二次函数与图形变换
“三部五环”教学模式设计
中考专题复习《二次函数与图形综合》复习课教学设计
附：板书设计
二次函数图像的变换练习题
二次函数图像的变换 1、 把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 A ．()213y x =--- B ．()213y x =-+- C ．()213y x =--+ D ．()2 13y x =-++ 2、将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．()221y x =+ B ．()221y x =- C ．221y x =+ D ．221y x =- /3将抛物线23y x =向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（ ） A. 232y x =- B. 23y x = C. 23(2)y x =+ D. 232y x =+ 4、函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到，那么平移的步骤 是：（ ） A. 右移两个单位，下移一个单位 B. 右移两个单位，上移一个单位 C. 左移两个单位，下移一个单位 D. 左移两个单位，上移一个单位 5、函数22(1)1y x =---的图象可由函数22(2)3y x =-++的图象平移得到，那么平移的步骤是（ ） A. 右移三个单位，下移四个单位 B. 右移三个单位，上移四个单位 C. 左移三个单位，下移四个单位 D. 左移四个单位，上移四个单位 6、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 A ．()213y x =--- B ．()213y x =-+- C ．()213y x =--+ D ．()2 13y x =-++ 7、将抛物线23y x =向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（ ） A. 232y x =- B. 23y x = C. 23(2)y x =+ D. 232y x =+ 8、函数2y x =与2y x =-的图象关于______________对称，也可以认为 2y x =是函数2y x =-的图象绕__________旋转得到． 9、已知：点P （2，7）在函数2y ax =+b 的图象上，而且当x=-√3时，y=5;(1)求a,b 的值并确定此函数的解析式。（2）若（1/2，m ）和点（n,17)也在函数的图像上，求m 和n 的值。 10、已知一个二次函数图像的形状与抛物线Y=4x 2相同，它的顶点坐标是（2，4），求该二次函数的解析式。
有关二次函数的图象变换
一、有关二次函数的图象变换 图形的变换是新课标下的初中数学中的重要内容，在复习二次函数时，可将它的图象--抛物线进行平移、关于x轴、y轴成轴对称或关于原点O(或它的顶点)成中心对称等变换，求对应的抛物线的解析式。 解决这类问题的关键是能正确求出变换后的抛物线的顶点坐标及确定抛物线的开口方向。 例：已知；抛物线y=-x2+2x+3，回答下列问题， (1)分别写出此抛物线的顶点P，与x轴的两个交点A、B(A点在B点的左侧)，与y轴的交点c的坐标。 答：P(1，4)，A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3) (2)求抛物线y=-x2+2x+3关于y轴对称的抛物线的解析式。 解：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，因为此抛物线的顶点P(1，4)关于y轴的对称点为P1(-1，4)， 所以，所求抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4，即y=-x2-2x+3。 (在这个变换过程中，点C(0，3)是不动点) (2)求抛物线y=-x2+2x+3关于x轴对称的抛物线的解析式。 解：若以抛物线y=-x2+2x+3的顶点入手， ∵点P(1，4)关于x轴的对称点为P2(1，-4)，而且原抛物线y=-x2+2x+3在关于x轴对称的变换过程中，开口方向由向下变为向上，
∴所求抛物线的解析式为 y=(x-1)2-4，即y=x2-2x-3 (在这个变换过程中，点A(-1，0)，B(3，0)是不动点) 若以函数值的正、负入手，抛物线y=-x2+2x+3关于x轴对称的抛物线的解析式为y=-(-x2+2x+3)=x2-2x-3。 (3)求抛物线y=-x2+2x+3关于原点O对称的抛物线的解析式 解：∵点P(1，4)关于原点O的对称点为P3(-1，-4)，而且抛物线y=-x2+2x+3关于原点O对称的过程中开口方向由向下变为向上， ∴所求抛物线的解析式为y=(x+1)2-4，即y=x2+2x-3。 (在这个变换过程中，原抛物线y=-x2+2x+3上的点，都绕原点O旋转180°) (4)求抛物线y=-x2+2x+3关于顶点P对称的抛物线的解析式。 解：∵抛物线y=-x2+2x+3关于顶点P对称的抛物线与原抛物线的顶点相同，开口方向相反，
二次函数的基本解析式与图像变换进阶篇(上)
题型一：二次函数的解析式 【引例】 如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A、B两点，交y轴于C点，若OB＝OC＝3OA，则抛物线的解析式为__________。 【例1】 ⑴抛物线y＝ax2－2ax＋a2－1的顶点在直线y＝x上，则抛物线的解析式为________。 ⑵如图，抛物线223 y ax ax =-+经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC＝BC。则抛物线的解析式为___________。 二次函数的基本解析式 与图像变换进阶篇（上）
⑶设抛物线y＝-x2＋(m＋4)x－4m，其中0＜m＜4，与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，若点D的坐标为(0，-2)，且AD·BD＝10，求抛物线的解析式。 【例2】 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果当x取任意整数时，函数值y都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线。(例如：y＝x2＋2x＋2)。 ⑴请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式__________。(不必证明) ⑵请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于1 2 的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛 物线的解析式；若不存在，请说明理由。 题型二：二次函数的图象变换 【引例】 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，-4)，且过点B(3，0)。 ⑴求该二次函数的解析式； ⑵将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标。
