图论-数学研究所

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图论GraphTheory-复旦大学数学科学学院

图论及其应用
范更华福州大学离散数学研究中心
离散数学及其应用教育部重点实验室
图论(Graph Theory)
图是由给定的点及连接两点的线所构成
的图形。现实世界中许多问题的数学抽象形
式可以用图来描述。如互联网、交通网、通
讯网、社团网、大规模集成电路、分子结构等都可以用图来描述。对图的研究形成了一个专门的数学分支—图论。
四色问题
一百多年来，貌似容易的四色问题让许多一流数学家栽了跟头。后人评说德国大数学家Minkowski （曾是爱因斯坦的老师）时认为，最让Minkowski 尴尬的不是他曾骂爱因斯坦 “懒虫”，而是他被四色问题挂了黑板。 1880年前后，Kempe 和Tait分别发表了证明四色问题的论文，大家都认为四色问题从此也就解决了。十年后，人们发现这两人的证明都是错误的。
该图含三角形,且n2/4是具有该性质的最小数.
上述定理是Turan定理(1941年)的特殊情形. 主要工具：正则引理；标号代数(flag algebra)
图论的前沿——整数流问题
给定图 G 和 k 阶可换群 A。若对 G 的某个
定向 , 存在一个函数 f : 从 G 的边集到 A 的
非零元素, 使得在图的每个一点, 进入该点
四色问题
四色问题: 对每个平面图，能否只用4种颜色对其面着色,使得任何两个有公共边的面得到不同颜色.
1976年,两位计算机专家借助计算机验证,解决了四色问题，但未被数学界普遍接受。数学家们仍在努力寻找纯数学的推理证明。
四色问题
当年,那位学生告诉Morgan教授: 下面的例子说明3种颜色不够,至少需4种颜色.
图的定义
图的直观定义：点与边图的抽象定义：一个集合上的二元关系

离散数学——图论

提示：反证法。
设有两个连通分支，这两个分支至多是完全图。由此得到图中点与边之间的数量关系。
§8.3欧拉图

欧拉图产生的背景就是前面的七桥问题。

定义：图G的回路，若它通过G中的每条边一次，这样的回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图。
定义欧拉通路：通过图G中每条边一次的通路（非回路）称为欧拉通路。

基本通路：通路中没有重复的点。
简单回路和基本回路。

基本通路一定是简单通路，但反之简单通路不一定是基本通路。基本回路必是简单回路。

定理：一个有向（n,m）图中任何基本通路长度≤n-1。任何基本回路的长度≤n。任一通路中如果删去所有回路，必得基本通路。任一回路中如删去其中间的所有回路，必得基本回路。

例1：教材121页。
结点次数

引出次数：有向图中以结点v为起点的边的条数称为 v的引出次数，记 deg(v) 引入次数：有向图中以结点v为终点的边的条数称为 v的引出次数，记 deg(v)

结点次数：有向图中引出次数和引入次数之和称为结点次数；无向图中与结点v相关联的边的条数称为 V的次数。统一为记deg(v)。
图论的发展

图论的产生和发展经历了二百多年的历史，从1736年到19世纪中叶是图论发展的第一阶段。第二阶段大体是从19世纪中叶到1936年，主要研究一些游戏问题：迷宫问题、博弈问题、棋盘上马的行走线路问题。

一些图论中的著名问题如四色问题(1852年)和哈密尔顿环游世界问题(1856年)也大量出现。同时出现了以图为工具去解决其它领域中一些问题的成果。

有向连通图

图论知识点

图论知识点摘要：图论是数学的一个分支，它研究图的性质和应用。

图由节点（或顶点）和连接这些节点的边组成。

本文将概述图论的基本概念、类型、算法以及在各种领域的应用。

1. 基本概念1.1 节点和边图由一组节点（V）和一组边（E）组成，每条边连接两个节点。

边可以是有向的（指向一个方向）或无向的（双向连接）。

1.2 路径和环路径是节点的序列，其中每对连续节点由边连接。

环是一条起点和终点相同的路径。

1.3 度数节点的度数是与该节点相连的边的数量。

对于有向图，分为入度和出度。

1.4 子图子图是原图的一部分，包含原图的一些节点和连接这些节点的边。

2. 图的类型2.1 无向图和有向图无向图的边没有方向，有向图的每条边都有一个方向。

2.2 简单图和多重图简单图是没有多重边或自环的图。

多重图中，可以有多条边连接同一对节点。

2.3 连通图和非连通图在无向图中，如果从任意节点都可以到达其他所有节点，则称该图为连通的。

有向图的连通性称为强连通性。

2.4 树树是一种特殊的连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径。

3. 图的算法3.1 最短路径算法如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，用于在加权图中找到从单个源点到所有其他节点的最短路径。

