苏教版数学高一《弧度制》精品导学案 盐城市盐阜中学
高中数学 第四课时 弧度制教案(2) 苏教版必修4
第四课时 弧度制(二)教学目标：理解角的集合与实数集R 之间的一一对应关系，掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，运用弧长公式、扇形面积公式解、证一些题目；使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习，都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，培养良好的学习品质.教学重点：角的集合与实数集R 之间的一一对应关系，弧度制的简单应用.教学难点：弧度制的简单应用教学过程：角的集合与实数集R 之间是一一对应的，即正角对应正实数，负角对应负实数，零角对应0.在弧度制下，弧长公式是怎样的呢?l ＝｜α｜r ，其中l 表示弧长，r 表示圆半径，α表示圆心角的弧度数.扇形的面积公式S ＝12l Ｒ.其中l 是扇形的弧长，R 是圆的半径，在弧度制下证明，同学们是否想过在角度制下的证明，比较之，哪个方法更简便些?能够写出弧度制下扇形的面积公式吗?即用角的弧度数α与圆的半径R 表示扇形的面积.S ＝12｜α｜Ｒ2. 引入弧度制有什么好处呢?弧度制下的弧长公式比角度制下的弧长公式简单，弧度制下的扇形面积公式比角度制下的扇形面积公式简单，还有一点，弧度表示角时，找与角对应的实数相当方便，而角度表示角时，找与角对应的实数还须进行一番计算.［例1］已知一扇形的周长为c (c ＞0)，当扇形的弧长为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值.解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，面积为S∵c ＝2R ＋l ，∴R ＝c －l 2(l ＜c ) 则S ＝12 Rl ＝12 ×c －l 2 ·l ＝14(cl －l 2) ＝－14 (l 2－cl )＝－14 (l －c 2 )2＋c 216∴当l ＝c 2 时，S max ＝c 216答：当扇形的弧长为 c 2 时，扇形有最大面积，扇形面积的最大值是c 216. ［例2］一个扇形OAB 的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求∠AOB 和弦AB 的长.分析：欲求∠AOB ，需要知道的长和半径OA 的长，用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，结合已知条件，能比较容易地求得，之后在△AOB 中求弦AB 的长.作OM ⊥AB 交AB于M ，则AM ＝BM ＝12 AB ，在Rt △AMO 中求AM .解：设扇形的半径为R cm.∠AOB =α rad. 据题意⎪⎩⎪⎨⎧==+121422αR aR R 解之得⎩⎨⎧==21αR 过O 作OM ⊥AB 交AB 于M .则AM ＝BM ＝12A B. 在Rt △AMO 中，AM ＝sin1，∴AB ＝2sin1故∠AOB ＝2 rad.该AB 的长为2sin1厘米.Ⅱ.课堂练习课本P 10练习 5、6Ⅲ.课时小结这节课，同学们自己找到了角的集合与实数集R 的一一对应关系，对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解，要把这两个公式记下来，并在解决实际问题中灵活运用，大家能总结出引入弧度制的好处，这点很好，以后的学习中，我们就是要随着学习内容的增加、知识的丰富，不断总结，不断归纳，梳理知识，编织知识的网络，使易记、好用.特别是生丙、生戊善于联想、积极探索的学习品质，更是我们大家学习的榜样，同学们这样持之以恒的坚持下去，我们的数学学习效果将会是非常出色的.Ⅳ.课后作业（一）课本P 10习题 8、9、13.（二）1.预习内容：任意角的三角函数(P 12~P 15)2.预习提纲：锐角三角函数是用边的比来定义的，任意角的三角函数是怎样定义的?弧度制(二)1．一钟表的分针长10 cm ，经过25分钟，分针的端点所转过的长为__________cm. （ ）A.70B. 706C. 25π3－4 3 D. 25π32．如果弓形的弧所对的圆心角为π3，弓形的弦长为4 cm ，则弓形的面积是_____cm 2.（ ）A. 4π9 －4 3B. 4π3－4 3 C. 8π3 －4 3 D. 8π3－2 3 3．设集合M ＝{α|α＝k π±π6 ，k ∈Z }，N ＝{α|α＝k π＋(－1)k π6，k ∈Z }那么下列结论中正确的是 （ ）A.M ＝NB.M NC.N MD.M N 且N M4．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 （ ）A. π3B. 2π3C. 3D.25．已知扇形的圆心角为2 rad ，扇形的周长为8 cm ，则扇形的面积为_________cm 2.6．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍.7．若角α的终边与85 π角的终边相同，则在［0，2π］上，终边与α4角的终边相同的角是 .8．已知扇形AOB 的圆心角α＝120°，半径r ＝3，求扇形的面积.9．1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积.10．已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？弧度制(二)答案1．D 2．C 3．C 4．C 5．4 6．13 7．25 π 910 π 75 π 1910π 8．已知扇形AOB 的圆心角α＝120°，半径r ＝3，求扇形的面积.解：α＝120°＝2π3rad ∴S ＝12 r 2α＝12 ×32×2π3＝3π(面积单位） 答：扇形的面积为3π面积单位.9．1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积.解：由已知可得r ＝21sin 1, ∴l ＝r ·α＝21sin 1S 扇＝12 l ·r ＝12 ·r 2·α＝12 ·21sin 12＝21sin 21210．已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：∵l ＝20－2r∴S ＝12 lr ＝12(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25 ∴当半径r ＝5 cm 时，扇形的面积最大为25 cm 2此时，α＝l r ＝20－2×55＝2(rad)。
