随机变量的函数
随机变量的函数及其分布
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第二章 随机变量及其分布
§5 随机变量的函数的分布
例 1设离散型随机X变 的量 分布律为
X -2
0
3
P1
1
1
6
3
2
随机Y 变 X 量 1，试 Y的 求分布律．
解： 随机变 YX 量 1的取值 3,为 1,2.
这些取值两两互不相同 ．由此得随机变量 YX1
例 3（续）
Y=(X-1)2 同理,
X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+ 0.4=0.7,
P{Y=4}= P{X= -1}= 0.2,
所以，Y=(X-1)2 的分布律为：
Y0 1 4 pk 0.1 0.7 0.2
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第六章 随机变量的函数及其分布
FY(y)P{Yy}P{X2 y}
y
P{ yX y} y fX(x)dx.
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第六章 随机变量的函数及其分布
例 7（续）
y
FY(y) y fX(x)dx.
(2)利用 FY(y)fY(y)及变限定积分 得求 ：
fY(y) 21y[fX( y)fX( y), y0,
2x, 0x1, fX(X)0, 其它 .
试求 Y=X-4 的概率密度.
解：(1) 先求 Y =X-4 的分布函数 FY(y)：
F Y(y)P {Yy} P { X 4 y } P { X y 4 }
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第二章 随机变量及其分布
§5
例4 设离散型随机X变的量分布律为
随机变量的特征函数
随机变量的特征函数
随机变量的特征函数是指反映随机变量随机性程度的函数，其主要可以分为五种：均值、方差、偏度、峰度和分布函数等。
1、均值是某一随机变量的数学期望，是衡量一个随机变量的中心位置的量，即期望值，也称为期望或数学期望。
2、方差表示随机变量与它的期望值之间的偏离程度，是一种测量随机变量分布形状的统计量，也是随机变量差异性的度量，它和均值的组合可以描述一个总体的变异情况。
3、偏度是衡量数据分布的离散程度，也可称为变量分布的“非对称程度”，衡量数据分布是否偏向均值，是用来评估样本中值离均值的离散程度，如果偏度系数大于0，则表示样本数据集向右偏；如果偏度系数小于0，则表示样本数据集向左偏；如果等于0，则表示没有偏斜。
4、峰度是衡量数据分布的凸度，衡量数据集分布的紧密程度，也叫做峰度系数，正态分布的均值、标准差和峰度均为零，而非正态分布的峰度大于0。
5、分布函数用来表示某个随机变量的取值范围和概率。
随机变量函数
随机变量函数随机变量函数的概念是统计学中的基本概念，它描述了那些具有不确定性、随机性的变量及其变化规律。
随机变量函数可以分为离散型和连续型，其中离散型随机变量函数指的是概率解释下，某种随机事件发生的可能性分别对应着一组离散的数值，而连续型则是某种事件发生的概率分布函数，以及其中每一点取值的概率。
随机变量函数一般用来描述某个实验取值的概率分布模型，通过它可以计算出该实验的期望值、方差、分布曲线及概率密度等。
例如，在信息论中，自由度概率密度函数就可以用来描述发射源的信息熵。
离散型随机变量函数的计算方法是计算某一特定值出现的概率。
离散型随机变量函数可以表示为数学形式，通常表示为：P(X=x)，其中X表示一个离散型随机变量，P(X=x)表示x值概率。
此外，某一特定值x发生的概率可以通过其对应的分布函数（密度函数）来表示：f(x)=P(X=x)。
连续型随机变量函数的计算方法是求出某一区间内某个或多个值出现的概率。
连续型随机变量函数可以用下述的数学形式来表示：P(a<X<b)，其中a和b均为实数，用于表示取值范围。
此外，某一区间内某一值发生的概率可以通过它的对应的分布函数（密度函数）来表示：f(x)=P(a<X<b)。
随机变量函数可以提供实验结果发生的概率，这些概率可以在统计上有效地进行利用。
例如，在统计学的抽样问题中，可以通过随机变量函数来确定抽样时，样本空间分布的变化规律，以此来确定抽样结果的可靠性。
无论是离散型还是连续型的随机变量函数，它们都有它们自身特定的分布情况，它们都可以用来描述某一实验取值的概率分布情况。
此外，由于随机变量函数能够提供变量取值的概率分布信息，因此，它们在概率论和统计学中都有着广泛的应用。
概率论 随机变量的函数及其分布
p X [ f 1 ( y )] [ f 1 ( y )] , 0 y , pY ( y ) 其他 . 0，
1 [ f 1 ( y )] , 0 f 1 ( y ) 1, 其他 . 0, 1 1 , 0 ln y 1, y 其他 . 0, 1 , 1 y e, y 0, 其他 .
证 F ( x )是分布函数
0 F ( x ) 1, 且F ( x )单调不减
依题意， 又知 F ( x )严格单调增加
故 y R,
FY ( y ) P{Y y } P { F ( X ) y }
FY ( y ) P{Y y } P{ F ( X ) y } y 0, P ( ), P{ F ( X ) y }, 0 y 1, P ( ), y 1. y 0, 0, P{ X F 1 ( y )}, 0 y 1, 1, y 1.
且恒有f ( x ) 0(或恒有f ( x ) 0), 则Y f ( X )是连
续型随机变量，其概率 密度为
p X [ f 1 ( y )] [ f 1 ( y )] , y , pY ( y ) 0, 其它. 其中 f 1 ( y ) 是 f ( x ) 的反函数, ( , )是f 1 ( y )的定义域，
y 0, 0, 0, 0 y 1, FY ( y ) ln y , 1 y e, y e. 1,
从而
d FY ( y ) pY ( y ) dy
1 , 1 y e, y 0, 其他 .