3.2 最大流最小割定理Ford-Fulkerson算法用于解决网络流中的最大流问题。

3.3 匹配问题如匈牙利算法，用于解决二分图中的匹配问题。

4. 应用4.1 网络科学图论在网络科学中有广泛应用，如社交网络分析、互联网结构研究等。

4.2 运筹学在运筹学中，图论用于解决物流、交通网络优化等问题。

4.3 生物信息学在生物信息学中，图论用于分析蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。

5. 结论图论是数学中一个非常重要和广泛应用的领域。

它不仅在理论上有着深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着关键作用。

随着科技的发展，图论在新的领域中的应用将会不断涌现。

本文提供了图论的基础知识点，包括概念、图的类型、算法和应用。

高中数学图论的实际应用与教学探讨

高中数学图论的实际应用与教学探讨在高中数学的广袤领域中，图论宛如一颗璀璨的明珠，虽然它并非高中数学课程的核心部分，但其在实际生活中的应用广泛，且对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。

本文将深入探讨高中数学图论的实际应用，并对其教学方法进行分析。

一、图论的基本概念图论是研究图的性质和应用的数学分支。

所谓“图”，并不是我们日常所理解的图像或图画，而是由一些顶点（节点）和连接这些顶点的边所组成的结构。

例如，一个城市的交通网络可以用图来表示，顶点代表城市中的各个地点，边代表道路。

在图论中，有许多重要的概念，如顶点的度（与该顶点相连的边的数量）、路径（从一个顶点到另一个顶点经过的边的序列）、回路（起点和终点相同的路径）、连通图（任意两个顶点之间都存在路径）等。

二、图论在实际生活中的应用1、交通规划城市的交通规划是图论应用的一个重要领域。

通过将城市道路网络抽象为图，可以分析交通流量，确定关键的道路节点和拥堵路段，从而优化交通信号灯设置、规划新的道路建设等，以提高交通效率，减少拥堵。

2、网络通信在计算机网络中，图论用于描述网络拓扑结构。

通过分析网络中的节点和连接关系，可以优化数据传输路径，提高网络的可靠性和性能。

3、物流配送物流企业在规划货物配送路线时，可以利用图论来找到最短路径，降低运输成本，提高配送效率。

例如，快递员在派送多个地点的包裹时，通过图论算法可以找到最优的派送顺序。

4、任务分配在项目管理中，将各项任务视为顶点，任务之间的依赖关系视为边，可以使用图论来合理安排任务的执行顺序，确保项目按时完成。

5、电路设计电子电路的设计中也会用到图论。

电路中的元件可以看作顶点，元件之间的连接看作边，通过分析电路图的拓扑结构，可以优化电路设计，提高电路的性能和可靠性。

三、高中数学图论教学的重要性1、培养逻辑思维能力图论问题的解决需要学生进行逻辑推理和分析，通过构建图、寻找路径、判断连通性等操作，锻炼学生的思维严谨性和逻辑性。

图论及其应用综述

图论综述一、简介图论是数学的一个分支。

它以图为研究对象。

图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。

图G=（V,E）是一个二元组（V,E）使得E⊆[V]的平方，所以E的元素是V的2-元子集。

集合V中的元素称为图G的定点（或节点、点），而集合E的元素称为边（或线）。

通常，描绘一个图的方法是把定点画成一个小圆圈，如果相应的顶点之间有一条边，就用一条线连接这两个小圆圈，如何绘制这些小圆圈和连线时无关紧要的，重要的是要正确体现哪些顶点对之间有边，哪些顶点对之间没有边。

图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经被好多位数学家各自独立地建立过。

关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736年的论著中，他所考虑的原始问题有很强的实际背景。