苏教版高中数学必修四弧度制教案
1.1.2 弧度制教学目标：1．理解1弧度的角及弧度的定义；2．掌握角度与弧度的换算公式并熟练进行角度与弧度的换算；3．理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题．教学重点：理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；熟练进行弧长和面积公式的应用． 教学难点：弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系．教学方法：问题链导学法．教学过程：一、问题情境探究：l 、α、r 三者之间关系. 二、学生活动1．改变α、r ,观察l 的变化 2．改变l ，r ，观察α的变化 3．分析原因 三、建构数学1．弧度角的定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2．记法：1rad ． 3．引入弧度制的概念4．通过问题构建弧长，半径，圆心角之间的关系：l = |α| r 5．通过问题引导学生进行角度制与弧度制的互换．A360°＝2πrad 180°= πrad1801π=︒rad ≈0.01745rad 1rad =︒)180(π≈57.30°6．通过问题引导学生推导出弧度制下的扇形面积公式． 四、数学应用 1．例题．例1 把下列各角从度化为弧度．（1）135° （2）-75° （3）11°15′例2 把下列各角从弧度化为度． （1）53πrad （2）34πrad例3 已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2rad ，求该扇形的面积.2．练习． （1）填表说明：一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次遇到都要去进行换算． （2）用弧度制写出终边落在y 轴上和x 轴上的角集合．（3）周长为20的扇形，当圆心角为多少弧度时，其面积最大？五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容： 1． 弧度制的定义； 2． 角度与弧度的换算公式； 3． 特殊角的弧度数．。
高一数学弧度制学案 苏教版
高一数学弧度制学案教学目标： 1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3.记住公式||l rα=（l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）。
4．扇形面积公式及其应用，求扇形面积的最值。
教学重、难点：1.弧度与角度之间的换算。
2.弧长公式、扇形面积公式的应用。
教学过程：一．复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1o 角的？二．新课讲解：1．弧度角的定义：规定：练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2r 的弧所对的圆心角分别为多少？说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。
思考：什么π弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？2．弧度的推广及角的弧度数的计算：规定：说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。
3．角度与弧度的换算3602π=o rad 180π=orad 1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈o例题分析：例1 把'3067︒化成弧度．例2 把35πrad 化成度。
例3 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。
（1）终边落在x 轴的非正、非负半轴，y 轴的非正、非负半轴的角的集合。
（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。
例4 将下列各角化为2(02,)k k Z πααπ+≤<∈的形式，并判断其所在象限。
（1）193π； （2）315-o ； （3）1485-o ．4．在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？圆的半径为r ，圆心角为n o 所对弧长为：扇形面积为 ：5．弧长公式：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？6．扇形面积公式：扇形面积公式为： oOA B说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；②以上公式中的α必须为弧度单位．例5 （1）已知扇形OAB 的圆心角α为120o ，半径6r =，求弧长AB 及扇形面积。
苏教版数学高一《弧度制》 名师导学案
【课时安排】
1课时
【课堂探究】
一、问题情境
弧长 ，圆心角 ，半径 三者之间有何关系？
二、师生互动
三、建构数学1、1度角：源自1弧度角：2、角度和弧度互化：
3、弧长 ，圆心角 ，半径 之间的关系：
4、扇形的面积公式：
四、数学应用
例1把下列各角从度化为弧度:
执笔人：姚东盐审核人：***2011年11月日
必修4第一章 三角函数1.1.2弧度制第1课时
【教师活动】
【教学目标】
1使学生理解弧度的意义，能正确的进行角度和弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；
2了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系；
3．掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度制解决简单实际问题。
； ； .
例2把下列各角从弧度化为度．
; ;
例3 已知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，求该扇形的面积.
