不动点现象的一些数学漫步

不动 点 定 理 ：设 Ｄ 平 面 Ｒ 的单 位 圆 是 上 盘， ｆ：Ｄ 一 Ｄ 为其 上 一连 续映 射， 有 Ｘ 则 ０∈ 个 不动 点 的 旅程 会是 有 趣 的． 上 面 的 不 动 点 问题 可转 化 为 证 明存 在 点 ０， 得 △（ Ｂ∽ ＡＯＡ Ｂ 可． 使 ＝ ） 即 证 明： 延长 Ｂ 交 Ｊ于 点 Ｐ， Ｅ ｝ 然后过 点 Ａ、
２ （叫一 “ ２ 一ｌ ：
６ ２ ８ ４６ ９ ８２ １８ ３５０３ ３ ５３６
发现者 （ 时间）
佚 名 佚名 佚名 佚名 佚 名 （４ １ １６ ）
所有真因数． 于是 ６ 是一个完美数． 完美 数的定义： 个 自然数称为是完美 的， 如果它是其所有真因数之和． 最小的两个完美数是 ６ ２ ， 和 ８ 这或许在毕达 哥 拉斯 时代 之 前就 被人 们所 知 ．有 点 巧 合 的是 ， 按圣经所说， 是上帝创造世界 的天数． ６ 而数 ２ ８ 则是 月亮绕地球一周 的 日数．无怪 有些圣经注 释家 们认为６ ２ 是上帝创造世界的基本数字． 和 ８ 圣一 奥古斯丁 一 古 罗马帝 国时期一位伟大的哲 学家与 神学家 曾如是说：虽然上帝能够在 瞬 间 创造 世 界， 为 了表 现 天 地万 物 的完 美 ， 还 是 但 他 用了６ （ 天． 源出 址 帝之城》 ． ） 第３ 个完美数是 ４ ６ 第 ４ ９； 个完美数是 ８ ２ ； １８ 这是毕达哥拉斯学派发现的一 尼可马克 （ ｃ — Ｎｉ ｏ ｍａｈ ｓ公元前 １ ｃ ｕ， 世纪， 古希腊数学家） 是毕达哥 拉斯 学派的主要人物， 在其著作 《 数论》中有这 样一 段 文字 ： 也许是这样： 正如美 的、 卓绝的东西是罕有 的， 是容 易计数的， 而丑 的， 坏的东西却滋蔓 不 已； 以盈数与亏数非常之多， 是 杂乱无章， 们 他 的发现也毫无系统． 但是完美数则 易于计数而又 顺理成章：因为个位数里只有一个 ６ 十位数里 ； 也只有一个 ２ ； ８ 第三个在百位深处， ４ ６ 第四 是 ９； 个却在千位数的尾巴上， 接近一万， ８２ ．他 是 １８ 们具有一致 的特性：尾数都是 ６ ２ ， 和 ８ 而且都是 偶数． 这段文字里 至少 隐藏着 ２ 个谜语：（） １是否 每一级位数 中都有一个完美数？（） ２ 完美数都是
、
Ｊ三点作圆 Ｏ ， 点 Ｂ Ｆ ） １过 、Ｂ 、Ｐ三点作圆
‘ ．
ｏ２ 记 圆 ０１ 圆 Ｏ２ ， 和 的另 一个 交 点为 《． 二 ）
’ （、Ｂ Ｆ 点 ＝ ） 、Ｊ、Ｂ在 圆 ０２ ） 上，
． ‘ ．
Ｄ 使得ｆ ｘ ） Ｏ （ｏ ＝Ｘ ． 假如说数学是一处百草园， 那么这个定理是 数学百草 园中的一株奇葩． 她的问世犹如一枚奇
．
我们不妨把大照片抽象成矩形 ＫＩ ＢＣＤ） （ Ａ ， 小照片抽象成矩形 （ Ｊ Ｄ， 而照片的叠 Ｅ ｝ ） ．
放可视为一个从 １ 到 ２ １ 的连续映射一 这是 由伸缩与旋转相结合 的连续形变之旅． 由上 面 的不动点定理或其变形， 必有一个不动点 ｏ 此相应于大小两张照片上那一重叠的点．
一
数学与神学 的结合开始于古希 腊的毕达哥 拉斯学派 在那个把一切归于神 的年代里， 人们
对数字有着奇怪的崇拜．毕达哥拉斯所创立的 “ 兄弟会” 毕达哥拉斯学派， 一 是一个集政治、 学 术、宗教三位于一体的神秘主义派别 他们所信 奉的偶像是“ ． 数” 毕达哥拉斯学派相信神用“ ’ 创造了宇宙万 物． 数是万物之母， 整个世界 一 物质的， 形而上
通过 几 何学 的语 言来 刻 画和 构筑 其 上 的那
２１ 年第 １期 ００ １
数 学教 学
一
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学的一切， 都是建立在 １ ２ ３ … 这些数的离 ， ，，
个完美数． 这确实是一个非常奇妙的结论． 当 我们就可得出许多的完美数
序列
１ ２ ３ ４ ５ １ ２ ４ ６ １ ２
妙 的钥匙， 打开了数学 园不动点理论的大门． 在 现今数学世界的诸 多领域， 都可以寻找到她简洁 而美丽的身影． 本文 的主题 是在 不动 点 的数学 视 野下 ， 一 看 看我们身边的和初等数学中的一些不动点现象， 希望这些案例可以让我 们或多或少感悟到高观 点下的初等数学的美丽． 例 １ 照片的艺术 取一张 你喜欢的照片 （ １， 图 ） 将它按 比例缩 小， 再把小照片随手叠放在大 照片上， 然后你向 观众宣布： 大小两张照片上一定有一个重叠的点．
图 ２
图 １
如果说上例 是不动点理论与几何学的一种 巧妙结合的话， 下面的例子则告诉我们在不动点 理念的辉映下， 数的百花园中一些独特的数可以 得到 不 同方式 的 理解 与 注 释．
例 ２ 完美数的嘉园
注 释： 里重 叠 的点 指 的是这 张 照片 的 同一 这
个 部 位．
ＡＯＢ Ａ ＝ ＺＯ Ｂ Ｐ．
’ ．
’点（、 、 、Ｆ 圆 ０１ ， ＝ Ｊ在 ） ） 上
．
。 ．
ＺＯＡ ＝ （ Ｐ． Ｐ ＝ ）
△ （ Ｂ △ ０ ＡＢ ． ＝ ） ∽
．
。
． ．
即在 （这一点上， ＝ ） 大照片中的” 景物“ 与小照 片中的” 景物“ 相同．
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不动 点现 象 的一些数 学 漫步
２０ ２ 华东师汜大学数学系学生 王丽燕 曹露美 苏画画 ０６ ０ － ４ ４ －
不动点的研究起始于２ 世纪初．１ １ 年， ０ ９ ２ 荷 兰数学家布劳维尔证明了下面的有趣结论： 一圆 盘到 自身的任意一连续映射都存在有不动点． 用 数学的语言描述就是 ：
散模式之上的； ， ， ， 是上帝创造世界 的砖 １ ２３ …
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佗 ＝ １ ２ ４ ，１ ，１ ， ８ ３ ，６ ， ８ ０ ，１ ６ ， ， ，６ ２ ６ ｌ ， Ｏ ６ ８ ，１ ６ ２ ，
在毕达哥拉斯学派看来， 数的完美取决 于她
的 因数 ， ６＝ １＋ ２＋ ３ 其 中 １ ２ ３ 数 ６ 而 ． ，， 是 的