目前，图论已形成很多分支：如随机图论、网络图论、代数图论、拓扑图论、极值图论等。

图论的应用已经涵盖了人类学、计算机科学、化学、环境保护、非线性物理、心理学、社会学、交通管理、电信以及数学本身等。

二、基本内容2.1 图的基本概念本章首先介绍了图的一些基本性质和一些不同模型的图，包括偶图，完全图和补图，引入了定点度的来描述图的性质。

其次介绍了子图的相关概念，介绍了图的一些基本运算规则，对图的路和连通性进行了阐释。

紧接着讲解了最短路算法，定义设G为边赋权图。

u与v是G中两点，在连接u与v的所有路中，路中各边权值之和最小的路，称为u与v间的最短路。

图的代数表示，包括图的邻接矩阵和图的关联矩阵。

最后对极图理论进行了简介，主要介绍了极值图论中的一个经典结论——托兰定理。

2.2 树本章主要介绍了树的概念与性质，阐述了生成树与最小生成树的基本概念与一些常用结论与定理。

树是不含圈的无圈图，也是连通的无圈图。

树是图论中应用最为广泛的一类图。

在理论上，由于树的简单结构，常常是图论理论研究的“试验田”。

数学家研究图论算法的应用

数学家研究图论算法的应用数学与计算机科学常常是一种紧密联系的关系。

在计算机科学中，图论算法是计算机科学中重要的研究领域之一。

图论是一个研究图、网络和相关结构的数学分支，其主要研究图的性质和算法。

图结构常常被使用在数据结构和算法中，是计算机科学的基础工具之一。

数学家的研究方向往往包括图论中的算法问题和相关应用。

图论的算法问题包括遍历、连通性、最短路径、最小生成树、图匹配、颜色问题、拓扑排序、网络流等等。

最近几十年来，图论算法已经被广泛地应用在计算机科学及其他领域中，如计算机网络、系统建模、电路设计、社交网络、DNA分析、智能交通系统等等。

图论在计算机科学领域中被广泛地应用，与其相关研究的学科也十分广泛。

其中包括了算法、复杂性理论、计算几何、组合优化、计算机网络、机器学习等等学科。

图论算法在计算机科学中的应用已经接近到无处不在的地步，这也意味着人们越来越依赖于一些基础理论。

研究图论算法的应用，需要具备牢固的基础理论知识。

数学家们依靠图论的基础理论，进行了广泛的应用研究。

计算机科学中已经有了许多优秀的图论算法，但是数学家们仍然在不断地研究，进一步让图论算法在更广泛的领域中得到应用。

图论的广泛应用，带来了数学与计算机科学的紧密联系。

在图论中，数学家与计算机科学家的合作，已经成为这个领域发展的基石之一。

无论是研究计算机科学中的某个细节技术，还是关注整个方案的设计并最终成功地应用于实现目标，数学家与计算机科学家共同创造了多种成功的算法和系统，使图论在未来的计算机科学中有着广阔的应用前景。