变式：周长为20的扇形，当圆心角为多少弧度时，其面积最大？
【当堂练习】
课本第9页1、2、3、4、5、6
【课堂小结】
【课后作业】课本第10页练习4、5、6、7、8
【教学重难点】
1．理解弧度的意义；
2．正确进行角度和弧度的运算。
【教学准备】
多媒体
【教学活动】
1 问题情境
2 师生互动
3 建构数学
4 数学应用
5 课堂练习
【教学反思】
【学生活动】
【学习目标】
1使学生理解弧度的意义，能正确的进行角度和弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；
2了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系；
苏教版高中数学必修4《弧度制(第2课时)》参考教案
课 题：1.1.2弧度制（二） 教学目的：1．巩固弧度制的理解，熟练掌握角度弧度的换算；掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．2．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力3．通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系． 教学重点：运用弧度制解决具体的问题． 教学难点：运用弧度制解决具体的问题． 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad探究：⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ）⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同。
⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad ∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度7π/65π/44π/33π/25π/37π/411π/62π4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
高中数学必修四《弧度制》教学设计
苏教版必修4第一章三角函数1.1任意角和弧度制第二课时弧度制江苏省盐城中学何莹《弧度制》教学设计深入挖掘数学学科的核心价值，树立以发展学生数学学科核心素养为导向的教学意识，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程——这是我教学设计的根本宗旨．本节课教学的重点就是弧度制概念．一．教学内容解析弧度制在本章的位置：本节知识结构：《弧度制》是必修4第一章第一节第二课时的内容，教学重点是弧度制的概念．本节内容起着承上启下的作用，在弧度制下，任意角的集合和实数集建立起一一对应的关系，为三角函数奠定基础．二．教学目标设置首先，理解1弧度的角及弧度制的定义；掌握角度和弧度的换算公式；了解角的集合和实数集之间一一对应的关系；理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题．其次，以本节数学知识作为载体，为渗透类比的思想、转化化归的思想及数形结合的思想，还有提高学生数学抽象，逻辑推理，直观想像，数学运算和数据分析能力都提供了很好的契机．另外，探究新概念时，树立敢于质疑，善于思考，严谨求实的科学精神；从进制的不统一，认知的冲突引入新的度量制的必要性；从度量的角度引导学生探究从测量长度去度量角，并让学生感受到角的大小仅仅只与弧长和半径的比有关，与半径大小无关，理解弧度制的合理性；推导弧长公式，扇形的面积公式和角与实数的对应，认识到弧度制的优越性；同时，培养学生自主学习习惯，增强同学间相互交流的意识，取长补短，形成良好课堂学习氛围，达到学生主动、全面、健康发展．三．学生学情分析学生已有知识储备上，其一学生熟知角度制，其二学生能体会不同的单位制会给解决问题带来方便，其三学生已经学习了任意角的概念，这是本节课的知识基础．能力上，学生经过高中半个学期的数学思维训练，已经具有一定的学习能力和探索意识，本节课要学习和探究的内容都在学生的最近发展区内．弧度制的概念教学是重点也是难点，在概念的教学中引导学生分析概念生成的必要性、合理性、优越性．四．教学方法分析本节课采用问题驱动式教学，学生探究与教师讲授相结合，结合多媒体辅助教学，提出问题引发学生探究性思维活动，使学生在思考、讨论、交流中经历每个知识点的产生和发展过程．五．教学过程设计分为以下四个教学环节：（一） 创设情境1.角的研究，回顾角度制．设计意图：有人提出，60进制的角度制给运算带来不便，考虑给出新的度量角的单位制度．给出弧度制引入的必要性． 2.角的大小的测量思考1：角的概念推广后，我们如何去测量一个角？问１：测量一个角的大小，除量角器外还能用的工具是什么?问2：能用直尺（有刻度）测量一个角吗？用直尺测量角———用一条线段长来刻画（表示）一个角．设计意图：从测量的角度去引发学生的思考：最简单有效的工具是直尺，用直尺只能量线段的长，如何构造一条线段去刻画角的大小？（二）新课导入----弧度制的建构思考2：用来表示角的大小的这条线段怎样去构造？ 问1:它的两个端点如何选择？问2：这条线段的两个端点都在角的一条边上选显然是不行的，一定是在两条边上各取一点，怎样选呢？（以60角为例）问3：在两条边上，距角的顶点等距离的地方选两点．设计意图：让学生进行一系列尝试，找到初步符合要求的线段．问4：这种方法对于锐角而言可以建立起一一对应，即每一个锐角的大小都可以用对应的线段长之比刻画.对于任意角可行吗？问5：对于1200和2400的这两个角，相对应的线段长是一样的？对于00、3600等终边相同的角，它们对应的线段都一样？设计意图：在肯定部分学生尝试的合理性的同时，引导学生发现其局限性，引发认知冲突，激发学生进一步探究的欲望．思考3：用线段来刻画任意角的大小是不行的，那么用什么量才能反映任意角的大小？问1：能否利用弧线？为什么？问2：角的动态生成过程中，射线上任意一点（顶点除外）绕端点旋转都可以生成一段弧，仅仅利用弧长能否准确刻画角的大小呢？ 学生猜想用弧长与半径的比来刻画角的大小 设计意图：放手让学生探究、尝试，引导学生从角的动态生成过程中观察、抽象，找到“弧线”来刻画角的大小，引导学生利用弧长与半径的比来刻画角的大小． 问3：能否给出你的猜想一个合理的解释呢? 从180n rl p =出发得到180l n r p =?由此可知，弧长与半径的比决定圆心角的大小，欧拉提出：用圆的半径作单位去度量弧．设计意图：给出弧度制的合理性，同时渗透数学史． 思考4:如何定义这种度量角的制度？问:类比角度制，能否给出1弧度角的定义，得出弧度制的相关概念． 设计意图：让学生尝试、完善用准确的数学语言描述数学概念．（三）探索新知，数学运用1.弧度制的相关概念规定：1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角，记作1rad.用弧度作为单位来度量角的单位制叫弧度制．设计意图：明确给出1弧度角的定义．让学生直观感受1弧度角的大小,了解角度的单位不能省略，弧度的单位可以省略；初步感受弧度制下角与实数的对应．2.总结角度与弧度的互化，明确核心公式180π=，以及变形公式：10.01745180rad rad π=≈180157.3rad π=≈练习：特殊角的度数与弧度数的对应表：弧度制下，任意角的集合和实数集建立了一一对应的关系，即每个角都有唯一的实数与它对应，同时每个实数也都有唯一的一个角与它对应。