【例3】 已知抛物线C1：y＝ax2－2amx＋am2＋2m＋1(a＞0，m＞1)的顶点为A，抛物线C2的对称轴是y轴，顶点为点B，且抛物线C1和C2关于点P(1，3) 成中心对称。 ⑴用含m的代数式表示抛物线C1的顶点坐标； ⑵求m的值和抛物线C2的解析式； ⑶设抛物线C2与x轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值。 【挑战题】 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B(0，4)，且ac＝b。 ⑴求该二次函数的解析表达式； ⑵将一次函数y＝-3x的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象L与抛物 线的另一个交点为C，求△ABC的面积。
二次函数图像的变换
二次函数图像的变换 第一环节 【知识储备】 一、二次函数图象的平移变换 （1）具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成2 ()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出 二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图 所示： （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”. 二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2 y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2 y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2 y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，
二次函数图形变换综合压轴题
二次函数图形变换综合压轴题 1、在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=mx2-2mx-3（m≠0）与x轴交于A（3,0），B两点. （1）求抛物线的表达式及点B的坐标. （2）当-2＜x＜3时的函数图像记为G，求此时函数y的取值范围. （3）在（2）的条件下，将图像G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图像G的其余部分保持不变，得到一个新图像M.若经点C(4,2)的直线y=kx+b（k≠0）与图像M在第三象限内有两个公共过点，结合图像求b的取值范围.
2、已知关于x 的一元二次方程0132=-+-k x x 有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值； （2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x 的二次函数132-+-=k x x y 的图象向下平移2个单 位，求平移后的函数图象的解析式； （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于y 轴左侧的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保 持不变，得到一个新的图象G ．当直线5y x b =+与图象G 有3个公共点时，请你直接写出b 的取值范围.
3、已知：抛物线C1：y=ax +4ax+4a-5的顶点为P,与x 轴相交于A,B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是１ （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）将抛物线沿x 轴翻折，再向右平移，平移后的抛物线C2的顶点为M ，当点P ，M 关于点B 成中心对称时，求平移后的抛物线C2的解析式； （3）直线y=-5 3x+m 与抛物线C1,C2的对称轴分别交于点E,F ，设由点E ，P ，F ，M 构成的四边形的面积为S ，试用含m 的代数式表示S 。
二次函数图象与几何变换
二次函数图象与几何变换 1．将抛物线y=x2﹣2x+3平移得到抛物线y=x2，则这个平移过程正确的是（） A．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 【变式1】．将函数y=x2+x+b的图象向右平移a（a＞0）个单位，再向上平移2个单位，得到函数y=x2﹣3x+4的图象，则a、b的值分别为（） A．a=1、b=4 B．a=2、b=2 C．a=2、b=0 D．a=3、b=2 【变式2】如果抛物线A：y=x2﹣1通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛物线B得到抛物线C：y=x2﹣2x+2，那么抛物线B的表达式为（） A．y=x2+2 B．y=x2﹣2x﹣1 C．y=x2﹣2x D．y=x2﹣2x+1 【变式3】．若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（） A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4 【变式4】．将抛物线y=x2﹣4x+3向上平移至顶点落在x轴上，如图所示，则两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（） A．1 B．2 C．3 D．4 2．与抛物线y=x2﹣2x﹣4关于x轴对称的图象表示为（） A．y=﹣x2+2x+4 B．y=﹣x2+2x﹣4 C．y=x2﹣2x+6 D．y=x2﹣2x﹣4 【变式】．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象关于直线x=﹣1对称的图象的表达式是（） A．y=x2﹣16x+55 B．y=x2+8x+7 C．y=﹣x2+8x+7 D．y=x2﹣8x+7
