不动点现象的一些数学漫步
不动点法则
不动点法则
不动点法则是一个数学术语，它指的是在映射或变换过程中，存在一个点保持不变的特性。
这个不动点可以是映射的起点、终点或者变换的中心，也可以是某种不变的几何特性。
在数学领域，不动点理论最早出现在布劳威尔定理中，它指出一个封闭有界凸集到自身的连续映射必有一个不动点。
这个定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理经济学等学科中都有广泛的应用，例如，在证明某些函数或方程存在根时，就可以通过不动点理论来进行证明。
此外，不动点理论还可以推广到点到集映射上去，比如角谷静夫将布劳威尔定理推广到了一般凸集的情况。
在这个推广过程中，不动点的存在性不仅依赖于映射，还与集合的凸性有关。
总之，不动点法则是数学中的一个重要概念，它具有广泛的应用价值。
不动点原理
不动点原理不动点原理是数学中一个重要的概念，它在函数论、集合论、逻辑学等领域都有广泛的应用。
不动点原理最早由法国数学家布劳尔巴基提出，并在后来的发展中得到了广泛的推广和运用。
不动点原理的核心思想是寻找一个函数的不动点，即满足f(x)=x的点，这个概念在数学中有着重要的意义。
在函数论中，不动点原理被广泛应用于证明存在性定理。
通过构造适当的函数，可以利用不动点原理证明某些方程存在解。
例如，对于连续函数f(x)，如果存在一个点x使得f(x)=x，那么这个点x就是函数f的不动点。
利用不动点原理，可以证明某些非线性方程存在解，这对于解决实际问题具有重要意义。
在集合论中，不动点原理也有着重要的应用。
通过不动点原理，可以证明一些集合的存在性和性质。
例如，对于一个映射T，X→X，如果存在x∈X使得T(x)=x，那么x就是这个映射的不动点。
利用不动点原理，可以证明某些映射的不动点存在性，进而推导出一些集合的性质和结论。
在逻辑学中，不动点原理被用于证明一些命题逻辑和谓词逻辑的性质。
通过构造适当的函数或映射，可以利用不动点原理证明一些逻辑命题的存在性和性质。
例如，对于一个命题逻辑公式φ(x)，如果存在一个变元x使得φ(x)与x等价，那么这个x就是φ(x)的不动点。
利用不动点原理，可以证明一些逻辑命题的存在性和性质，推导出一些逻辑结论。
总之，不动点原理是数学中一个重要的概念，它在函数论、集合论、逻辑学等领域都有着广泛的应用。
通过寻找函数或映射的不动点，可以证明一些方程、集合、逻辑命题的存在性和性质，具有重要的理论和实际意义。
不动点原理的发展和应用，对于推动数学理论的发展和解决实际问题具有重要的意义。
不动点定理
不动点定理不动点定理（Fixed Point Theorem）是数学中的一项重要定理，它在现代数学的许多领域中都有广泛的应用。
该定理的推导和证明过程相对复杂，但是可以通过举例来更直观地理解。
不动点定理最基本的形式是：对于一个连续函数f，如果存在一个数a使得f(a) = a，那么这个数a就被称为函数f的不动点。
假设有一个长度为1的线段，你可以将它折叠成任何形状的折线。
对于一条折线上的每一点，你都可以轻松地找到一个它的对应点，使得折线的对折后这两个点重合。
这个过程中，不动点就是指那些折线上的点，对折后依然保持不动。
我们先来看一个简单的例子，假设有一条直线y = x，我们希望找到这条直线上的一个不动点。
我们可以将其代入方程中，得到x = x，即x满足这个等式。
很明显，所有的实数都满足这个等式，所以直线y = x上的所有点都是它的不动点。
现在我们将问题扩展到更一般的函数。
假设有一个函数f(x) =x^2，我们可以将其图像绘制出来，并找到它的不动点。
通过描点，我们可以发现这个函数的图像在x = 0和x = 1处都与直线y = x有交点，也就是不动点。
这两个点分别是函数f(x)= x^2的两个不动点。
不动点定理告诉我们，如果一个函数在某个区间上满足某些条件，那么它一定存在一个不动点。
这个定理有着广泛的应用，例如在经济学中的均衡问题、微积分中的方程求解、组合数学中的图像理论等等。
不动点定理的推导和证明过程相对较为复杂，需要利用到现代数学中的许多高级概念和理论。
例如，需要使用到连续性、紧致性、度量空间等概念，以及开集、闭集、紧集等性质。
这些都是数学中非常重要的概念，它们为不动点定理提供了坚实的理论基础。
总结起来，不动点定理是数学中的一项重要定理，它有着广泛的应用。
通过找到函数中的某个不动点，我们可以解决一些实际问题或者推导出一些有意义的结论。
不动点定理的证明过程相对复杂，但通过举例可以更加直观地理解。
在日常生活中，我们也可以通过不动点定理来理解一些问题，例如折纸和折线、函数的交点问题等等。
不动点及其应用
不动点及其应用（艾华升编）一.函数的不动点：对于函数)(x f ，若存在R x ∈0，使00)(x x f =成立，则称0x 为)(x f 的不动点。
求下列函数的不动点：(1) 12)(-=x x f(2) 1)(2--=x x x f(3) x x f lg 9)(+=二．不动点与高考例1（02年春季京皖高考题）：对于函数)(x f ，若存在R x ∈0，使00)(x x f =成立，则称0x 为)(x f 的不动点。
已知函数).0(),1()1()(2≠-+++=a b x b ax x f（1）当2,1-==b a 时，求)(x f 的不动点；（2）若对于任意实数b ，函数)(x f 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围； 解：（1）3)(2--=x x x f ，因为0x 为不动点，所以002003)(x x x x f =--=，解得：10-=x 或30=x 。
-1和3是函数的两个不动点。
（2）因为函数)(x f 恒有两个相异的不动点，所以方程x b x b ax x f =-+++=)1()1()(2，也就是 0)1(2=-++b bx ax 对任何实数b 恒有两个不相等的实数根。
即：0)1(42>--b a b 对任意的R b ∈恒成立。
这个不等式可化为0442>+-a ab b ，所以016)4(2<-a a ，解得：10<<a 。
例2.（2006年重庆高考题）已知定义域为R 的函数)(x f 满足x x x f x x x f f +-=+-22)(])([。
（1） 若3)2(=f ，求)1(f ；（2） 若a f =)0(，求)(a f ；（3） 设有且仅有一个实数0x ，使得00)(x x f =，求)(x f 的解析表达式。
解（3）因为对任意R x ∈，有x x x f x x x f f +-=+-22)(])([. 又因为有且只有一个实数x 0,使得00)(x x f =。
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用不动点定理及其应用1 引言大家都知道，在微分方程、积分方程以及其它各类方程的理论中，解的存在性、唯一性以及近似解的收敛性等都是相当重要的课题，为了讨论这些方程解的存在性，我们可以将它们转化成求某一映射的不动点问题．本文就这一问题作一下详细阐述．2 背景介绍把一些方程的求解问题化归到求映射的不动点，并用逐次逼近法求出不动点，这是分析中和代数中常用的一种方法．这种方法的基本思想可以追溯到牛顿求代数方程的根时所用的切线法，19世纪Picard 运用逐次逼近法解常微分方程．后来，1922年，波兰数学家巴拿赫（Banach ）将这个方法加以抽象，得到了著名的压缩映射原理，也称为巴拿赫不动点定理．3 基本的定义及定理定义1[1](P4) 设X 为一非空集合，如果对于X 中的任何两个元素x ，y ，均有一确定的实数，记为),,(y x ρ与它们对应且满足下面三个条件：①非负性：0),(≥y x ρ，而且0),(=y x ρ的充分必要条件是x =y ；②对称性：),(y x ρ=),(x y ρ；③三角不等式：),(y x ρ),(),(y z z x ρρ+≤，这里z 也是X 中任意一个元素．则称ρ是X 上的一个距离，而称X 是以ρ为距离的距离空间，记为()ρ,X ．注距离概念是欧氏空间中两点间距离的抽象，事实上，如果对任意的,),,,(),,,,(2121n n n R y y y y x x x x ∈==ΛΛ2/12211])()[(),(n n y x y x y x -++-=Λρ容易看到①、②、③都满足．定义2[1](P23) 距离空间X 中的点列}{n x 叫做柯西点列或基本点列，是指对任给的,0>ε存在,0>N 使得当N n m >,时，ερ<),(n m x x ．如果X 中的任一基本点列必收敛于X 中的某一点，则称X 为完备的距离空间．定义3[2](P16) 设X 是距离空间，T 是X 到X 中的映射．如果存在一数,10,<≤a a 使得对所有的X y x ∈,，不等式),(),(y x a y x ρρ≤T T （1）成立，则称T 是压缩映射．压缩映射必是连续映射，因为当x x n →时，有0),(),(→≤x x a Tx Tx n n ρρ．例设[]10，X =，Tx 是[]10，上的一个可微函数，满足条件：()[][]()1,01,0∈?∈x x T ，以及()[]()1,01∈?<≤'x a x T ，则映射X X T →:是一个压缩映射．证()()[]()()y x a y x a y x y x T Ty Tx Ty Tx ,1,ρθθρ=-≤--+'=-=()10,,<<="">定义4 设X 为一集合，X X T →:为X 到自身的映射（称为自映射），如果存在,0X x ∈使得00x Tx =，则称0x 为映射T 的一个不动点．例如平面上的旋转有一个不动点，即其旋转中心，空间中绕一轴的旋转则有无穷多个不动点，即其旋转轴上的点均是不动点，而平移映射a x Tx +=没有不动点．如果要解方程(),0=x f 其中f 为线性空间X 到自身的映射（一般为非线性的），令,I f T +=其中I 为恒等映射：,x Ix =则方程()0=x f 的解恰好是映射T 的一个不动点．因此可以把解方程的问题转化为求不动点的问题．下面就来介绍关于不动点的定理中最简单而又应用广泛的压缩映射原理：定理1[3](P36) 设X 是完备的距离空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点．证任取,0X x ∈并令ΛΛ,,,,11201n n Tx x Tx x Tx x ===+ （2）下证()2的迭代序列是收敛的，因T 是压缩映射，所以存在,10<≤a 使得()()y x a Ty Tx ,,ρρ≤，因此 ()()()();,,,,00101021Tx x a x x a Tx Tx x x ρρρρ=≤=()()()();,,,,002212132Tx x a x x a Tx Tx x x ρρρρ=≤=…………一般地，可以证明()()()();,,,,00111Tx x a x x a Tx Tx x x nn n n n n n ρρρρ≤≤≤=--+Λ于是对任意自然数p n ,，有()()()+++≤++++Λ211,,,n n n n p n n x x x x x x ρρρ()p n p n x x +-+,1ρ≤()0011,)(Tx x a a a p n n n ρ-++++Λ()()()0000,1,11Tx x aa Tx x a a a n p n ρρ-≤--= （3）由于10<≤a ，因此，当n 充分大时，(),,ερ<+p n n x x 故}{n x 是X 中的基本点列，而X 是完备的，所以存在_0_0,x x X x n →∈使得成立．