高中数学 1.1.2《弧度制1》教案 苏教版必修4
1.1.2 弧度制（1）教学目标1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3.记住公式||l rα=（l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）。
教学重、难点弧度与角度之间的换算。
教学过程复习：uiu初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？新课讲解1．弧度角的定义：规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为1rad ． 练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2r 的弧所对的圆心角分别为多少？ 说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。
思考：什么π弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？2．弧度的推广及角的弧度数的计算：规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角α的弧度数的绝对值是rl =||α，（其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径）。
说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。
例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4||4l r r rπαπ-=-=-=-． 3．角度与弧度的换算3602π=rad 180π=rad1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈例题分析：例1 把'3067︒化成弧度．例2 把35πrad 化成度。
例3 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。
（1）终边落在x 轴的非正、非负半轴，y 轴的非正、非负半轴的角的集合。
（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。
例4 将下列各角化为2(02,)k k Z πααπ+≤<∈的形式，并判断其所在象限。
（1）193π； （2）315-； （3）1485-．课堂练习P9 1,2,3,4,5,6课堂小结1．弧度制的定义；2．弧度制与角度制的转换与区别。
2019-2020年高一数学弧度制学案 苏教版
2019-2020年高一数学弧度制学案苏教版教学目标： 1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3.记住公式（为以角作为圆心角时所对圆弧的长，为圆半径）。
4．扇形面积公式及其应用，求扇形面积的最值。
教学重、难点：1.弧度与角度之间的换算。
2.弧长公式、扇形面积公式的应用。
教学过程：一．复习：初中时所学的角度制，是怎么规定角的？二．新课讲解：1．弧度角的定义：规定：练习：圆的半径为，圆弧长为、、的弧所对的圆心角分别为多少？说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。
思考：什么弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？2．弧度的推广及角的弧度数的计算：规定：说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或经常省略，即只写一实数表示角的度量。
3．角度与弧度的换算rad 1=例题分析：例1把化成弧度．例2 把化成度。
例3 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。
（1）终边落在轴的非正、非负半轴，轴的非正、非负半轴的角的集合。
（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。
例4 将下列各角化为的形式，并判断其所在象限。
（1）；（2）；（3）．4．在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？圆的半径为，圆心角为所对弧长为：扇形面积为：5．弧长公式：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？6．扇形面积公式：扇形面积公式为：说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；②以上公式中的必须为弧度单位．例5 （1）已知扇形的圆心角为，半径，求弧长及扇形面积。
（2）已知扇形周长为，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？O A B例6 如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长。
五、课堂练习：1．集合|,,|2,22A k k Z B k k Z ππααπααπ⎧⎫⎧⎫==+∈==±∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭的关系是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）以上都不对。
(新课程)高中数学 第02课时(弧度制)导学案 苏教版必修4