对于数学家而言，研究图论算法的应用目标就是发现新的应用，并在实际场景中进行验证。

数学家们的目标是使计算机科学在应用中变得更加高效、可靠和安全。

在这个方向下，数学家们需要关注许多细节，如研究特定类型的图结构，研究具有复杂特性的图结构，以及研究如何设计和实现高效的图算法。

他们创造性地思考，并在图论算法中寻求更广泛的解决方案，从而使图论算法得到更广泛的应用。

数学中的图论及其应用

数学中的图论及其应用图论是一门数学基础理论，用来描述事物之间的关联。

图论主要研究节点之间的连接关系和路径问题。

它的研究对象是图，图是由节点和边组成的，边表示节点之间的连接关系，节点表示事物。

图论是一种十分实用的数学工具，它是计算机科学、物理学、化学、生物学、管理学等领域的重要工具，也是人工智能和网络科学等领域的基础。

一、图论的基本概念1.1 图图是由节点和边组成的，表示事物之间的关系。

节点是图中的基本元素，用点或圆圈表示；边是连接节点的元素，用线或箭头表示。

1.2 有向图和无向图有向图是指边有方向的图，每一条边用有向箭头表示；无向图是指边没有方向的图，每一条边用线表示。

1.3 节点的度和邻居节点节点的度是指与节点相连的边的数量，具有相同度的节点称为同阶节点；邻居节点是指与节点相连的节点。

1.4 遍历和路径遍历是指从起点出发访问图中所有节点的过程；路径是指跨越边连接的节点序列，路径长是指路径中边的数量。

二、图论的应用2.1 网络科学网络科学是研究节点和边之间的关系，以及节点和边之间的动态演化的学科。

网络科学中的图模型是节点和边的结合体，其应用包括社会网络、生物网络和物理网络等。

社会网络是指人们之间的社交网络，它描述了人与人之间的关系。

社交网络可以用图模型表示，节点表示人，边表示人与人之间的互动关系，例如朋友关系、家庭关系等。

生物网络是指由生物分子构成的网络，例如蛋白质相互作用网络、代谢网络等。

在生物网络中，节点可以表示蛋白质或基因，边可以表示蛋白质或基因之间相互作用的联系，这些联系可以进一步探究生物进化和疾病发生的机理。

物理网络是指由物理粒子构成的网络，例如网络电子、量子态等。

在物理网络中，节点可以表示量子比特或电子，边可以表示色散力或超导电性等物理现象。

2.2 计算机科学图论在计算机科学中的应用非常广泛，例如数据结构、算法设计和网络安全等方面。

图论在计算机科学中的经典应用包括最短路径算法、最小生成树算法等。

数理基础科学中的图论问题研究

数理基础科学中的图论问题研究图论是数学中的一个分支，它研究的是图的性质和图之间的关系。

图由节点和边组成，可以用来描述各种事物之间的联系和关联。

在数理基础科学中，图论被广泛应用于各个领域，包括计算机科学、物理学、生物学等。

本文将介绍一些图论问题的研究和应用。

一、最短路径问题最短路径问题是图论中的经典问题之一，它研究的是在图中找到两个节点之间最短路径的方法。

最短路径问题在实际生活中有很多应用，比如导航系统中的路径规划、物流系统中的货物运输等。

为了解决最短路径问题，图论中提出了一些经典算法，如Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。

这些算法通过遍历图中的节点和边，计算出节点之间的最短路径。

二、网络流问题网络流问题是图论中的另一个重要问题，它研究的是在网络中如何有效地传输信息或资源。

网络流问题在电信网络、交通网络等领域中有广泛的应用。

为了解决网络流问题，图论中提出了一些经典算法，如最大流算法和最小割算法。

这些算法通过在图中寻找合适的路径和割来确定网络中的流量分布。

三、图的着色问题图的着色问题是图论中的一个经典问题，它研究的是如何用最少的颜色给图中的节点上色，使得相邻节点的颜色不同。

图的着色问题在地图着色、时间表调度等领域中有广泛的应用。

为了解决图的着色问题，图论中提出了一些经典算法，如贪心算法和回溯算法。

这些算法通过遍历图中的节点，逐步确定节点的颜色，直到所有节点都被着色。

四、社交网络分析社交网络分析是图论在计算机科学中的一个重要应用领域，它研究的是社交网络中的节点之间的关系和影响力。

社交网络分析可以帮助我们理解社会关系、预测信息传播等。

为了解决社交网络分析问题，图论中提出了一些经典算法，如PageRank算法和社区发现算法。

这些算法通过分析节点之间的连接和交互，计算节点的重要性和社区结构。

五、生物网络分析生物网络分析是图论在生物学中的一个重要应用领域，它研究的是生物体内分子之间的相互作用和调控关系。

数学中的图论和网络理论

数学中的图论和网络理论近年来，网络技术不断发展，信息网络已渗透到人们的生活中的方方面面。

网络理论作为一种数学工具，可以帮助我们理解和描绘复杂网络结构，是网络科学领域的重要研究方向。

而图论则是网络理论的一个重要分支，在研究网络时，图论的工具和方法无疑是不可或缺的。

一、图论图论是一门数学分支，研究的是各个节点之间通过连线形成的网络结构，它的研究对象是图 (Graph)。

网络中的节点可以是人、物、事件等，而连线则表示它们之间的关系。

在图论中，用点和线表示节点和关系，点和线之间的组合是图。

图有很多种不同的形态，最基本的是无向图和有向图。

无向图是指图中的每条边都是双向的，而有向图是指图中的边是单向的，有方向性的。

此外，根据节点之间相互连通的不同情况，图又可以分为连通图和非连通图。

连通图是指图中任意两个节点之间都存在至少一条路径，而非连通图则是不连通的图。

图中还有一个概念就是度。

节点的度是指与此节点相连的边数，对于无向图来说，节点度数是所有与该节点相邻的边的个数，对于有向图，节点有入度和出度之分。

入度是指到该节点的边的个数，出度是指从该节点出发的边的个数。

图的应用非常广泛，其中最为明显的应用就是在电子网络中。

比如，互联网是由各个服务器和计算机组成的复杂的图结构，这些节点之间的连接就是用图论来描述的。

此外，还有电路图中的电子元件之间的连线，以及运输网络中的各个交通枢纽之间的关系等。