再证_0x 是T 的不动点．易证，若T 是压缩映射，则T 是连续映射，而,lim _0x x n n =∞→因此,lim _0x T Tx n n =∞→所以_0_0_0,x x x T 即=是T 的一个不动点．最后，我们证明不动点的唯一性，若存在X x ∈*，使得,**x Tx =则,,,,*_0*_0*_0??≤??? ??=??? ??x x a Tx x T x x ρρρ 而_0*_0*,0,,1x x x x a ==??<即所以ρ．证毕．注（i ）由（2）定义的序列收敛，且收敛到T 的唯一不动点，且迭代与初始值0x 的取法无关．（ii ）误差估计式方程x Tx =的不动点*x 在大多数情况下不易求得，用迭代程序,1n n Tx x =+即得到不动点*x 的近似解，在（3）式中令()()00*,1,,Tx x aa x x p nn ρρ-≤∞→得（4）此即误差的先验估计，它指出近似解n x 与精确解* x 之间的误差．如果事先要求精确度为(),,*ερ≤x x n 则由()ερ≤-00,1x Tx aa n，可计算出选代次数n ，在（4）式中取01,1Tx x n ==代入得()()0*0,1,x Tx aTx ρρ-≤．上式对任意初始值均成立，取10-=n x x ，即得()()1*,1,--≤n n n x x aax x ρρ，此式称为后验估计，可从n x 与其前一步迭代结果1-n x 的距离来估计近似解与精确解*x 之间的误差．所以，压缩映射原理，不仅给出了不动点的存在性，而且给出求解方法，同时还指明了收敛速度及误差．（iii ）a 值越小迭代收敛的速度越快．（iv ）在T 满足()()()y x y x Ty Tx ≠<,,ρρ （5）的条件下，T 在X 上不一定存在不动点．如令[)[)()+∞∈++=+∞=,011,,0x xx Tx X ，我们容易证明对一切[)y x y x ≠+∞∈,,0,时，有()()[)∞+<，但0,,,T y x Ty Tx ρρ中没有不动点．又如，若令x arctgx Tx R X +-==2π，，则T 满足条件（5），因任取,,,y x R y x ≠∈则由中值公式()()y x T y x Ty Tx ,,'在ξξ-=-之间，由于()，故得11'22<+=ξξξT ()()y x Ty Tx y x Ty Tx ,,,ρρ<-<-即， Tx 但没有不动点，因任何一个使x Tx =的x 须满足,2=arctgx 在R 内这样的x 不存在．（v ）压缩映射的完备性不能少．如设(]1,0=X ，定义T 如下：2 xTx =，则T 是压缩映射，但T 没有不动点．这是由于(]1,0空间的不完备性导致的．（vi ）压缩映射条件是充分非必要条件．如()[]b a x f ,映为自身，且 ()()y x y f x f -≤- ，（6）任取[],,1b a x ∈令()[]n n n x f x x +=+211 ，（7）该数列有极限**,x x 满足方程()**xxf =，但由（6），（7）可得11-+-≤-n n n n x x a x x ，相当于,1=a 不是10<定理1从应用观点上看还有一个缺点，因为映射T 常常不是定义在整个空间X 上的，而仅定义在X 的子集E 上，而其像可能不在E ，因此要对初值加以限制，有以下结果：定理2 [4]（P193-194）设T 在Banach 空间的闭球()(){}r x x X x r x B B ≤∈==00_,:,ρ上有定义，在X 中取值，即T ：()X r x B →,0_又设[),1,0∈?a 使得()()(),,,,,0_y x a Ty Tx r x B y x ρρ≤∈?有()(),1,00r a Tx x -≤ρ且则迭代序列（2）收敛于T 在B 中的唯一不动点．证只需证明(),,B x B B T ∈?? ()Tx x ,0ρ()()Tx Tx Tx x ,,000ρρ+≤()r a -≤1()x x a ,0ρ+()r ar r a =+-≤1，因此()B ，B T B Tx ?∈所以,由定理1B 在知T 中有唯一的不动点，证毕．有时T 不是压缩映射，但T 的n 次复合映射nT 是压缩映射，为了讨论更多方程解的存在性、唯一性问题，又对定理1进行了推广．定理3[5]（P21）设T 是由完备距离空间X 到自身的映射，如果存在常数10,<≤a a 以及自然0n ，使得()()()X y x y x y T x Tn n ∈≤,,,00ρρ，（8）那么T 在X 中存在唯一的不动点．证由不等式（8），0n T 满足定理1的条件，故0n T存在唯一的不动点，我们证明0x 也是映射T唯一的不动点．其实，由()()()000100Tx x T T x T Tx Tnn n ===+，可知0Tx 是映射0n T 的不动点．由0n T 不动点的唯一性，可得00x Tx =，故0x 是映射T 的不动点，若T 另有不动点1x ，则由,1111100x Tx Tx T x T n n ====-Λ可知1x 也是0n T 的不动点，再由0n T 的不动点的之唯一性，得到,01x x =证毕．4 不动点定理的应用4.1 不动点定理在数学分析中的应用该定理在数学分析中主要用于证明数列的收敛性、方程解的存在性和唯一性及求数列极限．定理4.1.1 ① 对任一数列{}n x 而言，若存在常数r ，使得10,,11<<-≤-∈?-+r x x r x x N n n n n n 恒有 ()A ，则数列{}n x 收敛．② 特别，若数列{}n x 利用递推公式给出：()n n x f x =+1 (),,2,1Λ=n 其中f 为某一可微函数，且()()(),1',B R x r x f R r ∈?<≤∈?使得则{}n x 收敛．证①此时rr x x r r r x x x x rx xx x np n n pn n k k pn n k k kn p n --≤---=-≤-≤-+++=-++=-+∑∑11.0101011111应用Cauchy 准则，知{}n x 收敛，或利用D ，Alenber 判别法，可知级数()1--∑n n x x 绝对收敛，从而数列()()ΛΛ,2,1011=+-=∑=-n x x xx nk k kn 收敛．② 若()B 式成立，利用微分中值定理：()()()()Λ,3,2,1111=-≤-'≤-=----+n x x r x x f x f x f x x n n n n n n n n ξ即此时()A 式亦成立，故由①知{}n x 收敛．注若()B 式只在某区间I 上成立，则必须验证，{}n x 是否保持在区间I 中．例1 设数列{}n x 满足压缩性条件，,,3,2,10,11Λ=<<-≤--+n k x x k x x n n n n 则{}n x 收敛．证只要证明{}n x 是基本点列即可，首先对一切n ，我们有11-+-≤-n n n n x x k x x ,121212x x k x x k n n n -<<-<---Λn m >设，则 n n m m m m n m x x x x x x x x -++-+-≤-+---1211Λ123122x x k x x k m m -+-<--121x x k n -++-Λ()01121∞→→--<-n x x kk n ，证毕．注该题体现了不动点定理证明数列的收敛性．例2 证明若()x f 在区间[]r a r a I +-≡,上可微，()1<≤'αx f ，且()()r a a f α-≤-1 , （9）任取()()(),,,,,,112010ΛΛ-===∈n n x f x x f x x f x I x 令则**,lim x x x n n =∞-为方程()x f x =的根（即*x 为f 的不动点）证已知I x ∈0，今设I x n ∈，则()()()a a f a f x f a x n n -+-=-+1()()a a f a x f n -+-'≤ξ ()之间与在a x n ξ[由（9）](),1r r r =-+≤ααI x n ∈+1即这就证明了：一切I x n ∈应用微分中值定理，1,+?n n x x 在ξ之间（从而I ∈ξ）()()()()111--+-'=-=-n n n n n n x x f x f x f x x ξ 1--≤n n x x α ()10<<α，这表明()1-=n n x f x 是压缩映射，所以{}n x 收敛．因f 连续，在()1-=n n x f x 里取极限知{}n x 的极限为()x f x =的根．注该题体现了不动点定理证明方程解的存在性．例 3 ()x f 满足()()(),10<<-≤-k y x k y f x f (),,10n n x f x R x =∈?+令取则{}n x 收敛，且此极限为方程()x x f =的唯一解．证① 因为()()01212111x x k x x k x x k x f x f x x nn n n n n n n n -≤≤-≤-≤-=-----+Λ所以 n n p n p n p n p n n p n x x x x x x x x -++-+-≤-+-+-+-+++1211Λ()01121x x k k k k n n p n p n -++++≤+-+-+Λ()10101<<--<="" p="" x="">k n因为01lim01=--∞→x x k k n n ，所以εε<--<->>?+011,,,,0x x kk x x N n p N nn p n 有，由Cauchy 准则，知{}n x 收敛．② 设,lim *x x n n =∞→已知()n n x f x =+1，所以()()**lim x f f x f x n n 连续∞→=，所以()x f x x =是*的解．若另有解*y 是()x f x =的解，即()**yf y =，而()()()10******<<-≤-=-k x y k x f y f x y ．所以**x y =，所以()x f x x =是*的唯一解．注该题既体现了不动点定理证明数列的收敛性又体现了方程解的存在唯一性．定理4.1.2 已知数列{}n x 在区间I 上由()()Λ,2,11==+n x f x n n 给出，f 是I 上连续函数，若f 在I 上有不动点()()***xf x x =即满足()()()()*0*111≥--x x x f x，则此时数列{}n x 必收敛，且极限A 满足()A f A =,若()*式"""">≥改为对任意I ∈1x 成立，则意味着*x 是唯一不动点，并且,*x A =特别，若f 可导，且()(),10I x x f ∈<'<当则f 严增，且不等式()() """"*>≥可该为会自动满足()I x ∈?1，这时f 的不动点存在必唯一从而*x A =，证（分三种情况进行讨论）：① 若*1x x >，则()()**12x x f x f x =≥=，一般地，若已证到*x x n ≥，则()()**1x x f x f x n n =≥=+．根据数学归纳法，这就证明了，一切*:x x n n ≥（即*x 是n x 之下界）另一方面，由()*式条件，已有()112x x f x ≤=，由f 单调增，知()()2123x x f x f x =≤=，…．一般地若已证到1-≤n n x x ，由f 单调增，知()()n n n n x x f x f x =≤=-+11，这就证明了n x 单调减，再由单调有界原理，知{}n x 收敛．