2二次函数图象的几何变换
一、二次函数图象的平移变换 （1）具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成2 ()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函 数2y ax =的图像，将抛物线2 y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示： （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”. 二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2 y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2 y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2 y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是 ()2 y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2 y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+- ； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 知识点拨 二次函数图象的几何变换
初中数学二次函数与图形变换知识点
初中数学二次函数与图形变换知识 点 二次函数是初中数学中最精彩的内容之一，也是历年中考的热点和难点。其中，关于函数解析式的确定是非常重要的题型。随着中考面临新课程改革，教材的内容和学习要求变化较大，其中一个突出的变化就是强化了对图形变换的要求，那么二次函数和图形变化的结合，将是同学们在学习中不可忽视的内容。 图形变换包含平移、轴对称、旋转、位似四种变换，那么二次函数的图像在其图形变化(平移、轴对称、旋转)的过程中，如何完成解析式的确定呢？解决此类问题的方法很多，关键在于解决问题的着眼点。笔者认为最好的方法是用顶点式的方法。因此解题时，先将二次函数解析式化为顶点式，确定其顶点坐标，再根据具体图形变换的特点，确定变化后新的顶点坐标及a值。 1、平移：二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a值不变。顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式。 例1.将二次函数y=x2-2x-3的图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的新的图像解析式为_____ 分析：将y=x2-2x-3化为顶点式y=(x-1)2-4，a值为1，顶点坐标
为(1，-4)，将其图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么顶点也会相应移动，其坐标为(2，-2),由于平移不改变二次函数的图像的形状和开口方向，因此a值不变，故平移后的解析式为y=(x-2)2-2。 2、轴对称：此图形变换包括x轴对称和关于y轴对称两种方式。 二次函数图像关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数。顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。 二次函数图像关于y轴对称的图像，其形状和开口方向都不变，因此a值不变。但是顶点位置会改变，只要根据关于y轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。 例2.求抛物线y=x2-2x-3关于x轴以及y轴对称的抛物线的解析式。 分析：y=x2-2x-3=(x-1)2-4，a值为1，其顶点坐标为(1，-4)，若关于x轴对称，a值为-1，新的顶点坐标为(1，4)，故解析式为y=-(x-1)2+4；若关于y轴对称，a值仍为1，新的顶点坐标为(-1，-4)，因此解析式为y=(x+1)2-4。 3、旋转：主要是指以二次函数图像的顶点为旋转中心，旋转角为180的图像变换，此类旋转，不会改变二次函数的图像形状，开口方向相反，因此a值会为原来的相反数，但顶点坐标不变，故很容易求其解析式。 例3.将抛物线y=x2-2x+3绕其顶点旋转180，则所得的抛物线的
图形变换与二次函数.doc
函数与几何变换结合的综合题 题型1:结合轴对称变换的函数综合题 例1如图1,已知抛物线I i：y=x2-4的图像与x轴交于A,C两点.（1）若抛物线A与/i关于x轴对称, 求A的解析式；（2）若点B是抛物线/1上的一动点（B不与A,C重合），以AC为对角线,A,B,C三点为顶点的平行四边形的第4个顶点定为D,求证:点D在A上；（3）探索:当点B分别位于/］在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值?若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积;若不存在,请说明理由.
例2己知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y = kx-Ak的图象与x轴交于点A,抛物线y = ax2 +弘+ c?经过0、A两点。 （1）试用含a的代数式表示b； （2）设抛物线的顶点为D,以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣孤和优孤两部分。若将劣孤沿x轴翻折，翻折后的劣孤落在。D内，它所在的圆恰与OD相切，求。D半径的长及抛物线的解析式； （3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得ZPOA = ZOBA ?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 3
例3已知抛物线C|:y=-x2+2mx+n(m,n为常数，且m*0,n>0)的顶点为A,与y轴交于点C,抛物线C? 与抛物线Ci关于y轴对称，其顶点为B,连接AC,BC,AB. (1)请在横线上直接写出抛物线C2的解析式； (2)当m=l时，判定ZiABC的形状，并说明理由； (3)抛物线C】上是否存在点P,使得四边形ABCP为菱形?如果存在,请求出m的值；如果不存在，请说明理由.