例6 设圆的直径服从区间(0,1)上的均匀分布
第06章 随机变量函数
第六章 随机变量函数第一节 一维随机变量函数一、一维随机变量函数1、一元波雷尔函数：设)(x f 为一元实函数,若1B ∈∀B ,有11})(|{)(B ∈∈=-B x f x B f ，则称)(x f 为一元波雷尔函数. 可以证明：连续函数、单调函数都是波雷尔函数.2、定义：设),,(P S F 为一概率空间，X 为S 上的一维随机变量，)(x f 为一元波雷尔函数, S e ∈∀,规定: ))(()(e X f e Y =R ∈,称Y 为X 的函数. 记作)(X f Y =.显然,1B ∈∀B ,F ∈∈=∈=--)}()(|{}))((|{)(11B f e X e B e X f e B Y ， 故Y 也是S 上的一维随机变量.二、离散型设X 的概率分布为X 1x 2x … k x… P1p 2p…kp…)(X f Y =为X 的函数，那么}{~k k y Y P q Y ==,其中 ∑-∈-=∈=====)(11)}({})({}{k i y fx i k k k k p y fX P y X f P y Y P q .特别,当f 为一一对应函数时,令)(k k x f y =, 有k k k k p x X P y fX P q ===∈=-}{)}({1,那么Y)(1x f )(2x f… )(k x f … P1p2p …kp…例1 设X 的概率分布为X-1 01 P1/3 1/2 1/6求：(1)1-X ;(2)X 2-;(3)2X 的概率分布. 解:列表计算1/3 1/2 1/6 X -1 0 1 1-X -2 -1 0 X 2- 2 0 -2 2X1 0 1所以 (1) 1-X 的概率分布为:1-X-2 -1 0 P1/3 1/2 1/6 (2) X 2-的概率分布为:X 2--2 0 2 P 1/6 1/2 1/3 (3) 2X 的概率分布为: 2X0 1 P1/2 1/2例2 设()kk X P X 2/1}{~==，N ∈k ，)2sin(X Y π=，求Y 的概率分布.解: 显然Y 的可能取值为1,0,1-.由已知条件知:∑∑∞=+∞=⎪⎭⎫⎝⎛=+===014021}14{}1{n n n n X P Y P ∑∑∑∞=-∞=∞==-⨯=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛====1112131411141414121}2{}0{n n n nn n X P Y P ,152}0{}1{1}1{==-=-=-=Y P Y P Y P .所以Y 的概率分布为:Y-1 0 1 P2/15 1/3 8/15三、连续型设)(~x X ϕ，)(X f Y = 1、 分布函数法先求出⎰≤=≤=≤=yx f Y dx x y X f P y Y P y F )()(})({}{)(ϕ；(2) 再求出)()(y F y Y Y '=ϕ.例3 设)(~x X ϕ,||X Y =,则)()()(y y y X X Y -+=ϕϕϕ，0>y . 解:(1)当0≤y ，0)(=y F Y ,因此0)(=y Y ϕ；(2) 当0>y ,)()(}{}|{|)(y F y F y X y P y X P y F X X Y --=≤≤-=≤=, 那么)()()()()(y y y F y F y X X X XY -+=-'-'=ϕϕϕ.2、公式法(1) 设)(~x X ϕ,)(X f Y =,0)(>'x f ，)(-∞=f α，)(+∞=f β,)(y h 为)(x f 的反函数,则 )()]([)(y h y h y X Y '=ϕϕ，βα<<y .证明:因0)(>'x f ,则)(x f y =存在反函数)(y h x =,且0)(>'y h ,那么)(y h 递增.显然βα≤≤)(X f ,且})({}{)(y X f P y Y P y F Y ≤=≤=.① 当α≤y 时, 0)(=y F Y ,⇒0)(=y Y ϕ； ② 当β≥y 时, 1)(=y F Y ,⇒0)(=y Y ϕ； ③ 当βα<<y 时,)]([)}({)}()]([{)(y h F y h X P y h X f h P y F X Y =≤=≤=, 所以 )()]([)()(y h y h y F y X Y Y '='=ϕϕ.(1)’ 设)(~x X ϕ,)(X f Y =,0)(<'x f ，)(+∞=f α，)(-∞=f β,)(y h 为)(x f 的反函数,则 |)(|)]([)(y h y h y X Y '=ϕϕ，βα<<y .证明:同(1),只是0)(<'y h ,那么)(y h 递减. 当βα<<y 时,)}({1)}({)}()]([{)(y h X P y h X P y h X f h P y F Y <-=≥=≥= )]([1y h F X -=, 所以|)(|)]([)()]([)()(y h y h y h y h y F y X X Y '='-='=ϕϕϕη.例4 设)(~x X ϕ,b aX Y +=,)0(≠a ，则⎪⎭⎫⎝⎛-=a b y a y X Y ϕϕ||1)(,+∞<<∞-y .解:令b ax x f y +==)(,那么-∞=α，+∞=β，ab y y h -=)(,ay h 1)(=',⎪⎭⎫⎝⎛-='=a b y a y h y h y X X Y ϕϕϕ||1|)(|)]([)(,+∞<<∞-y .例5 设),(~2σμN X ,σμ-=X Y ,，则)1,0(~N Y . 解: b aX Y +=,01>=σa ,σμ-=b ,于是()μσσϕϕϕ+=⎪⎭⎫⎝⎛-=y a b y ay XX Y 1)(,()22][222212yy ee --+-==πσπσσμμσ, +∞<<∞-y .例6 设),(~2σμN X ,b aX Y +=,)0(≠a ，则),(~22σμa b a N Y +.证明: 222)(||21||1)(σμσπϕϕ---=⎪⎭⎫⎝⎛-=a b y X Y ea ab y a y2222)]([||21ab a y e a σμσπ+--=，+∞<<∞-y所以 ),(~22σμa b a N Y +.(2)设)(~x X ϕ,b x a <<,)(X f Y =,0)(>'x f ，)(b f =α，)(a f =β,)(y h 为)(x f 的反函数,则)()]([)(y h y h y X Y '=ϕϕ，βα<<y . 证明:因0)(>'x f ,则)(x f y =在),(b a 上存在反函数)(y h x =,且0)(>'y h ,那么)(y h 递增.显然βα≤≤)(X f ,且})({}{)(y X f P y Y P y F Y ≤=≤=. ① 当α≤y 时, 0)(=y F Y ,⇒0)(=y Y ϕ； ② 当β≥y 时, 1)(=y F Y ,⇒0)(=y Y ϕ； ③ 当βα<<y 时,)]([)}({)}()]([{)(y h F y h X P y h X f h P y F X Y =≤=≤=, 所以 )()]([)()(y h y h y F y X Y Y '='=ϕϕ.(2)’ 设)(~x X ϕ,b x a <<,)(X f Y =,0)(<'x f ，)(a f =α，(b f =β,)(y h 为)(x f 的反函数,则|)(|)]([)(y h y h y X Y '=ϕϕ，βα<<y . 证明:同(2),只是0)(<'y h ,那么)(y h 递减. 当βα<<y 时,)}({1)}({)}()]([{)(y h X P y h X P y h X f h P y F Y <-=≥=≥= )]([1y h F X -=,所以|)(|)]([)()]([)()(y h y h y h y h y F y X X Y Y '='-='=ϕϕϕ.例7 设)2,2(~ππ-U X ,X A Y sin =,)0(>A ，求)(y Y ϕ.解:已知x A x f y sin )(==,0)(>'x f ,)2,2(ππ-∈x ,A -=α,A =β,Ay y h arcsin)(=,221)(yA y h -='，又 ⎩⎨⎧>≤=.2/|| ,0 ,2/|| ,1/ )(πππϕt t t X所以 ⎪⎩⎪⎨⎧<<--='=. ,0 , ,1|)(|)]([ )(22其他A y A yA y h y h y XY πϕϕ(3) 设)(~x X ϕ,)(X f Y =,)()(x f x f i =,i I x ∈,且在i I 导数恒不为零,)(y h i 为)(x f i 的反函数, }),(|{i i i I x x f y y J ∈==,i I 为互不相交的区间,.,,2,1m i =,则 iJ y i mi i XY y h y h y ∈='=∑|)(|)]([)(1ϕϕ.证明：由(2)知, |)(|)]([)()(y h y h y i i X X f i '=ϕϕ,i J y ∈.∑∑=∈≤=≤=≤=mi iI e X Y y X fP y X f e P y X f e P y F i1)(})({})(|{})(|{)(iJ y i mi i Xmi i Y Y y h y h y X f P dyd dyy dF y ∈=='=≤==∑∑|)(|)]([})({)()(11ϕϕ.例8 设)(~x X ϕ,2X Y =,则)]()([21)(y y yy X X Y -+=ϕϕϕ，0>y .证明:令0,0,)(,)(121><-===y x y y h x x f y ，0,0,)(,)(222><===y x y y h x x f y ,那么),0(21+∞==J J .由(3)知 )]()([21|)(|)]([)(021y y yy h y h y X X y i i i XY -+='=>=∑ϕϕϕϕ,0>y .例9 设)1,0(~N X ,2X Y =,则)1()21,21(~22χ∆=Γ=X Y .