与圆的切线有关的计算与证明

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切线性质定理证明过程,证明圆的切线的几种方法

切线性质定理证明过程，证明圆的切线的几种方法切线长度定理:从圆外的一点引向圆的两条切线长度相等，圆心与此点的连线平分两条切线的夹角。

证明圆的切线的性质定理我们大多数情况下用反证法来证明切线的性质定理：假设圆O的切线l与OA不垂直，作OM垂直于l于M，因“垂线段短”，故OA＞OM，即圆心到切线的距离小于半径，这与“切线到圆心的距离等于半径”矛盾，故直线l与圆O一定垂直。

圆的切线的性质切线的主要性质有以下几点：1、切线和圆唯有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于经过切点的半径；4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心；6、从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项以上内容是圆的切线的性质定理及其证明方法。

掌握和熟悉这一重要内容和核心考点，对考生处理数学几何问题很有帮助。

为此，考生必须努力学习。

连接圆心和切点，按照直线与圆相切的定义，可证切线与过切点的半经垂直证明圆的切线的迅速方式？1、已知条件中直线与圆若有公共点，且存在连接公共点的半径，可直接按照“经过直径的一端,还垂直于这条直径的直线是圆的切线”来证明。

口诀是“见半径，证垂直”。

2、条件中若给出了直线和圆的公共点，但没有给出过这个点的半径，则连结公共点和圆心，然后按照“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，口诀是“连半径，证垂直”。

3、已知条件若没有给出了直线和圆的公共点，则过圆心向这条直线引垂线，然后按照“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，口诀是“作垂直，证半径”。

如何证明圆的切线？切线的判定定理:通过半径外端并垂直于该半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理:圆的切线垂直于通过切点的半径。

根据这两个定理，我们可以得到证明圆的切线在大多数情况下的思路。

1、连半径，证垂直2、作垂线，证半径圆如何正切线？相切圆有四种方法:1。

专题证明圆的切线的常用方法(六大题型)(解析版)