中考数学：二次函数与图形变换
中考数学：二次函数与图形变换 二次函数是初中数学中最精彩的内容之一，也是历年中考的热点和难点。其中，关于函数解析式的确定是非常重要的题型。而今年的中考正是面临新课程改革，教材的内容和学习要求变化较大，其中一个突出的变化就是强化了对图形变换的要求，那么二次函数和图形变化的结合，将是同学们在学习中不可忽视的内容。 图形变换包含平移、轴对称、旋转、位似四种变换，那么二次函数的图像在其图形变化(平移、轴对称、旋转)的过程中，如何完成解析式的确定呢？解决此类问题的方法很多，关键在于解决问题的着眼点。笔者认为最好的方法是用顶点式的方法。因此解题时，先将二次函数解析式化为顶点式，确定其顶点坐标，再根据具体图形变换的特点，确定变化后新的顶点坐标及a值。 1、平移：二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a值不变。顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式。 例1.将二次函数y=x2-2x-3的图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的新的图像解析式为_____ 分析：将y=x2-2x-3化为顶点式y=(x-1)2-4，a值为1，顶点坐标为(1，-4)，将其图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么顶点也会相应移动，其坐标为(2，-2),由于平移不改变二次函数的图像的形状和开口方向，因此a值不变，故平移后的解析式为y=(x-2)2-2。 2、轴对称：此图形变换包括x轴对称和关于y轴对称两种方式。 二次函数图像关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数。顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。 二次函数图像关于y轴对称的图像，其形状和开口方向都不变，因此a 值不变。但是顶点位置会改变，只要根据关于y轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。 例2.求抛物线y=x2-2x-3关于x轴以及y轴对称的抛物线的解析式。
二次函数图象的平移和对称变换
二次函数图象的平移、旋转、轴对称专题 有关图象的变换一般可采用两种基本的方法，其一是利用特殊点进行变换，其二是利用坐标变换的规律进行变换。所谓利用特殊点进行变换，即选取原图象上一些特殊的点，把这些点按指定的要求进行变换，再把变换后的点代入到新的解析式中，从而求出变换后的解析式，利用特殊点进行变换，又可以从一般形式入手，选取图象上的三个特殊的点进行变换，也可以把一般形式化为顶点式，选取顶点作为特殊点，然后进行变换。利用坐标变换的方法，根据题目的要求，利用坐标变换的规律，从而进行变换。下面由具体的例子进行说明。 一、平移。 例1、把抛物线y=x2-4x+6向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，求其图象的解析式。 法（一）选取图象上三个特殊的点，如（0，6），（1，3），（2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求向左平移3个单位，再向下平移4个单位后得到三个新点（-3，2），（-2，-1），（-1，-2），把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式y=ax2+bx+c中，求出各项系数即可。 例2、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其向上平移4个单位，再向右平移3个单位，求其解析式。 法（二） 先利用配方法把二次函数化成2 =-+的形式，确定其顶点（2，-3），然 () y a x h k 后把顶点（2，-3）向上平移4个单位，再向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点为（5，1），因为是抛物线的平移，因此平移前后a的值应该相等，这样我们就得到新的抛物线的解析式中a=2，且顶点为（5，1），就可以求出其解析式了。
【平移规律：在原有函数的基础上“左加右减、上加下减”】. 法（三） 根据平移规律进行平移，不论哪种抛物线的形式，平移规律为“左右平移即把解析式中自变量x改为x加上或减去一个常数，左加右减，上下平移即把整个解析式加上或减去一个常数，上加下减。” 例3、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其向上平移4个单位，再向右平移3个单位，求其解析式。 平移后的图象的解析式为：y=2(x-3)2-8（x-3）+5+4.然后化简即可。 针对练习 1、求把二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位。 2、抛物线2 y x =怎样平移得到的？ 2 2(1)3 y x =-+是由抛物线2 3、若抛物线2 y x =-向左平移2个单位，再向下平移4个单位，求所得到的解析式。 二、二次函数图象的轴对称变换 二次函数图象的对称一般有关于x对称和关于y对称等情况，可以用一般式或顶点式表达 1.关于x轴对称 例4、把抛物线y=x2-4x+6关于x轴对称后，求其图象的解析式。 法（一）选取图象上三个特殊的点，如（0，6），（1，3），（2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求关于x轴对称后得到三个新点（0，-6），（1，-3），（2，-2），把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式y=ax2+bx+c 中，求出各项系数即可。 例5、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其关于x轴对称后的解析式。 法（二）