二、网络理论网络理论和图论的关系非常密切。

网络理论是一门跨学科的学科，它融合了物理学、统计学、计算机科学、数学等多领域的知识，旨在研究各种各样的网络结构，并从中寻找一些规律和特点。

网络模型主要用于描述网络的性质和演化特征，以及网络中的信息传递等问题。

图作为一种数学工具，可用于描述各种网络结构，但是它还有一些局限性。

比如，在描述社交网络时，我们需要考虑节点的属性、社区结构等因素，而这些在图中无法直接体现。

为了解决这个问题，网络理论提出了复杂网络模型，其中最为著名的是小世界网络模型和无标度网络模型。

数学中的图论研究

数学中的图论研究在数学领域中，图论是一门重要的研究分支，它研究的是在图中各种各样的关系和结构。

所谓图，就是由若干个点和这些点之间的线或弧组成的一种数学模型。

这样，每个点就代表着一个对象，每条线或弧就代表着对象之间的某种关系。

在图的研究中，最重要的概念是图的连通性，即在图中，若从一个点出发能够到达另一个点，则这两个点是连通的。

下面我们将深入探讨图论的一些基本概念和研究内容。

一、基本概念和性质1.图与子图我们先来看一下图的基本概念。

在一张图中，若一些点和它们之间的线构成的图被称为该图的子图。

另外，由若干个图套在一起而形成的一张新图也被称为大图的子图。

2.图的连通性和度数在一张图中，如果两个点之间有一条路径，那么这两个点就是连通的。

如果一个图中的任意两个点都是连通的，那么这个图就是连通图。

一个图不是连通的时候，我们可以将它分解成若干个连通的子图。

图的度数指的是与某一点相邻的边的条数，我们将度数大于等于3的点成为重要点，它们在一些算法中有着较为重要的作用。

3.欧拉路径和欧拉回路欧拉路径指的是在一张图中，穿过每个边恰好一次的路径。

而欧拉回路则是指从某一点出发，回到这个点，穿过每个边恰好一次的路径。

显然，一张图有欧拉路当且仅当它所有顶点的度数均为偶数或者只有两个点的度数为奇数，且这两个顶点分别为起点和终点。

一张图有欧拉回路只有当它所有的顶点的度数均为偶数。

4.哈密顿路径和哈密顿回路哈密顿路径和哈密顿回路是指穿过每个顶点恰好一次的路径和回路。

一个图存在哈密顿路径当且仅当它的所有顶点的度数都不小于n/2（n是图中顶点的个数）。

而一个图存在哈密顿回路当且仅当它的所有顶点的度数都不小于n/2。

二、研究内容1.最短路径算法最短路径算法是在图中求得两个点之间最短路径的算法。

在有向图中，最短路径有可能是多条，并且存在一些路径的长度是无限的。

其中，Dijkstra算法是最为常见的最短路径算法之一。

它基于贪心策略，每次选择距离起点最近的顶点，并且不断更新其它点到起点的距离值。

图论的历史发展研究

ｍｒｄｌｙ，ｍｅｆｏｍａｔｉｏｎｏｆ（翻印ｈｍｅｏｒｙａＳａｓｕｂｊｅｃｔａｒｌｄｉｔｓｍｍｌｅｒｄｅＶｅｌｏｐｍｅｎｔ
ａｒｅｄｅｔａｉｌｅｄｓｎｌｄｉｅｄ．ＡＲｅｒｍｅｓｕｂｊｅｃｔｏｆＧ］隐ｐｈ也ｅｏＤ，ｗａＳｆｏｍｅｄ，ａｌａｒｇｅｎｕｍｂｅｒｏｆ
ｍａｔｌｌｅｍａｔｉｃｉａＩｌｓｗｈｏｓｈｏ、ⅣｅｄｉＩｌｔｅｎｓｅｃｕｒｉｏｓ时ｏｆＧｒａｐｈ廿ｌｅｏ巧ｅｍｅ唱ｅｄｕＩｌｄｅｒ也ｅ
山东大学硕士学位论文
摘要
图论既是一个历史悠久又是一个近些年飞速发展的数学分支，图的理论及其在各个领域的广泛应用越来越受到数学界和其他科学界的重视。本文就是在对图论发展史籍资料收集和整理的基础上，以时间顺序为主线，以图论思想的发展进程为经，以数学家的工作贡献为纬，对图论思想的历史发展进行了全面的分析与研究。主要成果如下：
五、介绍了图论的飞速发展和广泛应用。概括性的介绍了由图论繁衍出的众多数学分支，并从自然科学、社会科学、运输交通等方面详细论述了图论在２０
山东大学硕士学位论文世纪以来的发展状况，多角度的呈现了图论在近代飞速发展的良好态势。
本文通过研究图论的历史起源和发展进程，理清了图论的发展历程中各个阶段的成长脉络和突出成就，可以为图论的学习者和爱好者提供有益的参考资料，对高等院校数学教育工作者进行图论的教学和研究也有一定的借鉴意义。
１．２Ｌｅｉｂｎｊｚｐ吣ｆ．０删莉”ｐｏｓｉｔｉｏｎａＩｌａｌｙｓｉＳ．ｔｍｅｔｈｏｄ…………………………．．６１．３瞄ｒｃｌｌｈｏｎ’ｐｕｔｆ０刑矾恤”仃ｅｅ”ｉｎｎｌｅｆｉｅｌｄｏｆｐｈｙｓｉｃｓｃｏｎｃ印ｔ…………７
１．４Ｋａｉｌａｉｉｎｔｌｌｅｆｉｅｌｄｏｆｃｈｅｍｉｃａｌｉｎｄｕｓ缸ｙｐｕｔｆｏｒｖｖａｒｄｍｅ”仃ｅｅ”ｃｏｎｃｅｐｔ……．８

离散数学——图论

2021/10/10
11
哥尼斯堡七桥问题
❖ 把四块陆地用点来表示，桥用点与点连线表示。
2021/10/10
12
❖ 欧拉将问题转化为：任何一点出发，是否存在通过每条边一次且仅一次又回到出发点的路？欧拉的结论是不存在这样的路。显然，问题的结果并不重要，最为重要的是欧拉解决这个问题的中间步骤，即抽象为图的形式来分析这个问题。
2021/10/10
2
图论的发展
❖ 图论的产生和发展经历了二百多年的历史，从1736年到19世纪中叶是图论发展的第一阶段。
❖ 第二阶段大体是从19世纪中叶到1936年，主要研究一些游戏问题：迷宫问题、博弈问题、棋盘上马的行走线路问题。
2021/10/10
3
❖ 一些图论中的著名问题如四色问题(1852年)和哈密尔顿环游世界问题(1856年)也大量出现。同时出现了以图为工具去解决其它领域中一些问题的成果。
❖ P（G）表示连通分支的个数。连通图的连通分支只有一个。
2021/10/10
40
练习题---图的连通性问题
❖ 1.若图G是不连通的，则补图是连通的。 ❖ 提示：直接证法。
根据图的不连通，假设至少有两个连通分支；任取G中两点，证明这两点是可达的。
2021/10/10
41
❖ 2.设G是有n个结点的简单图，且 |E|>(n-1)(n-2)/2，则G是连通图。
❖ 例子
2021/10/10
29
多重图与带权图
❖ 定义多重图：包含多重边的图。 ❖ 定义简单图：不包含多重边的图。 ❖ 定义有权图：具有有权边的图。 ❖ 定义无权图：无有权边的图。
2021/10/10
30