（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》专题证明圆的切线的常用的方法★★★方法指引：证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线作法：1、有交点：连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称：“有交点，连半径，证垂直”.2、无交点：作垂直、证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称：“无交点，作垂直，证半径”.类型一：有公共点：连半径，证垂直●●【典例一】（2022•雁塔区校级模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在直径AB 上（D 与A ，B 不重合），CD ⊥AB ，且CD ＝AB ，连接CB ，与⊙O 交于点F ，在CD 上取一点E ，使得EF ＝EC ．求证：EF 是⊙O 的切线；【分析】连接OF ，根据垂直定义可得∠CDB ＝90°，从而可得∠B +∠C ＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC ，从而可得∠OFB +∠EFC ＝90°，最后利用平角定义可得∠OFE ＝90°，即可解答；【解答】证明：连接OF ，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠B +∠C ＝90°，∵OB ＝OF ，EF ＝EC ，∴∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC，∴∠OFB+∠EFC＝90°，∴∠OFE＝180°﹣（∠OFB+∠EFC）＝90°，∵OF是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线：【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式1-1】（2022•澄城县三模）如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC＝∠D．求证：BD是⊙O的切线；【分析】证明∠ABD＝90°，根据切线的判定可得BD与⊙O相切；【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DG∥BC，∴∠AGE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠AEG＝90°，又∵∠A＝∠D，∠AEG＝∠DEB，∴∠D+∠DEB＝90°，∴∠DBE＝90°，∴AB⊥BD，∵AB为直径，∴BD与⊙O相切；【点评】此题考查了切线的判定，垂径定理，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定．【变式1-2】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，CD⊥AB于点D，点E是圆外一点，CA平分∠ECD．求证：CE是⊙O的切线．【分析】利用切线的判定定理证明∠OCE＝90°即可得出结论．【解答】证明：∵CA平分∠ECD，∴∠ECA＝∠DCA．∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∴∠ECA+∠CAD＝90°．∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO，∴∠ECA+∠ACO＝90°，即∠OCE＝90°，∴OC⊥EC，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，熟练应用圆的切线的判定定理是解题的关键．【变式1-3】（2022秋•阳谷县校级期末）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．（1）求证：MN是半圆的切线．（2）求证：FD＝FG．【分析】（1）欲证明MN是半圆的切线，只需证得∠MAB＝90°，即MA⊥AB即可；（2）根据圆周角定理推论得到∠ACB＝90°，由DE⊥AB得到∠DEB＝90°，则∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，又D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，得到∠3＝∠5，于是∠1＝∠4，利用对顶角相等易得∠1＝∠2，则有FD＝FG．【解答】证明：（1）如图，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°．又∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即∠MAB＝90°，∴MA⊥AB．∴MN是半圆的切线．（2）∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，而DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，∵D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，∴∠3＝∠5，∴∠1＝∠4，而∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴FD＝FG．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点，并且与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理及其推论、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定．【变式1-4】如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．（3）连接BE，求BE的长．【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到∠OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC＝PB ＝6，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．（3）延长PB、DE相交于点F，证明△PED≌△PEF（ASA），由全等三角形的性质得出PD＝PF＝10，DE ＝EF，求出DF的长，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵DE⊥PE，∴∠DEO＝90°，∵∠EDB＝∠EPB，∠BOE＝∠EDB+∠DEO，∠BOE＝∠EPB+∠OBP，∴∠OBP＝∠DEO＝90°，∴OB⊥PB，∴PB为⊙O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB＝6，DB＝8，根据勾股定理得：PD=10，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴PC＝PB＝6，∴DC＝PD﹣PC＝10﹣6＝4；在Rt△CDO中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2＝r2+42，解得：r＝3，则圆的半径为3．（3）延长PB、DE相交于点F，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴OP平分∠CPB，∴∠DPE＝∠FPE，∵PE⊥DF，∴∠PED＝∠PEF＝90°，又∵PE＝PE，∴△PED ≌△PEF （ASA ），∴PD ＝PF ＝10，DE ＝EF ，∴BF ＝PF ﹣PB ＝10﹣6＝4，在Rt △DBF 中，DF==∴BE =12DF =【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．●●【典例二】如图，△ABC 是直角三角形，点O 是线段AC 上的一点，以点O 为圆心，OA 为半径作圆．O 交线段AB 于点D ，作线段BD 的垂直平分线EF ，EF 交线段BC 于点．（1）若∠B ＝30°，求∠COD 的度数；（2）证明：ED 是⊙O 的切线．【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠A ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA ＝∠A ＝60°，于是得到∠COD ＝∠ODA +∠A ＝120°；（2）根据线段垂直平分线的性质得到∠EDB ＝∠B ＝30°，求得ED ⊥DO ，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】（1）解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴∠A ＝60°，∵OD ＝OA，∴∠COD＝∠ODA+∠A＝120°；（2）证明：∵EF垂直平分BD，∴∠EDB＝∠B＝30°，∴∠EDO＝180°﹣∠EDB﹣∠ODA＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴ED⊥DO，∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式2-1】如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=CD=DB，DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据已知条件得到∠BOD=13×180°=60°，求得∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，求得∠EDA＝60°，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】证明：连接OD，∵AC=CD=DB，∴∠BOD=13×180°=60°，∵CD=DB，∴∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式2-2】如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据圆周角定理的推论得到∠ABC＝90°，根据角平分线的性质求出∠DBE＝45°，根据圆周角定理得到∠DOC，根据平行线的性质求出∠ODE＝90°，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝45°，∴∠DOC＝2∠DBE＝90°，∵DE∥AC，∴∠ODE＝∠DOC＝90°，∴DE是⊙O的切线；【点评】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理以及正方形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．【变式2-3】（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC＝4，∠OAC＝60°．（1）求∠AOC的度数；（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且S△PAC=PC为⊙O的切线；【分析】（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，则∠AOC＝60°；（2）由等边三角形的性质以及勾股定理得出CD的长，再利用三角形外角的性质以及等腰三角形的性质得出∠PCA＝30°，进而得出答案；【解答】（1）解：在△OAC中，∵OA＝OC＝4，∠OAC＝60°，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC＝60°；（2）证明：过点C作CD⊥AO于点D，∵△AOC是等边三角形，CD⊥AO，∴AD＝DO=12OA＝2，∠ACO＝60°，∴CD∵S △PAC ＝∴12PA •CD ＝∴PA ＝4，∴PA ＝AC ，∴∠P ＝∠PCA =12∠OAC ＝30°，∴∠PCO ＝∠PCA +∠ACO ＝30°+60°＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 为⊙O 的切线．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，切线的判定，熟练掌握相关的性质和判定是解决问题的关键．【变式2-4】（2023•门头沟区二模）如图，AB 是⊙O 直径，弦CD ⊥AB 于E ，点F 在CD 上，且AF ＝DF ，连接AD ，BC ．（1）求证：∠FAD ＝∠B（2）延长FA 到P ，使FP ＝FC ，作直线CP ．如果AF ∥BC ．求证：直线CP 为⊙O 的切线．【分析】（1）根据垂径定理、圆周角定理可得∠ACD ＝∠ACD ＝∠B ，根据等腰三角形的性质可得∠FAD＝∠FDA，进而可得∠FAD＝∠B；（2）根据平行线的性质以及三角形内角和定理可得∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，进而得到∠CFP＝60°，再利用等边三角形的性质可得∠PCO＝60°+30°＝90°，由切线的判定方法可得结论．【解答】证明：（1）如图，连接AC，∵AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，∴AC=AD，∴∠ACD＝∠ACD＝∠B，∵AF＝FD，∴∠FAD＝∠FDA，∴∠FAD＝∠B；（2）如图，连接OC，∵AF∥BC，∴∠FAB＝∠B，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA，∵∠AED＝90°，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，∴∠CFP＝60°，∵FP＝FC，∴△CFP是等边三角形，∴∠PCF＝60°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝30°，∴∠OCD＝30°，∴∠PCO＝60°+30°＝90°，即OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理、平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握切线的判定方法，圆周角定理是正确解答的前提．●●【典例三】如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，延长EC ，AB 交于点F ，∠ECD ＝∠BCF ．求证：CE 为⊙O 的切线；【分析】连接OC ，BD ，可推出EF ∥BD ，进而可证CD =BC ，进而得出CE 为⊙O 的切线；【解答】证明：如图1，连接OC ，BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵CE ⊥AE，∴∠E＝∠ADB，∴EF∥BD，∴∠ECD＝∠CDB，∠BCF＝∠CBD，∵∠ECD＝∠BCF，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD=BC，∴半径OC⊥EF，∴CE为⊙O的切线；【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，圆的切线判定，解决问题的关键是作合适的辅助线．【变式3-1】（2022秋•阿瓦提县校级期末）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．【分析】连接OD，根据OA＝OB，CD＝BD，得出OD∥AC，∠ODE＝∠CED，再根据DE⊥AC，即可证出OD⊥DE，从而得出答案．【解答】证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴CD＝BD，∵OA＝OB，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠CED．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°．∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定，是一道常考题型．【变式3-2】已知，如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【分析】（1）连接CD，如图，根据圆周角定理，由BC为直径得到∠BDC＝90°，然后根据等腰三角形的性质得AD＝BD；（2）连接OD，先得到OD为△ABC的中位线，再根据三角形中位线性质得OD∥AC，而DE⊥AC，则DE⊥OD，然后根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线．【解答】（1）证明：连接CD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∴AD＝BD，即点D是AB的中点；（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：连接OD，∵AD＝BD，OC＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，而DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE为⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．【变式3-3】如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知∠B＝30°，CD＝4，求线段AB的长．【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，而∠OAD＝∠ODA，则∠ODA＝∠CAD，于是判断OD∥AC，由于∠C＝90°，所以∠ODB＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由∠B＝30°得到∠BAC＝60°，则∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC＝Rt△ABC中，根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AB＝【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∴∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，DC＝4，∴AC=＝在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．【变式3-4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．【分析】（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE＝∠DEA＝90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，有AD＝2DE；在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，有BD＝2AD＝4DE，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°．∵∠DBC＝30°，∠BDC＝60°，∴∠BDE＝120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°．∴∠ABD＝∠EAD＝30°．∵在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE．∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．【点评】此题主要考查了切线的判定，角平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，构造出直角三角形是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．●●【典例四】（2022•城关区一模）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．求证：PC是⊙O的切线；【分析】可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线；【解答】解：如图，连接OC、BC，∵⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．∴OC=OB=6，OP=OB+BP=6+4=10，∴OC2+PC2=62+82=100，OP2=102=100，∴OC2+PC2=OP2，∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；【点评】本题考查圆的切线的判定和勾股定理逆定理，利用勾股定理的逆定理证明垂直是解决问题的关键．【变式4-1】如图，AD, BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD=2AD=8 ,点C是BD的延长线上的一点，CD=2，求证：AC是⊙O的切线.【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可.