解: )(1)]()([21)(y yy y y y X X X Y ϕϕϕϕ=-+=()21121212)2/1(2/1211---Γ==eyeyy π,0>y .所以 )21,21(~2Γ=XY .四、随机变量存在定理设定义在R 上的函数)(x F 满足：(1)R ∈∀x ,1)(0≤≤x F ；(2))(x F 为单调不减函数；(3)0)(lim =-∞→x F x ,1)(lim =+∞→x F x ；(4))(x F 为右连续函数.则)(x F 必为某一维随机变量的分布函数.事实上,取)1,0(~U X ,定义})(|sup{)(x t F t x G <=,则)(X G Y =的分布函数为)(x F .说明: ① 由此可见满足分布函数(1)-(4)的)(x F 可确定一个随机变量.②利用数学或物理的方法产生)1,0(中均匀分布随机变量的子样(称为均匀分布随机数)，再利用变换)(X G Y =可得到任意分布)(x F 的随机数.这在蒙特卡洛方法中具有重要性．证明:①先证明)(x G 单调不减,那么)(x G 是波雷尔函数.R ∈<∀21x x ,若1)(x t F <,有2)(x t F <⇒})(|{})(|{11x t F t x t F t <⊂<⇒})(|sup{})(|sup{21x t F t x t F t <≤<⇒)()(21x G x G ≤. 所以)(x G 单调不减.其次证明)(x G 的定义域)1,0(⊃D .因X 的值域为)1,0(, 这样)(X G 就是一维随机变量.)1,0(∈∀r ,因(3),必R ∈'''∃x x ,,使得)()(x F r x F ''<<'. 因r x F <')(,有})(|{r t F t x <∈',于是})(|{r t F t <非空；又})(|{r t F t s <∈∀,有)()(x F r s F ''<<,因(2),有x s ''<, 于是})(|{r t F t <有界,这样})(|sup{)(r t F t r G <=存在,. 于是D r ∈,那么D ⊂)1,0(.③ 再证明R ∈∀x ，有x y F x G y <⇔<)()(，这样 )()(y F x y x G ≤⇔≤.“⇐”x y F <)(,因(4),则y y >'∃,使得x y F y F <'<)()(， 这样 )(})(|sup{x G x t F t y y =<≤'<“⇒”)(x G y <，因})(|sup{)(x t F t x G <=,则})(|{ x t F t y <∈'∃， 使得y y x G x G '<--])([)(,即y y '<,又因(2),有x y F y F <'≤)()(. ④ 最后证明)(X G Y =的分布函数为)(x F .因)1,0(~U X ,故x x F X =)(,10≤≤x ,而由(1)知1)(0≤≤y F , 因此 R ∈∀y ，)()]([)}({})({}{)(y F y F F y F X P y X G P y Y P y F X Y ==≤=≤=≤=.第二节 n 维随机变量一、n 维随机变量1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，k X ，)(n N k ∈为S 上的一维随机变 量，称),,,(21n X X X X =为S 上的n 维随机变量.符号约定：设nn n y y y y x x x x R ∈==),,,( ),,,,(2121 ,规定： ① y x <⇔k k y x <；n k ,,2,1 =.②y x ≤⇔k k y x ≤，)(n N k ∈.③将),,,(21n x x x x =写成列(column)向量) (21'n x x x ,即==),,,(21n x x x x ) (21'n x x x .) (),,,(2121'==n n X X X X X X X .2、X 关于J X 的边缘分布：),,,(21mk k k I X X X X =.)(),,,(21n N k k k I m ⊂= 表示)(},,,{21n N k k k m ⊂ .3、X 的分布：}{B P ∈X , n B B ∈. 其中可证：=∈}{B X F ∈∈∈},)(|{S e B e X e .4、分布函数(1)定义：设),,(P S F 为一概率空间，X 为S 上的n 维随机变量, n x R ∈∀,规定}{)(x X P x F ≤=.称)(x F 为X 的分布函数.(2) 性质① n x R ∈∀,1)(0≤≤x F .② )(x F 关于k x 为单调不减右连续函数，)(n N k ∈. ③ 0)(lim =-∞→x F J x ,)(n N J ⊂；1),,,(=+∞+∞+∞ F .④ ),,,(lim }{)(21n x J JJ x x x F x XP x FJ JX +∞→=≤=,)(n N J J =+.5、相互独立: 设),,,(21m X X X X =,)(x F 为X 的分布函数, 而),,,(21kkn k k k X X X X =为k n 维随机变量, )(k k x F 是k X 的分布函数,m k ,,2,1 =，恒有)(x F ∏==mk k kx F1)(，则称m X X X ,,,21 相互独立.注：① 若mmn m n X X ,,,,,,11111X X 独立,即X 独立， 则m X X X ,,,21 独立.②m X X X ,,,21 独立⇔kn k B B ∈∀，m k ,,2,1 =恒有}{}{}{},,,{22112211m m m m B X P B X P B X P B X B X B X P ∈∈∈=∈∈∈ .③ 若),,,(21m X X X X =相互独立 ⇒kJ J J X X X ,,,21独立,)(21m N J J J k ⊂+++ .6、随机变量序列}{n X 的独立：若}{n X 中任意有限个随机变量独立，则称}{n X 独立.n 维离散型随机变量1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，),,,(21n X X X X =为S 上的n 维随机变量，若X 的取值为有限个或可数个(至多可数)，称X 为S 上的n 维离散型随机变量.显然：X 为S 上的n 维离散型随机变量⇔i X ),,2,1(n i =均为S 上的一维离散型随机变量.2、概率分布：假设X 所有可能取的值为I x ),,,(21ni i i x x x =，nn i i i I N ∈=),,,(21 ，令},,,{}{2121ni n i i I I x X x X x X P x X P p ====== ,称其为n 维随机变量X 的概率分布.3、分布律性质(1)0≥I p ; (2) 1=∑II p ;(1)(2)为离散型随机变量的特征性质. 反之亦然.(3) ∑∈=∈Bx I I p B X P }{,n B B ∈；(4)n X X X ,,,21 独立⇔nI N∈∀,恒有}{}{}{}{2121n i n i i I x X P x X P x X P x X P ===== .4、IJ p Y X ~),(的边缘分布,n I N ∈,mJ N ∈(1)),(Y X 关于X 的边缘分布：∑=∙JIJ I p p X ~.(2)),(Y X 关于Y 的边缘分布：∑=∙IIJ J p p Y ~.5、IJ p Y X ~),(的条件分布(1)在I x X =的条件下Y 的分布：∙===I IJ I J p p x X y Y P }|{.在J y Y =的条件下X 的分布：JIJ J I p p y Y X X P ∙===}|{.三、n 维连续型随机变量1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，X 为S 上的n 维随机变量，)(x F 为X 的分布函数,若存在非负可积函数)(x ϕ，对n x R ∈∀,有⎰≤=xt dt t x F )()(ϕ,则称X为n 维连续型随机变量. )(x ϕ为X 的概率密度函数.记作)(~x X ϕ. 注：(1) )(x F 为连续函数；(2) )(x ϕ意义与一维相同.2、性质(1)0)(≥x ϕ; (2)⎰∈=nx dxx R1)(ϕ；(1)(2)为连续型随机变量的特征性质. 反之亦然.(3)⎰∈=∈Bx dx x B X P )(}{ϕ,nB B∈；(4)n B B ∈∀,若0)(=B m ,有0}{=∈B X P .(5)n X X X ,,,21 独立⇔nn R x x x x ∈=∀),,,(21 ,恒有∏==nk k X X x x k1)()(ϕϕ.3、 X 关于J X 的边缘分布： ⎰=JJ dx x x )()(ϕϕ，)(n N J J =+.4、在J J x X =的条件下L X 的分布： )()()|(J L J J L x x x x ϕϕϕ+=，)(n N L J ⊂+. 例1 (均匀分布) 在n A B ∈(0)(>A m )中任取一点X ，则X 的密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=. ,0 , )(1)(A x A x A m x ，ϕ 此时，记：)(~A U X .例2 (n 维正态分布) 设)(~),,,(21x X X X X n ϕ =,n R ∈μ,C 为n 阶正定对称矩阵，且)()(211212||)2(1)(μμπϕ-'---=x Cx eC x n,n x R ∈称X 服从n 维正态分布，记作),(~C N X μ.