在()n n x f x =+1里取极限，因()x f 连续，可知{}n x 的极限A 适合方程()A f A =．② *1x x <的情况，类似可证．③ *1x x =若，则一切n ，*x x n =结论自明．最后，假若()(),10I x x f ∈?<'<由压缩映射原理可知{}n x 收敛．事实上，这时也不难验证()*条件成立，如：对函数()()x f x x F -≡应用微分中值定理，（注意到()()0,0*>'=x F x F ），知*x在ξ?与x 之间，使得()()()()()()(),***x x F x x F xF x F x f x -'=-'+=≡-ξξ可见()()(),0*>--xx x f x 即条件()*严格成立，故*lim x xnn =∞→．例4 设()nn n x c x c x x ++=>+1,011（1>c 为常数），求n n x ∞→lim ．解法一（利用压缩映射）因0>n x ，且0>x 时，0))(()1()1()('2'>-=++=x f c c x c x c x f x ，又由1>c 知111)1()()1()('022<-=-≤+-=x ，故)(1n n x f x =+为压缩映射，{}n x 收敛，在nn n x c x c x ++=+)1(1中取极限，可得c x n n =∞→lim ．法二（利用不动点）显然一切0>n x ，令()()x xc x c x f =++=1，知不动点c x =*，而f 单调增加且0)()()()1(22>-++=-+---=-++-c x x c c x c x x c cx c x cx c x x c xc x ．表明()()()0*111≥--xx x f x 成立，根据不动点方法原理c xnn =∞→lim ．注该题体现了不动点定理用于求数列极限．定理4.1.3 （不动点方法的推广）设),(y x f z =为二元函数，我们约定，将),(x x f z =的不动点，称为f 的不动点（或二元不动点），已知),(y x f z =为0,0>>y x 上定义的正连续函数，z 分别对x ，对y 单调递增，假若：（1）存在点b 是),(x x f 的不动点；（2）当且仅当b x >时有()x x f x ,>，令()()()()()ΛΛ,4,3,,0,,,21121==>==--n a a f a a a a f a a a f a n n n ，（10）则{}n a 单调有界有极限，且其极限A 是f 的不动点．证只需证明{}n a 收敛，因为这样就可在（10）式中取极限，知A 是f 的不动点，下面分两种情况进行讨论：① 若1a a ≤，由f 对x ，对y 的单增性知112),(),(a a a f a a f a =≥=，进而2111123),(),(),(a a a f a a f a a f a =≥≥=，类似：若已推得121,---≥≥n n n n a a a a ，则),4,3(),(),(2111Λ==≥=---+n a a a f a a f a n n n n n n ，如此得{}n a 单调递增．又因a a a f a ≥=),(1，按已知条件这时只能b a ≤（否则b a >按已知条件（2），应有1),(a a a f a =>，产生矛盾），进而),(),(,),(),(121a b f a a f a b b b f a a f a ≤==≤= Λ,),(b b b f =≤，用数学归纳法可得一切b a n ≤，总之n a 单调递增有上界，故{}n a 收敛．② 若a a ≤1，类似可证{}n a 单调递减有下界b ，故{}n a 收敛．注按b 的条件可知b 是f 的最大不动点，b x >时不可能再有不动点，情况②时极限b A ≥是不动点，表明此时b A =．例5 若ΛΛ,)(,,)(,)(,031312131311231311--+=+=+=>n n n a a a a a a a a a a ，试证（1）数列{}n a 为单调有界数列；（2）数列{}n a 收敛于方程313x x x +=的一个正根．证（利用定理 4.1.3）设3131)(),(y x y x f z +==，显然f 当0,0>>y x 是正值连续函数，对y x ,单增，只需证明①b ?使得),(b b f b =；②),(x x f x >当且仅当b x >① 注意到 f 的不动点，亦即是方程0313=--x x x 的根，分析函数313)(x x x x g --=，因0926)(",3113)('35322>+=--=xx x g xx x g （0>x 时），0)1(',)00('>-∞=+g g ，可知g 在（0，1）内有唯一极小点c x c >,时g x g ,0)('>严增，0)2(,0)1(><="" （即f="" ，故g="">② b x >时0)()(=>b g x g ，即),(x x f x >；事实上，在0>x 的范围也只有在b x >时才有),(x x f x >，因为0)(,0)0(==b g g ，在),0(c 上)(x g 严减，),(b c 上)(x g 严增，所以),0(b 上0)(<．证毕．<="" bdsfid="663" f="" g="" p="" x="" ，即),(x="">4．2 不动点定理在积分方程中的应用该定理在积分方程用于证明方程解的存在性、唯一性及连续性．例6 第二类Fredholm 积分方程的解，设有线性积分方程τττμ?d x t k t t x b a )(),()()(?+=，（11）其中[]b a L ,2∈?为一给定的函数，λ为参数，),(τt k 是定义在矩形区域b a b t a ≤≤≤≤τ,内的可测函数，满足+∞a b a 2),(．那么当参数λ的绝对值充分小时，方程（11）有唯一的解[]b a L x ,2∈．证令τττμ?d x t k t t Tx ba )(),()()(?+=．由 []d t d x d t k d x t k ba b a b a ba b a τττττττ222)(),()(),(≤??ττττd x dt d t k ba ba b a 22)(),(=及T 的定义可知，T 是由[]b a L ,2到其自身的映射，取μ充分小，使[]1),(2/12d t k a ba b a ττμ，于是 2/12))()()(,(),(??-??=dt ds s y s x t k Ty Tx b a b a τμρ()()2/122/12)()(),(ds s y s x dtd t k b a b ab a -≤ττμ()),(),(2/12y x dtd t k b a b aρττμ??=),(y x a ρ=故T 为压缩映射，由定理1可知，方程（11）在[]b a L ,2内存在唯一的解．注该题体现了不动点定理证明第二类Fredholm 积分方程解的存在唯一性．例7 设),(τt k 是定义在三角形区域t a b t a ≤≤≤≤τ,上的连续函数，则沃尔泰拉积分方程)()(),()(t d x t k t x t a ?τττμ+?= （12）对任何[]b a C ,∈?以及任何常数μ存在唯一的解[]b a C x ,0∈．证作[]b a C ,到自身的映射()()()()(),,:t f d x t k t Tx T ta+=?τττμ则对任意的[],,,21b a C x x ∈有 ()()()()()()()[]?-=-tad x x t k t Tx t Tx ττττμ2121,()()()t x t x a t M bt a 21max --≤≤≤μ()(),,21x x a t M ρμ-=其中M 表示),(τt k 在t a b t a ≤≤≤≤τ,上的最大值，ρ表示[]b a C ,中的距离，今用归纳法证明),()!/)(()()(21221x x n a t M t x T t x T nnnnρλ-≤- （13）当1=n 时，不等式（13）已经证明，现设当k n =时，不等式（13）成立，则当1+=k n 时，有[]ττττμd x T x T t k t x T t x T k k t a k k )()(),()()(212111-?= -++[]),()(!/2111x x ds a s k M k t a k k ρμ-?≤++[]),()!1/()(21111x x k a t M k k k ρμ+-=+++，故不等式（13）对1+=k n 也成立，从而对一切自然数n 成立．由（13）()!/)()()(m ax ),(2121n a b M t x T t x T x T x T n n nn n bt a n n -≤-=≤≤μρ ),(21x x ρ对任何给定的参数μ，总可以选取足够大的n ，使得1!/)(<-n a b M n n nμ，因此n T 满足定理3的条件，故方程在[]b a C ,中存在唯一的解．注该题体现了不动点定理证明沃尔泰拉积分方程在三角形区域上解的存在唯一性．例8 设),(τt k 是[][]b a b a ,,?上的连续函数，()[]b a C t f ,∈，λ是参数，方程)()(),()(t f d x t k t x b a +?=τττλ，（14）当λ充分小时对每一个取定的)(t f 有唯一解．证在[]b a C ,内规定距离)()(max ),(t y t x y x bt a -=≤≤ρ．考虑映射())(),())((t f d x t k t Tx b a +?=τττλ （15）当λ充分小时T 是[][]b a C b a C ,,→的压缩映射．因为()()()()()()()()()?-=-=≤≤≤≤ba bt a bt a d y x t k t Ty t Tx Ty Tx ττττλρ,m ax max ,τττλd t y x t k b a bt a )()(),(max -≤≤≤),(y x M ρλ?≤此处ττd t k M ba bt a ),(max ?=≤≤．故当λ1<="">[]b a C t f ,)(∈解存在唯一，任取初始值逼近，令()()()()t f d x t k t x b a+=?τττλ01,，则),(1)*,(01x x MM x x nnn ρλλρ?-≤，)(t x n 是第n 次的近似，)(*t x 是精确解．注该题体现了不动点定理证明沃尔泰拉积分方程在矩形区域上解的存在唯一性．例9 设[]1,0C f ∈，求出积分方程ds s x t f t x to )()()(?+=λ []()1,0∈t 的连续解．解法一据例7方程对一切λ存在唯一解[]1,0)(∈t x ，改写方程))(()(),()()(10t kx ds s x s t k t f t x =?+=λ，其中??≥<=.,1,,0),(s t s t s t k 由逐次逼近法，取0)(0=t x ，得002201,,,x k x x k x kx x nn ===Λ，则)(lim )(t x t x n n ∞→=在[]1,0C 中收敛，即为原方程之解，容易看出,,)(),()()(),()(1021Λds s f s t k t f t x t f t x ?+==λ)(1t x n +()()()∑?=+=nk k k ds s f s t k t f 11,λ，其中),,(),(1s t k s t k =du s u k u t k s t k n t n ),(),(),(10-?= )2(≥n ，从而 ??