二次函数图象的几何变换
二次函数图象的几何变换 知识点拨 -、二次函数图象的平移变换 (1)具体步骤： 2 先利用配方法把二次函数化成 y =a(x -h) k 的形式，确定其顶点(h,k),然后做出二次函 2 2 数y = ax 的图像，将抛物线 y = ax 平移，使其顶点平移到 (h, k) ?具体平移方法如图所示： (2)平移规律：在原有函数的基础上 左加右减” 2 y = ax ■ bx 关于顶点对称后，得到的解析式是 2 y =a x - h k 关于顶点对称后，得到的解析式是 关于点m , n 对称 2 2 y=ax-h k 关于点 m ,n 对称后，得到的解析式是 y --a x ? h -2m ? 2n -k 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变?求 抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原 抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向， 然后再写出其对称抛物线的表达式. ∕=?ιx 1+Λ 嚼gl?駕 g-*÷l?l 秋1. 2. 3. 4. 二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 关于X 轴对称 ^aX ■ b X 关于X 轴对称后，得到的解析式是 2 y =a(x-h j +k 关于X 轴对称后，得到的解析式是 关于y 轴对称 2 y =ax ■ bx 关于y 轴对称后，得到的解析式是 2 y =a(x-h j +k 关于y 轴对称后，得到的解析式是 关于原点对称 2 y = ax ■ bx 关于原点对称后，得到的解析式是 2 y = a x- h ■关于原点对称后，得到的解析式是 关于顶点对称 Y= -aχ2「bx —c ； 2 y = -a x -h ; —k ； y = ax 2 - bx C ； 2 y=a xfj 亠k ； y = -aχ2 bx -c ； 2 y = —a x h [ —k ； 2 2 b y - -ax -bx c _ a 2 y = -a x —h I 亠 k . 5. 冏上(tx>>.下(KO)平移 "I 个单位■
二次函数的几种变换
解析二次函数的一般式的三种变换 二次函数的一般式的用途非常广泛，其中与函数图像的对称变换相结合是一个亮点，经常在高考题中出现，考察了同学们的灵活应用能力。为此，就常见几种形式归类如下： 一. 2()||f x ax bx c =++ 1、变换过程： | |2x x x 2c bx ax y c bx ax y ++=????????????→?++=轴上方 轴为对称轴翻折到轴下方的图像以把2、草图：以△>0为例,如图一。 3、性质： 定义域为R ；值域:[0,+∞); 对称性：以a b x 2- =为对称轴; 单调性：减区间（-∞,1x ）和（2,2x a b - ）； 增区间（1x ，a b 2-）和（2x ,+∞）。 奇偶性：若0=b ，函数为偶函数； 若0≠b ，函数为非奇非偶函数； 例一.（08浙江卷）已知t 为常数，函数x x y --=22 t=__ _ 解析：本小题主要考查二次函数问题。对称轴为1,x =下方图像翻到x 轴上方.由区间[0， 3]上的最大值为2，知max (3)32,y f t ==-=解得15,t =或检验5t =时, (0)52f =>不符,而1t =时满足题意. 点评： 二. 2()||f x ax b x c =++ 1、变换过程： c x b x a y c bx ax y ++=?????????????→?++=||||2y 2轴为对称的图形 侧图像关于保留右侧图像，再作右2、草图：以△>03. 性质： 定义域为R ；值域:[a b ac 442-,+∞); 对称性：以a b x 2-=为对称轴; 单调性：减区间（-∞, a b 2）和（0，-增区间（a b 2，0）和（a b 2-,+奇偶性：函数为偶函数；
二次函数图形的变化
二次函数教学设计 一、知识点复习 1、二次函数的一般形式是什么？顶点坐标呢？ 2、二次函数图像平移的规律是什么？ 设计意图：通过简单的知识点复习，引导学生将知识进行拓展。 二、知识提升 例1：若函数y ＝(m －3) 是二次函数，则m ＝______. 设计意图：本题其实是针对二次函数定义的练习，若此函数为二次函数，只要满足两点即可：一是最高项次数是2，二是最高项的系数不能为0。但此时，不妨借机引导学生升华知识，若函数为一次函数、反比例函数呢？ 跟踪训练 1、若函数 是一次函数， 则m ＝_____. 2、若函数 是反比例函数，则m ＝_____ 拓展提高 若函数 与x 轴只有一个交点，那么m 的值为多少？ 例2：将抛物线y ＝3x 2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( ) A ．y ＝3(x －2)2－1 B ．y ＝3(x －2)2＋1 C ．y ＝3(x ＋2)2－1 D ．y ＝3(x ＋2)2＋1 设计意图：此题为二次函数图像平移的基础题，只要学生对二次函数图像平移的规律理解就能做，因此，可以借此复习二次函数图像的简单平移，同时引导学生，二次函数并不一定是顶点式，那么一般的二次函数怎么平移呢，进行知识上的升华。同时，也与点的平移进行区别。 跟踪训练 2213m m x ＋－4)1(222+-=-+m m x m y 122-+=m m mx y 121)2(2++++=m x m mx y