【解答】证明:连接AB，∵AD⊥BD，且BD=2AD=8 ，∴AB为直径，AB2 =82+42 =80，∵CD=2，AD=4 ，∴AC2 =22 ＋42=20，∵CD＝2，BD=8,∴BC=102=100，∴AC2+AB2=CB2，∴∠BAC=90° ，∴AC是⊙O的切线【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形.【变式4-2】如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．【分析】先根据圆周角定理得到AB为⊙O的直径，再利用勾股定理计算出AB、AC，接着利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，所以AC⊥AB，然后根据切线的判定定理得到结论．【解答】证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∵BD ＝2AD ＝8，∴AD ＝4，在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2+BD 2＝42+82＝80，在Rt △ADC 中，AC 2＝AD 2+CD 2＝42+22＝20，∵BC 2＝（2+8）2＝10，∴AC 2+AB 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形，∠BAC ＝90°，∴AC ⊥AB ，∵AB 为直径，∴AC 是⊙O 的切线．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、勾股定理和勾股定理的逆定理．●●【典例五】（2022•鄞州区校级开学）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上的两点，连接BC ，DC ，BC ＝CD ，CE ⊥DA 交DA 的延长线于点E ．求证：CE 是⊙O 的切线；【分析】连接OD ，OC ，证得△COD ≌△COB ，可得∠OCD ＝∠BCO ，从而得到∠ADC ＝∠DCO ，进而得到DA ∥CO ，利用切线的判定定理即可求证；【解答】证明：连接OD ，OC，如图，在△COD和△COB中，OD=OBOC=OC，CD=CB∴△COD≌△COB（SSS），∴∠OCD＝∠BCO，∵CO＝BO，∴∠B＝∠BCO，∵∠B＝∠ADC，∴∠ADC＝∠DCO．∴DA∥CO，∴∠E+∠ECO＝180°．∵CE⊥EA，∴∠E＝90°．∴∠ECO＝90°，∴EC⊥CO，∵CO是⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线；【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识是解题的关键．【变式5-1】如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．求证：CD是⊙O的切线；【分析】连接OD，利用SAS得到三角形COD与三角形COB全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ODC 为直角，即可得证；【解答】证明：如图，连接OD．∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB，在△COD和△COB中，OC=OC∠COD=∠COB，OD=OB∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；【点评】此题考查了切线的判定和性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．【变式5-2】（2022秋•新抚区期末）如图，AB为⊙O的直径，四边形OBCD是矩形，连接AD，延长AD 交⊙O于E，连接CE．求证：CE为⊙O的切线．【分析】连接OC、BE，根据矩形性质和圆半径相等，推出∠CDE＝∠AEO，进而得到OP＝CP，然后根据OB∥CD，可以推出∠COE＝∠BOC，最后通过证明△BOC≌△EOC即可求解．【解答】证明：如图：连接OC、BE，OE，CD交于点P，∵四边形OBCD是矩形，∴OB∥CD，∠OBC＝90°，OB＝CD，∵OB∥CD，∴∠A＝∠CDE，∵在⊙O中，OA＝OB＝OE，∴OE＝CD，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∴∠CDE＝∠AEO，∴DP＝PE，∵OE＝CD，∴OP＝CP，∴∠COE＝∠DCO，∵OB∥CD，∴∠DCO＝∠BOC，∴∠COE＝∠BOC，在△BOC和△EOC中，OB=OECO=CO，∠BOC=∠COE∴△BOC≌△EOC（SAS），∴∠CEO＝∠OBC＝90°，∴CE⊥OE，又∵OE为⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线．【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等众多知识点，熟悉掌握以上知识点是解题关键．【变式5-3】（2022•建邺区二模）如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接AC交⊙O于点P，若AP BF＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AF，根据菱形的性质得到∠ACF＝∠ACE，根据全等三角形的性质得到∠AFC＝∠AEC，推出OA⊥AE，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接BP，根据圆周角定理得到∠APB＝90°，求得AC＝2AP＝【解答】（1）证明：连接AF，∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACF＝∠ACE，在△ACF与△ACE中，CF=CE∠ACF=∠ACEAC=AC，∴△ACF≌△ACE（SAS），∴∠AFC＝∠AEC，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵AB∥DC，∴∠BAE+∠AEC＝90°，∴∠BAE＝90°，∴OA⊥AE，∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接BP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AB＝CB，AP=∴AC＝2AP＝设⊙O的半径为R，∵AC2﹣CF2＝AF2，AB2﹣BF2＝AF2，∴2−(2R−1)2=(2R)2−12，∴R=32（负值舍去），∴⊙O的半径为3 2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．类型二：无公共点：作垂直，证半径●●【典例六】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD，从而证得结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∵圆心到直线的距离等于半径，∴AC是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．【变式6-1】如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案．【解答】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴ON为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM＝ON是解题关键．【变式6-2】如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE．（1）求证：OB与⊙D相切；（2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长．【分析】（1）过点D作DF⊥OB于点F，先由切线的性质得DE⊥OA，则由角平分线的性质得DF＝DE，即可证得结论；（2）过E作EG⊥OD于G，先由勾股定理求出OD＝5，再由面积法求出EG=125，然后由勾股定理求出DG=95，最后由勾股定理求出CE即可．【解答】（1）证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，如图所示：∵⊙D与OA相切于点E，∴DE⊥OA，∵OC平分∠AOB，∴DF＝DE，又∵DF⊥OB，∴OB与⊙D相切；（2）解：过E作EG⊥OD于G，如图所示：由（1）得：DE⊥OA，∴∠OED＝90°，∵OE＝4，DE＝3，∴OD=5，∵EG⊥OD，∴12OD×EG=12OE×DE，∴EG=OE×DEOD=4×35=125，∴DG===9 5，∴CG＝CD+DG＝3+95=245，∴CE=【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线．【变式6-3】如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R．【分析】（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE＝OA即可证得结论．（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，继而可得出半径．【解答】（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∵OA为⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，∴CD是⊙O的切线．（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，AB＝DF，又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9﹣4＝5，∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD+BC＝4+9＝13，在Rt△DFC中，DC2＝DF2+FC2，∴DF=12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R是6．【点评】此题考查了切线的性质、角平分线的性质及勾股定理的知识，证明第一问关键是掌握切线的判定定理，解答第二问关键是熟练切线的性质．【变式6-4】（2022秋•清原县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O 经过点C 且与AB 边相切于点E ，∠FAC =12∠BDC ．（1）求证：AF 是⊙O 的切线；（2）若BC ＝6，AB ＝10，求⊙O 的半径长．【分析】（1）作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，证明AC 是∠FAB 的平分线，进而根据OH ＝OE ，OE ⊥AB ，可得AF 是⊙O 的切线；（2）勾股定理得出AC ，设⊙O 的半径为r ，则OC ＝OE ＝r ，进而根据切线的性质，在Rt △OEA 中，勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：如图，作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD =AD =12AB ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∵∠BDC ＝∠CAD +∠ACD ＝2∠CAD ，又∵∠FAC =12∠BDC ，∴∠FAC ＝∠CAD ，即AC 是∠FAB 的平分线，∵点O 在AC 上，⊙O 与AB 相切于点E ，∴OE ⊥AB ，且OE 是⊙O 的半径，∴OH ＝OE ，OH 是⊙O 的半径，∴AF 是⊙O 的切线；（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，∴AC==8，∵BE，BC是⊙O的切线，∴BC＝BE＝6，∴AE＝10﹣6＝4设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，在Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，∴16+r2＝（8﹣r）2，∴r＝3．∴⊙O的半径长为3．【点评】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．1.如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝BE，点P在BA的延长线上，连接AE交⊙O于点D，过点D作PC⊥BE垂足为点C．求证：PC与⊙O相切；【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠BEA，∠BAE＝∠ODA，等量代换得到∠ODA＝∠BEA，证明OD∥BE，根据平行线的性质得到PC⊥OD，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵OA＝OD，∴∠BAE＝∠ODA，∴∠ODA＝∠BEA，∴OD∥BE，∵PC⊥BE，∴PC⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴PC与⊙O相切；【点评】本题考查的是切线的判定、解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是BC的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．【分析】（1）连接OD，如图，先利用垂径定理得到OD⊥BC，再根据平行线的性质得到OD⊥DE，然后根据切线的判定方法得到结论；（2）先根据圆周角定理得到∠B＝90°，则∠ACB＝45°，再根据平行线的性质得到∠E＝45°，则可判断△ODE 为等腰直角三角形，于是可求出OE，然后计算OE﹣OC即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵点D是BC的中点，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴直线DE与⊙O相切；（2）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠B＝90°，∵∠A＝45°，∴∠ACB＝45°，∵BC∥DE，∴∠E＝45°，而∠ODE＝90°，∴△ODE为等腰直角三角形，∴OE=＝∴CE＝OE﹣OC＝5．【点评】本题考查了切线的性质与判定：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和等腰直角三角形的性质．3．（2023•东城区校级模拟）如图，⊙O的半径OC与弦AB垂直于点D，连接BC，OB．（1）求证：2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）分别延长BO、CO交⊙O于点E、F，连接AF，交BE于G，过点A作AM⊥BC，交BC延长线于点M，若G是AF的中点，求证：AM是⊙O的切线．【分析】（1）先根据垂径定理得到AC=BC，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠ABC，然后利用互余关系得∠BOD+∠OBD＝90°，从而得到结论；（2）如图，连接OA，根据垂径定理得到BE⊥AF，再根据圆周角定理得到∠CAF＝90°，则可判断BE ∥AC，所以∠ABE＝∠BAC，接着证明∠BAO＝∠CBA得到OA∥BC，根据平行线的性质得到AM⊥OA，然后根据切线的判断方法得到结论．【解答】证明：（1）∵OD⊥AB，∴AC=BC，∠ODB＝90°，∴∠BOC＝2∠ABC，∵∠BOD+∠OBD＝90°，∴2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）如图，连接OA，∵G是AF的中点，∴BE⊥AF，∵CF为直径，∴∠CAF＝90°，∴CA⊥AF，∴BE∥AC，∴∠ABE＝∠BAC，∴AC=BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO，∴∠BAO＝∠CBA，∴OA∥BC，∵AM⊥BC，∴AM⊥OA，而OA为⊙O的半径，∴AM是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理．4．（2022•思明区校级二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC 延长线于点E，若BC平分∠ACE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OB，由条件可以证明OB∥DE，从而证明OB⊥BE；（2）由垂径定理求出AD长，从而由勾股定理可求AC长．【解答】（1）证明：连接OB，∵″OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BCE＝∠OCB，∴∠OBC＝∠BCE，∴OB∥DE，∵AC是⊙O直径，∴AD⊥DE，∵BE∥AD，∴BE⊥DE，∴OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE是⊙O切线；（2）解：延长BO交AD于F，∵∠D＝∠DEB＝∠EBF＝90°，∴四边形BEDF是矩形，∴BF⊥AD，DF＝BE＝3，∴AD＝2DF＝6，∵AC2＝AD2+CD2，∴AC2＝62+22＝40，∴AC＝∴⊙O【点评】本题考查切线的判定，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，用到的知识点较多，关键是熟练掌握知识点，并能灵活应用．5．（2023•封开县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．【分析】（1）连接OD，由AC＝AB，根据等边对等角得到一对角相等，再由OD＝OB，根据等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得OD与AC平行，又EF垂直于AC，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到EF与OD也垂直，可得EF为圆O的切线；（2）连接AD，由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB＝90°，即AD与BC垂直，又AC＝AB，根据三线合一得到D为BC中点，由BC求出CD的长，再由AC的长，利用勾股定理求出AD的长，三角形ACD的面积有两种求法，AC乘以DE除以2，或CD乘以AD除以2，列出两个关系式，两关系式相等可求出DE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠C＝∠OBD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠OBD，∴∠1＝∠C，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，且BC＝6，∴CD＝BD=12BC＝3，在Rt△ACD中，AC＝AB＝5，CD＝3，根据勾股定理得：AD=4，又S△ACD =12AC•ED=12AD•CD，即12×5×ED=12×4×3，∴ED=12 5．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，三角形面积的求法，以及切线的判定，其中证明切线的方法为：有点连接圆心与此点，证垂直；无点过圆心作垂线，证明垂线段长等于圆的半径．本题利用的是第一种方法．6．（2023•宁德模拟）如图，OM 为⊙O 的半径，且OM ＝3，点G 为OM 的中点，过点G 作AB ⊥OM 交⊙O 于点A ，B ，点D 在优弧AB 上运动，将AB 沿AD 方向平移得到DC ；连接BD ，BC ．（1）求∠ADB 的度数；（2）如图2，当点D 在MO 延长线上时，求证：BC 是⊙O 的切线．【分析】（1）连接AO ，BO ，先根据特殊角的正弦值可得∠OAG ＝30°，再根据等腰三角形的性质可得∠OAG ＝∠OBG ＝30°，从而可得∠AOB ＝120°，然后根据圆周角定理即可得；（2）连接AO ，BO ，CO ，先证出四边形ABCD 是平行四边形，再根据等边三角形的判定与性质可得AB ＝AD ，根据菱形的判定可得四边形ABCD 是菱形，根据菱形的性质可得CB ＝CD ，然后根据SSS 定理证出△COB ≌△COD ，根据全等三角形的性质可得∠OBC ＝∠ODC ＝90°，最后根据圆的切线的判定即可得证．【解答】（1）解：如图1，连接AO ，BO ．∵点G 为OM 的中点，且OM ＝3，∴OG =12OM =32，OA ＝OB ＝OM ＝3，∵AB ⊥OM ，在Rt △AOG 中，OG =12OA ．∴∠OAG ＝30°，又∵OA ＝OB ，∴∠OAG＝∠OBG＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠ADB=12∠AOB=60°．（2）证明：如图2，连接AO，BO，CO，由平移得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OM⊥AB，点D在MO延长线上，∴DM⊥CD，∵OA＝OB，AB⊥OM，∴AG＝BG，∴DM垂直平分AB，∴AD＝BD，∵∠ADB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，在△COB和△COD中，CB=CDOB=ODOC=OC，∴△COB≌△COD（SSS），∴∠OBC＝∠ODC＝90°，又∵OB是⊙O的半径，。