≥--<=-,,)()!1(10),(1s t s t n s t s t k n n ()()()()()()()ds s f n s t s t s t t f t x tn n n--++-+-++=--+011221!1!21λλλλΛ，故.)()()(lim )()(01ds s f et f t x t x s t t n n -+∞→?+==λλ法二令ds s x t y t)()(0?=，则)()('t x t y =，如果)(t x 满足原方程，则)(t y 必满足方程=+=0)0()()()('y t y t f t y λ （16）易知方程（16）的解为 ds s f e t y s t t )()()(0-?=λ再令 ()()()()()()?-+=+=ts t ds s f et f t y t f t x 0λλλ （17）下面证明)(t x 为原方程之解，事实上，因为()t y 满足（16），则)()()()('t x t y t f t y =+=λ 所以ds s x t y t )()(0?=，由（17）知ds s x t f t x t )()()(0?+=λ，故ds s f e t f t x s t t )()()()(0-?+=λλ为原方程的连续解．4.3 不动点定理在线性代数方程组中的应用该定理在线性代数方程组用于证明方程解的存在性、唯一性．例10 设有线性方程组()n i b x ax i nj j iji ,2,11Λ==-∑=， (18)如对每个1,1<≤∑=a ai nj ij(19)则该方程组有唯一解．证在空间n R 中定义距离()i i ni y x y x -=≤≤11max ,ρ (其中i x 与i y 分别是x 与y 的第i 分量)，则n R 按照1ρ是一个距离空间，且是完备的．在这个空间中，定义Tx y R R T nn =→,:由下式确定()∑==+=nj i j iji n i b x ay 1,,2,1Λ ，如令 ()()()()2211,y Tx y Tx==，则有()()()()()()()()()()()21112112121max max ,,j j nj ij ni iini x x a y yyyTxTx -=-==∑=≤≤≤≤ρρ()()2111max jj nj ij ni x x a -≤∑=≤≤()()∑-≤=≤≤≤≤nj ij n i j j nj a x x 11211max max由条件（19）可得()()()()()()2121,,x x a TxTx ρρ≤，即T 是压缩映射，从而它有唯一的不动点，即方程有唯一解且可用迭代法求得．上述结果可用于方程组(),,,,,21n n R x x x x b Ax ∈==Λ()()'21,,,n nn ijb b b b a A Λ==? （20）可知，当n i a aii nj,2,1,,1Λ=<∑≠=时（19）存在唯一的解x ，且用如下的Jacobi 法求出x ，将（20）改写成+----=+--+-=+---=nn n n nn n nn n nnn n n a b a a a a a b a a a a a b a a a a ξξξξξξξξξξξξ000221122222221222121111112111211ΛΛΛΛΛΛΛ记=------=nn n nnn nnn n n a b ab a b b a a a a a a aa a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛ2221112122222211111112000 即为b x A x +=，任取()()()(),,,,002010nRx ∈'=ξξξΛ用迭代法，令n n b x A x n n ,,2,1,1Λ=+=-，则x x n n =∞→lim ．4.4 不动点定理在微分方程中的应用该定理在微分方程用于证明方程解的存在性、唯一性．例11 考察微分方程()y x f dxdy,=，00y y x =，（21）其中()y x f ,在整个平面上连续，此外还设()y x f ,关于y 满足利普希茨（R ．Lipschtz ）条件：()(),,,,,,2'''R y y x y y k y x f y x f ∈-≤-其中0>k 为常数，那么通过点()00,y x ，微分方程（21）有一条且只有一条积分曲线．证微分方程（21）加上初值条件00 y yx =，等价于下面的积分方程()()()dt t y t f y x y xx ,00?+=．我们取0>δ，使1<δk ，在连续函数空间[]δδ+-00,x x C 内定义映射:T()()()()[]()δδ+-∈+=?000,,0x x x dt t y t f y x Ty xx ，则有()()(()()[]?-=≤-xx x x dt t y t f t y t f Ty Ty 002121,,max,δρ()()?-≤≤-xx x x dt t y t y k 0021max δ()()().,m ax 21210y y k t y t y k x t δρδδ=-≤≤-因,1<δk 由定理1，存在唯一的连续函数()[]()δδ+-∈000,x x x x y 使()()()dt t y t f y x y xx ?+=0000,，由这个等式可以看出，()x y 0是连续可微函数，且()x y y 0=就是微分方程（21）通过点()00,y x 的积分曲线，但只定义在[]δδ+-00,x x 上，考虑初值条件(),000δδ±=±x y yx 并再次应用定理1，使可将解延拓到[]δδ2,200+-x x 上，依次类推，于是可将解延拓到整个直线上．通过上文的论述，我们加深了对不动点定理的理解，了解了求不动点的方法以及相应例题的证明技巧，知道了此定理应用的广泛性，而随着理论和实践的蓬勃发展对不动点定理的研究也将不断深化，所以我们研究的脚步不能停下．。
不动点理论的发展历程及
2023-11-08CATALOGUE 目录•不动点理论概述•不动点理论的核心概念•不动点理论的应用场景•不动点理论的挑战与解决方案•不动点理论的未来发展趋势及展望01不动点理论概述不动点理论是指函数在某一点上达到平衡状态，即函数在该点上的值不再发生改变。
这个概念被广泛应用于数学、物理学、经济学等多个领域。
不动点理论在数学中通常是指对于某个映射或函数，存在一个点使得该映射或函数在该点上的作用结果等于该点的原始值。
这个概念可以用于研究函数的单调性、收敛性等性质。
不动点理论定义不动点理论的重要性不动点理论在数学、物理学、经济学等领域中具有重要的应用价值。
例如，在数学中，不动点理论可以用于证明某些函数的收敛性；在物理学中，不动点理论可以用于研究系统的平衡状态；在经济学中，不动点理论可以用于研究市场的稳定性和均衡价格。
不动点理论的发展历程中涌现出了许多重要的数学家和物理学家，他们对不动点理论的形成和发展做出了重要的贡献。
不动点理论的发展可以追溯到19世纪末期，当时一些数学家开始关注函数的不动点性质。
其中最为著名的是法国数学家皮埃尔·弗朗索瓦·韦尔辛斯基，他在1890年左右证明了连续函数的不动点的存在性和唯一性定理。
不动点理论的历史与发展随后，不动点理论得到了广泛的应用和发展。
在20世纪初期，一些数学家开始研究拓扑学中的不动点理论，并取得了重要的成果。
同时，不动点理论也被应用于物理学、经济学等领域中，成为研究系统平衡状态的重要工具之一。
近年来，不动点理论仍然是一个活跃的研究领域。
随着计算机科学和人工智能的发展，不动点理论在机器学习、神经网络等领域中也得到了广泛的应用和发展。
02不动点理论的核心概念压缩映射原理是指对于两个非空集合A和B，如果存在一个映射f，使得对于A中的任意元素x，f(x)都在B中，并且对于B中的任意元素y，都存在一个x属于A，使得f(x)=y。
那么我们就称f是一个压缩映射，A和B是满足压缩映射原理的。
2022届高考数学利用“不动点”法巧解数列问题
热点08 利用“不动点”法巧解数列问题规律方法总结由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键.与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，可以利用对函数“不动点”问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究.经典例题解析1.不动点的定义一般的，设()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，或称00(,)x x 为()f x 图象的不动点. 2.求线性递推数列的通项定理1 设()(01)f x ax b a =+≠，，且0x 为()f x 的不动点，{}n a 满足递推关系1()n n a f a -=，2,3,n =，证明0{}n a x -是公比为a 的等比数列.证：∵0x 是()f x 的不动点，所以00ax b x +=，所以00b x ax -=-，所以na 0101010()()n n n x a ab x a a ax a a x ----=+-=-=-··，∴数列0{}n a x -是公比为a 的等比数列.例1 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈(1)证明：{}1n a -是等比数列；(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n .证：(1) 当n =1时，a 1=-14；当2n ≥时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，即1651n n a a -=+(2)n ≥即15166n n a a -=+(2)n ≥，记51()66f x x =+，令()f x x =，求出不动点01x =，由定理1知：151(1)(2)6n n a a n --=-≥，又a 1-1= -15 ≠0，所以数列{a n -1}是等比数列.(2)解略.3.求非线性递推数列的通项 定理2 设()(00)ax bf x c ad bc cx d+=≠-≠+，，且12x x 、是()f x 的不动点，数列{}n a 满足递推关系1()n n a f a -=，2,3,n =，（ⅰ）若12x x ≠，则数列12{}n n a x a x --是公比为12a x c a x c --的等比数列；（ⅱ）120x x x ==，则数列01{}n a x -是公差为2ca d +的等差数列.证：（ⅰ）由题设知111111111()ax b b dx x x dx b a cx x cx d a cx +-=⇔=-⇔-=-+- 同理222().dx b a cx x -=-∴111122n n n n n n aa b x a x ca daa b a x x ca d+++--+=+--+1122()()n n a cx a b dx a cx a b dx -+-=-+-1122n n a x a cx a cx a x --=⋅--， 所以数列12{}n n a x a x --是公比为12a cx a cx --的等比数列. （ⅱ）由题设知ax bcx d ++＝x 的解为120x x x ==，∴且00b dx a cx --＝0x -.