大物 功和能

d (a b ) da b a db 1 1 2 dv v 2 d (v v ) 2 d (v ) vdv F dr mvdv
L a


b
vb F dr mvdv
1 2
va 2 b
Aab mv mv
(2)重力的功 Work done by gravity hahb , Y ha A F dy
hb O
X

L
y
hb
ha
mgdy
mgha mghb
14
特点：A由物体始、末位置决定．
depends upon ha and hb
(3)万有引力的功
Work done by gravitational force
a d

a
简记：Epa(新,d 为零点)=Epa(旧) Epd(旧)
20
势能与保守力做功相关，属于产生 保守力的整个系统． 2.几种势能 (1)弹性势能 设弹簧原长处Ep=0，则有 Note:
EP kx
1 2
2
弹性系数 (倔强系数)
弹簧的伸长量
[思考] 设 E p
x x0
0 , 则 Ep x ?
Ai:a b m v m v
1 2 1 2
Ai:a b
外力的功Ai外
内力的功Ai外
F
对所有质点：
fi2
mi
fin
fi1
A
i 1
N
i外
＋ Ai内 m v m v
i 1 i 1 1 2 2 i ib i 1 1 2
N
N
N
2 i ia
即系统的动能定理：
rb
M
r ra
dr
GMm dA F dr 3 r dr r 而 r dr rdr
rb
m
GMm A dA dr 2 ra r GMm GMm ( ) ( ) ra rb
15
特点：A由物体始、末位置决定．
Aext Anon ( Ek E p )
所有非保守 系统机械能 内力做的功 的增量 nonconservative [来历]：系统的动能定理： 其中 Aint Anon Acon Anon (E p ) 所有外力 做的功
Aext Aint Ek
31
2.机械能守恒定律 若
Fx dx Fy dy
2R 0
0
kydy
5
2kR
Attention:
2
计算变力的功，必须用积分
2.功率 (power)
A 平均功率：P t dA 瞬时功率：P F v dt dr dA F d r 来历： F F v dt dt dt
一、保守力 (Conservative Force)
1.几种力的功
(1)弹性力的功 （Work done by elastic force） xaxb , O xa
xb
xb
X
1 2 2 a 1 2 2 b
A
F dx kxdx kx kx x L
xa
13
特点：A由物体始、末位置决定．
Gm Gm 解： A E E pa pb a b 2 Gm (a b) ab
2 2
[思考] 两者距离为b时的速率？
26
*3. 由势能求保守力
保守力 F 的元功： d ln d A F d l F d l cos dl dEP dln dl cos
21
例：非线性弹簧
xb xb 3
F kx
3
1 4 1 4 xa Fdx xa kx dx 4 kxa 4 kxb 1 4 F不一定与x成正比! 弹性势能 Ep= kx 4
22
(2)重力势能 设 h=0处Ep=0，
(3)万有引力势能 设 r处Ep=0，
EP = mgh
⑴质点系的内能 内动能和质点间势能之和
Ein Ek ,Leabharlann Baidun E p
⑵质心参考系中的机械能变化定理
相对于质心参考系，外力做功和非保守内力做 功的和，等于质点系内能的增量：
L2 L1
dr F dr LF L2 1 F dr F dr 0 L1 L2 F dr 0
L
18
常见保守力：弹性力,重力,万有引力,库仑力. 常见非保守力(耗散力)：摩擦力． 二、 势能 (Potential Energy)
6
3.质点的动能定理
va
dr
vb
L
a
1 2
F
2 b
b
1 2 2 a
Aab mv mv
合力的功
Note:
质点动能的增量
若质点速度接近光速，则动能定理 的叙述不变，但动能表达式改变!
7
dv [证] 牛Ⅱ： F m dt dv F dr m dr mdv v dt
L
( Fi ) dr Fi dr Ai
i i L
i
3
例4−1 质点在力 F = 3 x 2 i (SI) 作用下沿X轴正
方向运动，则从 x =1m运动到 x =2m 的 过程中，力 F 做的功A=。
解： A

x2
x1
Aext Aint Ek
注意：一般地，内力的功并不为零。
11
质点系动能的另一种表达式： 2 2 1 1 E k 2 mi v i 2 m i v c v i '