中考复习证明圆的切线的两种方法

中考复习证明圆的切线的两种方法证明圆的切线有两种方法，其中一种是通过切线与半径的关系来证明，另一种是通过圆的切线与半径的垂直关系来证明。

首先，我们来看第一种方法。

1.通过切线与半径的关系证明：设圆的圆心为O，半径为r，切线与圆的切点为A。

由圆的性质可知，半径与切线在切点处垂直，因此OA⊥TA。

又因为同一条直线上的两个垂直角相等，所以∠OTA=90°。

设切线与半径的交点为B，连接OB。

由于切线只有一个触点，所以TA=TB=r，且AB为直径。

在△OAB中，∠OAB=90°，所以角OAB也是直角，即AB垂直于OA。

综上所述，切线与半径在切点处垂直，即切线是与半径垂直的直线。

接下来，我们来看第二种方法。

2.通过圆的切线与半径的垂直关系证明：设圆的圆心为O，半径为r，切线与圆的切点为A。

由圆的性质可知，切线与半径在切点处垂直，即OA⊥AT。

在△OAT中，角AOT是圆心角，它对应的弧AT是它所对的弧，所以∠AOT=1/2arc(AT)。

而角AOT是直角，所以∠AOT=90°。

所以1/2arc(AT)=90°，即arc(AT)=180°，即AT是整个圆的弧。

同理可知切线与半径相交于切点处的弧也是整个圆的弧。

所以切点处的弧为整个圆的弧，即切线与半径相交于切点处的弧都是整个圆的弧。

综上所述，切线与半径在切点处相交的弧都是整个圆的弧，即切线与半径在切点处垂直。

综合两种方法的证明，我们可以得出圆的切线与半径在切点处垂直，并且切线与半径相交于切点处的弧都是整个圆的弧。

这就是证明圆的切线的两种方法的过程。

注：以上只是两种常用的证明方法，实际上还有其他一些方法来证明圆的切线的性质。

圆的切线定理

圆的切线定理定理表述设有一个圆和一条直线，当这条直线与圆相切时，直线与圆的切点之间的线段与半径垂直。

证明过程证明圆的切线定理的方法主要有两种：几何法和代数法。

几何法几何法是通过几何构造来证明定理。

我们可以通过以下步骤进行证明：1. 假设有一个圆和一条直线，直线与圆相切于点P。

2. 以圆心为起点，作一条半径OP。

3. 连接直线上的点P和圆心O，得到线段OP。

4. 利用三角形的性质，我们可以得出线段OP与直线的斜率相等。

5. 因为直线与圆相切，所以线段OP与半径OP垂直。

6. 因此，根据直线斜率的性质，直线与半径垂直。

通过以上步骤，我们证明了圆的切线与半径垂直。

代数法代数法是通过代数计算来证明定理。

我们可以使用坐标系的方法进行证明：1. 假设圆的方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

2. 假设直线的方程为y = mx + c，其中m为直线的斜率，c为截距。

3. 将直线方程代入圆的方程，得到(x-a)^2 + (mx + c - b)^2 - r^2 = 0。

4. 根据圆的定义，当直线与圆相切时，该方程只有一个解。

5. 解方程得到一个二次方程，利用判别式判断方程有一个解的特性。

6. 通过计算判别式，可以得到切线方程有唯一解的条件。

7. 根据等式等式的性质，解方程得到的根与圆的切点相对应。

8. 证明了切线方程与圆的切点正交。

通过以上代数计算，我们证明了圆的切线与半径垂直。

应用和实例圆的切线定理在几何学和应用数学中有着广泛的应用。

它在解析几何的证明和问题求解中起着重要的作用。

例如，通过圆的切线定理，我们可以解决求直线与圆的切点坐标和切线方程的问题。

这对于工程学和物理学中的曲线研究非常有用。

另外，圆的切线定理在计算机图形学和计算机模拟中也被广泛应用。

通过计算机算法，我们可以快速计算出圆与直线的切点坐标，从而实现更精确的模拟效果。

总之，圆的切线定理是解析几何中重要的定理之一，它在几何学和应用数学中有着广泛的应用价值。

证明圆的切线的七种常用方法

证明圆的切线的七种常用方法类型1、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1.如图，⊙O的直径AB=12，点P是AB延长线上一点，且PB=4，点C是⊙O上一点，PC=8. 求证：PC是⊙O的切线.方法2、特殊角计算法证垂直2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD =5，求⊙O 的直径.方法3、等角代换法证垂直3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O交AB于点E . 求证：DE是⊙O 的切线.方法4、平行线性质法证垂直4.如图，已知四边形OABC的三个顶点A ，B ，C在以O为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB，分别交AB，AO 的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF，且∠E=30°，点B是︵AC的中点.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)求证：CF=OC；(3)若⊙O的半径是6，求DC的长.AB POCACBPD OAEBDOCA O F ECDB方法5、全等三角形法证垂直5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF .求证：BF 是⊙O 的切线.类型2、无公共点：作垂直，证半径方法6、角平分线性质法证半径6.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，DE =DC ，以点D 为圆心，BD 长为半径作OD ，AB =5，EB =2. (1)求证：AC 是OD 的切线；(2)求线段AC 的长.方法7、全等三角形法证半径7.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD +BC =CD ，以AB 为直径作⊙O . 求证：⊙O 与边CD 相切.A OBCD F A B C D EA OB C D。

与圆的切线有关的计算与证明(2)

