结构力学11.4 结构的原始刚度矩阵

§11-4结构的原始刚度矩阵

整体分析：即建立求解基本未知量的结构刚度方程。而位移法中求解的基本未知量是结点位移，

包括线位移与角位移。

考虑如上图所示刚架，有4个结点，3个单元，受结点荷载的作用。至于非结点荷载作用的情况，需要将其转化为等效的结点荷载，这将在后面的内容中进行专门介绍。这里，暂只考虑结点荷载作用的情况。

各单元的局部坐标系与整体坐标系如下图所示。

各单元的单元刚度矩阵，进行坐标变换后，得到整体坐标系下各单元的单元刚度矩阵如下

1221][22211211⎥⎦⎤⎢⎣⎡=①①①①①k k k k k ，2332][33322322⎥⎦⎤⎢⎣⎡=②②②②②k k k k k ，4

3][44433433⎥⎦⎤⎢⎣⎡=③③③③③k k k k k 34每个结点，有x 方向线位移、y 方向线位移与角位移3个位移分量。结构的结点位移列向量为

⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=1111}{ϕv u Δ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=2222}{ϕv u Δ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=3333}{ϕv u Δ，⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=4444}{ϕv u Δ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=4321}{ΔΔΔΔΔ

与结点位移列向量对应的结点外力（包括荷载和反力）列向量为

结构刚度方的建立

前面学习位移法时，已经知道，位移法方程，即结构的刚度方程，就是结点的平衡方程。所以，通过结点的平衡条件，可建立结构的刚度方程。

下面，以结点2为例，如图示。结点2的3个平衡方程为

②①222x x x F F F +=，②①222y y y F F F +=，②①2

22M M M +=

写成矩阵形式，有

⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧②②②①①①222222222M F F M F F M F F y x y x y x ，即，}

{}{}{222②①F F F +=单元杆端力，可用杆端位移表示为

}]{[}]{[}{2221212①①①①①δδk k F +=，}

]{[}]{[}{3232222②②②②②δδk k F +=得到，

}

]{[}]){[]([}]{[}{323222221212Δk Δk k Δk F ②②①①+++=此即结点2的平衡方程。

同理，可列出结点1、3、4的平衡方程。共有4个结点，结果为

[K ]称为结构的原始刚度方程。所谓“原始”，是指还未引入支承条件，结构可有任意刚体位移，因而结构的原始刚度矩阵是奇异的。式中

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=4321}{F F F F F ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=1111}{M F F F y x ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=2222}{M F F F y x ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=3333}{M F F F y x ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=4444}{M F F F y x ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=4321}{∆∆∆∆∆，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=1111}{ϕ∆v u ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=2222}{ϕ∆v u ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=3333}{ϕ∆v u ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=4444

}{ϕ∆v u 结构的原始刚度矩阵[K ]为