高中数学选修2-1(人教A版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习及答案

描述：例题：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案

第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法

一、学习任务

1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．

2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．

3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和

垂直关系．

4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的作用．

二、知识清单

异面直线所成的角 线面角 二面角

三、知识讲解

1.异面直线所成的角

设直线 是异面直线，过空间一点 分别作直线 的平行线 ，我们把直线 所成的锐角或直角叫做异面直线 所成的角，或异面直线 的夹角．

a ,

b O a ,b ,a ′b ′,a ′b ′

a ,

b a ,b 如图，在正方体 中，求：

（1）异面直线 与 所成的角；

（2） 与 所成的角．

解：（1）因为 ，而 ，所以 ，即 与 所成角为 ．

（2）如下图，连接 ，，因为 ，所以 与 所成的角即为 与 所成的角．

又 ，所以 为正三角形，所以 和 所成的角为 ，即 与 所成的角为 ．

ABCD −A 1B 1C 1D 1AB A 1D 1A D 1D C 1∥AB A 1B 1⊥A 1D 1A 1B 1⊥AB A 1D 1AB A 1D 190∘A B 1B 1D 1A ∥D B 1C 1A B 1A D 1D C 1A D 1A =A =D 1B 1B 1D 1△A

B 1D 1A D 1A B 160∘A D 1D

C 160∘

A1D

平面平行，或在平面内，则称直线和平面所成的角是AP P

求直线 与 平面

∠AP B=∠AP

Rt△AP D

描述：例题：3.二面角

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）．这条直线叫做二面

角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱 、面分别为 ， 的二面角记作二面角

．有时为了方便，也可在 ， 内（棱以外的半平面部分）分别取点 ， ，将这个二面角记作二面角．如果棱记作 ，那么这个二面角记作二面角或

．

在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角

.

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这

两个平面互相垂直．

AB αβα−AB −βαβP Q P −AB −Q l α−l −βP −l −Q α−l −βl O O αβl OA OB OA OB ∠AOB 如图，在正方体 中，，，， 分别是 ，， 和 的中点．（1）求证：；

（2）求二面角 的平面角的正切值．

解：（1）因为 ， 均为所在棱的中点，所以 ．

而 ，所以 ．

又因为 ， 均为所在棱的中点，所以 和 均为等腰直角三角形．

所以 ，所以 ， ，故

．

而 ，所以 ．

（2）在平面 中，过点 作 于点 ，连接 ．

由（1）知 ，又 ，所以 ．

ABCD −A 1B 1C 1D 1E F M N A 1B 1BC C 1D 1B 1C 1平面 MNF ⊥平面 ENF M −EF −N N F NF ⊥平面 A 1B 1C 1D 1MN ⊂平面 A 1B 1C 1D 1NF ⊥MN M E △MN C 1△NE B 1∠MN =∠NE =C 1B 145∘∠MNE =90∘MN ⊥NE MN ⊥平面 NEF MN ⊂平面 MNF 平面 MNF ⊥平面 NEF NEF N NG ⊥EF G MG MN ⊥平面 NEF EF ⊂平面 NEF MN ⊥EF

EF ⊥ MNG

M−EF−N

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