1 2
1 2
mi ( v c v i ' ) ( v c v i ' )
E p （称为梯度算符）
x y z
28
应用：通过势能分析受力 例如：分子间作用能服从Lennard-Jones势
A B Ep r r
12 6
Ep
0
分析：
12A12 6 B6 F 13 7 dr r r 2 6 2A 当r 时，F > 0，斥力 | B| 2 6 2A 当r 时，F < 0，引力 | B| dE p
1 2
2 a
有其他 证法？
8
例4-3 m=1kg的物体,在坐标原点处从静止出 发沿X轴运动,合力 F (3 2 x)i (SI), 则在x=0～3m内,合力作功A= ; x=3m处，物体速率v= . 解： (1) A Fx dx (3 2 x)dx 18 J
则
Ek E p const .
Aext Anon 0
Notes: ⑴动能定理、功能原理和机械能守 恒定律都只在惯性系中成立． ⑵机械能守恒定律只是能量守恒定 律的一个特例．
能量守恒定律：一个孤立系统经历任何变 化时，该系统的所有能量的总和不变．
32
*3.质心参考系中的机械能变化定理
0 0 x 3
(2) A Ek mv
1 2
2
v
2A 6 m/ s m
9
[思考] 其它解法？
4.质点系的动能定理
Aext Aint Ek
所有外力 做的功 所有内力 做的功 系统总动能 的增量
external
internal
2 i ib 2 i ia
10
[证明]：由质点的动能定理，对第i个质点：
1.定义： 保守力的功 可由质点相对位置的函数来 表征 势能(函数).
——保守力的功等于系统势能的减少： Aab=EpaEpb= Ep
19
选择势能零点 各点势能值． 选择 E =0 pc e.g. c 则有 Epa=Epa-Epc=Aac F dr
即：某点的势能=保守力从该点到势能零点 处所做的功. 势能值依赖于势能零点的选择 改令 Epd=0 d c c E pa F dr F dr F dr a
2
2 mi (vc 2vc vi ' vi ' ) 2 2 1 1 2 Mv c vc mi vi ' 2 mi vi '
轨道动能 Ekc 0 内动能 Ek,int
12
E k E kc E k ,int (柯尼希定理)
§4.2 势能 (Potential Energy)
[思考] 设 E p
GMm EP r
r r0
0 , 则 Ep ?
r
GMm GMm E p (r ) r r0
23
例4-4 质 量 为 m 的 质 点 在 指 向 圆 心 的 力 F = k/r 2的作用下，作半径为r的圆周 运动，若取 Ep= 0 ，则系统的机械能 E =。
Fx ( x)dx
2
3x dx
1
2
7 J
[思考] 质点动能的增量？
4
例4-2
Ａ
Y
R
Ｏ X
如图，质点沿圆周运动， 作用力 F k ( xi yj ) (k 为常量)，则在从O到 A(0,2R)的过程中，力 F 作的功为 ．
解： A
kxdx
L 0
第四章 功和能
(Work and Energy)
本章内容： 动能定理
功能原理
机械能守恒定律
1
§4.1 动能定理(Theorem of Kinetic Energy) ——牛Ⅱ对空间的积分． 1.功 (work) (1)特殊情形：恒力、直线运动． L
F
F 的功： A FL cos
21
a1
一对力做功，等于其中一个物体所受的力 沿两个物体相对移动的路径所做的功。
例：有一面为1/4凹圆柱面的物体放置在光滑 水平面，一小球从静止开始沿圆面从顶端无 摩擦下落，求内力所作的功.
m M R
17
3.保守力
——作功只决定于始末相对位置，而与相对 路径无关的一对力，称为保守力． 另一种表述： 沿任意闭合的相对路径所做的 功为零的一对力. 等价性：
对于元位移 dr , F 的功: dA F dr cos F dr
2
(2)一般情形：变力、曲线运动．

dr
F
L
对于整个路径L：
(3)常用计算式：
L
A F dr
L
A Fx dx Fy dy Fz dz
(4)合力的功：
A
r
29
例：美国加州大学伯克利分校研究生入学 考试试题
两个质点的相互作用能 V 与它们的相互
a b 作用距离r的关系如下： V 2 ,式中 r r
a和b是正的常数，问两质点处于静力平
衡时，间距r是多少？
2a 答案：r b
30
§4.3 机械能守恒定律 (The Law of Conservation of Mechanical Energy) 1.功能原理
dEP F d n
F
保守力等于势能梯度的负值
27
验证：(1) 引力势能引力
Gm1m2 d Gm1m2 Fr 2 r dr r
(2) 弹性势能弹力
d 1 2 Fx kx kx dx 2
推广到三维情况 E p E p E p i j k F Fx i Fy j Fz k
（ depends upon ra and rb ）
2、成对力的功
力总是成对的
b1 b2
m dA F1 dr1 F2 dr2 1 r r1 F2 d( r2 r1 ) r2 O F2 dr21
dr1
dr2
m2 a2
解：由牛顿第二定律： 2 k v m 2 r r k Ek 2r k k E p 2 dr r r r
24
k 于是 E Ek E p 2r
[思考] 本题中的力与万有引力和库仑力有何 联系？
25
例4-5 两质点的质量均为 m ，开始时两者静 止，距离为a。在万有引力作用下，两 者距离变为b。在此过程中，万有引力 做的功A=。