所以100011()n n n n n ca d aa b a x a cx a b dx x ca d ++==+--+--+00000()()()()n n n n ca d ca db dx a cx a x a cx a a cx ++==----+-000000001()()n n n ca cx d cx d cx c a cx a x a cx a cx a x -+++==+⋅-----00122n a dd c c c a d a cx a x a c c-+⋅=+⋅----⋅000112n n c c a cx a x a x a d =+=+---+，所以数列01{}n a x -是公差为2ca d+的等差数列.例2 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且方程20n n x a x a -⋅-=有一根为1n S -*()n N ∈.求数列{}n a 的通项公式. 解：依题112a =，且2(1)(1)0n n n n S a S a --⋅--=，将1n n n a S S -=-代入上式，得112n n S S -=-，记()12f x x=-，令()f x x =，求出不动点01x =，由定理2（ⅱ）知：12111111n n n n S S S S +-==-+---，所以数列11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是公差为1-的等差数列，所以1n n S n =+，因此数列{}n a 的通项公式为11n a n =+. 例3 已知数列{}n a 中，1111,.n na a c a +==-（1）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式. （2）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 . 解：（1）依题1525122n n n n a a a a +-=-=，记52()2x f x x-=，令()f x x =，求出不动点121,22x x ==；由定理2（ⅰ）知：11112222n n nna a a a+--=-=⋅，12111222n n n na a a a +--=-=⋅ ； 两式相除得到1122111422n n n n a a a a ++--=⋅--，所以212n n a a ⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪-⎩⎭是以14为公比，112212a a -=--为首项的等比数列，所以，112132,2,14242n n n n n a a a ---⎛⎫=-⋅=-⎪+⎝⎭-从而124.33n n b -=--（2）解略.定理3 设2()(0)2ax bf x a ax d+=≠+，且12x x 、是()f x 的不动点，数列{}n a 满足递推关系1()n n a f a -=，2,3,n =，则有2111122()n n n n a x a x a x a x ++--=--；若11120a x a x ->-，则12ln n n a x a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是公比为2的等比数列.证：∵12x x 、是()f x 的不动点，∴211dx b ax =-，222dx b ax =-.21112122(2)(2)n n n n n n a x a a b a a d x a x a a b a a d x ++-⋅+-⋅+=-⋅+-⋅+2211222222n n n n a a b a a x ax ba ab a a x ax b⋅+-⋅⋅+-=⋅+-⋅⋅+-22211122222(2)()(2)n n n n n n a a a x x a x a a a x x a x -⋅+-==-⋅+-，又11120a x a x ->-，则120n n a x a x ->-， ∴111122ln2ln n n n n a x a x a x a x ++--=--，故12ln n n a x a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是公比为2的等比数列.例4已知数列{}n x 满足14x =，21324n n n x x x +-=-.⑴求证：3n x >；⑵求证：1n n x x +<；⑶求数列{}n x 的通项公式. 证：⑴、⑵证略；⑶依题21324n n n x x x +-=-，记23()24x f x x -=-，令()f x x =，求出不动点121,3x x ==；由定理3知：2213(1)112424n n n n n x x x x x +---=-=--，2213(3)332424n n n n n x x x x x +---=-=--，所以2111133n n n n x x x x ++⎛⎫--= ⎪--⎝⎭，又111413343x x --==--，所以133111log 2log 33n n n n x x x x ++--=--. 又1311log 13x x -=-，令31log 3n n n x a x -=-，则数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列.所以12n n a -=.由31log 3n n n x a x -=-，得133n a n n x x -=-.所以11121231313131n n n n a n a x --++--==--. 利用函数“不动点”法求解较复杂的递推数列的通项问题，并不局限于以上三种类型，基于高考数列试题的难度，本文不再对更为复杂的递推数列进行论述，以下两个定理供有兴趣的同学探究证明.定理4 设222()(0),4b bf x ax bx a a-=++>且0x 是()f x 的最小不动点，数列{}n a 满足递推关系1()n n a f a -=，2,3,n =，则有2010().n n a x a a x --=-定理5 设23322()(0),3273b b bf x ax bx x a a a a=+++-≠且0x 是()f x 的不动点，数列{}n a 满足递推关系1()n n a f a -=，2,3,n =，则有3010().n n a x a a x --=-跟踪训练一、填空题1. 已知数列{}n a 满足11a =，21n nn a a a +=+，数列{}n b 的前n 项和n S ，1n n n a b a +=.若()100S k k Z <∈，则k 的最小值为_______________. 【答案】1 【解析】【分析】由题意，可得111n n n n a b a a +==+，转化21n n n a a a +=+为11111n n n a a a +=-+，可得10012100122310010110111111111111111S a a a a a a a a a a =+++=-+-++-=-+++，结合101a 的范围即得解.【详解】由1n n n a b a +=，可得1n n n a b a +=，由21n n n a a a +=+，可得111n n n a a a +=+，故11n n b a =+. 因为()1111111n n n n n a a a a a +==-++，所以11111n n n a a a +=-+， 所以10012100122310010110111111111111111S a a a a a a a a a a =+++=-+-++-=-+++. 由题意可知0n a >，则210n n n a a a +-=>，故{}n a 为递增数列.因为11a =，所以101101a <<，故()100101110,1S a =-∈，所以k 的最小值为1. 【点睛】本题考查了数列的递推公式以及裂项求和法，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算能力，属于中档题2. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2211,n n n n a a a n a +=-=-，则100S =__________. 【答案】1189 【解析】【分析】由2211,n n n n a a a n a +=-=-，两式相加得221+1n n a a n +=-，然后进一步通过迭代法可求得答案【详解】解：因为2211,n n n n a a a n a +=-=-， 所以221+1n n a a n +=-，所以234598994849()()()014811762a a a a a a ⨯++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+==， 由2211,n n n n a a a n a +=-=-，可得3110a a =-=所以100502512631210111212a a a a a a =-=-=-=-=-=， 所以100123459899100()()()S a a a a a a a a =+++++⋅⋅⋅+++11176121189=++=，故答案为：1189二、解答题3. 数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图像上，其中k 为常数，且0k ≠（1）若124,,a a a 成等比数列，求k 的值； （2）当3k =时，求数列{}n a 的前2n 项的和2n S .【答案】（1）2k =；（2）223n S n n =+.【解析】【分析】（1）首先由条件，列式表示为2a k =，31a k =+，42a k =，再根据数列是等比数列求k 的值；（2）由条件，归纳可知()2123211n n a a n -+=-+，再求数列{}n a 的前2n 项的和2n S . 【详解】解：（1）由11n n a a kn ++=+可得121a a k +=+，2321a a k +=+，3431a a k +=+， 所以2a k =，31a k =+，42a k =.又1a ，2a ，4a 成等比数列，所以2214a a a =，则22k k =，又0k ≠，故2k =.（2）3k =时，131n n a a n ++=+，∴124a a +=，3410a a +=，…，()2123211n n a a n -+=-+， 224624106232n n S n n n n +-=++⋅⋅⋅+-==+. 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列，并项求和，本题第二问的关键是根据递推公式131n n a a n ++=+，求得()2123211n n a a n -+=-+，再求2n S 即可迎刃而解. 4. 已知数列{}n a 、{}n b 满足110a b ==，()()1121212n n n n n a a +++=++，当2n ≥时，131n n b a =+．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若1n n c b +=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：56n S <． 