与圆的切线有关的计算与证明（1）类型之一与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】如图Z12－1，⊙O 的切线PC 交直径AB 的延长线于点P，C 为切点，若∠P ＝30°，⊙ O 的半径为1，则PB 的长为 1 ．图Z12－1 经典母题答图【解析】如答图，连结OC.∵PC 为⊙O 的切线，∴∠PCO＝90°，在Rt△OCP 中，∵OC＝1，∠P＝30°，∴OP＝2OC＝2，∴PB＝OP－OB＝2－1＝1.【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直．【中考变形】[2017 ·天津] 已知AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙ O 的切线，∠ ABT＝50°，BT 交⊙O 于点C，E 是AB 上一点，延长CE 交⊙O 于点D.(1)如图Z12－2①，求∠ T 和∠CDB 的大小；(2)如图②，当BE＝BC 时，求∠ CDO 的大小．图Z12－2解：(1)如答图①，连结AC，∵A T是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴A T⊥AB，即∠TAB＝90°，∵∠ABT＝50°，∴T∠＝90°－∠ABT＝40°，由AB 是⊙O 的直径，得∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴C∠DB＝∠CAB＝40°；中考变形答图①中考变形答图②(2)如答图② ，连结AD，在△ BCE 中，BE＝BC，∠EBC＝50°，∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°，∵∠ADC＝∠ABC＝50°，∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°.【中考预测】[2017 ·宿迁] 如图Z12－3，AB 与⊙O 相切于点B，BC 为⊙ O 的弦，OC⊥OA，OA 与BC 相交于点P.(1) 求证：AP＝AB；(2) 若OB＝4，AB＝3，求线段BP 的长．图Z12－3 中考预测答图解：(1)证明：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵AB 是⊙O 的切线，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∴A∠BP＋∠OBC＝90°，∵OC⊥AO，∴∠AOC＝90°，∴∠OCB＋∠CPO＝90°，∵A∠PB＝∠CPO，∴∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB；(2)如答图，作OH⊥BC 于H.在Rt△OAB 中，∵OB＝4，AB＝3，∴OA＝32＋42＝5，∵AP＝AB＝3，∴PO＝2.2 2在Rt△POC 中，PC＝OC ＋OP ＝2 5，1 1∵2PC·OH＝2OC·OP，∴OH＝OP·OC 4 5PC ＝ 5 ，2 2 8 5∴CH＝OC －OH ＝ 5 ，16 5 ∵OH⊥BC，∴CH＝BH，∴BC＝2CH＝5 ，∴BP＝BC－PC＝16 5 6 5 5 －2 5＝ 5 .类型之二与切线的判定有关的计算或证明【经典母题】已知：如图Z12－4，A 是⊙ O 外一点，AO 的延长线交⊙ O 于点C，点B 在圆上，且AB＝BC，∠ A＝30°，求证：直线AB 是⊙ O 的切线．图Z12－4 经典母题答图证明：如答图，连结OB，∵OB＝OC，AB＝BC，∠A＝30°，∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°，∴AB⊥OB，又∵ OB 为⊙O 半径，∴AB 是⊙O 的切线．【思想方法】证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”．【中考变形】1．[2016 ·黄石] 如图Z12－5，⊙O 的直径为AB，点C 在圆周上(异于A，B)，AD ⊥CD.(1) 若BC＝3，AB＝5，求AC 的值；(2) 若AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线．图Z12－5 中考变形 1 答图解：(1)∵AB 是⊙O 直径，C 在⊙O 上，∴∠ACB＝90°，又∵BC＝3，AB＝5，∴由勾股定理，得AC＝4；(2)证明：如答图，连结OC，∵A C是∠DAB 的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，又∵AD⊥ DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC＋∠OBC＝90°，∴O∠CA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，∴直线CD 是⊙O 的切线．2．[2017 ·南充]如图Z12－6，在Rt△ACB 中，∠ACB＝90°，以AC 为直径作⊙ O 交AB 于点D，E 为BC 的中点，连结DE 并延长交AC 的延长线点 F.(1) 求证：DE 是⊙O 的切线；(2) 若CF ＝2，DF ＝4，求⊙ O 直径的长．图Z12－6 中考变形 2 答图【解析】(1)连结OD，欲证DE 是⊙O 的切线，需证OD⊥DE，即需证∠ODE ＝90°，而∠ACB＝90°，连结CD，根据“ 等边对等角”可知∠ODE＝∠OCE ＝90°，从而得证；(2)在Rt△ODF 中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解．图 Z12－7 中考预测答图解： (1)证明：如答图，连结 OD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠A ＋ ∠ABC ＝ 90°，解： (1)证明：如答图，连结 OD ， CD. ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°. ∴∠BDC ＝90°.又∵E 为 BC 的中点， ∴DE ＝ 2BC ＝CE ，∴∠EDC ＝∠ECD. ∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝ ∠OCD.1 ∴∠EDC ＋∠ ODC ＝∠ECD ＋∠OCD ＝∠ACB ＝ 90°. ∴∠ODE ＝ 90°，∴D E 是⊙O 的切线；(2)设⊙O 的半径为 x.在 Rt △ODF 中， OD 2＋DF 2＝OF 2，即 x ＋4 ＝(x ＋ 2) ，解得 x ＝3.∴⊙ O 的直径为 6. 222【中考预测】如图 Z12－7，AB 是⊙ O 的直径，点 C ， D 在⊙ O 上，∠ A ＝2∠BCD ，点 E 在 AB 的延长线上，∠ AED ＝∠ ABC. (1)求证： DE 与⊙O 相切；(2)若 BF ＝2，DF ＝ 10，求⊙ O 的半径．22 2 2 2 2在 Rt △ODH 中， OH ＋DH ＝OD ，即(OD －1) ＋3 ＝OD ，∴OD ＝5.即⊙ O 的半径是 5.∵∠BOD ＝ 2∠ BCD ，∠A ＝2∠BCD ， ∴∠BOD ＝ ∠A ，∵∠AED ＝∠ ABC ，∴∠BOD ＋∠AED ＝90°， ∴∠OD E ＝ 90°，即OD ⊥ DE ，∴DE 与⊙O 相切； (2)如答图，连结 BD ，过点 D 作 DH ⊥BF 于点 H.∵D E 与⊙O 相切，∴∠ACD ＋∠BCD ＝∠ ODB ＋∠BDE ＝90°， ∵∠ACD ＝∠ OBD ，∠OBD ＝ ∠ODB ，∴∠BDE ＝∠ BCD ， ∵∠AED ＝∠ ABC ，∴∠AFC ＝ ∠DBF ，∵∠AFC ＝∠ DFB ，∴△ACF 与△FDB 都是等腰三角形， ∴FH ＝ BH ＝ BF ＝1，∴HD ＝12DF 2－FH 2＝ 3，与圆的切线有关的计算与证明（2）1. 如图8，CD是⊙0的切线，切点为A,AB 是⊙0的直径.E,F⊙0上的点, (1)C求证：∠DAE= ∠FDE//A B.(2) 若EF//CD, 求证:△AEF是等腰三角形FO ABDE2. 如图7 ⊙0 的半径为1，过点A(2，0) 的直线切⊙0 于点B，交y 轴于点 C.(1)求线段AB 的长；(2)求以直线AC为图象的一次函数的解析式．3、在△ABC 中，AB=AC ，内切圆O 与边BC、AC 、AB 分别切于 D 、E、F.（1）求证：BF=CE ；（2）若∠C=30 °，CE 2 3 ，求AC.4.如图10，在⊙O 中，∠ACB= ∠BDC=60°，AC=2 3cm ，（1）求∠BAC 的度数；（2）求⊙O 的周长P5 已知：如图， AB 是⊙ O 的直径， AD 是弦， OC 垂直 AD 于 F 交⊙ O 于 E ，连结 DE 、BE ，且∠ C=∠ BED ．（ 1）求证： AC 是⊙ O 的切线；（ 2）若 OA=10 ， AD =16，求 AC 的长． C DE BF OA 6. 如图， MP 切⊙O 于点 M ，直线 PO 交 ⊙O 于点 A 、B ，弦 AC ∥ MP ，(1) 求证： MO ∥ BC ．(2 补充)连结 CM, 当四边形 BCMO 为菱形时 ,求∠ P 的度数或反过来问 : 当P 30°时, 判断四边形 BCMO的形状 , 并说明理由 . MCAOB7. 如图，在 △ABC 中， AB AC ，以 AB 为直径的 ⊙O 交 BC 于点 M ， MN ⊥ AC 于点 N ．（1）求证 MN 是 ⊙O 的切线； A（2）若BAC 120°，AB 2 ，求图中阴影部分的面积．O NBMC8 如图，△ABC 内接于半圆，AB 是直径，过 A 作直线MN ，若∠MAC= ∠ABC ．（1）求证：MN 是半圆的切线；M（2）设D 是弧AC 的中点，连结BD 交AC 于G，C 过D 作DE ⊥AB 于E，交AC 于F． D求证：FD ＝FG ．GFAE BN10，点 C 在半圆上，BC 6 ．9. 如图，半圆的直径AB（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE⊥ AB 交AC 于点E，求PE 的长．CEABP10. 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AB AC，BC交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E，BAC 45°． A（1）求EBC 的度数；（2）求证：BD CD ．OECB D,.;..11. 如图，在 △ ABC 中， ABAC ， AE 是角平分线， BM 平分 ABC 交 AE 于点 M ，经过 B ，M 两点的 ⊙O 交 BC 于点 G ，交 AB 于点 F ， FB 恰为 ⊙O 的直径．求证： AE 与 ⊙O 相切； CM EGA FO B 12. 如图， AB 是⊙ O 的直径， C 是弧 BD 的中点， CE ⊥AB ，垂足为 E ， BD 交 CE 于点 F ．（1）求证： CFBF ；（2 选做）若 AD 2 ，⊙ O 的半径为 3，求 BC 的长．CDFA O E B。

解决圆的切线有关问题的方法

解决圆的切线有关问题的方法利用圆的切线性质和其判定定理解决一些有关圆的切线问题时，通常要添加辅助线，其中“连结”就是一种重要的辅助线作法。

即利用圆的切线进行运算或证明时，通常要把切点与圆心连结起来，充分利用“垂直”来解决问题；在证明圆的切线时，把该直线和圆的交点与圆心连结结起来，证明此半径垂直于该直线即可。

下面通过几例，让我们一起来体会一下“连结”的妙用。

一、利用圆的切线进行运算例1：如图1，在同心圆⊙O 中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，且AB=6cm ，求圆环的面积。

分析：因为大圆的弦AB 切于小圆C 点，所以连结OC ，可得OC ⊥AB ，进而根据垂径定理求得AC=12AB=3。

圆环的面积是大圆面积与小圆面积的差，连结OA ，此时OA 为大圆半径，OC 为小圆半径，在Rt ⊿AOC 中，利用勾股定理可求出(OA2－OC 2)的值，就可求出圆环的面积。

二、利用圆的切线进行证明例2：如图2，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线互相垂直，垂足为D 。

求证：AC 平分∠DAB分析：要证明AC 平分∠DAB ，就是要证∠1=∠2。

C 为切点，连结OC 可得OC ⊥AC ，进而证得AD ∥OC ，得到∠1=∠3，其它问题就会迎刃而解。

三、证明圆的切线例3，如图3，在⊿AEF 中，∠BAC 的平分线AD 与⊿AEF的外接圆⊙O 交于D 点，过D 点作BC ∥EF ，分别交AE 和AF 的延长线于点B 和点C 。

求证：BC 为⊙O 的切线。

分析：要证明BC 为⊙O 的切线，根据切线的判定定理需要两个条件：①BC 要过半径的外端；②BC 要与这条半径垂直。

现在BC 恰好过⊙O 上的一点D ，连结OD ，条件①就自然具备了，只要证明OD ⊥BC 问题就会解决。

试一试：1如图4，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过BC 上一点D ，过D 作DE ⊥AC 于E 点，且DE 为⊙O 切线。