总 课 题任意角、弧度 总课时 第 2 课时 分 课 题弧度制 分课时 第 2 课时 教学目标理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；了解角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系；掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题。
重点难点 弧度的意义，弧度与角度的换算引入新课1、问题：角度是怎样规定的？是否有其它方法来度量角？2、角度的定义：周角的3601为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。
3、弧度的定义4、角度与弧度的换算5、特殊角的弧度数与角度制（1）_____360=︒ (2)rad rad ________1≈=︒(3)︒≈=30.57____1度rad 6、弧长公式、扇形的面积公式例题剖析例1、把下列各角从弧度化为度：（1）53π （2）5.3例2、把下列各角从度化为弧度：（1）︒252 （2）'1511︒例3、已知扇形的周长为cm 8，圆心角为rad 2，求该扇形的面积。
巩固练习1、 把下列各角从角度化为弧度：（1）︒180 （2）︒90 （3）︒45（4）︒30 （5）︒120 （6）︒2702、把下列各角从弧度化为度：（1）π2 （2）2π （3）6π （4）π323、把下列各角从度化为弧度：（1）︒75 （2）︒-210 （3）︒135 （4）'3022︒4、把下列各角从弧度化为度：（1）12π （2）π52 （3）π34- （4）π12-5、若6-=α，则角α的终边在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限6、已知半径为mm 240的圆上，有一段弧的长是mm 500，求此弧所对的圆心角的弧度数。
课堂小结弧度数的定义，一些特殊角的弧度数；弧长公式、扇形的面积公式。
课后训练班级：高一（ ）班 姓名__________一、基础题1、︒1000的角的终边所在的象限为（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2、12π的角化成角度制是（ ） A 、︒15 B 、︒30 C 、︒60 D 、︒753、下列各角中与︒-120角终边相同的角为（ ）A 、π34B 、π65-C 、π34-D 、π674、集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k B Z k k A ,22|,,2|ππααππαα的关系是（ ） A 、B A = B 、B A ⊆ C 、B A ⊇ D 、以上都不对5、在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角（ ）A 、所对的弧长相等B 、所对的弦长相等C 、所对的弧长等于各自的圆的半径D 、所对的弦长等于各自的圆的半径二、提高题6、已知6πα=，角β的终边与α的终边关于直线x y =对称，则角β的集合为____________________.7、角rad 5的终边落在第______象限，角rad 3-的终边落在第______象限。
苏教版高中数学必修四弧度制学案
让学生学会学习
§5.1（2）弧度制
1、1弧度的定义：_____________________________________________
2、圆心角弧度公式：圆半径为r,圆心角α所对弧长为l ，则___________________
3、弧度制与角度制换算关系
4、
5、特殊角的弧度数
6、满足下列条件的角的集合的弧度制表示
终边落在x 轴正半轴上： 终边落在y 轴正半轴上：
终边落在x 轴负半轴上： 终边落在y 轴负半轴上：
终边落在x 轴上： 终边落在y 轴上：
终边落在坐标轴上：
7、象限角的集合表示
第一象限角 第二象限角
第三象限角 第四象限角
例题1、扇形的圆心角为3π，弧长为45
π，扇形的面积为_____________ 例题2、一个扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
思考：已知角α，试分析2α所在象限 (02),r l S
ααπ<<扇形的圆心角为，半径为，弧长为面积为扇形弧长公式_______________扇形面积公式__________________。
苏教版高中数学必修四第三课时弧度制一教案
第三课时 弧度制(一)教学目标：理解1弧度的角、弧度制的定义，掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解.教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算. 教学难点：弧度的概念及其与角度的关系. 教学过程： Ⅰ.课题导入在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢?周角的1360 为1°的角. 这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，今天我们再来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的单位制——弧度制.Ⅱ.讲授新课［师］弧度制的单位符号是rad ，读作弧度.我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad.请同学们考虑一下，周角的弧度数是多少?平角呢?直角呢?因为周角所对的弧长l ＝2πr ，所以周角的弧度数是2πrr ＝2π.同理平角的弧度数是πr r ＝π，直角的弧度是π2 .由此可知，任一0°到360°的角的弧度数x （x ＝lr ），必然适合不等式0≤x ＜2π.角的概念推广后，弧度的概念也随之推广.如果圆心角表示一个负角，且它所对的弧长l ＝4πr 时，这个圆心角的弧度数是多少呢?此时，我们应该先求出这个角的绝对值，然后在其前面放上“－”号，即所求圆心角的弧度数是－l r ＝－4πrr ＝－4π一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零.任一角α的弧度数的绝对值｜α｜＝lr ，其中l 是以角α为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.从定义中我们可以看出，弧度制实质上是用弧长与其半径的比值来反映弧所对圆心角的大小，这个比值与半径的大小有没有关系呢?这个比值与半径的大小无关而只与角的大小有关，即这样定义是合理的.