图论

Graphs/图论
二、图的术语/Graph Terminology 定义相邻和关联：在无向图G中，若e=（ａ，ｂ） ∈Ｅ，则称ａ与b相邻/adjacent，或边e关联a、ｂ /incident或联结a、b/connect。a、b称为边e 的端点或结束顶点/endpoint. 在有向图G中，若e=（ａ，ｂ）∈Ｅ，即箭头由ａ到ｂ，称ａ相邻到ｂ，或a关联或联结b。a称为e的起点/initial vertex，b称为e的终点/terminal or end vertex。
v V
d(v)= d(v)+ d(v)= 2m
d(v)=2m- d(v)
vV2 vV1 vV2
vV1 vV2
d(v)是偶数，从而 d(v)也为偶数，
vV1
即奇数顶点的个数必为偶数,得结论成立.
8/7/2016 9:51 PM Discrete Math. , QingTai Wu 20
A
C
D
图1
8/7/2016 9:51 PM
B
2
Discrete Math. , QingTai Wu
图论的产生与发展史概述
Graphs/图论
当时那里的居民热衷于一个难题：一个散步者能否从河岸或小岛出发，通过每一座桥，而且仅仅通过一次回到原地？这个问题似乎不难，谁都愿意试一试，但谁也回答不出来。欧拉是一个数学家，头脑比较冷静。千百人的失败使他猜想，也许了样的走法根本不存在。1736年，欧拉证明了他的猜想，并在圣彼得堡科学院作了一次报告。为了证明这个问题没有解，欧拉将每一块陆地用一个点来代表，将每一座桥用联结相应的两个点的一条线来代替，从而得到了一个如图2所示的一个 “图”。于是七桥问题就变成了如下的一笔画问题：能否笔不离开纸，把图2的“图”一笔画成，使每条 8/7/2016 9:51 PM Discrete Math. , QingTai Wu 3 线只画一次

