心参考系，外力做功和非保守内力做 功的和，等于质点系内能的增量：
Fx dx Fy dy
2R 0
0
kydy
5
2kR
Attention:
2
计算变力的功，必须用积分
2.功率 (power)
A 平均功率：P t dA 瞬时功率：P F v dt dr dA F d r 来历： F F v dt dt dt
21
a1
一对力做功，等于其中一个物体所受的力 沿两个物体相对移动的路径所做的功。
例：有一面为1/4凹圆柱面的物体放置在光滑 水平面，一小球从静止开始沿圆面从顶端无 摩擦下落，求内力所作的功.
m M R
17
3.保守力
——作功只决定于始末相对位置，而与相对 路径无关的一对力，称为保守力． 另一种表述： 沿任意闭合的相对路径所做的 功为零的一对力. 等价性：
对于元位移 dr , F 的功: dA F dr cos F dr
2
(2)一般情形：变力、曲线运动．
dr
F
L
对于整个路径L：
(3)常用计算式：
L
A F dr
L
A Fx dx Fy dy Fz dz
(4)合力的功：
A
1.定义： 保守力的功 可由质点相对位置的函数来 表征 势能(函数).
——保守力的功等于系统势能的减少： Aab=EpaEpb= Ep
19
选择势能零点 各点势能值． 选择 E =0 pc e.g. c 则有 Epa=Epa-Epc=Aac F dr
即：某点的势能=保守力从该点到势能零点 处所做的功. 势能值依赖于势能零点的选择 改令 Epd=0 d c c E pa F dr F dr F dr a
L
( Fi ) dr Fi dr Ai
i i L
i
3
例4−1 质点在力 F = 3 x 2 i (SI) 作用下沿X轴正
方向运动，则从 x =1m运动到 x =2m 的 过程中，力 F 做的功A=。
解： A
x2
x1
一、保守力 (Conservative Force)
1.几种力的功
(1)弹性力的功 （Work done by elastic force） xaxb , O xa
xb
xb
X
1 2 2 a 1 2 2 b
A
F dx kxdx kx kx x L
xa
13
特点：A由物体始、末位置决定．
Fx ( x)dx
2
3x dx
1
2
7 J
[思考] 质点动能的增量？
4
例4-2
Ａ
Y
R
Ｏ X
如图，质点沿圆周运动， 作用力 F k ( xi yj ) (k 为常量)，则在从O到 A(0,2R)的过程中，力 F 作的功为 ．
解： A
kxdx
L 0
L2 L1
dr F dr LF L2 1 F dr F dr 0 L1 L2 F dr 0
L
18
常见保守力：弹性力,重力,万有引力,库仑力. 常见非保守力(耗散力)：摩擦力． 二、 势能 (Potential Energy)
6
3.质点的动能定理
va
dr
vb
L
a
1 2
F
2 b
b
1 2 2 a
Aab mv mv
合力的功
Note:
质点动能的增量
若质点速度接近光速，则动能定理 的叙述不变，但动能表达式改变!
7
dv [证] 牛Ⅱ： F m dt dv F dr m dr mdv v dt
[思考] 设 E p
GMm EP r
r r0
0 , 则 Ep ?
r
GMm GMm E p (r ) r r0
23
例4-4 质 量 为 m 的 质 点 在 指 向 圆 心 的 力 F = k/r 2的作用下，作半径为r的圆周 运动，若取 Ep= 0 ，则系统的机械能 E =。
d (a b ) da b a db 1 1 2 dv v 2 d (v v ) 2 d (v ) vdv F dr mvdv
L a
b
vb F dr mvdv
1 2
va 2 b
Aab mv mv
Gm Gm 解： A E E pa pb a b 2 Gm (a b) ab
2 2
[思考] 两者距离为b时的速率？
26
*3. 由势能求保守力
保守力 F 的元功： d ln d A F d l F d l cos dl dEP dln dl cos
解：由牛顿第二定律： 2 k v m 2 r r k Ek 2r k k E p 2 dr r r r
24
k 于是 E Ek E p 2r
[思考] 本题中的力与万有引力和库仑力有何 联系？
25
例4-5 两质点的质量均为 m ，开始时两者静 止，距离为a。在万有引力作用下，两 者距离变为b。在此过程中，万有引力 做的功A=。
Ai:a b m v m v
1 2 1 2
Ai:a b
外力的功Ai外
内力的功Ai外
F
对所有质点：
fi2
mi
fin
fi1
A
i 1
N
i外
＋ Ai内 m v m v
i 1 i 1 1 2 2 i ib i 1 1 2
N
N
N
2 i ia
即系统的动能定理：
（ depends upon ra and rb ）
2、成对力的功
力总是成对的
b1 b2
m dA F1 dr1 F2 dr2 1 r r1 F2 d( r2 r1 ) r2 O F2 dr21
dr1
dr2
m2 a2
2
2 mi (vc 2vc vi ' vi ' ) 2 2 1 1 2 Mv c vc mi vi ' 2 mi vi '
轨道动能 Ekc 0 内动能 Ek,int
12
E k E kc E k ,int (柯尼希定理)
§4.2 势能 (Potential Energy)
第四章 功和能
(Work and Energy)
本章内容： 动能定理
功能原理
机械能守恒定律
1
§4.1 动能定理(Theorem of Kinetic Energy) ——牛Ⅱ对空间的积分． 1.功 (work) (1)特殊情形：恒力、直线运动． L
F
F 的功： A FL cos
E p （称为梯度算符）
x y z
28
应用：通过势能分析受力 例如：分子间作用能服从Lennard-Jones势
A B Ep r r
12 6
Ep
0
分析：
12A12 6 B6 F 13 7 dr r r 2 6 2A 当r 时，F > 0，斥力 | B| 2 6 2A 当r 时，F < 0，引力 | B| dE p
a d
a
简记：Epa(新,d 为零点)=Epa(旧) Epd(旧)
20
势能与保守力做功相关，属于产生 保守力的整个系统． 2.几种势能 (1)弹性势能 设弹簧原长处Ep=0，则有 Note:
EP kx
1 2
2
弹性系数 (倔强系数)
弹簧的伸长量
[思考] 设 E p
x x0
0 , 则 Ep x ?
r
29
例：美国加州大学伯克利分校研究生入学 考试试题
两个质点的相互作用能 V 与它们的相互
a b 作用距离r的关系如下： V 2 ,式中 r r
a和b是正的常数，问两质点处于静力平
衡时，间距r是多少？
2a 答案：r b
30
§4.3 机械能守恒定律 (The Law of Conservation of Mechanical Energy) 1.功能原理
则
Ek E p const .
Aext Anon 0
Notes: ⑴动能定理、功能原理和机械能守 恒定律都只在惯性系中成立． ⑵机械能守恒定律只是能量守恒定 律的一个特例．
能量守恒定律：一个孤立系统经历任何变 化时，该系统的所有能量的总和不变．
32
*3.质心参考系中的机械能变化定理
1 2
2 a
有其他 证法？
8
例4-3 m=1kg的物体,在坐标原点处从静止出 发沿X轴运动,合力 F (3 2 x)i (SI), 则在x=0～3m内,合力作功A= ; x=3m处，物体速率v= . 解： (1) A Fx dx (3 2 x)dx 18 J
Aext Anon ( Ek E p )
所有非保守 系统机械能 内力做的功 的增量 nonconservative [来历]：系统的动能定理： 其中 Aint Anon Acon Anon (E p ) 所有外力 做的功