用角度制和弧度制度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)，用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同.下面我们来讨论角度与弧度的换算.因为周角的弧度数是2π，而在角度制下它是360°，所以360°＝2π rad.180°＝π rad 1°＝π180 rad 角度化弧度时用之.1 rad ＝（180π ）° 弧度化角度时用之 Ⅲ.例题分析［例1］把67°30′化成弧度解：∵67°30′＝（6712 ）° ∴67°30′＝π180 rad ×6712 ＝38 π rad. ［例2］把 35 π rad 化成度解：35 π rad ＝35 π×（180π ）°＝35 ×180°＝108°注意：(1)今后用弧度制表示角时，或者说“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或符号“rad ”可以省略不写，而只写这个角的弧度数.(此时的弧度在形式上是不名数，但应当把它理解为名数.如α＝2，即α是2 rad 的角，si n 3表示3 rad 角的正弦，π＝180°即π rad ＝180°).但用角度制表示角时，或者用“度”为单位度量角时，“度”即“°”不能省去.(2)用弧度制表示角时，或者说用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数.(3)今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现k ·360°＋π3 或者2k π－60°一类的写法.Ⅳ.课堂练习课本P 10练习 1、2、3、4、7对于练习中的1题再补充将60°、135°、150°化成弧度；3题再补充将11°15′化成弧度.Ⅴ.课堂小结本节课我们学习了弧度制的定义，角度与弧度的换算公式与方法.应该注意，角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π rad 这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算；三个注意的问题，同学们要切记；特殊角的弧度数，同学们要熟记.Ⅵ.课后作业（一）课本P 10习题 3、6、7 （二）预习内容：课本P 9弧度制(一)1．角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，当终边过点A （1m ，－m ）时，角α是 （ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2．若－π2 ＜α＜β＜π2 ，则α－β的范围是 （ ）A.－π＜α－β＜0B.－π2 ＜α－β＜0 C.－π2 ＜α－β＜πD.－π＜α－β＜π23．设集合M ＝{α|α＝k π2 －π5 ，k ∈Z }，N ＝{α|－π＜α＜π}，则M ∩N 等于 （ ）A.{－π5 ，3π10 }B.{－7π10 ，4π5 }C.{－π5 ，3π10 ，－7π10 ，4π5 }D.{ 3π10 ，－7π10 }4. 下列各组角中，终边相同的角是 （ ）A. k π2 与k π＋π2 (k ∈Z)B.k π±π3 与k π3 (k ∈Z)C.(2k ＋1)π与(4k ±1)π (k ∈Z)D.k π＋π6 与2k π±π6 (k ∈Z)5．若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z ） （ ）A.α＋β＝πB.α－β＝π2C.α－β＝（2k ＋1）πD.α＋β＝(2k ＋1)π 6．在与210°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为_________. 7．4弧度角的终边在第 象限.8．－2312 πrad 化为角度应为 .9．钝角α的终边与它的5倍角的终边关于y 轴对称，则α＝_________. 10．自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此由链条连接，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是多少度？多少弧度？11．如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.弧度制(一)答案1．B 2．A 3．C 4. C 5．D 6．－5π6 7．三 8．－345° 9．5π610．自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此由链条连接，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是多少度？多少弧度？分析：在相同时间内，两轮转动的齿数相同，是解决问题的关键，因此，两轮转过的圈数之比与它们的齿数成反比，使问题得以解决.解：由于大链轮与小链轮在相同时间内转过的齿数相同，所以两轮转过的圈数之比与它们的齿数成反比，于是大轮转过的圈数：小转轮过的圈数=20∶48据此解得当大轮转1周时，小轮转2.4周.故小轮转过的角度为360°×2.4＝864°小轮转过的弧度为864°×π1800 ＝24π5 rad.答：当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是864°，弧度是24π5 rad.11．如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.解：A 点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜3π214分钟后回到原位，∴14θ＝2k π,θ＝2k π7 ，且π2 ＜θ＜3π4 ，∴θ＝4π7 或5π7。
苏教版数学高一学案第12周 第二课时 弧度制
第二课时弧度制（预习案）一、预习目标：1.理解弧度制的意义，能正确进行弧度与角度的换算，熟记常见角的弧度数；2. 了解角的集合与实数之间可以建立起一一对应的关系3.掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并会解决一些简单问题。
二、课前自我检测1.弧度制定义：__________ __ 表示方法：___________________问题1：半径为r的圆中，2弧度的圆心角所对的弧长l=_________;α弧度圆心角所对的弧长l=____________;弧长为l的圆弧所对圆心角α=______________.2弧度数与角度之间的换算：问题2：360o=_________rad 180o=_________rad1o=_________rad 1rad=______度3.弧度制下的弧长和扇形面积公式。