特别,当2=n 时, ),(21μμμ=,因⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211c cc c C 为二阶正定对称矩阵,于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22121211c cc c C ,且011>c ,0||2122211>=-C c c c ,那么022>c , 令111c =σ,222c =σ,221112c c c =ρ，这样1||<ρ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22212121σσρσσρσσC , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-212121221||1σσρσσρσσC C, )1(||22222ρσσ-=C , 于是 )()(211212||)2(1)(μμπϕ-'---=x C x eC x n⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-------=2222212121212)())((2)()1(21221121σμσσμμρσμρρσπσy y x x e，这正是二维正态分布.第三节 n 维随机变量函数一、n 维随机变量函数1、n 元波雷尔函数：设)(x f 为n 元实函数,若1B ∈∀B , 有n B x f x B fB ∈∈=-})(|{)(1，则称)(x f 为n 元波雷尔函数.可以证明：连续函数是波雷尔函数.2、定义：设),,(P S F 为一概率空间，X 为S 上的n 维随机变量，)(x f 为n 元波雷尔函数, S e ∈∀,规定: ))(()(e X f e Y =R ∈,称Y 为X 的函数. 记作)(X f Y =.3、显然：1B ∈∀B ,F ∈∈=∈=--)}()(|{}))((|{)(11B fe X e B e Xf e B Y ，故Y 也是S 上的一维随机变量.二、离散型设X 的概率分布为}{I x X P =,n I N ∈,)(X f Y =为X 的函数， 则Y 的概率分布为)}({I x f Y P =.例1 设),(Y X 的概率分布为YX -1 1-1 1/4 1/3 1 1/6 1/4求：(1)Y X +；(2) Y X -2 的概率分布.解:列表计算P),(Y X Y X + Y X -2 1/4 (-1,-1) -2 -1 1/3 (-1,1) 0 -3 1/4 (1,1) 2 1 1/6 (1,-1) 0 3所以:(1) Y X +的概率分布为:Y X +-2 0 2 P1/4 1/2 1/4(2)Y X -2的概率分布为:Y Z -2-3 -1 13 P1/3 1/4 1/4 1/6例2 设)(~i i P X λ,2,1=i 独立, 21X X Z +=则 )(~2121λλ++=P X X Z . 解：Z 的可能取值为 ,2,1,0,而∑=-====+==ki i k X i XP k X X P k Z P 02121},{}{}{∑∑=---=-=-===ki ik iki ei k ei i k X P i XP 02102121)!(!}{}{λλλλ)(21210)(2121!)()!(!!!λλλλλλλλ+--=+-+=-=∑ek i k i k k eki k i ki ，0N k ∈,所以)(~2121λλ++=P X X Z .三、连续型1、分布函数法: 设),(~),(y x Y X ϕ，),(Y X f Z =,为S 上的二维随机变量, (1) 先求出⎰⎰≤=≤=≤=zy x f Z dxdyy x z Y X f P z Z P z F ),(),(}),({}{)(ϕ,R ∈∀z ；(2) 再求出)()(z F z Z Z '=ϕ.2、随机变量四则运算公式: 设二维随机变量),(~),(y x Y X ϕ.(1)Y X Z +=,则 ⎰+∞∞--=dx x z x z Z ),()(ϕϕ，或⎰+∞∞--=dyy y z z Z),()(ϕϕ.若X 与Y 独立，则⎰+∞∞--=dx x z x z Y XZ )()()(ϕϕϕ.证明：⎰⎰⎰⎰+∞∞--∞-≤+==xz z y x Z dyy x dx dxdyy x z F ),(),()(ϕϕ⎰⎰⎰⎰∞-+∞∞-+∞∞-∞-=--=-====zzyx t dx x t x dt dtx t x dx ),(),(ϕϕ⎰⎰⎰∞-∞-+∞∞-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=zzdt t dt dx x t x )(),(ζϕϕ,所以⎰+∞∞--=dx x z x z Z ),()(ϕϕ.例3 设)1,0(~N X i ,2,1=i 独立,则)2,0(~21N X X Z +=. 证明：由 222222)(z xz x x z x +-=-+ 22222222)2(22222z z x z z zxx +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=, 从而 ⎰⎰+∞∞----+∞∞-=-=dx eedx x z x z x z xX X Z 2)(2222121)()()(πϕϕϕ⎰⎰∞+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅-∞+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2221221222222222222222z x d eedx eez x z z x zπππ ()2222221⋅-=z eπ,R ∈z . 所以)2,0(~N Z .注：一般地，设),(~2i i i N Z σμ,2,1=i 独立,则),(~22212121σσμμ+++=N X X Z .4 设),(~λi i r X Γ,2,1=i 独立, 21X X Z +=则 ),(~2121λr r X X Z +Γ+=.证明: ⎰⎰+∞+∞∞--=-=)()()()()(2121dx x z x dx x z x z X X X X Z ϕϕϕϕϕ,① 当0≤z 时, 0)(=z Z ϕ； ② 当0>z 时,⎰⎰------ΓΓ=-=zx z r r r r zX X Z dx ex z r exr dx x z x z 0)( 12 x11 0221121)()()()()()(λλλλϕϕϕ⎰⎰---+-=--+--⋅ΓΓ===-ΓΓ=111121 0112121212121)1()()()()()()(dt t tz r r edx x z xr r er r r r zxzt zr r r r z λλλλλzr r e z A 121)(λλλ--+=，又因 ) ()()()(1210121r r A z d ez A dz z zr r Z +Γ===⎰⎰+∞--++∞∞-λλϕλ,⇒[]121) (-+Γ=r r A ，这样 []z121 1121212121)()() ()(λλλλλϕ--++--+-+Γ=+Γ=ezr r ez r r z r r r r zr r Z .所以),(~21λr r Z +Γ.(2)Y X Z -=,则 ⎰+∞∞--=dx z x x z Z ),()(ϕϕ.若X 与Y 独立，则⎰+∞∞--=dx z x x z Y XZ )()()(ϕϕϕ.证明：⎰⎰⎰⎰+∞∞--∞-≤-==zx z y x Z dy y x dx dxdyy x z F ),(),()(ϕϕ⎰⎰⎰⎰∞-+∞∞-+∞∞-∞-=--=-====zzyt x dx t x x dt dtt x x dx ),(),(ϕϕ,所以 ⎰+∞∞--=dx z x x z Z ),()(ϕϕ.独立时简单证明: 因 )()(y y Y Y -=-ϕϕ,于是⎰⎰+∞∞-+∞∞---+-=-==dx z x x dx x z x z z Y XY XY X Z )()()()()()()(ϕϕϕϕϕϕ.(3) XY Z =,则 ⎰+∞∞-=dy y yz y z Z ),(||1)(ϕϕ，或⎰+∞∞-=dx xzx x z Z ),(||1)(ϕϕ.若X 与Y 独立，则⎰+∞∞-=dx xzx x z Y X Z )()(||1)(ϕϕϕ.证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞-∞+≤+==),(),(),()(yzyzzxy Z dxy x dy dx y x dy dxdyy x z F ϕϕϕ⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞-∞-=+===01),(1),(zzxyt dt yy yt dydt yy yt dyϕϕ⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞-∞-+=00),(||1),(||1zzdt y yt y dydt y yt y dyϕϕ⎰⎰⎰⎰∞-+∞∞-+∞∞-∞-==zzdy y yt y dtdt y yt y dy),(||1),(||1ϕϕ所以 ⎰+∞∞-=dy y yz y z Z ),(||1)(ϕϕ.例5 设),(~),(y x Y X ϕ,且⎩⎨⎧<≤<= . ,0,10 8),(其他，y x xy y x ϕXY Z =,求)(z Z ϕ.解:⎰⎰==+∞∞-1),(1),(||1)(dy y yz ydy y yz y z Z ϕϕϕz z y d y yz yZZZ ln 481110-==+=⎰⎰⎰,10<<z .(4) YX Z =,则 ⎰+∞∞-=dy y yz y z Z ),(||)(ϕϕ.若X 与Y 独立，则⎰+∞∞-=dy y yz y z Y XZ )()(||)(ϕϕϕ.