【答案】（1）223nn a -=，0,11,221n n n b n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）由已知条件推导出1111121212121n n n n n n a a +++=+-++++，利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式，进一步可求得数列{}n b 的通项公式； （2）分析可得当2n ≥时，11112121122n n n n c +++≤==-+，然后分1n =、2n ≥两种情况讨论，结合等比数列的求和公式可证得结论成立. 【详解】（1）()()()()()111122121221211nn n n n n n n n a a a ++++=++-+=++++，所以，1111121212121n n n n n n a a +++=+-++++，即1111121212121n n n n n n a a +++-=-++++，所以，31121223212121212121212121n n n n n n a a aa a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭223111111111212121212121321n n n-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，223n n a -=.因为当2n ≥时，131n n b a =+，故0,11,221n n n b n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩；（2）1121n n c +=-时，当2n ≥时，11112121122n n n nc +++≤==-+，当1n =时，11536c =<； 当2n ≥时，11211111111115421482332612n n n n S c c c c -⎛⎫- ⎪⎝⎭=++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+=+<+=-．综上所述，对任意的n *∈N ，56n S <. 【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法： （1）当出现1n n a a m -=+时，构造等差数列； （2）当出现1n n a xa y -=+时，构造等比数列； （3）当出现()1n n a a f n -=+时，用累加法求解；（4）当出现()1nn a f n a -=时，用累乘法求解. 5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，公比为2的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，并且满足()12log 12n n n a T S ++=． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）已知1121n n n n n a c T T -++=，规定00a =，若存在n *∈N 使不等式123...1n c c c c nλ++++<-成立，求实数λ的取值范围．【答案】（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）67λ<. 【解析】【分析】（Ⅰ）由递推式，令1n =求11b =，写出{}n b 的通项公式及n T ，结合已知条件求{}n a 通项公式.（Ⅱ）应用裂项求和求123...n c c c c ++++，即有21min 21n n n λ+⎛⎫+< ⎪-⎝⎭，进而求λ的范围．【详解】（Ⅰ）由题设，2211log (1)2a T S +=，即2211log (1)2a b a +=，可得11b =，又等比数列{}n b 的公比为2，∴12n n b -=，故21nn T =-，即12n n S na +=，当2n ≥时，112()2(1)n n n n n S S a na n a -+-==--，即()11n n na n a +=+， 当1n =时，212a a =，∴n *∈N 上有()11n n na n a +=+，即101n n a a n n，而111a =， ∴{}n an 是常数列且1n a n=，即n a n =；（Ⅱ）由题意，()()()11121121212121n n n n nn n n n c ++-++==-----， ∴1231122311...1...11337212121n n n n n n n c c c c nλ++++++++=-+-++-=-<----，对n *∈N 有解，则21min21n n n λ+⎛⎫+< ⎪-⎝⎭， 令2121n n n nd ++=-，故2211212121(1)(1)2(1)[(2)22](1)()21212121(21)(21)n n n n n n n n n n n n n n n n n d d n ++++++++++++++---=-=+-=------，∴当1n =时，21d d >；当2n ≥时，1n n d d +<，知：2d 为n d 的最小项， ∴267d λ<=．【点睛】关键点点睛：第二问，利用裂项求和求123...n c c c c ++++，将有解问题转化为21min21n n n λ+⎛⎫+< ⎪-⎝⎭，利用数列的性质求最小项，即可得参数范围.。
1-5 不动点定理
有不动点y，则 T y= y。
推论：设 C 是 B* 空间中的紧凸子集， 映射
T：C C 连续，则 T 有不动点 x C。
不妨考虑 0 为 C 的内点的情形。 否则考虑映射 T1x=T(x+x0)-x0 考虑 C 张成的子空间 X=span{C}，由 C
紧知 X 的单位球面紧，必有 dim X< 。
即 E 中任意两点 x，y 的连线仍然在 E 中。 命题：若{E ： 集，则 } 是线性空间 X 中的一族凸
E 也是凸集。
凸包：包含 E 的最小凸集，记作 co(E)。
命题：co(E) 是 E 的任意凸组合的全体，即
co( E )
n i 1 i
xi |
n i 1 i
1，
i
0，xi
X
Brouwer 不动点定理：记 B 是 Rn 中的闭单位
可得
(z) 1
mi ( z )
i 1
其中
mi ( z ) z 0， yi ，
yi yi
z z
Nn为 T(C) 的有限 -网，必有 z 某 B(yi， )，
此时 mi(z)>0，可知 (z) 有意义，并且连续。 于是，这样定义的 i(z) 非负、连续、和=1， 且有 ||Inz - z|| =1/n 0， (n )
集，映射 T=T1+T2：C X ，满足
T1x+T2y C， x，y C； T1 是一个压缩映射，T2 是一个紧映射。 则 T 在 C 上有不动点。
提示：先利用压缩映射原理，再利用 Schauder
不动点定理。
应满足：(1) 连续、(2) 非负、(3) 和=1。
rn rn i i 1 rn i i 1 rn i i 1
不动点理论及其应用
不动点理论及其应用主要内容：●不动点理论—压缩映像原理●不动点理论在微分方程中的应用●不动点理论在中学数学中的应用目录：一、引言二、压缩映像原理三、在微分方程中的应用四、在中学数学中的应用五、其它一、 引言取一张照片，按比例缩小，然后把小照片随手放在大照片上，那么大小两张照片在同一个部位，一定有一个点是重合的。
这个重合点就是一个不动点。
函数的不动点, 在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点, 即函数)(x f 在取值过程中, 如果有一个点0x 使00)(x x f =,则 0x 就是一个不动点。
二、 压缩映像原理定理：（Banach 不动点定理—压缩映像原理）设 ),(ρX 是一个完备的距离空间， T 是),(ρX 到其自身的一个压缩映射，则T 在X 上存在唯一的不动点。
这里有三个概念：距离空间，完备的距离空间，压缩映射距离空间又称为度量空间。
定义：（距离空间）设 X 是一个非空集合。
X 称为距离空间，是指在X 上定义了一个双变量的实值函数 ),(y x ρ， 满足下面三个条件：（1）。
0),(≥y x ρ， 而且0),(=y x ρ， 当且仅当 y x =； （2）。
),(),(x y y x ρρ=；（3）。
),(),(),(z y y x z x ρρρ+≤， （X ,,∈∀z y x ）。
这里 ρ 叫做 X 上的一个距离，以 ρ 为距离的距离空间 X 记作),(ρX 。
定义：（完备的距离空间）距离空间),(ρX 中的所有基本列都是收敛列，则称该空间是完备的。
定义：（压缩映射）称映射 ),(),(:ρρX X T → 是一个压缩映射，如果存在 10<<a ， 使得 ),(),(y x a Ty Tx ρρ≤ ),(X y x ∈∀成立。
三、 在微分方程中的应用定理：（存在和唯一性）考虑如下初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==.00)(),,(y x y y x f dx dy假设 ),(y x f 在矩形区域b y y a x x R ≤-≤-||,||:00内连续，而且对 y 满足Lipschitz 条件，则上述问题在区间],[00h x h x I +-= 上有且仅有一个解，其中.|),(|max },,min{),(y x f M Maa h R y x ∈>=（1）。
数学定理赏析-不动点理论
精彩的数学定理赏析
答：取一个纸盒和一张纸,纸恰好盖住盒内的底面.可想而知此时纸上的每个点与正在它下面的盒底上的那些点配成对.把这张纸拿起来,随机地揉成一个小球,再把小球扔进盒里.拓扑学家已经证明,不管小球是怎样揉成的,也不管它落在盒底的什么地方,在揉成小球的纸上至少有一个这样的点,它恰好处在它盒底原来配对点的正上方
如何找这个不动点?
通过具体找到这个点,来证明这个问题
纸被揉成纸团后,看它投到纸盒底部的影子.纸盒底部的影子区域肯定比纸盒底要小.那么,就取【纸盒底部的在影子内的那个部分】,它肯定对应于纸团里面的某一小团部分.
假如去掉纸团的其他部分,那一小团部分同样可以在纸盒底面投影,而且投影肯定比刚才的纸团在纸盒上的投影小,而且在它之内.（因为它是在整个纸团之内）.那么,取这一小片投影（注意这片影子肯定是连续的不会断开,因为纸没有撕裂）,当它再往纸团里对应的时候,肯定对应于其中更小的一团.我们再次把多余的纸去掉.
就是说：
整个纸盒对应于纸团
纸盒【在纸团投影内的部分】对应于纸团内的一小块
纸盒【一小块的投影的部分】对应于刚才那一小块内的更小一块
纸盒【更小块投影的部分】对应于更小块中的更更小一块…………………………
不断地去掉纸上的多余部分，一次又一次, 不断地缩小范围，无数次后，趋于极限，最后纸团上只剩下一个点,它的投影就是它最初投影于纸盒上的那个点。
活用“不动点”解决几类数学问题
(1988,中国国家集训队选拔考试)
证明 易知,/(%) = 3x+2的不动点为
久o = - 1. 由式②知
/(100)(%) = 3100(1 +%)-1
=>/(100)(7n) = 3100(/n + l)-l.
由1 988 = 4 x7 x71与100互素，知存
在非零整数"、0,使得
3100u - 1 988。= 1 => 3100u-1 =1 988°.