（1）弧长：____ ___（2）扇形面积：_________4常用角度与弧度的换算我思我疑060120135270 30第二课时弧度制（教学简案）一、学生课前预习情况分析1.预习情况抽查2.典型错误剖析二、典型例题探究例1把下列各角从弧度化为角度。
（1）35=______________ (2)3.5=_______________例2 把下列各角从度化为弧度。
（1）252o=_________________________ (2)11o15’=_________ 例3已知扇形的周长为8cm,圆心角为2，求该扇形面积。
变式：已知扇形的周长为8cm,圆心角为60o，求该扇形面积.变式：已知扇形的周长为8cm，面积为24cm，求扇形中心角的弧度数。
三、课堂训练反馈四、课堂小结五、课后作业。
高中数学 1.1.2 弧度制导学案 苏教版必修4(2021年整理)
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1.1.2 弧度制面积公式。
1．弧度制与角度制(1)概念：①规定周角的错误!为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．②长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad 。
用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．（2）弧度与角度的换算：①360°＝2π rad ；②1°＝错误! rad≈0.017 45 rad；③1 rad ＝错误!度≈57.30°。
α＝k ·360°＋错误!（k ∈Z ）这种写法正确吗？为什么?提示：不正确．虽然弧度制与角度制都可度量角的大小，但单位不同，所以不能混用．2．弧长公式及弧度数与实数间的关系(1)扇形的弧长及面积公式：设扇形的半径为r ,弧长为l ，α为圆心角的弧度数，则l ＝|α|r ，扇形的面积S 扇形＝错误!rl ＝错误!|α|r 2。
（2)角的集合与实数集之间的关系：正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为0。
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：即每一个角都对应惟一的一个实数（即这个角的弧度数)；反过来，每一个实数也都对应惟一的一个角（即弧度数等于这个实数的角)．预习交流2(1)将错误!化为角度制是__________,5 rad 是第__________象限角；(2）将54°化为弧度制是__________；(3）地球的赤道半径约为6 370 km ，则赤道上1度的圆心角所对的弧长是__________，1弧度的圆心角所对的弧长是__________．提示:(1)75° 四 (2）错误! (3)错误!km 6 370 km预习交流弧度制与角度制有何区别与联系？提示:区别：（1）单位不同：弧度制是以“弧度”为单位，角度制是以“度”为单位；(2)进位制不同：弧度制是10进制，角度制是60进制；（3）单位“1”不同:弧度制中“1"代表长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，角度制中“1”代表周角的错误!为1度的角．联系：（1)角度与弧度可以相互转化；(2）无论角度制还是弧度制，角的大小都是一个与半径无关的定值；(3）两种单位制下，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应关系.一、角度数与弧度数的换算将下列各角的弧度化为度,度化为弧度：（1）92°30′；(2）－1 080°；（3)－错误!；（4）2.思路分析:对于角度与弧度之间的换算问题，解题的关键是要抓住π＝180°的关系，由比例关系得：弧度数＝度数×错误!,度数＝弧度数×错误!.解：（1）92°30′＝92。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 1.1.2 弧度制》
弧度制教学设计江苏省太湖高级中学〔214125〕翟洪亮1创设情景，引入新制师：上一课，我们学习任意角，通过旋转将角的范围由初中所学的到，推广到任意角，知道角不但可以推广到大于的任意正角，还可以推广到零角、负角，第一次颠覆了我们对角的已有认识,今天将在此根底上再次颠覆大家对角的认识请大家看投影中姚明的简介，结合表格，联系生活，在常用的度量衡有国际公制、英制和中国市制，你能想到长度、质量的单位有哪些？生：毫米〔mm〕、厘米〔cm〕、米〔m〕、千米〔m〕，中国市制有：寸、尺、丈等生：在度量质量的国际公制中常用的单位有：克〔g〕、千克〔g〕等，英制由磅，中国市制有：钱、两、斤等师：这说明在不同地域内不同的单位进制会给人们解决生活问题带来方便，对于角你知道它的单位有哪些？单位之间又是如何进行换算的？生：角的单位有度、分、秒，1度=60分，1分=60秒师：我们知道周角的360分之一为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，那么角是否还有其他换算进制呢？生：也应该有！设计意图通过对长度和质量在不同的区域都有不同换算进制，从而引导学生想到角也应该有不同的换算进制，旨在激发学生去探索新知2探究比值，以旧促新师：在初中学了弧长公式，哪位同学能表达一下？生：在半径为的圆中，圆心角为度的扇形所对的弧长为，所以圆心角为度的扇形所对的弧长为师：很好！在弧长公式中当圆心角确定后，如图1，改变图1半径的大小，你能发现什么？生：发现半径越小，扇形的弧长越短；半径越大，扇形的弧长越长师：请大家计算，，你能发现什么？生：发现为定值，当角不变，的值被唯一确定〔教师用几何画板演示〕师：由此发现：弧长与半径的比值也能确定圆心角的大小再看= 度？生：要将除以60得，所以师：要先除以60，再转化为十进制，因此有人提出，角度制给十进制的运算带来不便，需要创立新的度量角的单位，你认为如何定义最合理呢？生：可以用圆的半径去度量弧师：你的想法与数学家欧拉的想法不谋而合，瑞士数学家欧拉在他1748年出版的?无穷小分析概论?