求证：BD=CD2如图5，在⊙O 中，半径OA ⊥OB ，弦BC 交OA 于点D ，E 为OA 延长线上的一点，且EC=ED 。

数学专题-切线的证明与圆的计算

专题一:圆的切线直线与圆相切是圆的重点，也是中考的热点．证明、判断或探究直线与圆相切的题目虽然很多，但是在这些众多的题目中，只有两个类型．►类型之一有公共点时，连接圆心与公共点，证垂直当要证明的直线与圆有公共点时，连接圆心与公共点，证明此半径与直线垂直，利用“经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”可证明直线是圆的切线．1．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，点O在AB上，BD ⊥AB，B是垂足，OD∥AC，连接CD.求证：CD是⊙O的切线．证明：如图，连接CO.∵OD∥AC，∴∠COD＝∠ACO，∠CAO＝∠DOB.∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠COD＝∠BOD.又∵OD＝OD，OC＝OB，∴△COD≌△BOD，∴∠OCD＝∠OBD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．2.如图所示，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线．[解析]要证明直线AB是⊙O的切线，由于直线AB与⊙O已有公共点C，所以连接OC，只需要证明OC⊥AB即可．证明：如图，连接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线，∴OC ⊥AB.∵AB经过半径OC的外端点C，∴AB是⊙O的切线(经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)．3．如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.(1)求证：AB＝AC；(2)求证：DE为⊙O的切线．证明：(1)如图，连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB ＝90°.又∵BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线．∴AB＝AC.(2)如图，连接OD.∵点O，D分别是AB，BC的中点，∴OD∥AC.又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线．4．如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.求证：DE是⊙O的切线．证明：连接OD.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠DAO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥OD.又∵AE⊥DE，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．5．如图所示，设AB为⊙O的直径，如果圆上的点D恰使∠ADC＝∠B.求证：直线CD与⊙O相切．证明：连接OD.∵OB＝OD，∴∠B＝∠BDO.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADO＋∠ODB ＝90°.∵∠CDA＝∠B＝∠BDO，∴∠ADO＋∠ADC＝90°，即OD ⊥CD.∵CD经过半径OD的外端点D，∴CD是⊙O的切线(经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)．6．如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以AB 为直径作半圆交AC 于点D，点E 为BC 的中点，连接DE.(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD 的长．解：(1)证明：如图，连接OD，OE，BD.∵AB为⊙O 的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.在Rt△BDC 中，E 为斜边BC 的中点，∴DE＝BE.在△OBE 和△ODE∴△OBE≌△ODE(SSS)，∴∠ODE＝∠ABC＝90°，即OD⊥DE，故DE 为⊙O 的切线．(2)在Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，∴BC＝12AC.∵BC＝2DE ＝4，∴AC＝8.又∵∠C＝90°－∠A＝60°，∠BDC＝90°，∴∠DBC＝30°，∴DC＝12BC＝2，则AD＝AC－DC＝6.►类型之二无公共点时，过圆心作垂线，证相等欲证直线与圆相切，当直线与圆无公共点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长等于圆的半径，利用“到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线”可以证明直线是圆的切线．7．在平面直角坐标系中，以点(2，3)为圆心，2为半径的圆必定()A．与x 轴相离，与y 轴相切B．与x 轴、y 轴都相离C．与x 轴相切，与y 轴相离D．与x 轴、y 轴都相切[答案]A8．如图，在直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y ＝－2x＋5与⊙O 的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．无法确定[解析]C 如图1－ZT－11所示，过O 作OC⊥直线AB，垂足为C，对于直线y＝－2x＋5，令x＝0，解得y＝5；令y＝0，解得x＝52，∴A(52，0)，B(0，5)，即OA＝52，OB＝5，∴在Rt△AOB 中，根据勾股定理得AB＝OA 2＋OB 2＝52.又S △AOB ＝12AB·OC＝12OA·OB，∴OC＝OA·OB AB ＝52×552＝1.又⊙O的半径为1，∴直线y＝－2x＋5与圆O的位置关系是相切．9．如图所示，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D.求证：AC与⊙O相切．证明：如图，连接OD，则OD⊥AB.过点O作OE⊥AC于点E.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵O是BC的中点，∴OB＝OC.又∵∠BDO＝∠CEO＝90°，∴△BDO≌△CEO，∴OD＝OE，∴AC与⊙O相切(到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线)．专题二:不规则图形的面积及曲线长的求法►类型之一用覆盖法求阴影图形的面积1．如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，则图中阴影部分的面积是________．[答案]π－2[解析]∵在△ABC 中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴S 阴影部分＝S 半圆AB ＋S 半圆BC －S △ABC ＝12π×(22)2＋12π×(222－12×2×2＝π－2.2.如图所示，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为________(结果用π表示)．[答案]8－2π[解析]用四个半圆的面积减去正方形的面积求出空白部分的面积，再利用阴影部分的面积等于正方形的面积减去空白部分的面积计算．空白部分的面积＝π2×4－2×2＝2π－4，阴影部分的面积＝2×2－(2π－4)＝4－2π＋4＝8－2π.►类型之二用旋转求阴影图形的面积3．如图，将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B 经过的路径为BB′︵，若∠BAC＝60°，AC＝1，则图中阴影部分的面积是()A.π2B.π3C.π4D．π[解析]A ∵在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，∴BC＝ACtan60°＝1×3＝3，AB＝2AC＝2.根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S △ABC ＝S △AB′C′，AB ＝AB′，∴S 阴影＝S 扇形BAB′＋S △AB′C′－S △ABC ＝45π×22360＝π2.4．当汽车在雨天行驶时，司机为了看清楚道路，要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图是某汽车的一个雨刷器的转动示意图，雨刷器杆AB 与雨刷CD 在B 处固定连接(不能转动)，当杆AB 绕点A 转动90°时，雨刷CD 扫过的面积如图所示，现量得：CD＝80cm，∠DBA＝20°，AC＝115cm，DA ＝35cm，试从以上信息中选择所需要的数据，求出雨刷扫过的面积．解：由题意可知：△ABD≌△AB′D′，△ACD≌△AC′D′，且大扇形半径AC＝115cm，小扇形半径AD＝35cm，且圆心角都为直角，所以雨刷CD 扫过的面积为S 扇形CAC′－S 扇形DAD′＝90π×1152360－90π×352360＝π4×(115＋35)×(115－35)＝3000π(cm 2)．答：雨刷扫过的面积为3000πcm 2.►类型之三用平移求阴影图形的面积5．如图是两个半圆，点O 为大半圆的圆心，AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB＝24，求图中阴影部分的面积．[解析]将小圆向右平移，使之与大圆的圆心重合，阴影部分的面积等于大半圆面积减去小半圆面积．解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图2－ZT －6所示，连接OB，过点O 作OC⊥AB 于点C，则AC＝BC＝12.∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC 为小半圆的半径，∴S 阴影部分＝S 大半圆－S 小半圆＝12π·OB 2－12π·OC 2＝12π(OB2－OC 2)＝12πBC 2＝72π.►类型之四用等积变形求阴影图形的面积6．如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E，∠CDB＝30°，CD＝23，则阴影部分图形的面积为()A．4πB．2πC．πD.2π3[解析]D 连接OD.∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝12CD＝3，故S △OCE ＝S △ODE ，则阴影部分的面积等于扇形BOD 的面积．又∵∠CDB＝30°，∴∠BOD＝60°，∴OB＝2，故S 扇形BOD ＝60π×22360＝2π3，即阴影部分的面积为2π3D.►类型之五用割补法求阴影图形的面积7.如图所示，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为________．[答案]2π－4[解析]连接AB.由题意，得阴影部分的面积＝2(S 扇形AOB－S △OAB )＝2(90π×22360－12×2×2)＝2π－4.8．如图，AC⊥BC，AC＝BC＝4，以BC 为直径作半圆，圆心为O.以点C 为圆心，BC 为半径作弧AB，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D，E，则阴影部分的面积是________．[答案]5π33[解析]连接CE.由题意，得∠ACB＝90°，OB＝OC＝OD ＝2，BC＝CE＝4.又∵OE∥AC，∴∠ACB＝∠COE＝90°，∴在Rt△OEC 中，OE＝23，cos∠OCE＝OC CE ＝24＝12，∴∠OCE＝60°.∴S 阴影＝S 扇形BCE －S 扇形BOD －S △OCE ＝60π×42360－14π×22－12×2×23＝5π3－23.9．如图所示，OC 平分∠MON，点A 在射线OC 上，以点A 为圆心，半径为2的⊙A 与OM 相切于点B，连接BA 并延长交⊙A 于点D，交ON 于点E.(1)求证：ON 是⊙A 的切线；(2)若∠MON＝60°，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．解：(1)证明：过点A 作AF⊥ON 于点F.∵⊙A 与OM 相切于点B，∴AB⊥OM.∵OC 平分∠MON，∴AF＝AB＝2，∴ON 是⊙A 的切线．(2)∵∠MON＝60°，AB⊥OM，∴∠OEB＝30°.∵AF⊥ON，∴∠FAE＝60°.在Rt△AEF 中，EF＝23，∴S 阴影＝S △AEF －S 扇形DAF ＝12AF·EF－603602＝23－23π.►类型之六用圆的周长公式计算曲线长10．如图所示，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是()A．2πcm B．4πcmC．8πcm D．16πcm[解析]B∵一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，∴圆心移动的距离等于圆的周长，即2π×42＝4π(cm)．►类型之七用弧长公式计算曲线长11．如图所示，△ABC 的边长都大于2，分别以它的顶点为圆心，1为半径画弧(弧的端点分别在三角形的相邻两边上)，则这三条弧的长度之和是()A．4πB．3πC．6πD．5π[解析]D 三个圆的圆弧缺少的部分之和是∠A＋∠B＋∠C 360·2π·1＝180360三个圆的周长为2π×1×3＝6π，则这三条弧的长度之和是6π－π＝5π.12．如图所示，三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6.三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边上时立即停止转动，则点B转过的路径长为________．[答案]2π►类型之八用分步求和计算曲线长13.[安徽模拟]如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B 点从开始至结束所走过的路径长度为________．[答案]4π3[解析]从图中发现，B 点从开始至结束所走过的路径长度为两段圆弧，第一段长120π×1180，第二段长120π×1180.故B 点从开始至结束所走过的路径长度＝120π×1180＋120π×1180＝4π3.14．已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆做如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O 所经过的路线长是________m(结果用π表示)．[答案](2π＋50)[解析]由图2－ZT－16可知，圆心先向前走O 1O 2的长度，即14圆的周长，然后沿着O 2O 3︵旋转1450m，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半(即半圆)加上50m，由已知得圆的半径为2m，则半圆的弧长l＝（90＋90）×π×2180＝2π(m)，∴圆心O 所经过的路线长＝(2π＋50)m.15．如图所示，将一长为4cm，宽为3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动翻滚(顺时针方向)，木板上点A 的位置变化为A→A 1→A 2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时总共走过的路径长为多少？解：由图形知AA 1︵的圆心角为90°，半径为长方形的对角线长，为32＋42＝5(cm)，从而求出AA 1︵的长为90π×5180＝52π(cm)．同理，A 1A 2︵的圆心角为60°，半径为3cm，从而求出A 1A 2︵的长为60π×3180＝π(cm)，从而得点A 翻滚到A 2位置时总共走过的路径长为52π＋π＝72►类型之九用转化的方法求曲线长16．如图所示，已知圆柱体底面的半径为2π，高为2，AB，CD 分别是两底面的直径，AD，BC 是母线．若一只小虫从点D 出发，从侧面爬行到点B，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)．[答案]22[解析]沿AD，BC 将圆柱侧面剪开，并展开得到矩形B 1C 1D 1A 1，如图2－ZT－19所示，B 1C 1＝BC＝2，A 1B 1＝2×2π×π×12＝2，B 1D 1＝22＋22＝2 2.即小虫爬行的最短路线的长度是22.。