证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-+∞≤+==),(),(),()(zyzyzyxZ dx y x dy dx y x dy dxdyy x z F ϕϕϕ⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞--∞=+===00),(),(zzxty ydty ty dy ydt y ty dy ϕϕ⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-∞-+=00),(||),(||zzdt y ty y dy dt y ty y dy ϕϕ⎰⎰⎰⎰∞-+∞∞-+∞∞-∞-==zzdyy ty y dt dt y ty y dy ),(||),(||ϕϕ所以 ⎰+∞∞-=dy y yz y z Z ),(||)(ϕϕ.例5 设)(~i Exp X i ,2,1=i 独立, 21X X Z =,求)(z Z ϕ. 解: ⎰⎰+∞+∞∞-==)()()()(||)(2121dy y yz y dy y yz y z X X X X Z ϕϕϕϕϕ，① 当0≤z 时, 0)(=z Z ϕ；当0>z 时, ⎰+∞--=22)(dy eyez yzyZ ϕ22)2(122)2(2)2()2(2])2[()2()2(2z z y z d ez z yz +=+Γ=+++=⎰+∞+--.所以 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0 ,0 ,0 ,)2(2)(2z z z z Z ϕ四、最大、最小公式设),,,(21n X X X 为S 上的n 维随机变量,且n X X X ,,,21 独立.(1) },,,max{21n X X X Z =，则∏==ni X Z z Fz F i1)()(.证明: }},,,{max{}{)(21z X X X P z Z P z F n Z ≤=≤= },,,{21z X z X z X P n ≤≤≤=∏==≤≤≤=ni X n z Fz X P z X P z X P i121)(}{}{}{ .(2)},,,min{21n X X X Z =，则∏=--=ni X Z z F z F i1)](1[1)(.证明: }},,,{min{1}{1}{)(21z X X X P z Z P z Z P z F n Z >-=>-=≤=},,,{121z X z X z X P n >>>-=∏=--=>>>-=ni X n z F z X P z X P z X P i 121)](1[1}{}{}{1 .例6 设)(~i i Exp X λ,2,1=i 独立,},max{211X X Z =,},min{212X X Z =, 求)(1z Z ϕ,)(2z Z ϕ.解:已知 xX i i ex F λ--=1)(,0>x ,那么① )1)(1()()()(21211zzX X Z eez F z F z F λλ----==,0>z ,zzzZ Z eeez F z )(2121212111)()()(λλλλλλλλϕ+---+-+='=，0>z .⎩⎨⎧≤>+-+=+---.0 ,0,0 ,)( )()(212121211z z e e e z z z z Z λλλλλλλλϕ② zX X Z ez F z F z F )(212121)](1)][(1[1)(λλ+--=---=,0>z ,zZ Z ez F z )(212122)()()(λλλλϕ+-+='=，0>z .所以 ⎩⎨⎧≤>+=+-.0 ,0,0 ,)( )()(21212z z e z z Z λλλλϕ五、函数的独立性设m X X X ,,,21 独立，),,,(21kkn k k k X X X X =，)(k k k X f Y =，m k ,,2,1 =.则 m Y Y Y ,,,21 也独立.证明：121,,,B ∈∀m B B B ,有},,,{2211m m B Y B Y B Y P ∈∈∈)}(,),(),({121221111m m m B f X B f X B f X P ---∈∈∈= )}({)}({)}({121221111m m m B f X P B f X P B f X P ---∈∈∈=}{}{}{2211m m B Y P B Y P B Y P ∈∈∈=例8 设),(~2i i i N X σμ,m i ,,2,1 =独立,则),(~1211∑∑∑====mi i mi i mi iN XY σμ.例9 设),(~λi i r X Γ,m i ,,2,1 =独立, 则),(~11λ∑∑==Γ=mi i mi ir XY .例10 设X 与Y 独立，且)(),(y x Y X ϕϕ,),(y x ϕ均连续, 而)(),(~),(22y x q y x Y X +=ϕ,则X 与Y 均服从正态分布.引理:设)(x f 与)(y g )0,(≥y x 都连续不恒为0,且0,≥∀y x 恒有)()()(y x h y g x f +=,则xka x f =)(,0≥x ，此处a k ,是常数, 0>a .证明:①先证明0)0(≠f .反证.假设0)0(=f ，则0)(≡x h .)(y g 不恒为0,故00≥∃y ,使得0)(0≠y g ,,那么0)()()(00≡+=y g y x h x f ,这与)(x f 不恒为0矛盾,故0)0(≠f .同理可证0)0(≠g .② 由于)()()0()0()(x h x g f g x f ==,那么)()0()0()()0()()0()(x p g f x h g x g f x f ===, 于是)()0()0()()0()()0()()()(y x p g f y x h g y g f x f y p x p +=+==,0,≥y x . ③ 再证明 0)1(≠p .反证. 假设0)1(=p ⇒0)1()1(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡p n p n⇒0)1(lim )0(==→∞n p p n .而1)0()0()0(==f f p ,故0)1(≠p .④ 因)()()(y x p y p x p +=,0,≥y x .则 x a x p =)(⇒x x ka a f x f ==)0()(.此处a k ,是常数,且 0)21()21()1(>==p p p a .例10证明: 因X 与Y 独立,则)(),()()(22y x q y x y x Y X +==ϕϕϕ.考虑在第一象限1D 中,令)()()(22x x x f X X ϕϕ==,)()()(22y y x g Y Y ϕϕ==, 显然都连续不恒为0,再令 )()(2222y x q y x h +=+,于是 )()()(2222y x h y g x f +=,因此2)()(2x X ka x f x ==ϕ,0)0()0()1(>=g f h a .由于σπσπσπϕσ222)(12222k dx ek dx a kdx x xx====⎰⎰⎰+∞∞--+∞∞-+∞∞-,有σπ21=k ,其中,因⎰+∞∞-dx a x2收敛,于是10<<a ,这样0ln 21>-=aσ.从而22221)(σσπϕxX ex -=，在其他三象限同样有此结果,于是),0(~2σN X .由对称性知道, ),0(~2σN Y .六、随机变量的变换)(~x X ϕ为S 上的n 维随机变量，)(x f y =为nn R R →的变换,)(x f y =在其定义域x D 上雅可比行列式0≠∂∂=xyJ ，y D 为其值域， 则)(x f y =有逆变换)(y h x =,)(X f Y =也是S 上的n 维随机变量，且1)]([)]([)(-=∂∂=Jy h yx y h y X X Y ϕϕϕ，y D y ∈. 证明：n y R ∈∀,有⎰≤=≤=yx f XY dx x y X f P y F )()(})({)(ϕ,0≠∂∂xy ,x D x ∈,故)(x f t =有逆变换)(t h x =,且0≠∂∂tx ，那么⎰⎰≤≤∂∂==yt X yx f X Y dt tx t h dx x y F )]([)()()(ϕϕ.又⎰≤=yt YY dt t y F )()(ϕ,故 yx y h y X Y ∂∂=)]([)(ϕϕ，y D y ∈.华东师大《数学分析(下)》例11 设),(~),(y x Y X ϕ，Y X Z +=,则 ⎰+∞∞--=dx x z x z Z ),()(ϕϕ.证明：令Y X Z +=,X W =,定义域和值域都是2R ,且雅可比行列式为10111-==∂∂∂∂∂∂∂∂=y w x w yzx z J , 而逆变换),(w z h 为W X =,W Z Y -=.这样),(W Z 的密度函数为),(),()],([),(11w z w y x J w z h w z -===-ϕϕϕϕ，于是⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-=dx x z x dww z w z Z ),(),()(ϕϕϕ.。
随机变量的函数分布
解
因为v
g(θ)
A sin θ
在
π 2
,
π 2
上恒有
g(θ) Acosθ 0,
所以反函数为 θ h(v) arcsin v , A
h(v) 1 , A2 v2
15
又由Θ
~
U
π 2
,
π 2
,
知
Θ
的概率密度为
f
(θ
)
1 π
,
π θ π,
2
2
0, 其他.
由定理得V Asin Θ 的概率密度为
如何根据已知的随机变量 X 的分布求得随机 变量 Y f ( X ) 的分布?
2
例1 设 X 的分布律为
X 1 0 1 2 1111
p 4444 求 Y X 2 的分布律.
解 Y 的可能值为 (1)2 , 02 , 12 , 22;
即 0, 1, 4. P{Y 0} P{ X 2 0} P{ X 0}
1, 4
3
P{Y 1} P{X 2 1} P{(X 1) ( X 1)}
P{X 1} P{X 1} 1 1 1 , 44 2
P{Y 4} P{ X 2 4} P{ X 2} 1 , 4
故Y 的分布律为 Y p
014 111
424
由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.
数的概率密度的方法.