数学中的图论理论研究

数学中的图论理论研究图论是一门研究图与网络的理论学科，广泛应用于计算机科学、电子通信、管理科学、社会网络等领域。

在数学中，图论也是一门重要的研究方向，它涉及到组合数学、代数学、拓扑学、数论等多个分支，成为了数学中的一个独特领域。

本文将从图的基本概念、图的性质、图的应用等方面介绍图论理论的研究进展。

一、图的基本概念图可以用一组点和连接这些点的边来表示，这些点称为节点或顶点，边则用于连接节点。

在图论中，图有两种形式：有向图和无向图。

无向图表示节点之间的关系是相互的，具有对称性；而有向图则表示节点之间的关系是单向的，具有非对称性。

根据节点之间的关系，可以分为以下几种图：1.简单图：没有重复的边和自回路的图。

2.多重图：允许存在多条边的图。

3.完全图：任意两个节点之间都存在一条边的图。

4.稠密图：边数相对较多的图。

5.稀疏图：边数相对较少的图。

6.连通图：任意两个节点之间都有路径连接的图。

7.非连通图：存在节点之间没有路径连接的图。

二、图的性质在图论中，有一些重要的概念和性质，例如：1.度数：节点的度数表示与该节点相连的边的数目。

对于无向图而言，度数越大，表示这个节点在连接其他节点方面拥有更多的权重。

2.路径：路径是指在图中通过边从一个节点走到另一个节点的过程。

其中最短路径是有一定的应用价值的，可以用于解决最短路径问题，这个问题在计算机网络中尤为重要。

3.连通性：连通性是指图中节点之间的相互连接情况。

如果存在任意两个节点之间都存在路径，那么这个图是连通的；否则，这个图就是非连通的。

4.同构性：同构性是指两个图在动态和结构上完全相同。

如果两个图之间存在映射，使得它们的节点和边完全相同，那么这两个图就是同构的。

5.着色：着色指的是给图中的节点分配颜色的过程。

其中，最著名的是计算四色定理，这个定理指出任意平面图都可以用四种颜色来着色，且相邻的两个节点不会被着同一种颜色。

三、图的应用图论具有广泛的应用价值，其中最重要的应用领域是计算机科学。

图论

第7章图论图论是建立和处理离散型数学模型的重要数学工具，它已发展成具有广泛应用的一个数学分支。

图论的发展已有200多年的历史，它最早起源于一些数学游戏的难题研究。

1736年瑞士数学家欧拉（L.Eluer ）发表了关于解决哥尼斯堡七桥问题的一篇文章，标志着图论的正式诞生。

从19世纪中叶到20世纪中叶，图论问题大量出现，如汉密尔顿图问题、四色猜想等。

这些问题的出现进一步促进了图论的发展。

1847年，克希霍夫（Kirchhoff ）用图论分析电网络，这是图论最早应用于工程科学的一个例子。

随着计算机科学的迅猛发展，在现实生活中的许多问题，如交通网络问题，运输的优化问题，社会学中某类关系的研究，都可以用图论进行研究和处理。

图论在计算机领域中，诸如算法、语言、数据库、网络理论、数据结构、操作系统、人工智能等方面都有重大贡献。

本章主要介绍图论的基本概念、基本性质和一些典型应用。

7.1 图的基本概念7.1.1 图的基本概念1.图的定义图在现实生活中随处可见，如交通运输图、旅游图、流程图等。

此处我们只考虑由点和线所组成的图。

这种图能够描述现实世界的很多事情。

例如，用点表示球队，两队之间的连线代表二者之间进行比赛，这样，各支球队的比赛情况就可以用一个图清楚地表示出来。

到底什么是图呢？可用一句话概括：图是用点和线来刻划离散事物集合中的每对事物间以某种方式相联系的数学模型。

因为上述描述太过于抽象，难于理解，因此下面给出图作为代数结构的一个定义。

定义7.1.1 一个图（Graph ）是一个三元组〈)(G V ，)(G E ，G ϕ〉，其中)(G V 是一个非空的节点集合，)(G E 是有限的边集合，G ϕ是从边集合E 到点集合V 中的有序偶或无序偶的映射。

例7.1.1 图G =〈)(G V ，)(G E ，G ϕ〉，其中)(G V =},,,{d c b a ，)(G E =},,,,,{654321e e e e e e ，),()(1b a e G =ϕ，),()(2c a e G =ϕ，),()(3d b e G =ϕ，),()(4c b e G =ϕ，),()(5c d e G =ϕ，),()(6d a e G =ϕ。

图论及图的基本介绍

第四篇图论
什么是图论
定义
✓图论（Graph Theory）是数学的一个分支。

它以图为研究对象。

✓图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系；用点表示事物，用连接两点的线表示相应两个事物间的关系。

✓从一般意义而言，它描述了客观世界中的拓扑结构。

什么是图论
人们常称1736年是图论历史元年，因为在这一年瑞士数学家欧拉（Euler）发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》，所以人们普遍认为欧拉是图论的创始人。

1936年，匈牙利数学家寇尼格（Konig）出版了图论的第一部专著《有限图与无限图理论》，这是图论发展史上的重要的里程碑，它标志着图论将进入突飞猛进发展的新阶段。

哥尼斯堡七桥问题
18 世纪在哥尼斯堡城( 今俄罗斯加里宁格勒) 的普莱格尔河上有7 座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图所示。

城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7 座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。

这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。

图论的应用
计算机科学、物理学、化学、运筹学、信息论、控制论、网络通讯、社会科学以及经济管理、军事、国防、工农业生产等方面都得到广泛的应用。

图论的知识体系概图
第十章图的基本概念
本章各节间的关系概图
图的基本概念在计算机科学技术相关领域的应用。

图论简介

关于有 n 结点 m 边的(n,m)图度的定理
• 定理1-1 令 v1,…,vn为图的所有结点,则 i=1n deg(vi)=2m. (1) 定理1-2 任何图中度为奇数的结点必பைடு நூலகம்偶数个.
图的同构
定义:对给定两个图 G=V,E,G=V,E,若存在双射 f:VV 使对任意a,bV, (a,b)E (f(a),f(b))E,并且(a,b)与 (f(a),f(b))有相同重数,则称 G 与 G同构,记为 GG. 注:① 两图同构是相互的: GG GG. ② 两图同构时不仅结点之间要有一一对应关系, 而且要求这种对应关系保持结点间的邻接关系. 对有向图同构还要求保持边的方向. ③ 寻求判断图同构的简单有效方法仍是图论待解决的重要问题.
无向图 G 能否一笔画的问题等价于 G 是否有一条Euler路径(回路)的问题
a
1 b 2 3 9 6 4 5 8 7
若图只有两个奇结点,则任何Euler路径必从其中一点开始到另一点结束.利用这条规律, 先在此2奇点之间加条边使之变成Euler图并画出一条Euler回路,然后再去掉所加的边即得一条Euler路径.
同构图举例
4 2 1 a c 3 1 2 3
G
4 a 5 d 6
H H’
b
G’
d b
f c e
G G’ 1a,2b,3c, 4d
H H’ 1a,2b,3c, 4d,5e,6f
非同构图举例
存在结点数及每个结点对应度都相等的两个图仍然不同构的情况.; 如下:(注意:两个4度点或邻接或不相邻接)
图的定义与记号
• 图G是一个二重组:G=V,E,其中V是非空有限集合,它的元素称为结点或顶点, E 也是(可空)有限集合,它的元素称为边. • 图G的边e是一个结点二重组:a,b,a,bV,e可以是有序的,称为有向边,简称为弧,a称为弧e 的始点,b称为e的终点; e也可以是无序的,称为无向边.e=a,b时,称e与a,b关联,或a,b与e 关联,或a与b相邻接;关联于同一顶点的一条边称为自回路或环. • 每条边都是无向边的图称为无向图;每条边都是有向边的图称为有向图;我们仅讨论无向图和有向图.