将抛物线y＝3x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线为( ) A．y＝3(x－2)2－1 B．y＝3(x－2)2＋1 C．y＝3(x＋2)2－1 D．y＝3(x＋2)2＋1 拓展提高 1、将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是什么？ 2、已知点A（－1， 2），将它先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点B，则点B的坐标是________ 三、课堂小结 四、当堂检测
二次函数平移、旋转、轴对称变换
二次函数专题训练（平移、旋转、轴对称变换） 一、二次函数图象的平移、旋转（只研究中心对称）、轴对称变换 1、抛物线的平移变换：一般都是在顶点式的情况下进行的。 y=a(x-h)2+k h)2+k±m y=a(x-±m)2+k 练习：（1）函数 图象沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3 个单位，得到函数__________________的图象。 （2）抛物线2 25y x x =-+向左平移3个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式是 。 2、抛物线的旋转变换（只研究中心对称）：一般都是在顶点式的情况下进行的。 （1）将抛物线绕其顶点旋转180?（即两条抛物线关于其顶点成中心对称） ()2 y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+。 （2）将抛物线绕原点旋转180?（即两条抛物线关于原点成中心对称） ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+-。 练习：（1）抛物线2 246y x x =-+绕其顶点旋转180?后，所得抛物线的解析式是 （2）将抛物线y ＝x 2 ＋1绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为( ) A ．y ＝－x 2 B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝x 2－1 D ．y ＝－x 2 －1 3、抛物线的轴对称变换： 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 练习：已知抛物线C 1：2 (2)3y x =-+ （1）抛物线C 2与抛物线C 1关于y 轴对称，则抛物线C 2的解析式为 （2）抛物线C 3与抛物线C 1关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为 总结：根据平移、旋转、轴对称的性质，显然无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变。 二、二次函数的系数与图象的关系。 热身练习：1、抛物线y=ax 2 +bx+c 的开口方向与 有关。 2、抛物线y=ax 2 +bx+c 的对称轴是 . 3、抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点坐标是 ，与x 轴的交点坐标是 。
二次函数图像的图形变换
二次函数图象变换的评析练习 二次函数是初中数学中最精彩的内容之一，也是历年中考的热点和难点。其中，关于函数解析式的确定是非常重要的题型。而今年的中考正是面临新课程改革，教材的内容和学习要求变化较大，其中一个突出的变化就是强化了对图形变换的要求，那么二次函数和图形变化的结合，将是同学们在学习中不可忽视的内容。 图形变换包含平移、轴对称、旋转、位似四种变换，那么二次函数的图像在其图形变化(平移、轴对称、旋转)的过程中，如何完成解析式的确定呢？解决此类问题的方法很多，关键在于解决问题的着眼点。笔者认为最好的方法是用顶点式的方法。因此解题时，先将二次函数解析式化为顶点式，确定其顶点坐标，再根据具体图形变换的特点，确定变化后新的顶点坐标及a 值。 1、平移：二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a 值不变。顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式。 练习1.将二次函数y=x2-2x-3的图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的新的图像解析式为_____ 分析：将y=x2-2x-3化为顶点式y=(x-1)2-4，a 值为1，顶点坐标为(1，-4)，将其图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么顶点也会相应移动，其坐标为(2，-2),由于平移不改变二次函数的图像的形状和开口方向，因此a 值不变，故平移后的解析式为y=(x-2)2-2。 