11
定 理 设随机变量 X 的具有概率密度 fX ( x), 其 中 x , 又设函数 g( x)处处可导, 且恒有 g( x)
0 (或恒有g( x) 0), 则称Y g(Y )是连续型随机
变量, 其概率密度为
fY
(
y)
f
随机变量的特征函数
随机变量的特征函数随机变量的特征函数是描述随机变量的一个重要工具，广泛应用于概率论和数理统计等领域。
特征函数可以用于确定随机变量的分布、刻画随机过程的性质以及进行概率计算等。
在本文中，我们将从定义、性质、应用等方面对随机变量的特征函数进行详细介绍。
一、定义设X是一个随机变量，其概率密度函数（或概率质量函数）为f(x)，特征函数定义为：ϕ(t) = E[e^(itX)]其中，i是虚数单位（i^2=-1）。
特征函数是一个复数函数，其自变量t也是复数。
特征函数的定义包含了随机变量本身的所有信息，因此可以通过特征函数来刻画随机变量的分布。
二、性质1.偶函数性质特征函数是一个偶函数，即ϕ(-t) = ϕ(t)。
这是由特征函数定义中的e^(itX)的形式决定的。
2.边界性质对于任意复数t，有，ϕ(t)，≤1、这是由特征函数的定义可以得到的结论。
3.一一对应性质如果两个随机变量的特征函数相等，即ϕ1(t)=ϕ2(t)，则两个随机变量具有相同的分布。
这个性质可以用来判定两个随机变量是否具有相同的分布。
4.完备性性质特征函数在一些条件下具有完备性，即可以唯一决定分布。
这个性质在数理统计中具有重要的应用。
三、应用1.分布的确定对于一个随机变量X，若其特征函数ϕ(t)已知，那么可以通过反演公式来求解X的分布。
即X的分布函数可以通过特征函数的逆变换来确定。
2.随机过程的性质刻画特征函数在随机过程中具有广泛的应用，可以用来刻画随机过程的独立性、平稳性、马尔可夫性等性质。
3.概率计算特征函数在概率计算中也非常有用，可以通过特征函数来计算随机变量的数学期望、方差以及高阶矩等。
四、示例为了更好地理解特征函数的应用，下面我们以一个简单的示例来说明。
假设一个随机变量X的概率密度函数为：f(x)=1/π(1+x^2)，如果，x，≤1那么该随机变量的特征函数为：ϕ(t) = E[e^(itX)] = 1/π∫[−1,1]e^(itx)f(x)dx将概率密度函数代入上式并计算积分，得到：ϕ(t) = 1/π∫[−1,1]e^(itx)/π(1+x^2)dx这个积分可以使用复变函数的技巧来求解，最终可以得到：ϕ(t)=e^(-，t，)由此，我们可以判定该随机变量X服从柯西分布。
第六章随机变量的函数及其分布
定理1 正态分布的线性函数仍服从正态分布
设X ~ N ( , ), Y aX b(a 0), 则
2
Y ~ N (a b, (a ) )
2
推论 正态分布的标准化方法 X 2 若X ~ N ( , ), 则 ~ N (0, 1)
定理2 若随机变量X及其函数Y = g(X)的密度函 数分别为fX (x), fY (y), 且g(x)是严格单调 函数，则： fY ( y) f X [(G( y)] G( y) 其中x = G(y)为y = g(x)的反函数.
例：设(X, Y)的联合分布律为： Y 0 1 2 X 1 1 3 1 12 12 12 1 1 2 0 2 12 12 2 2 3 0 12 12 请求出：(1) X+Y的分布律； (2) X-Y的分布律； (3) X2+Y-2的分布律.
解：由(X, Y)的联合分布律可得如下表格
1 1 ( , 2) ( , 1) (3, 2) ( X , Y ) ( 1, 2) ( 1, 1) ( 1, 0) 2 2
概率 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12 X-Y 1 0 -1 5/2 3/2 5 3
概率 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12
X2+Y-2
-3
-2
-1
-15/4 -11/4
5
7
概率
1/12 1/12 3/12 2/12 1/12
2/12 2/12
或
两个独立随机变量的和的分布 如果X与Y相互独立，则： X P (1 ) (1) X Y P (1 2 ) Y P ( 2 )
随机变量的函数的实际例子
随机变量的函数的实际例子随机变量的函数是指将随机变量映射到一个实数或实向量的函数。
在实际生活中，我们常常会遇到各种涉及随机变量的函数。
下面列举了十个不同的实际例子，以帮助理解随机变量的函数的概念。
1. 体重指数（BMI）：身体质量指数是一个常用的健康指标，它是体重与身高的函数关系。
我们可以将一个人的体重和身高作为随机变量，计算出他们的BMI值。
2. 股票收益率：股票的收益率可以看作是股票价格的函数。
假设某支股票的价格是一个随机变量，我们可以计算出它的收益率，用来评估股票的盈利能力。
3. 温度转换：将摄氏温度转换为华氏温度是一个常见的函数关系。
我们可以将摄氏温度作为随机变量，计算出对应的华氏温度。
4. 信号传输：在无线通信中，信号传输的质量（如信噪比）可以看作是输入信号的函数。
我们可以将输入信号的功率作为随机变量，计算出对应的信噪比。
5. 机器学习模型：在机器学习中，模型的输出通常是输入特征的函数。
例如，给定一张图片作为输入，卷积神经网络可以输出该图片所属的类别。
6. 电子商务推荐系统：推荐系统可以根据用户的历史购买记录和其他特征，将用户的购买意愿作为随机变量的函数。
这样，系统可以根据用户的个性化需求，推荐适合他们的商品。
7. 网络流量分析：网络流量可以看作是时间的函数。
我们可以将时间作为随机变量，分析网络流量在不同时间段的变化趋势，以便进行网络管理和优化。
8. 天气预报：天气预报可以将时间作为随机变量，预测未来某个时间点的天气情况。
这个函数可以根据历史天气数据和气象模型来计算。
9. 交通流量预测：交通流量可以看作是时间和地点的函数。
我们可以将时间和地点作为随机变量，预测未来某个时间点和地点的交通流量，以便进行交通管理和规划。
10. 网络搜索排序：搜索引擎的排序算法可以将搜索词、网页特征和用户行为作为随机变量的函数。
根据这些随机变量，搜索引擎可以为用户提供最相关的搜索结果。
这些例子展示了随机变量的函数在不同领域的应用。
随机变量的函数的分布
概率论与数理统计
2
❖ 一.离散型随机变量函数的分布
➢设X是离散型随机变量，X的分布律为
X x1 x2 … xn … pi p1 p2 … pn …
则Y = g(X)也是一个离散型随机变量，此时Y的分布律为
Y=g(X) g(x1) g(x2) … g(xn) …
pi
p1
p2
…
pn
…
当 g(x1), g(x2), … , g(xn)中有某些值相等时，则把那些相 等的值分别合并，并把对应的概率相加即可．
由题意可知，
3
31
1
P(Y 0) P( X 3)
f X ( x)dx
1
dx , 42
P(Y 1) P( X 3) 1 P( X 3) 1 1 1 . 22
概率论与数理统计
10
❖ 二.连续型随机变量函数的分布
1.分布函数法
➢ 例2.5.2 已知随机变量X服从区间(1，5)内的均匀分布即
➢ 解 可得到分布函数如下
0, FY ( y) ln y,
1,
y1 1 y e, ye
Y=eX 的概率密度函数为
fY
(
y)
FY
(
y)
1 y
,
0,
1 ye .
其他
概率论与数理统计
13
❖ 二.连续型随机变量函数的分布
1.分布函数法
➢ 例2.5.4 设随机变量X具有概率密度fX(x), -∞<x<+∞, 求 Y=X2的概率密度．
➢求连续型随机变量的函数的概率密度主要有两种方法， 即分布函数法和公式法．主要讲分布函数法.