[ax - 1 =0
3
综上，一・
2在数列中的应用
结论 3 若 /(%) = kx +
) ,%0
为/(%)的不动点，数列｛皱｝满足％i =/(«.) 5G Z+),且©h%,则数列是公 比为％的等比数列，且
= (© _第0)胪 J +%0・
结论4设
已知数列巾」满足
a” + i =/(a”)5 & Z + ), 且/(5)工如.
证明:存在一个数a,使得数列｛ ｝恰有 2 018个不同的项(若数列某一项为0,则数 列停止在这一项).⑴
(第58届乌克兰数学奥林匹克) 【分析】由递归式，考虑函数
令/&) = %,此方程无实根JP/(x)无不 动点.
先考虑/(%)=詈.
令/(%) = %,解得％ = ±i.则
4
Xn+1,+•1=£^ rt --1 +, 1• =^ (v xn-+— iz)2
/(2)(^)=/(/(^)),
若存在％0使得严(%) = %0,则称％为/(%) 的稳定点，即函数/(2)(X)的不动点称为函数 /(%)的稳定点.
结论2设函数/(乂)的不动点构成集合
不动点原理在高考中的应用
不动点原理在高考中的应用1. 什么是不动点原理？不动点原理是数学中的一个重要概念，它指的是在某个函数下存在一个点，使得该点经过函数变换后仍保持不变。
换言之，对于函数f(x)，如果存在a使得f(a)=a，那么a就是这个函数的不动点。
不动点原理在数学、物理、计算机科学等领域中具有广泛的应用。
2. 不动点原理在高考解题中的意义在高考中，考察学生对数学概念的理解和运用能力。
不动点原理作为数学中的一个重要概念，能够帮助我们更深入地理解和解决一些问题。
下面我们将介绍不动点原理在高考解题中的应用。
3. 不动点原理的应用举例3.1 函数的迭代不动点原理可以被用来解决函数的迭代问题。
例如，考虑函数f(x) = x^2 - 3x + 4。
我们希望找到f(x) = x的解。
首先，我们可以将f(x) = x转化为x = g(x)，其中g(x) = x^2 - 3x + 4。
然后，我们可以通过迭代的方式来逐渐逼近函数的不动点。
具体步骤如下：1.选定一个初始值x0。
2.计算x1 = g(x0)。
3.依次计算x2 = g(x1)，x3 = g(x2)，…，直到收敛到某个不动点。
这样，我们可以通过不断迭代的方式，找到函数的不动点，从而解决方程f(x) = x的问题。
3.2 高考中的应用不动点原理在高考数学中的应用非常广泛。
举个例子，在函数的性质和应用方面，常常会涉及到函数的不动点。
考生可以通过不动点原理的应用来解决一些复杂的函数性质题。
具体实例如下：题目：已知函数f(x) = x^2 - 3x + 4，求函数的最小值。
解题思路： 1. 首先，求函数的导数f’(x) = 2x - 3。
2. 令f’(x) = 0，解得x = 3/2。
3. 计算f’’(x) = 2，根据二阶导数的正负确定函数的凸凹性。
4. 然后，我们可以通过不动点原理来求解函数的最小值。
5. 找到g(x) = x的不动点，即x = g(x)。
代入g(x) = f(x) + x，得到g(x) = x^2 - 2x + 4。
不动点法原理
不动点法原理不动点法是一种数值计算方法，用于寻找方程的根或者函数的不动点。
在数值分析和计算数学中，不动点法被广泛应用于解决非线性方程和非线性系统的数值求解问题。
它的原理简单而又有效，是一种重要的数值计算工具。
不动点法的原理基于不动点的概念。
在数学中，若函数f(x)满足方程x=f(x)，则x称为函数f的不动点。
换句话说，不动点就是函数值等于自变量的点。
因此，要找到函数f的不动点，就需要解方程x=f(x)。
不动点法的基本思想就是通过迭代的方式，不断逼近方程x=f(x)的解，从而找到函数的不动点。
不动点法的具体步骤如下，首先，选取一个初始值x0，然后通过迭代公式xn+1=f(xn)来计算下一个近似解xn+1。
重复这个迭代过程，直到满足预先设定的精度要求或者迭代次数达到上限为止。
最终得到的近似解xn就是函数的不动点的近似值。
不动点法的收敛性与迭代函数f的性质密切相关。
一般来说，如果迭代函数f在不动点附近满足Lipschitz条件，并且其导数在不动点处的绝对值小于1，那么不动点法就具有局部收敛性。
此外，若迭代函数f是连续的，并且在整个定义域上满足Lipschitz条件，那么不动点法就具有全局收敛性。
不动点法的应用范围非常广泛，涉及到诸多领域。
例如，在经济学中，不动点法可以用于求解一些特定的均衡问题；在物理学中，不动点法可以用于求解一些非线性方程，如调和振动子的运动方程等；在工程领域，不动点法可以用于求解一些复杂的系统方程。
因此，不动点法在实际问题中具有重要的应用价值。
总之，不动点法是一种简单而又有效的数值计算方法，通过迭代的方式来寻找函数的不动点。
它的原理清晰，应用范围广泛，是数值分析和计算数学中的重要工具之一。
通过深入理解不动点法的原理和特性，可以更好地应用它来解决实际问题，为科学研究和工程应用提供有力的支持。
不动点
在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。
布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（英语：L. E. J. Brouwer）。
布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f，存在一个点x0，使得f(x0) = x0。
布劳威尔不动点定理最简单的形式是对一个从某个圆盘D射到它自身的函数f。
而更为广义的定理则对于所有的从某个欧几里得空间的凸紧子集射到它自身的函数都成立。
不动点定理fixed-point theorem如果f 是n+1维实心球Bn+1={x∈R n+1|x|≤1}到自身的连续映射（n=1，2，3…），则f 存在一个不动点x∈Bn+1（即满足f（x0）=x0）。
此定理是L.E.J.布劳威尔在1911年证明的。
不动点问题实际上就是各种各样的方程（如代数方程、微分方程、积分方程等）的求解问题，在数学上非常建立布劳威尔不动点定理是他的突出贡献．这个定理表明：在二维球面上，任意映到自身的一一连续映射，必定至少有一个点是不变的．他把这一定理推广到高维球面．尤其是，在n维球内映到自身的任意连续映射至少有一个不动点．在定理证明的过程中，他引进了从一个复形到另一个复形的映射类，以及一个映射的映射度等概念．有了这些概念，他就能第一次处理一个流形上的向量场的奇点．康托尔揭示了不同的n与空间Rn的一一对应关系．G．皮亚诺(Peano)则实现了把单位线段连续映入正方形．这两个发现启示了，在拓扑映射中，维数可能是不变的．1910年，布劳威尔对于任意的n证明了这个猜想——维数的拓扑不变性．在证明过程中，布劳威尔创造了连续拓扑映射的单纯逼近的概念，也就是一系列线性映射的逼近．他还创造了映射的拓扑度的概念——一个取决于拓扑映射连续变换的同伦类的数．实践证明，这些概念在解决重要的不变性问题时非常有用．例如，布劳威尔就借助它界定了n 维区域；J．W．亚历山大(Alexander)则用它证明了贝蒂数的不变性．不动点理论已经成为非线性分析的重要组成部分，该问题的研究已经在偏微分方程、控制论、经济平衡理论及对策理论等领域获得了极为成功的应用。
不动点定理及应用毕业论文
不动点定理及应用毕业论文不动点定理是数学中的一个重要定理，它在很多领域中有着广泛的应用。
本文将介绍不动点定理的概念、证明及其在不同领域中的应用，并分析其对毕业论文的可能帮助。
不动点定理是由德国数学家孟德尔逊（Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo）于1913年提出的。
它是一个关于映射的定理，指出在某些特定条件下，一个映射必然存在一个不动点。
所谓不动点，即是在映射下保持自身不变的点。
具体来说，对于一个映射f(x)，若存在一个x使得f(x) = x，那么x就是f的一个不动点。
下面我们给出不动点定理的详细证明。
首先，假设f是一个定义在[a, b]区间上的连续函数，并且满足f(a) >= a及f(b) <= b这两个条件。
根据这个假设，我们可以构造一个数列x0, x1, x2, ...，其中x0 = a,x1 = f(x0), x2 = f(x1)，以此类推，我们可以得到xn = f(xn-1)。
根据归纳法，我们可以证明这个数列是一个单调递增的数列，并且有一个上界b。
根据实数完备性定理，我们可以知道这个数列收敛到一个值x。
由于f是一个连续函数，我们可以计算出f(x) = x，即x就是f的一个不动点。
因此，根据孟德尔逊不动点定理的证明，我们可以得出在一定条件下，存在一个不动点。
不动点定理在实际问题中有着广泛的应用。