2、轴对称：此图形变换包括x 轴对称和关于y 轴对称两种方式。 二次函数图像关于x 轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a 值为原来的相反数。顶点位置改变，只要根据关于x 轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。 二次函数图像关于y 轴对称的图像，其形状和开口方向都不变，因此a 值不变。但是顶点位置会改变，只要根据关于y 轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。 练习2.求抛物线y=x2-2x-3关于x 轴以及y 轴对称的抛物线的解析式。 分析：y=x2-2x-3=(x-1)2-4，a 值为1，其顶点坐标为(1，-4)，若关于x 轴对称，a 值为-1，新的顶点坐标为(1，4)，故解析式为y=-(x-1)2+4；若关于y 轴对称，a 值仍为1，新的顶点坐标为(-1，-4)，因此解析式为y=(x+1)2-4。 3、旋转：主要是指以二次函数图像的顶点为旋转中心，旋转角为180°的图像变换，此类旋转，不会改变二次函数的图像形状，开口方向相反，因此a 值会为原来的相反数，但顶点坐标不变，故很容易求其解析式。 练习3.将抛物线y=x2-2x+3绕其顶点旋转180°，则所得的抛物线的函数解析式为________ 分析：y=x2-2x+3=(x-1)2+2中，a 值为1，顶点坐标为(1，2)，抛物线绕其顶点旋转180°后，a 值为-1，顶点坐标不变，故解析式为y=-(x-1)2+2。 二次函数图象的变换练习 1、函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是：（ ） A. 右移两个单位，下移一个单位 B. 右移两个单位，上移一个单位 C. 左移两个单位，下移一个单位 D. 左移两个单位，上移一个单位 2、函数22(1)1y x =---的图象可由函数22(2)3y x =-++的图象平移得到，那么平移的步骤 是（ ） A. 右移三个单位，下移四个单位 B. 右移三个单位，上移四个单位 C. 左移三个单位，下移四个单位 D. 左移四个单位，上移四个单位 3、二次函数2241y x x =-++的图象如何移动就得到22y x =-的图象（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位. B. 向右移动1个单位，向上移动3个
二次函数解析式及图形变换学而思培优
第五讲 二次函数解析式及图形变换 一、二次函数解析式 四种形式：①一般式：()20y ax bx c a =++≠； ②顶点式：()2 y a x h k =-+或()2 24024b ac b y a x a a a -? ?=++ ≠ ??? ； ③交点式：()()12y a x x x x =--()0a ≠其中12x x ，是方程20ax bx c ++=的两个实根。 ④对称点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)＋b (a ≠0)，其中x 1，x 2是两个对称点的横坐标，b 是对称 点纵坐标。 二、抛物线的平移、对称与旋转 ①平移：“左加右减，上加下减”。 ②对称：关于x 轴对称：2y ax bx c =++的图象x 轴对称后得到图象的解析式是 2y ax bx c =---。 关于y 轴对称：2y ax bx c =++的图象y 轴对称后得到 图象的解析式是2y ax bx c =-+。 关于原点对称：2y ax bx c =++的图象原点对称后得 到图象的解析式是2y ax bx c =-+-。
三、二次函数与一元二次方程 1．求二次函数2 y ax bx c =++与直线y kx m =+的交点，联立方程组2y ax bx c y kx m ?=++?=+? 求解。 2．求二次函数2111y a x b x c =++与2 222y a x b x c =++的交点，联立方程组2 111 2 222 y a x b x c y a x b x c ?=++??=++??求解。 板块一 二次函数解析式 【例1】 ⑴ 下列说法不正确的是（ ） A ．抛物线23y ax bx =+-与y 轴的交点为()03-， B ．抛物线2221y ax ax a =-+-的对称轴为1x = C ．抛物线()21y ax a m x ma =-++与x 轴的交点为()0m ， 和()10， D ．抛物线()2 y a x x π=+-的顶点坐标为()x π--， ⑵（2009三帆单元测试）已知抛物线2y ax bx c =++经过点()10A -， ，且经过直线3y x =-与 x 轴的交点B 及与y 轴的交点C ，则抛物线的解析式为 。 ⑶（2007朝阳二模）已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠的顶点在直线1 12 y x =--上，当且仅当 04x <<时，0y <，则抛物线的解析式为 。 【例2】 （2008年湖州市）对于二次函数2y ax bx c =++，如果当x 取任意整数时，函数值y 都是整数， 那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线（例如：222y x x =++）。 ⑴请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式 。（不必证明） ⑵请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于1 2 的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线 的解析式；若不存在，请说明理由。 【例3】 已知二次函数22(2)4y m x mx n =--+的图象的对称轴是直线 2x =，且它的最高点在直线1 12 y x = +上。 ⑴求此二次函数的解析式； ⑵若此二次函数的图象开口方向不变，定点在直线1 12 y x = +上移动到M 点时，图象与x 轴恰好交于A 、B 两点，且8ABM S ?=，求这时的二次函数的解析式。
二次函数图像对称变换前后系数的关系(专题)
二次函数图像对称变换前后系数的关系 课时学习目标: 1.能熟练根据二次函数的解析式的系数确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增减性区域。 2.会根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上描述出函数的一些性质。 3.能说出抛物线y=ax 2+bx+c ，关于x 轴、y 轴对称变换后的解析式、关于坐标原点对称变换前后的解析式系数变化规律，能根据系数变化规律，熟练写出函数图像对称变换后解析式。 学习重点： 利用函数的图像，观察认识函数的性质，结合解析式，认识a 、b 、c 、ac b 42-的取值，对图像特征的影响。。 学习难点：利用图像认识总结函数性质变化规律。 一、复习预备 1.抛物线5)4(22-+-=x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，即x_____时， y 随着x 的增大而增大； 在 侧，即x_____时, y 随着x 的增大而减小；当x= 时，函数y 最 值是 。 2.抛物线y=x 2-2x-3的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，即x_____时， y 随着x 的增大而增大； 在 侧，即x_____时, y 随着x 的增大而减小；当x= 时，函数y 最 值是____ 。 3.已知函数y= x 2 -2x -3 , (1)把它写成k m x a y ++=2)(的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？ (2)写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值； (3)求出图象与坐标轴的交点坐标； (4)画出函数图象的草图； (5)设图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于P 点，求△APB 的面积； (6)根据图象草图，说出 x 取哪些值时， ① y=0; ② y<0; ③ y>0. 4.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图—2所示，则：a 0; b 0;c 0;ac b 42- 0。 例3：已知二次函数的图像如图—3所示，下列结论： (1)a+b+c ﹤0， (2)a-b+c ﹥0， (3)abc ﹥0， (4)b=2a 其中正确的结论的个数是（ ）A.1个，B.2个，C.3个，D.4个.
9下二次函数的图象变换
二次函数的图象变换 一、平移变换：左加右减在括号(单独的x) , 上加下减在末稍(表达式整体) 将y ＝ax 2向上移动k （k ＞0）个单位得： y ＝ax 2＋k 将y ＝ax 2向左移动h （h ＞0）个单位得： y ＝a （x ＋h ）2 将y ＝ax 2先向上移动k （k ＞0）个单位，再向右移动h （h ＞0）个单位得： y ＝a （x －h ）2＋k 1.将二次函数y=-2x 2+4x+6的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的解析式为___ 2. 有三个二次函数，甲：y ＝x 2－1；乙：y ＝－x 2＋1；丙：y ＝x 2＋2x －1.下列正确的是（ ） A.甲的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合 B.甲的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合 C.丙的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合 D.甲、乙、丙3个图形经过适当的平行移动后，都可以重合 3. 一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224y x x =-+，则平移前抛物线的解析式为____________ 4. 把抛物线22y x =向右平移p 个单位，或向下移q 个单位，都能使抛物线与直线4y x =-恰好只有一个交点，求p 、q 的值． 5. 把抛物线22y x =向左平移p 个单位，再向上平移q 个单位，则得到的抛物线经过点()13，和()49，，求p 、q 的值． 6. 把抛物线2y ax bx c =++向左平移3个单位，再向下移2个单位后，所得抛物线 为2y ax =，其图象经过点112??-- ??? ，，求原解析式．