1. 分布函数法
➢设连续型随机变量X的概率密度为 fX(x)，求 X的函数 Y = g(X) 的概率密度 fY(y) 的方法是： （1）先求Y 分布函数：
随机变量的分布函数及其计算
随机变量的分布函数及其计算随机变量的分布函数是指随机变量取值在一个区间内的概率累计值的函数。
在概率论中，分布函数也被称为累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）。
分布函数常用于描述随机变量的取值范围和概率分布。
对于离散型随机变量来说，其分布函数可以表示为：F(x)=P(X≤x)，其中P表示概率，X表示随机变量，x表示变量的取值。
对于连续型随机变量来说，其分布函数可以表示为：F(x) = ∫[−∞, x] f(t)dt，其中f(t)表示随机变量的概率密度函数。
下面将分别介绍离散型随机变量和连续型随机变量的分布函数计算方法。
离散型随机变量的分布函数计算方法：在离散型随机变量中，概率函数通常是已知的。
因此，我们只需要对所有可能取值的概率进行累加，即可得到分布函数的值。
具体计算步骤如下：1.确定一些特定值x。
2.计算所有小于等于x的概率之和，即F(x)=P(X≤x)。
如果x取一些可能的取值，那么F(x)就是这个取值之前（包括这个取值）所有概率的累积。
例如，假设X是一个骰子的点数，其可能取值为1、2、3、4、5、6；对应的概率分别为1/6、可以计算得到分布函数如下：F(0)=P(X≤0)=0F(1)=P(X≤1)=1/6F(2)=P(X≤2)=2/6F(3)=P(X≤3)=3/6F(4)=P(X≤4)=4/6F(5)=P(X≤5)=5/6F(6)=P(X≤6)=1连续型随机变量的分布函数计算方法：在连续型随机变量中，通常会给出概率密度函数f(x)，例如正态分布、均匀分布等等。
对于连续型随机变量，其分布函数是通过对概率密度函数进行积分得到的，具体计算步骤如下：1.确定一些特定值x。
2. 计算从负无穷到x的概率密度函数的积分，即F(x) = ∫[−∞, x] f(t)dt。
积分的结果是一个累积概率，表示随机变量的取值小于等于x的概率。
例如，假设X是一个服从正态分布N(0,1)的随机变量，其概率密度函数为：f(x)=(1/√(2π))*e^(-x^2/2)我们可以计算得到分布函数如下：F(−∞) = ∫[−∞, -∞] f(t)dt = 0F(0) = ∫[−∞, 0] f(t)dt = 0.5F(1) = ∫[−∞, 1] f(t)dt ≈ 0.8413F(2) = ∫[−∞, 2] f(t)dt ≈ 0.9772F(3) = ∫[−∞, 3] f(t)dt ≈ 0.9987总结：随机变量的分布函数可以用来描述随机变量在一些取值范围内的概率分布情况。
随机变量的函数及其分布
一、二维离散型r.v.函数的分布 例1 设二维r.v. ( X, Y ) 的概率分布为 Y X -1 2 求X Y, X Y , 的概率分布.
-1
1
2
5 20 2 20 6 / 20
3 20 3 20 1 20
XY , Y X , max( X , Y )
解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格：
一般，若 X 是离散型 r.v ，X 的分布列为
X x1 P p1 x2 L xn p2 L p n
g ( x1 ) g ( x2 ) L g ( xn ) 则 Y=g(X) ～ p2 L pn p1
如果 g(xk) 中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可.
连续型随机变量函数的分布
i 1
i
设X 和Y 的联合密度为 p(x, y), 求Z=XY 的密度.
P ( Z z ) P ( XY z ) P ( X x , Y z / x ) p( x , z / x )dx | d ( z / x ) |
( z / x) p( x , z / x )dx | | dz z 1 p( x , z / x ) dx dz x
一般地，若 X 为连续型随机变量，其密度函数为 p(x)，求Y = g(X) 的概率密度。
(1)
若 g(x) 严格单调，其反函数有连续导函数，
则 Y = g(X ) 具有密度函数
p[ g ( y )] | [ g ( y )] |;
1 1
(2)
若 g(x) 在不相重叠的区间 I1, I2, … 上逐
1 pZ ( z ) p( x, z / x ) dx x
随机变量函数的分布
(296)
其中Cx{ t | g(t)x}
而P{XCx}往往可由X的分布函数FX(x)来表达或用其密
度函数fX(x)的积分来表达
P{X Cx} Cx fX (t)dt
进而 Y的密度函数 可直接从FY(x)导出
(297)
6
例228 设X是一个连续型随机变量 其分布函数F(x)是严 格单调递增的 则F(X)服从[0 1]上的均匀分布
10
(x)
FY(
x)
1 x
0(
x), x
当x0时
FY (x) P{X 2 x} P{
x
fXY
(x)
xF}Y(2x) 0(
1xx)010(,
x),
0, x 0,
x 0,
x0
(x) P{X 2 x} P{ x X
x X x} 20( x)1
x} 20(
x
) 1 fY (x)
1
e
x 2
§25 随机变量函数的分布
一、随机变量的函数 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布
1
一、随机变量的函数
随机变量的函数
如果存在一个函数g(x) 使得随机变量X Y满足
Yg(X)
(289)
则称随机变量Y是随机变量X的函数
如何从自变量X的统计规律导出其函数Yg(X)的统计规
律呢？
对任意区间(或区间的并)B 令C{x|g(x)B} 则
{YB}{g(X)B}{XC}
(290)
从而
P{YB}P{g(X)B}P{XC}
(291)
(291)说明 X的统计规律确实决定了Y的统计规律
2
例226 设X是一随机变量 且YX2 则对任意α0 有
随机变量的函数
随机变量的函数一、概述随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，它是指在一次试验中可能取到的不同值，而这些不同值对应的概率可以用一个分布函数来描述。
随机变量的函数则是指将一个或多个随机变量作为输入，并返回一个或多个实数输出的函数。
在实际问题中，随机变量的函数经常被用于描述某些事件的发生概率。
二、离散型随机变量的函数对于离散型随机变量X，其取值为有限个或可数个，其概率分布可以用一个概率质量函数p(x)表示。
对于任意给定的函数f(x)，我们可以定义另一个离散型随机变量Y=f(X)，即将X作为输入传入f(x)，并获得相应输出Y。
1. 期望期望是衡量一个离散型随机变量平均值的指标，它可以用以下公式表示：E(X) = ∑xp(x)其中∑表示对所有可能取到的x求和。
同样地，我们也可以定义f(x)关于X的期望：E(f(X)) = ∑f(x)p(x)2. 方差方差是衡量一个离散型随机变量偏离其期望值程度的指标，它可以用以下公式表示：Var(X) = E((X-E(X))^2) = ∑(x-E(X))^2p(x)同样地，我们也可以定义f(x)关于X的方差：Var(f(X)) = E((f(X)-E(f(X)))^2) = ∑(f(x)-E(f(X)))^2p(x)3. 概率分布函数概率分布函数是衡量一个离散型随机变量在某个取值范围内取到的概率的指标，它可以用以下公式表示：F(x) = P(X≤x) = ∑p(i), i≤x同样地，我们也可以定义f(x)关于X的概率分布函数：F(y) = P(Y≤y) = P(f(X)≤y) = ∑p(i), f(i)≤y三、连续型随机变量的函数对于连续型随机变量X，其取值为实数集合，其概率分布可以用一个概率密度函数f(x)表示。
对于任意给定的函数g(x)，我们可以定义另一个连续型随机变量Y=g(X)，即将X作为输入传入g(x)，并获得相应输出Y。
1. 期望期望是衡量一个连续型随机变量平均值的指标，它可以用以下公式表示：E(X) = ∫xf(x)dx其中∫表示对所有可能取到的x求积分。
随机变量函数的分布
1 1 2
三、连续型随机变量函数的分布 一般 地，连续型随机变量的函数不一定是连续型随 机变量， 但我们主要讨论连续型随机变量的函数还 是连续型随机变量的情形， 此时我们不仅希望求出 随机变量函数的分布函数， 而且还希望求出其概率 密度函数. 设已知 X 的分布函数 FX ( x ) 或概率密度函数 f X ( x ), 则随机变量函数 Y g( X ) 的分布函数
1 y b fX ( ). k k
例
设X ~ N ( , 2 ), Y aX b,(a, b为常数, 且a 0), 则Y ~ N (a b, a 2 2 ).
f X ( x)
1 2
1
e
( x )2 2 2
,( x )
1 2 a
2
P{Y x } P{ X 2 x } P{ X x } P{ X x }.