数学中的图论问题研究

数学中的图论问题研究图论是数学中一个重要的分支，研究的是描述多个对象之间关系的图模型的性质和结构。

图论问题广泛应用于计算机科学、运筹学、电路设计等领域，并在实际生活中有很多应用。

本文将从几个重要的图论问题入手，探讨它们的理论背景和实际应用。

一、最短路径问题在图论中，最短路径问题是指连接图中两个顶点的路径中，边权之和最小的那条路径。

解决最短路径问题的方法有很多，常用的有迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。

迪杰斯特拉算法适用于求解单源最短路径问题，而弗洛伊德算法则能够求解全局最短路径问题。

最短路径问题在实际生活中有广泛应用，比如地图导航、物流路径规划等。

地图导航中，我们需要找到起点和终点之间的最短路径，而物流路径规划中，我们需要找到运输货物所需的最短路径。

通过最短路径算法，我们可以高效地解决这些实际问题。

二、最小生成树问题最小生成树问题是指在带权无向图中找到一个边的子集，使得这个子集包含图中的所有顶点，并且边的权值之和最小。

在解决最小生成树问题时，常用的算法有普利姆算法和克鲁斯卡尔算法。

最小生成树问题在实际应用中也有很多。

比如，我们在设计电力输电网络时，需要将各个电力站点用最小的输电线路连接起来，以降低成本和能量损耗。

此外，最小生成树问题还可以应用于通信网络、铁路规划等领域。

三、旅行商问题旅行商问题是指在带权完全图中找到一条经过所有顶点的哈密顿回路，并且使得回路总权值最小。

旅行商问题是一个典型的NP完全问题，没有多项式时间的解法。

即使旅行商问题没有高效解法，但是它在实际生活中有很多应用。

比如，物流公司需要规划送货员的路线，使得送货员能够高效地访问每个客户。

其他应用还包括航空航天领域中的轨道规划、城市旅游规划等。

四、最大流问题最大流问题是指在有向图中找到从一个源点到一个汇点的最大流量。

最大流问题与最小割问题密切相关，可以通过最大流最小割定理相互转化。

最大流问题在网络流中有重要应用。

比如，在通信网络中，我们需要确定数据流从源点到目的地的最大传输量。

关于研究生图论教学的研究

关于研究生图论教学的研究作者：沈健来源：《东方教育》2018年第24期摘要：《图论及其应用》是我校数学系研究生的一门基础选修课，选修的同学来自多个专业方向，存在基础不同，研究方向迥异等诸多问题。

论文分析了上这门课时遇到的问题，并提出解决方法，希望能提高教学效果。

关键词：图论；研究；教学模式一、引言图论是研究由若干点及连接点的边所组成的图的科学，是数学的一个分支，属于应用数学的一部分。

图论是一门古老而又新兴的科学，它的起源很早。

早在1736年，著名的科学家欧拉在哥尼斯堡七桥问题[1]上就用图的方法解决这个问题，并开创了一门学科——图论。

虽然在欧拉发表奠基性论文之后的几百年时间，图论发展非常缓慢，很多问题都是围绕游戏展开，如迷宫问题，博弈问题，棋盘上马的行走问题等。

直到十九世纪中叶，图论问题大量出现，如四色问题，汉密尔顿问题[2]等，并且以图为工具解决了其他领域的问题。

随着上世纪七八十年代科学的发展，在生产管理，交通运输，军事，计算机等领域提出了很多离散问题，促进了图论的发展。

所以现在图论知识涉及到各个领域，有着举足轻重的地位。

我校数学系开设《图论及其应用》这门基础选修课[3]，是希望同学能掌握基本的图论知识，学会图论中的算法，并灵活掌握解决图论问题的方法。

在讲授这门课的时候，发现同学存在基础差异巨大、研究方向迥异、对图论应用缺乏了解等诸多问题[4]。

二、图论教学中存在问题分析1、同学基础差异较大学校的研究生本科阶段在不同的学校学习，各校的培养计划不同，所学的知识也不同。

有些学校将图论列为必修课，所以这些同学在本科阶段已经有了系统的学习，对图论的基本概念，重要定理，主要方法已经有了很好的掌握，基础较好。

另外一部分同学所在学校仅开设了《离散数学》，或者将图论列为选修课，同学重视程度不够，所以虽然了解一些相关概念，但是基础不佳。

最糟糕的是极少数同学在本科阶段没有学习过任何图论有关的知识，所以同学的基础为零。