首先，它在函数逼近问题中起到重要作用。
对于一个复杂函数，如果我们可以构造一个映射将其逼近到一个简单的不动点，这样对于问题的求解会更加简便。
例如，在数值计算中，我们可以使用迭代法求解方程f(x) = x的根，这就是通过不动点定理将方程的求解转化为对应映射的不动点求解。
另外，在优化问题中，不动点定理也可以用来找到函数极小值的点。
其次，不动点定理在经济学和博弈论中也有着重要应用。
例如，在经济学中，通常会遇到某个映射代表市场供求关系或者经济变量之间的关系。
通过不动点定理，我们可以找到这个映射的不动点，从而分析经济系统的稳定状态。
不动点 奇函数
不动点奇函数在数学领域中，不动点指的是一个函数中的某个点，当输入该点时，函数的输出值与输入值相等。
也就是说，如果对于函数f(x)，存在一个点c，使得f(c)=c，那么c就是函数f(x)的不动点。
奇函数是指具有对称性质的函数，即f(x)=-f(-x)。
换句话说，对于奇函数来说，当自变量的值发生变化时，函数值也会发生相应的变化，并且变化的趋势是对称的。
不动点和奇函数在数学中都有重要的应用和研究价值。
下面将分别介绍不动点和奇函数的特性及应用。
不动点的特性和应用不动点在数学中具有广泛的应用，尤其在函数分析和微分方程等领域中被广泛研究和应用。
不动点的存在性是很关键的。
根据不动点定理，如果一个函数满足某些条件，那么它必然存在不动点。
这个定理有很多不同的形式和推广，比如Banach不动点定理和Brouwer不动点定理等。
这些定理为函数的研究提供了强有力的工具和方法。
不动点在解方程和求根等问题中具有重要意义。
例如，在计算机科学中，不动点迭代法被广泛应用于求解非线性方程和优化问题。
通过不断迭代函数的不动点，可以逐步逼近方程的解。
这种方法简单而有效，被广泛应用于实际问题的求解中。
不动点还在动力系统和混沌理论等领域中发挥着重要作用。
动力系统是研究物理系统演化规律的数学分支，而混沌理论则是研究非线性系统中的混沌现象。
不动点是动力系统中的一个关键概念，它描述了系统在某些条件下的稳定状态。
奇函数的特性和应用奇函数是一类特殊的函数，具有对称性质和一些独特的特性。
奇函数在数学和物理学中都有广泛的应用。
奇函数具有对称性质，这使得它们在研究对称性问题时非常有用。
例如，在物理学中，奇函数经常出现在对称体系中，比如球对称体系和空间反演对称体系。
奇函数的出现与系统的对称性密切相关，对于研究系统的性质和行为具有重要意义。
奇函数在傅里叶级数展开和信号处理中也有重要应用。
根据奇偶性质，任何一个函数都可以分解为奇函数和偶函数的线性组合。
这种分解方法被广泛应用于信号处理和图像处理等领域，可以有效地降低计算的复杂度和提高处理的效率。
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我们不妨把大照片抽象成矩形 ＫＩ ＢＣＤ） （ Ａ ， 小照片抽象成矩形 （ Ｊ Ｄ， 而照片的叠 Ｅ ｝ ） ．
放可视为一个从 １ 到 ２ １ 的连续映射一 这是 由伸缩与旋转相结合 的连续形变之旅． 由上 面 的不动点定理或其变形， 必有一个不动点 ｏ 此相应于大小两张照片上那一重叠的点．
散模式之上的； ， ， ， 是上帝创造世界 的砖 １ ２３ …
块．
佗 ＝ １ ２ ４ ，１ ，１ ， ８ ３ ，６ ， ８ ０ ，１ ６ ， ， ，６ ２ ６ ｌ ， Ｏ ６ ８ ，１ ６ ２ ，
在毕达哥拉斯学派看来， 数的完美取决 于她
的 因数 ， ６＝ １＋ ２＋ ３ 其 中 １ ２ ３ 数 ６ 而 ． ，， 是 的
图 ２
图 １
如果说上例 是不动点理论与几何学的一种 巧妙结合的话， 下面的例子则告诉我们在不动点 理念的辉映下， 数的百花园中一些独特的数可以 得到 不 同方式 的 理解 与 注 释．
例 ２ 完美数的嘉园
注 释： 里重 叠 的点 指 的是这 张 照片 的 同一 这
个 部 位．
ｉ一五 ｉ３
数 学教 学
２１年第 ｌ期 ００ １
不动 点现 象 的一些数 学 漫步
２０ ２ 华东师汜大学数学系学生 王丽燕 曹露美 苏画画 ０６ ０ － ４ ４ －
不动点的研究起始于２ 世纪初．１ １ 年， ０ ９ ２ 荷 兰数学家布劳维尔证明了下面的有趣结论： 一圆 盘到 自身的任意一连续映射都存在有不动点． 用 数学的语言描述就是 ：
ＡＯＢ Ａ ＝ ＺＯ Ｂ Ｐ．
’ ．
’点（、 、 、Ｆ 圆 ０１ ， ＝ Ｊ在 ） ） 上
．
。 ．
ＺＯＡ ＝ （ Ｐ． Ｐ ＝ ）
△ （ Ｂ △ ０ ＡＢ ． ＝ ） ∽
．
。
． ．
即在 （这一点上， ＝ ） 大照片中的” 景物“ 与小照 片中的” 景物“ 相同．
一
数学与神学 的结合开始于古希 腊的毕达哥 拉斯学派 在那个把一切归于神 的年代里， 人们
对数字有着奇怪的崇拜．毕达哥拉斯所创立的 “ 兄弟会” 毕达哥拉斯学派， 一 是一个集政治、 学 术、宗教三位于一体的神秘主义派别 他们所信 奉的偶像是“ ． 数” 毕达哥拉斯学派相信神用“ ’ 创造了宇宙万 物． 数是万物之母， 整个世界 一 物质的， 形而上
不动 点 定 理 ：设 Ｄ 平 面 Ｒ 的单 位 圆 是 上 盘， ｆ：Ｄ 一 Ｄ 为其 上 一连 续映 射， 有 Ｘ 则 ０∈ 个 不动 点 的 旅程 会是 有 趣 的． 上 面 的 不 动 点 问题 可转 化 为 证 明存 在 点 ０， 得 △（ Ｂ∽ ＡＯＡ Ｂ 可． 使 ＝ ） 即 证 明： 延长 Ｂ 交 Ｊ于 点 Ｐ， Ｅ ｝ 然后过 点 Ａ、
２ （叫一 “ ２ 一ｌ ：
６ ２ ８ ４６ ９ ８２ １８ ３５０３ ３ ５３６
发现者 （ 时间）
佚 名 佚名 佚名 佚名 佚 名 （４ １ １６ ）
所有真因数． 于是 ６ 是一个完美数． 完美 数的定义： 个 自然数称为是完美 的， 如果它是其所有真因数之和． 最小的两个完美数是 ６ ２ ， 和 ８ 这或许在毕达 哥 拉斯 时代 之 前就 被人 们所 知 ．有 点 巧 合 的是 ， 按圣经所说， 是上帝创造世界 的天数． ６ 而数 ２ ８ 则是 月亮绕地球一周 的 日数．无怪 有些圣经注 释家 们认为６ ２ 是上帝创造世界的基本数字． 和 ８ 圣一 奥古斯丁 一 古 罗马帝 国时期一位伟大的哲 学家与 神学家 曾如是说：虽然上帝能够在 瞬 间 创造 世 界， 为 了表 现 天 地万 物 的完 美 ， 还 是 但 他 用了６ （ 天． 源出 址 帝之城》 ． ） 第３ 个完美数是 ４ ６ 第 ４ ９； 个完美数是 ８ ２ ； １８ 这是毕达哥拉斯学派发现的一 尼可马克 （ ｃ — Ｎｉ ｏ ｍａｈ ｓ公元前 １ ｃ ｕ， 世纪， 古希腊数学家） 是毕达哥 拉斯 学派的主要人物， 在其著作 《 数论》中有这 样一 段 文字 ： 也许是这样： 正如美 的、 卓绝的东西是罕有 的， 是容 易计数的， 而丑 的， 坏的东西却滋蔓 不 已； 以盈数与亏数非常之多， 是 杂乱无章， 们 他 的发现也毫无系统． 但是完美数则 易于计数而又 顺理成章：因为个位数里只有一个 ６ 十位数里 ； 也只有一个 ２ ； ８ 第三个在百位深处， ４ ６ 第四 是 ９； 个却在千位数的尾巴上， 接近一万， ８２ ．他 是 １８ 们具有一致 的特性：尾数都是 ６ ２ ， 和 ８ 而且都是 偶数． 这段文字里 至少 隐藏着 ２ 个谜语：（） １是否 每一级位数 中都有一个完美数？（） ２ 完美数都是
、
Ｊ三点作圆 Ｏ ， 点 Ｂ Ｆ ） １过 、Ｂ 、Ｐ三点作圆
‘ ．
ｏ２ 记 圆 ０１ 圆 Ｏ２ ， 和 的另 一个 交 点为 《． 二 ）
’ （、Ｂ Ｆ 点 ＝ ） 、Ｊ、Ｂ在 圆 ０２ ） 上，
Ｘ ． 假如说数学是一处百草园， 那么这个定理是 数学百草 园中的一株奇葩． 她的问世犹如一枚奇
妙 的钥匙， 打开了数学 园不动点理论的大门． 在 现今数学世界的诸 多领域， 都可以寻找到她简洁 而美丽的身影． 本文 的主题 是在 不动 点 的数学 视 野下 ， 一 看 看我们身边的和初等数学中的一些不动点现象， 希望这些案例可以让我 们或多或少感悟到高观 点下的初等数学的美丽． 例 １ 照片的艺术 取一张 你喜欢的照片 （ １， 图 ） 将它按 比例缩 小， 再把小照片随手叠放在大 照片上， 然后你向 观众宣布： 大小两张照片上一定有一个重叠的点．
通过 几 何学 的语 言来 刻 画和 构筑 其 上 的那
２１ 年第 １期 ００ １
数 学教 学
一
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学的一切， 都是建立在 １ ２ ３ … 这些数的离 ， ，，
个完美数． 这确实是一个非常奇妙的结论． 当 我们就可得出许多的完美数
序列
１ ２ ３ ４ ５ １ ２ ４ ６ １ ２