中考数学复习与圆的切线有关的证明与计算课件

∴∠OAD＝∠ODA.
∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，
∴∠ODA＋∠OFD＝90°，
∴∠OAD＋∠OFD＝90°.
∵∠OFD＝∠AFC，
∴∠OAD＋∠AFC＝90°.
∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，
预测答图
∴∠OAD＋∠FAC＝90°，即OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
(2)∵BF＝8，DF＝ 40，⊙O 的半径为 r，
∴OF＝BF－OB＝8－r. ∵在直角三角形 OFD 中，OD2＋OF2＝DF2，
∴r2＋(8－r)2＝( 40)2，
解得 r＝6 或 r＝2(不合题意，舍去)， ∴⊙O 的半径 r＝6.
(1)如图Z12－2中①图，当直线l与⊙O相切于点C 时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；
(2)如图Z12－2中②图，当直线l与⊙O相交于点E，F 时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．
图Z12－2
解：(1)如图(1)，连结OC.
∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，
∴∠OCD＝90°.
在Rt△OCP中，OC＝1，∠P＝30°，所以OP＝2OC＝2，所以PB＝OP－OB＝2－1＝1.
教材母题答图【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直．
[2013·天津]已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径， AD⊥l于点D.
[2013·防城港]如图Z12－7，以△ABC的BC边上一点 O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为 BE的下半圆弧的中点，连结AD交BC于F，若AC＝FC.
(1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若 BF＝8，DF＝ 40，求⊙O 的半径 r.

中考数学考点系统复习第六章圆微专题(七) 与切线有关的常考五大模型

1 ∴CD＝3，∠DAC＝2∠BAC， ∴AD＝ AC2－CD2＝4，∠DAO＝90°， ∵∠ADC＝90°， ∴四边形 ADEO 是矩形， ∴OE＝AD＝4， ∴⊙O 的半径是 4.
类型三：与锐角三角函数结合
【类型归纳】
模型展示
常见辅助线
连接圆心与切点
若问题中涉及到直角(或构造出直角)时，可以利用锐角三角函数来
半圆与 AB，AC 相切，切点分别为 D，E.过半圆上一点 F 作半圆的切线，
BM·CN 分别交 AB，AC 于点 M，N，那么 BC2 的值为 A.18 B.14 C.12 D．1
(B )
7．★如图，AB 为⊙O 的直径， C 为⊙O 上一点， AD 和过 C 点的切线互
25 相垂直，垂足为 D.若 AD＝4，AC＝5，则 AB 的长为 4 .
AD⊥DC，若⊙O 的半径为 3，AD＝4，则 AC＝2 6.连接 BC，OC，由
常见结论与方法
AD⊥DC 和直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB＝∠ADC＝90°， ∵DC 是⊙O 的切线，∴∠DCA＝∠ABC，∴△ADC∽△ACB，得出AADC＝
AACB，进而求出 AC＝2 6.
对应练习
6．★如图，在等腰三角形 ABC 中，O 为底边 BC 的中点，以点 O 为圆心作
OB＝3，PB＝2.连接 OC，由切线的性质可得 OC⊥PC，易得 PO＝BO
＋PB＝5，再利用勾股定理，可得 PC＝ PO2－OC2＝4.
对应练习 1．★(2022·深圳)如图，三角形 ABE 为直角三角形，∠ABE＝90°，BC 为⊙O 的切线，C 为切点，CA＝CD，则△ABC 和△CDE 的面积之比为( B ) A．1∶3 B．1∶2 C. 2∶2 D．( 2－1)∶1

证明圆的切线的七种常用方法-圆的切线证明7种方法

证明圆的切线的七种常用方法证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法1、连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”2、作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”类型一、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为圆⊙O上一点，PC＝8，PB ＝4，AB＝12，求证：PC是⊙O的切线．方法2、特殊角计算法证垂直2、如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求∠P的度数；（2）求证：P A是⊙O的切线；（3）若PD＝5，求⊙O的直径．方法3、等角代换法证垂直3、如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E 。

求证：DE 是⊙O 的切线；方法4、平行线性质法证垂直4、如图，已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB ，分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ，AE 交半圆O 于点F ，连接CF ．且︒=∠30E ，点B 是的中点（1）判断直线DE 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）求证CF=OC（2）若半圆O 的半径为6，求DC 的长．方法5 全等三角形法证垂直5、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF ，求证：BF 是⊙O 的切线。

A B O D CF类型二、无公共点：做垂直，证半径方法6 角平分线的性质法证半径6．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，AB ＝5，EB ＝2．（1）求证：AC 是⊙D 的切线；（2）求线段AC 的长．方法7 全等三角形法证半径7．已知四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，CD BC AD =+，以AB 为直径的⊙O 。

圆的切线长定理

圆的切线长定理圆的切线长定理是几何学中的重要定理之一，它描述了一个切线与圆的相交关系以及切线的长度和与圆的位置有关。

这个定理被广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学和计算机图形学等。

本文将详细介绍圆的切线长定理及其应用。

一、圆的切线长定理的表述圆的切线长定理可以用以下方式表述：如果在圆上有一点P，并且通过这点作一条直线与圆相交于A、B两点，那么线段PA和线段PB 的乘积等于切线与圆心连线的长度的平方。

即PA * PB = PT^2，其中T是切点。

二、圆的切线长定理的证明要证明圆的切线长定理，可以使用几何推理和三角关系。

设圆的半径为r，圆心为O，切点为T，切线与圆心连线为OT。

连接OA、OB，得到△OAT和△OBT两个直角三角形。

由正弦定理可得：sin∠OAT = r / OTsin∠OBT = r / OT又因为∠OAT和∠OBT是互余角（补角），即∠OAT + ∠OBT = 90°，所以sin∠OAT = cos∠OBT。