完
二、离散型随机变量函数的分布
设 X 为离散型随机变量， 其概率分布已知。 Y g( X )为X的函数.
若X 为D.r .v.
问题
Y g( X ) 为D.r .v .
如何根据随机变量 X 的分布 求得随机变量 Y g( X )的分布 ?
一、随机变量的函数 主要 我们讨论变量间的函数关系时， 在微积分中， 注： 研究函数关系的确定性特征， 例如： 导数、积分等. 而 在概率论中，我们主要研究的是随机变量函数的随机
即由自变量 X 的统计规律性出发研究因变量 Y 特征，
的统计性规律. 一般地， 对任意区间 I , 令 C { x | g( x ) I }, 则
( y ( a b ))2 2 a 2 2
1 yb 1 fY ( y ) fX ( ) k k a
随机变量的函数及其分布
FY(y)=P{Y≤y}=P{g(x)≤y} =P{X≤h(y)}
hy
f X x dx
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
于是得Y的概率密度
fY
(
y)
于是Y分布函数为
y, 0 y 1 其他
0,
FY
(
y)
y,
1,
y0 0 y1
其他
因此
fY
(
y)
FY'
(
y)
1, 2y
y0
0, 其他
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例：设随机变量X服从正态分布，X~N(0，1)，试求随机 变量函数Y=|X|的密度函数
可导，则Y=g(x)的概率密度为
fY
y
f
X
h
0
y
h y
其中x=h(y)为y=g(x)的反函数，
y
其他
min g , g , max g , g
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
证：我们只证g(x)>0的情况。此时g(x)在(-∞,+ ∞)严 格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(α，β)严格 单调增加，可导，现在先来求Y的分布函数FY(y)。 因为Y=g(X)在(α，β)取值，故当y≤α时，
2
因此
fY
(
y)
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X i ~ B(n, p).
i 1
（3）若X与Y相互独立且X~B(n,p),Y~B(m,p),则
X+Y~B(n+m,p).
(4) 若X与Y相互独立且X ~ P(1),Y ~ P(2 ), 则 X Y ~ P(1 2 )。
5. min(X,Y)及max(X,Y)的分布律
M1 min( X ,Y )表示取x与y中较小的数值， M 2 max( X ,Y )表示取x与y中较大的数值， M1与M 2也是X与Y函数。
解 当Y 0时，FY ( y) P{Y y} P{X 2 y} 0;
当Y
0时，FY P{ y
( y) P{Y y} X y}
y
P{ X 1
2 y} x2
e 2 dx
2
y
1
x2
e 2 dx
y 20 2ຫໍສະໝຸດ pY(y)
1
y 1
e 2y 2,
2
y 0;
0, y 0.
Z1 1 2 3 3 2 1 Z2 1 0 1 1 0 1
所求分布律为：
Z1 2 1 1 2 P 0.2 0.3 0.1 0.4
Z2 0
1
P 0.6
0.4
4. 几个重要结论
（1）若X与Y相互独立且都服从B(1,p),则
X+Y~B(2,p). （2）若X1, X2,…, Xn相互独立且都服从B(1,p),则
Y2 0 1 2.25 P 0.2 0.4 0.4
3. 二维离散型随机变量的函数
设二维离散型随机变量（X,Y)的函数Z=f(X,Y), 若（X,Y)的分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij .
P{ X xi ,Y y j } P{ f ( X ,Y ) f (xi , y j )}
解
X p(
~ x)
N(,
1
2
), e
(
x )2 2 2
,
2
则Y的分布函数
FY ( y) P{Y y}
P{ X y}
P{X y } 1
( x )2
y
e
2 2
dx,
2
则Y的分布密度
pY ( y) FY( y)
1
y2
e 2,
2
Y X ~ N(0,1).
例 设X ~ N(0,1)，求Y X 2的分布密度。
例 若X的分布律为： X -1 0 1 1.5 P 0.1 0.2 0.3 0.4
求Y1 2X 1,Y2 X 2的分布律.
解 可列表计算
X -1 0 1 1.5 P 0.1 0.2 0.3 0.4
Y1 3 1 1 2 Y2 1 0 1 2.25
所求分布律为：
Y1 3 1 1 2 P 0.1 0.2 0.3 0.4
分布函数法
(1)将FY ( y) P{Y y} P{ f ( X ) y}
h( x)
P{X h( y)} p(x)dx h( y )
or P{ g( y ) X h( y )} p( x )dx; g( y ) (2)对y求导，即可得到pY ( y).
例 重要结论
若X ~ N(, 2 ),则Y X ~ N(0,1).
内容
§3.1离散型随机变量的函数 §3.2连续型随机变量的函数
学习目标
1.离散型随机变量的函数（一维、二维） 2.连续型随机变量的函数（一维、二维）
§3.1 离散型随机变量的函数 1 函数概念的引入
我们的问题是：如何根据已知 随机变量的分布，来求函数
的分布。
2. 一维离散型随机变量的函数
设一维离散型随机变量X的函数Y=f(X),
5. min(X,Y)及max(X,Y)的分布密度 仍然 用分布函数法求他们的分布密度。
对于n维的，可类似地确定它的分布律：
例 若(X,Y)的分布律为：
X Y -1
-1
0.3
1
0
0
1
0.2 0 0.4 0.1
求Z1 2X Y , Z2 XY的分布律.
解 可列表计算
(X,Y) (-1,-1) (-1,0) (-1,1) (1,-1) (1,0) (1,1)
P
0.3 0.2 0 0 0.4 0.1
P{Z f ( xi , y j )} pij ,
可按下面方法求出Z的分布律：
（1） 由X xi ,Y y j计算Z f (xi , y j ), 根据P{Z f (xi , y j )} pij写出Z的分布律；
(2) 如果有多个f (xi , y j )的数值相同，则 根据概率的可加性将对应的pij相加。
例1.2中，计算M 的分布律。
1
min(
X ,Y )与M 2
max( X ,Y )
(X,Y) P
min(X,Y) max(X,Y)
(-1,-1) (-1,0) (1,0) (1,1) 0.3 0.2 0.4 0.1 -1 -1 0 1 -1 0 1 1
§3.2 连续型随机变量的函数
1 一维连续型随机变量的函数
结论1 若X ~ N(, 2 ),则Y X ~ N(0,1).
结论2
若X ~ N(, 2 ),则Y kX b ~ N(k b, k 2 2 ).
结论3
若X与Y相互独立，且X
~
N
(1
,
2 1
),
Y
~
N
(
2
,
2 2
).
则，Z
X
Y
~
N ( 1
2
,
2 1
2 2
).
4 正态随机变量的二次函数的分布
Z X Y的分布密度为
pZ (z)
p(x, z x)dx.
证明
例 在射击试验中，在靶平面上建立以靶心为 原点的直角坐标系，X与Y分别表示弹着点的横 坐标和纵坐标。已知X与Y独立，且都服从正态 分布N(0，σ2），试求“弹着点到靶心的距离”
Z X 2 Y 2的分布。
3 正态随机变量的线性函数的分布
而X的分 布律 为P{ X xi } pi
P{ X xi } P{ f ( X ) f (xi )}
P{Y f (xi )} pi ,
可按下面方法求出Y的分布律：
（1）
由X P{Y
xi 计 算Y f (xi )}
pi写f (出xi )Y,的根分据布律；
(2) 概如率果的有可多加个f性(x将i )的对数应值的p相i相同加，。则根据
2 二维连续型随机变量的函数
类似于一维函数，也可以用分布函数法，
(1)写出FZ (z) P{Z z} P{ f ( X ,Y ) z}
P{( X ,Y ) Dz } p( x, y)d xy
DZ
(2)将二重积分化为 z
pZ
(t )dt;
(3)对z求导，即可得到pZ (z).
例 若(X ,Y )的分布密度为p(x, y),则