第八章引入弧度概念但是弧度的名字——radian首次出现在正式印刷物上是在1875年 ,由爱尔兰的詹姆斯•汤姆森将半径〔radiu〕和角〔ange〕两个英语单词组合而成欧拉提出：用圆的半径作单位去度量弧规定：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作用弧度作为单位来度量角的单位制叫弧度制设计意图两大原因：〔1〕弧长与半径的比值可刻画角的大小；〔2〕60进制给十进制换算带来不便让学生感受到要创立新的进制与十进制接轨的迫切性，从而让学生意识到最合理的方法就是用半径去刻画角的大小，说明弧度制产生的合理性3动手操作，强化概念师：请大家用圆规和纸条或棉线〕作出的角生：如图2，在平面上以点为圆心，以长为半径作圆，Array在圆周上用纸条截取，那么为的角〔几何画板演示〕师：请大家再用圆规和纸条作出的角生：在圆周上用纸条截取，那么为的角〔几何画板演示〕师：请大家再用圆规和纸条作出的角生：在圆周上用纸条顺时针截取，那么为的角〔几何画板演示〕师：从上面作法可知，用弧度表示角的大小时，只要不引起误解，可以省略单位，例如，，可分别写成，，为了便于国际交流，不同进制的度量单位之间，可以互相换算如在长度单位中有：1米=3尺；在质量单位中有：1斤=500克那么角的角度制与弧度制之间又该如何进行换算呢？先请大家用量角器度量一下角约为多少度？生：大约是57度设计意图通过动手作图去理解弧度制概念，用量角器测量1弧度的角，既让学生感受1弧度角的大小，也为引出角度制与弧度制的换算做好准备5两制互化，发现规律师：为什么呢？生：由公式可知，当时，其中圆心角度师：由此可见，度，那么1度等于多少弧度呢？生：师：对此，如何理解更好呢？生：半径为圆的圆的周长，由弧度制定义得，所以，即，度师：通过整个圆周角来理解，既直观，又形象这符合我们思维的习惯，在角度制中，整个圆周角是，因此角为圆周角的360分之一；同样，在弧度制中，整个圆周对应的角是，所以，所以，度设计意图先从学生熟悉的弧长公式中寻找新知的生长点，后利用弧度制定义，从特殊情形圆周角整体入手，利用直观加深学生理解，便于学生接受师：把以下角从弧度化为度：〔1〕；〔2〕3生：〔1〕；〔2〕师：我们既要能将角从弧度化为度，也要能将角从度化为弧度请把以下各角从度化为弧度：〔1〕；〔2〕；〔3〕生：〔1〕；〔2〕；〔3〕师：请大家完成下表：上述问题中，大家能发现什么？生：随着角的范围推广到任意角，发现正角对应正实数；零角对应实数0；负角对应负实数同样任给一个实数，也对应惟一的一个角师：这说明，在弧度制下角的集合与实数集之间构成图3一一对应关系：每一个角都对应惟一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应惟一的一个角〔如图3〕这是不是再一次颠覆我们对角的认识生：是！真的想不到啊！设计意图通过角度制与弧度制的互化，强化所学新知，利用表格中所填数值的对称性，就象设置在数轴上一样，便于学生直观感受到在弧度制下角的集合与实数集之间的对应关系6公式优化，追根溯源师：因为角有正负，而，所以角所对的弧之间关系应为如图4图4，能用哪些方法求出的弧度数？生1：用量角器量出角度，由计算弧长，计算可得弧度数生2：用量角器量出角度，通过可得弧度数生3：用圆规，以点为圆心，以为半径作圆弧，分别交于点，交于点计算师：既然同一个圆心角所对的弧长与它所在圆的半径的比值是一个常数，与圆半径的大小无关，那么作圆时，取时，那么，此时弧长即为的弧度数，可简化计算设计意图通过对公式的两次优化，首先说明加绝对值得必要性，然后要求学生用不同方法得到的弧度，旨在拓展学生思维，提升学生能力取半径为单位长度，既可简化计算，也为用单位圆作为工具去研究任意角的三角函数、诱导公式，以及三角函数图象和性质奠定根底师：在初中时，我们已经学习弧长公式为，扇形的面积公式为学习弧度制后，弧长公式变为，很简洁那么扇形的面积公式又是什么呢？生：扇形的面积公式为师：怎么理解呢？生：按扇形所占圆的比例来理解前者占圆面积的，是角度值的比；后者占圆面积的，是弧度值的比师：很好！还能怎么理解呢？生：扇形的面积公式，可以把扇形视为三角形，把视为三角形的底边，半径视为高，很容易记忆师：你是怎么想到的？图5生：从公式形式想到的，如果扇形很小，也可以当作三角形！师：这就是数学直觉！如图5，我们把扇形分成份，当趋向无穷大时，每一份所对应的扇形可以近似地看成一个以半径为腰，弧长为底的等腰三角形，它们的高都为半径，所以扇形的面积，这是极限分割的数学思想因此，可把扇形直观地视为三角形来记忆它的面积．下面请大家思考例题：扇形的周长为，圆心角为，求该扇形的面积．生：设扇形的半径为，弧长，那么解得故扇形的面积为．设计意图将角度制下扇形的面积公式与弧度制下扇形的面积公式进行比照，再次体会弧度制的优越性．然后由扇形的面积公式启发学生联想到三角形的面积公式，从而探究出极限分割的思想是两者面积公式形式上一致的根源所在．师：本节课我们共同学习了哪些内容，谁来总结一下？生：1弧度概念；2弧度制与角度制相互转化；3弧长公式与扇形面积公式在弧度制下的优化．从中体会到化归与转化，数形结合和分论讨论等数学思想．师：课后作业完成相应练习，下课，谢谢大家，再见！。
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【课时安排】
1课时
【课堂探究】
一、问题情境
弧长 ，圆心角 ，半径 三者之间有何关系？
二、师生互动
三、建构数学
1、1度角：
1弧度角：
2、角度和弧度互化：
3、弧长 ，圆心角 ，半径 之间的关系：
4、扇形的面积公式：
四、数学应用
例1把下列各角从度化为弧度:
； ； .
例2把周长为8cm，圆心角为2rad，求该扇形的面积.
变式：周长为20的扇形，当圆心角为多少弧度时，其面积最大？
【当堂练习】
课本第9页1、2、3、4、5、6
【课堂小结】
【课后作业】课本第10页练习4、5、6、7、8
【教学重难点】
1．理解弧度的意义；
2．正确进行角度和弧度的运算。
【教学准备】
多媒体
【教学活动】
1 问题情境
2 师生互动
3 建构数学
4 数学应用
5 课堂练习
【教学反思】
【学生活动】
【学习目标】
1使学生理解弧度的意义，能正确的进行角度和弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；
2了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系；
执笔人：姚东盐审核人：***2011年11月日
必修4第一章 三角函数1.1.2弧度制第1课时
【教师活动】
【教学目标】
1使学生理解弧度的意义，能正确的进行角度和弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；
2了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系；
3．掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度制解决简单实际问题。