将上述两个等式代入PA * PB = PT^2，得到：r * r = PA * PB因此，圆的切线长定理得证。

三、圆的切线长定理的应用圆的切线长定理可以应用于很多实际问题中。

以下是一些具体应用：1. 圆的切线长定理可以用于计算切线的长度。

如果已知圆的半径和切线与圆的位置，可以通过切线长定理计算切线的长度。

2. 圆的切线长定理可以用于求解与圆相切的直线方程。

通过已知切点和切线长度，可以确定切线的位置，从而求解与圆相切的直线方程。

3. 圆的切线长定理可以应用于计算切线与圆心连线的长度。

通过已知切线长度和切点，可以计算切线与圆心连线的长度。

4. 圆的切线长定理还可以用于解决几何问题。

例如，判断两个圆是否相切，可以通过切线长定理计算切线的长度，从而判断圆是否相切。

圆的切线长定理是几何学中的重要定理，它描述了切线与圆的相交关系以及切线的长度和与圆的位置的关系。

通过应用该定理，我们可以解决各种与圆相关的问题，从而推动几何学的发展和应用。

圆的切线方程公式证明

圆的切线方程公式证明首先，我们知道圆是由一组等距离于圆心的点组成的。

圆中心到圆上任意一点的距离被称为半径，记为r。

除此之外，根据圆的定义，任意一条直线与圆相交的情况有三种：相离、相切和相交。

我们目前关注的是与圆相切的情况。

设圆的方程为：(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标。

我们要证明的是，与该圆相切的直线的方程为：lx + my + n = 0。

为了证明这个结论，我们可以采用几何的方法和代数的方法相结合。

1.几何证明：我们先设想一条直线与圆相切于点P(x₀,y₀)。

我们可以从几何性质出发，来推导直线的方程。

首先，我们可以得知圆心O到切点P的距离与切点P的切线垂直相交。

因此，切点P的切线与圆心O到切点P的连线垂直相交。

根据直线的垂直线性质，我们可以得到该切线的方向向量为v₁=(a-x₀,b-y₀)。

而对于直线的方程，我们可以设定一个系数k，将切线的方向向量乘以k，得到：v₂=k(a-x₀,b-y₀)。

根据直线的一般式方程，直线的方程为：lx + my + n = 0。

因此，我们可以得到线段OP的方向向量为v₃=(x-x₀,y-y₀)。

根据向量的内积性质，我们可以得到v₂·v₃=0。

即k(a-x₀,b-y₀)·(x-x₀,y-y₀)=0。

展开上式并整理，我们得到k(ax + by - ax₀ - by₀ - r²) = 0。

由于k是任意的系数，我们可以将k设定为1，从而得到：ax + by- ax₀ - by₀ - r² = 0。

根据圆的方程，我们可以得到ax₀ + by₀ = r²。

将其代入上式中，得到：ax + by - ax₀ - by₀ - r² = 0。

因此，我们可以得出与圆相切的直线方程为：lx + my + n = 0。

2.代数证明：上述几何证明已经给出了圆的切线方程的数学表达式。

圆的切线的二级结论及其证明

圆的切线的二级结论及其证明结论一：过圆x 2＋y 2＝r 2上一点(x 0，y 0)的切线方程：x 0⋅x ＋y 0⋅y ＝r 2 标准方法：由题意可知切线过(x 0，y 0)，只需要求得斜率k 即可方法一：由初中阶段圆的切线知识可知，切线与过切点的半径互相垂直而过切点的半(直)径的斜率为y 0x 0∴切线的斜率k ＝－x 0y 0∴切线方程为 y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0) 即y 0y －y 02＝－x 0x ＋x 02点(x 0，y 0)在圆上∴x 02＋y 02＝r 2移项可得x 0⋅x ＋y 0⋅y ＝r 2方法二：圆心到直线的距离为r设直线为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0圆心到该直线的距离d ＝|－kx 0＋y 0|k 2＋1＝r (注意目标：解出k ) k 2x 02－2kx 0y 0＋y 02＝r 2(k 2＋1) (解出k 恐怕不太容易)整理可得： (x 02－r 2)k 2－2x 0y 0k ＋y 02－r 2＝0 (由k 的唯一性可知这货的∆＝0)∴k ＝x 0y 0x 02－r2 ∴切线方程为： y －y 0＝x 0y 0x 02－r2(x －x 0) 整理为： x 02y －r 2y ＋y 0r 2＝x 0y 0x (这怎么能是答案呢？但真的是)∵点(x 0，y 0)在圆上∴x 02＋y 02＝r 2∴x 02 ＝r 2－y 02代入上式：(r 2－y 02)y －r 2y ＋y 0r 2＝x 0y 0x整理即为结论方法三：使用代数方法，联立直线和圆，应该有唯一解，即一个交点，求出k 当k 不存在时，切点就是(±r ，0)，易得切线即为x ＝±r ，符合结论⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝r 2y －y 0＝k ()x －x 0 x 2＋(x －x 0)2k 2＋2y 0(x －x 0)k ＋y 02－r 2＝0(k 2＋1)x 2－2k 2x 0x ＋2ky 0x ＋k 2x 02－2kx 0y 0＋y 02－r 2＝0(k 2＋1)x 2－2(k 2x 0－ky 0)x ＋k 2x 02－2kx 0y 0＋y 02－r 2＝0(k 2＋1)x 2－2k (kx 0－y 0)x ＋(kx 0－y 0)2－r 2＝0∆＝[2k (kx 0－y 0)]2－4(k 2＋1)[(kx 0－y 0)2－r 2]＝4k 2(kx 0－y 0)2－4k 2(kx 0－y 0)2＋4k 2r 2－4(kx 0－y 0)2＋4r 2＝4k 2r 2－4(kx 0－y 0)2＋4r 2＝0∴k 2r 2－(kx 0－y 0)2＋r 2＝0 (观察可知，只有k 是未知的，其余x 0、y 0、r 均为常量)整理可得：(r 2－x 02)k 2＋2x 0y 0k ＋r 2－y 02＝0有k 的唯一性可知，上面关于k 的一元二次方程有唯一解k ＝k 1＝k 2＝x 0y 0x 02－r 2 ∴切线方程为：y －y 0＝x 0y 0x 02－r 2 (x －x 0) x 02y －x 02y 0－r 2y ＋y 0r 2＝x 0y 0x －x 02y 0x 02y －r 2y ＋y 0r 2＝x 0y 0x ①∵x 02＝r 2－y 02代入①式：(r 2－y 02)y －r 2y ＋y 0r 2＝x 0y 0xr 2y －y 02y －r 2y ＋y 0r 2＝x 0y 0x－y 02y ＋y 0r 2＝x 0y 0x－y 0y ＋r 2＝x 0x即：x 0⋅x ＋y 0⋅y ＝r 2方法四：对x 2＋y 2＝r 2两侧求导2x ＋2yy '＝0∴k ＝y '＝－x 0y 0，同方法一点评：由于圆具有最丰富的特性，因此其切线的求法方法也比较多，利用几何特性、代数表达都可以，以上三个方法，方法一、二必须掌握，但仅仅限于圆的问题，椭圆就不可以了；方法三是对椭圆、双曲线、抛物线切线的热身；计算让人头晕目眩，不过到了椭圆、双曲线时，不得不采用；方法四有点擦边球，大题不能采用，但最简单。

证明圆的切线方法

证明圆的切线方法圆的切线是指与圆相切且经过切点的直线。

证明圆的切线有多种方法，下面将详细介绍三种常用的方法。

方法一：使用勾股定理证明切线长度与切点到圆心距离的关系。

设圆的圆心为O，切点为A，切线与圆的交点为B。

我们需要证明OA⊥AB。

1.根据勾股定理，可知直角三角形OAB成立。

因为OA为半径，AB为切线，所以OA⊥AB取证。

2.为了得到与切线相垂直的线段，我们取切点A为起点，用圆心O为终点，连接AO。

3.连接OB。

4.观察△OAB和△OBA，它们有共边OA，且OO相等且共线，所以两个三角形是全等三角形。

5.根据全等三角形的性质可知，∠OAB=∠OBA，又∠OAB为直角，所以∠OBA也是直角。

6.根据直角三角形的定义可知，线段OB⊥AB。

因此，我们证明了圆的切线与半径的垂直。

方法二：使用割线定理证明切线的长度。

设圆的圆心为O，半径为r，切点为A，切线与圆的交点为B，圆上的一点为C。

1.连接OA、OB、OC。

2.观察△OAB和△OAC，它们有共边OA，且∠OAB为直角，所以两个三角形是相似三角形。

3.根据相似三角形的性质可知，AB/OB=OA/OC。

4.由于直角三角形中，OA=r，所以AB/OB=r/OC。

5.由于OA⊥AB，所以∠OAB=90°，所以∠OCB也是直角。

6.根据直角三角形的定义可知，线段OC⊥CB。

由于OC⊥AB，且OC⊥CB，所以线段AB⊥CB。

因此，我们证明了圆的切线与半径的垂直。

方法三：使用割线与切线的交角性质证明切线的存在性。

设圆上的一点为P，切点为A，切线与圆的交点为B。

1.连接OA、OP。

2.观察△OAP，根据三角形内角和定理可知∠OAP+∠OPA+∠POA=180°。

3.∠POA为平行于弧PA的圆心角，根据圆心角的定义可知∠POA=1/2×弧PA。

4.切线与弦的夹角等于相应弧所对的圆心角的一半，所以∠APB=1/2×弧PA。

5.因为直线和平行线有关的几何性质之一是，被两条平行线截取的弦上的两个圆心角相等。